Иррационал тоонуудын жишээ. Рационал ба иррационал тоо: тайлбар ба тэдгээр нь юугаараа ялгаатай вэ? Тоо бол үндэслэлгүй зүйл биш юм

Иррационал тоо- Энэ бодит тоо, энэ нь оновчтой бус, өөрөөр хэлбэл бутархай хэлбэрээр илэрхийлэх боломжгүй, энд бүхэл тоо, . Иррационал тоог хязгааргүй үегүй аравтын бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно.

Иррационал тоонуудын багцыг ихэвчлэн латин том үсгээр тод томруун үсгээр тэмдэглэдэг. Тиймээс: , i.e. олон иррационал тоо байдаг бодит ба рационал тооны олонлогуудын ялгаа.

Иррационал тооны оршин тогтнох тухай, илүү нарийвчлалтай Нэгж уртын сегменттэй харьцуулшгүй сегментүүдийг эртний математикчид аль хэдийн мэддэг байсан: тэд жишээлбэл, диагональ ба квадратын хажуугийн харьцуулшгүй байдлыг мэддэг байсан бөгөөд энэ нь тооны иррациональтай тэнцэх юм.

Үл хөдлөх хөрөнгө

• Аливаа бодит тоог хязгааргүй аравтын бутархай хэлбэрээр бичиж болно, харин иррационал тоонуудыг зөвхөн үечилсэн бус хязгааргүй аравтын бутархай гэж бичнэ.
• Иррационал тоо нь доод ангид хамгийн их тоо байхгүй, дээд ангид хамгийн бага тоо байхгүй рационал тоонуудын багц дахь Дедекинд таслалтыг тодорхойлдог.
• Бодит трансценденталь тоо бүр иррациональ байдаг.
• Иррационал тоо бүр нь алгебр эсвэл трансцендентал байдаг.
• Иррационал тоонуудын багц нь тоон шулуун дээр хаа сайгүй нягт байдаг: дурын хоёр тооны хооронд иррационал тоо байдаг.
• Иррационал тооны олонлог дээрх дараалал нь бодит трансцендент тооны олонлогийн дараалалтай изоморф байна.
• Иррационал тоонуудын багц нь тоолж баршгүй бөгөөд хоёр дахь ангиллын олонлог юм.

Жишээ

Оновчгүй зүйл нь:

Оновчгүй байдлын нотолгооны жишээ

2-ын үндэс

Эсрэгээр нь бодъё: энэ нь рациональ, өөрөөр хэлбэл энэ нь бүхэл тоо бөгөөд натурал тоо юм. Боломжит тэгш байдлыг квадрат болгоё:

Үүнээс үзвэл тэгш ба тэгш байна. Бүхэл бүтэн байгаа газарт нь байг. Дараа нь

Иймд тэгш гэсэн нь тэгш ба гэсэн утгатай. Бид олсон ба тэгш бөгөөд энэ нь бутархайн бууралтгүй байдалтай зөрчилдөж байна. Энэ нь анхны таамаглал буруу байсан бөгөөд энэ нь иррациональ тоо гэсэн үг юм.

3-ын тооны хоёртын логарифм

Эсрэгээр нь бодъё: энэ нь оновчтой, өөрөөр хэлбэл бутархай, энд ба бүхэл тоогоор илэрхийлэгддэг. оноос хойш, мөн эерэг байхаар сонгож болно. Дараа нь

Гэхдээ тэгш, сондгой. Бид зөрчилддөг.

д

Өгүүллэг

Иррационал тооны тухай ойлголтыг Энэтхэгийн математикчид МЭӨ 7-р зуунд Манава (МЭӨ 750 он - МЭӨ 690 он) 2 ба 61 гэх мэт зарим натурал тоонуудын квадрат язгуурыг тодорхой илэрхийлэх боломжгүй гэдгийг олж мэдсэнээр далд хэлбэрээр баталсан. .

Иррационал тоо байгаагийн анхны нотолгоог ихэвчлэн пентаграммын талуудын уртыг судалснаар энэ нотолгоог олсон Пифагорийн хүн Метапонтын Гиппас (МЭӨ 500 он)-той холбоотой байдаг. Пифагорчуудын үед хангалттай жижиг, хуваагдашгүй уртын нэг нэгж байдаг гэж үздэг байсан бөгөөд энэ нь аль ч сегментэд бүхэл тоогоор олон удаа ордог. Гэсэн хэдий ч Гиппасс уртын нэг нэгж байдаггүй, учир нь түүний оршин тогтнох таамаглал нь зөрчилдөөнд хүргэдэг гэж маргажээ. Хэрэв тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз нь бүхэл тооны нэгж хэсгүүдийг агуулж байвал энэ тоо тэгш ба сондгой байх ёстой гэдгийг тэрээр харуулсан. Нотлох баримт нь дараах байдалтай байв.

• Гипотенузын уртыг тэгш өнцөгт гурвалжны хөлийн урттай харьцуулсан харьцааг дараах байдлаар илэрхийлж болно. а:б, Хаана аТэгээд баль болох бага гэж сонгосон.
• Пифагорын теоремын дагуу: а² = 2 б².
• Учир нь а- тэгш, атэгш байх ёстой (сондгой тооны квадрат нь сондгой байх тул).
• Учир нь а:ббууруулж боломгүй бхачин байх ёстой.
• Учир нь атэгш гэж бид тэмдэглэж байна а = 2y.
• Дараа нь а² = 4 y² = 2 б².
• б² = 2 y², тиймээс б- тэгвэл бүр ббүр.
• Гэсэн хэдий ч энэ нь батлагдсан бхачин. Зөрчилдөөн.

Грекийн математикчид үүнийг харьцуулшгүй хэмжигдэхүүнүүдийн харьцаа гэж нэрлэдэг alogos(Үгээр хэлэхийн аргагүй), гэхдээ домогт өгүүлснээр тэд Хиппасусыг зохих ёсоор хүндэтгэдэггүй байв. Хиппас далайд аялж байхдаа энэ нээлтийг хийж, бусад Пифагорчууд "орчлон ертөнцийн бүх биетүүдийг бүхэл тоо болон тэдгээрийн харьцаа болгон бууруулж болно гэсэн сургаалыг үгүйсгэсэн орчлон ертөнцийн элементийг бий болгосноос" болж шидсэн гэсэн домог байдаг. Хиппасыг нээсэн нь Пифагорын математикийн хувьд ноцтой асуудал үүсгэж, тоонууд болон геометрийн биетүүд нэг бөгөөд салшгүй холбоотой гэсэн үндсэн таамаглалыг устгасан.

Иррационал тооны багцыг ихэвчлэн том үсгээр тэмдэглэдэг Би (\displaystyle \mathbb (I))сүүдэргүй тод хэв маягаар. Тиймээс: I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \арын налуу зураас \mathbb (Q) ), өөрөөр хэлбэл иррационал тооны олонлог нь бодит ба рационал тооны олонлогуудын ялгаа юм.

Иррационал тоонууд, илүү нарийвчлалтай, нэгж урттай сегменттэй харьцуулшгүй сегментүүд байгаа нь эртний математикчдад аль хэдийн мэдэгдэж байсан: тэд жишээлбэл, диагональ ба квадратын хажуугийн харьцуулшгүй байдлыг мэддэг байсан бөгөөд энэ нь дөрвөлжингийн иррациональтай тэнцэх болно. дугаар.

Нэвтэрхий толь бичиг YouTube

• 1 / 5

  Оновчгүй зүйл нь:

  Оновчгүй байдлын нотолгооны жишээ

  2-ын үндэс

  Үүний эсрэгээр гэж үзье: 2 (\displaystyle (\sqrt (2)))оновчтой, өөрөөр хэлбэл бутархай хэлбэрээр илэрхийлэгддэг m n (\displaystyle (\frac (m)(n))), Хаана m (\displaystyle m)нь бүхэл тоо бөгөөд n (\displaystyle n)- натурал тоо.

  Боломжит тэгш байдлыг квадрат болгоё:

  2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\Баруун сум 2=(\frac (m^(2)) ))(n^(2)))\Баруун сум m^(2)=2n^(2)).

  Өгүүллэг

  Эртний үе

  Иррационал тооны тухай ойлголтыг Энэтхэгийн математикчид МЭӨ 7-р зуунд Манава (МЭӨ 750 он - МЭӨ 690 он) 2 ба 61 гэх мэт зарим натурал тоонуудын квадрат язгуурыг тодорхой илэрхийлэх боломжгүй гэдгийг олж мэдсэнээр далд хэлбэрээр баталсан. [ ] .

  Иррационал тоо байгаагийн анхны нотолгоог ихэвчлэн Пифагорын хүн болох Метапонтын Гиппас (МЭӨ 500 оны орчим) гэж үздэг. Пифагорчуудын үед хангалттай жижиг, хуваагдашгүй уртын нэг нэгж байдаг гэж үздэг байсан бөгөөд энэ нь аль ч сегментэд бүхэл тооны удаа ордог. ] .

  Хиппас аль тоо нь үндэслэлгүй болохыг нотолсон тодорхой мэдээлэл байхгүй байна. Домогт өгүүлснээр тэрээр таван хошууны хажуугийн уртыг судалснаар олсон байна. Тиймээс энэ нь алтан харьцаа байсан гэж үзэх үндэслэлтэй. ] .

  Грекийн математикчид үүнийг харьцуулшгүй хэмжигдэхүүнүүдийн харьцаа гэж нэрлэдэг alogos(Үгээр хэлэхийн аргагүй), гэхдээ домогт өгүүлснээр тэд Хиппасусыг зохих ёсоор хүндэтгэдэггүй байв. Хиппас далайд аялж байхдаа энэ нээлтийг хийж, бусад Пифагорчууд "орчлон ертөнцийн бүх биетүүдийг бүхэл тоо болон тэдгээрийн харьцаа болгон бууруулж болно гэсэн сургаалыг үгүйсгэсэн орчлон ертөнцийн элементийг бий болгосноос" болж шидсэн гэсэн домог байдаг. Хиппасыг нээсэн нь Пифагорын математикийн хувьд ноцтой асуудал үүсгэж, тоонууд болон геометрийн биетүүд нэг бөгөөд салшгүй холбоотой гэсэн үндсэн таамаглалыг устгасан.

  Мөн тэд "шалтгаан" гэсэн утгатай "харьцаа" гэсэн латин үгнээс язгуураа гаргаж авсан. Шууд орчуулгад үндэслэн:

  • Рационал тоо нь "боломжийн тоо" юм.
  • Үүний дагуу иррационал тоо нь "үндэслэлгүй тоо" юм.

  Рационал тооны тухай ерөнхий ойлголт

  Рационал тоо нь дараах байдлаар бичиж болох тоо юм.

  1. Энгийн эерэг бутархай.
  2. Сөрөг энгийн бутархай.
  3. Тэг тоогоор (0).

  

  Өөрөөр хэлбэл, оновчтой тоонд дараахь тодорхойлолтууд хамаарна.

  • Аливаа натурал тоо нь угаасаа рациональ байдаг, учир нь аливаа натурал тоог энгийн бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно.
  • Аливаа бүхэл тоо, түүний дотор тэг тоо, учир нь дурын бүхэл тоог эерэг энгийн бутархай, сөрөг энгийн бутархай эсвэл тэг тоо болгон бичиж болно.
  • Аливаа энгийн бутархай, эерэг эсвэл сөрөг байх нь хамаагүй, оновчтой тооны тодорхойлолтод шууд ханддаг.
  • Тодорхойлолт нь холимог тоо, төгсгөлтэй аравтын бутархай эсвэл хязгааргүй үечилсэн бутархайг агуулж болно.

  Рационал тооны жишээ

  Рационал тоонуудын жишээг харцгаая.

  • Натурал тоо - "4", "202", "200".
  • Бүхэл тоо - "-36", "0", "42".
  • Энгийн бутархай.

  Дээрх жишээнүүдээс харахад энэ нь тодорхой харагдаж байна оновчтой тоо нь эерэг ба сөрөг аль аль нь байж болно. Мэдээжийн хэрэг, 0 (тэг) тоо нь эргээд оновчтой тоо бөгөөд эерэг эсвэл сөрөг тооны ангилалд хамаарахгүй.

  Иймд би ерөнхий боловсролын хөтөлбөрт дараах тодорхойлолтыг ашиглан сануулъя: “Рационал тоо” гэдэг нь x/y бутархай хэлбэрээр бичигдэх тоонууд бөгөөд энд x (тоологч) нь бүхэл тоо, y (хуваарагч) нь 1-р тоо юм. натурал тоо.

  Иррационал тооны тухай ерөнхий ойлголт ба тодорхойлолт

  Бид "рационал тоо"-оос гадна "иррационал тоо" гэгддэг. Эдгээр тоонуудыг товчхон тодорхойлохыг хичээцгээе.

  Эртний математикчид хүртэл дөрвөлжингийн диагональыг түүний хажуугийн дагуу тооцоолохыг хүсч байсан ч иррационал тоо байдаг талаар олж мэдсэн.
  Рационал тооны тодорхойлолт дээр үндэслэн та логик гинжийг үүсгэж, иррационал тооны тодорхойлолтыг өгч болно.
  Тиймээс, мөн чанартаа, эдгээр оновчтой бус бодит тоонууд нь зүгээр л иррационал тоонууд юм.
  Иррационал тоог илэрхийлдэг аравтын бутархай нь үечилсэн бөгөөд хязгааргүй биш юм.
  
  

  Иррационал тооны жишээ

  Тодорхой болгохын тулд иррационал тооны жижиг жишээг авч үзье. Бидний аль хэдийн ойлгосноор хязгааргүй аравтын бутархайг иррациональ гэж нэрлэдэг, жишээлбэл:

  • “-5.020020002...” гэсэн тоо (хоёрыг нэг, хоёр, гурав гэх мэт дарааллаар тусгаарласан нь тодорхой харагдаж байна. тэг)
  • “7.040044000444... (энд гинжин хэлхээнд дөрөв, тэгийн тоо нэгээр нэмэгдэж байгаа нь тодорхой байна) гэсэн тоо.
  • Хүн бүр Пи (3.1415...) тоог мэддэг. Тийм ээ, тийм - энэ нь бас үндэслэлгүй юм.

  Ерөнхийдөө бүх бодит тоо нь рационал ба иррациональ байдаг. Энгийнээр хэлбэл, иррационал тоог x/y энгийн бутархай хэлбэрээр илэрхийлэх боломжгүй.

  Ерөнхий дүгнэлт ба тоонуудын товч харьцуулалт

  Бид тоо бүрийг тусад нь авч үзсэн боловч оновчтой тоо ба иррационал тооны хоорондох ялгаа хэвээр байна.

  1. Квадрат язгуурыг гаргаж авах, тойргийг диаметрээр нь хуваах зэрэгт иррационал тоо гарч ирдэг.
  2. Рационал тоо нь энгийн бутархайг илэрхийлнэ.

  Хэд хэдэн тодорхойлолтоор нийтлэлээ дуусгая:

  • 0 (тэг)-д хуваахаас бусад рационал тоон дээр гүйцэтгэсэн арифметик үйлдэл нь эцэстээ рационал тоонд хүргэнэ.
  • Иррационал тоон дээр арифметик үйлдэл хийх эцсийн үр дүн нь рационал ба иррационал утгыг хоёуланг нь хүргэж болно.
  • Хэрэв хоёр тоо хоёулаа арифметик үйлдэлд оролцвол (хуваах эсвэл тэгээр үржүүлэхээс бусад тохиолдолд) үр дүн нь иррационал тоо болно.

  Жишээ:
  \(4\) нь рационал тоо, учир нь үүнийг \(\frac(4)(1)\) гэж бичиж болно;
  \(0.0157304\) нь мөн оновчтой, учир нь үүнийг \(\frac(157304)(10000000)\) хэлбэрээр бичиж болно;
  \(0.333(3)...\) - бөгөөд энэ нь оновчтой тоо: \(\frac(1)(3)\) хэлбэрээр илэрхийлж болно;
  \(\sqrt(\frac(3)(12))\) нь оновчтой, учир нь үүнийг \(\frac(1)(2)\) хэлбэрээр илэрхийлж болно. Үнэхээр бид хувиргалтын гинжин хэлхээг хийж чадна \(\sqrt(\frac(3)(12))\) \(=\)\(\sqrt(\frac(1)(4))\) \(= \) \ (\ frac(1)(2)\)

  
  

  Иррационал тообүхэл тоо болон хуваагчтай бутархай хэлбэрээр бичих боломжгүй тоо юм.

  Тийм учраас боломжгүй юм эцэс төгсгөлгүйбутархай, бүр үечилсэн бус. Тиймээс бие биенээ хуваахад иррационал тоо гарах бүхэл тоо байхгүй.

  Жишээ:
  \(\sqrt(2)≈1.414213562…\) нь иррационал тоо;
  \(π≈3.1415926… \) нь иррационал тоо;
  \(\log_(2)(5)≈2.321928…\) нь иррационал тоо юм.

  
  

  Жишээ (OGE-ээс өгсөн даалгавар). Аль илэрхийллийн утга нь рационал тоо вэ?
  1) \(\sqrt(18)\cdot\sqrt(7)\);
  2)\((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))\);
  3) \(\ frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))\);
  4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)\).

  Шийдэл:

  1) \(\sqrt(18)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(9\cdot 2\cdot 7)=3\sqrt(14)\) – \(14\)-ийн үндсийг авах боломжгүй, Энэ нь мөн тоог бүхэл тоогоор бутархай хэлбэрээр илэрхийлэх боломжгүй тул тоо нь иррациональ гэсэн үг юм.

  2) \((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))= (\sqrt(9)^2-\sqrt(14)^2)=9 -14=-5\) – язгуур үлдээгүй, тоог бутархай хэлбэрээр хялбархан илэрхийлж болно, жишээ нь \(\frac(-5)(1)\), энэ нь оновчтой гэсэн үг.

  3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))=\sqrt(\frac(22)(2))=\sqrt(\frac(11)(1))=\sqrt( 11)\) – үндсийг задлах боломжгүй - тоо нь иррациональ байна.

  4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)=\sqrt(9\cdot 6)+3\sqrt(6)=3\sqrt(6)+3\sqrt(6)=6\sqrt (6)\) нь мөн үндэслэлгүй юм.

  Иррационал тооны тодорхойлолт

  Иррационал тоо нь аравтын тэмдэглэгээнд төгсгөлгүй үе бус бутархай бутархайг илэрхийлдэг тоо юм.

  
  
  

  Жишээлбэл, натурал тоонуудын квадрат язгуурыг авах замаар олж авсан тоонууд нь иррациональ бөгөөд натурал тооны квадратууд биш юм. Гэхдээ бүх иррационал тоонуудыг квадрат язгуураар олж авдаггүй, учир нь хуваах замаар олж авсан pi тоо нь мөн иррациональ бөгөөд та натурал тооны квадрат язгуурыг гаргаж авах гэж оролдох замаар үүнийг олж авах магадлал багатай юм.

  Иррационал тооны шинж чанарууд

  Хязгааргүй аравтын бутархай хэлбэрээр бичигдсэн тооноос ялгаатай нь зөвхөн иррационал тоонуудыг үе үе бус хязгааргүй аравтын бутархай хэлбэрээр бичдэг.
  Хоёр сөрөг бус иррационал тооны нийлбэр нь рационал тоо болж төгсдөг.
  Иррационал тоонууд нь рационал тоонуудын багц дахь Дедекинд огтлолтыг тодорхойлдог бөгөөд тэдгээрийн доод ангилалд хамгийн том тоо байхгүй, дээд ангид жижиг нь байдаггүй.
  Аливаа бодит трансцендент тоо нь иррациональ юм.
  Бүх иррационал тоо нь алгебрийн эсвэл трансцендентал юм.
  Шугаман дээрх иррационал тоонуудын олонлог нь нягт байрладаг бөгөөд түүний дурын хоёр тооны хооронд иррационал тоо байх нь гарцаагүй.
  Иррационал тооны олонлог нь хязгааргүй, тоолж баршгүй бөгөөд 2-р ангиллын олонлог юм.
  Рационал тоон дээр 0-д хуваахаас бусад аливаа арифметик үйлдлийг гүйцэтгэхэд үр дүн нь рационал тоо болно.
  Иррационал тоонд рационал тоог нэмэхэд үр дүн нь үргэлж иррационал тоо болно.
  Иррационал тоонуудыг нэмэхэд бид оновчтой тоо гарч ирж болно.
  Иррационал тооны олонлог тэгш биш байна.
  

  Тоо бол үндэслэлгүй зүйл биш юм

  Заримдаа тоо нь иррациональ эсэх, ялангуяа тоо нь аравтын бутархай эсвэл тоон илэрхийлэл, язгуур эсвэл логарифм хэлбэртэй байвал хариулахад нэлээд хэцүү байдаг.

  Тиймээс аль тоо нь үндэслэлгүй болохыг мэдэх нь илүүц байх болно. Хэрэв бид иррационал тоонуудын тодорхойлолтыг дагаж мөрдвөл рационал тоо нь иррациональ байж болохгүй гэдгийг бид аль хэдийн мэддэг болсон.

  Иррационал тоонууд нь:

  Нэгдүгээрт, бүх натурал тоо;
  Хоёрдугаарт, бүхэл тоо;
  Гуравдугаарт, энгийн бутархай;
  Дөрөвдүгээрт, янз бүрийн холимог тоо;
  Тавдугаарт, эдгээр нь хязгааргүй үечилсэн аравтын бутархай юм.
  

  Дээр дурдсан бүхнээс гадна +, -, , : гэх мэт арифметик үйлдлүүдийн тэмдгээр гүйцэтгэгддэг рационал тоонуудын аль ч хослол нь иррационал тоо байж болохгүй, учир нь энэ тохиолдолд хоёр рационал тооны үр дүн мөн адил байх болно. оновчтой тоо.

  Одоо ямар тоонууд иррациональ болохыг харцгаая:

  
  
  

  Энэхүү нууцлаг математик үзэгдлийн шүтэн бишрэгчид Пигийн талаар илүү их мэдээлэл хайж, нууцыг нь тайлах гэж оролддог фэн клуб байдгийг та мэдэх үү? Аравтын бутархайн дараа тодорхой тооны Pi тоог цээжээр мэддэг хүн бүр энэ клубын гишүүн болох боломжтой;

  Германд ЮНЕСКО-гийн хамгаалалтад Кастадел Монте ордон байдгийг та мэдэх үү, үүний ачаар та Пи-г тооцоолж болно. II Фредерик хаан бүх ордныг энэ тоонд зориулав.

  Тэд Бабелийн цамхаг барихдаа Пи тоог ашиглахыг оролдсон нь тогтоогджээ. Гэвч харамсалтай нь энэ нь тухайн үед Pi-ийн утгын нарийн тооцоог хангалттай судлаагүй байсан тул энэ нь төслийг сүйрүүлэхэд хүргэсэн.

  Дуучин Кейт Буш шинэ дискэндээ "Пи" нэртэй дуу бичүүлсэн бөгөөд үүнд алдарт 3, 141... дугаарын нэг зуун хорин дөрвөн дугаар сонсогдов.