hjem › Crash Test Auto › Hva er direkte proporsjonalitet? Lineær funksjon. Direkte proporsjonalitet

Hva er direkte proporsjonalitet? Lineær funksjon. Direkte proporsjonalitet

Eksempel

1,6/2 = 0,8; 4/5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8 osv.

Proporsjonalitetsfaktor

Det konstante forholdet mellom proporsjonale mengder kalles proporsjonalitetskoeffisient. Proporsjonalitetskoeffisienten viser hvor mange enheter av en mengde som faller på en enhet av en annen.

Direkte proporsjonalitet

Direkte proporsjonalitet- funksjonell avhengighet, der en mengde avhenger av en annen mengde på en slik måte at forholdet deres forblir konstant. Disse variablene endres med andre ord forholdsmessig, i like deler, det vil si at hvis argumentet har endret seg to ganger i en hvilken som helst retning, endres funksjonen også to ganger i samme retning.

Matematisk er direkte proporsjonalitet skrevet som en formel:

f(x) = enx,en = const

Omvendt proporsjonalitet

Omvendt proporsjon- dette er en funksjonell avhengighet, der en økning i den uavhengige verdien (argumentet) forårsaker en proporsjonal reduksjon i den avhengige verdien (funksjonen).

Matematisk er invers proporsjonalitet skrevet som en formel:

Funksjonsegenskaper:

Kilder

Wikimedia Foundation. 2010 .

I. Direkte proporsjonale mengder.

La verdien y avhenger av størrelsen X. Hvis med en økning X flere ganger størrelsen påøker med samme faktor, deretter slike verdier X Og på kalles direkte proporsjonale.

Eksempler.

1 . Mengden av de kjøpte varene og kostnadene ved kjøpet (til en fast pris på en vareenhet - 1 stk eller 1 kg, etc.) Hvor mange ganger flere varer ble kjøpt, så mange ganger mer og betalt.

2 . Den tilbakelagte avstanden og tiden brukt på den (ved konstant hastighet). Hvor mange ganger lengre veien, hvor mange ganger mer tid vil vi bruke på den.

3 . Volumet av en kropp og dens masse. ( Hvis en vannmelon er 2 ganger større enn den andre, vil massen være 2 ganger større)

II. Egenskapen til direkte proporsjonalitet av mengder.

Hvis to mengder er direkte proporsjonale, er forholdet mellom to vilkårlige verdier av den første mengden lik forholdet mellom de to tilsvarende verdiene for den andre kvantiteten.

Oppgave 1. Til bringebærsyltetøy 12 kg bringebær og 8 kg Sahara. Hvor mye sukker vil være nødvendig hvis det tas 9 kg bringebær?

Løsning.

Vi argumenterer slik: la det være nødvendig x kg sukker på 9 kg bringebær. Massen av bringebær og massen av sukker er direkte proporsjonale: hvor mange ganger mindre bringebær, samme mengde sukker er nødvendig. Derfor er forholdet mellom tatt (i vekt) bringebær ( 12:9 ) vil være lik forholdet mellom sukker som tas ( 8:x). Vi får andelen:

12: 9=8: X;

x=9 · 8: 12;

x=6. Svar: på 9 kg bringebær å ta 6 kg Sahara.

Løsningen på problemet kunne vært gjort slik:

La på 9 kg bringebær å ta x kg Sahara.

(Pilene i figuren er rettet i én retning, og det spiller ingen rolle opp eller ned. Betydning: hvor mange ganger tallet 12 flere tall 9 , samme nummer 8 flere tall X, dvs. det er en direkte avhengighet her).

Svar: på 9 kg bringebær å ta 6 kg Sahara.

Oppgave 2. bil for 3 timer tilbakelagt avstand 264 km. Hvor lang tid vil det ta ham 440 km hvis den kjører med samme hastighet?

Løsning.

La for x timer bilen vil tilbakelegge distansen 440 km.

Svar: bilen vil passere 440 km på 5 timer.

Begrepet direkte proporsjonalitet

Tenk deg at du tenker på å kjøpe favorittgodteriet ditt (eller hva du egentlig liker). Godteriene i butikken har sin egen pris. Anta 300 rubler per kilo. Jo mer godteri du kjøper, jo mer penger betale. Det vil si, hvis du vil ha 2 kilo - betal 600 rubler, og hvis du vil ha 3 kilo - gi 900 rubler. Alt ser ut til å være klart med dette, ikke sant?

Hvis ja, så er det nå klart for deg hva direkte proporsjonalitet er - dette er et konsept som beskriver forholdet mellom to størrelser som avhenger av hverandre. Og forholdet mellom disse mengdene forblir uendret og konstant: med hvor mange deler en av dem øker eller reduseres, med samme antall deler øker eller reduseres den andre proporsjonalt.

Direkte proporsjonalitet kan beskrives med følgende formel: f(x) = a*x, og a i denne formelen er en konstant verdi (a = const). I vårt godterieksempel er prisen en konstant, en konstant. Det øker eller reduseres ikke, uansett hvor mange søtsaker du velger å kjøpe. Den uavhengige variabelen (argumentet) x er hvor mange kilo søtsaker du skal kjøpe. Og den avhengige variabelen f(x) (funksjon) er hvor mye penger du ender opp med å betale for kjøpet. Så vi kan erstatte tallene i formelen og få: 600 r. = 300 r. * 2 kg.

Den mellomliggende konklusjonen er denne: hvis argumentet øker, øker funksjonen også, hvis argumentet reduseres, reduseres funksjonen også

Funksjon og dens egenskaper

Direkte proporsjonal funksjon er spesielt tilfelle lineær funksjon. Hvis den lineære funksjonen er y = k*x + b, så ser den for direkte proporsjonalitet slik ut: y = k*x, hvor k kalles proporsjonalitetsfaktoren, og dette er alltid et tall som ikke er null. Å beregne k er enkelt - det finnes som en kvotient av en funksjon og et argument: k = y/x.

For å gjøre det klarere, la oss ta et annet eksempel. Tenk deg at en bil beveger seg fra punkt A til punkt B. Hastigheten er 60 km/t. Hvis vi antar at bevegelseshastigheten forblir konstant, kan den tas som en konstant. Og så skriver vi betingelsene i formen: S \u003d 60 * t, og denne formelen ligner den direkte proporsjonalitetsfunksjonen y \u003d k * x. La oss trekke en parallell videre: hvis k \u003d y / x, kan bilens hastighet beregnes ved å vite avstanden mellom A og B og tiden brukt på veien: V \u003d S / t.

Og nå, fra den anvendte anvendelsen av kunnskap om direkte proporsjonalitet, la oss gå tilbake til funksjonen. Egenskapene som inkluderer:

dets definisjonsdomene er settet av alle reelle tall (så vel som dets delmengde);

funksjonen er merkelig;

endringen i variabler er direkte proporsjonal med hele lengden på tallinjen.

Direkte proporsjonalitet og dens graf

En graf for en direkte proporsjonal funksjon er en rett linje som skjærer opprinnelsespunktet. For å bygge den er det nok å markere bare ett punkt til. Og koble den og opprinnelsen til linjen.

Når det gjelder en graf, er dette skråningen. Hvis helningen er mindre enn null (k< 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент больше нуля (k >0), grafen og x-aksen skarpt hjørne, og funksjonen øker.

Og en annen egenskap til grafen til den direkte proporsjonalitetsfunksjonen er direkte relatert til skråningen k. Anta at vi har to ikke-identiske funksjoner og følgelig to grafer. Så hvis koeffisientene k til disse funksjonene er like, er grafene deres parallelle på koordinataksen. Og hvis koeffisientene k ikke er lik hverandre, skjærer grafene hverandre.

Eksempler på oppgaver

La oss bestemme et par direkte proporsjonalitetsproblemer

La oss starte enkelt.

Oppgave 1: Tenk deg at 5 høner la 5 egg på 5 dager. Og hvis det er 20 høner, hvor mange egg vil de legge på 20 dager?

Løsning: Angi det ukjente som x. Og vi vil argumentere som følger: hvor mange ganger har det vært flere kyllinger? Del 20 med 5 og finn ut det 4 ganger. Og hvor mange ganger flere egg vil 20 høner legge på de samme 5 dagene? Også 4 ganger mer. Så vi finner vårt slik: 5 * 4 * 4 \u003d 80 egg vil bli lagt av 20 høner på 20 dager.

Nå er eksemplet litt mer komplisert, la oss omformulere problemet fra Newtons "General Arithmetic". Oppgave 2: En forfatter kan skrive 14 sider av en ny bok på 8 dager. Hvis han hadde assistenter, hvor mange mennesker ville det ta for å skrive 420 sider på 12 dager?

Løsning: Vi begrunner at antall personer (skribent + assistenter) øker med økningen i mengden arbeid hvis det måtte gjøres på like lang tid. Men hvor mange ganger? Ved å dele 420 på 14 finner vi ut at den øker med 30 ganger. Men siden det i henhold til oppgavens tilstand gis mer tid til arbeid, øker ikke antall assistenter med 30 ganger, men på denne måten: x \u003d 1 (skribent) * 30 (ganger): 12/8 (dager). La oss transformere og finne ut at x = 20 personer vil skrive 420 sider på 12 dager.

La oss løse et annet problem som ligner på de vi hadde i eksemplene.

Oppgave 3: To biler legger ut på samme reise. Den ene beveget seg med en hastighet på 70 km/t og tilbakela samme avstand på 2 timer som den andre på 7 timer. Finn hastigheten til den andre bilen.

Løsning: Som du husker, er banen bestemt gjennom hastighet og tid - S = V *t. Siden begge bilene kjørte samme vei, kan vi sette likhetstegn mellom de to uttrykkene: 70*2 = V*7. Hvor finner vi at hastigheten til den andre bilen er V = 70*2/7 = 20 km/t.

Og et par eksempler til på oppgaver med direkte proporsjonalitetsfunksjoner. Noen ganger i problemer kreves det å finne koeffisienten k.

Oppgave 4: Gitt funksjonene y \u003d - x / 16 og y \u003d 5x / 2, bestem deres proporsjonalitetskoeffisienter.

Løsning: Som du husker, k = y/x. Derfor, for den første funksjonen, er koeffisienten -1/16, og for den andre er k = 5/2.

Og du kan også komme over en oppgave som Oppgave 5: Skriv ned formelen for direkte proporsjonalitet. Grafen og grafen til funksjonen y \u003d -5x + 3 er plassert parallelt.

Løsning: Funksjonen som er gitt oss i betingelsen er lineær. Vi vet at direkte proporsjonalitet er et spesialtilfelle av en lineær funksjon. Og vi vet også at hvis koeffisientene til k funksjoner er like, er grafene deres parallelle. Dette betyr at alt som kreves er å beregne koeffisienten til en kjent funksjon og sette direkte proporsjonalitet ved å bruke den kjente formelen: y \u003d k * x. Koeffisient k \u003d -5, direkte proporsjonalitet: y \u003d -5 * x.

Konklusjon

Nå har du lært (eller husket, hvis du allerede har dekket dette emnet før), hva som kalles direkte proporsjonalitet, og vurderte det eksempler. Vi snakket også om den direkte proporsjonalitetsfunksjonen og dens graf, løste noen problemer for eksempel.

Hvis denne artikkelen var nyttig og hjalp til med å forstå emnet, fortell oss om det i kommentarene. Slik at vi vet om vi kan være til nytte for deg.

nettstedet, med hel eller delvis kopiering av materialet, kreves en lenke til kilden.

Direkte og omvendt proporsjonalitet

Hvis t er tiden fotgjengeren beveger seg (i timer), s er tilbakelagt avstand (i kilometer), og han beveger seg jevnt med en hastighet på 4 km/t, så kan forholdet mellom disse størrelsene uttrykkes med formelen s = 4t. Siden hver verdi av t tilsvarer en unik verdi av s, kan vi si at en funksjon er gitt ved hjelp av formelen s = 4t. Det kalles direkte proporsjonalitet og er definert som følger.

Definisjon. Direkte proporsjonalitet er en funksjon som kan spesifiseres ved hjelp av formelen y \u003d kx, der k er et reelt tall som ikke er null.

Navnet på funksjonen y \u003d k x skyldes det faktum at i formelen y \u003d kx er det variabler x og y, som kan være verdier av mengder. Og hvis forholdet mellom to verdier er lik et annet tall enn null, kalles de direkte proporsjonal . I vårt tilfelle = k (k≠0). Dette nummeret kalles proporsjonalitetsfaktor.

Funksjonen y \u003d k x er en matematisk modell av mange virkelige situasjoner vurdert allerede i det innledende løpet av matematikk. En av dem er beskrevet ovenfor. Et annet eksempel: hvis det er 2 kg mel i en pakke, og x slike pakker er kjøpt, kan hele massen av det kjøpte melet (vi betegner det med y) representeres som en formel y \u003d 2x, dvs. forholdet mellom antall pakker og den totale massen av kjøpt mel er direkte proporsjonal med koeffisienten k=2.

Husk noen egenskaper ved direkte proporsjonalitet, som studeres i skolekurset i matematikk.

1. Domenet til funksjonen y \u003d k x og domenet til dens verdier er settet med reelle tall.

2. Grafen for direkte proporsjonalitet er en rett linje som går gjennom origo. Derfor, for å konstruere en graf med direkte proporsjonalitet, er det nok å finne bare ett punkt som tilhører det og ikke sammenfaller med opprinnelsen, og deretter tegne en rett linje gjennom dette punktet og opprinnelsen.

For å plotte funksjonen y = 2x for eksempel, er det nok å ha et punkt med koordinater (1, 2), og deretter tegne en rett linje gjennom det og origo (fig. 7).

3. For k > 0 øker funksjonen y = kx over hele definisjonsdomenet; for k< 0 - убывает на всей области определения.

4. Hvis funksjonen f er en direkte proporsjonalitet og (x 1, y 1), (x 2, y 2) - par av tilsvarende verdier for variablene x og y, og x 2 ≠ 0 da.

Faktisk, hvis funksjonen f er en direkte proporsjonalitet, kan den gis av formelen y \u003d kx, og deretter y 1 \u003d kx 1, y 2 \u003d kx 2. Siden ved x 2 ≠0 og k≠0, så er y 2 ≠0. Derfor og betyr.

Hvis verdiene til variablene x og y er positive reelle tall, kan den beviste egenskapen til direkte proporsjonalitet formuleres som følger: med en økning (reduksjon) i verdien av variabelen x flere ganger, øker (minker) den tilsvarende verdien av variabelen y like mye.

Denne egenskapen er bare iboende i direkte proporsjonalitet, og den kan brukes til å løse ordproblemer der direkte proporsjonale mengder vurderes.

Oppgave 1. På 8 timer laget dreieren 16 deler. Hvor mange timer vil det ta en dreier å lage 48 deler hvis han jobber med samme produktivitet?

Løsning. Problemet vurderer mengdene - tiden til dreieren, antall deler laget av ham og produktivitet (dvs. antall deler produsert av dreieren på 1 time), sistnevnte verdi er konstant, og de to andre tar ulike betydninger. I tillegg er antallet deler som er laget og arbeidstiden direkte proporsjonale, siden deres forhold er lik et visst antall som ikke er lik null, nemlig antall deler laget av en dreier på 1 time. Hvis antallet av deler som er laget er betegnet med bokstaven y, arbeidstiden er x, og ytelse - k, da får vi at = k eller y = kx, dvs. den matematiske modellen for situasjonen presentert i oppgaven er direkte proporsjonalitet.

Problemet kan løses på to aritmetiske måter:

1 vei: 2 vei:

1) 16:8 = 2 (barn) 1) 48:16 = 3 (ganger)

2) 48:2 = 24(t) 2) 8-3 = 24(t)

Når vi løste problemet på den første måten, fant vi først proporsjonalitetskoeffisienten k, den er lik 2, og deretter, vel vitende om at y \u003d 2x, fant vi verdien av x, forutsatt at y \u003d 48.

Når vi løste problemet på den andre måten, brukte vi egenskapen direkte proporsjonalitet: hvor mange ganger antall deler laget av en dreier øker, øker tiden for produksjonen deres med samme mengde.

La oss nå gå til vurderingen av en funksjon kalt invers proporsjonalitet.

Hvis t er tiden for fotgjengerens bevegelse (i timer), v er hastigheten hans (i km/t) og han gikk 12 km, så kan forholdet mellom disse verdiene uttrykkes med formelen v∙t = 20 eller v = .

Siden hver verdi av t (t ≠ 0) tilsvarer en enkelt verdi av hastighet v, kan vi si at en funksjon er gitt ved å bruke formelen v = . Det kalles invers proporsjonalitet og er definert som følger.

Definisjon. Invers proporsjonalitet er en funksjon som kan spesifiseres ved hjelp av formelen y \u003d, der k er et reelt tall som ikke er null.

Navnet på denne funksjonen kommer fra det faktum at y= det er variabler x og y, som kan være verdier av mengder. Og hvis produktet av to mengder er lik et annet tall enn null, kalles de omvendt proporsjonale. I vårt tilfelle er xy = k(k ≠ 0). Dette tallet k kalles proporsjonalitetskoeffisienten.

Funksjon y= er en matematisk modell av mange virkelige situasjoner vurdert allerede i det innledende kurset i matematikk. En av dem er beskrevet før definisjonen av omvendt proporsjonalitet. Et annet eksempel: hvis du kjøpte 12 kg mel og la det i l: bokser med y kg hver, så kan forholdet mellom disse mengdene representeres som x-y= 12, dvs. den er omvendt proporsjonal med koeffisienten k=12.

Husk noen egenskaper ved invers proporsjonalitet, kjent fra matematikkkurset på skolen.

1. Funksjonsomfang y= og området x er settet med reelle tall som ikke er null.

2. Den inverse proporsjonalitetsgrafen er en hyperbel.

3. For k > 0 er grenene til hyperbelen plassert i 1. og 3. kvadrant og funksjonen y= er avtagende på hele domenet til x (fig. 8).

Ris. 8 Fig.9

Når k< 0 ветви гиперболы расположены во 2-й и 4-й четвертях и функция y= øker over hele domenet til x (fig. 9).

4. Hvis funksjonen f er omvendt proporsjonal og (x 1, y 1), (x 2, y 2) er par med tilsvarende verdier av variablene x og y, da.

Faktisk, hvis funksjonen f er omvendt proporsjonal, kan den gis av formelen y= ,og så . Siden x 1 ≠0, x 2 ≠0, x 3 ≠0, så

Hvis verdiene til variablene x og y er positive reelle tall, kan denne egenskapen til invers proporsjonalitet formuleres som følger: med en økning (reduksjon) i verdien av variabelen x flere ganger, den tilsvarende verdien av variabelen y minker (øker) med samme mengde.

Denne egenskapen er bare iboende i invers proporsjonalitet, og den kan brukes til å løse ordproblemer der omvendt proporsjonale mengder vurderes.

Oppgave 2. En syklist som beveget seg med en hastighet på 10 km/t, tilbakela avstanden fra A til B på 6 timer.

Løsning. Problemet vurderer følgende størrelser: hastigheten til syklisten, bevegelsestidspunktet og avstanden fra A til B, sistnevnte verdi er konstant, og de to andre har forskjellige verdier. I tillegg er hastigheten og bevegelsestiden omvendt proporsjonale, siden produktet deres er lik et visst antall, nemlig tilbakelagt avstand. Hvis tidspunktet for syklistens bevegelse er angitt med bokstaven y, hastigheten er x, og avstanden AB er k, så får vi at xy \u003d k eller y \u003d, dvs. den matematiske modellen for situasjonen presentert i oppgaven er omvendt proporsjonalitet.

Du kan løse problemet på to måter:

1 vei: 2 vei:

1) 10-6 = 60 (km) 1) 20:10 = 2 (ganger)

2) 60:20 = 3(4) 2) 6:2 = 3(t)

Når vi løste problemet på den første måten, fant vi først proporsjonalitetskoeffisienten k, den er lik 60, og deretter, vel vitende om at y \u003d, fant vi verdien av y, forutsatt at x \u003d 20.

Når vi løste problemet på den andre måten, brukte vi egenskapen omvendt proporsjonalitet: hvor mange ganger bevegelseshastigheten øker, reduseres tiden for å reise samme avstand med samme mengde.

Merk at når du løser spesifikke problemer med omvendt proporsjonale eller direkte proporsjonale mengder, pålegges noen begrensninger på x og y, spesielt kan de vurderes ikke på hele settet med reelle tall, men på dets undermengder.

Oppgave 3. Lena kjøpte x blyanter, og Katya kjøpte 2 ganger mer. Angi antall blyanter Katya kjøpte som y, uttrykk y i form av x, og plott den etablerte korrespondansegrafen, forutsatt at x ≤ 5. Er dette samsvaret en funksjon? Hva er dens definisjonsdomene og verdiområde?

Løsning. Katya kjøpte u = 2 blyanter. Når du plotter funksjonen y=2x, må det tas i betraktning at variabelen x angir antall blyanter og x≤5, noe som betyr at den kun kan ta på verdiene 0, 1, 2, 3, 4, 5. Dette vil være domenet til denne funksjonen. For å få rekkevidden til denne funksjonen må du multiplisere hver verdi x fra definisjonsdomenet med 2, dvs. det vil være et sett (0, 2, 4, 6, 8, 10). Derfor vil grafen til funksjonen y \u003d 2x med definisjonsdomenet (0, 1, 2, 3, 4, 5) være settet med punkter vist i figur 10. Alle disse punktene tilhører linjen y \u003d 2x.

Begrepet direkte proporsjonalitet

Tenk deg at du tenker på å kjøpe favorittgodteriet ditt (eller hva du egentlig liker). Godteriene i butikken har sin egen pris. Anta 300 rubler per kilo. Jo mer godteri du kjøper, jo mer penger betaler du. Det vil si, hvis du vil ha 2 kilo - betal 600 rubler, og hvis du vil ha 3 kilo - gi 900 rubler. Alt ser ut til å være klart med dette, ikke sant?

Den mellomliggende konklusjonen er denne: hvis argumentet øker, øker funksjonen også, hvis argumentet reduseres, reduseres funksjonen også

Funksjon og dens egenskaper

Direkte proporsjonal funksjon er et spesialtilfelle av en lineær funksjon. Hvis den lineære funksjonen er y = k*x + b, så ser den for direkte proporsjonalitet slik ut: y = k*x, hvor k kalles proporsjonalitetsfaktoren, og dette er alltid et tall som ikke er null. Å beregne k er enkelt - det finnes som en kvotient av en funksjon og et argument: k = y/x.

Og nå, fra den anvendte anvendelsen av kunnskap om direkte proporsjonalitet, la oss gå tilbake til funksjonen. Egenskapene som inkluderer:

dets definisjonsdomene er settet av alle reelle tall (så vel som dets delmengde);

funksjonen er merkelig;

endringen i variabler er direkte proporsjonal med hele lengden på tallinjen.

Direkte proporsjonalitet og dens graf

En graf for en direkte proporsjonal funksjon er en rett linje som skjærer opprinnelsespunktet. For å bygge den er det nok å markere bare ett punkt til. Og koble den og opprinnelsen til linjen.

Når det gjelder en graf, er k helningen. Hvis helningen er mindre enn null (k< 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент больше нуля (k >0), danner grafen og x-aksen en spiss vinkel, og funksjonen øker.

Eksempler på oppgaver

La oss bestemme et par direkte proporsjonalitetsproblemer

La oss starte enkelt.

Oppgave 1: Tenk deg at 5 høner la 5 egg på 5 dager. Og hvis det er 20 høner, hvor mange egg vil de legge på 20 dager?

La oss løse et annet problem som ligner på de vi hadde i eksemplene.

Oppgave 3: To biler legger ut på samme reise. Den ene beveget seg med en hastighet på 70 km/t og tilbakela samme avstand på 2 timer som den andre på 7 timer. Finn hastigheten til den andre bilen.

Og et par eksempler til på oppgaver med direkte proporsjonalitetsfunksjoner. Noen ganger i problemer kreves det å finne koeffisienten k.

Oppgave 4: Gitt funksjonene y \u003d - x / 16 og y \u003d 5x / 2, bestem deres proporsjonalitetskoeffisienter.

Løsning: Som du husker, k = y/x. Derfor, for den første funksjonen, er koeffisienten -1/16, og for den andre er k = 5/2.

Og du kan også komme over en oppgave som Oppgave 5: Skriv ned formelen for direkte proporsjonalitet. Grafen og grafen til funksjonen y \u003d -5x + 3 er plassert parallelt.