Хоёр тал дээр суурилсан гурвалжны томьёоны талбай. Гурвалжны талбай

Гурвалжны талбайг тодорхойлохын тулд та янз бүрийн томъёог ашиглаж болно. Бүх аргуудаас хамгийн хялбар бөгөөд хамгийн их ашиглагддаг нь өндрийг суурийн уртаар үржүүлж, дараа нь үр дүнг хоёроор хуваах явдал юм. Гэсэн хэдий ч энэ арга нь цорын ганц аргаас хол байна. Гурвалжны талбайг янз бүрийн томъёо ашиглан хэрхэн олохыг доороос уншиж болно.

Тэгш өнцөгт, тэгш өнцөгт, тэгш өнцөгт гурвалжны тодорхой төрлүүдийн талбайг тооцоолох арга замыг тусад нь авч үзэх болно. Бид томьёо тус бүрийн мөн чанарыг ойлгоход туслах товч тайлбарыг дагалддаг.

Гурвалжны талбайг олох түгээмэл аргууд

Доорх томьёо нь тусгай тэмдэглэгээг ашигладаг. Бид тус бүрийг тайлах болно:

• a, b, c - бидний авч үзэж буй зургийн гурван талын урт;
• r нь бидний гурвалжинд бичиж болох тойргийн радиус;
• R нь тойргийн радиусыг тойрон тайлбарлаж болно;
• α - b ба c талуудын үүсгэсэн өнцгийн хэмжээ;
• β нь a ба c хоорондох өнцгийн хэмжээ;
• γ - a ба b талуудын үүсгэсэн өнцгийн хэмжээ;
• h нь α өнцгөөс а тал руу буулгасан гурвалжны өндөр;
• p – a, b, c талуудын нийлбэрийн хагас.

Гурвалжны талбайг яагаад ийм байдлаар олж болох нь логикийн хувьд ойлгомжтой юм. Гурвалжны нэг тал нь диагональ хэлбэрээр ажиллах параллелограммыг хялбархан хийж болно. Параллелограммын талбайг түүний аль нэг талын уртыг түүнд татсан өндрийн утгаар үржүүлэх замаар олно. Диагональ нь энэ нөхцөлт параллелограммыг 2 ижил гурвалжинд хуваана. Тиймээс бидний анхны гурвалжны талбай нь энэ туслах параллелограммын талбайн хагастай тэнцүү байх ёстой нь тодорхой байна.

S=½ a b sin γ

Энэ томъёоны дагуу гурвалжны талбайг түүний хоёр талын уртыг, өөрөөр хэлбэл a ба b-ийг тэдгээрийн үүсгэсэн өнцгийн синусаар үржүүлснээр олно. Энэ томъёо нь өмнөхөөсөө логикоор үүсэлтэй. Хэрэв бид өндрийг β өнцгөөс b тал руу буулгавал тэгш өнцөгт гурвалжны шинж чанарын дагуу а талын уртыг γ өнцгийн синусаар үржүүлэхэд гурвалжны өндөр, өөрөөр хэлбэл h болно. .

Тухайн зургийн талбайг дотор нь бичиж болох тойргийн радиусын хагасыг периметрээр нь үржүүлэх замаар олно. Өөрөөр хэлбэл, хагас периметр ба дурдсан тойргийн радиусын үржвэрийг олно.

S= a b c/4R

Энэ томьёоны дагуу зургийн хажуугийн үржвэрийг тойргийн 4 радиусаар хуваах замаар бидэнд хэрэгтэй утгыг олж болно.

Эдгээр томьёо нь бүх нийтийнх бөгөөд тэдгээр нь аливаа гурвалжны талбайг (масштаб, тэгш өнцөгт, тэгш өнцөгт, тэгш өнцөгт) тодорхойлох боломжийг олгодог. Үүнийг илүү нарийн тооцоолол ашиглан хийж болох бөгөөд бид үүнийг нарийвчлан үзэхгүй.

Тодорхой шинж чанартай гурвалжны талбайнууд

Тэгш өнцөгт гурвалжны талбайг хэрхэн олох вэ? Энэ зургийн онцлог нь түүний хоёр тал нь нэгэн зэрэг өндөр юм. Хэрэв a ба b нь хөл бөгөөд c нь гипотенуз болвол бид талбайг дараах байдлаар олно.

Хоёр талт гурвалжны талбайг хэрхэн олох вэ? Энэ нь а урттай хоёр тал, b урттай нэг талтай. Үүний үр дүнд, түүний талбайг 2-т a талын квадратын үржвэрийг γ өнцгийн синусын үржвэрт хуваах замаар тодорхойлж болно.

Тэгш талт гурвалжны талбайг хэрхэн олох вэ? Үүнд бүх талуудын урт нь a-тай тэнцүү бөгөөд бүх өнцгийн хэмжээ нь α байна. Түүний өндөр нь а талын урт ба язгуур 3-ын үржвэрийн хагастай тэнцүү байна. Энгийн гурвалжны талбайг олохын тулд а талын квадратыг 3-ын квадрат язгуураар үржүүлж, 3-т хуваах хэрэгтэй. 4.

Заримдаа амьдралд мартагдсан сургуулийн мэдлэгийг хайж олохын тулд ой санамжаа судлах шаардлагатай болдог. Жишээлбэл, та гурвалжин хэлбэртэй газрын талбайг тодорхойлох, эсвэл орон сууц эсвэл хувийн байшинд дахин засвар хийх цаг болсон, мөн гадаргуу дээр хэр их материал шаардагдахыг тооцоолох хэрэгтэй. гурвалжин хэлбэртэй. Та ийм асуудлыг хэдхэн минутын дотор шийдэж чаддаг байсан үе байсан, гэхдээ одоо та гурвалжингийн талбайг хэрхэн тодорхойлохоо санах гэж маш их хичээж байна уу?

Үүнд санаа зовох хэрэггүй! Эцсийн эцэст, хүний ​​тархи удаан ашиглагдаагүй мэдлэгийг хаа нэгтээ алслагдсан булан руу шилжүүлэхээр шийдсэн нь хэвийн үзэгдэл бөгөөд заримдаа үүнийг олж авахад тийм ч хялбар байдаггүй. Ийм асуудлыг шийдэхийн тулд мартагдсан сургуулийн мэдлэгийг хайж олохгүй байхын тулд энэ нийтлэлд гурвалжны шаардлагатай хэсгийг олоход хялбар болгох янз бүрийн аргуудыг багтаасан болно.

Гурвалжин бол хамгийн бага боломжит талуудын тоогоор хязгаарлагддаг олон өнцөгт хэлбэр гэдгийг сайн мэддэг. Зарчмын хувьд аливаа олон өнцөгтийг оройг нь хажуу талыг нь огтолдоггүй сегментүүдээр холбосноор хэд хэдэн гурвалжинд хувааж болно. Тиймээс гурвалжинг мэддэг тул та бараг ямар ч зургийн талбайг тооцоолж болно.

Амьдралд тохиолдож болох бүх гурвалжнуудын дотроос дараахь төрлүүдийг ялгаж салгаж болно: тэгш өнцөгт.

Гурвалжны талбайг тооцоолох хамгийн хялбар арга бол түүний өнцгийн аль нэг нь зөв, өөрөөр хэлбэл тэгш өнцөгт гурвалжны хувьд юм. Энэ нь хагас тэгш өнцөгт гэдгийг харахад хялбар байдаг. Тиймээс түүний талбай нь бие биентэйгээ тэгш өнцөг үүсгэдэг талуудын бүтээгдэхүүний хагастай тэнцүү байна.

Хэрэв бид гурвалжны аль нэг оройгоос эсрэг тал руу буулгасан өндрийг ба суурь гэж нэрлэдэг энэ талын уртыг мэддэг бол талбайг өндөр ба суурийн үржвэрийн хагасаар тооцно. Үүнийг дараах томъёогоор бичнэ.

S = 1/2*b*h, үүнд

S - гурвалжны шаардлагатай талбай;

b, h - гурвалжны өндөр ба суурь тус тус.

Тэгш өнцөгт гурвалжны талбайг тооцоолоход маш хялбар байдаг, учир нь өндөр нь эсрэг талыг хоёр хуваах бөгөөд хэмжихэд хялбар байдаг. Хэрэв талбайг тодорхойлсон бол тэгш өнцөг үүсгэгч талуудын аль нэгний уртыг өндрөөр авах нь тохиромжтой.

Энэ бүхэн мэдээж сайн, гэхдээ гурвалжны аль нэг өнцөг зөв эсэхийг яаж тодорхойлох вэ? Хэрэв бидний зургийн хэмжээ бага бол бид барилгын өнцөг, зургийн гурвалжин, ил захидал эсвэл тэгш өнцөгт хэлбэртэй өөр зүйлийг ашиглаж болно.

Гэхдээ гурвалжин газартай бол яах вэ? Энэ тохиолдолд дараах байдлаар ажиллана уу: зөв өнцгийн дээд талаас нэг талаас 3-ын үржвэр (30 см, 90 см, 3 м) зайг тоолж, нөгөө талаас 4-ийн үржвэрийг ижил хэмжээгээр хэмжинэ. пропорциональ (40 см, 160 см, 4 м). Одоо та эдгээр хоёр сегментийн төгсгөлийн цэгүүдийн хоорондох зайг хэмжих хэрэгтэй. Хэрэв үр дүн нь 5-ын үржвэр (50 см, 250 см, 5 м) байвал өнцөг нь зөв гэж хэлж болно.

Хэрэв манай зургийн гурван тал бүрийн урт нь мэдэгдэж байгаа бол гурвалжны талбайг Хероны томъёогоор тодорхойлж болно. Үүнийг илүү энгийн хэлбэртэй болгохын тулд хагас периметр гэж нэрлэгддэг шинэ утгыг ашигладаг. Энэ бол манай гурвалжны бүх талуудын нийлбэрийг хагасаар хуваасан юм. Хагас периметрийг тооцоолсны дараа та томъёог ашиглан талбайг тодорхойлж эхэлж болно.

S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), хаана

sqrt - квадрат язгуур;

p - хагас периметрийн утга (p = (a+b+c)/2);

a, b, c - гурвалжны ирмэг (тал).

Гэхдээ гурвалжин жигд бус хэлбэртэй байвал яах вэ? Энд хоёр боломжит арга бий. Тэдний эхнийх нь ийм дүрсийг хоёр тэгш өнцөгт гурвалжин болгон хуваахыг оролдох бөгөөд тэдгээрийн талбайн нийлбэрийг тусад нь тооцож, дараа нь нэмнэ. Эсвэл хоёр талын хоорондох өнцөг болон эдгээр талуудын хэмжээ нь мэдэгдэж байгаа бол дараах томъёог хэрэглэнэ.

S = 0.5 * ab * sinC, хаана

a,b - гурвалжны талууд;

c нь эдгээр талуудын хоорондох өнцгийн хэмжээ.

Сүүлчийн тохиолдол нь практикт ховор тохиолддог боловч амьдралд бүх зүйл боломжтой байдаг тул дээрх томъёо нь илүүдэхгүй байх болно. Таны тооцоололд амжилт хүсье!

Дараах байдлаар:

S = ½ * a * h,

Хаана:
S - гурвалжны талбай,
a нь түүний хажуугийн урт,
h нь энэ тал руу буулгасан өндөр.

Хажуугийн урт ба өндрийг ижил хэмжлийн нэгжээр харуулах ёстой. Энэ тохиолдолд гурвалжны талбайг харгалзах "" нэгжээр авна.

Жишээ.
20 см урт скален гурвалжны нэг талд эсрэг талын оройноос 10 см урттай перпендикуляр доошлоно.
Гурвалжны талбай шаардлагатай.
Шийдэл.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (см²).

Хэрэв масштабтай гурвалжны аль нэг хоёр талын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцөг тодорхой байвал дараах томъёог ашиглана уу.

S = ½ * a * b * sinγ,

Үүнд: a, b нь дурын хоёр талын урт, γ нь тэдгээрийн хоорондох өнцгийн утга юм.

Практикт, жишээлбэл, газрын талбайг хэмжихдээ дээрх томъёог ашиглах нь заримдаа хэцүү байдаг, учир нь нэмэлт барилга байгууламж, өнцгийг хэмжих шаардлагатай байдаг.

Хэрэв та гурвалжны гурван талын уртыг мэддэг бол Хэроны томъёог ашиглана уу.

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

a, b, c - гурвалжны талуудын урт;
p – хагас периметр: p = (a+b+c)/2.

Хэрэв бүх талуудын уртаас гадна гурвалжинд дүрслэгдсэн тойргийн радиус мэдэгдэж байвал дараах жижиг томьёог ашиглана уу.

Үүнд: r – бичээстэй тойргийн радиус (р – хагас периметр).

Тойргийн радиус ба түүний талуудын уртыг ашиглан масштабтай гурвалжны талбайг тооцоолохын тулд дараах томъёог ашиглана уу.

Үүнд: R – хүрээлэгдсэн тойргийн радиус.

Хэрэв гурвалжны аль нэг талын урт ба гурван өнцгийн утгууд мэдэгдэж байгаа бол (зарчмын хувьд хоёр нь хангалттай - гурав дахь нь гурвалжны гурван өнцгийн нийлбэрийн тэгшитгэлээр тооцогдоно - 180º), дараа нь томъёог ашиглана уу:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

энд α нь а талын эсрэг талын өнцгийн утга;
β, γ - гурвалжны үлдсэн хоёр өнцгийн утгууд.

Тогтмол гурвалжин нь гурван тэнцүү талтай гурвалжин юм. Энэ нь дараах шинж чанаруудтай: ердийн гурвалжны бүх талууд хоорондоо тэнцүү, бүх өнцөг нь 60 градустай тэнцүү байна. Тогтмол гурвалжин нь тэгш өнцөгт юм.

Танд хэрэгтэй болно

• Геометрийн мэдлэг.

Зааварчилгаа

a=7 урттай жирийн гурвалжны талыг өгье. Ийм гурвалжны талыг мэддэг тул та түүний талбайг хялбархан тооцоолж болно. Үүний тулд дараахыг ашиглана: S = (3^(1/2)*a^2)/4. Энэ томьёонд a=7 утгыг орлуулаад дараахийг авъя: S = (7*7*3^1/2)/4 = 49 * 1.7 / 4 = 20.82. Ийнхүү a=7 талтай тэгш талт гурвалжны талбай S=20.82-тай тэнцүү болохыг бид олж мэдсэн.

Хэрэв тойргийн радиусыг өгвөл дараах байдлаар харагдана.
S = 3*3^(1/2)*r^2, энд r нь бичээстэй тойргийн радиус юм. Бичсэн тойргийн радиусыг r=4 гэж үзье. Үүнийг өмнө нь бичсэн томъёонд орлуулаад дараах илэрхийллийг авъя: S = 3*1.7*4*4 = 81.6. Өөрөөр хэлбэл, бичээстэй тойргийн радиус 4-тэй тэнцүү бол тэгш талт гурвалжны талбай 81.6-тай тэнцүү байна.

Хязгаарлагдсан тойргийн мэдэгдэж буй радиустай гурвалжны талбайн томъёо нь дараах байдалтай байна: S = 3*3^(1/2)*R^2/4, энд R нь хүрээлэгдсэн тойргийн радиус юм. . R=5 гэж бодъё, энэ утгыг томъёогоор орлуул: S = 3*1.7*25/4 = 31.9. Хязгаарлагдсан тойргийн радиус 5-тай тэнцүү бол гурвалжны талбай 31.9 байна.

тэмдэглэл

Гурвалжны талбай нь үргэлж эерэг байдаг ба гурвалжны хажуугийн урт, бичээстэй, хүрээлэгдсэн тойргийн радиусууд.

Хэрэгтэй зөвлөгөө

Адил талт гурвалжин дахь бичээстэй ба хүрээлэгдсэн тойргийн радиус нь хоёр дахин ялгаатай тул үүнийг мэдэж байгаа тул та зөвхөн нэг томьёог, жишээлбэл, бичээстэй тойргийн радиусаар дамжуулан санаж, хоёр дахь томъёог гаргаж авах боломжтой.

Гурвалжны аль нэг талын урт ба зэргэлдээх өнцгийн утгууд нь мэдэгдэж байгаа бол түүний талбайг хэд хэдэн аргаар тооцоолж болно. Тооцооллын томъёо бүр нь тригонометрийн функцуудыг ашиглахыг агуулдаг боловч энэ нь айдас төрүүлэхгүй байх ёстой - тэдгээрийг тооцоолохын тулд үйлдлийн системд суурилагдсан тооцоолуур байгааг дурдахгүй байхын тулд интернетэд холбогдоход хангалттай.

Зааварчилгаа

Талбайн талбайг (S) аль нэг талын урт (A) ба зэргэлдээ өнцгүүдийн утгуудаас (α ба β) тооцоолох эхний сонголт нь эдгээр өнцгийг тооцоолох явдал юм. Энэ тохиолдолд талбай нь мэдэгдэж буй өнцгийн котангентын хоёр дахин их хэмжээгээр хуваагдсан мэдэгдэж буй талын уртын квадрат болно: S = A*A/(2*(ctg(α)+ctg(β))). Жишээлбэл, мэдэгдэж буй талын урт нь 15 см, зэргэлдээх өнцөг нь 40 ° ба 60 ° бол талбайн тооцоо дараах байдалтай байна: 15*15/(2*(ctg(40)+ctg(60) ))) = 225/(2*(-0.895082918+3.12460562)) = 225/4.4590454 = 50.4592305 квадрат сантиметр.

Талбайг тооцоолох хоёр дахь хувилбар нь котангентын оронд мэдэгдэж буй өнцгийн синусыг ашигладаг. Энэ хувилбарт талбай нь мэдэгдэж буй талын уртын квадраттай тэнцүү бөгөөд өнцөг бүрийн синусаар үржүүлж, эдгээр өнцгийн нийлбэрийн синусыг хоёр дахин хуваана: S = A*A*sin(α). )*sin(β)/(2*sin(α + β) ). Жишээлбэл, мэдэгдэж буй тал нь 15 см, зэргэлдээх өнцөг нь 40 ба 60 градустай ижил гурвалжны хувьд талбайн тооцоо дараах байдалтай байна: (15*15*sin(40)*sin(60))/( 2* нүгэл(40+60)) = 225*0.74511316*(-0.304810621)/(2*(-0.506365641)) = -51.1016411/-1.01273128 = 50.459235 метр квадрат.

Гурвалжны талбайг тооцоолох гурав дахь сонголт нь өнцгийн шүргэгчийг ашигладаг. Талбай нь мэдэгдэж буй талын уртын квадраттай тэнцүү байх ба өнцгийн тус бүрийн шүргэгчээр үржүүлж, эдгээр өнцгийн шүргэгчийн нийлбэрийг хоёр дахин хуваана: S = A*A*tg(α)*tg. (β)/2(tg(α)+tg(β) ). Жишээлбэл, өмнөх алхмуудад ашигласан гурвалжны тал нь 15 см, зэргэлдээ өнцөг нь 40° ба 60°-ын хувьд талбайн тооцоо дараах байдалтай байна: (15*15*tg(40)*tg(60). ))/(2*(тг (40)+тг(60)) = (225*(-1.11721493)*0.320040389)/(2*(-1.11721493+0.320040389)) = -80.4496277 = -80.4496277 = -80.4496277 цент 225 цент. метр.

Жишээлбэл, Google хайлтын системийн тооцоолуур ашиглан практик тооцооллыг хийж болно. Үүнийг хийхийн тулд тоон утгыг томъёонд орлуулж, хайлтын асуулгын талбарт оруулна уу.

Зөвлөгөө 4: Гурвалжин ба тэгш өнцөгтийн талбайг хэрхэн олох вэ

Гурвалжин ба тэгш өнцөгт нь Евклидийн геометрийн хамгийн энгийн хавтгай геометрийн хоёр дүрс юм. Эдгээр олон өнцөгтүүдийн хажуугаар үүссэн периметрийн дотор талбарыг олон янзаар тодорхойлж болох хавтгайн тодорхой хэсэг байдаг. Тодорхой тохиолдол бүрийн аргыг сонгох нь тоонуудын мэдэгдэж буй параметрүүдээс хамаарна.

Геометрийн дүрсийн талбай- энэ зургийн хэмжээг харуулсан геометрийн дүрсийн тоон шинж чанар (энэ зургийн хаалттай контураар хязгаарлагдсан гадаргуугийн хэсэг). Талбайн хэмжээг түүнд агуулагдах квадрат нэгжийн тоогоор илэрхийлнэ.

Гурвалжингийн талбайн томъёо

1. Гурвалжны талбайн хажуу ба өндрийн томъёо
   Гурвалжны талбайгурвалжны хажуугийн урт ба энэ тал руу татсан өндрийн уртын үржвэрийн хагастай тэнцүү
   
2. Гурван тал ба тойргийн радиус дээр суурилсан гурвалжны талбайн томъёо
   
3. Гурван тал ба бичээстэй тойргийн радиус дээр суурилсан гурвалжны талбайн томъёо
   Гурвалжны талбайгурвалжны хагас периметр ба бичээстэй тойргийн радиусын үржвэртэй тэнцүү байна.
   
S нь гурвалжны талбай,
- гурвалжны талуудын урт,
- гурвалжны өндөр,
- талуудын хоорондох өнцөг ба,
- бичээстэй тойргийн радиус,
R - тойргийн радиус,

Квадрат талбайн томъёо

1. Хажуугийн урттай дөрвөлжин талбайн томъёо
   Дөрвөлжин талбайтүүний хажуугийн уртын квадраттай тэнцүү байна.
2. Диагональ уртын дагуу квадратын талбайн томъёо
   Дөрвөлжин талбайтүүний диагональ уртын квадратын хагастай тэнцүү байна.
   

   S =	1	2
   	2

S нь квадратын талбай,
- талбайн хажуугийн урт,
- квадратын диагональ урт.

Тэгш өнцөгтийн талбайн томъёо

Тэгш өнцөгтийн талбайтүүний зэргэлдээх хоёр талын уртын үржвэртэй тэнцүү байна

S нь тэгш өнцөгтийн талбай,
- тэгш өнцөгтийн талуудын урт.

Параллелограммын талбайн томьёо

1. Хажуугийн урт ба өндрийг харгалзан параллелограммын талбайн томъёо
   Параллелограммын талбай
2. Хоёр тал ба тэдгээрийн хоорондох өнцөг дээр суурилсан параллелограммын талбайн томъёо
   Параллелограммын талбайталуудын уртыг тэдгээрийн хоорондох өнцгийн синусаар үржүүлсэнтэй тэнцүү байна.
   

   a b sin α

S нь параллелограммын талбай,
- параллелограммын талуудын урт;
- параллелограммын өндрийн урт,
- параллелограммын талуудын хоорондох өнцөг.

Ромбын талбайн томъёо

1. Хажуугийн урт ба өндрөөс хамааран ромбын талбайн томъёо
   Ромбын талбайтүүний хажуугийн урт ба энэ тал руу буулгасан өндрийн уртын үржвэртэй тэнцүү байна.
2. Хажуугийн урт ба өнцгийг харгалзан ромбын талбайн томъёо
   Ромбын талбайнь түүний хажуугийн уртын квадрат ба ромбын талуудын хоорондох өнцгийн синусын үржвэртэй тэнцүү байна.
3. Диагональуудын урт дээр үндэслэн ромбын талбайн томъёо
   Ромбын талбайтүүний диагональуудын уртын үржвэрийн хагастай тэнцүү байна.
S нь ромбын талбай,
- ромбын хажуугийн урт,
- ромбын өндрийн урт,
- ромбын талуудын хоорондох өнцөг;
1, 2 - диагональуудын урт.

Трапец хэлбэрийн талбайн томъёо

1. Трапецын Хэроны томъёо

   Энд S нь трапецын талбай,
   - трапецын суурийн урт;
   - трапецын хажуугийн урт;
   

Талбайн тухай ойлголт

Аливаа геометрийн дүрс, ялангуяа гурвалжингийн талбайн тухай ойлголт нь дөрвөлжин гэх мэт дүрстэй холбоотой байх болно. Аливаа геометрийн дүрсийн нэгж талбайн хувьд бид тал нь нэгтэй тэнцүү квадратын талбайг авна. Бүрэн гүйцэд болгохын тулд геометрийн дүрсүүдийн талбайн тухай ойлголтын хоёр үндсэн шинж чанарыг эргэн санацгаая.

Өмч 1:Хэрэв геометрийн дүрсүүд тэнцүү бол тэдгээрийн талбайнууд нь тэнцүү байна.

Үл хөдлөх хөрөнгө 2:Аливаа дүрсийг хэд хэдэн тоонд хувааж болно. Түүнээс гадна анхны зургийн талбай нь түүний бүх бүрэлдэхүүн хэсгийн талбайн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Нэг жишээ авч үзье.

Жишээ 1

Мэдээжийн хэрэг, гурвалжны нэг тал нь тэгш өнцөгтийн диагональ бөгөөд нэг тал нь $5$ урттай ($5$ нүд байгаа тул), нөгөө тал нь $6$ ($6$ нүдтэй тул) байна. Тиймээс энэ гурвалжны талбай нь ийм тэгш өнцөгтийн талтай тэнцүү байх болно. Тэгш өнцөгтийн талбай нь

Дараа нь гурвалжны талбай тэнцүү байна

Хариулт: 15 доллар.

Дараа нь бид гурвалжны талбайг олох хэд хэдэн аргыг авч үзэх болно, тухайлбал өндөр ба суурийг ашиглан Хероны томъёо ба тэгш талт гурвалжны талбайг ашиглан.

Гурвалжны өндөр ба суурийг ашиглан талбайг хэрхэн олох вэ

Теорем 1

Гурвалжны талбайг хажуугийн урт ба тэр тал хүртэлх өндрийн үржвэрийн хагасаар олж болно.

Математикийн хувьд иймэрхүү харагдаж байна

$S=\frac(1)(2)αh$

Энд $a$ нь хажуугийн урт, $h$ нь түүнд татсан өндөр юм.

Баталгаа.

$AC=α$ байх $ABC$ гурвалжинг авч үзье. $BH$ өндрийг энэ тал руу татсан бөгөөд энэ нь $h$-тай тэнцүү байна. Зураг 2-т үзүүлсэн шиг $AXYC$ квадрат хүртэл бүтээцгээе.

$AXBH$ тэгш өнцөгтийн талбай нь $h\cdot AH$, $HBYC$ тэгш өнцөгтийн талбай нь $h\cdot HC$ байна. Дараа нь

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Тиймээс гурвалжны шаардагдах талбай нь 2-р шинж чанараар тэнцүү байна

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Теорем нь батлагдсан.

Жишээ 2

Хэрэв нүд нэгтэй тэнцүү талбайтай бол доорх зураг дээрх гурвалжны талбайг ол

Энэ гурвалжны суурь нь $9$-тэй тэнцүү байна ($9$ нь $9$ квадрат тул). Өндөр нь бас 9 доллар. Дараа нь теорем 1-ээр бид олж авна

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40.5$

Хариулт: 40.5 доллар.

Хероны томъёо

Теорем 2

$α$, $β$, $γ$ гурвалжны гурван талыг өгвөл түүний талбайг дараах байдлаар олж болно.

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

энд $ρ$ гэдэг нь энэ гурвалжны хагас периметр гэсэн үг.

Баталгаа.

Дараах зургийг авч үзье.

Пифагорын теоремоор бид $ABH$ гурвалжингаас олж авдаг

Пифагорын теоремын дагуу $CBH$ гурвалжингаас бид байна

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Эдгээр хоёр харилцаанаас бид тэгш байдлыг олж авдаг

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

$ρ=\frac(α+β+γ)(2)$ тул $α+β+γ=2ρ$ гэсэн үг.

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Теорем 1-ээр бид олж авна

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$