rumah › peralatan elektrik › Terdapat tiga pintu di hadapan anda. Paradoks Monty Hall - penjelasan untuk peningkatan kebarangkalian pilihan

Terdapat tiga pintu di hadapan anda. Paradoks Monty Hall - penjelasan untuk peningkatan kebarangkalian pilihan

Mengenai loteri

Permainan ini telah lama memperoleh watak massa dan telah menjadi sebahagian daripada kehidupan moden. Dan walaupun loteri semakin meluaskan keupayaannya, ramai orang masih melihatnya sebagai satu cara untuk menjadi kaya. Biar dan tidak percuma dan tidak boleh dipercayai. Sebaliknya, seperti yang dinyatakan oleh salah seorang wira Jack London, dalam perjudian seseorang tidak boleh tidak mengira dengan fakta - orang kadang-kadang bernasib baik.

Matematik kes. Sejarah teori kebarangkalian

Alexander Bufetov

Transkrip dan rakaman video syarahan oleh Doktor Sains Fizikal dan Matematik, hos penyelidik Institut Matematik Steklov, Felo Penyelidik Utama, IPTP RAS, Profesor, Fakulti Matematik, Pusat Pengajian Tinggi Ekonomi, Pengarah Penyelidikan Pusat Negara kajian saintifik di Perancis (CNRS) oleh Alexander Bufetov, disampaikan sebagai sebahagian daripada siri Syarahan Umum Polit.ru pada 6 Februari 2014.

Ilusi Keteraturan: Mengapa Random Nampak Tidak Semulajadi

Idea kami tentang rawak, biasa dan mustahil sering menyimpang daripada data statistik dan teori kebarangkalian. Dalam "Peluang Tidak Sempurna. Bagaimana peluang menguasai hidup kita" Ahli fizik dan pempopular sains Amerika Leonard Mlodinov bercakap tentang mengapa algoritma rawak kelihatan sangat pelik, apakah tangkapan "rawak" shuffling lagu pada iPod, dan apa yang menentukan kejayaan seorang penganalisis saham. Teori dan Amalan menerbitkan petikan daripada buku tersebut.

Determinisme

Determinisme ialah konsep saintifik umum dan falsafah tentang sebab, corak, sambungan genetik, interaksi dan syarat semua fenomena dan proses yang berlaku di dunia.

Tuhan adalah statistik

Deborah Nolan, profesor statistik di University of California di Berkeley, meminta pelajarnya melakukan tugas yang sangat pelik pada pandangan pertama. Kumpulan pertama mesti melambung duit syiling seratus kali dan menulis hasilnya: kepala atau ekor. Yang kedua mesti membayangkan bahawa dia sedang melambung syiling - dan juga membuat senarai ratusan hasil "khayalan".

Apa itu determinisme

Jika keadaan awal sistem diketahui, adalah mungkin, menggunakan undang-undang alam, untuk meramalkan keadaan terakhirnya.

Masalah pengantin yang cerewet

Huseyn-Zade S. M.

Paradoks Zeno

Adakah mungkin untuk pergi dari satu titik di angkasa ke yang lain? Ahli falsafah Yunani kuno Zeno dari Elea percaya bahawa pergerakan itu tidak dapat dijalankan sama sekali, tetapi bagaimana dia berhujah tentang ini? Colm Keller bercakap tentang cara menyelesaikan paradoks terkenal Zeno.

Paradoks set tak terhingga

Bayangkan sebuah hotel dengan bilangan bilik yang tidak terhingga. Sebuah bas tiba dengan bilangan tetamu masa depan yang tidak terhingga. Tetapi meletakkan semuanya tidak begitu mudah. Ini adalah kerumitan yang tidak berkesudahan, dan para tetamu tidak berkesudahan letih. Dan jika anda gagal untuk menangani tugas itu, maka anda boleh kehilangan jumlah wang yang tidak terhingga! Apa nak buat?

Kebergantungan ketinggian anak kepada ketinggian ibu bapa

Ibu bapa muda, tentu saja, ingin tahu berapa tinggi anak mereka apabila dewasa. Statistik matematik boleh menawarkan hubungan linear yang mudah untuk menganggarkan ketinggian kanak-kanak secara kasar, berdasarkan hanya ketinggian bapa dan ibu, dan juga menunjukkan ketepatan anggaran sedemikian.

Paradoks Monty Hall mungkin merupakan paradoks yang paling terkenal dalam teori kebarangkalian. Terdapat banyak variasi, contohnya, paradoks ketiga-tiga banduan. Dan terdapat banyak tafsiran dan penjelasan tentang paradoks ini. Tetapi di sini, saya ingin memberi bukan sahaja penjelasan rasmi, tetapi untuk menunjukkan asas "fizikal" tentang apa yang berlaku dalam paradoks Monty Hall dan orang lain seperti dia.

Perkataan klasik ialah:

"Anda berada dalam permainan. Terdapat tiga pintu di hadapan anda. Salah seorang daripada mereka mempunyai hadiah. Hos menjemput anda untuk cuba meneka di mana hadiahnya. Anda menunjuk ke salah satu pintu (secara rawak).

Perumusan Paradoks Monty Hall

Tuan rumah tahu di mana hadiah itu sebenarnya. Dia, sementara, tidak membuka pintu yang telah anda tunjukkan. Tetapi ia membuka satu lagi pintu yang tinggal untuk anda, yang di belakangnya tidak ada hadiah. Persoalannya, adakah anda perlu menukar pilihan anda, atau kekal dengan keputusan yang sama?

Ternyata jika anda menukar pilihan anda, maka peluang anda untuk menang akan meningkat!

Paradoks keadaan adalah jelas. Semua yang berlaku seolah-olah rambang. Tidak kira sama ada anda berubah fikiran atau tidak. Tetapi tidak.

Penjelasan "fizikal" tentang sifat paradoks ini

Mari, pada mulanya, tidak pergi ke kehalusan matematik, tetapi hanya melihat keadaan tanpa prejudis.

Dalam permainan ini, anda hanya melakukannya dahulu pemilihan rawak. Hos kemudian memberitahu anda Maklumat tambahan , yang membolehkan anda meningkatkan peluang anda untuk menang.

Bagaimanakah fasilitator memberi anda maklumat tambahan? Sangat ringkas. Perhatikan bahawa ia dibuka tiada satu pun pintu.

Mari, untuk kesederhanaan (walaupun terdapat unsur licik dalam hal ini), pertimbangkan situasi yang lebih berkemungkinan: anda telah menunjuk ke pintu yang tidak mempunyai hadiah. Kemudian, di sebalik salah satu pintu yang tinggal, hadiahnya Terdapat. Maksudnya, pemimpin tiada pilihan. Ia membuka pintu yang sangat spesifik. (Anda tunjuk satu, ada hadiah di belakang yang lain, hanya ada satu pintu lagi yang boleh dibuka oleh tuan rumah.)

Pada saat pilihan yang bermakna inilah dia memberi anda maklumat yang boleh anda gunakan.

DALAM kes ini, penggunaan maklumat ialah anda mengubah keputusan.

By the way, pilihan kedua anda sudah pun bukan sengaja(atau lebih tepat, tidak rawak seperti pilihan pertama). Lagipun, anda memilih dari pintu tertutup, dan satu sudah terbuka dan ia tidak sewenang-wenangnya.

Sebenarnya, sudah selepas hujah-hujah ini, anda mungkin mempunyai perasaan bahawa adalah lebih baik untuk mengubah fikiran anda. Ia benar-benar. Mari tunjukkan secara lebih formal.

Penjelasan Lebih Formal tentang Paradoks Dewan Monty

Malah, pilihan rawak pertama anda membahagikan semua pintu kepada dua kumpulan. Di sebalik pintu yang telah anda pilih, hadiah terletak dengan kebarangkalian 1/3, di belakang dua yang lain - dengan kebarangkalian 2/3. Sekarang hos membuat perubahan: dia membuka satu pintu dalam kumpulan kedua. Dan kini keseluruhan kebarangkalian 2/3 hanya terpakai pada pintu tertutup dalam kumpulan dua pintu.

Sudah jelas bahawa kini lebih menguntungkan untuk anda mengubah fikiran anda.

Walaupun, sudah tentu, anda masih mempunyai peluang untuk kalah.

Walau bagaimanapun, menukar pilihan anda meningkatkan peluang anda untuk menang.

Paradoks Dewan Monty

Paradoks Monty Hall adalah masalah kebarangkalian, penyelesaiannya (menurut beberapa) adalah bertentangan dengan akal sehat. Perumusan Tugas:

Bayangkan anda telah menjadi peserta dalam permainan di mana anda perlu memilih satu daripada tiga pintu. Di belakang salah satu pintu adalah sebuah kereta, di belakang dua pintu lagi adalah kambing.
Anda memilih salah satu pintu, contohnya, nombor 1, selepas itu tuan rumah, yang tahu di mana kereta dan di mana kambing, membuka salah satu pintu yang tinggal, contohnya, nombor 3, di belakangnya ada kambing.

Paradoks Monty Hall. Matematik yang paling tidak tepat

Selepas itu, dia bertanya kepada anda jika anda ingin menukar pilihan anda dan memilih pintu nombor 2.
Adakah peluang anda untuk memenangi kereta meningkat jika anda menerima tawaran hos dan menukar pilihan anda?

Apabila menyelesaikan masalah, ia sering tersilap mengandaikan bahawa kedua-dua pilihan adalah bebas dan, oleh itu, kebarangkalian tidak akan berubah apabila pilihan berubah. Sebenarnya, ini tidak berlaku, seperti yang anda boleh lihat dengan mengingati formula Bayes atau melihat hasil simulasi di bawah:

Di sini: "strategi 1" - jangan ubah pilihan, "strategi 2" - tukar pilihan. Secara teorinya, untuk kes dengan 3 pintu, taburan kebarangkalian ialah 33.(3)% dan 66.(6)%. Simulasi berangka harus memberikan hasil yang serupa.

Pautan

Paradoks Dewan Monty- tugas dari bahagian teori kebarangkalian, dalam penyelesaiannya terdapat percanggahan dengan akal sehat.

Asal usul[sunting | edit teks wiki]

Pada akhir tahun 1963, disiarkan rancangan bual bicara baru bertajuk "Let's Make a Deal" ("Let's make a deal"). Mengikut senario kuiz, penonton daripada penonton menerima hadiah untuk jawapan yang betul, mempunyai peluang untuk melipatgandakannya dengan membuat pertaruhan baharu, tetapi mempertaruhkan kemenangan sedia ada mereka. Pengasas rancangan itu ialah Stefan Hatosu dan Monty Hall, yang terakhir menjadi hos tetapnya selama bertahun-tahun.

Salah satu tugas untuk para peserta ialah melukis Hadiah Utama, yang terletak di belakang salah satu daripada tiga pintu. Bagi dua yang selebihnya terdapat hadiah insentif, seterusnya penyampai tahu susunan lokasi mereka. Peserta perlu menentukan pintu kemenangan dengan mempertaruhkan semua kemenangan mereka daripada persembahan itu.

Apabila penebak memutuskan nombor, hos membuka salah satu pintu yang tinggal, di belakangnya terdapat hadiah insentif, dan menawarkan pemain untuk menukar pintu yang dipilih asal.

Formulasi[sunting | edit teks wiki]

Sebagai masalah khusus, paradoks itu pertama kali dikemukakan oleh Steve Selvin pada tahun 1975, yang mengemukakan kepada The American Statistician dan hos Monty Hall soalan: Adakah peluang peserta untuk memenangi Hadiah Utama berubah jika, selepas membuka pintu dengan insentif dia akan berubah pilihan dia? Selepas kejadian ini, konsep "Monty Hall Paradox" muncul.

Pada tahun 1990, versi paradoks yang paling biasa diterbitkan dalam Majalah Parade (Majalah "Parade") dengan contoh:

“Bayangkan diri anda dalam permainan TV di mana anda perlu memberi keutamaan kepada salah satu daripada tiga pintu: kambing di belakang dua daripadanya, dan sebuah kereta di belakang pintu ketiga. Apabila anda membuat pilihan, dengan mengandaikan, sebagai contoh, bahawa pintu yang menang adalah nombor satu, tuan rumah membuka salah satu daripada dua pintu yang tinggal, contohnya, nombor tiga, di belakangnya adalah seekor kambing. Adakah anda kemudian diberi peluang untuk menukar pilihan anda ke pintu lain? Bolehkah anda meningkatkan peluang anda untuk memenangi kereta dengan menukar pilihan anda daripada pintu nombor satu kepada pintu nombor dua?”

Perkataan ini adalah versi yang dipermudahkan, kerana masih ada faktor pengaruh tuan rumah, yang tahu betul-betul di mana kereta itu dan berminat untuk kehilangan peserta.

Agar masalah menjadi matematik semata-mata, adalah perlu untuk menghapuskan faktor manusia dengan memperkenalkan pembukaan pintu dengan hadiah insentif dan keupayaan untuk menukar pilihan awal sebagai syarat penting.

Penyelesaian[sunting | edit teks wiki]

Apabila membandingkan kemungkinan pada pandangan pertama, menukar nombor pintu tidak akan memberi apa-apa kelebihan, kerana. ketiga-tiga pilihan mempunyai 1/3 peluang untuk menang (lebih kurang 33.33% pada setiap tiga pintu). Pada masa yang sama, membuka salah satu pintu tidak akan menjejaskan peluang dua yang tinggal, yang peluangnya akan menjadi 1/2 hingga 1/2 (50% untuk setiap dua pintu yang tinggal). Penghakiman ini berdasarkan andaian bahawa pilihan pintu oleh pemain dan pilihan pintu oleh tuan rumah adalah dua acara bebas yang tidak menjejaskan satu sama lain. Malah, adalah perlu untuk mempertimbangkan keseluruhan urutan peristiwa secara keseluruhan. Selaras dengan teori kebarangkalian, peluang pintu pertama yang dipilih dari awal hingga akhir permainan adalah selalunya 1/3 (lebih kurang 33.33%), dan dua pintu yang tinggal mempunyai jumlah 1/3 + 1 /3 = 2/3 (lebih kurang 66.66%). Apabila salah satu daripada dua pintu yang tinggal dibuka, peluangnya menjadi 0% (hadiah insentif tersembunyi di belakangnya), dan akibatnya, peluang pintu tertutup yang tidak dipilih ialah 66.66%, i.e. dua kali ganda daripada yang asal.

Untuk memudahkan untuk memahami keputusan pilihan, kita boleh mempertimbangkan situasi alternatif di mana bilangan pilihan akan lebih besar, sebagai contoh, seribu. Kebarangkalian untuk memilih pilihan yang menang ialah 1/1000 (0.1%). Dengan syarat bahawa sembilan ratus sembilan puluh lapan yang salah kemudiannya dibuka daripada baki sembilan ratus sembilan puluh sembilan pilihan, menjadi jelas bahawa kebarangkalian satu baki pintu daripada sembilan ratus sembilan puluh sembilan yang tidak dipilih adalah lebih tinggi daripada yang hanya satu yang dipilih pada mulanya.

Sebutan[sunting | edit teks wiki]

Anda boleh menemui sebutan Monty Hall Paradox dalam "Twenty-one" (filem oleh Robert Luketich), "Kluttyop" (novel oleh Sergei Lukyanenko), siri TV "4isla" (siri TV), "The Mysterious Nighttime Killing of a Dog" (novel oleh Mark Haddon), "XKCD" (buku komik), MythBusters (rancangan TV).

Lihat juga[sunting | edit teks wiki]

Dalam imej, proses memilih antara dua pintu tertutup daripada tiga pada asalnya dicadangkan

Contoh penyelesaian masalah dalam kombinatorik

Kombinatorik adalah sains yang semua orang temui Kehidupan seharian: berapa banyak cara untuk memilih 3 orang atendan untuk membersihkan kelas atau berapa banyak cara untuk membuat perkataan daripada huruf yang diberikan.

Secara umum, kombinatorik membolehkan anda mengira berapa banyak kombinasi yang berbeza, mengikut syarat tertentu, boleh dibuat daripada objek yang diberikan (sama atau berbeza).

Sebagai sains, kombinatorik muncul pada abad ke-16, dan kini setiap pelajar (dan selalunya budak sekolah) mempelajarinya. Mereka mula belajar dengan konsep pilih atur, penempatan, gabungan (dengan atau tanpa ulangan), anda akan menemui masalah mengenai topik ini di bawah. Peraturan kombinatorik yang paling terkenal ialah peraturan jumlah dan hasil, yang paling kerap digunakan dalam masalah gabungan biasa.

Di bawah anda akan menemui beberapa contoh tugasan dengan penyelesaian untuk konsep dan peraturan gabungan yang akan membantu anda menangani tugasan biasa. Jika terdapat kesukaran dengan tugasan, pesan ujian kombinatorik.

Masalah dalam kombinatorik dengan penyelesaian dalam talian

Tugasan 1. Ibu ada 2 biji epal dan 3 biji pear. Setiap hari selama 5 hari berturut-turut, dia memberikan sekeping buah. Dalam berapa banyak cara ini boleh dilakukan?

Penyelesaian masalah dalam kombinatorik 1 (pdf, 35 Kb)

Tugasan 2. Sebuah perusahaan boleh menyediakan kerja dalam satu kepakaran kepada 4 wanita, dalam satu lagi - kepada 6 lelaki, dalam satu pertiga - kepada 3 pekerja, tanpa mengira jantina. Berapa banyak cara boleh diisi sekiranya terdapat 14 pemohon: 6 wanita dan 8 lelaki?

Penyelesaian masalah dalam kombinatorik 2 (pdf, 39 Kb)

Tugasan 3. Terdapat 9 buah kereta dalam sebuah kereta api penumpang. Dalam berapa banyak cara 4 orang boleh duduk di atas kereta api, dengan syarat mereka semua menaiki kereta yang berbeza?

Penyelesaian masalah dalam kombinatorik 3 (pdf, 33 Kb)

Tugasan 4. Terdapat 9 orang dalam kumpulan. Berapa banyak subkumpulan yang berbeza boleh dibentuk, dengan syarat subkumpulan itu mengandungi sekurang-kurangnya 2 orang?

Penyelesaian masalah dalam kombinatorik 4 (pdf, 34 Kb)

Tugasan 5. Sekumpulan 20 pelajar hendaklah dibahagikan kepada 3 pasukan, dan pasukan pertama hendaklah merangkumi 3 orang, kedua - 5 dan ketiga - 12. Dalam berapa banyak cara ini boleh dilakukan.

Penyelesaian masalah dalam kombinatorik 5 (pdf, 37 Kb)

Tugasan 6. Untuk menyertai pasukan, jurulatih memilih 5 orang daripada 10 orang. Berapa banyak cara dia boleh membentuk satu pasukan jika 2 orang lelaki tertentu mesti dimasukkan ke dalam pasukan?

Masalah kombinatorik dengan penyelesaian 6 (pdf, 33 Kb)

Tugasan 7. 15 pemain catur mengambil bahagian dalam kejohanan catur, dan setiap daripada mereka bermain hanya satu permainan dengan setiap yang lain. Berapa banyak permainan telah dimainkan dalam kejohanan ini?

Masalah kombinatorik dengan penyelesaian 7 (pdf, 37 Kb)

Tugasan 8. Berapa banyak pecahan berbeza boleh dibentuk daripada nombor 3, 5, 7, 11, 13, 17 supaya setiap pecahan mengandungi 2 pelbagai nombor? Berapa banyak daripadanya akan menjadi pecahan wajar?

Masalah kombinatorik dengan penyelesaian 8 (pdf, 32 Kb)

Tugasan 9. Berapa banyak perkataan yang boleh diperolehi dengan menyusun semula huruf dalam perkataan Horus dan Institut?

Masalah kombinatorik dengan penyelesaian 9 (pdf, 32 Kb)

Tugasan 10. Apakah nombor dari 1 hingga 1,000,000 yang lebih besar: nombor di mana unit berlaku, atau nombor yang tidak berlaku?

Masalah kombinatorik dengan penyelesaian 10 (pdf, 39 Kb)

Contoh sedia

Perlu menyelesaikan masalah dalam kombinatorik? Cari dalam panduan:

Penyelesaian lain untuk masalah dalam teori kebarangkalian

Bayangkan bahawa seorang jurubank tertentu menawarkan anda untuk memilih satu daripada tiga kotak tertutup. Dalam salah satu daripada mereka 50 sen, dalam yang lain - satu dolar, dalam yang ketiga - 10 ribu ringgit. Mana-mana yang anda pilih, anda akan mendapatnya sebagai hadiah.

Anda pilih secara rawak, katakan kotak nombor 1. Dan kemudian jurubank (yang, tentu saja, tahu di mana segala-galanya) di hadapan mata anda membuka kotak dengan satu dolar (katakan ini No. 2), selepas itu dia menawarkan anda untuk menukar kotak yang dipilih pada mulanya No. 1 hingga kotak No. 3.

Adakah anda perlu mengubah fikiran anda? Adakah ini akan meningkatkan peluang anda untuk mendapat 10 ribu?

Ini adalah paradoks Monty Hall - masalah teori kebarangkalian, penyelesaiannya, pada pandangan pertama, bercanggah dengan akal sehat. Orang ramai telah menggaru kepala mengenai masalah ini sejak 1975.

Paradoks itu dinamakan sempena hos rancangan TV Amerika popular Let's Make a Deal. Rancangan TV ini mempunyai peraturan yang sama, hanya peserta memilih pintu, dua daripadanya menyembunyikan kambing, dan yang ketiga adalah Cadillac.

Kebanyakan pemain beralasan bahawa selepas terdapat dua pintu tertutup dan terdapat sebuah Cadillac di belakang salah satu daripadanya, maka peluang untuk mendapatkannya adalah 50-50. Jelas sekali, apabila tuan rumah membuka satu pintu dan menjemput anda untuk mengubah fikiran anda, dia bermula permainan baru. Sama ada anda berubah fikiran atau tidak, peluang anda masih 50 peratus. Sangat betul?

Ternyata ia tidak. Malah, dengan mengubah fikiran anda, anda menggandakan peluang anda untuk berjaya. kenapa?

Penjelasan paling mudah untuk jawapan ini ialah pertimbangan berikut. Untuk memenangi kereta tanpa mengubah pilihan, pemain mesti segera meneka pintu di belakang kereta itu berdiri. Kebarangkalian ini ialah 1/3. Jika pemain pada mulanya memukul pintu dengan kambing di belakangnya (dan kebarangkalian acara ini adalah 2/3, kerana terdapat dua kambing dan hanya satu kereta), maka dia pasti boleh memenangi kereta dengan mengubah fikirannya, kerana kereta itu dan tinggal seekor kambing, dan tuan rumah telah pun membuka pintu dengan kambing itu.

Oleh itu, tanpa mengubah pilihan, pemain kekal dengan kebarangkalian awalnya untuk menang 1/3, dan apabila menukar pilihan awal, pemain beralih kepada kelebihannya dua kali ganda baki kebarangkalian yang dia tidak meneka dengan betul pada mulanya.

Selain itu, penjelasan intuitif boleh dibuat dengan menukar dua acara. Acara pertama adalah keputusan pemain untuk menukar pintu, acara kedua ialah pembukaan pintu tambahan. Ini boleh diterima, kerana membuka pintu tambahan tidak memberi pemain apa-apa maklumat baru(dokumen lihat dalam artikel ini). Kemudian masalah itu boleh dikurangkan kepada rumusan berikut. Pada saat pertama, pemain membahagikan pintu kepada dua kumpulan: dalam kumpulan pertama terdapat satu pintu (yang dia pilih), dalam kumpulan kedua terdapat dua pintu yang tinggal. Pada masa berikutnya, pemain membuat pilihan antara kumpulan. Adalah jelas bahawa untuk kumpulan pertama kebarangkalian untuk menang adalah 1/3, untuk kumpulan kedua 2/3. Pemain memilih kumpulan kedua. Dalam kumpulan kedua, dia boleh membuka kedua-dua pintu. Satu dibuka oleh tuan rumah, dan yang kedua oleh pemain itu sendiri.

Mari cuba berikan penjelasan yang "paling difahami". Merumuskan semula masalah: Seorang hos yang jujur mengumumkan kepada pemain bahawa terdapat sebuah kereta di belakang salah satu daripada tiga pintu, dan mencadangkan bahawa dia mula-mula menunjuk ke salah satu pintu, dan kemudian memilih salah satu daripada dua tindakan: buka pintu yang ditunjukkan (dalam rumusan lama, ini dipanggil "jangan ubah pilihan anda") atau buka dua yang lain (dalam perkataan lama, ini hanya "ubah pilihan". Fikirkan, ini adalah kunci untuk memahami!). Adalah jelas bahawa pemain akan memilih yang kedua daripada dua tindakan, kerana kebarangkalian untuk mendapatkan kereta dalam kes ini adalah dua kali lebih tinggi. Dan perkara kecil yang tuan rumah walaupun sebelum memilih tindakan "menunjukkan kambing" tidak membantu dan tidak mengganggu pilihan, kerana di sebalik salah satu daripada dua pintu sentiasa ada seekor kambing dan tuan rumah pasti akan menunjukkannya pada bila-bila masa. semasa permainan, jadi pemain boleh pada kambing ini dan tidak menonton. Urusan pemain, jika dia memilih tindakan kedua, adalah untuk mengucapkan "terima kasih" kepada tuan rumah kerana menyelamatkannya daripada masalah membuka satu daripada dua pintu itu sendiri, dan membuka yang lain. Nah, atau lebih mudah. Cuba kita bayangkan situasi ini dari sudut pandangan tuan rumah, yang melakukan prosedur yang sama dengan berpuluh-puluh pemain. Oleh kerana dia mengetahui dengan baik apa yang ada di belakang pintu, maka, secara purata, dalam dua daripada tiga kes, dia melihat terlebih dahulu bahawa pemain telah memilih pintu yang "salah". Oleh itu, baginya pasti tidak ada paradoks bahawa strategi yang betul adalah mengubah pilihan selepas membuka pintu pertama: lagipun, dalam dua kes yang sama daripada tiga, pemain akan meninggalkan studio dengan kereta baru.

Akhirnya, bukti yang paling "naif". Biarlah orang yang berdiri dengan pilihannya dipanggil "Degil", dan orang yang mengikut arahan pemimpin dipanggil "Perhatian". Kemudian yang Degil menang jika dia mula meneka kereta (1/3), dan yang Attentive - jika dia mula-mula terlepas dan memukul kambing (2/3). Lagipun, hanya dalam kes ini dia akan menunjuk ke pintu dengan kereta.

Monty Hall, penerbit dan pengacara rancangan itu Jom Buat Tawaran dari 1963 hingga 1991.

Pada tahun 1990, masalah ini dan penyelesaiannya diterbitkan dalam majalah Amerika Parade. Penerbitan itu menyebabkan ulasan yang bertiup kencang daripada pembaca, yang kebanyakannya mempunyai ijazah saintifik.

Aduan utama ialah tidak semua syarat masalah dinyatakan, dan sebarang nuansa boleh menjejaskan hasilnya. Sebagai contoh, hos boleh menawarkan untuk menukar keputusan hanya jika pemain memilih kereta pada langkah pertama. Jelas sekali, menukar pilihan awal dalam keadaan sedemikian akan membawa kepada kerugian yang terjamin.

Walau bagaimanapun, dalam keseluruhan kewujudan rancangan TV Monty Hall, orang yang mengubah fikiran mereka menang dua kali lebih kerap:

Daripada 30 pemain yang berubah fikiran, Cadillac memenangi 18 - iaitu 60%

Daripada 30 pemain yang ditinggalkan dengan pilihan mereka, Cadillac memenangi 11 - iaitu, kira-kira 36%

Jadi alasan yang diberikan dalam keputusan itu, tidak kira betapa tidak logiknya mereka mungkin kelihatan, disahkan oleh amalan.

Pertambahan bilangan pintu

Untuk menjadikannya lebih mudah untuk memahami intipati apa yang sedang berlaku, kita boleh mempertimbangkan kes apabila pemain tidak melihat tiga pintu di hadapannya, tetapi, sebagai contoh, seratus. Pada masa yang sama, terdapat sebuah kereta di belakang salah satu pintu, dan kambing di belakang 99 pintu yang lain. Pemain memilih salah satu pintu, manakala dalam 99% kes dia akan memilih pintu dengan kambing, dan peluang untuk segera memilih pintu dengan kereta adalah sangat kecil - mereka adalah 1%. Selepas itu, tuan rumah membuka 98 pintu dengan kambing dan meminta pemain memilih pintu yang tinggal. Dalam kes ini, dalam 99% kes, kereta akan berada di belakang pintu yang tinggal ini, kerana kemungkinan pemain segera memilih pintu yang betul adalah sangat kecil. Jelas bahawa dalam situasi ini pemain yang berfikiran rasional harus sentiasa menerima cadangan pemimpin.

Apabila mempertimbangkan peningkatan bilangan pintu, persoalan sering timbul: jika dalam masalah asal pemimpin membuka satu pintu daripada tiga (iaitu, 1/3 daripada jumlah pintu), mengapa kita harus menganggap bahawa dalam kes 100 pintu, tuan rumah akan membuka 98 pintu dengan kambing, dan bukan 33? Pertimbangan ini biasanya merupakan salah satu sebab penting mengapa paradoks Monty Hall bercanggah dengan persepsi intuitif tentang situasi tersebut. Andaikan pembukaan 98 pintu adalah betul kerana syarat penting Tugasnya adalah untuk mempunyai hanya satu pilihan alternatif untuk pemain, yang ditawarkan oleh moderator. Oleh itu, supaya tugasan menjadi serupa, dalam kes 4 pintu, pemimpin mesti membuka 2 pintu, dalam kes 5 pintu - 3, dan seterusnya, supaya sentiasa ada satu pintu yang tidak dibuka selain daripada yang satu. yang pemain pilih pada mulanya. Jika fasilitator membuka lebih sedikit pintu, maka tugas itu tidak lagi serupa dengan tugas asal Monty Hall.

Perlu diingatkan bahawa dalam kes banyak pintu, walaupun tuan rumah tidak meninggalkan satu pintu tertutup, tetapi beberapa, dan menawarkan pemain untuk memilih salah satu daripada mereka, maka apabila menukar pilihan awal, peluang pemain untuk memenangi kereta akan masih meningkat, walaupun tidak begitu ketara. Sebagai contoh, pertimbangkan situasi di mana pemain memilih satu pintu daripada seratus, dan kemudian fasilitator hanya membuka satu daripada pintu yang tinggal, menjemput pemain untuk menukar pilihannya. Pada masa yang sama, peluang bahawa kereta itu berada di belakang pintu yang asalnya dipilih oleh pemain tetap sama - 1/100, dan untuk pintu yang tinggal peluang berubah: jumlah kebarangkalian bahawa kereta itu berada di belakang salah satu pintu yang tinggal ( 99/100) kini diedarkan bukan pada 99 pintu, tetapi 98. Oleh itu, kebarangkalian untuk mencari kereta di belakang setiap pintu ini tidak akan menjadi 1/100, tetapi 99/9800. Peningkatan kebarangkalian adalah kira-kira 1%.

pokok penyelesaian yang mungkin pemain dan tuan rumah, menunjukkan kebarangkalian setiap hasil Secara lebih formal, senario permainan boleh diterangkan menggunakan pepohon keputusan. Dalam dua kes pertama, apabila pemain mula-mula memilih pintu di mana kambing berada, menukar pilihan menghasilkan kemenangan. Dalam dua kes terakhir, apabila pemain pertama kali memilih pintu dengan kereta, menukar pilihan mengakibatkan kerugian.

Jika anda masih tidak faham, ludah pada formula dan adilsemak semuanya secara statistik. Penjelasan lain yang mungkin:

Pemain yang strateginya adalah menukar pintu yang dipilih setiap kali hanya akan kalah jika dia pada mulanya memilih pintu di belakang tempat kereta itu terletak.
Memandangkan peluang untuk memilih kereta pada percubaan pertama adalah satu dalam tiga (atau 33%), peluang untuk tidak memilih kereta jika pemain menukar pilihannya juga adalah satu dalam tiga (atau 33%).
Ini bermakna pemain yang menggunakan strategi untuk menukar pintu akan menang dengan kebarangkalian 66% atau dua hingga tiga.
Ini akan menggandakan peluang untuk memenangi pemain yang strateginya adalah untuk tidak mengubah pilihan mereka setiap kali.

Masih tak percaya? Katakan anda memilih pintu #1. Ini semua pilihan yang mungkin apa yang mungkin berlaku dalam kes ini.

"Ada tiga jenis dusta: dusta, pembohongan terang-terangan dan statistik. Frasa ini, yang dikaitkan oleh Mark Twain kepada Perdana Menteri Britain Benjamin Disraeli, mencerminkan sikap majoriti terhadap undang-undang matematik. Memang teori kebarangkalian kadangkala melemparkan fakta yang menakjubkan, yang sukar dipercayai pada pandangan pertama - dan yang, bagaimanapun, disahkan oleh sains. "Teori dan Amalan" mengingatkan paradoks yang paling terkenal.

Masalah Monty Hall

Tugas inilah yang ditawarkan oleh profesor MIT yang licik kepada pelajar dalam filem Twenty-One. Memberi jawapan yang betul watak utama menyertai pasukan ahli matematik muda yang cemerlang menewaskan kasino di Las Vegas.

Kata-kata klasik adalah seperti ini: "Katakan seorang pemain tertentu telah ditawarkan untuk menyertai rancangan TV terkenal Amerika Let's Make a Deal, dihoskan oleh Monty Hall, dan dia perlu memilih satu daripada tiga pintu. Belakang dua pintu ada kambing, belakang satu hadiah utama, kereta, penyampai tahu lokasi hadiah. Selepas pemain membuat pilihannya, fasilitator membuka salah satu pintu yang tinggal, di belakangnya adalah seekor kambing, dan menjemput pemain untuk mengubah fikirannya. Sekiranya pemain bersetuju atau lebih baik mengekalkan pilihan asal mereka?”

Berikut adalah garis alasan biasa: selepas tuan rumah membuka salah satu pintu dan menunjukkan kambing, pemain perlu memilih antara dua pintu. Kereta itu berada di belakang salah satu daripadanya, jadi kebarangkalian untuk menekanya ialah ½. Jadi tidak ada perbezaan - untuk menukar pilihan anda atau tidak. Namun, teori kebarangkalian mengatakan bahawa anda boleh meningkatkan peluang anda untuk menang dengan mengubah keputusan anda. Mari kita lihat mengapa ini begitu.

Untuk melakukan ini, mari kita kembali selangkah. Pada masa ini apabila kami membuat pilihan awal kami, kami membahagikan pintu kepada dua bahagian: satu yang kami pilih dan dua lagi. Jelas sekali, kebarangkalian kereta itu bersembunyi di sebalik pintu "kami" ialah ⅓ - masing-masing, kereta itu berada di belakang salah satu daripada dua pintu yang tinggal dengan kebarangkalian ⅔. Apabila fasilitator menunjukkan bahawa terdapat seekor kambing di sebalik salah satu pintu ini, ternyata peluang ⅔ ini jatuh pada pintu kedua. Dan ini mengurangkan pilihan pemain kepada dua pintu, di belakang salah satunya (dipilih pada mulanya) kereta itu dengan kebarangkalian ⅓, dan di belakang yang lain dengan kebarangkalian ⅔. Pilihan menjadi jelas. Yang, tentu saja, tidak menafikan fakta bahawa dari awal lagi pemain boleh memilih pintu dengan kereta.

Tugas tiga banduan

The Three Prisoners Paradox adalah serupa dengan masalah Monty Hall, walaupun tindakan itu berlaku dalam suasana yang lebih dramatik. Tiga banduan (A, B dan C) dijatuhkan hukuman mati dan diletakkan dalam kurungan bersendirian. Gabenor secara rawak memilih salah seorang daripada mereka dan memberinya pengampunan. Warden tahu mana antara ketiga-tiga mereka yang diampunkan, tetapi dia diberitahu untuk merahsiakannya. Banduan A meminta pengawal memberitahunya nama banduan kedua (selain dirinya) yang pasti akan dihukum bunuh: "jika B diampunkan, beritahu saya bahawa C akan dihukum bunuh. Jika C diampunkan, beritahu saya bahawa B akan dihukum bunuh. Jika mereka berdua dihukum bunuh, tetapi saya ampunkan, baling syiling, dan sebut salah satu daripada dua nama ini. Warden mengatakan bahawa banduan B akan dihukum bunuh. Patutkah banduan A gembira?

Nampaknya, ya. Lagipun, sebelum menerima maklumat ini, kebarangkalian kematian banduan A ialah ⅔, dan kini dia tahu bahawa salah satu daripada dua banduan lain akan dihukum bunuh, yang bermaksud kebarangkalian hukuman matinya telah berkurangan kepada ½. Tetapi sebenarnya, banduan A tidak belajar sesuatu yang baru: jika dia tidak diampunkan, dia akan diberitahu nama banduan lain, dan dia sudah tahu bahawa salah seorang daripada dua yang tinggal akan dihukum bunuh. Jika dia bernasib baik, dan pelaksanaannya dibatalkan, dia akan mendengar nama rawak B atau C. Oleh itu, peluang keselamatannya tidak berubah dalam apa-apa cara.

Sekarang bayangkan bahawa salah seorang banduan yang tinggal mengetahui tentang soalan banduan A dan jawapan yang diterima. Ini akan mengubah ideanya tentang kemungkinan pengampunan.

Jika banduan B terdengar perbualan itu, dia akan tahu bahawa dia pasti akan dihukum bunuh. Dan jika banduan itu B, maka kebarangkalian pengampunannya ialah ⅔. Mengapa ia berlaku? Banduan A belum menerima sebarang maklumat dan peluangnya untuk diampunkan masih ⅓. Banduan B pasti tidak akan diampunkan, dan peluangnya adalah sifar. Ini bermakna kebarangkalian banduan ketiga akan dibebaskan ialah ⅔.

Paradoks dua sampul surat

Paradoks ini dikenali terima kasih kepada ahli matematik Martin Gardner, dan dirumuskan seperti berikut: “Andaikan anda dan seorang rakan ditawarkan dua sampul surat, satu daripadanya mengandungi sejumlah wang X, dan satu lagi mengandungi jumlah dua kali lebih banyak. Anda secara bebas membuka sampul surat, mengira wang, selepas itu anda boleh menukarnya. Sampul adalah sama, jadi terdapat ½ peluang anda akan mendapat sampul dengan jumlah yang lebih kecil. Katakan anda membuka sampul surat dan mendapati $10 di dalamnya. Oleh itu, sampul surat rakan anda mungkin sama mungkin mengandungi $5 atau $20. Jika anda memutuskan untuk bertukar, maka anda boleh mengira jangkaan matematik jumlah akhir - iaitu nilai puratanya. Ia ialah 1/2x$5+1/2x20=$12.5. Oleh itu, pertukaran itu bermanfaat untuk anda. Dan, kemungkinan besar, rakan anda akan berhujah dengan cara yang sama. Tetapi adalah jelas bahawa pertukaran itu tidak boleh memberi manfaat kepada anda berdua. Apakah kesilapannya?

Paradoksnya ialah sehingga anda membuka sampul surat anda, kebarangkalian berkelakuan adil: anda sebenarnya mempunyai 50 peratus peluang untuk mencari X dalam sampul surat anda dan 50 peratus peluang untuk mencari 2X dalam sampul surat anda. Dan akal fikiran menentukan bahawa maklumat tentang jumlah yang anda miliki tidak boleh menjejaskan kandungan sampul kedua.

Walau bagaimanapun, sebaik sahaja anda membuka sampul surat, keadaan berubah secara mendadak (paradoks ini agak serupa dengan cerita dengan kucing Schrödinger, di mana kehadiran pemerhati mempengaruhi keadaan hal ehwal). Hakikatnya ialah untuk mematuhi syarat paradoks, kebarangkalian untuk mencari dalam sampul kedua jumlah yang lebih besar atau lebih kecil daripada anda mestilah sama. Tetapi sebarang nilai jumlah ini dari sifar hingga infiniti adalah sama berkemungkinan. Dan jika terdapat bilangan kemungkinan yang sama besarnya, ia akan ditambah kepada infiniti. Dan ini adalah mustahil.

Untuk kejelasan, anda boleh bayangkan bahawa anda mendapati satu sen dalam sampul surat anda. Jelas sekali, sampul kedua tidak boleh mengandungi separuh daripada jumlah itu.

Adalah aneh bahawa perbincangan mengenai penyelesaian paradoks itu berterusan pada masa ini. Pada masa yang sama, percubaan sedang dibuat untuk menjelaskan paradoks dari dalam dan untuk mengembangkan strategi terbaik tingkah laku dalam keadaan sedemikian. Khususnya, Profesor Thomas Cover mencadangkan pendekatan asal kepada pembentukan strategi - untuk menukar atau tidak menukar sampul surat, dipandu oleh beberapa jangkaan intuitif. Katakan jika anda membuka sampul surat dan mendapati $10 di dalamnya - jumlah yang kecil mengikut anggaran anda - ia berbaloi untuk menukarnya. Dan jika sampul itu mengandungi, katakan, $1,000, yang melebihi jangkaan paling liar anda, maka anda tidak perlu mengubahnya. Strategi intuitif ini, jika anda kerap ditawarkan untuk memilih dua sampul surat, memberi anda peluang untuk meningkatkan jumlah kemenangan lebih daripada strategi menukar sampul surat secara berterusan.

Paradoks lelaki dan perempuan

Paradoks ini juga dicadangkan oleh Martin Gardner dan dirumuskan seperti berikut: “Encik Smith mempunyai dua orang anak. Sekurang-kurangnya seorang anak lelaki. Apakah kebarangkalian bahawa yang kedua juga lelaki?

Nampaknya tugas itu mudah. Walau bagaimanapun, jika anda mula memahami, satu keadaan yang ingin tahu didedahkan: jawapan yang betul akan berbeza bergantung pada cara kita mengira kebarangkalian jantina anak yang lain.

Pilihan 1

Pertimbangkan semua kombinasi yang mungkin dalam keluarga dengan dua anak:

Gadis/Perempuan

Budak perempuan

Lelaki/Perempuan

Lelaki/Lelaki

Pilihan perempuan/perempuan tidak sesuai dengan kita mengikut keadaan masalah. Oleh itu, bagi keluarga En. Smith, terdapat tiga pilihan yang berkemungkinan sama - yang bermaksud kebarangkalian bahawa anak yang lain juga lelaki ialah ⅓. Ini adalah jawapan yang diberikan oleh Gardner sendiri pada mulanya.

Pilihan 2

Bayangkan kita bertemu Encik Smith di jalan ketika dia berjalan bersama anaknya. Apakah kebarangkalian bahawa anak kedua juga lelaki? Oleh kerana jantina anak kedua adalah bebas daripada jantina anak pertama, jawapan yang jelas (dan betul) ialah ½.

Mengapa ini berlaku, kerana, nampaknya, tiada apa yang berubah?

Semuanya bergantung pada cara kita mendekati isu pengiraan kebarangkalian. Dalam kes pertama, kami mempertimbangkan semua kemungkinan varian keluarga Smith. Pada yang kedua - kami menganggap semua keluarga yang berada di bawah syarat wajib "mesti ada seorang lelaki." Pengiraan kebarangkalian jantina anak kedua telah dijalankan dengan syarat ini (dalam teori kebarangkalian ini dipanggil "kebarangkalian bersyarat"), yang membawa kepada keputusan yang berbeza daripada yang pertama.

Pada Disember 1963 di saluran TV Amerika NBC program pertama kali dikeluarkan Jom Buat Tawaran("Let's Make a Deal!"), di mana peserta yang dipilih daripada penonton di studio tawar-menawar antara satu sama lain dan dengan hos, bermain permainan kecil atau hanya meneka jawapan kepada soalan itu. Pada penghujung siaran, para peserta boleh memainkan "perjanjian hari ini". Terdapat tiga pintu di hadapan mereka, yang diketahui bahawa di belakang salah satu daripadanya adalah Hadiah Utama (contohnya, sebuah kereta), dan di belakang dua yang lain adalah hadiah yang kurang berharga atau tidak masuk akal (contohnya, kambing hidup) . Selepas pemain membuat pilihannya, Monty Hall, pengacara program, membuka salah satu daripada dua pintu yang tinggal, menunjukkan bahawa tiada Hadiah di belakangnya dan membiarkan peserta gembira kerana dia mempunyai peluang untuk menang.

Pada tahun 1975, saintis UCLA Steve Selvin bertanya apa yang akan berlaku jika, pada masa itu, selepas membuka pintu tanpa Hadiah, peserta diminta untuk menukar pilihan mereka. Adakah peluang pemain untuk mendapatkan Hadiah akan berubah dalam kes ini, dan jika ya, ke arah mana? Beliau mengemukakan soalan berkaitan sebagai isu kepada jurnal tersebut Ahli Perangkaan Amerika("The American Statistician"), dan juga kepada Monty Hall sendiri, yang memberinya jawapan yang agak ingin tahu. Walaupun jawapan ini (atau mungkin kerana itu), masalah itu menjadi popular di bawah nama "masalah Monty Hall".

Tugasan

Anda akhirnya menyertai rancangan Monty Hall sebagai peserta - dan pada saat terakhir, membuka pintu dengan seekor kambing, hos mencadangkan anda menukar pilihan anda. Adakah keputusan anda - setuju atau tidak - menjejaskan kemungkinan menang?

Petunjuk

Cuba pertimbangkan orang yang memilih pintu yang berbeza dalam kes yang sama (iaitu, apabila Hadiah, sebagai contoh, di belakang pintu nombor 1). Siapa yang akan mendapat manfaat daripada mengubah pilihan mereka, dan siapa yang tidak?

Penyelesaian

Seperti yang dicadangkan dalam petua alat, pertimbangkan orang yang membuat pilihan yang berbeza. Katakan Hadiah berada di belakang pintu #1, dan di belakang pintu #2 dan #3 adalah kambing. Katakan kita mempunyai enam orang, dan setiap pintu dipilih oleh dua orang, dan dari setiap pasangan satu kemudiannya mengubah keputusan, dan yang lain tidak.

Perhatikan bahawa Hos yang memilih pintu No. 1 akan membuka salah satu daripada dua pintu mengikut citarasanya, manakala, tidak kira ini, Kereta akan diterima oleh orang yang tidak mengubah pilihannya, tetapi orang yang menukar pilihan awalnya akan kekal tanpa Hadiah. Sekarang mari kita lihat mereka yang memilih pintu #2 dan #3. Memandangkan terdapat Kereta di belakang pintu No. 1, Hos tidak boleh membukanya, yang menyebabkan dia tiada pilihan - dia membuka pintu No. 3 dan No. 2 untuk mereka, masing-masing. Pada masa yang sama, orang yang menukar keputusan dalam setiap pasangan akan memilih Hadiah sebagai hasilnya, dan orang yang tidak menukar akan ditinggalkan tanpa apa-apa. Oleh itu, daripada tiga orang yang berubah fikiran, dua akan mendapat Hadiah, dan seorang akan mendapat kambing, manakala daripada tiga orang yang meninggalkan pilihan asal mereka tidak berubah, hanya seorang akan mendapat Hadiah.

Perlu diingat bahawa jika Kereta berada di belakang pintu #2 atau #3, keputusannya adalah sama, hanya pemenang tertentu sahaja yang akan berubah. Oleh itu, dengan mengandaikan bahawa pada mulanya setiap pintu dipilih dengan kebarangkalian yang sama, kita mendapat bahawa mereka yang menukar pilihan mereka memenangi Hadiah dua kali lebih kerap, iaitu, kebarangkalian untuk menang dalam kes ini adalah lebih besar.

Mari kita lihat masalah ini dari sudut teori kebarangkalian matematik. Kami akan menganggap bahawa kebarangkalian pilihan awal setiap pintu adalah sama, serta kebarangkalian berada di belakang setiap pintu Kereta. Di samping itu, adalah berguna untuk membuat tempahan bahawa Pemimpin, apabila dia boleh membuka dua pintu, memilih setiap satu daripada mereka dengan kebarangkalian yang sama. Kemudian ternyata selepas keputusan pertama, kebarangkalian Hadiah berada di belakang pintu yang dipilih adalah 1/3, manakala kebarangkalian bahawa ia berada di belakang salah satu daripada dua pintu lain ialah 2/3. Pada masa yang sama, selepas Hos membuka salah satu daripada dua pintu "tidak dipilih", keseluruhan kebarangkalian 2/3 jatuh pada hanya satu daripada pintu yang tinggal, dengan itu mewujudkan asas untuk mengubah keputusan, yang akan meningkatkan kebarangkalian untuk menang sebanyak 2 kali. Yang, sudah tentu, tidak menjaminnya dalam apa-apa cara dalam satu kes tertentu, tetapi akan membawa kepada hasil yang lebih berjaya dalam kes pengulangan berulang percubaan.

Akhir kata

Masalah Monty Hall bukanlah rumusan pertama yang diketahui bagi masalah ini. Khususnya, pada tahun 1959, Martin Gardner diterbitkan dalam jurnal Amerika saintifik masalah serupa "kira-kira tiga banduan" (masalah Tiga Banduan) dengan rumusan berikut: " Daripada tiga banduan, seorang harus diampunkan, dan dua harus dihukum bunuh. Banduan A memujuk pengawal untuk memberitahunya nama salah seorang daripada dua yang lain yang akan dihukum bunuh (sama ada jika kedua-duanya dihukum bunuh), selepas itu, setelah menerima nama B, dia menganggap bahawa kebarangkalian keselamatannya sendiri telah menjadi tidak. 1/3, tetapi 1/2. Pada masa yang sama, banduan C mendakwa bahawa kebarangkalian dia melarikan diri telah menjadi 2/3, manakala tiada apa yang berubah untuk A. Mana antara mereka yang betul?»

Walau bagaimanapun, Gardner bukanlah yang pertama, sejak tahun 1889, dalam Calculus of Probability, ahli matematik Perancis Joseph Bertrand (tidak boleh dikelirukan dengan orang Inggeris Bertrand Russell!) Menawarkan masalah yang sama (lihat paradoks kotak Bertrand): “ Terdapat tiga kotak, setiap satunya mengandungi dua syiling: dua emas dalam yang pertama, dua perak dalam yang kedua, dan dua yang berbeza dalam yang ketiga. Dari kotak yang dipilih secara rawak, syiling ditarik keluar secara rawak, yang ternyata emas. Apakah kebarangkalian bahawa baki syiling di dalam kotak itu adalah emas?»

Jika anda memahami penyelesaian kepada ketiga-tiga masalah, adalah mudah untuk melihat persamaan idea mereka; secara matematik kesemuanya disatukan dengan konsep kebarangkalian bersyarat, iaitu kebarangkalian kejadian A, jika diketahui peristiwa B telah berlaku. Contoh paling mudah: kebarangkalian sebiji dadu biasa dilemparkan ialah 1/6; namun, jika nombor yang digulung itu diketahui ganjil, maka kebarangkalian ia adalah satu sudah 1/3. Masalah Monty Hall, seperti dua masalah lain yang disebut, menunjukkan bahawa kebarangkalian bersyarat mesti dikendalikan dengan berhati-hati.

Masalah ini juga sering dipanggil paradoks: Paradoks Monty Hall, paradoks kotak Bertrand (yang terakhir ini tidak boleh dikelirukan dengan paradoks Bertrand sebenar yang diberikan dalam buku yang sama, yang membuktikan kekaburan konsep kebarangkalian yang wujud pada masa itu) - yang membayangkan beberapa percanggahan (contohnya, dalam " paradoks Pembohong" frasa "pernyataan ini palsu" bercanggah dengan undang-undang bahagian tengah yang dikecualikan). Walau bagaimanapun, dalam kes ini, tidak ada percanggahan dengan penegasan yang ketat. Walau bagaimanapun, terdapat percanggahan yang jelas dengan pendapat umum” atau sekadar “penyelesaian yang jelas” kepada masalah tersebut. Sesungguhnya, kebanyakan orang, melihat masalah itu, percaya bahawa selepas membuka salah satu pintu, kebarangkalian untuk mencari Hadiah di sebalik mana-mana dua pintu tertutup yang masih ada ialah 1/2. Dengan berbuat demikian, mereka menegaskan bahawa tidak ada bezanya sama ada mereka bersetuju atau tidak bersetuju untuk mengubah fikiran mereka. Lebih-lebih lagi, ramai orang merasa sukar untuk memahami jawapan selain daripada ini, walaupun selepas diberitahu penyelesaian terperinci.

Pada Disember 1963, saluran televisyen Amerika NBC pertama kali menyiarkan program Let's Make a Deal (“Mari kita buat perjanjian!”), Di mana peserta, yang dipilih daripada penonton di studio, tawar-menawar antara satu sama lain dan dengan hos, bermain kecil. permainan atau hanya meneka jawapan kepada soalan. Pada penghujung siaran, para peserta boleh memainkan "perjanjian hari ini". Terdapat tiga pintu di hadapan mereka, yang diketahui bahawa di belakang salah satu daripadanya adalah Hadiah Utama (contohnya, kereta), dan di belakang dua yang lain adalah hadiah yang kurang berharga atau tidak masuk akal (contohnya, kambing hidup) . Selepas pemain membuat pilihannya, Monty Hall, pengacara program, membuka salah satu daripada dua pintu yang tinggal, menunjukkan bahawa tiada Hadiah di belakangnya dan membiarkan peserta gembira kerana dia berpeluang untuk menang.

Pada tahun 1975, saintis UCLA Steve Selvin bertanya apa yang akan berlaku jika, pada masa itu, selepas membuka pintu tanpa Hadiah, peserta diminta untuk menukar pilihan mereka. Adakah peluang pemain untuk mendapatkan Hadiah akan berubah dalam kes ini, dan jika ya, ke arah mana? Dia menghantar soalan yang sepadan dalam bentuk masalah kepada The American Statistician ("American Statistician"), dan juga kepada Monty Hall sendiri, yang memberikan jawapan yang agak ingin tahu kepadanya. Walaupun jawapan ini (atau mungkin kerana itu), masalah itu menjadi popular di bawah nama "masalah Monty Hall".

Rumusan yang paling biasa bagi masalah ini, diterbitkan pada tahun 1990 dalam Majalah Parade, adalah seperti berikut:

“Bayangkan anda telah menjadi peserta dalam permainan di mana anda perlu memilih satu daripada tiga pintu. Di belakang salah satu pintu adalah sebuah kereta, di belakang dua pintu lagi adalah kambing. Anda memilih salah satu pintu, contohnya, nombor 1, selepas itu tuan rumah, yang tahu di mana kereta dan di mana kambing, membuka salah satu pintu yang tinggal, contohnya, nombor 3, di belakangnya ada kambing. Selepas itu, dia bertanya kepada anda jika anda ingin menukar pilihan anda dan memilih pintu nombor 2. Adakah peluang anda untuk memenangi kereta akan meningkat jika anda menerima tawaran hos dan menukar pilihan anda?

Selepas penerbitan, ia segera menjadi jelas bahawa masalah itu dirumuskan secara tidak betul: tidak semua syarat telah ditetapkan. Sebagai contoh, fasilitator boleh mengikut strategi "Monty neraka": tawarkan untuk menukar pilihan jika dan hanya jika pemain telah memilih kereta pada langkah pertama. Jelas sekali, menukar pilihan awal akan membawa kepada kerugian yang terjamin dalam situasi sedemikian.

Yang paling popular ialah masalah dengan syarat tambahan - peserta permainan mengetahui peraturan berikut terlebih dahulu:

kereta itu berkemungkinan sama diletakkan di belakang mana-mana daripada 3 pintu;
dalam apa jua keadaan, tuan rumah diwajibkan untuk membuka pintu dengan kambing (tetapi bukan yang dipilih oleh pemain) dan menawarkan pemain untuk menukar pilihan;
jika pemimpin mempunyai pilihan yang mana satu daripada dua pintu untuk dibuka, dia memilih salah satu daripada mereka dengan kebarangkalian yang sama.

Petunjuk

Penyelesaian

Akhir kata

Masalah Monty Hall bukanlah rumusan pertama yang diketahui bagi masalah ini. Khususnya, pada tahun 1959, Martin Gardner menerbitkan dalam Scientific American masalah yang sama "kira-kira tiga banduan" (Masalah Tiga Tahanan) dengan perkataan berikut: "Daripada tiga banduan, seorang harus diampuni, dan dua harus dihukum bunuh. Banduan A memujuk pengawal untuk memberitahunya nama salah seorang daripada dua yang lain yang akan dihukum bunuh (sama ada jika kedua-duanya dihukum bunuh), selepas itu, setelah menerima nama B, dia menganggap bahawa kebarangkalian keselamatannya sendiri telah menjadi tidak. 1/3, tetapi 1/2. Pada masa yang sama, banduan C mendakwa bahawa kebarangkalian dia melarikan diri telah menjadi 2/3, manakala tiada apa yang berubah untuk A. Mana satu betul?"

Bagaimanapun, Gardner bukanlah yang pertama, sejak tahun 1889, dalam Calculus of Probabilitynya, ahli matematik Perancis Joseph Bertrand (tidak boleh dikelirukan dengan orang Inggeris Bertrand Russell!) Menawarkan masalah yang sama (lihat paradoks kotak Bertrand): “Terdapat tiga kotak, setiap satunya mengandungi dua syiling: dua syiling emas dalam yang pertama, dua syiling perak dalam yang kedua, dan dua yang berbeza dalam yang ketiga.

Jika anda memahami penyelesaian kepada ketiga-tiga masalah, adalah mudah untuk melihat persamaan idea mereka; secara matematik kesemuanya disatukan dengan konsep kebarangkalian bersyarat, iaitu kebarangkalian kejadian A, jika diketahui peristiwa B telah berlaku. Contoh paling mudah: kebarangkalian satu unit jatuh pada dadu biasa ialah 1/6; namun, jika nombor yang digulung itu diketahui ganjil, maka kebarangkalian ia adalah satu sudah 1/3. Masalah Monty Hall, seperti dua masalah lain yang disebut, menunjukkan bahawa kebarangkalian bersyarat mesti dikendalikan dengan berhati-hati.

Masalah ini juga sering dipanggil paradoks: Paradoks Monty Hall, paradoks kotak Bertrand (yang terakhir ini tidak boleh dikelirukan dengan paradoks Bertrand sebenar yang diberikan dalam buku yang sama, yang membuktikan kekaburan konsep kebarangkalian yang wujud pada masa itu) - yang membayangkan beberapa percanggahan (contohnya, dalam " paradoks Pembohong" frasa "pernyataan ini palsu" bercanggah dengan undang-undang bahagian tengah yang dikecualikan). Walau bagaimanapun, dalam kes ini, tidak ada percanggahan dengan penegasan yang ketat. Tetapi terdapat percanggahan yang jelas dengan "pendapat umum" atau hanya "penyelesaian yang jelas" masalah itu. Sesungguhnya, kebanyakan orang, melihat masalah itu, percaya bahawa selepas membuka salah satu pintu, kebarangkalian untuk mencari Hadiah di sebalik mana-mana dua pintu tertutup yang masih ada ialah 1/2. Dengan berbuat demikian, mereka menegaskan bahawa tidak ada bezanya sama ada mereka bersetuju atau tidak bersetuju untuk mengubah fikiran mereka. Lebih-lebih lagi, ramai orang merasa sukar untuk memahami jawapan selain daripada ini, walaupun selepas diberitahu penyelesaian terperinci.

Balasan Monty Hall kepada Steve Selwyn

Encik Steve Selvin,
penolong profesor biostatistik,
Universiti California, Berkeley.

Steve yang dihormati,

Terima kasih kerana menghantar masalah kepada saya daripada American Statistical.

Walaupun saya tidak belajar statistik di universiti, saya tahu bahawa nombor sentiasa boleh digunakan untuk kelebihan saya jika saya mahu memanipulasinya. Alasan anda tidak mengambil kira satu keadaan penting: selepas kotak pertama kosong, peserta tidak boleh mengubah pilihannya lagi. Jadi kebarangkalian tetap sama: satu dalam tiga, bukan? Dan, sudah tentu, selepas salah satu kotak kosong, peluangnya tidak menjadi 50/50, tetapi tetap sama - satu daripada tiga. Nampaknya peserta hanya dengan menyingkirkan satu kotak, dia mendapat lebih banyak peluang. Tidak sama sekali. Dua lawan satu menentangnya, seperti sedia ada, dan kekal. Dan jika anda tiba-tiba datang ke rancangan saya, peraturan akan tetap sama untuk anda: tiada kotak berubah selepas pemilihan.

Popular dalam kategori: