rumah › Penghantaran (kotak gear) › Penjelasan paradoks Monty Hall. The Monty Hall Paradox adalah teka-teki logik bukan untuk mereka yang lemah hati.

Penjelasan paradoks Monty Hall. The Monty Hall Paradox adalah teka-teki logik bukan untuk mereka yang lemah hati.

Bertemu dengannya yang dipanggil Monty Hall Paradox, dan wow menyelesaikannya secara berbeza, iaitu: membuktikan bahawa ini adalah pseudo-paradoks.

Kawan-kawan, saya akan gembira mendengar kritikan tentang penyangkalan saya terhadap paradoks ini (pseudo-paradox, jika saya betul). Dan kemudian saya akan melihat dengan mata saya sendiri bahawa logik saya pincang, saya akan berhenti memikirkan diri saya sebagai pemikir dan berfikir untuk menukar jenis aktiviti kepada yang lebih lirik: o). Jadi, inilah kandungan tugasan tersebut. Penyelesaian yang dicadangkan dan sanggahan saya ada di bawah.

Bayangkan anda telah menjadi peserta dalam permainan di mana anda berada di hadapan tiga pintu. Tuan rumah, yang diketahui jujur, meletakkan sebuah kereta di belakang salah satu pintu, dan seekor kambing di belakang dua pintu yang lain. Anda tidak mempunyai maklumat tentang perkara di sebalik pintu mana.

Fasilitator memberitahu anda: “Mula-mula anda perlu memilih salah satu pintu. Selepas itu, saya akan membuka salah satu pintu yang tinggal, di belakangnya adalah seekor kambing. Kemudian saya akan mencadangkan anda menukar pilihan asal anda dan memilih pintu tertutup yang tinggal dan bukannya pintu yang anda pilih pada mulanya. Anda boleh mengikut nasihat saya dan memilih pintu lain, atau anda boleh mengesahkan pilihan asal anda. Selepas itu, saya akan membuka pintu yang anda pilih dan anda akan memenangi apa yang ada di sebalik pintu itu."

Anda pilih pintu nombor 3. Fasilitator membuka pintu nombor 1 dan menunjukkan ada seekor kambing di belakangnya. Hos kemudian meminta anda memilih pintu nombor 2.

Adakah peluang anda untuk memenangi kereta meningkat jika anda mengikut nasihatnya?
Paradoks Monty Hall adalah salah satu masalah teori kebarangkalian yang terkenal, penyelesaiannya, pada pandangan pertama, bercanggah dengan akal sehat.
Apabila menyelesaikan masalah ini, mereka biasanya membuat alasan seperti ini: selepas tuan rumah membuka pintu di belakang tempat kambing itu terletak, kereta hanya boleh berada di belakang salah satu daripada dua pintu yang tinggal. Oleh kerana pemain tidak boleh menerima apa-apa maklumat tambahan tentang pintu mana kereta itu berada di belakang, maka kebarangkalian untuk mencari kereta di belakang setiap pintu adalah sama, dan menukar pilihan awal pintu tidak memberi kelebihan kepada pemain. Walau bagaimanapun, garis penaakulan ini tidak betul.
Jika tuan rumah sentiasa mengetahui pintu di belakang, sentiasa membuka baki pintu yang mengandungi kambing, dan sentiasa menggesa pemain menukar pilihannya, maka kebarangkalian kereta itu berada di belakang pintu yang dipilih oleh pemain ialah 1/3, dan , oleh itu, kebarangkalian kereta itu berada di belakang pintu yang tinggal ialah 2/3. Oleh itu, menukar pilihan awal menggandakan peluang pemain untuk memenangi kereta. Kesimpulan ini bercanggah dengan persepsi intuitif keadaan oleh kebanyakan orang, itulah sebabnya masalah yang diterangkan dipanggil paradoks Monty Hall.

Nampaknya kepada saya bahawa peluang tidak akan berubah; tiada paradoks.

Dan inilah sebabnya: pilihan pintu pertama dan kedua ialah bebas peristiwa. Ia seperti melambung syiling 2 kali: apa yang jatuh pada kali ke-2 tidak bergantung pada apa-apa cara pada apa yang jatuh pada kali pertama.

Jadi di sini: selepas membuka pintu dengan kambing, pemain mendapati dirinya masuk keadaan baru apabila ia mempunyai 2 pintu dan kebarangkalian untuk memilih kereta atau kambing ialah 1/2.

Sekali lagi: selepas membuka satu daripada tiga pintu, kebarangkalian bahawa kereta itu berada di belakang pintu yang tinggal, tidak sama dengan 2/3, kerana 2/3 ialah kebarangkalian bahawa kereta itu berada di belakang mana-mana 2 pintu. Adalah tidak betul untuk mengaitkan kebarangkalian ini kepada pintu yang belum dibuka dan pintu yang terbuka. Sebelum ini pembukaan pintu adalah penjajaran kebarangkalian, tetapi selepas membuka satu pintu, semua kebarangkalian ini menjadi batal, kerana keadaan telah berubah, dan oleh itu pengiraan kebarangkalian baharu diperlukan, yang orang biasa dijalankan dengan betul, menjawab bahawa tiada apa yang akan berubah daripada perubahan pilihan.

Tambahan: 1) dengan alasan bahawa:

a) kebarangkalian untuk mencari kereta di belakang pintu yang dipilih ialah 1/3,

b) kebarangkalian bahawa kereta itu berada di belakang dua pintu lain yang tidak dipilih, 2/3,

c) kerana tuan rumah membuka pintu dengan kambing, maka kebarangkalian 2/3 pergi sepenuhnya ke satu pintu yang tidak dipilih (dan tidak dibuka),

dan oleh itu adalah perlu untuk menukar pilihan ke pintu lain, supaya kebarangkalian dari 1/3 menjadi 2/3, tidak benar, tetapi palsu, iaitu: dalam perenggan "c", kerana pada mulanya kebarangkalian 2/3 melibatkan mana-mana dua pintu, termasuk 2 yang tinggal tidak terbuka, dan sejak satu pintu dibuka, maka kebarangkalian ini akan dibahagikan sama rata antara 2 tidak terbuka, i.e. kebarangkalian akan sama, dan memilih pintu lain tidak akan meningkatkannya.

2) kebarangkalian bersyarat dikira jika terdapat 2 atau lebih peristiwa rawak, dan kebarangkalian dikira secara berasingan untuk setiap peristiwa, dan hanya kemudian kebarangkalian kejadian bersama 2 atau lebih peristiwa dikira. Di sini, pada mulanya, kebarangkalian meneka adalah 1/3, tetapi untuk mengira kebarangkalian bahawa kereta itu tidak berada di belakang pintu yang dipilih, tetapi di belakang yang lain yang tidak terbuka, anda tidak perlu mengira kebarangkalian bersyarat, tetapi anda perlu mengira kebarangkalian mudah, iaitu 1 daripada 2, itu. 1/2.

3) Oleh itu, ini bukan paradoks, tetapi kesilapan! (19.11.2009)

Lampiran 2: Semalam saya datang dengan penjelasan paling mudah iaitu strategi pemilihan semula masih lebih berfaedah(paradoks adalah benar!): dengan pilihan pertama, masuk ke kambing adalah 2 kali lebih mungkin daripada ke dalam kereta, kerana terdapat dua kambing, dan oleh itu, dengan pilihan kedua, anda perlu menukar pilihan. Ia sangat jelas :o)

Atau dengan kata lain: adalah perlu untuk tidak menandakan di dalam kereta, tetapi untuk menolak kambing, dan juga penyampai membantu dalam hal ini, membuka kambing. Dan pada permulaan permainan, dengan kebarangkalian 2 daripada 3, pemain juga akan berjaya, jadi, setelah menolak kambing, anda perlu menukar pilihan. Dan ia juga menjadi sangat jelas secara tiba-tiba :o)

Jadi semua yang saya tulis setakat ini adalah penolakan palsu. Nah, berikut adalah satu lagi ilustrasi fakta bahawa anda perlu lebih sederhana, menghormati pandangan orang lain dan tidak mempercayai jaminan logik anda bahawa keputusannya adalah logik kristal.

Pada Disember 1963, saluran televisyen Amerika NBC pertama kali menyiarkan program Let's Make a Deal ("Mari kita buat perjanjian!"), Di mana para peserta, yang dipilih daripada penonton di studio, tawar-menawar antara satu sama lain dan dengan hos, bermain. permainan kecil atau hanya meneka jawapan kepada soalan itu. Pada penghujung siaran, para peserta boleh memainkan "perjanjian hari ini". Terdapat tiga pintu di hadapan mereka, yang diketahui bahawa di belakang salah satu daripadanya adalah Hadiah Utama (contohnya, kereta), dan di belakang dua yang lain adalah hadiah yang kurang berharga atau tidak masuk akal (contohnya, kambing hidup) . Selepas pemain membuat pilihannya, Monty Hall, pengacara program, membuka salah satu daripada dua pintu yang tinggal, menunjukkan bahawa tiada Hadiah di belakangnya dan membiarkan peserta gembira kerana dia berpeluang untuk menang.

Pada tahun 1975, saintis UCLA Steve Selvin bertanya apa yang akan berlaku jika, pada masa itu, selepas membuka pintu tanpa Hadiah, peserta diminta untuk menukar pilihan mereka. Adakah peluang pemain untuk mendapatkan Hadiah akan berubah dalam kes ini, dan jika ya, ke arah mana? Dia menghantar soalan yang sepadan dalam bentuk masalah kepada The American Statistician ("American Statistician"), dan juga kepada Monty Hall sendiri, yang memberikan jawapan yang agak ingin tahu kepadanya. Walaupun jawapan ini (atau mungkin kerana itu), masalah itu menjadi popular di bawah nama "masalah Monty Hall".

Rumusan yang paling biasa bagi masalah ini, diterbitkan pada tahun 1990 dalam Majalah Parade, adalah seperti berikut:

“Bayangkan anda telah menjadi peserta dalam permainan di mana anda perlu memilih salah satu daripadanya tiga pintu. Di belakang salah satu pintu adalah sebuah kereta, di belakang dua pintu lagi adalah kambing. Anda memilih salah satu pintu, contohnya, nombor 1, selepas itu tuan rumah, yang tahu di mana kereta dan di mana kambing, membuka salah satu pintu yang tinggal, contohnya, nombor 3, di belakangnya ada kambing. Selepas itu, dia bertanya kepada anda jika anda ingin menukar pilihan anda dan memilih pintu nombor 2. Adakah peluang anda untuk memenangi kereta akan meningkat jika anda menerima tawaran hos dan menukar pilihan anda?

Selepas penerbitan, ia segera menjadi jelas bahawa masalah itu dirumuskan secara tidak betul: tidak semua syarat telah ditetapkan. Sebagai contoh, fasilitator boleh mengikut strategi "Monty neraka": tawarkan untuk menukar pilihan jika dan hanya jika pemain telah memilih kereta pada langkah pertama. Jelas sekali, menukar pilihan awal akan membawa kepada kerugian yang terjamin dalam situasi sedemikian.

Yang paling popular ialah masalah dengan syarat tambahan - peserta permainan mengetahui peraturan berikut terlebih dahulu:

kereta itu berkemungkinan sama diletakkan di belakang mana-mana daripada 3 pintu;
dalam apa jua keadaan, tuan rumah diwajibkan untuk membuka pintu dengan kambing (tetapi bukan yang dipilih oleh pemain) dan menawarkan pemain untuk menukar pilihan;
jika pemimpin mempunyai pilihan yang mana satu daripada dua pintu untuk dibuka, dia memilih salah satu daripada mereka dengan kebarangkalian yang sama.

Petunjuk

Cuba pertimbangkan orang yang memilih pintu yang berbeza dalam kes yang sama (iaitu, apabila Hadiah, sebagai contoh, di belakang pintu nombor 1). Siapa yang akan mendapat manfaat daripada mengubah pilihan mereka, dan siapa yang tidak?

Penyelesaian

Seperti yang dicadangkan dalam petua alat, pertimbangkan orang yang membuat pilihan yang berbeza. Mari kita anggap bahawa Hadiah berada di belakang pintu #1, dan di belakang pintu #2 dan #3 adalah kambing. Katakan kita mempunyai enam orang, dan setiap pintu dipilih oleh dua orang, dan dari setiap pasangan satu kemudiannya menukar keputusan, dan yang lain tidak.

Perhatikan bahawa Hos yang memilih pintu No. 1 akan membuka salah satu daripada dua pintu mengikut citarasanya, manakala, tidak kira ini, Kereta akan diterima oleh orang yang tidak mengubah pilihannya, tetapi orang yang menukar pilihan awalnya akan kekal tanpa Hadiah. Sekarang mari kita lihat mereka yang memilih pintu #2 dan #3. Memandangkan terdapat Kereta di belakang pintu No. 1, Hos tidak boleh membukanya, yang menyebabkan dia tiada pilihan - dia membuka pintu No. 3 dan No. 2 untuk mereka, masing-masing. Pada masa yang sama, orang yang menukar keputusan dalam setiap pasangan akan memilih Hadiah sebagai hasilnya, dan orang yang tidak menukar akan ditinggalkan tanpa apa-apa. Oleh itu, daripada tiga orang yang berubah fikiran, dua akan mendapat Hadiah, dan seorang akan mendapat kambing, manakala daripada tiga orang yang meninggalkan pilihan asal mereka tidak berubah, hanya seorang akan mendapat Hadiah.

Perlu diingat bahawa jika Kereta berada di belakang pintu #2 atau #3, keputusannya adalah sama, hanya pemenang tertentu sahaja yang akan berubah. Oleh itu, dengan mengandaikan bahawa pada mulanya setiap pintu dipilih dengan kebarangkalian yang sama, kita mendapat bahawa mereka yang menukar pilihan mereka memenangi Hadiah dua kali lebih kerap, iaitu, kebarangkalian untuk menang dalam kes ini adalah lebih besar.

Mari kita lihat masalah ini dari sudut teori kebarangkalian matematik. Kami akan menganggap bahawa kebarangkalian pilihan awal setiap pintu adalah sama, serta kebarangkalian berada di belakang setiap pintu Kereta. Di samping itu, adalah berguna untuk membuat tempahan bahawa Pemimpin, apabila dia boleh membuka dua pintu, memilih setiap satu daripada mereka dengan kebarangkalian yang sama. Kemudian ternyata selepas keputusan pertama, kebarangkalian Hadiah berada di belakang pintu yang dipilih adalah 1/3, manakala kebarangkalian bahawa ia berada di belakang salah satu daripada dua pintu lain ialah 2/3. Pada masa yang sama, selepas Hos membuka salah satu daripada dua pintu "tidak dipilih", keseluruhan kebarangkalian 2/3 jatuh pada hanya satu daripada pintu yang tinggal, dengan itu mewujudkan asas untuk mengubah keputusan, yang akan meningkatkan kebarangkalian untuk menang sebanyak 2 kali. Yang, sudah tentu, tidak menjaminnya dalam apa-apa cara dalam satu kes tertentu, tetapi akan membawa kepada hasil yang lebih berjaya dalam kes pengulangan berulang percubaan.

Akhir kata

Masalah Monty Hall bukanlah rumusan pertama yang diketahui bagi masalah ini. Khususnya, pada tahun 1959, Martin Gardner menerbitkan dalam Scientific American masalah yang sama "kira-kira tiga banduan" (Masalah Tiga Tahanan) dengan perkataan berikut: "Daripada tiga banduan, seorang harus diampuni, dan dua harus dihukum bunuh. Banduan A memujuk pengawal untuk memberitahunya nama salah seorang daripada dua yang lain yang akan dihukum bunuh (sama ada jika kedua-duanya dihukum bunuh), selepas itu, setelah menerima nama B, dia menganggap bahawa kebarangkalian keselamatannya sendiri telah menjadi tidak. 1/3, tetapi 1/2. Pada masa yang sama, banduan C mendakwa bahawa kebarangkalian dia melarikan diri telah menjadi 2/3, manakala tiada apa yang berubah untuk A. Mana satu betul?"

Bagaimanapun, Gardner bukanlah yang pertama, sejak tahun 1889, dalam Calculus of Probabilitynya, ahli matematik Perancis Joseph Bertrand (tidak boleh dikelirukan dengan orang Inggeris Bertrand Russell!) Menawarkan masalah yang sama (lihat paradoks kotak Bertrand): “Terdapat tiga kotak, setiap satunya mengandungi dua syiling: dua syiling emas dalam yang pertama, dua syiling perak dalam yang kedua, dan dua yang berbeza dalam yang ketiga.

Jika anda memahami penyelesaian kepada ketiga-tiga masalah, adalah mudah untuk melihat persamaan idea mereka; secara matematik kesemuanya disatukan dengan konsep kebarangkalian bersyarat iaitu kebarangkalian kejadian A jika diketahui peristiwa B telah berlaku. Contoh paling mudah: kebarangkalian sebiji dadu biasa dilemparkan ialah 1/6; namun, jika nombor yang digulung itu diketahui ganjil, maka kebarangkalian ia adalah satu sudah 1/3. Masalah Monty Hall, seperti dua masalah lain yang disebut, menunjukkan bahawa kebarangkalian bersyarat mesti dikendalikan dengan berhati-hati.

Masalah ini juga sering dipanggil paradoks: Paradoks Monty Hall, paradoks kotak Bertrand (yang terakhir ini tidak boleh dikelirukan dengan paradoks Bertrand sebenar yang diberikan dalam buku yang sama, yang membuktikan kekaburan konsep kebarangkalian yang wujud pada masa itu) - yang membayangkan beberapa percanggahan (contohnya, dalam " paradoks Pembohong" frasa "pernyataan ini palsu" bercanggah dengan undang-undang bahagian tengah yang dikecualikan). DALAM kes ini, walau bagaimanapun, tiada percanggahan dengan kenyataan yang ketat. Walau bagaimanapun, terdapat percanggahan yang jelas dengan pendapat umum” atau sekadar “penyelesaian yang jelas” kepada masalah tersebut. Sesungguhnya, kebanyakan orang, melihat masalah itu, percaya bahawa selepas membuka salah satu pintu, kebarangkalian untuk mencari Hadiah di sebalik mana-mana dua pintu tertutup yang masih ada ialah 1/2. Dengan berbuat demikian, mereka menegaskan bahawa tidak ada bezanya sama ada mereka bersetuju atau tidak bersetuju untuk mengubah fikiran mereka. Lebih-lebih lagi, ramai orang merasa sukar untuk memahami jawapan selain daripada ini, walaupun selepas diberitahu penyelesaian terperinci.

Balasan Monty Hall kepada Steve Selwyn

Encik Steve Selvin,
penolong profesor biostatistik,
Universiti California, Berkeley.

Steve yang dihormati,

Terima kasih kerana menghantar masalah kepada saya daripada American Statistical.

Walaupun saya tidak belajar statistik di universiti, saya tahu bahawa nombor sentiasa boleh digunakan untuk kelebihan saya jika saya mahu memanipulasinya. Alasan anda tidak mengambil kira satu keadaan penting: selepas kotak pertama kosong, peserta tidak boleh mengubah pilihannya lagi. Jadi kebarangkalian tetap sama: satu dalam tiga, bukan? Dan, sudah tentu, selepas salah satu kotak kosong, peluangnya tidak menjadi 50/50, tetapi tetap sama - satu daripada tiga. Nampaknya peserta hanya dengan menyingkirkan satu kotak, dia mendapat lebih banyak peluang. Tidak sama sekali. Dua lawan satu menentangnya, seperti sedia ada, dan kekal. Dan jika anda tiba-tiba datang ke rancangan saya, peraturan akan tetap sama untuk anda: tiada kotak berubah selepas pemilihan.

Bayangkan anda telah menjadi peserta dalam permainan di mana anda perlu memilih satu daripada tiga pintu. Di belakang salah satu pintu adalah sebuah kereta, di belakang dua pintu lagi adalah kambing. Anda memilih salah satu pintu, contohnya, nombor 1, selepas itu tuan rumah, yang tahu di mana kereta dan di mana kambing, membuka salah satu pintu yang tinggal, contohnya, nombor 3, di belakangnya ada kambing. Selepas itu, dia bertanya kepada anda jika anda ingin menukar pilihan anda dan memilih pintu nombor 2. Adakah peluang anda untuk memenangi kereta akan meningkat jika anda menerima tawaran hos dan menukar pilihan anda?

Penyelesaian. Marilah kita segera ambil perhatian bahawa masalah ini tidak mengandungi sebarang paradoks. tugas biasa ( Tahap pertama) kepada formula Bayes, yang mengikuti daripada takrifan kebarangkalian bersyarat.

Formula Bayes

Nyatakan dengan A, acara - anda memenangi sebuah kereta.

Kami mengemukakan dua hipotesis: H 1 - anda tidak menukar pintu, dan H 2 - anda menukar pintu.

P(H 1)= 1/3 - a priori (a priori - ia bermakna sebelum eksperimen, hos belum membuka pintu) kebarangkalian hipotesis bahawa anda menukar pintu.

P H1 (A) - kebarangkalian bersyarat bahawa anda akan meneka pintu di belakang tempat kereta itu terletak, jika hipotesis pertama H 1 berlaku

P H2 (A) - kebarangkalian bersyarat bahawa anda meneka pintu di belakang kereta itu terletak, jika hipotesis kedua H 2 berlaku

Cari kebarangkalian kejadian A jika hipotesis H 1 berlaku (kebarangkalian anda memenangi kereta jika anda tidak menukar pintu):

Cari kebarangkalian kejadian A jika hipotesis H 2 berlaku (kebarangkalian anda memenangi kereta jika anda menukar pintu):

Oleh itu, peserta harus menukar pilihan awalnya - dalam kes ini, kebarangkalian kemenangannya adalah sama dengan 2 ⁄ 3 .

Pengesahan statistik paradoks Monty Hall

Di sini: "strategi 1" - jangan ubah pilihan, "strategi 2" - tukar pilihan. Secara teorinya, untuk kes dengan 3 pintu, taburan kebarangkalian ialah 33.(3)% dan 66.(6)%. Simulasi berangka harus memberikan hasil yang serupa.

Teori kebarangkalian adalah cabang matematik yang sedia mengelirukan ahli matematik sendiri. Tidak seperti dogma sains yang lain, tepat dan tidak tergoyahkan, kawasan ini penuh dengan keanehan dan ketidaktepatan. Perenggan baharu, boleh dikatakan, baru-baru ini telah ditambahkan pada bahagian ini - paradoks Monty Hall. Ini, secara amnya, tugas, tetapi ia diselesaikan dengan cara yang sama sekali berbeza daripada sekolah atau universiti biasa.

Kisah asal usul

Orang ramai telah memerah otak mereka tentang paradoks Monty Hall sejak tahun 1975 yang jauh. Tetapi ia berbaloi untuk dimulakan pada tahun 1963. Pada masa itu rancangan TV yang dipanggil Let's make a deal muncul di skrin, yang diterjemahkan sebagai "Mari kita buat perjanjian." Hosnya tidak lain dan tidak bukan adalah Monty Hall, yang melemparkan penonton kadangkala teka-teki yang tidak dapat diselesaikan. Salah satu yang paling menarik ialah yang dikemukakannya pada tahun 1975. Masalah itu telah menjadi sebahagian daripada teori kebarangkalian matematik dan paradoks yang sesuai dengan kerangkanya. Perlu juga diperhatikan bahawa fenomena ini adalah punca perbincangan yang kuat dan kritikan pedas daripada saintis. Paradoks Monty Hall telah diterbitkan dalam majalah Parade pada tahun 1990, dan sejak itu menjadi lebih dibincangkan dan isu kontroversi semua zaman dan bangsa. Nah, sekarang kita beralih terus kepada rumusan dan tafsirannya.

Pernyataan masalah

Terdapat banyak tafsiran paradoks ini, tetapi kami memutuskan untuk membentangkan anda yang klasik, yang ditunjukkan dalam program itu sendiri. Jadi ada tiga pintu di hadapan anda. Di belakang salah satu daripada mereka adalah sebuah kereta, di belakang dua lagi, seekor kambing setiap satu. Tuan rumah menjemput anda untuk memilih salah satu pintu, dan katakan anda berhenti di nombor 1. Setakat ini, anda tidak tahu apa yang ada di sebalik pintu pertama ini, kerana mereka membuka pintu ketiga untuk anda dan menunjukkan bahawa ada seekor kambing di belakangnya. Oleh itu, anda belum kalah, kerana anda belum memilih pintu yang menyembunyikan pilihan yang kalah. Oleh itu, peluang anda untuk mendapatkan kereta meningkat.

Tetapi kemudian hos mencadangkan anda mengubah fikiran anda. Sudah ada dua pintu di hadapan anda, di belakang satu kambing, di belakang satu lagi hadiah yang didambakan. Inilah sebenarnya inti masalah. Nampaknya mana-mana dua pintu yang anda pilih, peluangnya adalah 50/50. Tetapi sebenarnya, jika anda mengubah fikiran anda, kemungkinan anda akan menang akan menjadi lebih besar. Bagaimana pula?

Pilihan pertama yang anda buat dalam permainan ini adalah rawak. Anda tidak dapat meneka dari jauh mana antara tiga pintu yang disembunyikan hadiahnya, jadi anda secara rawak menunjuk ke pintu pertama yang terjumpa. Pemimpin pula tahu di mana segala-galanya. Dia mempunyai pintu dengan hadiah, pintu yang anda tunjuk, dan pintu ketiga tanpa hadiah, yang dia buka untuk anda sebagai petunjuk pertama. Petunjuk kedua terletak pada cadangannya untuk menukar pilihan.

Kini anda tidak lagi akan memilih salah satu daripada tiga secara rawak, malah anda boleh menukar fikiran untuk mendapatkan hadiah yang diingini. Cadangan tuan rumah itulah yang memberi kepercayaan kepada orang itu bahawa kereta itu sebenarnya bukan di belakang pintu yang dipilihnya, tetapi di belakang yang lain. Ini adalah intipati keseluruhan paradoks, kerana, sebenarnya, anda masih perlu memilih (walaupun dari dua, dan bukan dari tiga) secara rawak, tetapi peluang untuk menang meningkat. Menurut statistik, daripada 30 pemain yang berubah fikiran, 18 memenangi kereta itu. Dan ini adalah 60%. Dan daripada 30 orang yang sama yang tidak mengubah keputusan mereka - hanya 11, iaitu, 36%.

Tafsiran dalam nombor

Sekarang mari kita berikan paradoks Monty Hall lagi definisi yang tepat. Pilihan pertama pemain membahagikan pintu kepada dua kumpulan. Kebarangkalian bahawa hadiah terletak di belakang pintu yang anda pilih ialah 1/3, dan di belakang pintu yang kekal 2/3. Tuan rumah kemudiannya membuka salah satu pintu kumpulan kedua. Oleh itu, dia memindahkan semua kebarangkalian yang tinggal, 2/3, ke satu pintu yang anda tidak pilih dan yang dia tidak buka. Adalah logik bahawa selepas pengiraan sedemikian lebih menguntungkan untuk mengubah fikiran anda. Tetapi pada masa yang sama, adalah penting untuk diingat bahawa masih ada peluang untuk kalah. Kadang-kadang penyampai licik, kerana anda pada mulanya boleh mencucuk pintu yang betul dan memenangi hadiah, dan kemudian secara sukarela menolaknya.

Kita semua terbiasa dengan fakta bahawa matematik, sebagai sains tepat, berjalan seiring dengan akal sehat. Di sini nombor berfungsi, bukan perkataan, formula tepat, bukan pemikiran yang samar-samar, koordinat, bukan data relatif. Tetapi dia bahagian baru yang dipanggil teori kebarangkalian meletupkan keseluruhan corak yang biasa. Tugas dalam bidang ini, nampaknya kepada kami, tidak sesuai dengan kerangka akal dan benar-benar bercanggah dengan semua formula dan pengiraan. Di bawah ini kami mencadangkan agar anda membiasakan diri dengan paradoks lain teori kebarangkalian yang mempunyai persamaan dengan yang diterangkan di atas.

Paradoks lelaki dan perempuan

Tugas itu, pada pandangan pertama, adalah tidak masuk akal, tetapi ia mematuhi formula matematik dan mempunyai dua penyelesaian. Jadi, lelaki tertentu mempunyai dua orang anak. Salah seorang daripada mereka mesti lelaki. Apakah kebarangkalian bahawa yang kedua ialah lelaki?

Pilihan 1. Kami menganggap semua gabungan dua anak dalam keluarga:

Gadis/gadis.
Budak perempuan.
Lelaki/Perempuan.
Budak lelaki/budak lelaki.

Gabungan pertama jelas tidak sesuai dengan kita, oleh itu, berdasarkan tiga yang terakhir, kita mendapat 1/3 kebarangkalian bahawa anak kedua akan menjadi lelaki kecil.

Pilihan 2. Jika kita membayangkan kes sedemikian dalam amalan, membuang pecahan dan formula, maka, berdasarkan fakta bahawa terdapat hanya dua jantina di Bumi, kebarangkalian bahawa anak kedua akan menjadi lelaki ialah 1/2.

Pengalaman ini menunjukkan kepada kita bagaimana statistik terkenal boleh dimanipulasi. Jadi, "sleeping beauty" itu disuntik dengan pil tidur dan dilemparkan syiling. Jika kepala timbul, dia terjaga dan percubaan berakhir. Sekiranya ekor jatuh, maka mereka membangunkannya, segera membuat suntikan kedua, dan dia lupa bahawa dia bangun, dan selepas itu mereka bangun semula hanya pada hari kedua. Selepas kebangkitan sepenuhnya, "kecantikan" tidak tahu pada hari apa dia membuka matanya, atau apakah kebarangkalian syiling itu jatuh ekor. Menurut penyelesaian pertama, kebarangkalian mendapat ekor (atau kepala) ialah 1/2. Intipati pilihan kedua ialah jika eksperimen dijalankan 1000 kali, maka dalam kes helang, "kecantikan" akan dibangunkan 500 kali, dan dengan yang jarang berlaku - 1000. Sekarang kebarangkalian mendapat ekor ialah 2/3.

Paradoks Monty Hall adalah salah satu masalah teori kebarangkalian yang terkenal, penyelesaiannya, pada pandangan pertama, bercanggah dengan akal sehat. Masalah ini dirumuskan sebagai penerangan tentang permainan hipotesis berdasarkan rancangan TV Amerika Let's Make a Deal dan dinamakan sempena hos rancangan ini. Rumusan yang paling biasa bagi masalah ini, diterbitkan pada tahun 1990 dalam Majalah Parade, adalah seperti berikut:

Walaupun rumusan masalah ini adalah yang paling terkenal, ia agak bermasalah kerana ia meninggalkan beberapa syarat penting masalah yang tidak ditentukan. Berikut adalah pernyataan yang lebih lengkap.

Apabila menyelesaikan masalah ini, mereka biasanya membuat alasan seperti ini: selepas tuan rumah membuka pintu di belakang tempat kambing itu terletak, kereta hanya boleh berada di belakang salah satu daripada dua pintu yang tinggal. Memandangkan pemain tidak boleh mendapatkan sebarang maklumat tambahan tentang pintu mana kereta itu berada di belakang, kebarangkalian untuk mencari kereta di belakang setiap pintu adalah sama, dan menukar pilihan awal pintu tidak memberi kelebihan kepada pemain. Walau bagaimanapun, garis penaakulan ini tidak betul. Jika tuan rumah sentiasa mengetahui pintu di belakang, sentiasa membuka baki pintu yang mengandungi kambing, dan sentiasa menggesa pemain menukar pilihannya, maka kebarangkalian kereta itu berada di belakang pintu yang dipilih oleh pemain ialah 1/3, dan , oleh itu, kebarangkalian kereta itu berada di belakang pintu yang tinggal ialah 2/3. Oleh itu, menukar pilihan awal menggandakan peluang pemain untuk memenangi kereta. Kesimpulan ini bercanggah dengan persepsi intuitif keadaan oleh kebanyakan orang, itulah sebabnya masalah yang diterangkan dipanggil paradoks Monty Hall.

keputusan lisan

Jawapan yang betul untuk masalah ini adalah seperti berikut: ya, peluang untuk memenangi kereta digandakan jika pemain mengikut nasihat tuan rumah dan menukar pilihan awalnya.

Penjelasan paling mudah untuk jawapan ini ialah pertimbangan berikut. Untuk memenangi kereta tanpa mengubah pilihan, pemain mesti segera meneka pintu di belakang kereta itu berdiri. Kebarangkalian ini ialah 1/3. Jika pemain pada mulanya memukul pintu dengan kambing di belakangnya (dan kebarangkalian acara ini adalah 2/3, kerana terdapat dua kambing dan hanya satu kereta), maka dia pasti boleh memenangi kereta dengan mengubah fikirannya, kerana kereta itu dan tinggal seekor kambing, dan tuan rumah telah pun membuka pintu dengan kambing itu.

Oleh itu, tanpa mengubah pilihan, pemain kekal dengan kebarangkalian awalnya untuk menang 1/3, dan apabila menukar pilihan awal, pemain beralih kepada kelebihannya dua kali ganda baki kebarangkalian yang dia tidak meneka dengan betul pada mulanya.

Selain itu, penjelasan intuitif boleh dibuat dengan menukar dua acara. Acara pertama adalah keputusan pemain untuk menukar pintu, acara kedua ialah pembukaan pintu tambahan. Ini boleh diterima, kerana membuka pintu tambahan tidak memberi pemain apa-apa maklumat baru(dokumen lihat dalam artikel ini).

Kemudian masalah itu boleh dikurangkan kepada rumusan berikut. Pada saat pertama, pemain membahagikan pintu kepada dua kumpulan: dalam kumpulan pertama terdapat satu pintu (yang dia pilih), dalam kumpulan kedua terdapat dua pintu yang tinggal. Pada masa berikutnya, pemain membuat pilihan antara kumpulan. Adalah jelas bahawa untuk kumpulan pertama kebarangkalian untuk menang adalah 1/3, untuk kumpulan kedua 2/3. Pemain memilih kumpulan kedua. Dalam kumpulan kedua, dia boleh membuka kedua-dua pintu. Satu dibuka oleh tuan rumah, dan yang kedua oleh pemain itu sendiri.

Mari cuba berikan penjelasan yang "paling difahami". Merumuskan semula masalah: Hos yang jujur mengumumkan kepada pemain bahawa terdapat sebuah kereta di belakang salah satu daripada tiga pintu, dan menjemputnya untuk mula-mula menunjuk ke salah satu pintu, dan kemudian memilih salah satu daripada dua tindakan: buka pintu yang ditentukan (dalam rumusan lama, ini dipanggil "jangan ubah pilihan anda") atau buka dua yang lain (dalam rumusan lama, ini hanya "ubah pilihan". Fikirkan, ini adalah kunci untuk memahami!). Adalah jelas bahawa pemain akan memilih yang kedua daripada dua tindakan, kerana kebarangkalian untuk mendapatkan kereta dalam kes ini adalah dua kali lebih tinggi. Dan perkara kecil yang pemimpin "menunjukkan kambing" walaupun sebelum memilih tindakan tidak membantu dan tidak mengganggu pilihan, kerana di sebalik salah satu daripada dua pintu sentiasa ada kambing dan pemimpin pasti akan menunjukkannya di mana-mana kursus. permainan, jadi pemain boleh pada kambing ini dan tidak menonton. Urusan pemain, jika dia memilih tindakan kedua, adalah untuk mengucapkan "terima kasih" kepada tuan rumah kerana menyelamatkannya daripada masalah membuka satu daripada dua pintu itu sendiri, dan membuka pintu yang lain. Nah, atau lebih mudah. Cuba kita bayangkan situasi ini dari sudut pandangan tuan rumah, yang melakukan prosedur yang sama dengan berpuluh-puluh pemain. Oleh kerana dia mengetahui dengan baik apa yang ada di belakang pintu, maka, secara purata, dalam dua daripada tiga kes, dia melihat terlebih dahulu bahawa pemain telah memilih pintu yang "salah". Oleh itu, baginya pasti tidak ada paradoks bahawa strategi yang betul adalah untuk mengubah pilihan selepas membuka pintu pertama: lagipun, maka dalam dua kes yang sama daripada tiga pemain akan meninggalkan studio untuk kereta baru.

Akhirnya, bukti yang paling "naif". Biarlah orang yang berdiri dengan pilihannya dipanggil "Degil", dan orang yang mengikut arahan pemimpin dipanggil "Perhatian". Kemudian yang Degil menang jika dia mula meneka kereta (1/3), dan yang Attentive - jika dia mula-mula terlepas dan memukul kambing (2/3). Lagipun, hanya dalam kes ini dia akan menunjuk ke pintu dengan kereta.

Kunci untuk memahami

Walaupun kesederhanaan menjelaskan fenomena ini, ramai orang secara intuitif percaya bahawa kebarangkalian untuk menang tidak berubah apabila pemain menukar pilihannya. Biasanya, kemustahilan menukar kebarangkalian menang didorong oleh fakta bahawa apabila mengira kebarangkalian, peristiwa yang berlaku pada masa lalu tidak penting, seperti yang berlaku, sebagai contoh, apabila melambung syiling - kebarangkalian mendapat kepala atau ekor tidak penting. tidak bergantung pada berapa kali kepala atau ekor jatuh sebelum ini. Oleh itu, ramai yang percaya bahawa pada masa ini pemain memilih satu pintu daripada dua, tidak lagi penting bahawa pada masa lalu terdapat pilihan satu pintu daripada tiga, dan kebarangkalian untuk memenangi kereta adalah sama apabila menukar pilihan , dan meninggalkan pilihan asal.

Walau bagaimanapun, walaupun pertimbangan sedemikian adalah benar dalam kes lambungan syiling, ia tidak benar untuk semua permainan. Dalam kes ini, pembukaan pintu oleh tuan harus diabaikan. Pemain pada dasarnya memilih antara satu pintu yang mereka pilih dahulu dan dua yang lain - membuka salah satu daripadanya hanya berfungsi untuk mengalih perhatian pemain. Maklumlah ada satu kereta dan dua ekor kambing. Pilihan awal pemain untuk salah satu pintu membahagikan kemungkinan hasil permainan kepada dua kumpulan: sama ada kereta berada di belakang pintu yang dipilih oleh pemain (kebarangkalian ini adalah 1/3), atau di belakang salah satu daripada dua yang lain (kebarangkalian daripada ini ialah 2/3). Pada masa yang sama, sudah diketahui bahawa dalam apa jua keadaan terdapat seekor kambing di belakang salah satu daripada dua pintu yang tinggal, dan dengan membuka pintu ini, tuan rumah tidak memberi pemain apa-apa maklumat tambahan tentang apa yang ada di belakang pintu yang dipilih oleh pemain. Oleh itu, membuka pintu dengan kambing oleh ketua tidak mengubah kebarangkalian (2/3) bahawa kereta itu berada di belakang salah satu pintu yang tinggal. Dan sejak sudah buka pintu pemain tidak memilih, maka semua kebarangkalian ini tertumpu sekiranya kereta itu berada di belakang pintu tertutup yang tinggal.

Penaakulan yang lebih intuitif: Biarkan pemain bertindak mengikut strategi "perubahan pilihan". Kemudian dia akan kalah hanya jika dia mula-mula memilih kereta. Dan kebarangkalian ini adalah satu pertiga. Oleh itu, kebarangkalian menang: 1-1/3=2/3. Jika pemain bertindak mengikut strategi "jangan ubah pilihan", maka dia akan menang jika dan hanya jika dia pada mulanya memilih kereta. Dan kebarangkalian ini adalah satu pertiga.

Cuba kita bayangkan situasi ini dari sudut pandangan tuan rumah, yang melakukan prosedur yang sama dengan berpuluh-puluh pemain. Oleh kerana dia mengetahui dengan baik apa yang ada di belakang pintu, maka, secara purata, dalam dua daripada tiga kes, dia melihat terlebih dahulu bahawa pemain telah memilih pintu yang "salah". Oleh itu, baginya pasti tidak ada paradoks bahawa strategi yang betul adalah mengubah pilihan selepas membuka pintu pertama: lagipun, dalam dua kes yang sama daripada tiga, pemain akan meninggalkan studio dengan kereta baru.

Satu lagi sebab biasa untuk kesukaran memahami penyelesaian kepada masalah ini ialah sering orang membayangkan permainan yang sedikit berbeza - di mana tidak diketahui terlebih dahulu sama ada tuan rumah akan membuka pintu dengan kambing dan mencadangkan pemain menukar pilihannya. Dalam kes ini, pemain tidak tahu taktik tuan rumah (iaitu, pada dasarnya, tidak tahu semua peraturan permainan) dan tidak boleh membuat pilihan yang optimum. Sebagai contoh, jika fasilitator hanya akan menawarkan perubahan pilihan jika pemain pada mulanya memilih pintu dengan kereta, maka jelas pemain harus sentiasa meninggalkan keputusan asal tidak berubah. Itulah sebabnya penting untuk mengingati rumusan tepat masalah Monty Hall. (dengan pilihan ini, pemimpin dengan strategi yang berbeza boleh mencapai sebarang kebarangkalian antara pintu, dalam kes umum (purata) ia akan menjadi 1/2 dengan 1/2).

Pertambahan bilangan pintu

Untuk menjadikannya lebih mudah untuk memahami intipati apa yang sedang berlaku, kita boleh mempertimbangkan kes apabila pemain tidak melihat tiga pintu di hadapannya, tetapi, sebagai contoh, seratus. Pada masa yang sama, terdapat sebuah kereta di belakang salah satu pintu, dan kambing di belakang 99 pintu yang lain. Pemain memilih salah satu pintu, manakala dalam 99% kes dia akan memilih pintu dengan kambing, dan peluang untuk segera memilih pintu dengan kereta adalah sangat kecil - mereka adalah 1%. Selepas itu, tuan rumah membuka 98 pintu dengan kambing dan meminta pemain memilih pintu yang tinggal. Dalam kes ini, dalam 99% kes, kereta akan berada di belakang pintu yang tinggal ini, kerana kemungkinan pemain segera memilih pintu yang betul adalah sangat kecil. Jelas bahawa dalam situasi ini pemain yang berfikiran rasional harus sentiasa menerima cadangan pemimpin.

Apabila mempertimbangkan peningkatan bilangan pintu, persoalan sering timbul: jika dalam masalah asal pemimpin membuka satu pintu daripada tiga (iaitu, 1/3 daripada jumlah pintu), mengapa kita harus menganggap bahawa dalam kes 100 pintu, tuan rumah akan membuka 98 pintu dengan kambing, dan bukan 33? Pertimbangan ini biasanya merupakan salah satu sebab penting mengapa paradoks Monty Hall bercanggah dengan persepsi intuitif tentang situasi tersebut. Andaikan pembukaan 98 pintu adalah betul kerana syarat penting Tugasnya adalah untuk mempunyai hanya satu pilihan alternatif untuk pemain, yang ditawarkan oleh moderator. Oleh itu, supaya tugasan menjadi serupa, dalam kes 4 pintu, pemimpin mesti membuka 2 pintu, dalam kes 5 pintu - 3, dan seterusnya, supaya sentiasa ada satu pintu yang tidak dibuka selain daripada yang satu. yang pemain pilih pada mulanya. Jika fasilitator membuka lebih sedikit pintu, maka tugas itu tidak lagi serupa dengan tugas asal Monty Hall.

Perlu diingatkan bahawa dalam kes banyak pintu, walaupun tuan rumah tidak meninggalkan satu pintu tertutup, tetapi beberapa, dan menawarkan pemain untuk memilih salah satu daripada mereka, maka apabila menukar pilihan awal, peluang pemain untuk memenangi kereta akan masih meningkat, walaupun tidak begitu ketara. Sebagai contoh, pertimbangkan situasi di mana pemain memilih satu pintu daripada seratus, dan kemudian fasilitator hanya membuka satu daripada pintu yang tinggal, menjemput pemain untuk menukar pilihannya. Pada masa yang sama, peluang bahawa kereta itu berada di belakang pintu yang asalnya dipilih oleh pemain tetap sama - 1/100, dan untuk pintu yang tinggal peluang berubah: jumlah kebarangkalian bahawa kereta itu berada di belakang salah satu pintu yang tinggal ( 99/100) kini diedarkan bukan pada 99 pintu, tetapi 98. Oleh itu, kebarangkalian untuk mencari kereta di belakang setiap pintu ini tidak akan menjadi 1/100, tetapi 99/9800. Peningkatan kebarangkalian adalah kira-kira 0.01%.

pokok keputusan

pokok penyelesaian yang mungkin pemain dan tuan rumah, menunjukkan kebarangkalian setiap keputusan

Secara lebih formal, senario permainan boleh diterangkan menggunakan pepohon keputusan.

Dalam dua kes pertama, apabila pemain mula-mula memilih pintu di mana kambing berada, menukar pilihan menghasilkan kemenangan. Dalam dua kes terakhir, apabila pemain pertama kali memilih pintu dengan kereta, menukar pilihan mengakibatkan kerugian.

Jumlah kebarangkalian bahawa perubahan dalam pilihan akan membawa kepada kemenangan adalah bersamaan dengan jumlah kebarangkalian dua hasil pertama, iaitu

Sehubungan itu, kebarangkalian bahawa enggan menukar pilihan akan membawa kepada kemenangan adalah sama dengan

Menjalankan eksperimen serupa

Terdapat cara mudah untuk memastikan bahawa menukar pilihan asal menghasilkan kemenangan dua daripada tiga kali secara purata. Untuk melakukan ini, anda boleh mensimulasikan permainan yang diterangkan dalam masalah Monty Hall menggunakan bermain kad. Satu orang (mengedarkan kad) memainkan peranan sebagai Monty Hall yang terkemuka, dan yang kedua - peranan pemain. Tiga kad diambil untuk permainan, yang mana satu menggambarkan pintu dengan kereta (contohnya, ace of spades), dan dua lagi yang serupa (contohnya, dua deuces merah) adalah pintu dengan kambing.

Hos meletakkan tiga kad menghadap ke bawah, menjemput pemain untuk mengambil salah satu kad. Selepas pemain memilih kad, ketua melihat dua kad yang tinggal dan mendedahkan deuce merah. Selepas itu, kad yang ditinggalkan oleh pemain dan ketua dibuka, dan jika kad yang dipilih oleh pemain adalah ace of spades, maka satu mata direkodkan memihak kepada pilihan apabila pemain tidak mengubah pilihannya, dan jika pemain mempunyai deuce merah, dan ketua mempunyai ace of spades, maka mata dijaringkan memihak kepada pilihan apabila pemain menukar pilihannya. Jika kita bermain banyak pusingan permainan sedemikian, maka nisbah antara mata yang memihak kepada dua pilihan menggambarkan dengan baik nisbah kebarangkalian pilihan ini. Dalam kes ini, ternyata bilangan mata yang memihak kepada menukar pilihan awal adalah kira-kira dua kali lebih besar.

Eksperimen sedemikian bukan sahaja memastikan bahawa kebarangkalian untuk menang apabila menukar pilihan adalah dua kali lebih tinggi, tetapi juga menggambarkan dengan baik mengapa ini berlaku. Pada masa ini apabila pemain telah memilih kad untuk dirinya sendiri, ia sudah ditentukan sama ada ace of spades berada di tangannya atau tidak. Pembukaan selanjutnya salah satu kad oleh ketua tidak mengubah keadaan - pemain sudah memegang kad di tangannya, dan ia kekal di sana tanpa mengira tindakan ketua. Kebarangkalian untuk pemain memilih daripada ace of spades tiga kad adalah jelas 1/3, dan dengan itu kebarangkalian untuk tidak memilihnya (dan kemudian pemain menang jika dia menukar pilihan asal) ialah 2/3.

Menyebut

Dalam filem Twenty-one, guru, Miki Rosa, mencabar watak utama, Ben, untuk menyelesaikan teka-teki: terdapat dua skuter dan satu kereta di belakang tiga pintu; anda mesti meneka pintu untuk memenangi kereta. Selepas pilihan pertama, Miki menawarkan untuk menukar pilihan. Ben bersetuju dan secara matematik membenarkan keputusannya. Jadi dia secara tidak sengaja lulus ujian untuk pasukan Miki.

Dalam novel Sergei Lukyanenko "Nedotepa", watak utama, menggunakan teknik ini, memenangi kereta dan peluang untuk meneruskan perjalanan mereka.

Dalam siri televisyen 4isla (episod 13 musim 1 "Man Hunt"), salah seorang watak utama, Charlie Epps, dalam kuliah popular mengenai matematik, menerangkan paradoks Monty Hall, dengan jelas menggambarkannya menggunakan papan penanda, pada sisi terbalik yang dicat kambing dan kereta. Charlie mencari kereta itu dengan menukar pilihan. Walau bagaimanapun, perlu diingatkan bahawa dia hanya menjalankan satu percubaan, manakala faedah strategi pertukaran adalah statistik, dan satu siri eksperimen harus dijalankan untuk menggambarkan dengan betul.

http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/36146

Popular dalam kategori: