Logaritma adalah penjelasan yang mudah. Log formula

Apakah logaritma?

Perhatian!
Ada tambahan
bahan dalam Seksyen Khas 555.
Bagi mereka yang "tidak terlalu..."
Dan bagi mereka yang "sangat...")

Apakah logaritma? Bagaimana untuk menyelesaikan logaritma? Soalan-soalan ini mengelirukan ramai graduan. Secara tradisinya, topik logaritma dianggap kompleks, tidak dapat difahami dan menakutkan. Terutamanya - persamaan dengan logaritma.

Ini sama sekali tidak benar. Sudah tentu! tak percaya? baik. Sekarang, selama kira-kira 10 - 20 minit anda:

1. Faham apa itu logaritma.

2. Belajar untuk menyelesaikan keseluruhan kelas persamaan eksponen. Walaupun anda tidak pernah mendengar tentang mereka.

3. Belajar mengira logaritma mudah.

Selain itu, untuk ini anda hanya perlu mengetahui jadual pendaraban, dan bagaimana nombor dinaikkan kepada kuasa ...

Saya rasa anda ragu-ragu ... Nah, jaga masa! Pergi!

Pertama, selesaikan persamaan berikut dalam fikiran anda:

Jika anda suka laman web ini...

By the way, saya ada beberapa lagi tapak yang menarik untuk anda.)

Anda boleh berlatih menyelesaikan contoh dan mengetahui tahap anda. Menguji dengan pengesahan segera. Belajar - dengan minat!)

anda boleh berkenalan dengan fungsi dan derivatif.

Arahan

Tuliskan ungkapan logaritma yang diberi. Jika ungkapan menggunakan logaritma 10, maka tatatandanya dipendekkan dan kelihatan seperti ini: lg b ialah logaritma perpuluhan. Jika logaritma mempunyai nombor e sebagai asas, maka ungkapan ditulis: ln b ialah logaritma asli. Difahamkan bahawa hasil sebarang adalah kuasa yang mana nombor asas mesti dinaikkan untuk mendapatkan nombor b.

Apabila mencari jumlah dua fungsi, anda hanya perlu membezakannya satu demi satu, dan menambah keputusan: (u+v)" = u"+v";

Apabila mencari terbitan hasil darab dua fungsi, adalah perlu untuk mendarabkan terbitan fungsi pertama dengan yang kedua dan menambah terbitan bagi fungsi kedua, didarab dengan fungsi pertama: (u*v)" = u"* v+v"*u;

Untuk mencari terbitan hasil bagi dua fungsi, adalah perlu, daripada hasil darab dividen yang didarab dengan fungsi pembahagi, untuk menolak hasil darab pembahagi didarab dengan fungsi pembahagi, dan bahagikan. semua ini dengan fungsi pembahagi kuasa dua. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Jika fungsi kompleks diberikan, maka perlu untuk mendarabkan terbitan fungsi dalam dan terbitan luar. Biarkan y=u(v(x)), kemudian y"(x)=y"(u)*v"(x).

Menggunakan yang diperoleh di atas, anda boleh membezakan hampir semua fungsi. Jadi mari kita lihat beberapa contoh:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Terdapat juga tugas untuk mengira derivatif pada satu titik. Biarkan fungsi y=e^(x^2+6x+5) diberikan, anda perlu mencari nilai fungsi pada titik x=1.
1) Cari terbitan bagi fungsi: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Kira nilai fungsi pada titik yang diberi y"(1)=8*e^0=8

Video-video yang berkaitan

Nasihat yang berguna

Ketahui jadual terbitan asas. Ini akan menjimatkan banyak masa.

Sumber:

• terbitan malar

Jadi apakah perbezaan antara persamaan tidak rasional dan persamaan rasional? Jika pembolehubah yang tidak diketahui berada di bawah tanda punca kuasa dua, maka persamaan itu dianggap tidak rasional.

Arahan

Kaedah utama untuk menyelesaikan persamaan tersebut ialah kaedah menaikkan kedua-dua belah persamaan ke dalam segi empat sama. Namun begitu. ini adalah semula jadi, langkah pertama adalah untuk menyingkirkan tanda itu. Secara teknikal, kaedah ini tidak sukar, tetapi kadangkala ia boleh membawa kepada masalah. Contohnya, persamaan v(2x-5)=v(4x-7). Dengan mengkuadratkan kedua-dua belah, anda mendapat 2x-5=4x-7. Persamaan sedemikian tidak sukar untuk diselesaikan; x=1. Tetapi nombor 1 tidak akan diberikan persamaan. kenapa? Gantikan unit dalam persamaan dan bukannya nilai x. Dan bahagian kanan dan kiri akan mengandungi ungkapan yang tidak masuk akal, iaitu. Nilai sedemikian tidak sah untuk punca kuasa dua. Oleh itu, 1 ialah punca luar, dan oleh itu persamaan ini tidak mempunyai punca.

Jadi, persamaan tidak rasional diselesaikan menggunakan kaedah kuasa dua bahagiannya. Dan setelah menyelesaikan persamaan, adalah perlu untuk memotong akar luar. Untuk melakukan ini, gantikan punca yang ditemui ke dalam persamaan asal.

Pertimbangkan satu lagi.
2x+vx-3=0
Sudah tentu, persamaan ini boleh diselesaikan menggunakan persamaan yang sama seperti yang sebelumnya. Pemindahan Sebatian persamaan, yang tidak mempunyai punca kuasa dua, ke sebelah kanan dan kemudian gunakan kaedah kuasa dua. selesaikan persamaan dan punca rasional yang terhasil. Tetapi satu lagi, lebih elegan. Masukkan pembolehubah baharu; vx=y. Oleh itu, anda akan mendapat persamaan seperti 2y2+y-3=0. Iaitu, yang biasa persamaan kuadratik. Cari akarnya; y1=1 dan y2=-3/2. Seterusnya, selesaikan dua persamaan vx=1; vx \u003d -3/2. Persamaan kedua tidak mempunyai punca, dari yang pertama kita dapati bahawa x=1. Jangan lupa tentang keperluan untuk memeriksa akar.

Menyelesaikan identiti agak mudah. Ini memerlukan melakukan transformasi yang sama sehingga matlamat dicapai. Oleh itu, dengan bantuan operasi aritmetik yang paling mudah, tugas itu akan diselesaikan.

Anda perlu

• - kertas;
• - pen.

Arahan

Penjelmaan yang paling mudah ialah pendaraban singkatan algebra (seperti kuasa dua jumlah (perbezaan), perbezaan kuasa dua, hasil tambah (perbezaan), kubus hasil tambah (perbezaan)). Di samping itu, terdapat banyak formula trigonometri yang pada asasnya adalah identiti yang sama.

Sesungguhnya, kuasa dua hasil tambah dua sebutan adalah sama dengan kuasa dua tambah pertama dua kali ganda hasil darab yang pertama dan yang kedua ditambah kuasa dua kedua, iaitu, (a+b)^2= (a+b )(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Permudahkan Kedua-duanya

Prinsip umum penyelesaian

Ulang daripada buku teks tentang analisis matematik atau matematik yang lebih tinggi, yang merupakan kamiran pasti. Seperti yang anda tahu, penyelesaiannya kamiran pasti terdapat fungsi yang terbitannya akan memberikan integrand. Fungsi ini dipanggil primitif. Mengikut prinsip ini, kamiran asas dibina.
Tentukan dengan bentuk kamiran dan kamiran jadual yang manakah sesuai kes ini. Ia tidak selalu mungkin untuk menentukan ini dengan segera. Selalunya, bentuk jadual menjadi ketara hanya selepas beberapa transformasi untuk memudahkan integrand.

Kaedah penggantian boleh ubah

Jika integrand ialah fungsi trigonometri, yang hujahnya adalah beberapa polinomial, kemudian cuba gunakan kaedah penggantian pembolehubah. Untuk melakukan ini, gantikan polinomial dalam hujah integrand dengan beberapa pembolehubah baharu. Berdasarkan nisbah antara pembolehubah baharu dan lama, tentukan had pengamiran baharu. Dengan membezakan ungkapan ini, cari pembezaan baharu dalam . Oleh itu, anda akan mendapat bentuk baru kamiran lama, hampir atau sepadan dengan mana-mana jadual.

Penyelesaian kamiran jenis kedua

Jika kamiran ialah kamiran jenis kedua, bentuk vektor kamiran, maka anda perlu menggunakan peraturan untuk beralih daripada kamiran ini kepada kamiran berskala. Satu peraturan sedemikian ialah nisbah Ostrogradsky-Gauss. Undang-undang ini memungkinkan untuk berpindah daripada aliran pemutar beberapa fungsi vektor kepada kamiran tiga kali ganda atas perbezaan medan vektor tertentu.

Penggantian had penyepaduan

Selepas mencari antiterbitan, adalah perlu untuk menggantikan had penyepaduan. Pertama, gantikan nilai had atas ke dalam ungkapan untuk antiterbitan. Anda akan menerima beberapa nombor. Seterusnya, tolak daripada nombor yang terhasil nombor lain, had bawah yang terhasil kepada antiterbitan. Jika salah satu had penyepaduan ialah infiniti, maka apabila menggantikannya ke dalam fungsi antiterbitan, adalah perlu untuk pergi ke had dan mencari maksud ungkapan itu.
Jika kamiran ialah dua dimensi atau tiga dimensi, maka anda perlu mewakili had geometri pengamiran untuk memahami cara mengira kamiran. Sesungguhnya, dalam kes, katakan, kamiran tiga dimensi, had penyepaduan boleh menjadi keseluruhan satah yang mengehadkan isipadu untuk disepadukan.

Seperti yang anda ketahui, apabila mendarab ungkapan dengan kuasa, eksponennya sentiasa ditambah (a b * a c = a b + c). Undang-undang matematik ini diterbitkan oleh Archimedes, dan kemudiannya, pada abad ke-8, ahli matematik Virasen mencipta jadual penunjuk integer. Merekalah yang berkhidmat untuk penemuan logaritma selanjutnya. Contoh penggunaan fungsi ini boleh didapati hampir di mana-mana di mana ia diperlukan untuk memudahkan pendaraban yang rumit kepada penambahan mudah. Jika anda menghabiskan 10 minit membaca artikel ini, kami akan menerangkan kepada anda apa itu logaritma dan cara bekerja dengannya. Bahasa yang mudah dan mudah diakses.

Definisi dalam matematik

Logaritma ialah ungkapan dalam bentuk berikut: log a b=c, iaitu, logaritma sebarang nombor bukan negatif (iaitu, sebarang positif) "b" mengikut asasnya "a" dianggap kuasa "c ", yang mana perlu untuk menaikkan asas "a", supaya pada akhirnya mendapat nilai "b". Mari analisa logaritma menggunakan contoh, katakan terdapat log ungkapan 2 8. Bagaimana untuk mencari jawapannya? Ia sangat mudah, anda perlu mencari ijazah sedemikian sehingga dari 2 hingga ijazah yang diperlukan anda mendapat 8. Setelah melakukan beberapa pengiraan dalam fikiran anda, kami mendapat nombor 3! Dan memang betul, kerana 2 kepada kuasa 3 memberikan nombor 8 dalam jawapannya.

Varieti logaritma

Bagi kebanyakan pelajar dan pelajar, topik ini kelihatan rumit dan tidak dapat difahami, tetapi sebenarnya, logaritma tidak begitu menakutkan, perkara utama ialah memahami makna umum mereka dan mengingati sifat dan beberapa peraturan mereka. Ada tiga jenis tertentu ungkapan logaritma:

1. Logaritma asli ln a, dengan asasnya ialah nombor Euler (e = 2.7).
2. Perpuluhan a, dengan asasnya ialah 10.
3. Logaritma sebarang nombor b kepada asas a>1.

Setiap daripada mereka diselesaikan dengan cara yang standard, termasuk penyederhanaan, pengurangan dan pengurangan seterusnya kepada satu logaritma menggunakan teorem logaritma. Untuk mendapatkan nilai logaritma yang betul, seseorang harus mengingati sifat mereka dan susunan tindakan dalam keputusan mereka.

Peraturan dan beberapa sekatan

Dalam matematik, terdapat beberapa peraturan-had yang diterima sebagai aksiom, iaitu, ia tidak tertakluk kepada perbincangan dan benar. Sebagai contoh, adalah mustahil untuk membahagikan nombor dengan sifar, dan juga mustahil untuk mengekstrak punca darjah genap daripada nombor negatif. Logaritma juga mempunyai peraturannya sendiri, berikutan anda boleh belajar cara bekerja dengan mudah walaupun dengan ungkapan logaritma yang panjang dan luas:

• asas "a" mestilah sentiasa lebih besar daripada sifar, dan pada masa yang sama tidak sama dengan 1, jika tidak, ungkapan itu akan kehilangan maknanya, kerana "1" dan "0" pada mana-mana darjah sentiasa sama dengan nilainya;
• jika a > 0, kemudian a b > 0, ternyata "c" mestilah lebih besar daripada sifar.

Bagaimana untuk menyelesaikan logaritma?

Sebagai contoh, tugas itu diberikan untuk mencari jawapan kepada persamaan 10 x \u003d 100. Sangat mudah, anda perlu memilih kuasa sedemikian, menaikkan nombor sepuluh yang kita dapat 100. Ini, sudah tentu, adalah 10 2 \u003d 100.

Sekarang mari kita wakili ungkapan ini sebagai satu logaritma. Kami mendapat log 10 100 = 2. Apabila menyelesaikan logaritma, semua tindakan secara praktikalnya menumpu kepada mencari tahap di mana asas logaritma mesti dimasukkan untuk mendapatkan nombor yang diberikan.

Untuk menentukan nilai ijazah yang tidak diketahui dengan tepat, anda mesti belajar cara bekerja dengan jadual darjah. Ia kelihatan seperti ini:

Seperti yang anda lihat, sesetengah eksponen boleh meneka secara intuitif jika anda mempunyai minda teknikal dan pengetahuan tentang jadual pendaraban. Walau bagaimanapun, untuk nilai yang besar anda memerlukan jadual darjah. Ia boleh digunakan walaupun oleh mereka yang tidak memahami apa-apa dalam topik matematik yang kompleks. Lajur kiri mengandungi nombor (asas a), baris atas nombor ialah nilai kuasa c, yang mana nombor a dinaikkan. Di persimpangan dalam sel, nilai nombor ditentukan, yang merupakan jawapan (a c =b). Mari kita ambil, sebagai contoh, sel pertama dengan nombor 10 dan kuasa duakannya, kita mendapat nilai 100, yang ditunjukkan di persimpangan dua sel kita. Segala-galanya sangat mudah dan mudah sehinggakan humanis yang paling sebenar akan faham!

Persamaan dan ketaksamaan

Ternyata dalam keadaan tertentu, eksponen ialah logaritma. Oleh itu, sebarang ungkapan berangka matematik boleh ditulis sebagai persamaan logaritma. Contohnya, 3 4 =81 boleh ditulis sebagai logaritma 81 hingga asas 3, iaitu empat (log 3 81 = 4). Untuk kuasa negatif, peraturannya adalah sama: 2 -5 = 1/32 kita tulis sebagai logaritma, kita dapat log 2 (1/32) = -5. Salah satu bahagian matematik yang paling menarik ialah topik "logaritma". Kami akan mempertimbangkan contoh dan penyelesaian persamaan sedikit lebih rendah, sejurus selepas mengkaji sifatnya. Sekarang mari kita lihat rupa ketaksamaan dan cara membezakannya daripada persamaan.

Ungkapan bentuk berikut diberikan: log 2 (x-1) > 3 - ia adalah ketaksamaan logaritma, kerana nilai "x" yang tidak diketahui berada di bawah tanda logaritma. Dan juga dalam ungkapan dua kuantiti dibandingkan: logaritma nombor yang dikehendaki dalam asas dua adalah lebih besar daripada nombor tiga.

Perbezaan paling penting antara persamaan logaritma dan ketaksamaan ialah persamaan dengan logaritma (contohnya, logaritma 2 x = √9) membayangkan satu atau lebih nilai berangka tertentu dalam jawapan, manakala apabila menyelesaikan ketaksamaan, kedua-dua julat nilai yang boleh diterima dan mata yang melanggar fungsi ini. Akibatnya, jawapannya bukanlah satu set nombor individu yang mudah, seperti dalam jawapan persamaan, tetapi siri berterusan atau set nombor.

Teorem asas tentang logaritma

Apabila menyelesaikan tugas primitif untuk mencari nilai logaritma, sifatnya mungkin tidak diketahui. Walau bagaimanapun, apabila ia datang kepada persamaan logaritma atau ketaksamaan, pertama sekali, adalah perlu untuk memahami dengan jelas dan menggunakan dalam amalan semua sifat asas logaritma. Kita akan berkenalan dengan contoh-contoh persamaan kemudian, mari kita menganalisis terlebih dahulu setiap sifat dengan lebih terperinci.

1. Identiti asas kelihatan seperti ini: a logaB =B. Ia hanya terpakai jika a lebih besar daripada 0, tidak sama dengan satu, dan B lebih besar daripada sifar.
2. Logaritma produk boleh diwakili dalam formula berikut: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Dalam kes ini, prasyaratnya ialah: d, s 1 dan s 2 > 0; a≠1. Anda boleh memberikan bukti untuk formula logaritma ini, dengan contoh dan penyelesaian. Biarkan log a s 1 = f 1 dan log a s 2 = f 2 , kemudian a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Kami mendapat bahawa s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (sifat darjah ), dan seterusnya mengikut takrifan: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, yang perlu dibuktikan.
3. Logaritma hasil bagi kelihatan seperti ini: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Teorem dalam bentuk formula mengambil bentuk berikut: log a q b n = n/q log a b.

Formula ini dipanggil "sifat darjah logaritma". Ia menyerupai sifat darjah biasa, dan ia tidak menghairankan, kerana semua matematik terletak pada postulat biasa. Mari kita lihat buktinya.

Biarkan log a b \u003d t, ternyata a t \u003d b. Jika anda menaikkan kedua-dua bahagian kepada kuasa m: a tn = b n ;

tetapi oleh kerana a tn = (a q) nt/q = b n , maka log a q b n = (n*t)/t, kemudian log a q b n = n/q log a b. Teorem telah terbukti.

Contoh masalah dan ketidaksamaan

Jenis masalah logaritma yang paling biasa ialah contoh persamaan dan ketaksamaan. Mereka terdapat dalam hampir semua buku masalah, dan juga termasuk dalam bahagian wajib peperiksaan dalam matematik. Untuk memasuki universiti atau lulus ujian masuk dalam matematik, anda perlu tahu cara menyelesaikan tugasan tersebut dengan betul.

Malangnya, tiada pelan atau skema tunggal untuk menyelesaikan dan menentukan nilai logaritma yang tidak diketahui, bagaimanapun, peraturan tertentu boleh digunakan untuk setiap ketaksamaan matematik atau persamaan logaritma. Pertama sekali, anda harus mengetahui sama ada ungkapan itu boleh dipermudahkan atau dikurangkan kepada Pandangan umum. Permudahkan panjang ungkapan logaritma Anda boleh, jika anda menggunakan sifat mereka dengan betul. Jom kenali mereka segera.

Apabila menyelesaikan persamaan logaritma, adalah perlu untuk menentukan jenis logaritma yang kita ada sebelum kita: contoh ungkapan mungkin mengandungi logaritma asli atau satu perpuluhan.

Berikut adalah contoh ln100, ln1026. Penyelesaian mereka bermuara kepada fakta bahawa anda perlu menentukan sejauh mana asas 10 akan sama dengan 100 dan 1026, masing-masing. Untuk penyelesaian logaritma semula jadi seseorang mesti menggunakan identiti logaritma atau sifatnya. Mari kita lihat contoh penyelesaian masalah logaritma pelbagai jenis.

Cara Menggunakan Rumus Logaritma: Dengan Contoh dan Penyelesaian

Jadi, mari kita lihat contoh penggunaan teorem utama pada logaritma.

1. Sifat logaritma produk boleh digunakan dalam tugasan di mana ia perlu untuk dikembangkan sangat penting nombor b kepada faktor yang lebih mudah. Sebagai contoh, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Jawapannya ialah 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - seperti yang anda lihat, menggunakan sifat keempat darjah logaritma, kami berjaya menyelesaikan pada pandangan pertama ungkapan yang kompleks dan tidak dapat diselesaikan. Ia hanya perlu untuk memfaktorkan asas dan kemudian mengambil nilai eksponen daripada tanda logaritma.

Tugas daripada peperiksaan

Logaritma sering dijumpai dalam peperiksaan kemasukan, terutamanya banyak masalah logaritma dalam Peperiksaan Negeri Bersepadu (peperiksaan negeri untuk semua lepasan sekolah). Biasanya tugasan ini hadir bukan sahaja di bahagian A (yang paling mudah bahagian ujian peperiksaan), tetapi juga dalam bahagian C (tugas yang paling sukar dan besar). Peperiksaan membayangkan pengetahuan yang tepat dan sempurna tentang topik "Logaritma semulajadi".

Contoh dan penyelesaian masalah diambil dari rasmi GUNAKAN pilihan. Mari lihat bagaimana tugasan sedemikian diselesaikan.

Diberi log 2 (2x-1) = 4. Penyelesaian:
mari kita tulis semula ungkapan itu, permudahkan sedikit log 2 (2x-1) = 2 2 , dengan definisi logaritma kita mendapat bahawa 2x-1 = 2 4 , oleh itu 2x = 17; x = 8.5.

• Semua logaritma sebaiknya diturunkan kepada asas yang sama supaya penyelesaiannya tidak menyusahkan dan mengelirukan.
• Semua ungkapan di bawah tanda logaritma ditunjukkan sebagai positif, oleh itu, apabila mengeluarkan eksponen eksponen ungkapan, yang berada di bawah tanda logaritma dan sebagai asasnya, ungkapan yang tinggal di bawah logaritma mestilah positif.

\(a^(b)=c\) \(\Anak panah kiri\) \(\log_(a)(c)=b\)

Mari kita jelaskan dengan lebih mudah. Sebagai contoh, \(\log_(2)(8)\) adalah sama dengan kuasa \(2\) mesti dinaikkan untuk mendapatkan \(8\). Daripada ini jelas bahawa \(\log_(2)(8)=3\).

Contoh:		\(\log_(5)(25)=2\)		kerana \(5^(2)=25\)
		\(\log_(3)(81)=4\)		kerana \(3^(4)=81\)
		\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)		kerana \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Hujah dan asas logaritma

Mana-mana logaritma mempunyai "anatomi" berikut:

Hujah logaritma biasanya ditulis pada tahapnya, dan pangkalan ditulis dalam subskrip lebih dekat dengan tanda logaritma. Dan entri ini dibaca seperti ini: "logaritma dua puluh lima hingga asas lima."

Bagaimana untuk mengira logaritma?

Untuk mengira logaritma, anda perlu menjawab soalan: sejauh manakah asas harus dibangkitkan untuk mendapatkan hujah?

Sebagai contoh, hitung logaritma: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Apakah kuasa yang mesti dinaikkan untuk mendapatkan \(16\)? Jelas sekali yang kedua. Itulah sebabnya:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Pada kuasa apakah \(\sqrt(5)\) mesti dinaikkan untuk mendapatkan \(1\)? Dan tahap apakah yang menjadikan sebarang nombor sebagai unit? Sifar, sudah tentu!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Apakah kuasa \(\sqrt(7)\) mesti dinaikkan untuk mendapatkan \(\sqrt(7)\)? Dalam yang pertama - sebarang nombor dalam darjah pertama adalah sama dengan dirinya sendiri.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Kepada kuasa apakah \(3\) mesti dinaikkan untuk mendapatkan \(\sqrt(3)\)? Daripada kita tahu itu adalah kuasa pecahan, dan oleh itu punca kuasa dua ialah kuasa bagi \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Contoh : Kira logaritma \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Penyelesaian :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Kita perlu mencari nilai logaritma, mari kita nyatakan ia sebagai x. Sekarang mari kita gunakan definisi logaritma: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Anak panah kiri\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Apakah pautan \(4\sqrt(2)\) dan \(8\)? Dua, kerana kedua-dua nombor boleh diwakili oleh dua: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Di sebelah kiri, kami menggunakan sifat darjah: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) dan \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Asas adalah sama, kita meneruskan ke persamaan penunjuk
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Darab kedua-dua belah persamaan dengan \(\frac(2)(5)\)
		Punca yang terhasil ialah nilai logaritma

Jawab : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Mengapakah logaritma dicipta?

Untuk memahami perkara ini, mari kita selesaikan persamaan: \(3^(x)=9\). Hanya padankan \(x\) untuk membuat kesamaan berfungsi. Sudah tentu, \(x=2\).

Sekarang selesaikan persamaan: \(3^(x)=8\). Apakah x sama dengan? Itulah maksudnya.

Yang paling cerdik akan berkata: "X kurang sedikit daripada dua." Bagaimana sebenarnya nombor ini ditulis? Untuk menjawab soalan ini, mereka datang dengan logaritma. Terima kasih kepadanya, jawapan di sini boleh ditulis sebagai \(x=\log_(3)(8)\).

Saya ingin menekankan bahawa \(\log_(3)(8)\), serta sebarang logaritma hanyalah nombor. Ya, ia kelihatan luar biasa, tetapi ia pendek. Kerana jika kita mahu menulisnya sebagai perpuluhan, ia akan kelihatan seperti ini: \(1.892789260714.....\)

Contoh : Selesaikan persamaan \(4^(5x-4)=10\)

Penyelesaian :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) dan \(10\) tidak boleh dikurangkan kepada tapak yang sama. Jadi di sini anda tidak boleh melakukannya tanpa logaritma. Mari kita gunakan definisi logaritma: \(a^(b)=c\) \(\Anak panah kiri\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Balikkan persamaan supaya x berada di sebelah kiri
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Sebelum kita. Gerakkan \(4\) ke kanan. Dan jangan takut dengan logaritma, perlakukan ia seperti nombor biasa.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Bahagikan persamaan dengan 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Inilah punca kami. Ya, ia kelihatan luar biasa, tetapi jawapannya tidak dipilih.

Jawab : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Logaritma perpuluhan dan semula jadi

Seperti yang dinyatakan dalam takrifan logaritma, asasnya boleh menjadi sebarang nombor positif, kecuali untuk unit \((a>0, a\neq1)\). Dan di antara semua asas yang mungkin, terdapat dua yang sering berlaku sehingga notasi pendek khas dicipta untuk logaritma dengannya:

Logaritma asli: logaritma yang asasnya ialah nombor Euler \(e\) (sama dengan lebih kurang \(2.7182818…\)), dan logaritma ditulis sebagai \(\ln(a)\).

Itu dia, \(\ln(a)\) adalah sama dengan \(\log_(e)(a)\)

Logaritma perpuluhan: Logaritma yang asasnya ialah 10 ditulis \(\lg(a)\).

Itu dia, \(\lg(a)\) adalah sama dengan \(\log_(10)(a)\), dengan \(a\) ialah beberapa nombor.

Identiti logaritma asas

Logaritma mempunyai banyak sifat. Salah satunya dipanggil "Utama identiti logaritma' dan kelihatan seperti ini:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Sifat ini mengikuti terus dari definisi. Mari lihat bagaimana sebenarnya formula ini muncul.

Mari kita ingat nota ringkas definisi logaritma:

jika \(a^(b)=c\), maka \(\log_(a)(c)=b\)

Iaitu, \(b\) adalah sama dengan \(\log_(a)(c)\). Kemudian kita boleh menulis \(\log_(a)(c)\) dan bukannya \(b\) dalam formula \(a^(b)=c\) . Ternyata \(a^(\log_(a)(c))=c\) - identiti logaritma utama.

Anda boleh mencari selebihnya sifat logaritma. Dengan bantuan mereka, anda boleh memudahkan dan mengira nilai ungkapan dengan logaritma, yang sukar untuk dikira secara langsung.

Contoh : Cari nilai ungkapan \(36^(\log_(6)(5))\)

Penyelesaian :

Jawab : \(25\)

Bagaimana untuk menulis nombor sebagai logaritma?

Seperti yang dinyatakan di atas, sebarang logaritma hanyalah nombor. Sebaliknya juga benar: sebarang nombor boleh ditulis sebagai logaritma. Sebagai contoh, kita tahu bahawa \(\log_(2)(4)\) adalah sama dengan dua. Kemudian anda boleh menulis \(\log_(2)(4)\) dan bukannya dua.

Tetapi \(\log_(3)(9)\) juga sama dengan \(2\), jadi anda juga boleh menulis \(2=\log_(3)(9)\) . Begitu juga dengan \(\log_(5)(25)\), dan dengan \(\log_(9)(81)\), dsb. Iaitu, ternyata

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Oleh itu, jika kita perlu, kita boleh menulis kedua-duanya sebagai logaritma dengan mana-mana asas di mana-mana sahaja (walaupun dalam persamaan, walaupun dalam ungkapan, walaupun dalam ketaksamaan) - kita hanya menulis asas kuasa dua sebagai hujah.

Ia sama dengan tiga kali ganda - ia boleh ditulis sebagai \(\log_(2)(8)\), atau sebagai \(\log_(3)(27)\), atau sebagai \(\log_(4)( 64) \) ... Di sini kita menulis pangkalan dalam kubus sebagai hujah:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Dan dengan empat:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Dan dengan tolak satu:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

Dan dengan satu pertiga:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Sebarang nombor \(a\) boleh diwakili sebagai logaritma dengan asas \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Contoh : Cari nilai ungkapan \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Penyelesaian :

Jawab : \(1\)

Dengan perkembangan masyarakat, kerumitan pengeluaran, matematik juga berkembang. Pergerakan daripada mudah kepada kompleks. Daripada kaedah perakaunan biasa tambah dan tolak, dengan pengulangan berulang, mereka sampai kepada konsep pendaraban dan pembahagian. Pengurangan operasi darab berulang menjadi konsep eksponen. Jadual pertama pergantungan nombor pada asas dan bilangan eksponen telah disusun semula pada abad ke-8 oleh ahli matematik India Varasena. Daripada mereka, anda boleh mengira masa berlakunya logaritma.

Garis besar sejarah

Kebangkitan Eropah pada abad ke-16 turut merangsang perkembangan mekanik. T memerlukan jumlah pengiraan yang besar dikaitkan dengan pendaraban dan pembahagian nombor berbilang digit. Meja kuno melakukan perkhidmatan yang hebat. Mereka memungkinkan untuk menggantikan operasi kompleks dengan yang lebih mudah - penambahan dan penolakan. Satu langkah besar ke hadapan adalah karya ahli matematik Michael Stiefel, yang diterbitkan pada tahun 1544, di mana dia menyedari idea ramai ahli matematik. Ini memungkinkan untuk menggunakan jadual bukan sahaja untuk darjah dalam bentuk nombor perdana, tetapi juga untuk yang rasional sewenang-wenangnya.

Pada tahun 1614, John Napier Scotsman, mengembangkan idea-idea ini, mula-mula memperkenalkan istilah baru "logaritma nombor." Jadual kompleks baharu telah disusun untuk mengira logaritma sinus dan kosinus, serta tangen. Ini sangat mengurangkan kerja ahli astronomi.

Jadual baru mula muncul, yang berjaya digunakan oleh saintis untuk tiga abad. Ia mengambil masa yang lama sebelum ini operasi baru dalam algebra memperoleh bentuk siapnya. Logaritma telah ditakrifkan dan sifatnya telah dikaji.

Hanya pada abad ke-20, dengan kemunculan kalkulator dan komputer, manusia meninggalkan jadual kuno yang telah berjaya beroperasi sepanjang abad ke-13.

Hari ini kita memanggil logaritma b untuk mendasarkan a nombor x, iaitu kuasa a, untuk mendapatkan nombor b. Ini ditulis sebagai formula: x = log a(b).

Sebagai contoh, log 3(9) akan bersamaan dengan 2. Ini jelas jika anda mengikut definisi. Jika kita menaikkan 3 kepada kuasa 2, kita mendapat 9.

Oleh itu, definisi yang dirumuskan hanya meletakkan satu sekatan, nombor a dan b mestilah nyata.

Varieti logaritma

Takrif klasik dipanggil logaritma sebenar dan sebenarnya merupakan penyelesaian kepada persamaan a x = b. Pilihan a = 1 adalah sempadan dan tiada kepentingan. Nota: 1 kepada mana-mana kuasa ialah 1.

Nilai sebenar logaritma ditakrifkan hanya jika asas dan hujah lebih besar daripada 0, dan asas tidak boleh sama dengan 1.

Tempat istimewa dalam bidang matematik mainkan logaritma, yang akan dinamakan bergantung pada nilai asasnya:

Peraturan dan sekatan

Sifat asas logaritma ialah peraturan: logaritma produk adalah sama dengan jumlah logaritma. log abp = log a(b) + log a(p).

Sebagai varian pernyataan ini, ia akan menjadi: log c (b / p) \u003d log c (b) - log c (p), fungsi hasil bagi adalah sama dengan perbezaan fungsi.

Adalah mudah untuk melihat daripada dua peraturan sebelumnya bahawa: log a(b p) = p * log a(b).

Harta lain termasuk:

Komen. Jangan buat kesilapan biasa - logaritma jumlah tidak sama dengan jumlah logaritma.

Selama berabad-abad, operasi mencari logaritma adalah tugas yang agak memakan masa. Ahli matematik menggunakan formula yang terkenal bagi teori pengembangan logaritma kepada polinomial:

ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* (( x^n)/n), dengan n ialah nombor asli lebih besar daripada 1, yang menentukan ketepatan pengiraan.

Logaritma dengan tapak lain dikira menggunakan teorem pada peralihan dari satu tapak ke tapak yang lain dan sifat logaritma hasil darab.

Oleh kerana kaedah ini sangat susah payah dan semasa menyelesaikan masalah praktikal sukar untuk dilaksanakan, mereka menggunakan jadual logaritma yang telah disusun sebelumnya, yang sangat mempercepatkan keseluruhan kerja.

Dalam sesetengah kes, graf logaritma yang disusun khas digunakan, yang memberikan kurang ketepatan, tetapi dengan ketara mempercepatkan carian untuk nilai yang dikehendaki. Lengkung fungsi y = log a(x), dibina pada beberapa titik, membenarkan penggunaan pembaris biasa untuk mencari nilai fungsi pada mana-mana titik lain. Jurutera masa yang lama untuk tujuan ini, kertas graf yang dipanggil telah digunakan.

Pada abad ke-17, keadaan pengkomputeran analog tambahan pertama muncul, yang akan abad XIX memperoleh rupa siap. Peranti yang paling berjaya dipanggil peraturan slaid. Walaupun kesederhanaan peranti, penampilannya dengan ketara mempercepatkan proses semua pengiraan kejuruteraan, dan ini sukar untuk dipandang tinggi. Pada masa ini, beberapa orang biasa dengan peranti ini.

Kemunculan kalkulator dan komputer menjadikannya sia-sia untuk menggunakan sebarang peranti lain.

Persamaan dan ketaksamaan

Formula berikut digunakan untuk menyelesaikan pelbagai persamaan dan ketaksamaan menggunakan logaritma:

• Peralihan dari satu pangkalan ke pangkalan lain: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• Akibat daripada versi sebelumnya: log a(b) = 1 / log b(a).

Untuk menyelesaikan ketaksamaan, adalah berguna untuk mengetahui:

• Nilai logaritma hanya akan positif jika kedua-dua asas dan hujah kedua-duanya lebih besar daripada atau kurang daripada satu; jika sekurang-kurangnya satu syarat dilanggar, nilai logaritma akan menjadi negatif.
• Jika fungsi logaritma digunakan pada bahagian kanan dan kiri ketaksamaan, dan asas logaritma lebih besar daripada satu, maka tanda ketaksamaan itu dipelihara; jika tidak, ia berubah.

Contoh tugas

Pertimbangkan beberapa pilihan untuk menggunakan logaritma dan sifatnya. Contoh dengan menyelesaikan persamaan:

Pertimbangkan pilihan untuk meletakkan logaritma dalam darjah:

• Tugasan 3. Kira 25^log 5(3). Penyelesaian: dalam keadaan masalah, tatatanda adalah serupa dengan yang berikut (5^2)^log5(3) atau 5^(2 * log 5(3)). Mari kita tuliskannya secara berbeza: 5^log 5(3*2), atau kuasa dua nombor sebagai hujah fungsi boleh ditulis sebagai kuasa dua bagi fungsi itu sendiri (5^log 5(3))^2. Menggunakan sifat logaritma, ungkapan ini ialah 3^2. Jawapan: hasil pengiraan kita dapat 9.

Penggunaan praktikal

Sebagai alat matematik semata-mata, ia kelihatan jauh dari kehidupan sebenar bahawa logaritma tiba-tiba mengambil kepentingan yang besar dalam menerangkan objek dunia sebenar. Sukar untuk mencari ilmu yang tidak digunakan. Ini terpakai sepenuhnya bukan sahaja kepada alam semula jadi, tetapi juga kepada bidang ilmu kemanusiaan.

Kebergantungan logaritma

Berikut ialah beberapa contoh kebergantungan berangka:

Mekanik dan fizik

Dari segi sejarah, mekanik dan fizik sentiasa berkembang menggunakan kaedah matematik penyelidikan dan pada masa yang sama berfungsi sebagai insentif untuk pembangunan matematik, termasuk logaritma. Teori kebanyakan undang-undang fizik ditulis dalam bahasa matematik. Kami hanya memberikan dua contoh huraian undang-undang fizik menggunakan logaritma.

Adalah mungkin untuk menyelesaikan masalah pengiraan kuantiti yang kompleks seperti kelajuan roket menggunakan formula Tsiolkovsky, yang meletakkan asas untuk teori penerokaan angkasa:

V = I * ln(M1/M2), di mana

• V ialah kelajuan akhir pesawat.
• I ialah impuls spesifik enjin.
• M 1 ialah jisim awal roket.
• M 2 - jisim akhir.

Satu lagi contoh penting- ini adalah penggunaan dalam formula seorang lagi saintis hebat, Max Planck, yang berfungsi untuk menilai keadaan keseimbangan dalam termodinamik.

S = k * ln (Ω), di mana

• S ialah sifat termodinamik.
• k ialah pemalar Boltzmann.
• Ω ialah berat statistik bagi keadaan yang berbeza.

Kimia

Kurang jelas ialah penggunaan formula dalam kimia yang mengandungi nisbah logaritma. Berikut adalah dua contoh sahaja:

• Persamaan Nernst, keadaan potensi redoks medium berhubung dengan aktiviti bahan dan pemalar keseimbangan.
• Pengiraan pemalar seperti indeks autoprolisis dan keasidan larutan juga tidak lengkap tanpa fungsi kita.

Psikologi dan biologi

Dan ia sama sekali tidak dapat difahami apa kaitan psikologi dengannya. Ternyata kekuatan sensasi digambarkan dengan baik oleh fungsi ini sebagai nisbah songsang nilai intensiti rangsangan kepada nilai intensiti yang lebih rendah.

Selepas contoh-contoh di atas, tidak hairan lagi jika tema logaritma juga digunakan secara meluas dalam biologi. Isipadu keseluruhan boleh ditulis tentang bentuk biologi yang sepadan dengan lingkaran logaritma.

Kawasan lain

Nampaknya kewujudan dunia adalah mustahil tanpa kaitan dengan fungsi ini, dan ia mengawal semua undang-undang. Terutama apabila undang-undang alam berkaitan dengannya janjang geometri. Perlu merujuk kepada laman web MatProfi, dan terdapat banyak contoh sedemikian dalam bidang aktiviti berikut:

Senarai itu mungkin tidak berkesudahan. Setelah menguasai undang-undang asas fungsi ini, anda boleh terjun ke dunia kebijaksanaan yang tidak terhingga.