Egenskaper for addisjon og multiplikasjon. Egenskaper for addisjon, multiplikasjon, subtraksjon og divisjon av heltall

En rekke resultater som ligger i denne handlingen kan noteres. Disse resultatene kalles egenskaper ved addisjon av naturlige tall. I denne artikkelen vil vi analysere i detalj egenskapene til å legge til naturlige tall, skrive dem med bokstaver og gi forklarende eksempler.

Sidenavigering.

Kombinativ egenskap for addisjon av naturlige tall.

La oss nå gi et eksempel som illustrerer den assosiative egenskapen til å legge til naturlige tall.

La oss forestille oss en situasjon: 1 eple falt fra det første epletreet, og 2 epler og 4 epler til falt fra det andre epletreet. Tenk nå på denne situasjonen: 1 eple og 2 epler til falt fra det første epletreet, og 4 epler falt fra det andre epletreet. Det er klart at det vil være like mange epler på bakken i både det første og andre tilfellet (som kan verifiseres ved omberegning). Det vil si at resultatet av å legge til tallet 1 med summen av tallene 2 og 4 er lik resultatet av å legge til summen av tallene 1 og 2 med tallet 4.

Det betraktede eksemplet lar oss formulere den kombinatoriske egenskapen til å legge til naturlige tall: for å legge til en gitt sum av to tall til et gitt tall, kan vi legge til det første leddet av den gitte summen til dette tallet og legge til det andre leddet i gitt sum til det resulterende resultatet. Denne egenskapen kan skrives med bokstaver som følger: a+(b+c)=(a+b)+c, hvor a, b og c er vilkårlige naturlige tall.

Vær oppmerksom på at likheten a+(b+c)=(a+b)+c inneholder parenteser "(" og ")". Parentes brukes i uttrykk for å angi rekkefølgen handlinger utføres i - handlingene i parentes utføres først (mer om dette er skrevet i avsnittet). Med andre ord, uttrykk hvis verdier evalueres først, plasseres i parentes.

Som konklusjon av dette avsnittet merker vi at den kombinatoriske egenskapen til addisjon lar oss unikt bestemme tillegget av tre, fire eller flere naturlige tall.

Egenskapen til å addere null og et naturlig tall, egenskapen til å addere null og null.

Vi vet at null IKKE er et naturlig tall. Så hvorfor bestemte vi oss for å se på egenskapen til å legge til null og et naturlig tall i denne artikkelen? Det er tre grunner til dette. For det første: denne egenskapen brukes når du legger til naturlige tall i en kolonne. For det andre: denne egenskapen brukes når du trekker fra naturlige tall. For det tredje: hvis vi antar at null betyr fravær av noe, så faller betydningen av å legge til null og et naturlig tall sammen med betydningen av å legge til to naturlige tall.

La oss gjennomføre noen resonnementer som vil hjelpe oss å formulere egenskapen til å legge til null og et naturlig tall. La oss forestille oss at det ikke er noen objekter i boksen (med andre ord, det er 0 objekter i boksen), og et objekt er plassert i den, der a er et hvilket som helst naturlig tall. Det vil si at vi la til 0 og et objekt. Det er tydelig at etter denne handlingen er det en gjenstand i boksen. Derfor er likheten 0+a=a sann.

Tilsvarende, hvis en boks inneholder et element og 0 elementer er lagt til det (det vil si at ingen elementer er lagt til), vil det etter denne handlingen være et element i boksen. Så a+0=a.

Nå kan vi gi formuleringen av egenskapen å legge til null og et naturlig tall: summen av to tall, hvorav det ene er null, er lik det andre tallet. Matematisk kan denne egenskapen skrives som følgende likhet: 0+a=a eller a+0=a, hvor a er et vilkårlig naturlig tall.

Separat, la oss ta hensyn til det faktum at når du legger til et naturlig tall og null, forblir den kommutative egenskapen til addisjon sann, det vil si a+0=0+a.

Til slutt, la oss formulere egenskapen til å legge til null til null (det er ganske åpenbart og trenger ikke ytterligere kommentarer): summen av to tall, hver lik null, er lik null. Det er, 0+0=0 .

Nå er det på tide å finne ut hvordan du legger til naturlige tall.

Bibliografi.

• Matematikk. Eventuelle lærebøker for 1., 2., 3., 4. trinn ved allmennutdanningsinstitusjoner.
• Matematikk. Eventuelle lærebøker for 5. klasse ved allmennutdanningsinstitusjoner.

Å legge til ett tall til et annet er ganske enkelt. La oss se på et eksempel, 4+3=7. Dette uttrykket betyr at tre enheter ble lagt til fire enheter og resultatet ble syv enheter.
Tallene 3 og 4 som vi la til kalles vilkår. Og resultatet av å legge til tallet 7 kalles beløp.

Sum er addisjon av tall. Plusstegnet "+".
I bokstavelig form vil dette eksemplet se slik ut:

a+b=c

Tilleggskomponenter:
en- begrep, b- vilkår, c- sum.
Hvis vi legger til 4 enheter til 3 enheter, vil vi som et resultat av addisjon få samme resultat som 7.

Fra dette eksemplet konkluderer vi med at uansett hvordan vi bytter vilkårene, forblir svaret det samme:

Denne egenskapen til termer kalles kommutativ addisjonslov.

Kommutativ addisjonslov.

Endring av plassering av vilkårene endrer ikke summen.

I bokstavelig notasjon ser den kommutative loven slik ut:

a+b=b+en

Hvis vi vurderer tre ledd, for eksempel, ta tallene 1, 2 og 4. Og vi utfører addisjonen i denne rekkefølgen, legger først til 1 + 2, og legger deretter til den resulterende summen 4, får vi uttrykket:

(1+2)+4=7

Vi kan gjøre det motsatte, først legge til 2+4, og deretter legge til 1 til den resulterende summen. Vårt eksempel vil se slik ut:

1+(2+4)=7

Svaret forblir det samme. Begge addisjonstypene for samme eksempel har samme svar. Vi konkluderer:

(1+2)+4=1+(2+4)

Denne egenskapen til tillegg kalles assosiativ lov om addisjon.

Den kommutative og assosiative loven om addisjon fungerer for alle ikke-negative tall.

Kombinasjonslov om addisjon.

For å legge til et tredje tall til summen av to tall, kan du legge til summen av det andre og tredje tallet til det første tallet.

(a+b)+c=a+(b+c)

Kombinasjonsloven fungerer for et hvilket som helst antall termer. Vi bruker denne loven når vi trenger å legge til tall i en passende rekkefølge. La oss for eksempel legge til tre tall 12, 6, 8 og 4. Det vil være mer praktisk å først legge til 12 og 8, og deretter legge til summen av to tall 6 og 4 til den resulterende summen.
(12+8)+(6+4)=30

Tilleggsegenskap med null.

Når du legger til et tall med null, vil den resulterende summen være det samme tallet.

3+0=3
0+3=3
3+0=0+3

I et bokstavelig uttrykk vil addisjon med null se slik ut:

a+0=en
0+ a=en

Spørsmål om emnet addisjon av naturlige tall:
Lag en addisjonstabell og se hvordan egenskapen til kommutasjonsloven fungerer?
En tilleggstabell fra 1 til 10 kan se slik ut:

Andre versjon av tilleggstabellen.

Hvis vi ser på addisjonstabellene, kan vi se hvordan den kommutative loven fungerer.

Hva blir summen i uttrykket a+b=c?
Svar: summen er resultatet av å legge til begrepene. a+b og c.

Hva vil være i uttrykket a+b=c termer?
Svar: a og b. Addends er tall som vi legger sammen.

Hva skjer med et tall hvis du legger til 0 til det?
Svar: ingenting, tallet vil ikke endres. Når du legger til med null, forblir tallet det samme, fordi null er fraværet av enere.

Hvor mange ledd bør det være i eksemplet slik at kombinasjonsloven om addisjon kan brukes?
Svar: fra tre terminer eller mer.

Skrive ned kommutasjonsloven i bokstavelige termer?
Svar: a+b=b+a

Eksempler på oppgaver.
Eksempel #1:
Skriv ned svaret på de gitte uttrykkene: a) 15+7 b) 7+15
Svar: a) 22 b) 22

Eksempel #2:
Bruk kombinasjonsloven på begrepene: 1+3+5+2+9
1+3+5+2+9=(1+9)+(5+2)+3=10+7+3=10+(7+3)=10+10=20
Svar: 20.

Eksempel #3:
Løs uttrykket:
a) 5921+0 b) 0+5921
Løsning:
a) 5921+0 =5921
b) 0+5921=5921

Vi har definert addisjon, multiplikasjon, subtraksjon og divisjon av heltall. Disse handlingene (operasjonene) har en rekke karakteristiske resultater, som kalles egenskaper. I denne artikkelen vil vi se på de grunnleggende egenskapene til å addere og multiplisere heltall, som alle andre egenskaper til disse handlingene følger fra, samt egenskapene til å subtrahere og dele heltall.

Sidenavigering.

Tilsetning av heltall har flere andre svært viktige egenskaper.

En av dem er relatert til eksistensen av null. Denne egenskapen for addisjon av heltall sier at å legge til null til et heltall endrer ikke dette tallet. La oss skrive denne egenskapen til addisjon med bokstaver: a+0=a og 0+a=a (denne likheten er sann på grunn av den kommutative egenskapen til addisjon), a er et hvilket som helst heltall. Du hører kanskje at heltallet null kalles det nøytrale elementet i tillegg. La oss gi et par eksempler. Summen av heltallet −78 og null er −78; Hvis du legger det positive heltallet 999 til null, er resultatet 999.

Nå vil vi gi en formulering av en annen egenskap for addisjon av heltall, som er assosiert med eksistensen av et motsatt tall for et hvilket som helst heltall. Summen av et heltall med det motsatte tallet er null. La oss gi den bokstavelige formen for å skrive denne egenskapen: a+(−a)=0, hvor a og −a er motsatte heltall. For eksempel er summen 901+(−901) null; på samme måte er summen av motsatte heltall −97 og 97 null.

Grunnleggende egenskaper ved å multiplisere heltall

Multiplikasjon av heltall har alle egenskapene til multiplikasjon av naturlige tall. La oss liste de viktigste av disse egenskapene.

Akkurat som null er et nøytralt heltall med hensyn til addisjon, er en et nøytralt heltall med hensyn til heltallsmultiplikasjon. Det er, å multiplisere et heltall med ett endrer ikke tallet som multipliseres. Så 1·a=a, der a er et hvilket som helst heltall. Den siste likheten kan skrives om til a·1=a, dette lar oss lage den kommutative egenskapen til multiplikasjon. La oss gi to eksempler. Produktet av hele tallet 556 med 1 er 556; produktet av én og det negative heltall −78 er lik −78.

Den neste egenskapen ved å multiplisere heltall er relatert til multiplikasjon med null. Resultatet av å multiplisere et hvilket som helst heltall a med null er null, det vil si a·0=0 . Likheten 0·a=0 er også sann på grunn av den kommutative egenskapen til å multiplisere heltall. I det spesielle tilfellet når a=0, er produktet av null og null lik null.

For multiplikasjon av heltall er den inverse egenskapen til den forrige også sann. Den hevder det produktet av to heltall er lik null hvis minst én av faktorene er lik null. I bokstavelig form kan denne egenskapen skrives som følger: a·b=0, hvis enten a=0 eller b=0, eller både a og b er lik null på samme tid.

Distributiv egenskap for multiplikasjon av heltall i forhold til addisjon

Felles addisjon og multiplikasjon av heltall lar oss vurdere den distributive egenskapen til multiplikasjon i forhold til addisjon, som forbinder de to angitte handlingene. Å bruke addisjon og multiplikasjon sammen åpner for flere muligheter som vi ville savnet hvis vi vurderte addisjon separat fra multiplikasjon.

Så den distributive egenskapen til multiplikasjon i forhold til addisjon sier at produktet av et heltall a og summen av to heltall a og b er lik summen av produktene a b og a c, det vil si, a·(b+c)=a·b+a·c. Den samme egenskapen kan skrives i en annen form: (a+b)c=ac+bc .

Den distributive egenskapen til å multiplisere heltall i forhold til addisjon, sammen med den kombinatoriske egenskapen addisjon, lar oss bestemme multiplikasjonen av et heltall med summen av tre eller flere heltall, og deretter multiplikasjonen av summen av heltall med summen.

Legg også merke til at alle andre egenskaper for addisjon og multiplikasjon av heltall kan fås fra egenskapene vi har angitt, det vil si at de er konsekvenser av egenskapene angitt ovenfor.

Egenskaper for å subtrahere heltall

Fra den resulterende likheten, så vel som fra egenskapene til addisjon og multiplikasjon av heltall, følger følgende egenskaper for subtraksjon av heltall (a, b og c er vilkårlige heltall):

• Subtraksjon av heltall har generelt IKKE den kommutative egenskapen: a−b≠b−a.
• Forskjellen mellom like heltall er null: a−a=0.
• Egenskapen til å trekke summen av to heltall fra et gitt heltall: a−(b+c)=(a−b)−c .
• Egenskapen til å trekke et heltall fra summen av to heltall: (a+b)−c=(a−c)+b=a+(b−c) .
• Distributiv egenskap for multiplikasjon i forhold til subtraksjon: a·(b−c)=a·b−a·c og (a−b)·c=a·c−b·c.
• Og alle andre egenskaper ved å subtrahere heltall.

Egenskaper for deling av heltall

Mens vi diskuterte betydningen av å dele heltall, fant vi ut at å dele heltall er den omvendte handlingen av multiplikasjon. Vi ga følgende definisjon: å dele heltall er å finne en ukjent faktor fra et kjent produkt og en kjent faktor. Det vil si at vi kaller heltallet c kvotienten av delingen av heltallet a med heltallet b, når produktet c·b er lik a.

Denne definisjonen, så vel som alle egenskapene til operasjoner på heltall diskutert ovenfor, gjør det mulig å fastslå gyldigheten av følgende egenskaper ved å dele heltall:

• Ingen heltall kan deles på null.
• Egenskapen til å dele null med et vilkårlig heltall a annet enn null: 0:a=0.
• Egenskap for å dele like heltall: a:a=1, der a er et hvilket som helst heltall annet enn null.
• Egenskapen til å dele et vilkårlig heltall a med en: a:1=a.
• Generelt har deling av heltall IKKE den kommutative egenskapen: a:b≠b:a .
• Egenskaper for å dele summen og differansen av to heltall med et heltall: (a+b):c=a:c+b:c og (a−b):c=a:c−b:c, hvor a, b , og c er heltall slik at både a og b er delbare med c og c er ikke null.
• Egenskapen til å dele produktet av to heltall a og b med et heltall c annet enn null: (a·b):c=(a:c)·b, hvis a er delelig med c; (a·b):c=a·(b:c), hvis b er delelig med c; (a·b):c=(a:c)·b=a·(b:c) hvis både a og b er delbare med c .
• Egenskapen til å dele et heltall a med produktet av to heltall b og c (tallene a , b og c er slik at å dele a med b c er mulig): a:(b c)=(a:b)c=(a) :c)·b.
• Eventuelle andre egenskaper ved å dele heltall.