Løse eksponentielle kvadratiske ulikheter. Systemer av eksponentielle ligninger og ulikheter

Mange tror at eksponentielle ulikheter er noe komplekst og uforståelig. Og at det å lære å løse dem er nesten en stor kunst, som bare de utvalgte er i stand til å forstå...

Fullstendig tull! Eksponentielle ulikheter er lett. Og de løses alltid enkelt. Vel, nesten alltid.

I dag skal vi se på dette emnet innvendig og utvendig. Denne leksjonen vil være veldig nyttig for de som akkurat har begynt å forstå denne delen av skolematematikk. La oss starte med enkle problemer og gå videre til mer komplekse problemstillinger. Det vil ikke være noe hardt arbeid i dag, men det du vil lese nå vil være nok til å løse de fleste ulikhetene i alle typer tester og uavhengig arbeid. Og på denne eksamenen din også.

Som alltid, la oss starte med definisjonen. En eksponentiell ulikhet er enhver ulikhet som inneholder en eksponentiell funksjon. Det kan med andre ord alltid reduseres til en formulikhet

\[((a)^(x)) \gt b\]

Der rollen som $b$ kan være et vanlig tall, eller kanskje noe tøffere. Eksempler? Ja takk:

\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ quad ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4) )(x))). \\\end(align)\]

Jeg tror meningen er klar: det er en eksponentiell funksjon $((a)^(x))$, den sammenlignes med noe, og blir deretter bedt om å finne $x$. I spesielt kliniske tilfeller, i stedet for variabelen $x$, kan de sette en funksjon $f\left(x \right)$ og derved komplisere ulikheten litt :)

Selvfølgelig kan ulikheten i noen tilfeller virke mer alvorlig. For eksempel:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

Eller til og med dette:

Generelt kan kompleksiteten til slike ulikheter være svært forskjellig, men til slutt reduseres de likevel til den enkle konstruksjonen $((a)^(x)) \gt b$. Og vi vil på en eller annen måte finne ut en slik konstruksjon (i spesielt kliniske tilfeller, når ingenting kommer til tankene, vil logaritmer hjelpe oss). Derfor skal vi nå lære deg hvordan du løser slike enkle konstruksjoner.

Løse enkle eksponentielle ulikheter

La oss se på noe veldig enkelt. For eksempel dette:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

Tydeligvis kan tallet til høyre skrives om som en potens av to: $4=((2)^(2))$. Dermed kan den opprinnelige ulikheten omskrives i en veldig praktisk form:

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

Og nå klør hendene mine etter å "krysse ut" toeren i maktbasene for å få svaret $x \gt 2$. Men før vi krysser ut noe, la oss huske kreftene til to:

\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]

Som du kan se, jo større tall i eksponenten, jo større utgangsnummer. "Takk, Cap!" – vil en av elevene utbryte. Er det annerledes? Dessverre skjer det. For eksempel:

\[((\venstre(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ høyre))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\venstre(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8) );...\]

Også her er alt logisk: jo større grad, jo flere ganger multipliseres tallet 0,5 med seg selv (dvs. delt i to). Dermed minker den resulterende tallrekkefølgen, og forskjellen mellom den første og andre sekvensen er bare i basen:

• Hvis grunntallet for grad $a \gt 1$, vil også tallet $((a)^(n))$ øke etter hvert som eksponenten $n$ øker;
• Og omvendt, hvis $0 \lt a \lt 1$, vil tallet $((a)^(n))$ reduseres etter hvert som eksponenten $n$ øker.

Ved å oppsummere disse fakta, får vi den viktigste uttalelsen som hele løsningen av eksponentielle ulikheter er basert på:

Hvis $a \gt 1$, så er ulikheten $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ekvivalent med ulikheten $x \gt n$. Hvis $0 \lt a \lt 1$, så er ulikheten $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ekvivalent med ulikheten $x \lt n$.

Med andre ord, hvis basen er større enn én, kan du ganske enkelt fjerne den - ulikhetstegnet vil ikke endres. Og hvis basen er mindre enn én, kan den også fjernes, men samtidig må du endre ulikhetstegnet.

Vær oppmerksom på at vi ikke har vurdert alternativene $a=1$ og $a\le 0$. For i disse tilfellene oppstår det usikkerhet. La oss si hvordan man løser en ulikhet på formen $((1)^(x)) \gt 3$? En til enhver makt vil igjen gi en - vi vil aldri få tre eller flere. De. det finnes ingen løsninger.

Med negative grunner er alt enda mer interessant. Tenk for eksempel på denne ulikheten:

\[((\venstre(-2 \høyre))^(x)) \gt 4\]

Ved første øyekast er alt enkelt:

Ikke sant? Men nei! Det er nok å erstatte et par partall og et par oddetall i stedet for $x$ for å være sikker på at løsningen er feil. Ta en titt:

\[\begin(align) & x=4\Høyrepil ((\venstre(-2 \høyre))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Høyrepil ((\venstre(-2 \høyre))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Høyrepil ((\venstre(-2 \høyre))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Høyrepil ((\venstre(-2 \høyre))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(align)\]

Som du kan se, veksler skiltene. Men det finnes også brøkkrefter og annet tull. Hvordan vil du for eksempel bestille $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (minus to i syv potens)? Aldri!

Derfor, for nøyaktighetens skyld, antar vi at i alle eksponentielle ulikheter (og ligninger forresten også) $1\ne a \gt 0$. Og så er alt løst veldig enkelt:

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Høyrepil \venstre[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right). \\\end(align) \right.\]

Generelt, husk hovedregelen en gang til: hvis basen i en eksponentiell ligning er større enn én, kan du ganske enkelt fjerne den; og hvis basen er mindre enn én, kan den også fjernes, men tegnet på ulikhet vil endre seg.

Eksempler på løsninger

Så, la oss se på noen enkle eksponentielle ulikheter:

\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\end(align)\]

Den primære oppgaven i alle tilfeller er den samme: å redusere ulikhetene til den enkleste formen $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Det er akkurat dette vi nå skal gjøre med hver ulikhet, og samtidig skal vi gjenta egenskapene til grader og eksponentielle funksjoner. Så la oss gå!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

Hva kan du gjøre her? Vel, til venstre har vi allerede et veiledende uttrykk - ingenting må endres. Men til høyre er det en slags dritt: en brøkdel, og til og med en rot i nevneren!

La oss imidlertid huske reglene for å jobbe med brøker og potenser:

\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\end(align)\]

Hva betyr det? For det første kan vi enkelt kvitte oss med brøken ved å gjøre den om til en potens med negativ eksponent. Og for det andre, siden nevneren har en rot, ville det vært fint å gjøre den om til en potens – denne gangen med en brøkeksponent.

Bruk disse handlingene sekvensielt på høyre side av ulikheten og se hva som skjer:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\venstre(\sqrt(2) \høyre))^(-1))=((\venstre(((2)^(\frac( 1)(3))) \right))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \right)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]

Ikke glem at når du hever en grad til en potens, vil eksponentene for disse gradene summere seg. Og generelt, når du arbeider med eksponentielle ligninger og ulikheter, er det absolutt nødvendig å kjenne til i det minste de enkleste reglene for å jobbe med potenser:

\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\venstre(((a)^(x)) \høyre))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\end(align)\]

Egentlig brukte vi bare den siste regelen. Derfor vil vår opprinnelige ulikhet omskrives som følger:

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Høyrepil ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]

Nå kvitter vi oss med de to ved basen. Siden 2 > 1, vil ulikhetstegnet forbli det samme:

\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Høyrepil x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(align)\]

Det er løsningen! Hovedvanskeligheten er ikke i det hele tatt i den eksponentielle funksjonen, men i den kompetente transformasjonen av det opprinnelige uttrykket: du må forsiktig og raskt bringe det til sin enkleste form.

Tenk på den andre ulikheten:

\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]

Så så. Desimalbrøker venter oss her. Som jeg har sagt mange ganger, i alle uttrykk med potenser bør du kvitte deg med desimaler - dette er ofte den eneste måten å se en rask og enkel løsning. Her blir vi kvitt:

\[\begin(align) & 0.1=\frac(1)(10);\quad 0.01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ right))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Høyrepil ((\venstre(\frac(1)(10) \høyre))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \right))^(2)). \\\end(align)\]

Her har vi igjen den enkleste ulikheten, og selv med en base på 1/10, dvs. mindre enn én. Vel, vi fjerner basene, og endrer samtidig skiltet fra "mindre" til "mer", og vi får:

\[\begin(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\end(align)\]

Vi fikk det endelige svaret: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Vær oppmerksom på: svaret er nøyaktig et sett, og ikke i noe tilfelle en konstruksjon av formen $x \lt -1$. Fordi formelt sett er ikke en slik konstruksjon et sett i det hele tatt, men en ulikhet med hensyn til variabelen $x$. Ja, det er veldig enkelt, men det er ikke svaret!

Viktig notat. Denne ulikheten kunne løses på en annen måte - ved å redusere begge sider til en potens med en base større enn én. Ta en titt:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Høyrepil ((\venstre(((10)^(-1)) \høyre))^(1-x)) \ lt ((\venstre(((10)^(-1)) \right))^(2))\Høyrepil ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

Etter en slik transformasjon vil vi igjen få en eksponentiell ulikhet, men med en base på 10 > 1. Det betyr at vi rett og slett kan krysse ut de ti - tegnet på ulikheten vil ikke endre seg. Vi får:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\end(align)\]

Som du kan se, var svaret nøyaktig det samme. Samtidig reddet vi oss fra behovet for å endre skiltet og generelt huske eventuelle regler :)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

Men ikke la dette skremme deg. Uansett hva som står i indikatorene, forblir teknologien for å løse ulikhet i seg selv den samme. La oss derfor først merke oss at 16 = 2 4. La oss omskrive den opprinnelige ulikheten ved å ta hensyn til dette faktum:

\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(align)\]

Hurra! Vi fikk den vanlige kvadratiske ulikheten! Skiltet har ikke endret seg noe sted, siden basen er to - et tall større enn én.

Nullpunkter for en funksjon på talllinjen

Vi ordner tegnene til funksjonen $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - tydeligvis vil grafen være en parabel med grener opp, så det vil være "pluss " på sidene. Vi er interessert i regionen hvor funksjonen er mindre enn null, dvs. $x\in \left(2;5 \right)$ er svaret på det opprinnelige problemet.

Til slutt, vurder en annen ulikhet:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

Igjen ser vi en eksponentiell funksjon med en desimalbrøk ved grunnflaten. La oss konvertere denne brøken til en vanlig brøk:

\[\begin(align) & 0.2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Høyrepil \\ & \Høyrepil ((0 ,2) )^(1+((x)^(2))))=((\venstre(((5)^(-1)) \høyre))^(1+((x)^(2) )) )=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(align)\]

I dette tilfellet brukte vi bemerkningen gitt tidligere - vi reduserte basen til tallet 5 > 1 for å forenkle vår videre løsning. La oss gjøre det samme med høyresiden:

\[\frac(1)(25)=((\venstre(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\venstre(((5)^(-1)) \ høyre))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]

La oss omskrive den opprinnelige ulikheten ved å ta hensyn til begge transformasjonene:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Høyrepil ((5)^(-1\cdot \left(1+) ((x)^(2)) \høyre)))\ge ((5)^(-2))\]

Basene på begge sider er like og overstiger én. Det er ingen andre termer på høyre og venstre side, så vi "krysser" ganske enkelt femtallene og får et veldig enkelt uttrykk:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \venstre| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(align)\]

Det er her du må være mer forsiktig. Mange elever liker ganske enkelt å ta kvadratroten av begge sider av ulikheten og skrive noe sånt som $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. Dette skal ikke under noen omstendigheter gjøres , siden roten til et eksakt kvadrat er en modul, og ikke i noe tilfelle en original variabel:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\venstre| x\right|\]

Å jobbe med moduler er imidlertid ikke den mest behagelige opplevelsen, er det vel? Så vi vil ikke jobbe. I stedet flytter vi ganske enkelt alle leddene til venstre og løser den vanlige ulikheten ved å bruke intervallmetoden:

$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \venstre(x-1 \høyre)\venstre(x+1 \høyre)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(align)$

Vi markerer igjen de oppnådde punktene på talllinjen og ser på tegnene:

Vennligst merk: prikkene er skyggelagt

Siden vi løste en ikke-streng ulikhet, er alle punktene på grafen skyggelagt. Derfor vil svaret være: $x\in \left[ -1;1 \right]$ er ikke et intervall, men et segment.

Generelt vil jeg bemerke at det ikke er noe komplisert med eksponentielle ulikheter. Betydningen av alle transformasjonene vi utførte i dag kommer ned til en enkel algoritme:

• Finn grunnlaget som vi skal redusere alle grader til;
• Utfør transformasjonene nøye for å oppnå en ulikhet på formen $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Selvfølgelig, i stedet for variablene $x$ og $n$ kan det være mye mer komplekse funksjoner, men betydningen vil ikke endre seg;
• Kryss ut basene til grader. I dette tilfellet kan ulikhetstegnet endres hvis grunntallet $a \lt 1$.

Faktisk er dette en universell algoritme for å løse alle slike ulikheter. Og alt annet de vil fortelle deg om dette emnet er bare spesifikke teknikker og triks som vil forenkle og fremskynde transformasjonen. Vi skal snakke om en av disse teknikkene nå. :)

Rasjonaliseringsmetode

La oss vurdere et annet sett med ulikheter:

\[\begin(align) & ((\tekst( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\tekst( )\!\!\pi \!\!\tekst( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \høyre))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]

Så hva er så spesielt med dem? De er lette. Skjønt, stopp! Er tallet π hevet til en viss potens? For noe tull?

Hvordan heve tallet $2\sqrt(3)-3$ til en potens? Eller $3-2\sqrt(2)$? Problemforfatterne drakk åpenbart for mye Hawthorn før de satte seg ned på jobb :)

Faktisk er det ikke noe skummelt med disse oppgavene. La meg minne deg på: en eksponentiell funksjon er et uttrykk på formen $((a)^(x))$, der grunntallet $a$ er et hvilket som helst positivt tall bortsett fra ett. Tallet π er positivt - det vet vi allerede. Tallene $2\sqrt(3)-3$ og $3-2\sqrt(2)$ er også positive - dette er lett å se hvis du sammenligner dem med null.

Det viser seg at alle disse "skremmende" ulikhetene ikke løses annerledes enn de enkle diskuterte ovenfor? Og er de løst på samme måte? Ja, det er helt riktig. Men ved å bruke deres eksempel, vil jeg vurdere en teknikk som i stor grad sparer tid på selvstendig arbeid og eksamener. Vi vil snakke om metoden for rasjonalisering. Så, oppmerksomhet:

Enhver eksponentiell ulikhet av formen $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ er ekvivalent med ulikheten $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ høyre) \gt 0 $.

Det er hele metoden. :) Trodde du at det ville komme et annet spill? Ingenting som dette! Men dette enkle faktum, bokstavelig skrevet på én linje, vil i stor grad forenkle arbeidet vårt. Ta en titt:

\[\begin(matrise) ((\tekst( )\!\!\pi\!\!\tekst( ))^(x+7)) \gt ((\tekst( )\!\!\pi\ !\!\tekst( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Nedover \\ \venstre(x+7-\venstre(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\tekst( )\!\!\pi\!\!\tekst( )-1 \right) \gt 0 \\\slutt(matrise)\]

Så det er ikke flere eksponentielle funksjoner! Og du trenger ikke å huske om skiltet endres eller ikke. Men et nytt problem oppstår: hva skal man gjøre med multiplikatoren \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? Vi vet ikke hva den nøyaktige verdien av tallet π er. Kapteinen ser imidlertid ut til å antyde det åpenbare:

\[\tekst( )\!\!\pi\!\!\tekst( )\ca. 3.14... \gt 3\Høyrepil \tekst( )\!\!\pi\!\!\tekst( )- 1\gt 3-1=2\]

Generelt angår ikke den nøyaktige verdien av π oss egentlig - det er bare viktig for oss å forstå at i alle fall $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t .e. dette er en positiv konstant, og vi kan dele begge sider av ulikheten med den:

\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\tekst( )-1 \høyre) \gt 0 \\ & x+7-\venstre(((x)^(2))-3x+2 \høyre) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \venstre| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Som du kan se, måtte vi på et bestemt tidspunkt dele på minus én – og tegnet på ulikhet endret seg. På slutten utvidet jeg det kvadratiske trinomialet ved å bruke Vietas teorem - det er åpenbart at røttene er lik $((x)_(1))=5$ og $((x)_(2))=-1$ . Deretter løses alt ved hjelp av den klassiske intervallmetoden:

Løse ulikhet ved hjelp av intervallmetoden

Alle punkter fjernes fordi den opprinnelige ulikheten er streng. Vi er interessert i regionen med negative verdier, så svaret er $x\in \left(-1;5 \right)$. Det er løsningen.

La oss gå videre til neste oppgave:

\[((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

Alt her er generelt enkelt, fordi det er en enhet til høyre. Og vi husker at en er et hvilket som helst tall hevet til null potens. Selv om dette tallet er et irrasjonelt uttrykk i bunnen til venstre:

\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2) \sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2)))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3 \høyre))^(0)); \\\end(align)\]

Vel, la oss rasjonalisere:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Det gjenstår bare å finne ut tegnene. Faktoren $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ inneholder ikke variabelen $x$ - det er bare en konstant, og vi må finne ut fortegnet. For å gjøre dette, legg merke til følgende:

\[\begin(matrise) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2) -2 \right)=0 \\\end(matrise)\]

Det viser seg at den andre faktoren ikke bare er en konstant, men en negativ konstant! Og når man deler med det, endres tegnet på den opprinnelige ulikheten til det motsatte:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(align)\]

Nå blir alt helt åpenbart. Røttene til kvadrattrinomialet til høyre er: $((x)_(1))=0$ og $((x)_(2))=2$. Vi markerer dem på talllinjen og ser på tegnene til funksjonen $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:

Saken når vi er interessert i sideintervaller

Vi er interessert i intervallene merket med plusstegn. Alt som gjenstår er å skrive ned svaret:

La oss gå videre til neste eksempel:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ høyre))^(16-x))\]

Vel, alt er helt åpenbart her: Basene inneholder potenser av samme tall. Derfor vil jeg skrive alt kort:

\[\begin(matrise) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Nedover \\ ((\venstre(((3)^(-1)) \høyre))^((x)^(2) )+2x)) \gt ((\venstre(((3)^(-2)) \høyre))^(16-x)) \\\end(matrise)\]

\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ venstre(16-x \høyre))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \venstre| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Som du kan se, under transformasjonsprosessen måtte vi multiplisere med et negativt tall, så ulikhetstegnet endret seg. Helt til slutt brukte jeg igjen Vietas teorem for å faktorisere det kvadratiske trinomialet. Som et resultat vil svaret være følgende: $x\in \left(-8;4 \right)$ - hvem som helst kan bekrefte dette ved å tegne en talllinje, markere punktene og telle tegnene. I mellomtiden vil vi gå videre til den siste ulikheten fra vårt "sett":

\[((\venstre(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

Som du kan se, ved basen er det igjen et irrasjonelt tall, og til høyre er det igjen en enhet. Derfor omskriver vi vår eksponentielle ulikhet som følger:

\[((\venstre(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\venstre(3-2\sqrt(2) \ høyre))^(0))\]

Vi bruker rasjonalisering:

\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Imidlertid er det ganske åpenbart at $1-\sqrt(2) \lt 0$, siden $\sqrt(2)\ca. 1,4... \gt 1$. Derfor er den andre faktoren igjen en negativ konstant, som begge sider av ulikheten kan deles inn i:

\[\begin(matrise) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\end(matrise)\]

\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \venstre| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Flytt til en annen base

Et eget problem ved løsning av eksponentielle ulikheter er søket etter det "riktige" grunnlaget. Dessverre er det ikke alltid åpenbart ved første øyekast ved en oppgave hva man skal legge til grunn, og hva man skal gjøre i henhold til graden av dette grunnlaget.

Men ikke bekymre deg: det er ingen magi eller "hemmelig" teknologi her. I matematikk kan enhver ferdighet som ikke kan algoritmes enkelt utvikles gjennom praksis. Men for dette må du løse problemer med forskjellige kompleksitetsnivåer. For eksempel slik:

\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\venstre(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ end(align)\]

Vanskelig? Skummelt? Det er lettere enn å slå en kylling på asfalten! La oss prøve. Første ulikhet:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))))\]

Vel, jeg tror alt er klart her:

Vi omskriver den opprinnelige ulikheten, og reduserer alt til base to:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Høyrepil \venstre(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]

Ja, ja, du hørte det riktig: Jeg brukte nettopp rasjonaliseringsmetoden beskrevet ovenfor. Nå må vi jobbe forsiktig: vi har en brøk-rasjonell ulikhet (dette er en som har en variabel i nevneren), så før vi likestiller noe med null, må vi bringe alt til en fellesnevner og kvitte oss med konstantfaktoren .

\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \venstre(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]

Nå bruker vi standard intervallmetoden. Tellernuller: $x=\pm 4$. Nevneren går til null bare når $x=0$. Det er totalt tre punkter som må merkes på talllinjen (alle punkter er festet ut fordi ulikhetstegnet er strengt). Vi får:

Mer kompleks sak: tre røtter

Som du kanskje gjetter, markerer skyggeleggingen de intervallene der uttrykket til venstre tar negative verdier. Derfor vil det endelige svaret inkludere to intervaller samtidig:

Endene av intervallene er ikke inkludert i svaret fordi den opprinnelige ulikheten var streng. Ingen ytterligere bekreftelse av dette svaret er nødvendig. I denne forbindelse er eksponentielle ulikheter mye enklere enn logaritmiske: ingen ODZ, ingen begrensninger, etc.

La oss gå videre til neste oppgave:

\[((\venstre(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

Det er ingen problemer her heller, siden vi allerede vet at $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, så hele ulikheten kan skrives om som følger:

\[\begin(align) & ((\venstre(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Høyrepil ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\left(-2 \right) \right. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]

Vær oppmerksom på: i den tredje linjen bestemte jeg meg for å ikke kaste bort tid på bagateller og umiddelbart dele alt med (−2). Minul gikk inn i den første braketten (nå er det plusser overalt), og to ble redusert med konstant faktor. Dette er nøyaktig hva du bør gjøre når du forbereder virkelige beregninger for uavhengig og testarbeid - du trenger ikke å beskrive hver handling og transformasjon direkte.

Deretter kommer den kjente metoden med intervaller inn. Tellernuller: men det er ingen. Fordi diskriminanten vil være negativ. I sin tur tilbakestilles nevneren bare når $x=0$ - akkurat som forrige gang. Vel, det er klart at til høyre for $x=0$ vil brøken ha positive verdier, og til venstre - negativ. Siden vi er interessert i negative verdier, er det endelige svaret: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[((\left(0.16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6.25 \right))^(x))\ge 1\]

Hva skal du gjøre med desimalbrøker i eksponentielle ulikheter? Det er riktig: bli kvitt dem, konverter dem til vanlige. Her vil vi oversette:

\[\begin(align) & 0.16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Rightarrow ((\left(0.16 \right))^(1+2x)) =((\ venstre(\frac(4)(25) \right))^(1+2x)); \\ & 6.25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Høyrepil ((\venstre(6.25 \høyre))^(x))=((\venstre(\ frac(25) (4)\høyre))^(x)). \\\end(align)\]

Så hva fikk vi i grunnlaget for eksponentielle funksjoner? Og vi fikk to omvendte tall:

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Rightarrow ((\left(\frac(25)(4) \ høyre))^(x))=((\venstre(((\venstre(\frac(4)(25) \høyre))^(-1)) \høyre))^(x))=((\ venstre(\frac(4)(25) \right))^(-x))\]

Dermed kan den opprinnelige ulikheten omskrives som følger:

\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \høyre))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\end(align)\]

Selvfølgelig, når du multipliserer potenser med samme grunntall, summeres eksponentene deres, som er det som skjedde i den andre linjen. I tillegg representerte vi enheten til høyre, også som en potens i base 4/25. Alt som gjenstår er å rasjonalisere:

\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]

Merk at $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, dvs. den andre faktoren er en negativ konstant, og når du deler med den, endres ulikhetstegnet:

\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Høyrepil x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]

Til slutt, den siste ulikheten fra det nåværende "settet":

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

I prinsippet er ideen om løsningen her også klar: alle eksponentielle funksjoner inkludert i ulikheten må reduseres til base "3". Men for dette må du pusle litt med røtter og krefter:

\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\end(align)\]

Tar disse fakta i betraktning, kan den opprinnelige ulikheten omskrives som følger:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3)) ^(2))\høyre))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\end(align)\]

Vær oppmerksom på 2. og 3. linje i beregningene: før du gjør noe med ulikheten, sørg for å bringe den til den formen vi snakket om helt fra begynnelsen av leksjonen: $((a)^(x)) \ lt ((a)^(n))$. Så lenge du har noen venstrehendte faktorer, ekstra konstanter osv. til venstre eller høyre, ingen rasjonalisering eller "kryss" av grunnlag kan utføres! Utallige oppgaver har blitt utført feil på grunn av manglende forståelse av dette enkle faktum. Selv observerer jeg hele tiden dette problemet med elevene mine når vi akkurat begynner å analysere eksponentielle og logaritmiske ulikheter.

Men la oss gå tilbake til oppgaven vår. La oss prøve å klare oss uten rasjonalisering denne gangen. La oss huske: bunnen av graden er større enn én, så trippelene kan ganske enkelt krysses ut - ulikhetstegnet vil ikke endres. Vi får:

\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(align)\]

Det er alt. Endelig svar: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

Isolere et stabilt uttrykk og erstatte en variabel

Avslutningsvis foreslår jeg å løse ytterligere fire eksponentielle ulikheter, som allerede er ganske vanskelige for uforberedte studenter. For å takle dem, må du huske reglene for å jobbe med grader. Spesielt å sette vanlige faktorer utenfor parentes.

Men det viktigste er å lære å forstå hva som kan tas ut av parentes. Et slikt uttrykk kalles stabil - det kan betegnes med en ny variabel og dermed bli kvitt eksponentialfunksjonen. Så la oss se på oppgavene:

\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0.5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1.5)) \gt 768. \\\end(align)\]

La oss starte fra den aller første linjen. La oss skrive denne ulikheten separat:

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

Legg merke til at $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, så høyre hånd side kan skrives om:

Merk at det ikke er andre eksponentielle funksjoner bortsett fra $((5)^(x+1))$ i ulikheten. Og generelt vises ikke variabelen $x$ noe annet sted, så la oss introdusere en ny variabel: $((5)^(x+1))=t$. Vi får følgende konstruksjon:

\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(align)\]

Vi går tilbake til den opprinnelige variabelen ($t=((5)^(x+1))$), og husker samtidig at 1=5 0 . Vi har:

\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\end(align)\]

Det er løsningen! Svar: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. La oss gå videre til den andre ulikheten:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

Alt er likt her. Legg merke til at $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Deretter kan venstre side skrives om:

\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t\høyre. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Høyrepil ((3)^(x))\ge 9\Høyrepil ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Høyrepil x\in \venstre[ 2;+\infty \right). \\\end(align)\]

Det er omtrent slik du trenger å utarbeide en løsning for reelle prøver og selvstendig arbeid.

Vel, la oss prøve noe mer komplisert. For eksempel, her er ulikheten:

\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

Hva er problemet her? For det første er basene til eksponentialfunksjonene til venstre forskjellige: 5 og 25. Imidlertid er 25 = 5 2, så det første leddet kan transformeres:

\[\begin(align) & ((25)^(x+1.5))=((\venstre(((5)^(2)) \right))^(x+1.5))= ((5) ^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(align )\]

Som du kan se, brakte vi først alt til samme base, og så la vi merke til at det første leddet lett kan reduseres til det andre - du trenger bare å utvide eksponenten. Nå kan du trygt introdusere en ny variabel: $((5)^(2x+2))=t$, og hele ulikheten vil bli omskrevet som følger:

\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(align)\]

Og igjen, ingen vanskeligheter! Endelig svar: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. La oss gå videre til den endelige ulikheten i dagens leksjon:

\[((\venstre(0,5 \høyre))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]

Det første du bør være oppmerksom på er selvfølgelig desimalbrøken i grunnflaten av første potens. Det er nødvendig å kvitte seg med det, og samtidig bringe alle eksponentielle funksjoner til samme base - tallet "2":

\[\begin(align) & 0.5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Rightarrow ((\left(0.5 \right))^(-4x- 8))= ((\venstre(((2)^(-1)) \høyre))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Høyrepil ((16)^(x+1,5))=((\venstre(((2)^(4)) \høyre))^( x+ 1,5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(align)\]

Flott, vi har tatt det første skrittet – alt har ført til samme grunnlag. Nå må du velge et stabilt uttrykk. Legg merke til at $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Hvis vi introduserer en ny variabel $((2)^(4x+6))=t$, kan den opprinnelige ulikheten omskrives som følger:

\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\end(align)\]

Naturligvis kan spørsmålet oppstå: hvordan oppdaget vi at 256 = 2 8? Dessverre, her trenger du bare å kjenne til potensene til to (og samtidig potensene til tre og fem). Vel, eller del 256 med 2 (du kan dele, siden 256 er et partall) til vi får resultatet. Det vil se omtrent slik ut:

\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =(2)^(8)).\end(align )\]

Det samme gjelder med tre (tallene 9, 27, 81 og 243 er dens grader), og med syv (tallene 49 og 343 ville også vært fint å huske). Vel, de fem har også "vakre" grader som du trenger å vite:

\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\end(align)\]

Selvfølgelig, hvis du ønsker det, kan alle disse tallene gjenopprettes i tankene dine ved ganske enkelt å multiplisere dem suksessivt med hverandre. Men når du må løse flere eksponentielle ulikheter, og hver neste er vanskeligere enn den forrige, så er det siste du vil tenke på potensene til noen tall. Og i denne forstand er disse problemene mer komplekse enn "klassiske" ulikheter som løses med intervallmetoden.

Jeg håper denne leksjonen hjalp deg med å mestre dette emnet. Hvis noe er uklart, spør i kommentarfeltet. Og vi sees i neste leksjoner :)

Metoder for å løse ligningssystemer

Til å begynne med, la oss kort huske hvilke metoder som generelt finnes for å løse ligningssystemer.

Eksistere fire hovedmåter løsninger på ligningssystemer:

Substitusjonsmetode: ta hvilken som helst av de gitte ligningene og uttrykk $y$ i form av $x$, deretter erstattes $y$ inn i systemligningen, hvorfra variabelen $x.$ finnes. Etter dette kan vi enkelt beregne variabelen $y.$

Addisjonsmetode: I denne metoden må du multiplisere en eller begge ligningene med slike tall at når du legger begge sammen, "forsvinner en av variablene."

Grafisk metode: begge likningene til systemet er avbildet på koordinatplanet og skjæringspunktet deres er funnet.

Metode for å introdusere nye variabler: i denne metoden erstatter vi noen uttrykk for å forenkle systemet, og bruker deretter en av metodene ovenfor.

Systemer av eksponentielle ligninger

Definisjon 1

Likningssystemer som består av eksponentielle ligninger kalles systemer med eksponentielle ligninger.

Vi vil vurdere å løse systemer med eksponentielle ligninger ved å bruke eksempler.

Eksempel 1

Løs ligningssystem

Bilde 1.

Løsning.

Vi vil bruke den første metoden for å løse dette systemet. La oss først uttrykke $y$ i den første ligningen i form av $x$.

Figur 2.

La oss erstatte $y$ i den andre ligningen:

\ \ \[-2-x=2\] \ \

Svar: $(-4,6)$.

Eksempel 2

Løs ligningssystem

Figur 3.

Løsning.

Dette systemet tilsvarer systemet

Figur 4.

La oss bruke den fjerde metoden for å løse ligninger. La $2^x=u\ (u >0)$ og $3^y=v\ (v >0)$, vi får:

Figur 5.

La oss løse det resulterende systemet ved å bruke addisjonsmetoden. La oss legge sammen ligningene:

\ \

Så fra den andre ligningen får vi det

Tilbake til erstatningen fikk jeg et nytt system med eksponentielle ligninger:

Figur 6.

Vi får:

Figur 7.

Svar: $(0,1)$.

Systemer med eksponentielle ulikheter

Definisjon 2

Systemer av ulikheter som består av eksponentielle ligninger kalles systemer med eksponentielle ulikheter.

Vi vil vurdere å løse systemer med eksponentielle ulikheter ved å bruke eksempler.

Eksempel 3

Løs ulikhetssystemet

Figur 8.

Løsning:

Dette systemet med ulikheter er ekvivalent med systemet

Figur 9.

For å løse den første ulikheten, husk følgende teorem om ekvivalensen av eksponentielle ulikheter:

Teorem 1. Ulikheten $a^(f(x)) >a^(\varphi (x)) $, hvor $a >0,a\ne 1$ tilsvarer samlingen av to systemer

\}