Hvordan regne på en rasjonell måte. Legge til og subtrahere rasjonelle tall

I den fjerne fortiden, da tallsystemet ennå ikke var oppfunnet, telte folk alt på fingrene. Med fremveksten av aritmetikk og det grunnleggende i matematikk ble det mye enklere og mer praktisk å holde styr på varer, produkter og husholdningsartikler. Men hvordan ser det moderne kalkulussystemet ut: hvilke typer deles eksisterende tall inn i og hva betyr "rasjonell form for tall"? La oss finne ut av det.

Hvor mange typer tall er det i matematikk?

Selve konseptet "tall" betegner en viss enhet av ethvert objekt som kjennetegner dets kvantitative, komparative eller ordinære indikatorer. For å kunne beregne antall bestemte ting riktig eller utføre visse matematiske operasjoner med tall (legge til, multiplisere osv.), bør du først og fremst bli kjent med variantene av de samme tallene.

Så eksisterende tall kan deles inn i følgende kategorier:

1. Naturlige tall er de tallene som vi teller antall objekter med (det minste naturlige tallet er 1, det er logisk at rekken av naturlige tall er uendelig, dvs. det er ikke noe største naturlige tall). Settet med naturlige tall er vanligvis merket med bokstaven N.
2. Hele tall. Dette settet inkluderer alt, mens negative verdier også legges til det, inkludert tallet "null". Betegnelsen på et sett med heltall er skrevet som den latinske bokstaven Z.
3. Rasjonale tall er de som vi mentalt kan transformere til en brøk, hvis teller vil tilhøre settet med heltall, og nevneren vil tilhøre settet med naturlige tall. Nedenfor skal vi se nærmere på hva et "rasjonalt tall" betyr og gi noen eksempler.
4. - et sett som inkluderer alle rasjonelle og Dette settet er merket med bokstaven R.
5. Komplekse tall inneholder en del av et reelt tall og en del av et variabelt tall. De brukes til å løse ulike kubiske ligninger, som igjen kan ha et negativt uttrykk i formlene (i 2 = -1).

Hva betyr "rasjonell": la oss se på eksempler

Hvis de tallene som vi kan representere som en vanlig brøk anses som rasjonelle, så viser det seg at alle positive og negative heltall også er inkludert i settet med rasjonaler. Tross alt kan et hvilket som helst helt tall, for eksempel 3 eller 15, representeres som en brøk, der nevneren er én.

Brøker: -9/3; 7/5, 6/55 er eksempler på rasjonelle tall.

Hva betyr "rasjonelt uttrykk"?

Gå videre. Vi har allerede diskutert hva den rasjonelle formen av tall betyr. La oss nå forestille oss et matematisk uttrykk som består av summen, forskjellen, produktet eller kvotienten av forskjellige tall og variabler. Her er et eksempel: en brøk der telleren er summen av to eller flere heltall, og nevneren inneholder både et heltall og en variabel. Det er denne typen uttrykk som kalles rasjonelle. Basert på regelen "du kan ikke dele med null," kan du gjette at verdien av denne variabelen ikke kan være slik at nevnerverdien blir null. Derfor, når du løser et rasjonelt uttrykk, må du først bestemme rekkevidden til variabelen. For eksempel, hvis nevneren har følgende uttrykk: x+5-2, så viser det seg at "x" ikke kan være lik -3. Faktisk, i dette tilfellet blir hele uttrykket til null, så når du løser det er det nødvendig å ekskludere heltall -3 for denne variabelen.

Hvordan løse rasjonelle ligninger riktig?

Rasjonelle uttrykk kan inneholde ganske mange tall og til og med 2 variabler, så noen ganger blir det vanskelig å løse dem. For å lette løsningen av et slikt uttrykk, anbefales det å utføre visse operasjoner på en rasjonell måte. Så, hva betyr "på en rasjonell måte" og hvilke regler bør brukes når du tar en beslutning?

1. Den første typen, når det er nok bare å forenkle uttrykket. For å gjøre dette kan du ty til operasjonen med å redusere telleren og nevneren til en irreduserbar verdi. Hvis for eksempel telleren inneholder uttrykket 18x, og nevneren 9x, får vi ganske enkelt et heltall lik 2 ved å redusere begge eksponentene med 9x.
2. Den andre metoden er praktisk når vi har et monom i telleren og et polynom i nevneren. La oss se på et eksempel: i telleren har vi 5x, og i nevneren - 5x + 20x 2. I dette tilfellet er det best å ta variabelen i nevneren ut av parentes, vi får følgende form av nevneren: 5x(1+4x). Nå kan du bruke den første regelen og forenkle uttrykket ved å avbryte 5x i telleren og nevneren. Som et resultat får vi en brøkdel av formen 1/1+4x.

Hvilke operasjoner kan du utføre med rasjonelle tall?

Settet med rasjonelle tall har en rekke egne egenskaper. Mange av dem ligner veldig på egenskapene til stede i heltall og naturlige tall, på grunn av det faktum at sistnevnte alltid er inkludert i settet med rasjonaler. Her er noen av egenskapene til rasjonelle tall, vel vitende om hvilke du enkelt kan løse et hvilket som helst rasjonelt uttrykk.

1. Den kommutative egenskapen lar deg summere to eller flere tall, uavhengig av rekkefølgen. Enkelt sagt, endring av plassering av vilkårene endrer ikke summen.
2. Fordelingsegenskapen lar deg løse problemer ved hjelp av distribusjonsloven.
3. Og til slutt, operasjonene med addisjon og subtraksjon.

Selv skolebarn vet hva "rasjonell form for tall" betyr og hvordan man løser problemer basert på slike uttrykk, så en utdannet voksen trenger bare å huske i det minste det grunnleggende om settet med rasjonelle tall.

Kozhinova Anastasia

KOMMUNALT UTYPISK BUDSJETT

GENERELT UTDANNINGSINSTITUTION

"LYSEUM nr. 76"

HVA ER HEMMELIGHETEN TIL RASJONELL REGNSKAP?

Utført:

Elev av 5. "B" klasse

Kozhinova Anastasia

Veileder:

Matematikklærer

Shchiklina Tatyana

Nikolaevna

Novokuznetsk 2013

Introduksjon……………………………………………………… 3

Hoveddel……………………………………………………………………….. 5-13

Konklusjon og konklusjoner……………………………………………………………….. 13-14

Referanser……………………………………………………………………………… 15

Applikasjoner……………………………………………………. 16-31

Jeg. Introduksjon

Problem: finne verdiene til numeriske uttrykk

Målet med arbeidet: søk, studie av eksisterende metoder og teknikker for rasjonell regnskap, bruk dem i praksis.

Oppgaver:

1. Gjennomfør en miniforskning i form av en spørreundersøkelse blant parallellklasser.

2. Analyser forskningstemaet: litteratur tilgjengelig på skolebiblioteket, informasjon i lærebok i matematikk for 5. klasse, på Internett.

3. Velg de mest effektive metodene og midlene for rasjonell beregning.

4. Klassifisere eksisterende teknikker for rask muntlig og skriftlig telling.

5. Lag påminnelser som inneholder rasjonelle telleteknikker til bruk i 5. klasses paralleller.

Studieobjekt: rasjonell beretning.

Studieemne: metoder for rasjonell telling.

For å sikre effektiviteten av forskningsarbeidet brukte jeg følgende metoder: analyse av informasjon hentet fra ulike ressurser, syntese, generalisering; sosiologisk undersøkelse i form av et spørreskjema. Spørreskjemaet er utviklet av meg i henhold til formålet og målene med studien, alderen på respondentene, og presenteres i hoveddelen av arbeidet.

Under forskningsarbeidet ble problemstillinger knyttet til metodene og teknikkene for rasjonell beregning vurdert, og det ble gitt anbefalinger for å eliminere problemer med dataferdigheter og å danne en datakultur.

II. Hoveddel

Dannelse av elevenes datakultur

5–6 klassetrinn.

Det er åpenbart at rasjonelle beregningsteknikker er et nødvendig element i beregningskulturen i hver persons liv, først og fremst på grunn av deres praktiske betydning, og elevene trenger det i nesten hver leksjon.

Beregningskultur er grunnlaget for studiet av matematikk og andre akademiske disipliner, fordi i tillegg til det faktum at beregninger aktiverer hukommelse og oppmerksomhet, hjelper de rasjonelt å organisere aktiviteter og påvirker menneskelig utvikling betydelig.

I hverdagen, i klasserom, når hvert minutt er verdifullt, er det svært viktig å raskt og rasjonelt utføre muntlige og skriftlige beregninger, uten å gjøre feil og uten å bruke noen ekstra dataverktøy.

Vi, skoleelever, møter dette problemet overalt: i klasserommet, hjemme, i butikken, etc. I tillegg vil vi etter karakterene 9 og 11 måtte ta eksamen i form av IGA og Unified State Examination, hvor bruk av mikrokalkulator ikke er tillatt. Derfor blir problemet med å utvikle en datakultur i hver person, et element som mestrer teknikkene for rasjonell beregning, ekstremt viktig.

Det er spesielt nødvendig å mestre teknikkene for rasjonell telling

i studiet av slike emner som matematikk, historie, teknologi, informatikk, etc., det vil si at rasjonell beregning hjelper til med å mestre relaterte fag, for å bedre navigere i materialet som studeres, i livssituasjoner. Så hva venter vi på? La oss gå inn i en verden av hemmeligheter til rasjonelle telleteknikker!!!

Hvilke problemer har elevene når de utfører beregninger?

Likealdrende på min alder har ofte problemer med å utføre ulike oppgaver der de trenger å gjøre beregninger raskt og enkelt . Hvorfor???

Her er noen gjetninger:

1. Studenten forsto ikke emnet som ble studert godt

2. Eleven gjentar ikke stoffet.

3. Eleven har dårlige regneferdigheter.

4. Eleven ønsker ikke å studere dette temaet

5. Eleven mener at det ikke vil være nyttig for ham.

Jeg tok alle disse antakelsene fra min erfaring og erfaringen til mine klassekamerater og jevnaldrende. Men i beregningsøvelser spiller rasjonelle telleferdigheter en viktig rolle, så jeg har studert, brukt og ønsker å introdusere deg for noen rasjonelle telleteknikker.

Rasjonelle metoder for muntlige og skriftlige beregninger.

I jobb og hverdag dukker det stadig opp behovet for ulike typer beregninger. Å bruke de enkleste metodene for mental telling reduserer tretthet, utvikler oppmerksomhet og hukommelse. Bruken av rasjonelle beregningsmetoder er nødvendig for å øke arbeidskraft, nøyaktighet og hastighet på beregninger. Hastigheten og nøyaktigheten til beregninger kan bare oppnås med rasjonell bruk av metoder og midler for mekanisering av beregninger, samt med riktig bruk av mentale beregningsmetoder.

Jeg. Teknikker for forenklet addisjon av tall

Det er fire kjente addisjonsmetoder som kan fremskynde beregningene.

Metode for sekvensiell bitvis addisjon brukes i hovedberegninger, da det forenkler og fremskynder summeringen av termer. Når du bruker denne metoden, begynner addisjonen fra de høyeste sifrene: de tilsvarende sifrene i det andre tillegget legges til det første tillegget.

Eksempel. La oss finne summen av tallene 5287 og 3564 ved å bruke metoden for sekvensiell bitvis addisjon.

Løsning. Vi vil utføre beregningen i følgende rekkefølge:

5 287 + 3 000 = 8 287;

8 287 + 500 = 8 787;

8 787 + 60 = 8 847;

8 847 + 4 = 8 851.

Svar: 8 851. (kombinativ-kommutativ lov)

En annen måte for sekvensiell bitvis addisjon består i at det høyeste sifferet i det andre leddet legges til det høyeste sifferet i det første leddet, deretter legges det neste sifferet i det andre leddet til det neste sifferet i første ledd osv.

La oss vurdere denne løsningen ved å bruke eksemplet gitt, vi får:

5 000 + 3 000 = 8 000;

200 + 500 = 700;

Svar: 8851.

Rundtallsmetode . Et tall som har ett signifikant siffer og ender med en eller flere nuller kalles et rundt tall. Denne metoden brukes når du fra to eller flere termer kan velge de som kan fylles ut for å danne et rundt tall. Forskjellen mellom det runde tallet og tallet angitt i beregningsbetingelsen kalles komplementet. For eksempel, 1000 - 978 = 22. I dette tilfellet er tallet 22 den aritmetiske addisjonen av 978 til 1000.

For å utføre addisjon ved hjelp av runde tall-metoden, må du runde av ett eller flere ledd nær runde tall, utføre addisjon av runde tall og trekke aritmetiske addisjoner fra den resulterende summen.

Eksempel. La oss finne summen av tallene 1,238 og 193 ved å bruke runde tallmetoden.

Løsning. La oss runde tallet 193 til 200 og legge til som følger: 1.238 + 193 = (1.238 + 200) - 7 = 1.431 (kombinasjonslov).

Metode for å gruppere termer . Denne metoden brukes i tilfellet når begrepene, når de er gruppert sammen, gir runde tall, som deretter legges sammen.

Eksempel. La oss finne summen av tallene 74, 32, 67, 48, 33 og 26.

Løsning. La oss summere tallene gruppert som følger: (74 + 26) + (32 + 48) + (67 + 33) = 280.

(kombinativ-kommutativ lov)

eller, når gruppering av tall resulterer i like summer:

Eksempel:1+2+3+4+5+…+97+98+99+100= (1+100)+(2+99)+(3+98)+…=101x50=5050

(kombinativ-kommutativ lov)

II. Teknikker for forenklet subtraksjon av tall

Metode for sekvensiell bitvis subtraksjon. Denne metoden trekker sekvensielt hvert siffer som trekkes fra minuend. Den brukes når tall ikke kan avrundes.

Eksempel. La oss finne forskjellen mellom tallene 721 og 398.

Løsning. La oss utføre trinnene for å finne forskjellen mellom de gitte tallene i følgende rekkefølge:

La oss forestille oss tallet 398 som en sum: 300 + 90 + 8 = 398;

La oss utføre bitvis subtraksjon:

721 - 300 = 421; 421 - 90 = 331; 331 - 8 = 323.

Rundtallsmetode . Denne metoden brukes når subtrahenden er nær et rundt tall. For å beregne, er det nødvendig å trekke subtrahenden, tatt som et rundt tall, fra minuenden, og legge til det aritmetiske tillegget til den resulterende forskjellen.

Eksempel. La oss beregne forskjellen mellom tallene 235 og 197 ved å bruke runde tallmetoden.

Løsning. 235 - 197 = 235 - 200 + 3 = 38.

III. Teknikker for forenklet multiplikasjon av tall

Multipliser med én etterfulgt av nuller. Når du multipliserer et tall med et tall som inkluderer en etterfulgt av nuller (10; 100; 1000 osv.), legges like mange nuller til høyre som det er i faktoren etter den ene.

Eksempel. La oss finne produktet av tallene 568 og 100.

Løsning. 568 x 100 = 56 800.

Metode for sekvensiell bitvis multiplikasjon . Denne metoden brukes når du multipliserer et tall med et enkeltsifret tall. Hvis du trenger å multiplisere et tosifret (tre-, firesifret, osv.) tall med et enkeltsifret tall, multipliseres først den ensifrede faktoren med titallene til en annen faktor, deretter med enhetene og resulterende produkter summeres.

Eksempel. La oss finne produktet av tallene 39 og 7.

Løsning. 39 x 7 = (30+9) x 7 = (30 x 7) + (9 x 7) = 210 + 63 = 273. (distributiv lov om multiplikasjon i forhold til addisjon)

Rundtallsmetode . Denne metoden brukes bare når en av faktorene er nær et rundt tall. Multiplikanden multipliseres med et rundt tall, og deretter med en aritmetisk addisjon, og på slutten trekkes den andre fra det første produktet.

Eksempel. La oss finne produktet av tallene 174 og 69.

174 x 69 =174 x (70-1) =174 x 70 - 174 x 1 = 12.180 - 174 = 12.006 (distributiv lov om multiplikasjon i forhold til subtraksjon).

En metode for å dekomponere en av faktorene. I denne metoden blir en av faktorene først brutt ned i deler (legger til), deretter multipliseres den andre faktoren etter tur med hver del av den første faktoren, og de resulterende produktene summeres.

Eksempel. La oss finne produktet av tallene 13 og 325.

La oss dekomponere tallet 13 i ledd: 13 = 10 + 3. Multipliser hvert av de resulterende leddene med 325: 10 x 325 = 3250; 3 x 325 = 975. Vi summerer de resulterende produktene: 3 250 + 975 = 4 225

Å mestre ferdighetene til rasjonell mental beregning vil gjøre arbeidet ditt mer effektivt. Dette er bare mulig med god beherskelse av alle de gitte aritmetiske operasjonene. Bruk av rasjonelle telleteknikker setter fart på beregningene og sikrer nødvendig nøyaktighet. Men du trenger ikke bare å kunne regne, men du må også kjenne til multiplikasjonstabellen, lovene for aritmetiske operasjoner, klasser og rangeringer.

Det finnes mentale tellesystemer som lar deg telle muntlig raskt og rasjonelt. Vi skal se på noen av de mest brukte teknikkene.

1. Multiplisere et tosifret tall med 11.

Vi har studert denne metoden, men vi har ikke studert den fullstendig Hemmeligheten til denne metoden er at den kan betraktes som lovene for aritmetiske operasjoner.

Eksempler:

23x11= 23x(10+1) = 23x10+23x1=253 (distributiv lov om multiplikasjon i forhold til addisjon)

23x11=(20+3)x 11= 20x11+3x11=253 (fordelingslov og runde tallmetode)

Vi studerte denne metoden, men vi kjente ikke til en annen Hemmeligheten bak å multiplisere tosifrede tall med 11.

Mens jeg observerte resultatene som ble oppnådd når jeg multipliserte tosifrede tall med 11, la jeg merke til at det var en mer praktisk måte å få svaret på : når du multipliserer et tosifret tall med 11, flyttes sifrene i dette tallet fra hverandre og summen av disse sifrene plasseres i midten.

a) 23 11=253, fordi 2+3=5;

b) 45 11=495, fordi 4+5=9;

c) 57 11=627, fordi 5+7=12, de to ble plassert i midten, og den ene ble lagt til hundreplassen;

d) 78 11=858, siden 7+8=15, vil antallet tiere være lik 5, og antall hundre vil øke med én og være lik 8.

Jeg fant bekreftelse på denne metoden på Internett.

2) Produktet av tosifrede tall som har samme antall tiere og summen av enhetene deres er 10, dvs. 23 27; 34 36; 52 58 osv.

Regel: titallet multipliseres med neste siffer i den naturlige rekken, resultatet skrives ned og produktet av enheter legges til det.

a) 23 27=621. Hvordan fikk du 621? Vi multipliserer tallet 2 med 3 (de "to" etterfølges av "tre"), det blir 6, og ved siden av det legger vi til produktet av ener: 3 7 = 21, det viser seg 621.

b) 34 36 = 1224, siden 3 4 = 12, tildeler vi 24 til tallet 12, dette er produktet av enhetene til disse tallene: 4 6.

c) 52 58 = 3016, fordi vi ganger titallet 5 ​​med 6, blir det 30, vi tildeler produktet av 2 og 8, dvs. 16.

d) 61 69=4209. Det er tydelig at 6 ble multiplisert med 7 og vi fikk 42. Hvor kommer null fra? Enhetene ble multiplisert og vi fikk: 1 9 = 9, men resultatet må være tosifret, så vi tar 09.

3) Å dele tresifrede tall som består av identiske sifre med tallet 37. Resultatet er lik summen av disse identiske sifrene i det tresifrede tallet (eller tallet som er lik tre ganger sifferet til det tresifrede tallet).

Eksempler: a) 222:37=6. Dette er summen 2+2+2=6; b) 333:37=9, fordi 3+3+3=9.

c) 777:37=21, dvs. 7+7+7=21.

d) 888:37=24, fordi 8+8+8=24.

Vi tar også hensyn til at 888:24=37.

III. Konklusjon

For å avdekke hovedhemmeligheten i emnet for arbeidet mitt, måtte jeg jobbe hardt - søke, analysere informasjon, kartlegge klassekamerater, gjenta tidlige kjente metoder og finne mange ukjente metoder for rasjonell beregning, og til slutt forstå hva er hemmeligheten hans? Og jeg innså at det viktigste er å kjenne og kunne bruke kjente, å finne nye rasjonelle metoder for telling, multiplikasjonstabellen, sammensetningen av tall (klasser og rekker), lovene for aritmetiske operasjoner. I tillegg,

se etter nye måter:

- Teknikker for forenklet addisjon av tall: (metode for sekvensiell bitvis addisjon; metode for rundt tall; metode for å dekomponere en av faktorene i termer);

-Teknikker for forenklet subtraksjon av tall(metode for sekvensiell bitvis subtraksjon; runde tallmetoden);

-Teknikker for forenklet multiplikasjon av tall(multiplisere med én etterfulgt av nuller; metode for sekvensiell bitvis multiplikasjon; runde tallmetode; metode for å dekomponere en av faktorene ;

- Hemmelighetene til rask mental telling(multiplisere et tosifret tall med 11: når du multipliserer et tosifret tall med 11, flyttes sifrene i dette tallet fra hverandre og summen av disse sifrene plasseres i midten; produktet av tosifrede tall som har samme antall tiere, og summen av enerne er 10 Delingen av tresifrede tall som består av de samme sifrene, til tallet 37. Det er sikkert mange flere slike måter, så jeg vil fortsette å jobbe med dette emnet neste gang; år.

IV. Bibliografi

1. Savin A. P. Matematiske miniatyrer / A. P. Savin. – M.: Barnelitteratur, 1991

2. Zubareva I.I., Matematikk, klasse 5: en lærebok for studenter ved generelle utdanningsinstitusjoner / I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich. – M.: Mnemosyne, 2011

4. http://www. xreferat.ru

5. http://www. biografia.ru

6. http://www. Matematikk-repetisjon. ru

V. applikasjoner

Ministudie (undersøkelse i form av et spørreskjema)

For å identifisere elevenes kunnskap om rasjonell telling, gjennomførte jeg en spørreundersøkelse i form av et spørreskjema om følgende spørsmål:

* Vet du hva rasjonelle telleteknikker er?

* Hvis ja, hvor fra, og hvis ikke, hvorfor?

* Hvor mange måter å rasjonell telle på kjenner du?

* Har du vansker med hoderegning?

* Hvordan studerer du i matematikk? a) til "5"; b) til "4"; c) til "3"

*Hva liker du best med matematikk?

a) eksempler; b) oppgaver; c) fraksjoner

* Hvor tror du hoderegning kan være nyttig, foruten matematikk? *Husker du lovene for aritmetiske operasjoner, og i så fall hvilke?

Etter å ha gjennomført en spørreundersøkelse innså jeg at klassekameratene mine ikke kan nok om lovene for regneoperasjoner, de fleste av dem har problemer med rasjonell telling, mange elever teller sakte og med feil, og alle ønsker å lære å telle raskt, riktig og på en praktisk måte. Derfor er temaet for forskningsarbeidet mitt ekstremt viktig for alle studenter og ikke bare.

1. Interessante muntlige og skriftlige beregningsmetoder som vi studerte i matematikktimene, ved å bruke eksempler fra læreboken "Matematikk, 5. klasse":

Her er noen av dem:

for å raskt gange et tall med 5, er det nok å merke seg at 5=10:2.

For eksempel, 43x5=(43x10):2=430:2=215;

48x5=(48:2)x10=24x10=240.

For å multiplisere et tall med 50 , kan du gange det med 100 og dele på 2.

For eksempel: 122x50=(122x100):2=12200:2=6100

For å multiplisere et tall med 25 , du kan gange det med 100 og dele på 4,

For eksempel, 32x25=(32 x 100):4=3200:4=800

For å multiplisere et tall med 125 , du kan gange det med 1000 og dele på 8,

For eksempel: 192x125=(192x1000):8=192000:8=24000

For å dele et rundt tall med to 0-ere på slutten med 25 , kan du dele det på 100 og gange med 4.

For eksempel: 2400:25=(2400:100) x 4=24 x 4=96

For å dele et rundt tall med 50 , kan deles på 100 og multipliseres med 2

For eksempel: 4500:50=(4500:100) x 2 =45 x 2 =90

Men du trenger ikke bare å kunne regne, men du må også kjenne til multiplikasjonstabellen, lovene for aritmetiske operasjoner, sammensetningen av tall (klasser og sifre) og ha ferdighetene til å bruke dem

Lover for aritmetiske operasjoner.

en + b = b + en

Kommutativ addisjonslov

(en + b) + c = en + (b + c)

Kombinasjonslov om addisjon

en · b = b · en

Kommutativ lov om multiplikasjon

(en · b) · c = en · (b · c)

Kombinativ lov om multiplikasjon

(en = b) · c = en · c = b · c

Distributiv lov om multiplikasjon (i forhold til addisjon)

Gangetabell.

Hva er multiplikasjon?

Dette er et smart tillegg.

Tross alt er det smartere å multiplisere ganger,

Legg deretter alt sammen i en time.

Gangetabell

Vi trenger det alle i livene våre.

Og det er ikke kalt for ingenting

Hun MULTIPLISERT!

Rangering og klasser

For å gjøre det praktisk å lese og også huske tall med store verdier, bør de deles inn i såkalte "klasser": fra høyre er tallet delt med et mellomrom i tre sifre "første klasse", deretter en annen tre sifre er valgt, "andre klasse" og etc. Avhengig av betydningen av tallet, kan den siste klassen avsluttes med tre, to eller ett siffer.

For eksempel er nummeret 35461298 skrevet som følger:

Dette nummeret er delt inn i klasser:

482 - første klasse (enhetsklasse)

630 – andre klasse (tusenvis klasse)

35 - tredje klasse (millioner klasse)

Utflod

Hvert av sifrene som inngår i klassen kalles dets siffer, som også telles fra høyre.

For eksempel kan tallet 35 630 482 deles inn i klasser og rangeringer:

482 – første klasse

2 – første siffer (enhetssiffer)

8 – andre siffer (tiplasser)

4 – tredje siffer (hundreplasser)

630 – andre klasse

0 – første siffer (tusen siffer)

3 - andre siffer (ti tusen siffer)

6 - tredje siffer (hundre tusen siffer)

35 – tredje klasse

5 - første siffer (millioner siffer)

3 - andre siffer (talls millioner siffer)

Nummeret 35 630 482 leses:

Trettifem millioner seks hundre og tretti tusen fire hundre åttito.

Problemer med rasjonell telling og hvordan du fikser dem

Rasjonelle metoder for memorering.

Som et resultat av undersøkelsen og observasjoner fra leksjoner la jeg merke til at noen elever ikke løser ulike oppgaver og øvelser godt fordi de ikke er kjent med rasjonelle regneteknikker.

1. En av teknikkene er å bringe materialet som studeres inn i et system som er praktisk å huske og lagre i minnet.

2. For at det lagrede materialet skal lagres av minnet i et bestemt system, er det nødvendig å utføre noe arbeid med innholdet.

3. Deretter kan du begynne å assimilere hver enkelt del av teksten, lese den på nytt og prøve å umiddelbart gjengi (gjenta for deg selv eller høyt) det du leser.

4. Repetisjon av stoff er av stor betydning for memorering. Det populære ordtaket snakker om dette: "Repetisjon er læringens mor." Men det må gjentas klokt og riktig.

Repetisjonsarbeidet må levendegjøres ved å bruke illustrasjoner eller eksempler som ikke fantes før eller allerede er glemt.

Basert på ovenstående kan vi kort formulere følgende anbefalinger for vellykket mestring av pedagogisk materiale:

1. Sett en oppgave, husk læringsmateriellet raskt og godt i lang tid.

2. Fokuser på det som må læres.

3. Forstå studiemateriellet godt.

4. Lag en plan for teksten som skal memoreres, fremhev hovedtankene i den, og del teksten i deler.

5. Hvis materialet er stort, behersk sekvensielt den ene delen etter den andre, og presenter deretter alt som en helhet.

6. Etter å ha lest stoffet, må du gjengi det (fortell hva du leser).

7. Gjenta materialet før det blir glemt.

8. Fordel repetisjonen over lengre tid.

9. Når du memorerer, bruk forskjellige typer hukommelse (primært semantisk) og noen individuelle kjennetegn ved hukommelsen din (visuelt, auditivt eller motorisk).

10. Vanskelig materiale bør gjentas før leggetid, og deretter om morgenen, "for friskt minne."

11. Prøv å bruke den tilegnede kunnskapen i praksis. Dette er den beste måten å bevare dem i minnet (det er ikke uten grunn at de sier: "Læringens virkelige mor er ikke repetisjon, men anvendelse").

12. Vi må tilegne oss mer kunnskap, lære noe nytt.

Nå har du lært hvordan du raskt og riktig husker materialet du har studert.

En interessant teknikk for å multiplisere noen tall med 9 i kombinasjon med å legge til påfølgende naturlige tall fra 2 til 10

12345x9+6=111111

123456x9+7=1111111

1234567x9+8=11111111

12345678x9+9=111111111

123456789x9+10=1111111111

Interessant spill "Gjett nummeret"

Har du spilt spillet "Guess the Number"? Dette er et veldig enkelt spill. La oss si at jeg tenker på et naturlig tall mindre enn 100, skriver det ned på papir (slik at det ikke er noen mulighet for juks), og du prøver å gjette det ved å stille spørsmål som bare kan besvares med "ja" eller "nei" . Så gjetter du et tall, og jeg prøver å gjette det. Den som gjetter riktig i færre spørsmål vinner.

Hvor mange spørsmål vil det ta for deg å gjette nummeret mitt? Vet ikke? Jeg forplikter meg til å gjette nummeret ditt ved å stille bare syv spørsmål. Hvordan? Slik ser du for eksempel. La deg gjette et tall. Jeg spør: "Er det mindre enn 64?" - "Ja". - "Mindre enn 32?" - "Ja". - "Mindre enn 16?" - "Ja". - "Mindre enn 8?" - "Nei". - "Mindre enn 12?" - "Nei". - "Mindre enn 14?" - "Ja". - "Mindre enn 13?" - "Nei". - "Nummer 13 er planlagt."

Det er klart? Jeg deler settet med mulige tall i to, deretter den resterende halvparten i to igjen, og så videre, til resten inneholder ett tall.

Hvis du likte spillet, eller tvert imot, du vil ha mer, så gå til biblioteket og hent boken "A. P. Savin (Matematiske miniatyrer). I denne boken finner du mye interessant og spennende. Bokbilde:

Takk alle sammen for oppmerksomheten

Og jeg ønsker deg suksess!!!

Nedlasting:

Forhåndsvisning:

For å bruke forhåndsvisninger av presentasjoner, opprett en Google-konto og logg på den: https://accounts.google.com

Lysbildetekster:

Hva er hemmeligheten bak rasjonell telling?

Hensikten med arbeidet: søke etter informasjon, studere eksisterende metoder og teknikker for rasjonell regnskap, anvende dem i praksis.

oppgaver: 1. Gjennomføre en miniforskning i form av en spørreundersøkelse blant parallellklasser. 2. Analyser på forskningstemaet: litteratur tilgjengelig på skolebiblioteket, informasjon i lærebok i matematikk for 5. trinn, samt på Internett. 3. Velg de mest effektive metodene og midlene for rasjonell regnskapsføring. 4. Klassifisere eksisterende teknikker for rask muntlig og skriftlig telling. 5. Lag Memoer som inneholder rasjonelle telleteknikker for bruk i 5. klasses paralleller.

Som jeg allerede har sagt, er temaet rasjonell beregning relevant ikke bare for studenter, men også for hver person, for å være sikker på dette, gjennomførte jeg en undersøkelse blant elever i 5. klasse. Spørsmål og svar fra undersøkelsen presenteres for deg i vedlegget.

Hva er rasjonell telling? En rasjonell konto er en praktisk konto (ordet rasjonell betyr praktisk, riktig)

Hvorfor har elever det vanskelig???

Her er noen antakelser: Studenten: 1. har dårlig forstått emnet som er studert; 2. gjentar ikke materialet; 3. har dårlige regneferdigheter; 4. tror at han ikke vil trenge det.

Rasjonelle metoder for muntlige og skriftlige beregninger. I jobb og hverdag dukker det stadig opp behovet for ulike typer beregninger. Å bruke de enkleste metodene for mental telling reduserer tretthet, utvikler oppmerksomhet og hukommelse.

Det er fire kjente addisjonsmetoder som kan fremskynde beregningene. I. Teknikker for forenklet addisjon av tall

Metoden for sekvensiell bitvis addisjon brukes i mentale beregninger, da den forenkler og fremskynder summeringen av termer. Når du bruker denne metoden, begynner addisjonen fra de høyeste sifrene: de tilsvarende sifrene i det andre tillegget legges til det første tillegget. Eksempel. La oss finne summen av tallene 5287 og 3564 ved å bruke denne metoden. Løsning. Vi vil utføre beregningen i følgende rekkefølge: 5.287 + 3.000 = 8.287; 8.287 + 500 = 8.787; 8.787 + 60 = 8.847; 8847 + 4 = 8851. Svar: 8.851.

En annen måte for sekvensiell bitvis addisjon er at det høyeste sifferet i det andre tillegget legges til det høyeste sifferet i det første tillegget, deretter legges det neste sifferet til det andre tillegget til det neste sifferet i det første tillegget osv. La oss vurdere denne løsningen ved å bruke eksemplet gitt, vi får: 5000 + 3000 = 8000; 200 + 500 = 700; 80 + 60 = 140; 7 + 4 = 11 Svar: 8851.

Rundtallsmetode. Et tall som slutter med en eller flere nuller kalles et rundt tall. Denne metoden brukes når du fra to eller flere termer kan velge de som kan fylles ut for å danne et rundt tall. Forskjellen mellom det runde tallet og tallet angitt i beregningsbetingelsen kalles komplementet. For eksempel, 1000 - 978 = 22. I dette tilfellet er tallet 22 den aritmetiske addisjonen av tallet 978 til 1000. For å utføre addisjon ved hjelp av runde tall-metoden, må du runde av ett eller flere ledd nær runde tall, utføre addisjon av runde tall og trekke aritmetiske addisjoner fra den resulterende summen. Eksempel. La oss finne summen av tallene 1,238 og 193 ved å bruke runde tallmetoden. Løsning. La oss runde tallet 193 til 200 og legge til på følgende måte: 1.238 + 193 = (1.238 + 200) - 7 = 1.431.

Metode for å gruppere termer. Denne metoden brukes i tilfellet når begrepene, når de er gruppert sammen, gir runde tall, som deretter legges sammen. Eksempel. Finn summen av tallene 74, 32, 67, 48, 33 og 26. Løsning. La oss summere tallene gruppert som følger: (74 + 26) + (32 + 48) + (67 + 33) = 280.

En addisjonsmetode basert på gruppering av termer. Eksempel: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…….+97+98+99+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)= 101x50=5050.

II. Teknikker for forenklet subtraksjon av tall

Metode for sekvensiell bitvis subtraksjon. Denne metoden trekker sekvensielt hvert siffer som trekkes fra minuend. Den brukes når tall ikke kan avrundes. Eksempel. La oss finne forskjellen mellom tallene 721 og 398. La oss utføre trinnene for å finne forskjellen mellom de gitte tallene i følgende rekkefølge: forestill deg tallet 398 som en sum: 300 + 90 + 8 = 398; La oss utføre bitvis subtraksjon: 721 - 300 = 421; 421 - 90 = 331; 331 - 8 = 323.

Rundtallsmetode. Denne metoden brukes når subtrahenden er nær et rundt tall. For å beregne, er det nødvendig å trekke subtrahenden, tatt som et rundt tall, fra minuenden, og legge til det aritmetiske tillegget til den resulterende forskjellen. Eksempel. La oss beregne forskjellen mellom tallene 235 og 197 ved å bruke runde tallmetoden. Løsning. 235 - 197 = 235 - 200 + 3 = 38.

III. Teknikker for forenklet multiplikasjon av tall

Multipliser med én etterfulgt av nuller. Når du multipliserer et tall med et tall som inkluderer en etterfulgt av nuller (10; 100; 1000 osv.), legges like mange nuller til høyre som det er i faktoren etter den ene. Eksempel. La oss finne produktet av tallene 568 og 100. Løsning. 568 x 100 = 56 800.

Metode for sekvensiell bitvis multiplikasjon. Denne metoden brukes når du multipliserer et tall med et enkeltsifret tall. Hvis du trenger å multiplisere et tosifret (tre-, firesifret, osv.) tall med et enkeltsifret tall, multipliseres først én av faktorene med titallene til den andre faktoren, deretter med enhetene og resulterende produkter summeres. Eksempel. La oss finne produktet av tallene 39 og 7. Løsning. 39 x 7 = (30 x 7) + (9 x 7) = 210 + 63 = 273.

Rundtallsmetode. Denne metoden brukes bare når en av faktorene er nær et rundt tall. Multiplikanden multipliseres med et rundt tall, og deretter med en aritmetisk addisjon, og på slutten trekkes den andre fra det første produktet. Eksempel. La oss finne produktet av tallene 174 og 69. Løsning. 174 x 69 = (174 x 70) - (174 x 1) = 12 180 - 174 = 12 006.

En metode for å dekomponere en av faktorene. I denne metoden blir en av faktorene først brutt ned i deler (legger til), deretter multipliseres den andre faktoren etter tur med hver del av den første faktoren, og de resulterende produktene summeres. Eksempel. La oss finne produktet av tallene 13 og 325. Løsning. La oss dekomponere tallet i ledd: 13 = 10 + 3. Multipliser hvert av de resulterende leddene med 325: 10 x 325 = 3250; 3 x 325 = 975 Vi summerer de resulterende produktene: 3 250 + 975 = 4 225.

Hemmelighetene til rask mental beregning. Det finnes mentale tellesystemer som lar deg telle muntlig raskt og rasjonelt. Vi skal se på noen av de mest brukte teknikkene.

Multiplisere et tosifret tall med 11.

Eksempler: 23x11= 23x(10+1) = 23x10+23x1=253 (distributiv lov om multiplikasjon i forhold til addisjon) 23x11=(20+3)x 11= 20x11+3x11=253 (distributiv lov og rundtallsmetode) Vi studerte denne metoden , men vi visste ikke en annen hemmelighet med å multiplisere tosifrede tall med 11.

Når jeg observerte resultatene som ble oppnådd ved å multiplisere tosifrede tall med 11, la jeg merke til at du kan få svaret på en mer praktisk måte: når du multipliserer et tosifret tall med 11, flyttes sifrene til dette tallet fra hverandre og summen av disse sifre settes i midten. Eksempler. a) 23 11=253, fordi 2+3=5; b) 45 11=495, fordi 4+5=9; c) 57 11=627, fordi 5+7=12, de to ble plassert i midten, og den ene ble lagt til hundreplassen; Jeg fant bekreftelse på denne metoden på Internett.

2) Produktet av tosifrede tall som har samme antall tiere, og summen av enheter er 10, dvs. 23 27; 34 36; 52 58 osv. Regel: titallet multipliseres med neste siffer i den naturlige rekken, resultatet skrives ned og produktet av enheter legges til. Eksempler. a) 23 27=621. Hvordan fikk du 621? Vi multipliserer tallet 2 med 3 (de "to" etterfølges av "tre"), det blir 6, og ved siden av det legger vi til produktet av ener: 3 7 = 21, det viser seg 621. b) 34 36 = 1224, siden 3 4 = 12, tildeler vi 24 til tallet 12, dette er produktet av enhetene til disse tallene: 4 6.

3) Del tresifrede tall som består av identiske sifre med tallet 37. Resultatet er lik summen av disse identiske sifrene i et tresifret tall (eller et tall som er lik trippel sifferet til et tresifret tall). Eksempler. a) 222:37=6. Dette er summen 2+2+2=6. b) 333:37=9, fordi 3+3+3=9. c) 777:37=21, dvs. 7+7+7=21. d) 888:37=24, fordi 8+8+8=24. Vi tar også hensyn til at 888:24=37.

Å mestre ferdighetene til rasjonell mental beregning vil gjøre arbeidet ditt mer effektivt. Dette er bare mulig med god beherskelse av alle de gitte aritmetiske operasjonene. Bruk av rasjonelle telleteknikker setter fart på beregningene og sikrer nødvendig nøyaktighet.

Konklusjon For å avdekke hovedhemmeligheten i emnet for arbeidet mitt, måtte jeg jobbe hardt - søke, analysere informasjon, undersøke klassekamerater, gjenta tidlige kjente metoder og finne mange ukjente metoder for rasjonell beregning, og til slutt forstå hva hemmeligheten er? Og jeg innså at det viktigste er å kjenne og kunne bruke kjente, finne nye rasjonelle metoder for telling, kjenne multiplikasjonstabellen, sammensetningen av tall (klasser og rekker), lovene for aritmetiske operasjoner. Se i tillegg etter nye måter:

Teknikker for forenklet addisjon av tall: (metode for sekvensiell bitvis addisjon; runde tallmetode; metode for å dekomponere en av faktorene i termer); - Teknikker for forenklet subtraksjon av tall (metode for sekvensiell bitvis subtraksjon; runde tallmetode); - Teknikker for forenklet multiplikasjon av tall (multiplisering med én etterfulgt av nuller; en metode for sekvensiell bitvis multiplikasjon; en metode for runde tall; en metode for å dekomponere en av faktorene; - Hemmelighetene til rask mental beregning (multipliser et tosifret tall med 11: når du multipliserer et tosifret tall med 11, flyttes sifrene til dette tallet fra hverandre, og i midten legger de summen av disse sifrene som har samme antall tiere, og summen av enheter er 10; deling av tresifrede tall som består av de samme sifrene med tallet 37. Det finnes sikkert mange flere slike metoder, så jeg vil fortsette å jobbe med dette emnet neste år.

Avslutningsvis vil jeg avslutte talen min med disse ordene:

Takk alle for oppmerksomheten, jeg ønsker dere suksess!!!

I denne artikkelen vil vi begynne å utforske rasjonelle tall. Her skal vi gi definisjoner av rasjonelle tall, gi nødvendige forklaringer og gi eksempler på rasjonelle tall. Etter dette vil vi fokusere på hvordan man kan finne ut om et gitt tall er rasjonelt eller ikke.

Sidenavigering.

Definisjon og eksempler på rasjonelle tall

I denne delen vil vi gi flere definisjoner av rasjonelle tall. Til tross for forskjeller i ordlyden, har alle disse definisjonene samme betydning: rasjonelle tall forener heltall og brøker, akkurat som heltall forener naturlige tall, deres motsetninger og tallet null. Med andre ord, rasjonelle tall generaliserer hele og brøktall.

La oss begynne med definisjoner av rasjonelle tall, som oppfattes mest naturlig.

Fra den angitte definisjonen følger det at et rasjonelt tall er:

• Ethvert naturlig tall n. Du kan faktisk representere et hvilket som helst naturlig tall som en vanlig brøk, for eksempel 3=3/1.
• Ethvert heltall, spesielt tallet null. Faktisk kan ethvert heltall skrives som enten en positiv brøk, en negativ brøk eller null. For eksempel, 26=26/1, .
• Enhver vanlig brøk (positiv eller negativ). Dette bekreftes direkte av den gitte definisjonen av rasjonelle tall.
• Et hvilket som helst blandet tall. Faktisk kan du alltid representere et blandet tall som en uekte brøk. For eksempel, og.
• Enhver endelig desimalbrøk eller uendelig periodisk brøk. Dette skyldes det faktum at de angitte desimalbrøkene konverteres til vanlige brøker. For eksempel, og 0,(3)=1/3.

Det er også klart at enhver uendelig ikke-periodisk desimalbrøk IKKE er et rasjonelt tall, siden den ikke kan representeres som en vanlig brøk.

Nå kan vi enkelt gi eksempler på rasjonelle tall. Tallene 4, 903, 100 321 er rasjonelle tall fordi de er naturlige tall. Heltallene 58, −72, 0, −833,333,333 er også eksempler på rasjonelle tall. Vanlige brøker 4/9, 99/3 er også eksempler på rasjonelle tall. Rasjonelle tall er også tall.

Fra eksemplene ovenfor er det klart at det er både positive og negative rasjonelle tall, og det rasjonelle tallet null er verken positivt eller negativt.

Ovennevnte definisjon av rasjonelle tall kan formuleres i en mer kortfattet form.

Definisjon.

Rasjonelle tall er tall som kan skrives som en brøk z/n, der z er et heltall og n er et naturlig tall.

La oss bevise at denne definisjonen av rasjonelle tall er ekvivalent med den forrige definisjonen. Vi vet at vi kan betrakte linjen til en brøk som et tegn på deling, så fra egenskapene til å dele heltall og reglene for å dele heltall følger gyldigheten av følgende likheter og. Dermed er det beviset.

La oss gi eksempler på rasjonelle tall basert på denne definisjonen. Tallene −5, 0, 3, og er rasjonelle tall, siden de kan skrives som brøker med en heltalls teller og en naturlig nevner av formen og hhv.

Definisjonen av rasjonelle tall kan gis i følgende formulering.

Definisjon.

Rasjonelle tall er tall som kan skrives som en endelig eller uendelig periodisk desimalbrøk.

Denne definisjonen er også ekvivalent med den første definisjonen, siden hver vanlig brøk tilsvarer en endelig eller periodisk desimalbrøk og omvendt, og et hvilket som helst heltall kan assosieres med en desimalbrøk med null etter desimaltegnet.

For eksempel er tallene 5, 0, −13 eksempler på rasjonelle tall fordi de kan skrives som følgende desimalbrøker 5.0, 0.0, −13.0, 0.8 og −7, (18).

La oss avslutte teorien om dette punktet med følgende utsagn:

• heltall og brøker (positive og negative) utgjør settet med rasjonelle tall;
• hvert rasjonelt tall kan representeres som en brøk med en heltallsteller og en naturlig nevner, og hver slik brøk representerer et visst rasjonelt tall;
• hvert rasjonelt tall kan representeres som en endelig eller uendelig periodisk desimalbrøk, og hver slik brøk representerer et rasjonelt tall.

Er dette tallet rasjonelt?

I forrige avsnitt fant vi ut at ethvert naturlig tall, et hvilket som helst heltall, en hvilken som helst vanlig brøk, et hvilket som helst blandet tall, en hvilken som helst endelig desimalbrøk, så vel som enhver periodisk desimalbrøk er et rasjonelt tall. Denne kunnskapen lar oss "gjenkjenne" rasjonelle tall fra et sett med skrevne tall.

Men hva hvis tallet er gitt i form av noen , eller som , etc., hvordan skal man svare på spørsmålet om dette tallet er rasjonelt? I mange tilfeller er det svært vanskelig å svare på. La oss angi noen tankeretninger.

Hvis et tall er gitt som et numerisk uttrykk som bare inneholder rasjonelle tall og aritmetiske fortegn (+, −, · og:), så er verdien av dette uttrykket et rasjonelt tall. Dette følger av hvordan operasjoner med rasjonelle tall defineres. For eksempel, etter å ha utført alle operasjonene i uttrykket, får vi det rasjonelle tallet 18.

Noen ganger, etter å ha forenklet uttrykkene og gjort dem mer komplekse, blir det mulig å avgjøre om et gitt tall er rasjonelt.

La oss gå videre. Tallet 2 er et rasjonelt tall, siden ethvert naturlig tall er rasjonelt. Hva med nummeret? Er det rasjonelt? Det viser seg at nei, det er ikke et rasjonelt tall, det er et irrasjonelt tall (beviset for dette faktum ved selvmotsigelse er gitt i algebra-læreboken for klasse 8, oppført nedenfor i referanselisten). Det er også bevist at kvadratroten av et naturlig tall er et rasjonelt tall bare i de tilfellene når det under roten er et tall som er det perfekte kvadratet av et naturlig tall. For eksempel, og er rasjonelle tall, siden 81 = 9 2 og 1 024 = 32 2, og tallene og ikke er rasjonelle, siden tallene 7 og 199 ikke er perfekte kvadrater av naturlige tall.

Er tallet rasjonelt eller ikke? I dette tilfellet er det lett å legge merke til at dette tallet derfor er rasjonelt. Er tallet rasjonelt? Det er bevist at den kth roten av et heltall er et rasjonelt tall bare hvis tallet under rottegnet er den kth potensen til et heltall. Derfor er det ikke et rasjonelt tall, siden det ikke er noe heltall hvis femte potens er 121.

Metoden ved selvmotsigelse lar en bevise at logaritmene til noen tall av en eller annen grunn ikke er rasjonelle tall. For eksempel vil vi bevise at - ikke er et rasjonelt tall.

La oss anta det motsatte, det vil si at det er et rasjonelt tall og kan skrives som en vanlig brøk m/n. Da gir vi følgende likheter: . Den siste likheten er umulig, siden det er på venstre side oddetall 5 n, og på høyre side er partall 2 m. Derfor er vår antakelse feil, altså ikke et rasjonelt tall.

Avslutningsvis er det spesielt verdt å merke seg at når man skal bestemme rasjonaliteten eller irrasjonaliteten til tall, bør man avstå fra å trekke plutselige konklusjoner.

For eksempel bør du ikke umiddelbart påstå at produktet av de irrasjonelle tallene π og e er et irrasjonelt tall, dette er "tilsynelatende åpenbart", men ikke bevist. Dette reiser spørsmålet: "Hvorfor ville et produkt være et rasjonelt tall?" Og hvorfor ikke, for du kan gi et eksempel på irrasjonelle tall, hvis produkt gir et rasjonelt tall: .

Det er også ukjent om tall og mange andre tall er rasjonelle eller ikke. For eksempel er det irrasjonelle tall hvis irrasjonelle kraft er et rasjonelt tall. For illustrasjon presenterer vi en grad av formen , basisen til denne graden og eksponenten er ikke rasjonelle tall, men , og 3 er et rasjonelt tall.

Bibliografi.

• Matematikk. 6. klasse: lærerikt. for allmennutdanning institusjoner / [N. Ja. Vilenkin og andre]. - 22. utgave, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebra: lærebok for 8. klasse. allmennutdanning institusjoner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigert av S. A. Telyakovsky. - 16. utg. - M.: Utdanning, 2008. - 271 s. : jeg vil. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematikk (en manual for de som går inn på tekniske skoler): Proc. godtgjørelse.- M.; Høyere skole, 1984.-351 s., ill.

Klasseegenskaper

5 "A"-klassen er heterogen i sammensetning, noen av barna er ganske sterke på kunnskap, men de svake skiller seg også ut. Generelt er klassen energisk, elevene er interesserte og følger lett lærerens initiativ.

Emne: Rasjonelle beregningsmetoder (Leksjonen er en siste leksjon, gjennomført etter emnet: "forenkle uttrykk" i andre kvartal, nr. 3)

Leksjonstype: sammendrag av stoff

a) pedagogisk

• gjenta egenskapene til addisjon, subtraksjon, multiplikasjon av naturlige tall
• vil konsolidere kunnskapsteorien i praksis
• vise fordelen med rasjonelle måter å utføre oppgaver på, dvs. vise at opprettelsen av dette prosjektet er nødvendig og viktig for barna selv
• forbedre ferdighetene til å bruke metoder i praksis;

b) utvikle

• utvikle evnen til å trekke konklusjoner, systematisere materiale, sammenligne metoder med en spesifikk bygning, tydelig formulere tanker
• utvikle evnen til å reflektere over ens kognitive aktivitet
• å danne en kreativ bevissthet, ekte lidenskap for arbeidet;

c) pedagogisk

• dyrke uavhengighet, kollektivisme, evnen til å lytte til hverandre, respektere andres meninger, men også være i stand til å bevise sin egen.

Utstyr: magnettavle og magneter, tusj, treblader (albumark), bilder av katten Matroskin og Sharik, skjerm for lysbilder.

Vedlegg 1 presenterer prosjektdiagrammet.