Grunnleggende begreper om sannsynlighetsteori, definisjon og egenskaper ved sannsynlighet. Direkte beregning av sannsynligheter

Matematikkkurset forbereder mange overraskelser for skoleelever, hvorav en er et problem på sannsynlighetsteori. Elever har problemer med å løse slike oppgaver i nesten hundre prosent av tilfellene. For å forstå og forstå dette problemet, må du kjenne til de grunnleggende reglene, aksiomer og definisjoner. For å forstå teksten i boken må du kunne alle forkortelsene. Vi tilbyr å lære alt dette.

Vitenskap og dens anvendelse

Siden vi tilbyr et lynkurs i «sannsynlighetsteori for dummies», må vi først introdusere de grunnleggende begrepene og bokstavforkortelsene. Til å begynne med, la oss definere selve konseptet "sannsynlighetsteori". Hva slags vitenskap er dette og hvorfor er det nødvendig? Sannsynlighetsteori er en av grenene av matematikken som studerer tilfeldige fenomener og mengder. Hun vurderer også mønstrene, egenskapene og operasjonene som utføres med disse tilfeldige variablene. Hva er den til? Vitenskap har blitt utbredt i studiet av naturfenomener. Eventuelle naturlige og fysiske prosesser kan ikke klare seg uten tilstedeværelsen av tilfeldigheter. Selv om resultatene ble registrert så nøyaktig som mulig under forsøket, hvis samme test gjentas, vil resultatet mest sannsynlig ikke være det samme.

Vi vil definitivt se på eksempler på oppgaver, du kan se selv. Utfallet avhenger av mange ulike faktorer som er nesten umulige å ta hensyn til eller registrere, men likevel har de en enorm innvirkning på utfallet av forsøket. Levende eksempler inkluderer oppgaven med å bestemme banen til planetene eller bestemme værmeldingen, sannsynligheten for å møte en kjent person mens du reiser til jobb, og bestemme høyden på en idrettsutøvers hopp. Sannsynsteorien gir også stor hjelp til meglere på børser. Et problem i sannsynlighetsteori, hvis løsning tidligere hadde mange problemer, vil bli en bagatell for deg etter tre eller fire eksempler gitt nedenfor.

arrangementer

Som nevnt tidligere studerer vitenskapen hendelser. Sannsynlighetsteori, vi skal se på eksempler på problemløsning litt senere, studerer kun én type - tilfeldig. Men ikke desto mindre må du vite at hendelser kan være av tre typer:

• Umulig.
• Pålitelig.
• Tilfeldig.

Vi foreslår å diskutere hver av dem litt. En umulig hendelse vil aldri skje, under noen omstendigheter. Eksempler inkluderer: frysing av vann ved temperaturer over null, trekking av en kube fra en pose med kuler.

En pålitelig hendelse inntreffer alltid med 100 % garanti dersom alle betingelser er oppfylt. For eksempel: du fikk lønn for arbeidet som ble utført, fikk et vitnemål for høyere profesjonsutdanning hvis du studerte samvittighetsfullt, besto eksamener og forsvarte vitnemålet ditt, og så videre.

Alt er litt mer komplisert: under eksperimentet kan det skje eller ikke, for eksempel å trekke et ess fra en kortstokk etter ikke å ha gjort mer enn tre forsøk. Du kan få resultatet enten på første forsøk eller ikke i det hele tatt. Det er sannsynligheten for at en hendelse skal inntreffe som vitenskapen studerer.

Sannsynlighet

Dette er i en generell forstand en vurdering av muligheten for et vellykket utfall av en opplevelse der en hendelse inntreffer. Sannsynlighet vurderes på et kvalitativt nivå, spesielt hvis kvantitativ vurdering er umulig eller vanskelig. Et problem i sannsynlighetsteori med en løsning, eller mer presist med et estimat, innebærer å finne den meget mulige andelen av et vellykket resultat. Sannsynlighet i matematikk er de numeriske egenskapene til en hendelse. Den tar verdier fra null til én, angitt med bokstaven P. Hvis P er lik null, kan ikke hendelsen skje hvis den er én, så vil hendelsen inntreffe med hundre prosent sannsynlighet. Jo mer P nærmer seg én, jo sterkere er sannsynligheten for et vellykket utfall, og omvendt, hvis den er nær null, vil hendelsen inntreffe med lav sannsynlighet.

Forkortelser

Sannsynlighetsproblemet du snart vil bli møtt med kan inneholde følgende forkortelser:

• P og P(X);
• A, B, C, etc;

Noen andre er også mulige: ytterligere forklaringer vil bli gitt etter behov. Vi foreslår først å klargjøre forkortelsene presentert ovenfor. Den første på listen vår er faktoriell. For å gjøre det klart gir vi eksempler: 5!=1*2*3*4*5 eller 3!=1*2*3. Deretter skrives gitte sett i krøllede parenteser, for eksempel: (1;2;3;4;..;n) eller (10;140;400;562). Følgende notasjon er settet med naturlige tall, som ganske ofte finnes i oppgaver om sannsynlighetsteori. Som nevnt tidligere er P en sannsynlighet, og P(X) er sannsynligheten for at en hendelse skal inntreffe X. Hendelser er merket med store bokstaver i det latinske alfabetet, for eksempel: A - en hvit ball ble fanget, B - blå , C - henholdsvis rød eller . Den lille bokstaven n er antallet av alle mulige utfall, og m er antallet vellykkede. Herfra får vi regelen for å finne klassisk sannsynlighet i elementære oppgaver: P = m/n. Sannsynsteorien "for dummies" er sannsynligvis begrenset til denne kunnskapen. Nå, for å konsolidere, la oss gå videre til løsningen.

Oppgave 1. Kombinatorikk

Studentgruppen består av tretti personer, som det er nødvendig å velge leder, hans stedfortreder og fagforeningsleder fra. Det er nødvendig å finne antall måter å gjøre denne handlingen på. En lignende oppgave kan vises på Unified State-eksamenen. Sannsynlighetsteorien, løsningen av problemer som vi nå vurderer, kan inkludere problemer fra kombinatorikkforløpet, finne klassisk sannsynlighet, geometrisk sannsynlighet og problemer med grunnleggende formler. I dette eksemplet løser vi en oppgave fra et kombinatorikkkurs. La oss gå videre til løsningen. Denne oppgaven er den enkleste:

1. n1=30 - mulige prefekter for studentgruppen;
2. n2=29 - de som kan overta vervet som vara;
3. n3=28 personer søker på stillingen som fagforeningsmann.

Alt vi trenger å gjøre er å finne det mulige antallet alternativer, det vil si å multiplisere alle indikatorene. Som et resultat får vi: 30*29*28=24360.

Dette vil være svaret på spørsmålet som stilles.

Oppgave 2. Omorganisering

Det er 6 deltakere som taler på konferansen, rekkefølgen bestemmes ved loddtrekning. Vi må finne antall mulige trekningsalternativer. I dette eksemplet vurderer vi en permutasjon av seks elementer, det vil si at vi må finne 6!

I avsnittet om forkortelser har vi allerede nevnt hva det er og hvordan det beregnes. Totalt viser det seg at det er 720 tegnemuligheter. Ved første øyekast har en vanskelig oppgave en veldig kort og enkel løsning. Dette er oppgavene som sannsynlighetsteori vurderer. Vi vil se på hvordan du løser problemer på høyere nivå i de følgende eksemplene.

Oppgave 3

En gruppe på tjuefem elever skal deles inn i tre undergrupper på seks, ni og ti personer. Vi har: n=25, k=3, n1=6, n2=9, n3=10. Det gjenstår å erstatte verdiene i den nødvendige formelen, vi får: N25(6,9,10). Etter enkle utregninger får vi svaret - 16 360 143 800 Hvis oppgaven ikke sier at det er nødvendig å få en numerisk løsning, så kan den gis i form av faktorialer.

Oppgave 4

Tre personer gjettet tall fra én til ti. Finn sannsynligheten for at noens tall stemmer overens. Først må vi finne ut antallet av alle utfall - i vårt tilfelle er det tusen, det vil si ti til tredje potens. La oss nå finne antall alternativer når alle har gjettet forskjellige tall, for å gjøre dette multipliserer vi ti, ni og åtte. Hvor kom disse tallene fra? Den første gjetter et tall, han har ti alternativer, den andre har allerede ni, og den tredje må velge fra de resterende åtte, så vi får 720 mulige alternativer. Som vi allerede har beregnet tidligere, er det 1000 alternativer totalt, og uten repetisjoner er det 720, derfor er vi interessert i de resterende 280. Nå trenger vi en formel for å finne den klassiske sannsynligheten: P = . Vi fikk svaret: 0,28.

Den klassiske definisjonen av sannsynlighet er basert på konseptet sannsynlighetserfaring, eller et sannsynlighetseksperiment. Resultatet er ett av flere mulige utfall, kalt elementære resultater, og det er ingen grunn til å forvente at et elementært utfall vil dukke opp oftere enn andre når et sannsynlighetseksperiment gjentas. Tenk for eksempel på et sannsynlighetseksperiment som involverer å kaste en terning. Resultatet av dette eksperimentet er tap av ett av de 6 punktene som er tegnet på sidene av kuben.

I dette eksperimentet er det således 6 elementære utfall:

og hver av dem er like forventet.

Begivenhet i et klassisk sannsynlighetseksperiment er en vilkårlig delmengde av settet med elementære utfall. I det betraktede eksemplet med å kaste en terning, er hendelsen for eksempel tap av et partall poeng, som består av elementære utfall.

Sannsynligheten for en hendelse er tallet:

hvor er antallet elementære utfall som utgjør hendelsen (noen ganger sier de at dette er antallet elementære utfall som favoriserer forekomsten av hendelsen), og er antallet av alle elementære utfall.

I vårt eksempel:

Elementer av kombinatorikk.

Når man beskriver mange sannsynlige eksperimenter, kan elementære utfall identifiseres med et av følgende objekter for kombinatorikk (vitenskapen om endelige sett).

Omorganisering av tall er en vilkårlig ordnet representasjon av disse tallene uten repetisjon. For et sett med tre tall er det for eksempel 6 forskjellige permutasjoner:

, , , , , .

For et vilkårlig antall permutasjoner er lik

(produktet av fortløpende tall i den naturlige rekken, fra 1).

En kombinasjon av er et vilkårlig uordnet sett av alle elementer i settet. For eksempel, for et sett med tre tall er det 3 forskjellige kombinasjoner av 3 x 2:

For et vilkårlig par , , er antall kombinasjoner fra lik

For eksempel,

Hypergeometrisk fordeling.

Tenk på følgende sannsynlighetseksperiment. Det er en svart boks som inneholder hvite og svarte kuler. Ballene har samme størrelse og kan ikke skilles fra hverandre. Eksperimentet består i å trekke ut kuler tilfeldig. Hendelsen hvis sannsynlighet må bli funnet er at noen av disse ballene er hvite og resten er svarte.

La oss omnummerere alle ballene med tall fra 1 til . La tallene 1, ¼ tilsvare de hvite kulene, og tallene ¼ tilsvarer de svarte kulene. Det elementære utfallet i dette eksperimentet er et uordnet sett med elementer fra settet, det vil si en kombinasjon av ved. Følgelig er det alle elementære utfall.

La oss finne antall elementære utfall som er gunstige for forekomsten av hendelsen. De tilsvarende settene består av "hvite" og "svarte" tall. Du kan velge tall fra "hvite" tall på tre måter, og tall fra "svarte" tall på 3/4 måter. Hvite og svarte sett kan kobles sammen vilkårlig, så det er bare elementære utfall som er gunstige for arrangementet.

Sannsynligheten for hendelsen er

Den resulterende formelen kalles den hypergeometriske fordelingen.

Oppgave 5.1. Esken inneholder 55 standard og 6 defekte deler av samme type. Hva er sannsynligheten for at minst én av tre tilfeldig utvalgte deler er defekt?

Løsning. Det er 61 deler totalt, vi tar 3. Et elementært utfall er en kombinasjon av 61 x 3. Antallet av alle elementære utfall er lik . Gunstige utfall er delt inn i tre grupper: 1) dette er de utfallene der 1 del er defekt og 2 er gode; 2) 2 deler er defekte, og 1 er bra; 3) alle 3 delene er defekte. Antall sett av den første typen er lik , antall sett av den andre typen er lik , og antall sett av den tredje typen er lik . Følgelig favoriseres forekomsten av en hendelse av elementære utfall. Sannsynligheten for hendelsen er

Algebra av hendelser

Rommet til elementære begivenheter er settet av alle elementære utfall relatert til en gitt opplevelse.

Beløp to hendelser kalles en hendelse som består av elementære utfall som tilhører hendelsen eller hendelsen.

Arbeidet to hendelser kalles en hendelse som består av elementære utfall som samtidig hører til hendelsene og .

Hendelser og kalles inkompatible hvis .

Arrangementet kalles motsatte begivenhet, hvis begivenheten favoriseres av alle de elementære resultatene som ikke tilhører begivenheten. Spesielt, , .

SUMTEOREM.

Spesielt, .

Betinget sannsynlighet hendelsen, forutsatt at hendelsen inntraff, kalles forholdet mellom antall elementære utfall som tilhører skjæringspunktet og antall elementære utfall som tilhører . Med andre ord, den betingede sannsynligheten for en hendelse bestemmes av den klassiske sannsynlighetsformelen, der det nye sannsynlighetsrommet er . Den betingede sannsynligheten for en hendelse er merket med .

ProduktTEOREM. .

Arrangementene kalles uavhengig, hvis . For uavhengige hendelser gir produktteoremet relasjonen .

En konsekvens av sum- og produktsetningene er følgende to formler.

Total sannsynlighetsformel. En komplett gruppe hypoteser er et vilkårlig sett med inkompatible hendelser , , ¼, , som sammen utgjør hele sannsynlighetsrommet:

I denne situasjonen, for en vilkårlig hendelse, er en formel kalt total sannsynlighetsformel gyldig,

hvor er Laplace-funksjonen , , . Laplace-funksjonen er tabellert, og dens verdier, gitt en gitt verdi, kan finnes i enhver lærebok om sannsynlighetsteori og matematisk statistikk.

Oppgave 5.3. Det er kjent at i et stort parti deler er det 11 % defekte. 100 deler er valgt ut for testing. Hva er sannsynligheten for at det ikke er mer enn 14 defekte blant dem? Estimer svaret ved å bruke Moivre-Laplace-teoremet.

Løsning. Vi har å gjøre med en Bernoulli-test, hvor , , . En suksess anses å være oppdagelsen av en defekt del, og antall suksesser tilfredsstiller ulikheten . Derfor,

Direkte beregning gir:

, , , , , , , , , , , , , , .

Derfor,. La oss nå bruke Moivre-Laplace-integralsetningen. Vi får:

Ved å bruke tabellen over funksjonsverdier, tar vi i betraktning oddeligheten til funksjonen, får vi

Feilen i den omtrentlige beregningen overstiger ikke .

Tilfeldige variabler

En tilfeldig variabel er en numerisk egenskap ved et sannsynlighetseksperiment, som er en funksjon av elementære utfall. Hvis , , ¼, er et sett med elementære utfall, så er den tilfeldige variabelen en funksjon av . Det er imidlertid mer praktisk å karakterisere en tilfeldig variabel ved å liste opp alle dens mulige verdier og sannsynlighetene som den tar denne verdien med.

En slik tabell kalles fordelingsloven til en tilfeldig variabel. Siden hendelsene utgjør en komplett gruppe, er loven om sannsynlighetsnormalisering oppfylt

Den matematiske forventningen, eller gjennomsnittsverdien, til en tilfeldig variabel er et tall som er lik summen av produktene av verdiene til den tilfeldige variabelen og de tilsvarende sannsynlighetene.

Spredning (graden av spredning av verdier rundt den matematiske forventningen) av en tilfeldig variabel er den matematiske forventningen til den tilfeldige variabelen,

Det kan vises

Omfanget

kalles middelkvadratavviket til den tilfeldige variabelen.

Fordelingsfunksjonen for en tilfeldig variabel er sannsynligheten for å falle inn i mengden, altså

Det er en ikke-negativ, ikke-avtagende funksjon som tar verdier fra 0 til 1. For en tilfeldig variabel som har et endelig sett med verdier, er det en stykkevis konstant funksjon som har diskontinuiteter av den andre typen ved tilstandspunkter. Dessuten, og er kontinuerlig til venstre.

Oppgave 5.4. To terninger kastes etter hverandre. Hvis ett, tre eller fem poeng vises på én terning, taper spilleren 5 rubler. Hvis to eller fire poeng kastes, mottar spilleren 7 rubler. Hvis seks poeng kastes, taper spilleren 12 rubler. Tilfeldig verdi x er spillerens utbetaling for to terningkast. Finn distribusjonsloven x, plott fordelingsfunksjonen, finn den matematiske forventningen og variansen x.

Løsning. La oss først vurdere hva spillerens gevinster er lik når han kaster en terning. La hendelsen være at 1, 3 eller 5 poeng kastes. Da blir gevinsten rubler. La hendelsen være at 2 eller 4 poeng kastes. Da blir gevinsten rubler. La til slutt hendelsen bety å kaste en 6-er. Da er gevinsten lik rubler.

La oss nå vurdere alle mulige kombinasjoner av hendelser, og med to terningkast, og bestemme vinnerverdiene for hver slik kombinasjon.

Hvis en hendelse inntraff, så samtidig.

Hvis en hendelse inntraff, så samtidig.

På samme måte, når vi får , .

Vi skriver alle de funnet tilstandene og de totale sannsynlighetene for disse tilstandene i tabellen:

Vi sjekker oppfyllelsen av loven om sannsynlighetsnormalisering: på den reelle linjen må du være i stand til å bestemme sannsynligheten for at en tilfeldig variabel faller inn i dette intervallet 1) og raskt avtar ved, ¼,

Avsnitt 12. Sannsynlighetsteori.

1. Introduksjon

2. De enkleste begrepene i sannsynlighetsteori

3. Algebra av hendelser

4. Sannsynlighet for en tilfeldig hendelse

5. Geometriske sannsynligheter

6. Klassiske sannsynligheter. Kombinatoriske formler.

7. Betinget sannsynlighet. Uavhengighet av hendelser.

8. Total sannsynlighetsformel og Bayes-formel

9. Gjentatt testskjema. Bernoulli-formelen og dens asymptotiske egenskaper

10. Tilfeldige variabler (RV)

11. DSV distribusjonsserie

12. Kumulativ distribusjonsfunksjon

13. NSV distribusjonsfunksjon

14. Sannsynlighetstetthet for NSV

15. Numeriske kjennetegn ved tilfeldige variabler

16. Eksempler på viktige SV-fordelinger

16.1. Binomialfordeling av DSV.

16.2. Giftfordeling

16.3. Jevn fordeling av NSV.

16.4. Normal distribusjon.

17. Grensesetninger for sannsynlighetsteori.

Introduksjon

Sannsynlighetsteori, som mange andre matematiske disipliner, utviklet seg fra praksisens behov. Samtidig, mens man studerte en virkelig prosess, var det nødvendig å lage en abstrakt matematisk modell av den virkelige prosessen. Vanligvis tas de viktigste, mest betydningsfulle drivkreftene i en reell prosess i betraktning, og de sekundære, som kalles tilfeldige, tas bort fra betraktning. Hva som anses som hoved- og sekundært er selvsagt en egen oppgave. Løsningen på dette spørsmålet bestemmer abstraksjonsnivået, enkelheten eller kompleksiteten til den matematiske modellen og graden av tilstrekkelighet til modellen til den virkelige prosessen. I hovedsak er enhver abstrakt modell et resultat av to motstridende ambisjoner: enkelhet og tilstrekkelighet til virkeligheten.

For eksempel, i skyteteori, er det utviklet ganske enkle og praktiske formler for å bestemme flyveien til et prosjektil fra en pistol plassert ved et punkt (fig. 1).

Under visse forhold er nevnte teori tilstrekkelig, for eksempel under massiv artilleriforberedelse.

Det er imidlertid klart at dersom flere skudd avfyres fra en pistol under de samme forholdene, vil banene være, selv om de er nærme, fortsatt forskjellige. Og hvis målstørrelsen er liten sammenlignet med spredningsområdet, oppstår spesifikke spørsmål spesifikt knyttet til påvirkningen av faktorer som ikke er tatt med i den foreslåtte modellen. Samtidig vil det å ta hensyn til tilleggsfaktorer føre til en altfor kompleks modell som er nesten umulig å bruke. I tillegg er det mange av disse tilfeldige faktorene, deres natur er oftest ukjent.

I eksemplet ovenfor er slike spesifikke spørsmål som går utover den deterministiske modellen for eksempel følgende: hvor mange skudd må avfyres for å garantere å treffe målet med en viss sikkerhet (for eksempel på )? Hvordan bør nullstilling utføres for å bruke minst mulig skjell for å treffe målet? og så videre.

Som vi vil se senere, vil ordene "tilfeldig" og "sannsynlighet" bli strenge matematiske termer. Samtidig er de svært vanlige i vanlig dagligtale. Det antas at adjektivet "tilfeldig" er det motsatte av "naturlig". Det er imidlertid ikke slik, fordi naturen er utformet på en slik måte at tilfeldige prosesser avslører mønstre, men under visse forhold.

Hovedbetingelsen kalles massekarakter.

For eksempel, hvis du kaster en mynt, kan du ikke forutsi hva som kommer opp, et våpenskjold eller et tall, du kan bare gjette. Men hvis denne mynten kastes et stort antall ganger, vil ikke andelen av våpenskjoldet som faller ut avvike mye fra et visst tall nær 0,5 (i det følgende vil vi kalle dette tallet sannsynlighet). Dessuten, med en økning i antall kast, vil avviket fra dette antallet reduseres. Denne egenskapen kalles stabilitet gjennomsnittlige indikatorer (i dette tilfellet - andelen av våpenskjold). Det må sies at i de første trinnene av sannsynlighetsteori, da det i praksis var nødvendig å verifisere tilstedeværelsen av stabilitetsegenskapen, anså selv store forskere det ikke som vanskelig å utføre sin egen verifisering. Dermed ble det berømte eksperimentet til Buffon, som kastet en mynt 4040 ganger, og våpenskjoldet kom opp 2048 ganger, derfor er andelen (eller relative frekvensen) av våpenskjoldet som går tapt 0,508, som er nær det intuitivt forventet antall 0,5.

Derfor er definisjonen vanligvis gitt emnet sannsynlighetsteori som en gren av matematikken som studerer mønstrene til tilfeldige masseprosesser.

Det må sies at, til tross for at de største prestasjonene innen sannsynlighetsteori går tilbake til begynnelsen av forrige århundre, spesielt takket være den aksiomatiske konstruksjonen av teorien i verkene til A.N. Kolmogorov (1903-1987), interesse for studiet av ulykker dukket opp for lenge siden.

Opprinnelige interesser var å prøve å bruke en numerisk tilnærming til gambling. De første ganske interessante resultatene av sannsynlighetsteori er vanligvis assosiert med verkene til L. Pacioli (1494), D. Cardano (1526) og N. Tartaglia (1556).

Senere la B. Pascal (1623-1662), P. Fermat (1601-1665), H. Huygens (1629-1695) grunnlaget for den klassiske sannsynlighetsteorien. På begynnelsen av 1700-tallet dannet J. Bernoulli (1654-1705) konseptet om sannsynligheten for en tilfeldig hendelse som forholdet mellom antall gunstige sjanser og antallet av alle mulige. E. Borel (1871-1956), A. Lomnitsky (1881-1941), R. Mises (1883-1953) bygget sine teorier om bruken av begrepet mål for et sett.

Det settteoretiske synspunktet ble presentert i sin mest komplette form i 1933. A.N. Kolmogorov i sin monografi "Basic Concepts of Probability Theory". Det er fra dette øyeblikket at sannsynlighetsteori blir en streng matematisk vitenskap.

Russiske matematikere P.L. ga et stort bidrag til utviklingen av sannsynlighetsteori. Chebyshev (1821-1894), A.A. Markov (1856-1922), S.N. Bernstein (1880-1968) og andre.

Sannsynlighetsteori utvikler seg raskt for tiden.

De enkleste konseptene for sannsynlighetsteori

Som enhver matematisk disiplin begynner sannsynlighetsteori med introduksjonen av de enkleste konseptene som ikke er definert, men bare forklart.

Et av hovedkonseptene er erfaring. Erfaring forstås som et visst sett med forhold som kan reproduseres et ubegrenset antall ganger. Vi vil kalle hver implementering av dette komplekset en opplevelse eller en test. Resultatene av eksperimentet kan være forskjellige, og det er her tilfeldighetselementet dukker opp. De ulike resultatene eller resultatene av en opplevelse kalles arrangementer(mer presist, tilfeldige hendelser). Under gjennomføringen av eksperimentet kan det således oppstå en eller annen hendelse. Med andre ord er en tilfeldig hendelse et utfall av et eksperiment som kan oppstå (vises) eller ikke forekomme under gjennomføringen av eksperimentet.

Erfaring vil bli merket med bokstaven , og tilfeldige hendelser er vanligvis merket med store bokstaver

Ofte i et eksperiment er det mulig å identifisere resultatene på forhånd, som kan kalles de enkleste, som ikke kan dekomponeres til enklere. Slike hendelser kalles elementære hendelser(eller saker).

Eksempel 1. La mynten kaste. Resultatene av eksperimentet er: tap av våpenskjoldet (vi betegner denne hendelsen med bokstaven); tap av tall (betegnet med ). Så kan vi skrive: erfaring = (myntkast), utfall: Det er tydelig at de elementære hendelsene i dette eksperimentet. Med andre ord, en liste over alle de elementære opplevelsesbegivenhetene beskriver det fullstendig. I denne forbindelse vil vi si at erfaring er rommet for elementære hendelser, og i vårt tilfelle kan erfaring kort skrives i formen: = (myntkast) = (G; C).

Eksempel 2. =(mynten kastes to ganger)= Her er en verbal beskrivelse av opplevelsen og en liste over alle elementære hendelser: det betyr at først, ved det første kastet av en mynt, falt et våpenskjold, på det andre falt våpenskjoldet også; betyr at våpenskjoldet kom opp ved første kast av mynten, tallet på det andre osv.

Eksempel 3. I koordinatsystemet blir punkter kastet inn i en firkant. I dette eksemplet er de elementære hendelsene punkter med koordinater som tilfredsstiller de gitte ulikhetene. Det er kort skrevet slik:

Et kolon i krøllete parentes betyr at det består av punkter, men ikke noen, men bare de som tilfredsstiller betingelsen (eller betingelsene) spesifisert etter kolon (i vårt eksempel er dette ulikheter).

Eksempel 4. Mynten kastes til det første våpenskjoldet dukker opp. Med andre ord, myntkastingen fortsetter til hodet er landet. I dette eksemplet kan elementære hendelser listes opp, selv om antallet er uendelig:

Legg merke til at i eksempel 3 og 4 har rommet med elementære hendelser et uendelig antall utfall. I eksempel 4 kan de listes opp, dvs. beregne på nytt. Et slikt sett kalles tellbar. I eksempel 3 er plassen utellelig.

La oss introdusere ytterligere to hendelser som er tilstede i enhver opplevelse og som er av stor teoretisk betydning.

La oss kalle arrangementet umulig, med mindre, som et resultat av erfaring, det nødvendigvis skjer. Vi vil betegne det med tegnet til det tomme settet. Tvert imot kalles en hendelse som garantert vil oppstå som et resultat av erfaring pålitelig. En pålitelig hendelse betegnes på samme måte som selve rommet til elementære begivenheter - ved bokstaven.

For eksempel, når du kaster en terning, er hendelsen (mindre enn 9 poeng rullet opp) pålitelig, men hendelsen (nøyaktig 9 poeng rullet opp) er umulig.

Så rommet til elementære hendelser kan spesifiseres ved en verbal beskrivelse, en liste over alle dens elementære begivenheter, og innstillingen av regler eller betingelser som alle elementære begivenheter oppnås i henhold til.

Algebra av hendelser

Til nå har vi kun snakket om elementære hendelser som direkte resultater av erfaring. Men innenfor rammen av erfaring kan vi snakke om andre tilfeldige hendelser, i tillegg til elementære.

Eksempel 5. Når du kaster en terning, i tillegg til de elementære hendelsene på henholdsvis en, to,..., seks, kan vi snakke om andre hendelser: (et partall), (et oddetall), (et multiplum av tre), (et tall mindre enn 4 ) og så videre. I dette eksemplet kan de angitte hendelsene, i tillegg til den verbale oppgaven, spesifiseres ved å liste elementære hendelser:

Dannelsen av nye hendelser fra elementære, så vel som fra andre hendelser, utføres ved å bruke operasjoner (eller handlinger) på hendelser.

Definisjon. Produktet av to hendelser er en hendelse som består i at som et resultat av et eksperiment vil skje Og begivenhet , Og hendelse, det vil si at begge hendelsene vil skje samtidig (samtidig).

Produkttegnet (prikk) er ofte utelatt:

Definisjon. Summen av to hendelser er en hendelse som består i at som et resultat av eksperimentet vil skje eller begivenhet , eller begivenhet , eller begge sammen (samtidig).

I begge definisjonene la vi bevisst vekt på konjunksjoner Og Og eller- for å tiltrekke leserens oppmerksomhet til talen din når du løser problemer. Hvis vi uttaler konjunksjonen "og", så snakker vi om produksjon av arrangementer; Hvis konjunksjonen "eller" uttales, må hendelsene legges til. Samtidig legger vi merke til at konjunksjonen "eller" i dagligtale ofte brukes i betydningen å ekskludere en av to: "bare eller bare". I sannsynlighetsteori antas ikke et slikt unntak: og , og , og betyr forekomsten av en hendelse

Hvis gitt ved å telle opp elementære hendelser, kan komplekse hendelser enkelt oppnås ved å bruke de spesifiserte operasjonene. For å få tak i, må du finne alle de elementære hendelsene som hører til begge hendelsene, hvis det ikke er noen, er Sum of Events også lett å komponere: du må ta en av de to hendelsene og legge til de elementære hendelsene fra; den andre hendelsen som ikke er inkludert i den første.

I eksempel 5 får vi spesielt

De introduserte operasjonene kalles binære, fordi definert for to hendelser. Følgende unære operasjon (definert for en enkelt hendelse) er av stor betydning: hendelsen kalles motsatte hendelse hvis den består i at hendelsen ikke skjedde i en gitt opplevelse. Fra definisjonen er det klart at hver hendelse og dens motsetning har følgende egenskaper: Den introduserte operasjonen kalles addisjon hendelser A.

Det følger at hvis gitt av en liste over elementære hendelser, så, ved å vite spesifikasjonen av hendelsen, er det lett å få den består av alle elementære begivenheter i rommet som ikke hører hjemme, for eksempel hendelsen

Hvis det ikke er noen parenteser, settes følgende prioritet ved utførelse av operasjoner: addisjon, multiplikasjon, addisjon.

Så ved hjelp av de introduserte operasjonene fylles rommet til elementære hendelser opp med andre tilfeldige hendelser som danner den såkalte algebra av hendelser.

Eksempel 6. Skytteren avfyrte tre skudd mot målet. Tenk på hendelsene = (skytteren traff målet med det i-te skuddet), i = 1,2,3.

La oss komponere noen hendelser fra disse hendelsene (la oss ikke glemme de motsatte). Vi gir ikke lange kommentarer; Vi tror at leseren vil gjennomføre dem uavhengig.

Hendelse B = (alle tre skuddene treffer målet). Flere detaljer: B = ( Og først, Og sekund, Og det tredje skuddet traff målet). Brukt fagforening Og, derfor multipliseres hendelsene:

Like måte:

C = (ingen av skuddene treffer målet)

E = (ett skudd nådde målet)

D = (måltreff på andre skudd) = ;

F = (mål truffet av to skudd)

N = (minst ett treff vil treffe målet)

Som kjent er i matematikk den geometriske tolkningen av analytiske objekter, begreper og formler av stor betydning.

I sannsynlighetsteori er det praktisk å visuelt representere (geometrisk tolkning) erfaring, tilfeldige hendelser og operasjoner på dem i form av s.k. Euler-Venn diagrammer. Essensen er at hver opplevelse identifiseres (tolkes) med å kaste poeng inn i en bestemt rute. Prikkene kastes tilfeldig, slik at alle prikkene har lik sjanse til å lande hvor som helst i den ruten. Plassen definerer rammen for den aktuelle opplevelsen. Hver begivenhet i opplevelsen identifiseres med et bestemt område av torget. Med andre ord betyr forekomsten av en hendelse at et tilfeldig punkt faller innenfor området angitt av bokstaven. Da tolkes operasjoner på hendelser enkelt geometrisk (fig. 2).

EN:

A + B: hvilken som helst

klekking

I fig. 2 a) er hendelse A fremhevet ved vertikal skyggelegging, hendelse B av horisontal skyggelegging. Da tilsvarer multiplikasjonsoperasjonen en dobbel luke - hendelsen tilsvarer den delen av kvadratet som er dekket med en dobbel luke. Dessuten, hvis de kalles uforenlige hendelser. Følgelig tilsvarer operasjonen av tillegg enhver skravering - hendelsen betyr en del av kvadratet som er skyggelagt av enhver skravering - vertikal, horisontal og dobbel. I fig. 2 b) er hendelsen vist den skraverte delen av kvadratet - alt som ikke er inkludert i området De innførte operasjonene har følgende grunnleggende egenskaper, hvorav noen er gyldige for operasjoner med samme navn på tall, men det er også spesifikke.

10. kommutativitet av multiplikasjon;

20. kommutativitet av tillegg;

tretti . assosiativitet av multiplikasjon;

4 0 . tillegg assosiativitet,

50 . fordeling av multiplikasjon i forhold til addisjon,

6 0 . fordeling av addisjon i forhold til multiplikasjon;

9 0 . de Morgans lover om dualitet,

10 0 .

1 .A .A+ .A· =A, 1 .A+. 1.A· =, 1.A+ =

Eksempel 7. Ivan og Peter ble enige om å møtes med et tidsintervall på T time, for eksempel (0, T). Samtidig ble de enige om at hver av dem, når de kom til møtet, ville vente på den andre ikke mer enn en time.

La oss gi dette eksemplet en geometrisk tolkning. La oss betegne: tidspunktet for Ivans ankomst til møtet; Peters ankomsttid til møtet. Som avtalt: 0 . Da får vi i koordinatsystemet: = Det er lett å legge merke til at i vårt eksempel er rommet til elementære hendelser en firkant. 1

0 x tilsvarer den delen av kvadratet som er plassert over denne linjen På samme måte til den andre ulikheten y≤x+ og; og fungerer ikke hvis alle elementer ikke fungerer, dvs. .Dermed, de Morgans andre lov om dualitet: implementeres når elementer er koblet parallelt.

Eksemplet ovenfor viser hvorfor sannsynlighetsteori er mye brukt i fysikk, spesielt ved beregning av påliteligheten til virkelige tekniske enheter.

Hendelser som skjer i virkeligheten eller i vår fantasi kan deles inn i 3 grupper. Dette er visse hendelser som definitivt vil skje, umulige hendelser og tilfeldige hendelser. Sannsynlighetsteori studerer tilfeldige hendelser, dvs. hendelser som kanskje eller ikke kan skje. Denne artikkelen vil kort presentere teorien om sannsynlighetsformler og eksempler på problemløsning i sannsynlighetsteori, som vil være i oppgave 4 i Unified State Exam i matematikk (profilnivå).

Hvorfor trenger vi sannsynlighetsteori?

Historisk sett oppsto behovet for å studere disse problemene på 1600-tallet i forbindelse med utvikling og profesjonalisering av pengespill og fremveksten av kasinoer. Dette var et reelt fenomen som krevde egne studier og forskning.

Å spille kort, terninger og rulett skapte situasjoner der en hvilken som helst av et begrenset antall like mulige hendelser kunne oppstå. Det var behov for å gi numeriske estimater for muligheten for at en bestemt hendelse skulle inntreffe.

På 1900-tallet ble det klart at denne tilsynelatende useriøse vitenskapen spiller en viktig rolle i å forstå de grunnleggende prosessene som skjer i mikrokosmos. Den moderne teorien om sannsynlighet ble skapt.

Grunnleggende begreper i sannsynlighetsteori

Objektet for studiet av sannsynlighetsteori er hendelser og deres sannsynligheter. Hvis en hendelse er kompleks, kan den brytes ned i enkle komponenter, hvor sannsynlighetene er enkle å finne.

Summen av hendelser A og B kalles hendelse C, som består i at enten hendelse A, eller hendelse B, eller hendelser A og B skjedde samtidig.

Produktet av hendelser A og B er en hendelse C, som betyr at både hendelse A og hendelse B skjedde.

Hendelser A og B kalles inkompatible hvis de ikke kan skje samtidig.

En hendelse A kalles umulig hvis den ikke kan skje. En slik hendelse er indikert med symbolet.

En hendelse A kalles sikker hvis den er sikker på å skje. En slik hendelse er indikert med symbolet.

La hver hendelse A være assosiert med et tall P(A). Dette tallet P(A) kalles sannsynligheten for hendelse A hvis følgende betingelser er oppfylt med denne korrespondansen.

Et viktig spesialtilfelle er situasjonen når det er like sannsynlige elementære utfall, og vilkårlig av disse utfallene danner hendelser A. I dette tilfellet kan sannsynligheten legges inn ved hjelp av formelen. Sannsynlighet introdusert på denne måten kalles klassisk sannsynlighet. Det kan bevises at i dette tilfellet er egenskapene 1-4 tilfredsstilt.

Sannsynlighetsteoretiske problemer som dukker opp på Unified State Examination i matematikk er hovedsakelig knyttet til klassisk sannsynlighet. Slike oppgaver kan være veldig enkle. De sannsynlighetsteoretiske problemene i demonstrasjonsversjonene er spesielt enkle. Det er enkelt å beregne antall gunstige utfall. Antallet av alle utfall er skrevet rett i tilstanden.

Vi får svaret ved hjelp av formelen.

Et eksempel på en oppgave fra Unified State Examination i matematikk om å bestemme sannsynlighet

Det er 20 paier på bordet - 5 med kål, 7 med epler og 8 med ris. Marina vil ta paien. Hva er sannsynligheten for at hun tar riskaken?

Løsning.

Det er 20 like sannsynlige elementære utfall, det vil si at Marina kan ta hvilken som helst av de 20 paiene. Men vi må estimere sannsynligheten for at Marina tar rispaien, det vil si der A er valget av riskaien. Dette betyr at antallet gunstige utfall (valg av paier med ris) bare er 8. Da vil sannsynligheten bli bestemt av formelen:

Uavhengige, motsatte og vilkårlige hendelser

Imidlertid begynte mer komplekse oppgaver å bli funnet i den åpne oppgavebanken. La oss derfor trekke leserens oppmerksomhet til andre problemstillinger som er studert i sannsynlighetsteori.

Hendelser A og B sies å være uavhengige hvis sannsynligheten for hver ikke avhenger av om den andre hendelsen inntreffer.

Hendelse B er at hendelse A ikke skjedde, dvs. hendelse B er motsatt av hendelse A. Sannsynligheten for den motsatte hendelsen er lik én minus sannsynligheten for den direkte hendelsen, dvs. .

Sannsynlighetsaddisjons- og multiplikasjonssetninger, formler

For vilkårlige hendelser A og B er sannsynligheten for summen av disse hendelsene lik summen av deres sannsynligheter uten sannsynligheten for deres felles hendelse, dvs. .

For uavhengige hendelser A og B er sannsynligheten for at disse hendelsene inntreffer lik produktet av deres sannsynligheter, dvs. i dette tilfellet .

De to siste påstandene kalles teoremene for addisjon og multiplikasjon av sannsynligheter.

Å telle antall utfall er ikke alltid så enkelt. I noen tilfeller er det nødvendig å bruke kombinatoriske formler. Det viktigste er å telle antall hendelser som tilfredsstiller visse betingelser. Noen ganger kan slike beregninger bli selvstendige oppgaver.

På hvor mange måter kan 6 elever sitte på 6 tomme plasser? Den første eleven vil ta en av de 6 plassene. Hvert av disse alternativene tilsvarer 5 måter den andre eleven kan ta plass på. Det er 4 ledige plasser igjen for den tredje eleven, 3 til den fjerde, 2 for den femte, og den sjette vil ta den eneste gjenværende plassen. For å finne antallet av alle alternativer, må du finne produktet, som er merket med symbolet 6! og leser "six factorial".

I det generelle tilfellet er svaret på dette spørsmålet gitt av formelen for antall permutasjoner av n elementer.

La oss nå vurdere en annen sak med våre studenter. På hvor mange måter kan 2 elever sitte på 6 tomme plasser? Den første eleven vil ta en av de 6 plassene. Hvert av disse alternativene tilsvarer 5 måter den andre eleven kan ta plass på. For å finne antallet av alle alternativer, må du finne produktet.

Generelt er svaret på dette spørsmålet gitt av formelen for antall plasseringer av n elementer over k elementer

I vårt tilfelle.

Og den siste saken i denne serien. På hvor mange måter kan du velge tre elever av 6? Den første studenten kan velges på 6 måter, den andre - på 5 måter, den tredje - på fire måter. Men blant disse alternativene dukker de samme tre elevene opp 6 ganger. For å finne antallet av alle alternativer, må du beregne verdien: . Generelt er svaret på dette spørsmålet gitt av formelen for antall kombinasjoner av elementer etter element:

I vårt tilfelle.

Eksempler på å løse problemer fra Unified State Exam i matematikk for å bestemme sannsynlighet

Oppgave 1. Fra samlingen redigert av. Jasjtsjenko.

Det er 30 paier på tallerkenen: 3 med kjøtt, 18 med kål og 9 med kirsebær. Sasha velger en pai tilfeldig. Finn sannsynligheten for at han ender opp med et kirsebær.

.

Svar: 0,3.

Oppgave 2. Fra samlingen redigert av. Jasjtsjenko.

I hvert parti med 1000 lyspærer er i gjennomsnitt 20 defekte. Finn sannsynligheten for at en lyspære tatt tilfeldig fra en batch vil fungere.

Løsning: Antall fungerende lyspærer er 1000-20=980. Da er sannsynligheten for at en lyspære tatt tilfeldig fra en batch vil fungere:

Svar: 0,98.

Sannsynligheten for at elev U løser mer enn 9 oppgaver riktig i løpet av en matteprøve er 0,67. Sannsynligheten for at U. løser mer enn 8 oppgaver riktig er 0,73. Finn sannsynligheten for at U løser nøyaktig 9 oppgaver riktig.

Hvis vi forestiller oss en talllinje og markerer punktene 8 og 9 på den, vil vi se at betingelsen "U. vil løse nøyaktig 9 problemer riktig" er inkludert i betingelsen "U. vil løse mer enn 8 problemer riktig", men gjelder ikke betingelsen "U. vil løse mer enn 9 problemer riktig."

Imidlertid er betingelsen "U. vil løse mer enn 9 problemer riktig" er inneholdt i betingelsen "U. vil løse mer enn 8 problemer riktig." Således, hvis vi utpeker hendelser: "U. vil løse nøyaktig 9 problemer riktig" - gjennom A, "U. vil løse mer enn 8 problemer riktig" - gjennom B, "U. vil riktig løse mer enn 9 problemer" gjennom C. Den løsningen vil se slik ut:

Svar: 0,06.

I en geometrieksamen svarer en student på ett spørsmål fra en liste med eksamensspørsmål. Sannsynligheten for at dette er et trigonometrispørsmål er 0,2. Sannsynligheten for at dette er et spørsmål på eksterne vinkler er 0,15. Det er ingen spørsmål som samtidig relaterer seg til disse to temaene. Finn sannsynligheten for at en student får et spørsmål om ett av disse to temaene på eksamen.

La oss tenke på hvilke arrangementer vi har. Vi får to uforenlige hendelser. Det vil si at enten vil spørsmålet forholde seg til emnet "Trigonometri" eller til emnet "Eksterne vinkler". I følge sannsynlighetsteoremet er sannsynligheten for uforenlige hendelser lik summen av sannsynlighetene for hver hendelse, vi må finne summen av sannsynlighetene for disse hendelsene, det vil si:

Svar: 0,35.

Rommet er opplyst av en lykt med tre lamper. Sannsynligheten for at en lampe brenner ut i løpet av et år er 0,29. Finn sannsynligheten for at minst én lampe ikke brenner ut i løpet av året.

La oss vurdere mulige hendelser. Vi har tre lyspærer, som hver kan eller ikke kan brenne ut uavhengig av andre lyspærer. Dette er uavhengige arrangementer.

Deretter vil vi indikere alternativene for slike arrangementer. La oss bruke følgende notasjoner: - lyspæren er på, - lyspæren er utbrent. Og umiddelbart etter beregner vi sannsynligheten for hendelsen. For eksempel, sannsynligheten for en hendelse der tre uavhengige hendelser «lyspæren er utbrent», «lyspæren er på», «lyspæren er på» inntraff: , hvor sannsynligheten for hendelsen «lyspæren er på» beregnes som sannsynligheten for hendelsen motsatt hendelsen «lyspæren er ikke på», nemlig: .

"Ulykker er ikke tilfeldige"... Det høres ut som noe en filosof sa, men faktisk er det å studere tilfeldighet skjebnen til den store vitenskapen om matematikk. I matematikk håndteres tilfeldigheter av sannsynlighetsteori. Formler og eksempler på oppgaver, samt hoveddefinisjonene av denne vitenskapen vil bli presentert i artikkelen.

Hva er sannsynlighetsteori?

Sannsynlighetsteori er en av de matematiske disiplinene som studerer tilfeldige hendelser.

For å gjøre det litt tydeligere, la oss gi et lite eksempel: Hvis du kaster en mynt opp, kan den lande på hodet eller halen. Mens mynten er i luften, er begge disse sannsynlighetene mulige. Det vil si at sannsynligheten for mulige konsekvenser er 1:1. Hvis man trekkes fra en kortstokk med 36 kort, vil sannsynligheten bli angitt som 1:36. Det ser ut til at det ikke er noe å utforske og forutsi her, spesielt ved hjelp av matematiske formler. Men hvis du gjentar en bestemt handling mange ganger, kan du identifisere et bestemt mønster og, basert på det, forutsi utfallet av hendelser under andre forhold.

For å oppsummere alt det ovennevnte, studerer sannsynlighetsteori i klassisk forstand muligheten for forekomsten av en av de mulige hendelsene i en numerisk verdi.

Fra historiens sider

Sannsynsteorien, formler og eksempler på de første oppgavene dukket opp i den fjerne middelalderen, da forsøk på å forutsi utfallet av kortspill først dukket opp.

I utgangspunktet hadde sannsynlighetsteori ingenting med matematikk å gjøre. Det ble begrunnet med empiriske fakta eller egenskaper ved en hendelse som kunne reproduseres i praksis. De første verkene på dette området som en matematisk disiplin dukket opp på 1600-tallet. Grunnleggerne var Blaise Pascal og Pierre Fermat. De studerte gambling i lang tid og så visse mønstre, som de bestemte seg for å fortelle offentligheten om.

Den samme teknikken ble oppfunnet av Christiaan Huygens, selv om han ikke var kjent med resultatene av forskningen til Pascal og Fermat. Konseptet "sannsynlighetsteori", formler og eksempler, som regnes som de første i disiplinens historie, ble introdusert av ham.

Arbeidene til Jacob Bernoulli, Laplaces og Poissons teoremer er også av ikke liten betydning. De gjorde sannsynlighetsteori mer som en matematisk disiplin. Sannsynlighetsteori, formler og eksempler på grunnleggende oppgaver fikk sin nåværende form takket være Kolmogorovs aksiomer. Som et resultat av alle endringene ble sannsynlighetsteori en av de matematiske grenene.

Grunnleggende begreper i sannsynlighetsteori. arrangementer

Hovedkonseptet i denne disiplinen er "begivenhet". Det er tre typer arrangementer:

• Pålitelig. De som vil skje uansett (mynten vil falle).
• Umulig. Hendelser som ikke vil skje under noen omstendigheter (mynten vil forbli hengende i luften).
• Tilfeldig. De som vil skje eller ikke vil skje. De kan påvirkes av ulike faktorer som er svært vanskelig å forutsi. Hvis vi snakker om en mynt, så er det tilfeldige faktorer som kan påvirke resultatet: de fysiske egenskapene til mynten, dens form, dens opprinnelige posisjon, kraften til kastet, etc.

Alle hendelser i eksemplene er angitt med store latinske bokstaver, med unntak av P, som har en annen rolle. For eksempel:

• A = "studenter kom for å forelese."
• Ā = "studenter kom ikke til forelesningen."

I praktiske oppgaver skrives hendelser som regel ned med ord.

En av de viktigste egenskapene til hendelser er deres like mulighet. Det vil si at hvis du kaster en mynt, er alle varianter av det første fallet mulig til det faller. Men hendelser er heller ikke like mulige. Dette skjer når noen bevisst påvirker et utfall. For eksempel "merkede" spillkort eller terninger, der tyngdepunktet forskyves.

Hendelser kan også være kompatible og inkompatible. Kompatible hendelser utelukker ikke hverandres forekomst. For eksempel:

• A = "studenten kom til forelesningen."
• B = "studenten kom til forelesningen."

Disse hendelsene er uavhengige av hverandre, og forekomsten av en av dem påvirker ikke forekomsten av den andre. Inkompatible hendelser er definert ved at forekomsten av en utelukker forekomsten av en annen. Hvis vi snakker om den samme mynten, gjør tapet av "haler" det umulig for utseendet til "hoder" i det samme eksperimentet.

Handlinger på hendelser

Hendelser kan multipliseres og legges til følgelig, logiske koblinger "OG" og "ELLER" introduseres i disiplinen.

Beløpet bestemmes av at enten hendelse A eller B, eller to, kan inntreffe samtidig. Hvis de er inkompatible, er det siste alternativet umulig, enten A eller B vil bli rullet.

Multiplikasjon av hendelser består i utseendet til A og B på samme tid.

Nå kan vi gi flere eksempler for bedre å huske det grunnleggende, sannsynlighetsteori og formler. Eksempler på problemløsning nedenfor.

Øvelse 1: Bedriften deltar i en konkurranse om å få kontrakter på tre typer arbeider. Mulige hendelser som kan oppstå:

• A = "firmaet vil motta den første kontrakten."
• Og 1 = "firmaet vil ikke motta den første kontrakten."
• B = "firmaet vil motta en andre kontrakt."
• B 1 = "firmaet vil ikke motta en ny kontrakt"
• C = "firmaet vil motta en tredje kontrakt."
• C 1 = "firmaet vil ikke motta en tredje kontrakt."

Ved å bruke handlinger på hendelser vil vi prøve å uttrykke følgende situasjoner:

• K = "selskapet vil motta alle kontrakter."

På matematisk form vil ligningen ha følgende form: K = ABC.

• M = "bedriften vil ikke motta en eneste kontrakt."

M = A 1 B 1 C 1.

La oss komplisere oppgaven: H = "bedriften vil motta en kontrakt." Siden det ikke er kjent hvilken kontrakt selskapet vil motta (første, andre eller tredje), er det nødvendig å registrere hele spekteret av mulige hendelser:

H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

Og 1 f.Kr. 1 er en serie hendelser der firmaet ikke mottar den første og tredje kontrakten, men mottar den andre. Andre mulige hendelser ble registrert ved bruk av passende metode. Symbolet υ i disiplinen angir bindeleddet "ELLER". Hvis vi oversetter eksemplet ovenfor til menneskelig språk, vil selskapet motta enten den tredje kontrakten, eller den andre, eller den første. På lignende måte kan du skrive ned andre forhold i faget «Sannsynlighetsteori». Formlene og eksemplene på problemløsning presentert ovenfor vil hjelpe deg med å gjøre dette selv.

Faktisk, sannsynligheten

Kanskje, i denne matematiske disiplinen, er sannsynligheten for en hendelse det sentrale konseptet. Det er 3 definisjoner av sannsynlighet:

• klassisk;
• statistisk;
• geometrisk.

Hver har sin plass i studiet av sannsynlighet. Sannsynlighetsteori, formler og eksempler (9. klasse) bruker hovedsakelig den klassiske definisjonen, som høres slik ut:

• Sannsynligheten for situasjon A er lik forholdet mellom antall utfall som favoriserer dens forekomst og antallet av alle mulige utfall.

Formelen ser slik ut: P(A)=m/n.

A er faktisk en hendelse. Hvis en kasus motsatt av A vises, kan den skrives som  eller A 1 .

m er antall mulige gunstige tilfeller.

n - alle hendelser som kan skje.

For eksempel, A = "trekk et kort av hjertedrakten." Det er 36 kort i en standard kortstokk, 9 av dem er av hjerter. Følgelig vil formelen for å løse problemet se slik ut:

P(A)=9/36=0,25.

Som et resultat vil sannsynligheten for at et kort i hjertefargen trekkes fra kortstokken være 0,25.

Mot høyere matematikk

Nå har det blitt litt kjent hva sannsynlighetsteori er, formler og eksempler på å løse problemer som kommer over i skolepensum. Imidlertid finnes sannsynlighetsteori også i høyere matematikk, som undervises på universiteter. Oftest opererer de med geometriske og statistiske definisjoner av teorien og komplekse formler.

Sannsynsteorien er veldig interessant. Det er bedre å begynne å studere formler og eksempler (høyere matematikk) i det små - med den statistiske (eller frekvens) definisjonen av sannsynlighet.

Den statistiske tilnærmingen motsier ikke den klassiske, men utvider den litt. Hvis det i det første tilfellet var nødvendig å bestemme med hvilken sannsynlighet en hendelse vil oppstå, er det i denne metoden nødvendig å indikere hvor ofte det vil skje. Her introduseres et nytt konsept med "relativ frekvens", som kan betegnes med W n (A). Formelen er ikke forskjellig fra den klassiske:

Hvis den klassiske formelen beregnes for prediksjon, beregnes den statistiske i henhold til resultatene av eksperimentet. La oss ta en liten oppgave for eksempel.

Den teknologiske kontrollavdelingen kontrollerer produkter for kvalitet. Blant 100 produkter ble 3 funnet å være av dårlig kvalitet. Hvordan finne frekvenssannsynligheten for et kvalitetsprodukt?

A = "utseendet til et kvalitetsprodukt."

Wn(A)=97/100=0,97

Dermed er frekvensen til et kvalitetsprodukt 0,97. Hvor fikk du 97 fra? Av 100 produkter som ble kontrollert, ble 3 funnet å være av dårlig kvalitet. Vi trekker 3 fra 100 og får 97, dette er mengden kvalitetsvarer.

Litt om kombinatorikk

En annen metode for sannsynlighetsteori kalles kombinatorikk. Dets grunnleggende prinsipp er at hvis et bestemt valg A kan gjøres på m forskjellige måter, og et valg B kan gjøres på n forskjellige måter, så kan valget av A og B gjøres ved multiplikasjon.

For eksempel er det 5 veier som fører fra by A til by B. Det er 4 stier fra by B til by C. På hvor mange måter kan du komme deg fra by A til by C?

Det er enkelt: 5x4=20, det vil si på tjue forskjellige måter du kan komme deg fra punkt A til punkt C.

La oss komplisere oppgaven. Hvor mange måter er det å legge ut kort i kabal? Det er 36 kort i kortstokken - dette er utgangspunktet. For å finne ut antall måter, må du "trekke fra" ett kort om gangen fra startpunktet og gange.

Det vil si at 36x35x34x33x32...x2x1= resultatet passer ikke på kalkulatorskjermen, så det kan ganske enkelt angis 36!. Signer "!" ved siden av tallet indikerer at hele tallserien multipliseres sammen.

I kombinatorikk er det slike begreper som permutasjon, plassering og kombinasjon. Hver av dem har sin egen formel.

Et ordnet sett med elementer i et sett kalles et arrangement. Plasseringer kan gjentas, det vil si at ett element kan brukes flere ganger. Og uten repetisjon, når elementer ikke gjentas. n er alle elementer, m er elementer som deltar i plasseringen. Formelen for plassering uten repetisjon vil se slik ut:

A n m =n!/(n-m)!

Forbindelser av n elementer som bare er forskjellige i rekkefølgen av plassering kalles permutasjoner. I matematikk ser det slik ut: P n = n!

Kombinasjoner av n elementer av m er de forbindelsene der det er viktig hvilke elementer de var og hva deres totale antall er. Formelen vil se slik ut:

A n m =n!/m!(n-m)!

Bernoullis formel

I sannsynlighetsteori, som i alle disipliner, er det verk av fremragende forskere innen sitt felt som har tatt det til et nytt nivå. Et av disse verkene er Bernoulli-formelen, som lar deg bestemme sannsynligheten for at en bestemt hendelse skal skje under uavhengige forhold. Dette antyder at forekomsten av A i et eksperiment ikke er avhengig av forekomsten eller ikke-forekomsten av samme hendelse i tidligere eller etterfølgende forsøk.

Bernoullis ligning:

P n (m) = C n m × p m × q n-m.

Sannsynligheten (p) for at hendelsen (A) skal inntreffe er konstant for hver forsøk. Sannsynligheten for at situasjonen vil oppstå nøyaktig m ganger i n antall eksperimenter vil bli beregnet ved formelen presentert ovenfor. Følgelig oppstår spørsmålet om hvordan man finner ut tallet q.

Hvis hendelse A inntreffer p antall ganger, kan det hende at den ikke forekommer. Enhet er et tall som brukes til å angi alle utfall av en situasjon i en disiplin. Derfor er q et tall som angir muligheten for at en hendelse ikke inntreffer.

Nå kjenner du Bernoullis formel (sannsynlighetsteori). Vi vil ta for oss eksempler på problemløsning (første nivå) nedenfor.

Oppgave 2: En butikkbesøkende vil foreta et kjøp med sannsynlighet 0,2. 6 besøkende kom uavhengig inn i butikken. Hva er sannsynligheten for at en besøkende vil foreta et kjøp?

Løsning: Siden det er ukjent hvor mange besøkende som bør foreta et kjøp, en eller alle seks, er det nødvendig å beregne alle mulige sannsynligheter ved å bruke Bernoulli-formelen.

A = "besøkende vil foreta et kjøp."

I dette tilfellet: p = 0,2 (som angitt i oppgaven). Følgelig er q=1-0,2 = 0,8.

n = 6 (siden det er 6 kunder i butikken). Tallet m vil variere fra 0 (ikke en eneste kunde vil foreta et kjøp) til 6 (alle besøkende i butikken vil kjøpe noe). Som et resultat får vi løsningen:

P 6 (0) = C 0 6 × p 0 × q 6 = q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Ingen av kjøperne vil foreta et kjøp med sannsynlighet 0,2621.

Hvordan brukes ellers Bernoullis formel (sannsynlighetsteori)? Eksempler på problemløsning (andre nivå) nedenfor.

Etter eksemplet ovenfor dukker det opp spørsmål om hvor C og r gikk. I forhold til p vil et tall i potensen 0 være lik én. Når det gjelder C, kan den bli funnet med formelen:

C n m = n! /m!(n-m)!

Siden i det første eksemplet henholdsvis m = 0 er C = 1, noe som i prinsippet ikke påvirker resultatet. Ved å bruke den nye formelen, la oss prøve å finne ut hva som er sannsynligheten for at to besøkende kjøper varer.

P 6 (2) = C 6 2 × p 2 × q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Sannsynsteorien er ikke så komplisert. Bernoullis formel, som eksempler er presentert ovenfor, er et direkte bevis på dette.

Poissons formel

Poissons ligning brukes til å beregne tilfeldige situasjoner med lav sannsynlighet.

Grunnformel:

P n (m)=λ m/m! × e (-λ).

I dette tilfellet λ = n x p. Her er en enkel Poisson-formel (sannsynlighetsteori). Vi vil ta for oss eksempler på problemløsning nedenfor.

Oppgave 3: Fabrikken produserte 100 000 deler. Forekomst av en defekt del = 0,0001. Hva er sannsynligheten for at det vil være 5 defekte deler i en batch?

Som du kan se, er ekteskap en usannsynlig hendelse, og derfor brukes Poisson-formelen (sannsynlighetsteori) til beregning. Eksempler på å løse problemer av denne typen er ikke forskjellig fra andre oppgaver i faget vi erstatter de nødvendige dataene i den gitte formelen:

A = "en tilfeldig valgt del vil være defekt."

p = 0,0001 (i henhold til oppgaveforholdene).

n = 100 000 (antall deler).

m = 5 (defekte deler). Vi erstatter dataene i formelen og får:

R 100 000 (5) = 10 5 /5! Xe-10 = 0,0375.

Akkurat som Bernoulli-formelen (sannsynlighetsteori), eksempler på løsninger som er skrevet ovenfor, har Poisson-ligningen en ukjent e. Faktisk kan den bli funnet av formelen:

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Imidlertid er det spesielle tabeller som inneholder nesten alle verdier av f.

De Moivre-Laplace teorem

Hvis antallet forsøk i Bernoulli-skjemaet er tilstrekkelig stort, og sannsynligheten for forekomst av hendelse A i alle skjemaer er den samme, så kan sannsynligheten for forekomst av hendelse A et visst antall ganger i en serie tester finnes ved å Laplaces formel:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

For bedre å huske Laplaces formel (sannsynlighetsteori), er eksempler på problemer nedenfor for å hjelpe.

Først, la oss finne X m, erstatte dataene (de er alle oppført ovenfor) i formelen og få 0,025. Ved å bruke tabeller finner vi tallet ϕ(0,025), hvis verdi er 0,3988. Nå kan du erstatte alle dataene i formelen:

P 800 (267) = 1/√(800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Dermed er sannsynligheten for at flyer vil fungere nøyaktig 267 ganger 0,03.

Bayes formel

Bayes-formelen (sannsynlighetsteori), eksempler på å løse problemer ved hjelp av denne vil bli gitt nedenfor, er en ligning som beskriver sannsynligheten for en hendelse basert på omstendighetene som kan være forbundet med den. Den grunnleggende formelen er som følger:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A og B er klare hendelser.

P(A|B) er en betinget sannsynlighet, det vil si at hendelse A kan inntreffe forutsatt at hendelse B er sann.

P (B|A) - betinget sannsynlighet for hendelse B.

Så den siste delen av det korte kurset "Sannsynlighetsteori" er Bayes-formelen, eksempler på løsninger på problemer som er nedenfor.

Oppgave 5: Telefoner fra tre firmaer ble brakt til lageret. Samtidig er andelen telefoner som produseres ved det første anlegget 25%, ved det andre - 60%, ved det tredje - 15%. Det er også kjent at den gjennomsnittlige prosentandelen av defekte produkter på den første fabrikken er 2%, ved den andre - 4% og ved den tredje - 1%. Du må finne sannsynligheten for at en tilfeldig valgt telefon vil være defekt.

A = "tilfeldig valgt telefon."

B 1 - telefonen som den første fabrikken produserte. Følgelig vil innledende B 2 og B 3 vises (for den andre og tredje fabrikken).

Som et resultat får vi:

P (B1) = 25%/100% = 0,25; P(B2) = 0,6; P (B 3) = 0,15 - dermed fant vi sannsynligheten for hvert alternativ.

Nå må du finne de betingede sannsynlighetene for den ønskede hendelsen, det vil si sannsynligheten for defekte produkter i selskaper:

P (A/B 1) = 2%/100% = 0,02;

P(A/B2) = 0,04;

P (A/B 3) = 0,01.

La oss nå erstatte dataene i Bayes-formelen og få:

P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 = 0,0305.

Artikkelen presenterer sannsynlighetsteori, formler og eksempler på problemløsning, men dette er bare toppen av isfjellet til en enorm disiplin. Og etter alt som er skrevet, vil det være logisk å stille spørsmålet om sannsynlighetsteorien er nødvendig i livet. Det er vanskelig for en vanlig person å svare, det er bedre å spørre noen som har brukt det til å vinne jackpotten mer enn én gang.