X y penyelesaian sistem persamaan. Sistem persamaan linear

Sistem persamaan digunakan secara meluas dalam industri ekonomi dalam pemodelan matematik pelbagai proses. Sebagai contoh, apabila menyelesaikan masalah pengurusan dan perancangan pengeluaran, laluan logistik ( tugas pengangkutan) atau penempatan peralatan.

Sistem persamaan digunakan bukan sahaja dalam bidang matematik, tetapi juga dalam fizik, kimia dan biologi, apabila menyelesaikan masalah mencari saiz populasi.

Sistem persamaan linear ialah istilah untuk dua atau lebih persamaan dengan beberapa pembolehubah yang mana ia perlu untuk mencari penyelesaian yang sama. Urutan nombor sedemikian yang mana semua persamaan menjadi kesamaan benar atau membuktikan bahawa urutan itu tidak wujud.

Persamaan Linear

Persamaan bentuk ax+by=c dipanggil linear. Penamaan x, y ialah yang tidak diketahui, yang nilainya mesti ditemui, b, a ialah pekali pembolehubah, c ialah sebutan bebas bagi persamaan.
Menyelesaikan persamaan dengan memplot grafnya akan kelihatan seperti garis lurus, semua titik adalah penyelesaian polinomial.

Jenis sistem persamaan linear

Yang paling mudah ialah contoh sistem persamaan linear dengan dua pembolehubah X dan Y.

F1(x, y) = 0 dan F2(x, y) = 0, dengan F1,2 ialah fungsi dan (x, y) ialah pembolehubah fungsi.

Menyelesaikan sistem persamaan - ia bermakna untuk mencari nilai-nilai sedemikian (x, y) yang mana sistem itu menjadi kesamaan sebenar, atau untuk menentukan bahawa tiada nilai yang sesuai bagi x dan y.

Sepasang nilai (x, y), ditulis sebagai koordinat titik, dipanggil penyelesaian kepada sistem persamaan linear.

Jika sistem mempunyai satu penyelesaian biasa atau tiada penyelesaian, ia dipanggil setara.

Sistem persamaan linear homogen ialah sistem yang sisi kanannya sama dengan sifar. Jika bahagian kanan selepas tanda "sama" mempunyai nilai atau dinyatakan oleh fungsi, sistem sedemikian tidak homogen.

Bilangan pembolehubah boleh lebih daripada dua, maka kita harus bercakap tentang contoh sistem persamaan linear dengan tiga pembolehubah atau lebih.

Menghadapi sistem, pelajar sekolah menganggap bahawa bilangan persamaan mestilah bertepatan dengan bilangan yang tidak diketahui, tetapi ini tidak begitu. Bilangan persamaan dalam sistem tidak bergantung pada pembolehubah, boleh ada bilangan yang besar secara sewenang-wenangnya.

Kaedah mudah dan kompleks untuk menyelesaikan sistem persamaan

Tiada cara analitikal umum untuk menyelesaikan sistem sedemikian, semua kaedah adalah berdasarkan penyelesaian berangka. Kursus matematik sekolah menerangkan secara terperinci kaedah seperti pilih atur, penambahan algebra, penggantian, serta kaedah grafik dan matriks, penyelesaian dengan kaedah Gauss.

Tugas utama dalam pengajaran kaedah penyelesaian adalah untuk mengajar cara menganalisis sistem dengan betul dan mencari algoritma penyelesaian optimum untuk setiap contoh. Perkara utama bukanlah untuk menghafal sistem peraturan dan tindakan untuk setiap kaedah, tetapi untuk memahami prinsip menerapkan kaedah tertentu.

Menyelesaikan contoh sistem persamaan linear kelas ke-7 atur cara sekolah Menengah cukup ringkas dan dijelaskan dengan terperinci. Dalam mana-mana buku teks matematik, bahagian ini diberi perhatian yang cukup. Penyelesaian contoh sistem persamaan linear dengan kaedah Gauss dan Cramer dikaji dengan lebih terperinci dalam kursus pertama institusi pendidikan tinggi.

Penyelesaian sistem dengan kaedah penggantian

Tindakan kaedah penggantian bertujuan untuk menyatakan nilai satu pembolehubah melalui kedua. Ungkapan digantikan ke dalam persamaan yang tinggal, kemudian ia dikurangkan kepada bentuk pembolehubah tunggal. Tindakan diulang bergantung pada bilangan yang tidak diketahui dalam sistem

Mari kita berikan contoh sistem persamaan linear kelas ke-7 dengan kaedah penggantian:

Seperti yang dapat dilihat daripada contoh, pembolehubah x dinyatakan melalui F(X) = 7 + Y. Ungkapan yang terhasil, digantikan ke dalam persamaan ke-2 sistem sebagai ganti X, membantu memperoleh satu pembolehubah Y dalam persamaan ke-2 . Penyelesaian contoh ini tidak menyebabkan kesukaran dan membolehkan anda mendapatkan nilai Y. Langkah terakhir ini adalah ujian nilai yang diterima.

Ia tidak selalu mungkin untuk menyelesaikan contoh sistem persamaan linear dengan penggantian. Persamaan boleh menjadi kompleks dan ungkapan pembolehubah dari segi yang tidak diketahui kedua akan menjadi terlalu rumit untuk pengiraan selanjutnya. Apabila terdapat lebih daripada 3 yang tidak diketahui dalam sistem, penyelesaian penggantian juga tidak praktikal.

Penyelesaian contoh sistem persamaan tak homogen linear:

Penyelesaian menggunakan penambahan algebra

Apabila mencari penyelesaian kepada sistem dengan kaedah penambahan, penambahan sebutan demi sebutan dan pendaraban persamaan dengan pelbagai nombor. Matlamat akhir operasi matematik ialah persamaan dengan satu pembolehubah.

Untuk permohonan kaedah ini ia memerlukan latihan dan pemerhatian. Bukan mudah untuk menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah penambahan dengan bilangan pembolehubah 3 atau lebih. Penambahan algebra berguna apabila persamaan mengandungi pecahan dan nombor perpuluhan.

Algoritma tindakan penyelesaian:

1. Darab kedua-dua belah persamaan dengan beberapa nombor. Hasil daripada operasi aritmetik, salah satu pekali pembolehubah mestilah sama dengan 1.
2. Tambahkan istilah ungkapan yang terhasil mengikut istilah dan cari salah satu yang tidak diketahui.
3. Gantikan nilai yang terhasil ke dalam persamaan ke-2 sistem untuk mencari pembolehubah yang tinggal.

Kaedah penyelesaian dengan memperkenalkan pembolehubah baru

Pembolehubah baru boleh diperkenalkan jika sistem perlu mencari penyelesaian untuk tidak lebih daripada dua persamaan, bilangan yang tidak diketahui juga harus tidak lebih daripada dua.

Kaedah ini digunakan untuk memudahkan salah satu persamaan dengan memperkenalkan pembolehubah baru. Persamaan baru diselesaikan berkenaan dengan yang tidak diketahui yang dimasukkan, dan nilai yang terhasil digunakan untuk menentukan pembolehubah asal.

Ia boleh dilihat daripada contoh bahawa dengan memperkenalkan pembolehubah baru t, adalah mungkin untuk mengurangkan persamaan pertama sistem kepada trinomial persegi piawai. Anda boleh menyelesaikan polinomial dengan mencari diskriminasi.

Adalah perlu untuk mencari nilai diskriminasi menggunakan formula yang terkenal: D = b2 - 4*a*c, di mana D ialah diskriminasi yang dikehendaki, b, a, c ialah pengganda polinomial. Dalam contoh yang diberikan, a=1, b=16, c=39, maka D=100. Jika diskriminasi lebih besar daripada sifar, maka terdapat dua penyelesaian: t = -b±√D / 2*a, jika diskriminasi kurang daripada sifar, maka hanya terdapat satu penyelesaian: x= -b / 2*a.

Penyelesaian untuk sistem yang terhasil didapati dengan kaedah penambahan.

Kaedah visual untuk menyelesaikan sistem

Sesuai untuk sistem dengan 3 persamaan. Kaedah ini terdiri daripada memplot graf bagi setiap persamaan yang disertakan dalam sistem pada paksi koordinat. Koordinat titik persilangan lengkung akan menjadi penyelesaian umum sistem.

Kaedah grafik mempunyai beberapa nuansa. Pertimbangkan beberapa contoh penyelesaian sistem persamaan linear secara visual.

Seperti yang dapat dilihat dari contoh, dua titik telah dibina untuk setiap baris, nilai pembolehubah x dipilih secara sewenang-wenangnya: 0 dan 3. Berdasarkan nilai x, nilai untuk y didapati: 3 dan 0. Titik dengan koordinat (0, 3) dan (3, 0) ditanda pada graf dan disambungkan dengan garis.

Langkah-langkah mesti diulang untuk persamaan kedua. Titik persilangan garis ialah penyelesaian sistem.

Dalam contoh berikut, adalah diperlukan untuk mencari penyelesaian grafik kepada sistem persamaan linear: 0.5x-y+2=0 dan 0.5x-y-1=0.

Seperti yang dapat dilihat daripada contoh, sistem tidak mempunyai penyelesaian, kerana graf adalah selari dan tidak bersilang sepanjang keseluruhannya.

Sistem daripada Contoh 2 dan 3 adalah serupa, tetapi apabila dibina, ia menjadi jelas bahawa penyelesaiannya berbeza. Harus diingat bahawa tidak selalu mungkin untuk mengatakan sama ada sistem mempunyai penyelesaian atau tidak, ia sentiasa perlu untuk membina graf.

Matriks dan jenisnya

Matriks digunakan untuk singkatan sistem persamaan linear. Matriks ialah jenis jadual khas yang diisi dengan nombor. n*m mempunyai n - baris dan m - lajur.

Matriks ialah segi empat sama apabila bilangan lajur dan baris adalah sama. Vektor matriks ialah matriks satu lajur dengan bilangan baris yang berkemungkinan tidak terhingga. Matriks dengan unit di sepanjang salah satu pepenjuru dan unsur sifar lain dipanggil identiti.

Matriks songsang ialah matriks sedemikian, apabila didarab dengan mana matriks asal bertukar menjadi unit satu, matriks sedemikian wujud hanya untuk kuasa dua asal.

Peraturan untuk mengubah sistem persamaan menjadi matriks

Berkenaan dengan sistem persamaan, pekali dan ahli bebas persamaan ditulis sebagai nombor matriks, satu persamaan ialah satu baris matriks.

Baris matriks dipanggil bukan sifar jika sekurang-kurangnya satu elemen baris itu tidak sama dengan sifar. Oleh itu, jika dalam mana-mana persamaan bilangan pembolehubah berbeza, maka adalah perlu untuk memasukkan sifar sebagai ganti yang tidak diketahui yang hilang.

Lajur matriks mestilah sepadan dengan pembolehubah. Ini bermakna pekali pembolehubah x hanya boleh ditulis dalam satu lajur, contohnya yang pertama, pekali y yang tidak diketahui - hanya dalam yang kedua.

Apabila mendarab matriks, semua elemen matriks didarab berturut-turut dengan nombor.

Pilihan untuk mencari matriks songsang

Formula untuk mencari matriks songsang adalah agak mudah: K -1 = 1 / |K|, di mana K -1 ialah matriks songsang dan |K| - penentu matriks. |K| mestilah tidak sama dengan sifar, maka sistem mempunyai penyelesaian.

Penentu mudah dikira untuk matriks dua dengan dua, ia hanya perlu untuk mendarab unsur secara menyerong antara satu sama lain. Untuk pilihan "tiga dengan tiga", terdapat formula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Anda boleh menggunakan formula, atau anda boleh ingat bahawa anda perlu mengambil satu elemen daripada setiap baris dan setiap lajur supaya nombor lajur dan baris elemen tidak berulang dalam produk.

Penyelesaian contoh sistem persamaan linear dengan kaedah matriks

Kaedah matriks untuk mencari penyelesaian memungkinkan untuk mengurangkan entri yang menyusahkan apabila menyelesaikan sistem dengan sejumlah besar pembolehubah dan persamaan.

Dalam contoh, a nm ialah pekali persamaan, matriks ialah vektor x n ialah pembolehubah, dan b n ialah sebutan bebas.

Penyelesaian sistem dengan kaedah Gauss

Dalam matematik yang lebih tinggi, kaedah Gauss dikaji bersama dengan kaedah Cramer, dan proses mencari penyelesaian kepada sistem dipanggil kaedah penyelesaian Gauss-Cramer. Kaedah ini digunakan untuk mencari pembolehubah sistem dengan banyak persamaan linear.

Kaedah Gaussian sangat serupa dengan penyelesaian penggantian dan penambahan algebra, tetapi lebih sistematik. Dalam kursus sekolah, penyelesaian Gaussian digunakan untuk sistem persamaan 3 dan 4. Tujuan kaedah ini adalah untuk membawa sistem kepada bentuk trapezoid terbalik. Dengan penjelmaan dan penggantian algebra, nilai satu pembolehubah ditemui dalam salah satu persamaan sistem. Persamaan kedua ialah ungkapan dengan 2 tidak diketahui, dan 3 dan 4 - masing-masing dengan 3 dan 4 pembolehubah.

Selepas membawa sistem kepada bentuk yang diterangkan, penyelesaian selanjutnya dikurangkan kepada penggantian berurutan pembolehubah yang diketahui ke dalam persamaan sistem.

DALAM buku teks sekolah untuk gred 7, contoh penyelesaian dengan kaedah Gauss diterangkan seperti berikut:

Seperti yang dapat dilihat daripada contoh, pada langkah (3) dua persamaan telah diperolehi 3x 3 -2x 4 =11 dan 3x 3 +2x 4 =7. Penyelesaian mana-mana persamaan akan membolehkan anda mengetahui salah satu pembolehubah x n.

Teorem 5, yang disebut dalam teks, menyatakan bahawa jika salah satu persamaan sistem digantikan dengan yang setara, maka sistem yang terhasil juga akan setara dengan yang asal.

Kaedah Gauss sukar difahami oleh pelajar sekolah Menengah, tetapi merupakan salah satu yang paling banyak cara yang menarik untuk membangunkan kepintaran kanak-kanak yang mendaftar dalam program pengajian lanjutan dalam kelas matematik dan fizik.

Untuk memudahkan pengiraan rakaman, adalah kebiasaan untuk melakukan perkara berikut:

Pekali persamaan dan sebutan bebas ditulis dalam bentuk matriks, di mana setiap baris matriks sepadan dengan salah satu persamaan sistem. memisahkan bahagian kiri persamaan dari bahagian kanan. Angka Rom menunjukkan bilangan persamaan dalam sistem.

Pertama, mereka menulis matriks untuk berfungsi, kemudian semua tindakan yang dilakukan dengan salah satu baris. Matriks yang terhasil ditulis selepas tanda "anak panah" dan terus melakukan operasi algebra yang diperlukan sehingga hasilnya dicapai.

Akibatnya, matriks harus diperoleh di mana salah satu pepenjuru adalah 1, dan semua pekali lain adalah sama dengan sifar, iaitu, matriks dikurangkan kepada satu bentuk. Kita tidak boleh lupa untuk membuat pengiraan dengan nombor kedua-dua belah persamaan.

Notasi ini kurang rumit dan membolehkan anda tidak terganggu dengan menyenaraikan banyak perkara yang tidak diketahui.

Aplikasi percuma mana-mana kaedah penyelesaian akan memerlukan penjagaan dan jumlah pengalaman tertentu. Tidak semua kaedah digunakan. Beberapa cara mencari penyelesaian lebih disukai dalam bidang tertentu aktiviti manusia, sementara yang lain wujud untuk tujuan pembelajaran.

1. Kaedah Penggantian: daripada mana-mana persamaan sistem kita menyatakan satu yang tidak diketahui dalam sebutan yang lain dan menggantikannya ke dalam persamaan kedua sistem.

Tugasan. Selesaikan sistem persamaan:

Penyelesaian. Daripada persamaan pertama sistem, kami nyatakan di melalui X dan gantikan ke dalam persamaan kedua sistem. Jom dapatkan sistem setaraf dengan yang asal.

Selepas membawa syarat sedemikian, sistem akan mengambil bentuk:

Daripada persamaan kedua kita dapati: . Menggantikan nilai ini ke dalam persamaan di = 2 - 2X, kita mendapatkan di= 3. Oleh itu, penyelesaian sistem ini ialah sepasang nombor .

2. Kaedah penambahan algebra: dengan menambah dua persamaan, dapatkan persamaan dengan satu pembolehubah.

Tugasan. Selesaikan persamaan sistem:

Penyelesaian. Mendarab kedua-dua belah persamaan kedua dengan 2, kita mendapat sistem setaraf dengan yang asal. Menambah dua persamaan sistem ini, kita tiba di sistem

Selepas mengurangkan istilah yang sama, sistem ini akan mengambil bentuk: Daripada persamaan kedua kita dapati . Menggantikan nilai ini ke dalam Persamaan 3 X + 4di= 5, kita dapat , dimana . Oleh itu, penyelesaian sistem ini ialah sepasang nombor .

3. Kaedah untuk memperkenalkan pembolehubah baru: kami sedang mencari beberapa ungkapan berulang dalam sistem, yang akan kami nyatakan dengan pembolehubah baru, dengan itu memudahkan bentuk sistem.

Tugasan. Selesaikan sistem persamaan:

Penyelesaian. Mari kita tulis sistem ini secara berbeza:

biarlah x + y = awak, hu = v. Kemudian kami mendapat sistem

Mari selesaikan dengan kaedah penggantian. Daripada persamaan pertama sistem, kami nyatakan u melalui v dan gantikan ke dalam persamaan kedua sistem. Jom dapatkan sistem mereka.

Daripada persamaan kedua sistem kita dapati v 1 = 2, v 2 = 3.

Menggantikan nilai-nilai ini ke dalam persamaan u = 5 - v, kita mendapatkan u 1 = 3,
u 2 = 2. Kemudian kita mempunyai dua sistem

Menyelesaikan sistem pertama, kita mendapat dua pasangan nombor (1; 2), (2; 1). Sistem kedua tidak mempunyai penyelesaian.

Latihan untuk kerja bebas

1. Selesaikan sistem persamaan menggunakan kaedah penggantian.

Privasi anda adalah penting bagi kami. Atas sebab ini, kami telah membangunkan Dasar Privasi yang menerangkan cara kami menggunakan dan menyimpan maklumat anda. Sila baca dasar privasi kami dan beritahu kami jika anda mempunyai sebarang soalan.

Pengumpulan dan penggunaan maklumat peribadi

Maklumat peribadi merujuk kepada data yang boleh digunakan untuk mengenal pasti atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan maklumat peribadi anda pada bila-bila masa apabila anda menghubungi kami.

Berikut ialah beberapa contoh jenis maklumat peribadi yang mungkin kami kumpulkan dan cara kami boleh menggunakan maklumat tersebut.

Apakah maklumat peribadi yang kami kumpulkan:

• Apabila anda menyerahkan permohonan di tapak, kami mungkin mengumpul pelbagai maklumat, termasuk nama, nombor telefon, alamat anda E-mel dan lain-lain.

Cara kami menggunakan maklumat peribadi anda:

• Maklumat peribadi yang kami kumpulkan membolehkan kami menghubungi anda dan memaklumkan anda tentang tawaran unik, promosi dan acara lain serta acara akan datang.
• Dari semasa ke semasa, kami mungkin menggunakan maklumat peribadi anda untuk menghantar notis dan mesej penting kepada anda.
• Kami juga mungkin menggunakan maklumat peribadi untuk tujuan dalaman, seperti menjalankan audit, analisis data dan pelbagai penyelidikan untuk menambah baik perkhidmatan yang kami sediakan dan memberikan anda cadangan mengenai perkhidmatan kami.
• Jika anda menyertai cabutan hadiah, peraduan atau insentif yang serupa, kami mungkin menggunakan maklumat yang anda berikan untuk mentadbir program tersebut.

Pendedahan kepada pihak ketiga

Kami tidak mendedahkan maklumat yang diterima daripada anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Sekiranya perlu - mengikut undang-undang, perintah kehakiman, dalam prosiding undang-undang, dan / atau berdasarkan permintaan awam atau permintaan daripada badan-badan negara di wilayah Persekutuan Rusia - mendedahkan maklumat peribadi anda. Kami juga mungkin mendedahkan maklumat tentang anda jika kami menentukan bahawa pendedahan tersebut perlu atau sesuai untuk keselamatan, penguatkuasaan undang-undang atau tujuan kepentingan awam yang lain.
• Sekiranya berlaku penyusunan semula, penggabungan atau penjualan, kami mungkin memindahkan maklumat peribadi yang kami kumpulkan kepada pengganti pihak ketiga yang berkaitan.

Perlindungan maklumat peribadi

Kami mengambil langkah berjaga-jaga - termasuk pentadbiran, teknikal dan fizikal - untuk melindungi maklumat peribadi anda daripada kehilangan, kecurian dan penyalahgunaan, serta daripada akses, pendedahan, pengubahan dan kemusnahan yang tidak dibenarkan.

Mengekalkan privasi anda di peringkat syarikat

Untuk memastikan maklumat peribadi anda selamat, kami menyampaikan amalan privasi dan keselamatan kepada pekerja kami dan menguatkuasakan amalan privasi dengan tegas.

Arahan

Kaedah penambahan.
Anda perlu menulis dua dengan ketat di bawah satu sama lain:

549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
Dalam persamaan yang dipilih secara sewenang-wenangnya (daripada sistem), masukkan nombor 11 dan bukannya "permainan" yang telah dijumpai dan hitung yang kedua tidak diketahui:

X=61+5*11, x=61+55, x=116.
Jawapan sistem persamaan ini: x=116, y=11.

Cara grafik.
Ia terdiri daripada penemuan praktikal koordinat titik di mana garis ditulis secara matematik dalam sistem persamaan. Anda harus melukis graf kedua-dua garisan secara berasingan dalam sistem koordinat yang sama. Paparan umum: - y \u003d kx + b. Untuk membina garis lurus, cukup untuk mencari koordinat dua titik, dan x dipilih sewenang-wenangnya.
Biarkan sistem diberikan: 2x - y \u003d 4

Y \u003d -3x + 1.
Garis lurus dibina mengikut yang pertama, untuk kemudahan ia perlu ditulis: y \u003d 2x-4. Dapatkan nilai (lebih mudah) untuk x, menggantikannya ke dalam persamaan, menyelesaikannya, cari y. Dua mata diperolehi, di mana garis lurus dibina. (lihat gambar.)
x 0 1

y -4 -2
Garis lurus dibina mengikut persamaan kedua: y \u003d -3x + 1.
Juga membina garisan. (lihat gambar.)

1-5
Cari koordinat titik persilangan dua garis yang dibina pada graf (jika garis tidak bersilang, maka sistem persamaan tidak mempunyai - jadi).

Video-video yang berkaitan

Nasihat yang berguna

Jika sistem persamaan yang sama diselesaikan dengan tiga cara yang berbeza, jawapannya akan sama (jika penyelesaiannya betul).

Sumber:

• Algebra Darjah 8
• selesaikan persamaan dengan dua yang tidak diketahui dalam talian
• Contoh penyelesaian sistem persamaan linear dengan dua

Sistem persamaan ialah koleksi rekod matematik, setiap satunya mengandungi bilangan pembolehubah tertentu. Terdapat beberapa cara untuk menyelesaikannya.

Anda perlu

• -Pembaris dan pensel;
• -kalkulator.

Arahan

Pertimbangkan urutan penyelesaian sistem, yang terdiri daripada persamaan linear yang mempunyai bentuk: a1x + b1y = c1 dan a2x + b2y = c2. Di mana x dan y adalah pembolehubah tidak diketahui dan b,c ialah ahli bebas. Apabila menggunakan kaedah ini, setiap sistem adalah koordinat titik-titik yang sepadan dengan setiap persamaan. Pertama, dalam setiap kes, nyatakan satu pembolehubah dalam sebutan yang lain. Kemudian tetapkan pembolehubah x kepada sebarang bilangan nilai. Dua dah cukup. Palamkan ke dalam persamaan dan cari y. Bina sistem koordinat, tandakan titik yang diperoleh di atasnya dan lukis garis lurus melaluinya. Pengiraan yang sama mesti dilakukan untuk bahagian lain sistem.

Sistem mempunyai keputusan sahaja, jika garisan yang dibina bersilang dan satu titik biasa. Adalah tidak konsisten jika mereka selari antara satu sama lain. Dan ia mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga apabila garisan bergabung antara satu sama lain.

Kaedah ini dianggap sangat jelas. Kelemahan utama adalah bahawa tidak diketahui yang dikira mempunyai nilai anggaran. Keputusan yang lebih tepat diberikan oleh kaedah algebra yang dipanggil.

Sebarang penyelesaian kepada sistem persamaan patut diperiksa. Untuk melakukan ini, gantikan nilai yang diperoleh dan bukannya pembolehubah. Anda juga boleh mencari penyelesaiannya dalam beberapa cara. Jika penyelesaian sistem adalah betul, maka semua orang harus menjadi sama.

Selalunya terdapat persamaan di mana salah satu istilah tidak diketahui. Untuk menyelesaikan persamaan, anda perlu mengingati dan melakukan set tindakan tertentu dengan nombor ini.

Anda perlu

• - kertas;
• - Pen atau pensel.

Arahan

Bayangkan anda mempunyai 8 arnab di hadapan anda, dan anda hanya mempunyai 5 lobak merah. Fikirkan anda perlu membeli lebih banyak lobak merah supaya setiap arnab mendapat lobak merah.

Mari kita wakili masalah ini dalam bentuk persamaan: 5 + x = 8. Mari kita gantikan nombor 3 dengan x. Sesungguhnya, 5 + 3 = 8.

Apabila anda menggantikan nombor untuk x, anda melakukan operasi yang sama seperti menolak 5 daripada 8. Oleh itu, untuk mencari tidak diketahui sebutan, tolak sebutan yang diketahui daripada jumlahnya.

Katakan anda mempunyai 20 ekor arnab dan hanya 5 lobak merah. Jom mengarang. Persamaan ialah persamaan yang hanya berlaku untuk nilai tertentu huruf yang disertakan di dalamnya. Huruf yang nilainya ingin anda cari dipanggil. Tulis persamaan dengan satu yang tidak diketahui, panggilnya x. Apabila menyelesaikan masalah kami tentang arnab, persamaan berikut diperolehi: 5 + x = 20.

Mari cari beza antara 20 dan 5. Apabila menolak, nombor yang ditolaknya dikurangkan. Nombor yang ditolak dipanggil , dan hasil akhir dipanggil perbezaan. Jadi, x = 20 - 5; x = 15. Anda perlu membeli 15 lobak merah untuk arnab.

Buat semak: 5 + 15 = 20. Persamaan itu betul. Sudah tentu, apabila kita bercakap tentang yang mudah seperti itu, tidak perlu melakukan pemeriksaan. Walau bagaimanapun, apabila ia berkaitan dengan persamaan dengan tiga digit, empat digit dan seterusnya, adalah penting untuk menyemak untuk benar-benar pasti hasil kerja anda.

Video-video yang berkaitan

Nasihat yang berguna

Untuk mencari minuend yang tidak diketahui, anda perlu menambah subtrahend pada perbezaan.

Untuk mencari subtrahend yang tidak diketahui, adalah perlu untuk menolak perbezaan daripada minuend.

Petua 4: Bagaimana untuk menyelesaikan sistem tiga persamaan dengan tiga tidak diketahui

Sistem tiga persamaan dengan tiga tidak diketahui mungkin tidak mempunyai penyelesaian, walaupun bilangan persamaan mencukupi. Anda boleh cuba menyelesaikannya menggunakan kaedah penggantian atau menggunakan kaedah Cramer. Kaedah Cramer, sebagai tambahan kepada menyelesaikan sistem, membolehkan seseorang menilai sama ada sistem itu boleh diselesaikan sebelum mencari nilai yang tidak diketahui.

Arahan

Kaedah penggantian terdiri daripada satu yang tidak diketahui secara berurutan melalui dua yang lain dan menggantikan hasil yang diperoleh ke dalam persamaan sistem. Biarkan sistem tiga persamaan diberikan dalam Pandangan umum:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

Ungkapkan x daripada persamaan pertama: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - dan gantikan ke dalam persamaan kedua dan ketiga, kemudian nyatakan y daripada persamaan kedua dan gantikan kepada persamaan ketiga. Anda akan mendapat ungkapan linear untuk z melalui pekali persamaan sistem. Sekarang pergi "kembali": palamkan z ke dalam persamaan kedua dan cari y, kemudian palamkan z dan y ke dalam persamaan pertama dan cari x. Proses ini biasanya ditunjukkan dalam rajah sehingga z ditemui. Selanjutnya, rekod dalam bentuk umum akan menjadi terlalu rumit, dalam amalan, menggantikan , anda boleh mencari ketiga-tiga yang tidak diketahui dengan mudah.

Kaedah Cramer terdiri daripada menyusun matriks sistem dan mengira penentu matriks ini, serta tiga lagi matriks tambahan. Matriks sistem terdiri daripada pekali pada sebutan persamaan yang tidak diketahui. Lajur yang mengandungi nombor di sebelah kanan persamaan, lajur sebelah kanan. Ia tidak digunakan dalam sistem, tetapi digunakan semasa menyelesaikan sistem.

Video-video yang berkaitan

Nota

Semua persamaan dalam sistem mesti membekalkan maklumat tambahan bebas daripada persamaan lain. Jika tidak, sistem akan menjadi kurang jelas dan tidak akan dapat mencari penyelesaian yang jelas.

Nasihat yang berguna

Selepas menyelesaikan sistem persamaan, gantikan nilai yang ditemui ke dalam sistem asal dan pastikan ia memenuhi semua persamaan.

Dengan sendirinya persamaan dengan tiga tidak diketahui mempunyai banyak penyelesaian, jadi selalunya ia ditambah dengan dua lagi persamaan atau syarat. Bergantung pada data awal, perjalanan keputusan akan bergantung pada sebahagian besarnya.

Anda perlu

• - sistem tiga persamaan dengan tiga tidak diketahui.

Arahan

Jika dua daripada tiga sistem hanya mempunyai dua daripada tiga yang tidak diketahui, cuba nyatakan beberapa pembolehubah dari segi yang lain dan pasangkannya ke dalam persamaan dengan tiga tidak diketahui. Matlamat anda dengan ini adalah untuk mengubahnya menjadi normal persamaan dengan yang tidak diketahui. Jika ini , penyelesaian selanjutnya agak mudah - gantikan nilai yang ditemui ke dalam persamaan lain dan cari semua yang tidak diketahui lain.

Sesetengah sistem persamaan boleh ditolak daripada satu persamaan dengan persamaan yang lain. Lihat sama ada mungkin untuk mendarab satu daripada dengan atau pembolehubah supaya dua yang tidak diketahui dikurangkan sekaligus. Sekiranya ada peluang sedemikian, gunakannya, kemungkinan besar, keputusan seterusnya tidak akan sukar. Jangan lupa bahawa apabila mendarab dengan nombor, anda mesti mendarab kedua-dua belah kiri dan sebelah kanan. Begitu juga, apabila menolak persamaan, ingat bahawa bahagian kanan juga mesti ditolak.

Jika cara sebelumnya tidak membantu, gunakan kaedah umum untuk menyelesaikan sebarang persamaan dengan tiga tidak diketahui. Untuk melakukan ini, tulis semula persamaan dalam bentuk a11x1 + a12x2 + a13x3 \u003d b1, a21x1 + a22x2 + a23x3 \u003d b2, a31x1 + a32x2 + a33x3 \u003d b3. Sekarang buat satu matriks pekali pada x (A), matriks yang tidak diketahui (X) dan matriks yang bebas (B). Beri perhatian, mendarabkan matriks pekali dengan matriks yang tidak diketahui, anda akan mendapat matriks, matriks ahli bebas, iaitu, A * X \u003d B.

Cari matriks A kepada kuasa (-1) selepas mencari , ambil perhatian bahawa ia tidak sepatutnya sama dengan sifar. Selepas itu, darabkan matriks yang terhasil dengan matriks B, hasilnya anda akan mendapat matriks X yang dikehendaki, menunjukkan semua nilai.

Anda juga boleh mencari penyelesaian kepada sistem tiga persamaan menggunakan kaedah Cramer. Untuk melakukan ini, cari penentu tertib ketiga ∆ sepadan dengan matriks sistem. Kemudian secara berturut-turut cari tiga lagi penentu ∆1, ∆2 dan ∆3, menggantikan nilai sebutan bebas dan bukannya nilai lajur yang sepadan. Sekarang cari x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Sumber:

• penyelesaian persamaan dengan tiga tidak diketahui

Bermula untuk menyelesaikan sistem persamaan, fikirkan apakah persamaan ini. Kaedah penyelesaian persamaan linear dikaji dengan baik. Persamaan tak linear selalunya tidak dapat diselesaikan. Terdapat hanya satu kes khas, setiap satunya boleh dikatakan individu. Oleh itu, kajian kaedah penyelesaian harus dimulakan dengan persamaan linear. Persamaan sedemikian boleh diselesaikan walaupun secara algoritma semata-mata.

penyebut bagi yang tidak diketahui yang ditemui adalah betul-betul sama. Ya, dan pengangka kelihatan beberapa corak pembinaannya. Jika dimensi sistem persamaan lebih besar daripada dua, maka kaedah penyingkiran akan membawa kepada pengiraan yang sangat rumit. Untuk mengelakkannya, penyelesaian algoritma semata-mata telah dibangunkan. Yang paling mudah ialah algoritma Cramer (formula Cramer). Untuk anda patut tahu sistem umum persamaan daripada n persamaan.

Sistem n persamaan algebra linear dengan n tidak diketahui mempunyai bentuk (lihat Rajah 1a). Di dalamnya, aij ialah pekali sistem,
хj – tidak diketahui, bi – ahli bebas (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n). Sistem sedemikian boleh ditulis padat dalam bentuk matriks AX=B. Di sini A ialah matriks pekali sistem, X ialah matriks lajur yang tidak diketahui, B ialah matriks lajur bagi sebutan bebas (lihat Rajah 1b). Mengikut kaedah Cramer, setiap xi =∆i/∆ tidak diketahui (i=1,2…,n). Penentu ∆ matriks pekali dipanggil penentu utama, dan ∆i dipanggil tambahan. Bagi setiap yang tidak diketahui, penentu tambahan ditemui dengan menggantikan lajur ke-i penentu utama dengan lajur ahli bebas. Kaedah Cramer untuk kes sistem urutan kedua dan ketiga dibentangkan secara terperinci dalam Rajah. 2.

Sistem ialah gabungan dua atau lebih persamaan, setiap satunya mempunyai dua atau lebih yang tidak diketahui. Terdapat dua cara utama untuk menyelesaikan sistem persamaan linear yang digunakan dalam rangka kerja kurikulum sekolah. Salah satunya dipanggil kaedah, satu lagi kaedah penambahan.

Bentuk piawai sistem dua persamaan

Pada bentuk piawai persamaan pertama ialah a1*x+b1*y=c1, persamaan kedua ialah a2*x+b2*y=c2, dan seterusnya. Sebagai contoh, dalam kes dua bahagian sistem dalam kedua-dua diberi a1, a2, b1, b2, c1, c2 adalah beberapa pekali berangka yang dibentangkan dalam persamaan khusus. Sebaliknya, x dan y adalah tidak diketahui yang nilainya perlu ditentukan. Nilai yang dikehendaki menukar kedua-dua persamaan secara serentak kepada kesamaan sebenar.

Penyelesaian sistem dengan kaedah penambahan

Untuk menyelesaikan sistem, iaitu, untuk mencari nilai x dan y yang akan mengubahnya menjadi kesamaan sebenar, anda perlu mengambil beberapa langkah mudah. Yang pertama adalah untuk mengubah mana-mana persamaan dengan cara yang pekali berangka untuk pembolehubah x atau y dalam kedua-dua persamaan bertepatan dengan nilai mutlak, tetapi berbeza dalam tanda.

Sebagai contoh, biarkan sistem yang terdiri daripada dua persamaan diberikan. Yang pertama mempunyai bentuk 2x+4y=8, yang kedua mempunyai bentuk 6x+2y=6. Salah satu pilihan untuk menyelesaikan tugas adalah untuk mendarabkan persamaan kedua dengan faktor -2, yang akan membawanya ke bentuk -12x-4y=-12. Pilihan pekali yang betul adalah salah satu tugas utama dalam proses menyelesaikan sistem dengan kaedah penambahan, kerana ia menentukan keseluruhan proses selanjutnya prosedur untuk mencari yang tidak diketahui.

Sekarang adalah perlu untuk menambah dua persamaan sistem. Jelas sekali, pemusnahan bersama pembolehubah dengan nilai yang sama tetapi bertentangan dalam pekali tanda akan membawanya ke bentuk -10x=-4. Selepas itu, adalah perlu untuk menyelesaikan persamaan mudah ini, dari mana ia dengan jelas mengikuti bahawa x=0.4.

Langkah terakhir dalam proses penyelesaian ialah penggantian nilai ditemui salah satu pembolehubah kepada mana-mana kesamaan awal yang terdapat dalam sistem. Sebagai contoh, menggantikan x=0.4 ke dalam persamaan pertama, anda boleh mendapatkan ungkapan 2*0.4+4y=8, dari mana y=1.8. Oleh itu, x=0.4 dan y=1.8 ialah punca-punca sistem yang ditunjukkan dalam contoh.

Untuk memastikan bahawa akar ditemui dengan betul, adalah berguna untuk menyemak dengan menggantikan nilai yang ditemui ke dalam persamaan kedua sistem. Contohnya, dalam kes ini kesamaan bentuk 0.4*6+1.8*2=6 diperolehi, yang betul.

Video-video yang berkaitan

Kami akan menganalisis dua jenis sistem penyelesaian persamaan:

1. Penyelesaian sistem dengan kaedah penggantian.
2. Penyelesaian sistem dengan penambahan (penolakan) sebutan demi sebutan bagi persamaan sistem.

Untuk menyelesaikan sistem persamaan kaedah penggantian anda perlu mengikuti algoritma mudah:
1. Kami menyatakan. Daripada sebarang persamaan, kami menyatakan satu pembolehubah.
2. Pengganti. Kami menggantikan dalam persamaan lain dan bukannya pembolehubah yang dinyatakan, nilai yang terhasil.
3. Kami menyelesaikan persamaan yang terhasil dengan satu pembolehubah. Kami mencari penyelesaian kepada sistem.

Untuk menyelesaikan sistem dengan penambahan sebutan demi sebutan (tolak) perlu:
1. Pilih pembolehubah yang mana kita akan membuat pekali yang sama.
2. Kami menambah atau menolak persamaan, hasilnya kami mendapat persamaan dengan satu pembolehubah.
3. Kami menyelesaikan persamaan linear yang terhasil. Kami mencari penyelesaian kepada sistem.

Penyelesaian sistem ialah titik persilangan graf fungsi.

Mari kita pertimbangkan secara terperinci penyelesaian sistem menggunakan contoh.

Contoh #1:

Mari selesaikan dengan kaedah penggantian

Menyelesaikan sistem persamaan dengan kaedah penggantian

2x+5y=1 (1 persamaan)
x-10y=3 (persamaan ke-2)

1. Ekspres
Dapat dilihat bahawa dalam persamaan kedua terdapat pembolehubah x dengan pekali 1, maka ternyata ia adalah paling mudah untuk menyatakan pembolehubah x daripada persamaan kedua.
x=3+10y

2. Selepas menyatakan, kita gantikan 3 + 10y dalam persamaan pertama dan bukannya pembolehubah x.
2(3+10y)+5y=1

3. Kami menyelesaikan persamaan yang terhasil dengan satu pembolehubah.
2(3+10y)+5y=1 (kurungan terbuka)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0.2

Penyelesaian sistem persamaan ialah titik persilangan graf, oleh itu kita perlu mencari x dan y, kerana titik persilangan terdiri daripada x dan y. Mari cari x, dalam perenggan pertama di mana kita menyatakan kita menggantikan y di sana.
x=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1

Ia adalah kebiasaan untuk menulis mata di tempat pertama, kita menulis pembolehubah x, dan di tempat kedua pembolehubah y.
Jawapan: (1; -0.2)

Contoh #2:

Mari kita selesaikan dengan penambahan sebutan demi sebutan (tolak).

Menyelesaikan sistem persamaan dengan kaedah tambah

3x-2y=1 (1 persamaan)
2x-3y=-10 (persamaan ke-2)

1. Pilih pembolehubah, katakan kita pilih x. Dalam persamaan pertama, pembolehubah x mempunyai pekali 3, dalam kedua - 2. Kita perlu membuat pekali sama, untuk ini kita mempunyai hak untuk mendarab persamaan atau membahagi dengan sebarang nombor. Kami mendarabkan persamaan pertama dengan 2, dan yang kedua dengan 3 dan mendapat jumlah pekali 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Daripada persamaan pertama, tolak kedua untuk menyingkirkan pembolehubah x. Selesaikan persamaan linear.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6.4

3. Cari x. Kami menggantikan y yang ditemui dalam mana-mana persamaan, katakan dalam persamaan pertama.
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
x=4.6

Titik persilangan ialah x=4.6; y=6.4
Jawapan: (4.6; 6.4)

Adakah anda ingin membuat persediaan untuk peperiksaan secara percuma? Tutor dalam talian secara percuma. Jangan main-main.