Ukuran darjah sudut tersurat dan pusat. Bulatan dan sudut bertulis

Sudut ABC ialah sudut tersurat. Ia terletak pada arka AC, tertutup di antara sisinya (Gamb. 330).

Teorem. Sudut tersurat diukur dengan separuh lengkok yang dipintasnya.

Ini harus difahami seperti berikut: sudut tersurat mengandungi sebanyak darjah sudut, minit dan saat seperti darjah lengkok, minit dan saat terkandung dalam separuh lengkok di mana ia terletak.

Dalam membuktikan teorem ini, kita perlu mempertimbangkan tiga kes.

Kes pertama. Pusat bulatan terletak pada sisi sudut yang tertera (Gamb. 331).

Biarkan ∠ABC ialah sudut tersurat dan pusat bulatan O terletak pada sisi BC. Ia diperlukan untuk membuktikan bahawa ia diukur dengan separuh lengkok AC.

Sambungkan titik A ke tengah bulatan. Kami mendapat isosceles \(\Delta\)AOB, di mana AO = OB, sebagai jejari bulatan yang sama. Oleh itu, ∠A = ∠B.

∠AOC adalah di luar segi tiga AOB, jadi ∠AOC = ∠A + ∠B, dan oleh kerana sudut A dan B adalah sama, ∠B ialah 1/2 ∠AOC.

Tetapi ∠AOC diukur dengan lengkok AC, oleh itu ∠B diukur dengan separuh daripada lengkok AC.

Contohnya, jika \(\breve(AC)\) mengandungi 60°18', maka ∠B mengandungi 30°9'.

Kes kedua. Pusat bulatan terletak di antara sisi sudut tertulis (Gamb. 332).

Biarkan ∠ABD ialah sudut tersurat. Pusat bulatan O terletak di antara sisinya. Ia diperlukan untuk membuktikan bahawa ∠ABD diukur dengan separuh daripada lengkok AD.

Untuk membuktikannya, mari kita lukis diameter BC. Sudut ABD berpecah kepada dua sudut: ∠1 dan ∠2.

∠1 diukur dengan separuh daripada lengkok AC, dan ∠2 diukur dengan separuh daripada lengkok CD, oleh itu, keseluruhan ∠ABD diukur dengan 1/2 \(\breve(AC)\) + 1/2 \( \breve(CD)\), iaitu separuh daripada lengkok AD.

Contohnya, jika \(\breve(AD)\) mengandungi 124°, maka ∠B mengandungi 62°.

Kes ketiga. Pusat bulatan terletak di luar sudut tertera (Gamb. 333).

Biarkan ∠MAD ialah sudut tersurat. Pusat bulatan O berada di luar sudut. Ia diperlukan untuk membuktikan bahawa ∠MAD diukur dengan separuh daripada lengkok MD.

Untuk membuktikannya, mari kita lukis diameter AB. ∠MAD = ∠MAB - ∠DAB. Tetapi ∠MAB mengukur 1/2 \(\breve(MB)\) dan ∠DAB mengukur 1/2 \(\breve(DB)\).

Oleh itu, ∠MAD mengukur 1 / 2 (\(\breve(MB) - \breve(DB))\), iaitu 1 / 2 \(\breve(MD)\).

Contohnya, jika \(\breve(MD)\) mengandungi 48° 38", maka ∠MAD mengandungi 24° 19' 8".

Akibat
1. Semua sudut tersurat berdasarkan lengkok yang sama adalah sama antara satu sama lain, kerana ia diukur dengan separuh daripada lengkok yang sama (Gamb. 334, a).

2. Sudut tertulis berdasarkan diameter ialah sudut tegak kerana ia berdasarkan setengah bulatan. Separuh daripada bulatan mengandungi 180 darjah arka, yang bermaksud bahawa sudut berdasarkan diameter mengandungi 90 darjah sudut (Rajah 334, b).

Konsep sudut tersurat dan pusat

Mari kita mula-mula memperkenalkan konsep sudut pusat.

Catatan 1

Perhatikan bahawa ukuran darjah sudut pusat adalah sama dengan ukuran darjah lengkok yang dipintasnya.

Kami kini memperkenalkan konsep sudut tersurat.

Definisi 2

Sudut yang bucunya terletak pada bulatan dan sisinya bersilang dengan bulatan yang sama dipanggil sudut tersurat (Rajah 2).

Rajah 2. Sudut tersurat

Teorem sudut tersurat

Teorem 1

Ukuran sudut tersurat ialah separuh daripada ukuran lengkok yang dipintasnya.

Bukti.

Biarkan kita diberi bulatan berpusat pada titik $O$. Nyatakan sudut tersurat $ACB$ (Rajah 2). Tiga kes berikut adalah mungkin:

• Sinar $CO$ bertepatan dengan beberapa sisi sudut. Biarkan ini menjadi sisi $CB$ (Gamb. 3).

Rajah 3

Dalam kes ini, lengkok $AB$ adalah kurang daripada $(180)^(()^\circ )$, maka sudut pusat $AOB$ adalah sama dengan lengkok $AB$. Oleh kerana $AO=OC=r$, segitiga $AOC$ ialah sama kaki. Oleh itu, sudut tapak $CAO$ dan $ACO$ adalah sama. Menurut teorem pada sudut luar segitiga, kita mempunyai:

• Ray $CO$ membahagikan sudut pedalaman kepada dua sudut. Biarkan ia bersilang dengan bulatan pada titik $D$ (Rajah 4).

Rajah 4

Kita mendapatkan

• Ray $CO$ tidak membahagikan sudut pedalaman kepada dua sudut dan tidak bertepatan dengan mana-mana sisinya (Rajah 5).

Rajah 5

Pertimbangkan secara berasingan sudut $ACD$ dan $DCB$. Dengan apa yang dibuktikan dalam item 1, kita dapat

Kita mendapatkan

Teorem telah terbukti.

Jom bawak akibat daripada teorem ini.

Akibat 1: Sudut tersurat yang bersilang pada lengkok yang sama adalah sama.

Akibat 2: Sudut tersurat yang memintas diameter ialah sudut tegak.

Konsep sudut tersurat dan pusat

Mari kita mula-mula memperkenalkan konsep sudut pusat.

Catatan 1

Perhatikan bahawa ukuran darjah sudut pusat adalah sama dengan ukuran darjah lengkok yang dipintasnya.

Kami kini memperkenalkan konsep sudut tersurat.

Definisi 2

Sudut yang bucunya terletak pada bulatan dan sisinya bersilang dengan bulatan yang sama dipanggil sudut tersurat (Rajah 2).

Rajah 2. Sudut tersurat

Teorem sudut tersurat

Teorem 1

Ukuran sudut tersurat ialah separuh daripada ukuran lengkok yang dipintasnya.

Bukti.

Biarkan kita diberi bulatan berpusat pada titik $O$. Nyatakan sudut tersurat $ACB$ (Rajah 2). Tiga kes berikut adalah mungkin:

• Sinar $CO$ bertepatan dengan beberapa sisi sudut. Biarkan ini menjadi sisi $CB$ (Gamb. 3).

Rajah 3

Dalam kes ini, lengkok $AB$ adalah kurang daripada $(180)^(()^\circ )$, maka sudut pusat $AOB$ adalah sama dengan lengkok $AB$. Oleh kerana $AO=OC=r$, segitiga $AOC$ ialah sama kaki. Oleh itu, sudut tapak $CAO$ dan $ACO$ adalah sama. Menurut teorem pada sudut luar segitiga, kita mempunyai:

• Ray $CO$ membahagikan sudut pedalaman kepada dua sudut. Biarkan ia bersilang dengan bulatan pada titik $D$ (Rajah 4).

Rajah 4

Kita mendapatkan

• Ray $CO$ tidak membahagikan sudut pedalaman kepada dua sudut dan tidak bertepatan dengan mana-mana sisinya (Rajah 5).

Rajah 5

Pertimbangkan secara berasingan sudut $ACD$ dan $DCB$. Dengan apa yang dibuktikan dalam item 1, kita dapat

Kita mendapatkan

Teorem telah terbukti.

Jom bawak akibat daripada teorem ini.

Akibat 1: Sudut tersurat yang bersilang pada lengkok yang sama adalah sama.

Akibat 2: Sudut tersurat yang memintas diameter ialah sudut tegak.

Sudut tersurat, teori masalah. Kawan-kawan! Dalam artikel ini kita akan bercakap tentang tugas, untuk penyelesaiannya perlu mengetahui sifat-sifat sudut yang tertulis. Ini adalah kumpulan keseluruhan tugas, mereka termasuk dalam peperiksaan. Kebanyakan daripada mereka diselesaikan dengan sangat mudah, dalam satu langkah.

Terdapat tugas yang lebih sukar, tetapi mereka tidak akan memberikan banyak kesukaran untuk anda, anda perlu mengetahui sifat-sifat sudut yang tertulis. Secara beransur-ansur, kami akan menganalisis semua prototaip tugas, saya menjemput anda ke blog!

Sekarang teori yang diperlukan. Ingat apa sudut pusat dan tersurat, kord, lengkok, yang mana sudut ini bergantung:

Sudut pusat dalam bulatan dipanggil sudut rata denganpuncak di tengahnya.

Bahagian bulatan yang berada di dalam sudut ratadipanggil lengkok bulatan.

Ukuran darjah lengkok bulatan ialah ukuran darjahsudut pusat yang sepadan.

Sudut dipanggil tersurat dalam bulatan jika bucu sudut itu terletakpada bulatan, dan sisi sudut bersilang bulatan ini.

Segmen garis yang menghubungkan dua titik pada bulatan dipanggilkord. Kord terpanjang melepasi pusat bulatan dan dipanggildiameter.

Untuk menyelesaikan masalah bagi sudut yang ditulis dalam bulatan,anda perlu mengetahui sifat-sifat berikut:

1. Sudut tersurat adalah sama dengan separuh sudut pusat berdasarkan lengkok yang sama.

2. Semua sudut tersurat berdasarkan lengkok yang sama adalah sama.

3. Semua sudut tertulis berdasarkan kord yang sama, bucunya terletak pada sisi yang sama kord ini, adalah sama.

4. Mana-mana pasangan sudut berdasarkan kord yang sama, bucunya terletak pada sisi bertentangan kord, ditambah sehingga 180°.

Akibat: Sudut bertentangan bagi segiempat yang ditulis dalam bulatan ditambah sehingga 180 darjah.

5. Semua sudut yang ditulis berdasarkan diameter adalah lurus.

Secara umum, harta ini adalah akibat daripada harta (1), ini adalah miliknya kes istimewa. Lihat - sudut pusat adalah sama dengan 180 darjah (dan sudut yang dibangunkan ini tidak lain hanyalah diameter), yang bermaksud bahawa menurut sifat pertama, sudut tertulis C adalah sama dengan separuhnya, iaitu, 90 darjah.

Pengetahuan tentang harta ini membantu dalam menyelesaikan banyak masalah dan selalunya membolehkan anda mengelakkan pengiraan yang tidak perlu. Setelah menguasainya dengan baik, anda akan dapat menyelesaikan lebih separuh daripada jenis masalah ini secara lisan. Dua akibat yang boleh dibuat:

Corollary 1: jika segitiga ditulis dalam bulatan dan salah satu sisinya bertepatan dengan diameter bulatan ini, maka segitiga itu adalah bersudut tegak (bucu sudut tepat terletak pada bulatan).

Akibat 2: pusat yang diterangkan tentang segi tiga tepat bulatan bertepatan dengan titik tengah hipotenusnya.

Banyak prototaip masalah stereometrik juga diselesaikan dengan menggunakan sifat ini dan akibat ini. Ingat fakta itu sendiri: jika diameter bulatan ialah sisi segi tiga yang tertulis, maka segitiga ini adalah bersudut tegak (sudut bertentangan dengan diameter ialah 90 darjah). Anda boleh membuat semua kesimpulan dan akibat lain sendiri, anda tidak perlu mengajar mereka.

Sebagai peraturan, separuh daripada masalah untuk sudut tertulis diberikan dengan lakaran, tetapi tanpa notasi. Untuk memahami proses penaakulan semasa menyelesaikan masalah (di bawah dalam artikel), sebutan bucu (sudut) diperkenalkan. Pada peperiksaan, anda tidak boleh melakukan ini.Pertimbangkan tugas:

Apakah sudut tersurat akut yang memintas kord yang sama dengan jejari bulatan itu? Berikan jawapan anda dalam darjah.

Mari kita bina sudut pusat untuk sudut tertulis tertentu, nyatakan bucu:

Mengikut sifat sudut yang ditulis dalam bulatan:

Sudut AOB adalah sama dengan 60 0, kerana segitiga AOB adalah sama sisi, dan dalam segitiga sama sisi semua sudut adalah sama dengan 60 0 . Sisi segi tiga adalah sama, kerana keadaan mengatakan bahawa kord adalah sama dengan jejari.

Oleh itu, sudut tertera DIA ialah 30 0 .

Jawapan: 30

Cari kord di mana sudut 30 0 terletak, tertulis dalam bulatan berjejari 3.

Ini pada dasarnya adalah masalah songsang (yang sebelumnya). Mari kita bina sudut tengah.

Ia adalah dua kali lebih besar daripada yang tertulis, iaitu, sudut AOB ialah 60 0 . Daripada ini kita boleh membuat kesimpulan bahawa segitiga AOB ialah sama sisi. Oleh itu, kord adalah sama dengan jejari, iaitu tiga.

Jawapan: 3

Jejari bulatan itu ialah 1. Cari nilai sudut tersurat tumpul berdasarkan kord yang sama dengan punca dua. Berikan jawapan anda dalam darjah.

Mari bina sudut pusat:

Mengetahui jejari dan kord, kita boleh mencari sudut pusat DIA. Ini boleh dilakukan dengan menggunakan hukum kosinus. Mengetahui sudut pusat, kita boleh mencari sudut tersurat ACB dengan mudah.

Teorem kosinus: kuasa dua mana-mana sisi segitiga adalah sama dengan hasil tambah kuasa dua dua sisi yang lain, tanpa menggandakan hasil darab sisi tersebut dengan kosinus sudut di antara mereka.

Oleh itu, sudut pusat kedua ialah 360 0 – 90 0 = 270 0 .

Mengikut sifat sudut tersurat, sudut DIA adalah sama dengan separuhnya, iaitu, 135 darjah.

Jawapan: 135

Cari kord di mana sudut 120 darjah, punca tiga, ditulis dalam bulatan jejari.

Sambungkan titik A dan B dengan pusat bulatan. Mari kita panggil ia O:

Kami tahu jejari dan sudut tersurat DIA. Kita boleh mencari sudut pusat AOB (lebih daripada 180 darjah), kemudian cari sudut AOB dalam segi tiga AOB. Dan kemudian, menggunakan teorem kosinus, hitung AB.

Dengan sifat sudut tersurat, sudut pusat AOB (yang lebih besar daripada 180 darjah) akan sama dengan dua kali sudut tersurat, iaitu, 240 darjah. Ini bermakna sudut AOB dalam segitiga AOB ialah 360 0 - 240 0 = 120 0 .

Mengikut hukum kosinus:

Jawapan:3

Cari sudut tersurat berdasarkan lengkok yang 20% ​​daripada bulatan itu. Berikan jawapan anda dalam darjah.

Dengan sifat sudut tersurat, ia adalah separuh saiz sudut pusat berdasarkan lengkok yang sama, dalam kes ini Kita bercakap tentang lengkok AB.

Dikatakan bahawa lengkok AB ialah 20 peratus daripada lilitan. Ini bermakna sudut pusat AOB juga 20 peratus daripada 360 0 .* Bulatan ialah sudut 360 darjah. Bermaksud,

Oleh itu, sudut tersurat ACB ialah 36 darjah.

Jawapan: 36

lengkok bulatan AC, tidak mengandungi mata B, ialah 200 darjah. Dan lengkok bulatan BC, yang tidak mengandungi mata A, ialah 80 darjah. Cari sudut tersurat ACB. Berikan jawapan anda dalam darjah.

Mari kita nyatakan untuk kejelasan lengkok yang ukuran sudutnya diberikan. Arka sepadan dengan 200 darjah - warna biru, lengkok yang sepadan dengan 80 darjah berwarna merah, selebihnya bulatan berwarna kuning.

Oleh itu, ukuran darjah lengkok AB (kuning), dan dengan itu sudut pusat AOB ialah: 360 0 – 200 0 – 80 0 = 80 0 .

Sudut tersurat DAB ialah separuh sudut pusat AOB, iaitu, sama dengan 40 darjah.

Jawapan: 40

Apakah sudut yang ditulis berdasarkan diameter bulatan itu? Berikan jawapan anda dalam darjah.

Ini adalah sudut yang dibentuk oleh dua kord berasal dari satu titik pada bulatan. Sudut tersurat dikatakan bergantung pada lengkok yang tertutup di antara sisinya.

Sudut tersurat sama dengan separuh daripada lengkok di mana ia terletak.

Dalam kata lain, sudut tersurat termasuk seberapa banyak darjah, minit dan saat darjah arka, minit dan saat disertakan pada separuh daripada lengkok tempat ia bergantung. Untuk justifikasi, kami menganalisis tiga kes:

Kes pertama:

Pusat O terletak di sebelah sudut tersurat ABS. Melukis jejari AO, kita mendapat ΔABO, di mana OA = OB (sebagai jejari) dan, dengan itu, ∠ABO = ∠BAO. Sehubungan dengan ini segi tiga, sudut AOC ialah luaran. Jadi, ia adalah sama dengan jumlah sudut ABO dan BAO, atau sama dengan sudut berganda ABO. Jadi ∠ABO ialah separuh sudut tengah AOC. Tetapi sudut ini diukur dengan arka AC. Iaitu, sudut tersurat ABC diukur dengan separuh lengkok AC.

Kes kedua:

Pusat O terletak di antara sisi sudut tersurat ABC Setelah melukis diameter BD, kami akan membahagikan sudut ABC kepada dua sudut, yang mana, mengikut yang ditetapkan dalam kes pertama, satu diukur dengan separuh arka AD, dan separuh lagi CD arka. Dan dengan itu, sudut ABC diukur oleh (AD + DC) / 2, i.e. 1/2 AC.

Kes ketiga:

Pusat O terletak di luar sudut tersurat ABS. Setelah melukis diameter BD, kita akan mempunyai: ∠ABС = ∠ABD - ∠CBD . Tetapi sudut ABD dan CBD diukur, berdasarkan bahagian yang dibuktikan sebelumnya arka AD dan CD. Dan kerana ∠ABС diukur dengan (AD-CD)/2, iaitu separuh daripada lengkok AC.

Akibat 1. Mana-mana , berdasarkan lengkok yang sama adalah sama, iaitu, mereka adalah sama antara satu sama lain. Oleh kerana setiap daripada mereka diukur dengan separuh daripada yang sama arka .

Akibat 2. Sudut tersurat, berdasarkan diameter - sudut tepat. Oleh kerana setiap sudut tersebut diukur dengan separuh separuh bulatan dan, dengan itu, mengandungi 90 °.