Hasil darab vektor bagi vektor i j k. Hasil darab vektor bagi vektor yang diberikan oleh koordinat

Sebelum memberikan konsep produk vektor, mari kita beralih kepada persoalan orientasi tiga tertib vektor a → , b → , c → dalam ruang tiga dimensi.

Sebagai permulaan, mari kita ketepikan vektor a → , b → , c → dari satu titik. Orientasi triple a → , b → , c → adalah kanan atau kiri, bergantung pada arah vektor c → . Dari arah di mana pusingan terpendek dibuat daripada vektor a → ke b → dari hujung vektor c → , bentuk triple a → , b → , c → akan ditentukan.

Jika putaran terpendek adalah lawan jam, maka tiga kali ganda vektor a → , b → , c → dipanggil betul jika mengikut arah jam - dibiarkan.

Seterusnya, ambil dua vektor bukan kolinear a → dan b → . Marilah kita menangguhkan vektor A B → = a → dan A C → = b → dari titik A. Mari kita bina vektor A D → = c → , yang serentak berserenjang dengan A B → dan A C → . Oleh itu, apabila membina vektor A D → = c →, kita boleh melakukan dua perkara, memberikannya sama ada satu arah atau sebaliknya (lihat ilustrasi).

Trio tertib bagi vektor a → , b → , c → boleh, seperti yang kita ketahui, kanan atau kiri bergantung pada arah vektor.

Daripada perkara di atas, kita boleh memperkenalkan definisi produk vektor. Definisi ini diberikan untuk dua vektor yang ditakrifkan dalam sistem koordinat segi empat tepat bagi ruang tiga dimensi.

Definisi 1

Hasil darab vektor dua vektor a → dan b → kita akan memanggil vektor sedemikian yang diberikan dalam sistem koordinat segi empat tepat bagi ruang tiga dimensi supaya:

• jika vektor a → dan b → adalah kolinear, ia akan menjadi sifar;
• ia akan berserenjang dengan kedua-dua vektor a →​​ dan vektor b → i.e. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• panjangnya ditentukan oleh formula: c → = a → b → sin ∠ a → , b → ;
• triplet bagi vektor a → , b → , c → mempunyai orientasi yang sama dengan sistem koordinat yang diberikan.

produk vektor vektor a → dan b → mempunyai tatatanda berikut: a → × b → .

Koordinat produk silang

Memandangkan mana-mana vektor mempunyai koordinat tertentu dalam sistem koordinat, adalah mungkin untuk memperkenalkan definisi kedua bagi produk vektor, yang akan membolehkan anda mencari koordinatnya daripada koordinat vektor yang diberikan.

Definisi 2

Dalam sistem koordinat segi empat tepat bagi ruang tiga dimensi hasil vektor dua vektor a → = (a x ; a y ; a z) dan b → = (b x ; b y ; b z) panggil vektor c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , di mana i → , j → , k → ialah vektor koordinat.

Produk vektor boleh diwakili sebagai penentu bagi matriks segi empat sama tertib ketiga, di mana baris pertama ialah vektor orta i → , j → , k → , baris kedua mengandungi koordinat vektor a → , dan yang ketiga ialah koordinat bagi vektor b → dalam sistem koordinat segi empat tepat yang diberikan, penentu matriks ini kelihatan seperti ini: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Mengembangkan penentu ini ke atas unsur-unsur baris pertama, kita memperoleh kesamaan: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x = → → a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Sifat produk silang

Diketahui bahawa produk vektor dalam koordinat diwakili sebagai penentu matriks c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , kemudian pada tapak sifat penentu matriks yang berikut sifat produk vektor:

1. antikomutatif a → × b → = - b → × a → ;
2. pengagihan a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → atau a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. persekutuan λ a → × b → = λ a → × b → atau a → × (λ b →) = λ a → × b → , di mana λ ialah nombor nyata arbitrari.

Sifat-sifat ini tidak mempunyai bukti yang rumit.

Sebagai contoh, kita boleh membuktikan sifat antikomutatif bagi produk vektor.

Bukti antikomutatif

Mengikut takrifan, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z dan b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . Dan jika dua baris matriks ditukar ganti, maka nilai penentu matriks harus berubah kepada sebaliknya, oleh itu, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , yang dan membuktikan antikomutatif bagi hasil vektor.

Produk Vektor - Contoh dan Penyelesaian

Dalam kebanyakan kes, terdapat tiga jenis tugas.

Dalam masalah jenis pertama, panjang dua vektor dan sudut di antara mereka biasanya diberikan, tetapi anda perlu mencari panjang hasil silang. Dalam kes ini, gunakan formula berikut c → = a → b → sin ∠ a → , b → .

Contoh 1

Cari panjang hasil darab bagi vektor a → dan b → jika a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4 diketahui.

Penyelesaian

Dengan menggunakan takrifan panjang produk vektor bagi vektor a → dan b →, kita selesaikan masalah ini: a → × b → = a → b → sin ∠ a → , b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2 .

Jawapan: 15 2 2 .

Tugas jenis kedua mempunyai hubungan dengan koordinat vektor, ia mengandungi produk vektor, panjangnya, dll. dicari melalui koordinat yang diketahui bagi vektor yang diberikan a → = (a x ; a y ; a z) Dan b → = (b x ; b y ; b z) .

Untuk jenis tugasan ini, anda boleh menyelesaikan banyak pilihan untuk tugasan. Sebagai contoh, bukan koordinat vektor a → dan b → , tetapi pengembangannya dalam vektor koordinat bentuk b → = b x i → + b y j → + b z k → dan c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , atau vektor a → dan b → boleh diberikan oleh koordinatnya. titik mula dan tamat.

Pertimbangkan contoh berikut.

Contoh 2

Dua vektor ditetapkan dalam sistem koordinat segi empat tepat a → = (2 ; 1 ; - 3) , b → = (0 ; - 1 ; 1) . Cari produk vektor mereka.

Penyelesaian

Mengikut definisi kedua, kita dapati hasil vektor dua vektor dalam koordinat yang diberikan: a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Jika kita menulis hasil silang dalam sebutan penentu matriks, maka penyelesaiannya contoh ini kelihatan seperti ini: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Jawapan: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Contoh 3

Cari panjang hasil darab silang bagi vektor i → - j → dan i → + j → + k → , dengan i → , j → , k → - orts bagi sistem koordinat Cartesan segi empat tepat.

Penyelesaian

Mula-mula, mari kita cari koordinat bagi hasil vektor yang diberi i → - j → × i → + j → + k → dalam sistem koordinat segi empat tepat yang diberikan.

Adalah diketahui bahawa vektor i → - j → dan i → + j → + k → masing-masing mempunyai koordinat (1 ; - 1 ; 0) dan (1 ; 1 ; 1). Cari panjang produk vektor menggunakan penentu matriks, maka kita mempunyai i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Oleh itu, hasil darab vektor i → - j → × i → + j → + k → mempunyai koordinat (- 1 ; - 1 ; 2) dalam sistem koordinat yang diberikan.

Kami mencari panjang produk vektor dengan formula (lihat bahagian mencari panjang vektor): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6 .

Jawapan: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

Contoh 4

Koordinat tiga titik A (1 , 0 , 1) , B (0 , 2, 3) ​​, C (1 , 4, 2) diberikan dalam sistem koordinat Cartesan segi empat tepat. Cari beberapa vektor berserenjang dengan A B → dan A C → pada masa yang sama.

Penyelesaian

Vektor A B → dan A C → masing-masing mempunyai koordinat berikut (- 1 ; 2 ; 2) dan (0 ; 4 ; 1). Setelah menemui produk vektor bagi vektor A B → dan A C → , adalah jelas bahawa ia adalah vektor berserenjang mengikut takrifan kepada kedua-dua A B → dan A C → , iaitu, ia adalah penyelesaian kepada masalah kita. Cari A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Jawapan: - 6 i → + j → - 4 k → . ialah salah satu vektor serenjang.

Masalah jenis ketiga tertumpu pada penggunaan sifat produk vektor vektor. Selepas memohon yang mana, kami akan memperoleh penyelesaian kepada masalah yang diberikan.

Contoh 5

Vektor a → dan b → adalah berserenjang dan panjangnya masing-masing ialah 3 dan 4. Cari panjang hasil silang 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → .

Penyelesaian

Dengan sifat pengagihan produk vektor, kita boleh menulis 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Dengan sifat persekutuan, kami mengeluarkan pekali berangka di luar tanda produk vektor dalam ungkapan terakhir: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Hasil darab vektor a → × a → dan b → × b → adalah sama dengan 0, kerana a → × a → = a → a → sin 0 = 0 dan b → × b → = b → b → sin 0 = 0 , maka 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a → . .

Daripada antikomutatif produk vektor ia mengikuti - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b → . .

Dengan menggunakan sifat produk vektor, kita memperoleh kesamaan 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

Mengikut keadaan, vektor a → dan b → adalah berserenjang, iaitu, sudut di antara mereka adalah sama dengan π 2 . Sekarang tinggal hanya untuk menggantikan nilai yang ditemui ke dalam formula yang sepadan: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → sin (a →, b →) = 5 3 4 sin π 2 = 60.

Jawapan: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60 .

Panjang hasil silang vektor mengikut takrif ialah a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Oleh kerana sudah diketahui (dari kursus sekolah) bahawa luas segitiga adalah sama dengan separuh hasil darab panjang kedua-dua sisinya didarab dengan sinus sudut antara sisi ini. Oleh itu, panjang produk vektor adalah sama dengan luas segi empat selari - segi tiga berganda, iaitu, hasil darab sisi dalam bentuk vektor a → dan b → , diberhentikan dari satu titik, oleh sinus daripada sudut di antara mereka sin ∠ a → , b → .

Ini ialah makna geometri produk vektor.

Maksud fizikal produk vektor

Dalam mekanik, salah satu cabang fizik, terima kasih kepada produk vektor, anda boleh menentukan momen daya relatif kepada titik dalam ruang.

Definisi 3

Di bawah momen daya F → , digunakan pada titik B , berbanding dengan titik A kita akan memahami hasil vektor berikut A B → × F → .

Jika anda melihat kesilapan dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter

The kalkulator dalam talian mengira hasil silang bagi vektor. Penyelesaian terperinci diberikan. Untuk mengira hasil silang vektor, masukkan koordinat vektor dalam sel dan klik pada "Kira."

×

Amaran

Kosongkan semua sel?

Tutup Kosong

Arahan kemasukan data. Nombor dimasukkan sebagai nombor bulat (contoh: 487, 5, -7623, dsb.), nombor perpuluhan (cth. 67., 102.54, dsb.) atau pecahan. Pecahan mesti ditaip dalam bentuk a/b, dengan a dan b (b>0) ialah nombor integer atau perpuluhan. Contoh 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, dsb.

Hasil silang vektor

Sebelum meneruskan definisi hasil vektor vektor, pertimbangkan konsepnya memesan tiga kali ganda vektor, tiga kali ganda vektor kiri, tiga kali ganda vektor kanan.

Definisi 1. Tiga vektor dipanggil memesan tiga kali ganda(atau tiga kali ganda) jika ditunjukkan yang mana antara vektor ini adalah yang pertama, yang kedua dan yang ketiga.

Rakaman cba- bermakna - yang pertama ialah vektor c, yang kedua ialah vektor b dan yang ketiga ialah vektor a.

Definisi 2. Tiga kali ganda vektor bukan koplanar abc dipanggil kanan (kiri) jika, apabila dikurangkan kepada permulaan yang sama, vektor ini disusun kerana ia masing-masing besar, indeks tidak bengkok dan jari tengah tangan kanan (kiri).

Definisi 2 boleh dirumuskan dengan cara lain.

Definisi 2. Tiga kali ganda vektor bukan koplanar abc dipanggil kanan (kiri) jika, apabila dikurangkan kepada asal yang sama, vektor c terletak di sisi lain satah yang ditakrifkan oleh vektor a Dan b, dari mana pusingan terpendek a Kepada b dilakukan mengikut arah lawan jam (mengikut arah jam).

Trio vektor abc ditunjukkan dalam rajah. 1 betul dan tiga kali ganda abc ditunjukkan dalam rajah. 2 yang tinggal.

Jika dua tiga kali ganda vektor adalah kanan atau kiri, maka ia dikatakan mempunyai orientasi yang sama. Jika tidak, mereka dikatakan berorientasikan bertentangan.

Definisi 3. Sistem koordinat Cartesian atau affine dipanggil kanan (kiri) jika tiga vektor asas membentuk tiga kali ganda kanan (kiri).

Untuk kepastian, dalam perkara berikut kita akan mempertimbangkan hanya sistem koordinat tangan kanan.

Definisi 4. seni vektor vektor a setiap vektor b dipanggil vektor Dengan, dilambangkan dengan simbol c=[ab] (atau c=[a,b], atau c=a×b) dan memenuhi tiga keperluan berikut:

• panjang vektor Dengan adalah sama dengan hasil darab panjang vektor a Dan b kepada sinus sudut φ antara mereka:

|c|=|[ab]|=|a||b|dosaφ;

(1)

• vektor Dengan ortogon kepada setiap vektor a Dan b;
• vektor c diarahkan supaya ketiga-tiga abc adalah benar.

Hasil silang vektor mempunyai sifat berikut:

• [ab]=−[ba] (antipermutabilitas faktor);
• [(λa)b]=λ [ab] (keserasian relatif kepada faktor berangka);
• [(a+b)c]=[ac]+[bc] (pengedaran relatif kepada jumlah vektor);
• [aa]=0 untuk sebarang vektor a.

Sifat geometri hasil silang vektor

Teorem 1. Untuk dua vektor menjadi kolinear, adalah perlu dan mencukupi bahawa hasil vektornya adalah sama dengan sifar.

Bukti. Keperluan. Biarkan vektor a Dan b kolinear. Kemudian sudut di antara mereka ialah 0 atau 180° dan dosaφ=dosa180=dosa 0=0. Oleh itu, dengan mengambil kira ungkapan (1), panjang vektor c sama dengan sifar. Kemudian c vektor nol.

Kecukupan. Biarkan hasil darab silang bagi vektor a Dan b nav ke sifar: [ ab]=0. Mari kita buktikan bahawa vektor a Dan b kolinear. Jika sekurang-kurangnya satu daripada vektor a Dan b sifar, maka vektor ini adalah kolinear (kerana vektor sifar mempunyai arah yang tidak tentu dan boleh dianggap kolinear kepada mana-mana vektor).

Jika kedua-dua vektor a Dan b bukan sifar, kemudian | a|>0, |b|>0. Kemudian daripada [ ab]=0 dan daripada (1) ia mengikutinya dosaφ=0. Oleh itu vektor a Dan b kolinear.

Teorem telah terbukti.

Teorem 2. Panjang (modulus) hasil vektor [ ab] sama dengan kawasan S segi empat selari yang dibina pada vektor dikurangkan kepada asal yang sama a Dan b.

Bukti. Seperti yang anda ketahui, luas segi empat selari adalah sama dengan hasil darab sisi bersebelahan selari ini dan sinus sudut di antara mereka. Oleh itu:

Kemudian hasil silang vektor-vektor ini mempunyai bentuk:

Mengembangkan penentu ke atas unsur-unsur baris pertama, kita mendapat penguraian vektor a×b asas i, j, k, yang bersamaan dengan formula (3).

Bukti Teorem 3. Susun semua pasangan vektor asas yang mungkin i, j, k dan mengira hasil vektor mereka. Perlu diambil kira bahawa vektor asas adalah saling ortogon, membentuk tiga kali ganda kanan, dan mempunyai panjang unit (dengan kata lain, kita boleh menganggap bahawa i={1, 0, 0}, j={0, 1, 0}, k=(0, 0, 1)). Kemudian kami mempunyai:

Daripada kesamaan dan hubungan terakhir (4), kita memperoleh:

Susun matriks 3×3, baris pertama daripadanya ialah vektor asas i, j, k, dan baris yang tinggal diisi dengan unsur vektor a Dan b:

Oleh itu, hasil darab silang vektor a Dan b akan menjadi vektor:

.

Contoh 2. Cari hasil silang bagi vektor [ ab], di mana vektor a diwakili oleh dua titik. Titik permulaan vektor a: , titik akhir vektor a: , vektor b mempunyai bentuk .

Penyelesaian. Pindahkan vektor pertama ke asal. Untuk melakukan ini, tolak daripada koordinat titik akhir yang sepadan dengan koordinat titik mula:

Kami mengira penentu matriks ini dengan mengembangkannya dalam baris pertama. Hasil daripada pengiraan ini, kami memperoleh hasil darab vektor bagi vektor a Dan b.

produk vektor ialah pseudovektor berserenjang dengan satah yang dibina oleh dua faktor, yang merupakan hasil daripada operasi binari "pendaraban vektor" pada vektor dalam ruang Euclidean tiga dimensi. Produk vektor tidak mempunyai sifat komutatif dan persekutuan (ia adalah antikomutatif) dan, tidak seperti hasil skalar vektor, ialah vektor. Digunakan secara meluas dalam banyak aplikasi teknikal dan fizikal. Sebagai contoh, momentum sudut dan daya Lorentz ditulis secara matematik sebagai hasil silang. Hasil silang berguna untuk "mengukur" keserenjangan vektor - modulus hasil silang dua vektor adalah sama dengan hasil darab modulinya jika ia berserenjang, dan berkurangan kepada sifar jika vektor selari atau anti-selari.

Anda boleh mentakrifkan produk vektor dengan cara yang berbeza, dan secara teorinya, dalam ruang mana-mana dimensi n, anda boleh mengira hasil darab n-1 vektor, sambil memperoleh satu vektor berserenjang dengan kesemuanya. Tetapi jika produk dihadkan kepada produk binari bukan remeh dengan hasil vektor, maka produk vektor tradisional ditakrifkan hanya dalam ruang tiga dimensi dan tujuh dimensi. Hasil produk vektor, seperti produk skalar, bergantung pada metrik ruang Euclidean.

Tidak seperti formula untuk mengira hasil skalar daripada koordinat vektor dalam sistem koordinat segi empat tepat tiga dimensi, formula untuk hasil vektor bergantung pada orientasi sistem koordinat segi empat tepat, atau, dengan kata lain, "kiraliti"nya.

Definisi:
Hasil darab vektor bagi vektor a dan vektor b dalam ruang R 3 dipanggil vektor c yang memenuhi keperluan berikut:
panjang vektor c adalah sama dengan hasil darab panjang vektor a dan b dan sinus sudut φ di antara mereka:
|c|=|a||b|sin φ;
vektor c adalah ortogon bagi setiap vektor a dan b;
vektor c diarahkan supaya tiga kali ganda vektor abc adalah betul;
dalam kes ruang R7, perkaitan bagi tiga kali ganda vektor a,b,c diperlukan.
Jawatan:
c===a×b

nasi. 1. Luas segi empat selari adalah sama dengan modulus hasil silang

Sifat geometri hasil silang:
Syarat yang perlu dan mencukupi untuk kolineariti dua vektor bukan sifar ialah kesamaan hasil vektornya kepada sifar.

Modul produk silang sama luas S segi empat selari yang dibina pada vektor dikurangkan kepada asal yang sama a Dan b(lihat rajah 1).

Jika e- vektor unit ortogon kepada vektor a Dan b dan dipilih supaya tiga a,b,e- betul, dan S- kawasan segi empat selari yang dibina di atasnya (dikurangkan kepada asal yang sama), maka formula berikut adalah benar untuk produk vektor:
=S e

Rajah.2. Isipadu parallelepiped apabila menggunakan vektor dan hasil darab skalar bagi vektor; garis putus-putus tunjukkan unjuran vektor c pada a × b dan vektor a pada b × c, langkah pertama ialah mencari hasil darab dalam

Jika c- sebarang vektor π - mana-mana satah yang mengandungi vektor ini, e- vektor unit terletak di dalam pesawat π dan ortogon ke c,g- vektor unit ortogon kepada satah π dan diarahkan supaya tiga kali ganda vektor cth adalah betul, maka bagi mana-mana terbaring di dalam pesawat π vektor a formula yang betul ialah:
=Pr e a |c|g
di mana Pr e a ialah unjuran vektor e ke a
|c|-modulus vektor c

Apabila menggunakan produk vektor dan skalar, anda boleh mengira isipadu paip selari yang dibina pada vektor yang dikurangkan kepada asal yang sama a, b Dan c. Hasil darab tiga vektor sedemikian dipanggil bercampur.
V=|a (b×c)|
Angka tersebut menunjukkan bahawa isipadu ini boleh didapati dalam dua cara: hasil geometri dikekalkan walaupun apabila produk "skala" dan "vektor" ditukar:
V=a×b c=a b×c

Nilai hasil silang bergantung pada sinus sudut antara vektor asal, jadi hasil silang boleh dianggap sebagai tahap "keserenjangan" vektor, sama seperti hasil darab titik boleh dianggap sebagai darjah "paralelisme". Hasil silang dua vektor unit adalah sama dengan 1 (vektor unit) jika vektor awal berserenjang, dan sama dengan 0 (vektor sifar) jika vektor selari atau antiselari.

Ungkapan hasil silang dalam koordinat Cartesan
Jika dua vektor a Dan b ditakrifkan oleh koordinat Cartesan segi empat tepatnya, atau lebih tepat lagi, ia diwakili dalam asas ortonormal
a=(a x ,a y ,a z)
b=(b x ,b y ,b z)
dan sistem koordinat adalah betul, maka produk vektor mereka mempunyai bentuk
=(a y b z -a z b y ,a z b x -a x b z ,a x b y -a y b x)
Untuk mengingati formula ini:
i =∑ε ijk a j b k
di mana ε ijk- simbol Levi-Civita.

Dalam pelajaran ini, kita akan melihat dua lagi operasi dengan vektor: hasil silang vektor Dan hasil campuran vektor (pautan segera untuk mereka yang memerlukannya). Tidak mengapa, kadang-kadang berlaku bahawa untuk kebahagiaan yang lengkap, sebagai tambahan kepada hasil darab titik bagi vektor, semakin banyak yang diperlukan. Begitulah ketagihan vektor. Seseorang mungkin mendapat tanggapan bahawa kita sedang memasuki hutan geometri analitik. Ini adalah salah. Dalam bahagian matematik yang lebih tinggi ini, biasanya terdapat sedikit kayu api, kecuali mungkin cukup untuk Pinocchio. Malah, bahannya sangat biasa dan mudah - hampir tidak lebih sukar daripada yang sama produk skalar, malah akan terdapat lebih sedikit tugasan biasa. Perkara utama dalam geometri analitik, seperti yang ramai akan lihat atau sudah lihat, adalah JANGAN SALAH PENGIRAAN. Ulangi seperti jampi, dan anda akan gembira =)

Jika vektor berkilauan di tempat yang jauh, seperti kilat di kaki langit, tidak mengapa, mulakan dengan pelajaran Vektor untuk boneka untuk memulihkan atau memperoleh semula pengetahuan asas tentang vektor. Pembaca yang lebih bersedia boleh membiasakan diri dengan maklumat secara selektif, saya cuba mengumpul koleksi contoh paling lengkap yang sering dijumpai di kerja amali

Apa yang akan menggembirakan anda? Semasa saya kecil, saya boleh mengimbangi dua dan tiga bola. Ia berjaya dengan baik. Sekarang tidak ada keperluan untuk menyulap sama sekali, kerana kita akan mempertimbangkan hanya vektor ruang, dan vektor rata dengan dua koordinat akan ditinggalkan. kenapa? Beginilah cara tindakan ini dilahirkan - vektor dan hasil campuran vektor ditakrifkan dan berfungsi dalam ruang tiga dimensi. Sudah lebih mudah!

Dalam operasi ini, dengan cara yang sama seperti dalam produk skalar, dua vektor. Biarlah ia menjadi huruf yang tidak rosak.

Tindakan itu sendiri dilambangkan dengan cara berikut: . Terdapat pilihan lain, tetapi saya sudah biasa untuk menetapkan hasil silang vektor dengan cara ini, dalam kurungan persegi dengan salib.

Dan serta merta soalan: jika masuk hasil darab titik bagi vektor dua vektor terlibat, dan di sini dua vektor juga didarab, kemudian Apakah perbezaannya? Perbezaan yang jelas, pertama sekali, dalam HASIL:

Hasil darab skalar bagi vektor ialah NOMBOR:

Hasil darab silang bagi vektor ialah VEKTOR: , iaitu, kita mendarabkan vektor dan mendapatkan vektor semula. Kelab tertutup. Sebenarnya, itulah nama operasi. Dalam pelbagai sastera pendidikan notasi juga boleh berbeza-beza, saya akan menggunakan huruf .

Definisi hasil silang

Mula-mula akan ada definisi dengan gambar, kemudian komen.

Definisi: hasil silang bukan kolinear vektor, diambil mengikut susunan ini, dipanggil VECTOR, panjang iaitu secara berangka sama dengan luas segi empat selari, dibina pada vektor ini; vektor ortogon kepada vektor, dan diarahkan supaya asas mempunyai orientasi yang betul:

Kami menganalisis definisi mengikut tulang, terdapat banyak perkara yang menarik!

Jadi, kita boleh menyerlahkan perkara penting berikut:

1) Vektor sumber , ditunjukkan dengan anak panah merah, mengikut definisi bukan kolinear. Adalah wajar untuk mempertimbangkan kes vektor kolinear sedikit kemudian.

2) Vektor diambil secara tegas susunan tertentu : – "a" didarab dengan "menjadi", bukan "menjadi" kepada "a". Hasil pendaraban vektor ialah VECTOR , yang dilambangkan dengan warna biru. Jika vektor didarab dalam susunan terbalik, maka kita mendapat vektor yang sama panjang dan bertentangan arah (warna merah). Iaitu, persamaan .

3) Sekarang mari kita berkenalan dengan makna geometri produk vektor. Ini adalah perkara yang sangat penting! PANJANG vektor biru (dan, oleh itu, vektor merah lembayung ) secara berangka sama dengan LUAS segiempat selari yang dibina pada vektor . Dalam rajah, segi empat selari ini dilorekkan dengan warna hitam.

Catatan : lukisan adalah skema, dan, sudah tentu, panjang nominal hasil silang tidak sama dengan luas segi empat selari.

Kami ingat salah satu formula geometri: luas segi empat selari adalah sama dengan hasil darab sisi bersebelahan dan sinus sudut di antaranya. Oleh itu, berdasarkan perkara di atas, formula untuk mengira PANJANG produk vektor adalah sah:

Saya menekankan bahawa dalam formula kita bercakap tentang PANJANG vektor, dan bukan tentang vektor itu sendiri. Apakah maksud praktikal? Dan maknanya sedemikian rupa sehingga dalam masalah geometri analitik, luas segi empat selari sering dijumpai melalui konsep produk vektor:

Kami mendapat formula penting kedua. Diagonal bagi segi empat selari (garis putus-putus merah) membahagikannya kepada dua segi tiga sama. Oleh itu, kawasan segitiga yang dibina di atas vektor (lorek merah) boleh didapati dengan formula:

4) Tidak kurang daripada fakta penting ialah vektor adalah ortogon kepada vektor, iaitu, . Sudah tentu, vektor berlawanan arah (anak panah merah) juga ortogon kepada vektor asal .

5) Vektor diarahkan supaya asas Ia ada betul orientasi. Dalam pelajaran tentang peralihan kepada asas baharu Saya telah bercakap secara terperinci tentang orientasi kapal terbang, dan sekarang kita akan mengetahui apakah orientasi ruang. Saya akan menerangkan pada jari anda tangan kanan. Gabungan mental jari telunjuk dengan vektor dan jari tengah dengan vektor. Jari manis dan kelingking tekan ke tapak tangan anda. Akibatnya ibu jari- produk vektor akan mencari. Ini adalah asas berorientasikan betul (ia adalah dalam rajah). Sekarang tukar vektor ( telunjuk dan jari tengah) di sesetengah tempat, akibatnya, ibu jari akan berpusing, dan produk vektor sudah pun melihat ke bawah. Ini juga merupakan asas berorientasikan betul. Mungkin anda mempunyai soalan: asas apakah yang mempunyai orientasi kiri? "Tetapkan" jari yang sama Tangan kiri vectors , dan dapatkan asas kiri dan orientasi ruang kiri (dalam kes ini, ibu jari akan terletak ke arah vektor yang lebih rendah). Secara kiasan, pangkalan ini "memutar" atau mengorientasikan ruang ke arah yang berbeza. Dan konsep ini tidak boleh dianggap sebagai sesuatu yang dibuat-buat atau abstrak - sebagai contoh, cermin yang paling biasa mengubah orientasi ruang, dan jika anda "menarik objek yang dipantulkan keluar dari cermin", maka secara umum ia tidak akan mungkin untuk menggabungkannya dengan "asal". Dengan cara ini, bawa tiga jari ke cermin dan analisis pantulan ;-)

... betapa bagusnya yang anda ketahui sekarang berorientasikan kanan dan kiri bases, sebab penyataan beberapa pensyarah tentang perubahan orientasi adalah dahsyat =)

Produk vektor bagi vektor kolinear

Takrifan telah diusahakan secara terperinci, ia kekal untuk mengetahui apa yang berlaku apabila vektor adalah kolinear. Jika vektor adalah kolinear, maka ia boleh diletakkan pada satu garis lurus dan selari kami juga "melipat" menjadi satu garis lurus. Kawasan seperti itu, seperti yang dikatakan ahli matematik, merosot segi empat selari ialah sifar. Perkara yang sama mengikuti dari formula - sinus sifar atau 180 darjah adalah sama dengan sifar, yang bermaksud bahawa kawasan itu adalah sifar

Oleh itu, jika , maka Dan . Sila ambil perhatian bahawa hasil silang itu sendiri adalah sama dengan vektor sifar, tetapi dalam amalan ini sering diabaikan dan ditulis bahawa ia juga sama dengan sifar.

kes istimewa ialah hasil silang bagi vektor dan dirinya sendiri:

Menggunakan produk silang, anda boleh menyemak kolineariti vektor tiga dimensi, dan kami juga akan menganalisis masalah ini, antara lain.

Untuk menyelesaikan contoh praktikal, mungkin perlu jadual trigonometri untuk mencari nilai sinus daripadanya.

Baiklah, mari kita mulakan api:

Contoh 1

a) Cari panjang hasil darab vektor bagi vektor jika

b) Cari luas segi empat selari yang dibina pada vektor jika

Penyelesaian: Tidak, ini bukan kesilapan menaip, saya sengaja membuat data awal dalam item keadaan sama. Kerana reka bentuk penyelesaian akan berbeza!

a) Mengikut syarat, ia dikehendaki mencari panjang vektor (produk vektor). Mengikut formula yang sepadan:

Jawab:

Oleh kerana ia ditanya tentang panjang, maka dalam jawapan kami menunjukkan dimensi - unit.

b) Mengikut syarat, ia dikehendaki mencari segi empat sama segi empat selari dibina pada vektor. Luas segi empat selari ini secara berangka sama dengan panjang hasil silang:

Jawab:

Sila ambil perhatian bahawa dalam jawapan tentang produk vektor tidak ada perbincangan sama sekali, kami ditanya tentangnya kawasan angka, masing-masing, dimensi ialah unit segi empat sama.

Kami sentiasa melihat APA yang diperlukan untuk ditemui mengikut syarat, dan, berdasarkan ini, kami merumuskan jelas jawab. Ia mungkin kelihatan seperti literalisme, tetapi terdapat cukup ahli literal dalam kalangan guru, dan tugas dengan peluang yang baik akan dikembalikan untuk semakan. Walaupun ini bukan nitpick yang sangat tegang - jika jawapannya tidak betul, maka seseorang mendapat tanggapan bahawa orang itu tidak memahami perkara mudah dan / atau tidak memahami intipati tugas itu. Momen ini harus sentiasa dikawal, menyelesaikan sebarang masalah dalam matematik yang lebih tinggi, dan dalam mata pelajaran lain juga.

Ke mana perginya huruf besar "en"? Pada dasarnya, ia boleh juga terperangkap pada penyelesaian, tetapi untuk memendekkan rekod, saya tidak melakukannya. Saya harap semua orang faham itu dan adalah sebutan untuk perkara yang sama.

Contoh popular untuk penyelesaian do-it-yourself:

Contoh 2

Cari luas segi tiga yang dibina pada vektor jika

Formula untuk mencari luas segi tiga melalui produk vektor diberikan dalam ulasan kepada definisi. Penyelesaian dan jawapan pada akhir pelajaran.

Dalam amalan, tugas itu benar-benar sangat biasa, segitiga biasanya boleh diseksa.

Untuk menyelesaikan masalah lain, kami memerlukan:

Sifat hasil silang vektor

Kami telah mempertimbangkan beberapa sifat produk vektor, bagaimanapun, saya akan memasukkannya ke dalam senarai ini.

Untuk vektor arbitrari dan nombor arbitrari, sifat berikut adalah benar:

1) Dalam sumber maklumat lain, item ini biasanya tidak dibezakan dalam sifat, tetapi ia sangat penting dari segi praktikal. Jadi biarlah.

2) - harta itu juga dibincangkan di atas, kadang-kadang ia dipanggil antikomutatif. Dalam erti kata lain, susunan vektor adalah penting.

3) - gabungan atau berpersatuan undang-undang produk vektor. Pemalar mudah dikeluarkan daripada had produk vektor. Sebenarnya, apa yang mereka lakukan di sana?

4) - pengedaran atau pengedaran undang-undang produk vektor. Tiada masalah dengan membuka kurungan sama ada.

Sebagai demonstrasi, pertimbangkan contoh ringkas:

Contoh 3

Cari jika

Penyelesaian: Mengikut syarat, ia sekali lagi diperlukan untuk mencari panjang produk vektor. Mari cat miniatur kami:

(1) Menurut undang-undang bersekutu, kami mengeluarkan pemalar melebihi had produk vektor.

(2) Kami mengeluarkan pemalar daripada modul, manakala modul "makan" tanda tolak. Panjangnya tidak boleh negatif.

(3) Perkara berikut adalah jelas.

Jawab:

Sudah tiba masanya untuk membaling kayu ke atas api:

Contoh 4

Kira luas segi tiga yang dibina di atas vektor jika

Penyelesaian: Cari luas segi tiga menggunakan formula . Masalahnya ialah vektor "ce" dan "te" sendiri diwakili sebagai jumlah vektor. Algoritma di sini adalah standard dan agak mengingatkan contoh No. 3 dan 4 dalam pelajaran. Hasil darab titik bagi vektor. Mari kita pecahkannya kepada tiga langkah untuk kejelasan:

1) Pada langkah pertama, kami menyatakan produk vektor melalui produk vektor, sebenarnya, menyatakan vektor dalam sebutan vektor. Tiada kata panjang lagi!

(1) Kami menggantikan ungkapan vektor .

(2) Menggunakan undang-undang pengedaran, kami membuka kurungan mengikut peraturan pendaraban polinomial.

(3) Menggunakan undang-undang bersekutu, kami mengeluarkan semua pemalar di luar produk vektor. Dengan sedikit pengalaman, tindakan 2 dan 3 boleh dilakukan secara serentak.

(4) Sebutan pertama dan terakhir adalah sama dengan sifar (vektor sifar) kerana sifat yang menyenangkan . Dalam istilah kedua, kami menggunakan sifat antikomutatif bagi produk vektor:

(5) Kami mengemukakan istilah yang serupa.

Akibatnya, vektor ternyata dinyatakan melalui vektor, iaitu apa yang perlu dicapai:

2) Pada langkah kedua, kita dapati panjang produk vektor yang kita perlukan. Tindakan ini serupa dengan Contoh 3:

3) Cari luas segi tiga yang dikehendaki:

Langkah 2-3 penyelesaian boleh disusun dalam satu baris.

Jawab:

Masalah yang dianggap agak biasa dalam kerja kawalan, berikut ialah contoh untuk penyelesaian buat sendiri:

Contoh 5

Cari jika

Penyelesaian ringkas dan jawapan pada akhir pelajaran. Mari lihat sejauh mana perhatian anda semasa mengkaji contoh sebelumnya ;-)

Hasil silang vektor dalam koordinat

, diberikan dalam asas ortonormal, dinyatakan oleh formula:

Formulanya sangat mudah: kami menulis vektor koordinat di baris atas penentu, kami "membungkus" koordinat vektor dalam baris kedua dan ketiga, dan kami meletakkan dalam susunan yang ketat- pertama, koordinat vektor "ve", kemudian koordinat vektor "double-ve". Jika vektor perlu didarab dalam susunan yang berbeza, maka garisan juga harus ditukar:

Contoh 10

Semak sama ada vektor ruang berikut adalah kolinear:
A)
b)

Penyelesaian: Ujian adalah berdasarkan salah satu pernyataan dalam pelajaran ini: jika vektor adalah kolinear, maka hasil silangnya ialah sifar (vektor sifar): .

a) Cari hasil vektor:

Jadi vektor bukan kolinear.

b) Cari hasil vektor:

Jawab: a) bukan kolinear, b)

Di sini, mungkin, adalah semua maklumat asas tentang produk vektor bagi vektor.

Bahagian ini tidak akan menjadi sangat besar, kerana terdapat sedikit masalah di mana hasil campuran vektor digunakan. Sebenarnya, segala-galanya akan bergantung pada definisi, makna geometri dan beberapa formula yang berfungsi.

Hasil darab campuran bagi vektor ialah hasil daripada tiga vektor:

Ini adalah bagaimana mereka berbaris seperti kereta api dan menunggu, mereka tidak boleh menunggu sehingga mereka dikira.

Pertama sekali lagi definisi dan gambar:

Definisi: Produk campuran bukan coplanar vektor, diambil mengikut susunan ini, dipanggil isipadu paip selari, dibina di atas vektor ini, dilengkapi dengan tanda "+" jika asasnya betul, dan tanda "-" jika asas dibiarkan.

Mari buat lukisan. Garisan yang tidak kelihatan kepada kami dilukis dengan garis putus-putus:

Mari kita selami definisi:

2) Vektor diambil dalam susunan tertentu, iaitu, pilih atur vektor dalam produk, seperti yang anda fikirkan, tidak akan berlaku tanpa akibat.

3) Sebelum mengulas tentang makna geometri, saya akan perhatikan fakta yang jelas: hasil darab campuran bagi vektor ialah NOMBOR: . Dalam kesusasteraan pendidikan, reka bentuk mungkin agak berbeza, saya digunakan untuk menetapkan produk campuran melalui, dan hasil pengiraan dengan huruf "pe".

A-priory hasil campuran ialah isipadu selari, dibina pada vektor (angka dilukis dengan vektor merah dan garis hitam). Iaitu, nombor itu sama dengan isipadu parallelepiped yang diberikan.

Catatan : Lukisan adalah skematik.

4) Usahlah kita bersusah payah lagi dengan konsep orientasi asas dan ruang. Maksud bahagian akhir ialah tanda tolak boleh ditambah pada kelantangan. Dengan kata mudah, produk campuran boleh menjadi negatif: .

Formula untuk mengira isipadu paip selari yang dibina pada vektor mengikut terus daripada takrifan.

Sudut antara vektor

Untuk kita memperkenalkan konsep hasil silang dua vektor, kita mesti terlebih dahulu menangani konsep seperti sudut antara vektor ini.

Marilah kita diberikan dua vektor $\overline(α)$ dan $\overline(β)$. Mari kita ambil beberapa titik $O$ dalam ruang dan ketepikan vektor $\overline(α)=\overline(OA)$ dan $\overline(β)=\overline(OB)$ daripadanya, kemudian sudut $AOB $ akan dipanggil sudut antara vektor ini (Rajah 1).

Notasi: $∠(\overline(α),\overline(β))$

Konsep hasil silang vektor dan formula untuk mencari

Definisi 1

Hasil darab vektor bagi dua vektor ialah vektor yang berserenjang dengan kedua-dua vektor yang diberikan, dan panjangnya akan sama dengan hasil darab panjang vektor ini dengan sinus sudut antara vektor ini, dan vektor ini dengan dua yang awal mempunyai yang sama. orientasi sebagai sistem koordinat Cartes.

Notasi: $\overline(α)х\overline(β)$.

Secara matematik ia kelihatan seperti ini:

1. $|\overline(α)x\overline(β)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin⁡∠(\overline(α),\overline(β))$
2. $\overline(α)x\overline(β)⊥\overline(α)$, $\overline(α)x\overline(β)⊥\overline(β)$
3. $(\overline(α)x\overline(β),\overline(α),\overline(β))$ dan $(\overline(i),\overline(j),\overline(k))$ ialah berorientasikan yang sama (Gamb. 2)

Jelas sekali, produk luar vektor akan sama dengan vektor sifar dalam dua kes:

1. Jika panjang satu atau kedua-dua vektor adalah sifar.
2. Jika sudut antara vektor ini adalah sama dengan $180^\circ$ atau $0^\circ$ (kerana dalam kes ini sinus adalah sama dengan sifar).

Untuk melihat dengan jelas cara hasil silang vektor ditemui, pertimbangkan contoh penyelesaian berikut.

Contoh 1

Cari panjang vektor $\overline(δ)$, yang akan menjadi hasil darab silang vektor, dengan koordinat $\overline(α)=(0,4,0)$ dan $\overline(β) =(3,0,0 )$.

Penyelesaian.

Mari kita gambarkan vektor ini dalam ruang koordinat Cartesan (Rajah 3):

Rajah 3. Vektor dalam ruang koordinat Cartesan. Pengarang24 - pertukaran kertas pelajar dalam talian

Kami melihat bahawa vektor ini terletak pada paksi $Ox$ dan $Oy$, masing-masing. Oleh itu, sudut di antara mereka akan sama dengan $90^\circ$. Mari kita cari panjang vektor ini:

$|\overline(α)|=\sqrt(0+16+0)=4$

$|\overline(β)|=\sqrt(9+0+0)=3$

Kemudian, mengikut Definisi 1, kami memperoleh modul $|\overline(δ)|$

$|\overline(δ)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin90^\circ=4\cdot 3\cdot 1=12$

Jawapan: $12$.

Pengiraan hasil silang dengan koordinat vektor

Takrif 1 serta-merta membayangkan cara untuk mencari hasil silang bagi dua vektor. Oleh kerana vektor, sebagai tambahan kepada nilai, juga mempunyai arah, adalah mustahil untuk mencarinya hanya menggunakan nilai skalar. Tetapi selain itu, terdapat cara lain untuk mencari vektor yang diberikan kepada kami menggunakan koordinat.

Marilah kita diberikan vektor $\overline(α)$ dan $\overline(β)$, yang akan mempunyai koordinat $(α_1,α_2,α_3)$ dan $(β_1,β_2,β_3)$, masing-masing. Kemudian vektor hasil silang (iaitu, koordinatnya) boleh didapati dengan formula berikut:

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix)$

Jika tidak, mengembangkan penentu, kami memperoleh koordinat berikut

$\overline(α)х\overline(β)=(α_2 β_3-α_3 β_2,α_3 β_1-α_1 β_3,α_1 β_2-α_2 β_1)$

Contoh 2

Cari vektor hasil silang bagi vektor kolinear $\overline(α)$ dan $\overline(β)$ dengan koordinat $(0,3,3)$ dan $(-1,2,6)$.

Penyelesaian.

Jom guna formula di atas. Dapatkan

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\0&3&3\\-1&2&6\end(vmatrix)=(18 -6)\overline(i)-(0+3)\overline(j)+(0+3)\overline(k)=12\overline(i)-3\overline(j)+3\overline(k )=(12,-3,3)$

Jawapan: $(12,-3,3)$.

Sifat hasil silang vektor

Untuk tiga vektor bercampur arbitrari $\overline(α)$, $\overline(β)$ dan $\overline(γ)$, serta $r∈R$, sifat berikut dipegang:

Contoh 3

Cari luas segi empat selari yang bucunya mempunyai koordinat $(3,0,0)$, $(0,0,0)$, $(0,8,0)$ dan $(3,8,0) $.

Penyelesaian.

Mula-mula, lukis segi empat selari ini dalam ruang koordinat (Rajah 5):

Rajah 5. Paralelogram dalam ruang koordinat. Pengarang24 - pertukaran kertas pelajar dalam talian

Kami melihat bahawa kedua-dua belah segiempat selari ini dibina menggunakan vektor kolinear dengan koordinat $\overline(α)=(3,0,0)$ dan $\overline(β)=(0,8,0)$. Menggunakan sifat keempat, kita dapat:

$S=|\overline(α)x\overline(β)|$

Cari vektor $\overline(α)х\overline(β)$:

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\3&0&0\\0&8&0\end(vmatrix)=0\overline (i)-0\overline(j)+24\overline(k)=(0,0,24)$

Oleh itu

$S=|\overline(α)x\overline(β)|=\sqrt(0+0+24^2)=24$