Når k 0. Hvordan finne helningen til ligningen

Lineær funksjon er en funksjon av formen

x-argument (uavhengig variabel),

y-funksjon (avhengig variabel),

k og b er noen konstante tall

Grafen til den lineære funksjonen er rett.

nok til å plotte grafen. to poeng, fordi gjennom to punkter kan du tegne en rett linje, og dessuten bare en.

Hvis k˃0, er grafen plassert i 1. og 3. koordinatkvartal. Hvis k˂0, er grafen plassert i 2. og 4. koordinatkvartal.

Tallet k kalles helningen til den direkte grafen til funksjonen y(x)=kx+b. Hvis k˃0, så er helningsvinkelen til den rette linjen y(x)= kx+b til den positive retningen Ox spiss; hvis k˂0, så er denne vinkelen stump.

Koeffisienten b viser skjæringspunktet til grafen med y-aksen (0; b).

y(x)=k∙x-- spesielt tilfelle typisk funksjon kalles direkte proporsjonalitet. Grafen er en rett linje som går gjennom origo, så ett punkt er nok til å bygge denne grafen.

Lineær funksjonsgraf

Hvor koeffisienten k = 3, derav

Grafen til funksjonen vil øke og ha skarpt hjørne med okseaksen pga koeffisient k har et plusstegn.

OOF for en lineær funksjon

FRF av en lineær funksjon

Bortsett fra tilfellet hvor

Også en lineær funksjon av formen

Det er en generell funksjon.

B) Hvis k=0; b≠0,

I dette tilfellet er grafen en rett linje parallelt med Ox-aksen og som går gjennom punktet (0;b).

C) Hvis k≠0; b≠0, så har den lineære funksjonen formen y(x)=k∙x+b.

Eksempel 1 . Plott funksjonen y(x)= -2x+5

Eksempel 2 . Finn nullpunktene til funksjonen y=3x+1, y=0;

er null for funksjonen.

Svar: eller (;0)

Eksempel 3 . Bestem funksjonsverdien y=-x+3 for x=1 og x=-1

y(-1)=-(-1)+3=1+3=4

Svar: y_1=2; y_2=4.

Eksempel 4 . Bestem koordinatene til skjæringspunktet deres eller bevis at grafene ikke skjærer hverandre. La funksjonene y 1 =10∙x-8 og y 2 =-3∙x+5 gis.

Hvis grafene til funksjoner krysser hverandre, er verdien av funksjonene på dette punktet lik

Erstatt x=1, så y 1 (1)=10∙1-8=2.

Kommentar. Du kan også erstatte den oppnådde verdien av argumentet i funksjonen y 2 =-3∙x+5, så får vi det samme svaret y 2 (1)=-3∙1+5=2.

y=2 - ordinaten til skjæringspunktet.

(1;2) - skjæringspunktet for grafene til funksjonene y \u003d 10x-8 og y \u003d -3x + 5.

Svar: (1;2)

Eksempel 5 .

Konstruer grafer for funksjonene y 1 (x)= x+3 og y 2 (x)= x-1.

Det kan sees at koeffisienten k=1 for begge funksjonene.

Det følger av ovenstående at hvis koeffisientene til en lineær funksjon er like, så er grafene deres i koordinatsystemet parallelle.

Eksempel 6 .

La oss bygge to grafer av funksjonen.

Den første grafen har formelen

Den andre grafen har formelen

I denne saken foran oss er en graf av to rette linjer som skjærer hverandre i punktet (0; 4). Dette betyr at koeffisienten b, som er ansvarlig for høyden på stigningen til grafen over x-aksen, hvis x=0. Så vi kan anta at koeffisienten b til begge grafene er 4.

Redaktører: Ageeva Lyubov Alexandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna

La oss vurdere problemet. En motorsyklist forlater by A for tiden ligger 20 km unna. På hvilken avstand s (km) fra A vil motorsyklisten være etter t timer hvis han beveger seg med en hastighet på 40 km/t?

Det er åpenbart at om t timer vil motorsyklisten tilbakelegge 50t km. Følgelig vil den etter t timer være i en avstand på (20 + 50t) km fra A, dvs. s = 50t + 20, hvor t ≥ 0.

Hver verdi av t tilsvarer en enkelt verdi av s.

Formelen s = 50t + 20, hvor t ≥ 0, definerer en funksjon.

La oss vurdere et problem til. For å sende et telegram belastes et gebyr på 3 kopek for hvert ord og ytterligere 10 kopek. Hvor mange kopek (u) skal betales for å sende et telegram som inneholder n ord?

Siden avsenderen må betale 3n kopek for n ord, kan kostnaden for å sende et telegram i n ord finnes ved formelen u = 3n + 10, hvor n er et hvilket som helst naturlig tall.

I begge de vurderte problemene, møtte vi funksjoner som er gitt av formler på formen y \u003d kx + l, der k og l er noen tall, og x og y er variabler.

En funksjon som kan gis ved en formel på formen y = kx + l, der k og l er noen tall, kalles lineær.

Siden uttrykket kx + l gir mening for enhver x, kan domenet til en lineær funksjon være settet av alle tall eller noen av dens delmengder.

Et spesielt tilfelle av en lineær funksjon er den tidligere betraktede direkte proporsjonaliteten. Husk at for l \u003d 0 og k ≠ 0, har formelen y \u003d kx + l formen y \u003d kx, og denne formelen, som du vet, for k ≠ 0, er direkte proporsjonalitet gitt.

La oss plotte en lineær funksjon f gitt av formelen
y \u003d 0,5x + 2.

La oss få flere tilsvarende verdier av variabelen y for noen verdier av x:

La oss merke oss punktene med koordinatene vi mottok: (-6; -1), (-4; 0); (-2; 1), (0; 2), (2; 3), (4; 4); (6; 5), (8; 6).

Det er åpenbart at de konstruerte punktene ligger på en rett linje. Det følger ennå ikke av dette at grafen til denne funksjonen er en rett linje.

For å finne ut hvilken form grafen til den betraktede funksjonen f har, la oss sammenligne den med grafen for direkte proporsjonalitet x - y som er kjent for oss, der x \u003d 0,5.

For enhver x er verdien av uttrykket 0,5x + 2 større enn den tilsvarende verdien av uttrykket 0,5x med 2 enheter. Derfor er ordinaten til hvert punkt på grafen til funksjonen f større enn den tilsvarende ordinaten til den direkte proporsjonalitetsgrafen med 2 enheter.

Derfor kan grafen til den betraktede funksjonen f hentes fra grafen for direkte proporsjonalitet ved parallell translasjon med 2 enheter i retning av y-aksen.

Siden grafen for direkte proporsjonalitet er en rett linje, så er grafen til den betraktede lineære funksjonen f også en rett linje.

Generelt er grafen til en funksjon gitt av en formel med formen y \u003d kx + l en rett linje.

Vi vet at for å konstruere en rett linje, er det nok å bestemme posisjonen til de to punktene.

La, for eksempel, du må plotte en funksjon som er gitt av formelen
y \u003d 1,5x - 3.

La oss ta to vilkårlige verdier av x, for eksempel x 1 = 0 og x 2 = 4. Beregn de tilsvarende verdiene til funksjonen y 1 = -3, y 2 = 3, konstruer punktene A (-3; 0) og B (4; 3) og tegn en linje gjennom disse punktene. Denne rette linjen er den ønskede grafen.

Hvis domenet til den lineære funksjonen ikke er representert av alle mi-tall, vil grafen være en delmengde av punkter på en rett linje (for eksempel en stråle, et segment, et sett med individuelle punkter).

Plasseringen av grafen til funksjonen gitt av formelen y \u003d kx + l avhenger av verdiene til l og k. Spesielt avhenger verdien av helningsvinkelen til grafen til en lineær funksjon til x-aksen av koeffisienten k. Hvis k er positivt tall, da er denne vinkelen spiss; hvis k er et negativt tall, er vinkelen stump. Tallet k kalles helningen til linjen.

nettstedet, med hel eller delvis kopiering av materialet, kreves en lenke til kilden.

Personvernet ditt er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernerklæring som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Vennligst les vår personvernerklæring og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.

Innsamling og bruk av personopplysninger

Personopplysninger refererer til data som kan brukes til å identifisere eller kontakte en bestemt person.

Du kan bli bedt om å oppgi din personlige informasjon når som helst når du kontakter oss.

Følgende er noen eksempler på hvilke typer personopplysninger vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.

Hvilken personlig informasjon samler vi inn:

• Når du sender inn en søknad på nettstedet, kan vi samle inn ulike opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, adresse E-post etc.

Hvordan vi bruker dine personopplysninger:

• Personopplysningene vi samler inn lar oss kontakte deg og informere deg om unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer.
• Fra tid til annen kan vi bruke din personlige informasjon til å sende deg viktige varsler og meldinger.
• Vi kan også bruke personopplysninger til interne formål, som å gjennomføre revisjoner, dataanalyser og ulike undersøkelser for å forbedre tjenestene vi leverer og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
• Hvis du deltar i en premietrekning, konkurranse eller lignende insentiv, kan vi bruke informasjonen du gir til å administrere slike programmer.

Offentliggjøring til tredjeparter

Vi utleverer ikke informasjon mottatt fra deg til tredjeparter.

Unntak:

• I tilfelle det er nødvendig - i samsvar med loven, rettsorden, i rettslige prosesser og / eller basert på offentlige forespørsler eller forespørsler fra statlige organer på territoriet til den russiske føderasjonen - avslør din personlige informasjon. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi fastslår at slik avsløring er nødvendig eller hensiktsmessig for sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre formål av allmenn interesse.
• Ved en omorganisering, fusjon eller salg kan vi overføre personopplysningene vi samler inn til den aktuelle tredjeparts etterfølgeren.

Beskyttelse av personopplysninger

Vi tar forholdsregler - inkludert administrative, tekniske og fysiske - for å beskytte din personlige informasjon mot tap, tyveri og misbruk, samt mot uautorisert tilgang, avsløring, endring og ødeleggelse.

Opprettholde personvernet ditt på bedriftsnivå

For å sikre at din personlige informasjon er sikker, kommuniserer vi personvern- og sikkerhetspraksis til våre ansatte og håndhever strengt personvernpraksis.

>>Matematikk: Lineær funksjon og dens graf

Lineær funksjon og dens graf

Algoritmen for å konstruere en graf av ligningen ax + by + c = 0, som vi formulerte i § 28, for all dens klarhet og sikkerhet, liker ikke matematikere egentlig. Vanligvis fremsetter de krav til de to første trinnene i algoritmen. Hvorfor, sier de, løse likningen to ganger med hensyn til variabelen y: først ax1 + bu + c = O, så axi + bu + c = O? Ville det ikke vært bedre å umiddelbart uttrykke y fra ligningen ax + by + c = 0, da vil det være lettere å utføre beregninger (og viktigst av alt, raskere)? La oss sjekke. Vurder først ligningen 3x - 2y + 6 = 0 (se eksempel 2 fra § 28).

Å gi x spesifikke verdier, er det enkelt å beregne de tilsvarende y-verdiene. For eksempel, for x = 0 får vi y = 3; ved x = -2 har vi y = 0; for x = 2 har vi y = 6; for x = 4 får vi: y = 9.

Du kan se hvor enkelt og raskt punktene (0; 3), (- 2; 0), (2; 6) og (4; 9) ble funnet, som ble fremhevet i eksempel 2 fra § 28.

På samme måte kan ligningen bx - 2y = 0 (se eksempel 4 i § 28) konverteres til formen 2y = 16 -3x. da y = 2,5x; det er lett å finne poeng (0; 0) og (2; 5) som tilfredsstiller denne ligningen.

Til slutt kan ligningen 3x + 2y - 16 = 0 fra samme eksempel konverteres til formen 2y = 16 -3x og da er det lett å finne punkter (0; 0) og (2; 5) som tilfredsstiller den.

La oss nå vurdere de angitte transformasjonene til generelt syn.

Dermed kan den lineære ligningen (1) med to variabler x og y alltid konverteres til formen
y = kx + m,(2) hvor k,m er tall (koeffisienter), og .

Denne spesielle formen av den lineære ligningen vil bli kalt en lineær funksjon.

Ved å bruke likhet (2) er det enkelt, ved å spesifisere en spesifikk verdi av x, å beregne den tilsvarende verdien av y. La f.eks.

y = 2x + 3. Deretter:
hvis x = 0, så er y = 3;
hvis x = 1, så er y = 5;
hvis x = -1, så er y = 1;
hvis x = 3, så er y = 9 osv.

Vanligvis presenteres disse resultatene i skjemaet tabeller:

Y-verdiene fra den andre raden i tabellen kalles verdiene til den lineære funksjonen y \u003d 2x + 3, henholdsvis ved punktene x \u003d 0, x \u003d 1, x \u003d -1, x \u003d -3.

I ligning (1) er variablene xnu like, men i ligning (2) er de ikke det: vi tildeler spesifikke verdier til en av dem - variabelen x, mens verdien til variabelen y avhenger av den valgte verdien til variabel x. Derfor sies det vanligvis at x er den uavhengige variabelen (eller argumentet), y er den avhengige variabelen.

Merk at en lineær funksjon er en spesiell type lineær ligning med to variabler. ligningsgraf y - kx + m, som enhver lineær ligning med to variabler, er en rett linje - den kalles også grafen til en lineær funksjon y = kx + mp. Dermed er følgende teorem sann.

Eksempel 1 Konstruer en graf av en lineær funksjon y \u003d 2x + 3.

Løsning. La oss lage en tabell:

I den andre situasjonen kan den uavhengige variabelen x, som angir, som i den første situasjonen, antall dager, bare ta på seg verdiene 1, 2, 3, ..., 16. Faktisk, hvis x \u003d 16 , så ved å bruke formelen y \u003d 500 - Z0x finner vi : y \u003d 500 - 30 16 \u003d 20. Dette betyr at det allerede på den 17. dagen ikke vil være mulig å ta ut 30 tonn kull fra lageret, siden bare 20 tonn vil være igjen på lageret innen denne dagen, og prosessen med kulleksport må stoppes. Derfor ser den raffinerte matematiske modellen av den andre situasjonen slik ut:

y \u003d 500 - ZOD:, hvor x \u003d 1, 2, 3, .... 16.

I den tredje situasjonen, uavhengig variabel x kan teoretisk anta en hvilken som helst ikke-negativ verdi (f.eks. x-verdi = 0, x-verdi = 2, x-verdi = 3,5 osv.), men i praksis kan en turist ikke gå med konstant hastighet uten å sove og hvile like lenge som han vil. Så vi måtte sette rimelige grenser for x, for eksempel 0< х < 6 (т. е. турист идет не более 6 ч).

Husk at den geometriske modellen av den ikke-strenge doble ulikheten 0< х < 6 служит отрезок (рис. 37). Значит, уточненная модель третьей ситуации выглядит так: у = 15 + 4х, где х принадлежит отрезку .

I stedet for uttrykket "x tilhører mengden X", er vi enige om å skrive (de leser: "elementet x tilhører mengden X", e er tegnet på medlemskap). Som du kan se, er vår kjennskap til det matematiske språket konstant pågående.

Hvis den lineære funksjonen y \u003d kx + m ikke skal vurderes for alle verdier av x, men bare for verdier av x fra et numerisk intervall X, skriver de:

Eksempel 2. Tegn graf en lineær funksjon:

Løsning, a) Lag en tabell for den lineære funksjonen y = 2x + 1

La oss bygge punktene (-3; 7) og (2; -3) på xOy-koordinatplanet og tegne en rett linje gjennom dem. Dette er grafen til ligningen y \u003d -2x: + 1. Velg deretter segmentet som forbinder de konstruerte punktene (fig. 38). Dette segmentet er grafen til den lineære funksjonen y \u003d -2x + 1, hvor xe [-3, 2].

Vanligvis sier de dette: vi plottet en lineær funksjon y \u003d - 2x + 1 på segmentet [- 3, 2].

b) Hvordan er dette eksemplet forskjellig fra det forrige? Den lineære funksjonen er den samme (y \u003d -2x + 1), noe som betyr at den samme rette linjen fungerer som grafen. Men vær forsiktig! - denne gangen vurderes ikke x e (-3, 2), dvs. verdiene x = -3 og x = 2, de tilhører ikke intervallet (-3, 2). Hvordan markerte vi endene av intervallet på koordinatlinjen? Lyse sirkler (fig. 39), vi snakket om dette i § 26. På samme måte er punktene (- 3; 7) og B; - 3) må merkes på tegningen med lyse sirkler. Dette vil minne oss om at bare de punktene på den rette linjen y \u003d - 2x + 1 tas som ligger mellom punktene merket med sirkler (fig. 40). Men noen ganger i slike tilfeller brukes ikke lyse sirkler, men piler (fig. 41). Dette er ikke grunnleggende, det viktigste er å forstå hva som står på spill.

Eksempel 3 Finn de største og minste verdiene av den lineære funksjonen på segmentet.
Løsning. La oss lage en tabell for en lineær funksjon

Vi konstruerer punktene (0; 4) og (6; 7) på xOy-koordinatplanet og tegner en rett linje gjennom dem - grafen til den lineære x-funksjonen (fig. 42).

Vi må vurdere denne lineære funksjonen ikke som en helhet, men på segmentet, det vil si for x e.

Det tilsvarende segmentet av grafen er uthevet på tegningen. Vi legger merke til at den største ordinaten av punktene som tilhører den valgte delen er 7 - dette er høyeste verdi lineær funksjon på segmentet. Følgende notasjon brukes vanligvis: y max = 7.

Vi legger merke til at den minste ordinaten av punktene som tilhører den delen av den rette linjen som er uthevet i figur 42 er 4 - dette er den minste verdien av den lineære funksjonen på segmentet.
Bruk vanligvis følgende oppføring: y navn. = 4.

Eksempel 4 Finn y naib og y naim. for lineær funksjon y = -1,5x + 3,5

a) på segmentet; b) på intervallet (1,5);
c) på halvintervallet .

Løsning. La oss lage en tabell for den lineære funksjonen y \u003d -l, 5x + 3,5:

Vi konstruerer punktene (1; 2) og (5; - 4) på ​​xOy-koordinatplanet og tegner en rett linje gjennom dem (fig. 43-47). La oss på den konstruerte rette linjen skille ut delen som tilsvarer verdiene av x fra segmentet (fig. 43), fra intervallet A, 5) (fig. 44), fra halvintervallet (fig. 47) ).

a) Ved å bruke figur 43 er det lett å konkludere med at y max \u003d 2 (den lineære funksjonen når denne verdien ved x \u003d 1), og y max. = - 4 (den lineære funksjonen når denne verdien ved x = 5).

b) Ved å bruke figur 44 konkluderer vi med at denne lineære funksjonen verken har de største eller minste verdiene i det gitte intervallet. Hvorfor? Faktum er at, i motsetning til det forrige tilfellet, er begge ender av segmentet, der de største og minste verdiene ble nådd, ekskludert fra vurdering.

c) Ved hjelp av figur 45 konkluderer vi med at y maks. = 2 (som i det første tilfellet), og den minste verdien den lineære funksjonen gjør det ikke (som i det andre tilfellet).

d) Ved å bruke figur 46 konkluderer vi: y max = 3,5 (den lineære funksjonen når denne verdien ved x = 0), og y max. eksisterer ikke.

e) Ved å bruke figur 47 konkluderer vi: y max = -1 (den lineære funksjonen når denne verdien ved x = 3), og y max eksisterer ikke.

Eksempel 5. Plott en lineær funksjon

y \u003d 2x - 6. Bruk grafen til å svare på følgende spørsmål:

a) ved hvilken verdi av x vil y = 0?
b) for hvilke verdier av x vil y > 0?
c) for hvilke verdier av x vil y< 0?

Løsning. La oss lage en tabell for den lineære funksjonen y \u003d 2x-6:

Tegn en rett linje gjennom punktene (0; - 6) og (3; 0) - grafen til funksjonen y \u003d 2x - 6 (fig. 48).

a) y \u003d 0 ved x \u003d 3. Grafen skjærer x-aksen i punktet x \u003d 3, dette er punktet med ordinaten y \u003d 0.
b) y > 0 for x > 3. Faktisk, hvis x > 3, er linjen plassert over x-aksen, noe som betyr at ordinatene til de tilsvarende punktene på linjen er positive.

c) kl< 0 при х < 3. В самом деле если х < 3, то прямая расположена ниже оси х, значит, ординаты соответствующих точек прямой отрицательны. A

Merk at i dette eksemplet bestemte vi oss ved hjelp av grafen:

a) ligning 2x - 6 = 0 (got x = 3);
b) ulikhet 2x - 6 > 0 (vi fikk x > 3);
c) ulikhet 2x - 6< 0 (получили х < 3).

Kommentar. På russisk kalles det samme objektet ofte annerledes, for eksempel: "hus", "bygning", "struktur", "hytte", "herskapshus", "brakke", "hytte", "hytte". I matematisk språk er situasjonen omtrent den samme. La oss si likhet med to variabler y = kx + m, der k, m er spesifikke tall, kan kalles en lineær funksjon, kan kalles lineær ligning med to variabler x og y (eller med to ukjente x og y), kan du kalle det en formel, du kan kalle det et forhold mellom x og y, du kan til slutt kalle det et forhold mellom x og y. Det spiller ingen rolle, det viktigste er å forstå det i alle tilfeller vi snakker om den matematiske modellen y = kx + m

.

Tenk på grafen til en lineær funksjon vist i figur 49, a. Hvis vi beveger oss langs denne grafen fra venstre til høyre, øker ordinatene til grafpunktene hele tiden, vi ser ut til å "klatre opp bakken". I slike tilfeller bruker matematikere begrepet økning og sier dette: hvis k>0, øker den lineære funksjonen y \u003d kx + m.

Tenk på grafen til en lineær funksjon vist i figur 49, b. Hvis vi beveger oss langs denne grafen fra venstre til høyre, så synker ordinatene til grafpunktene hele tiden, vi ser ut til å "gå nedover bakken". I slike tilfeller bruker matematikere begrepet reduksjon og sier dette: hvis k< О, то линейная функция у = kx + m убывает.

Lineær funksjon i det virkelige liv

La oss nå oppsummere dette emnet. Vi har allerede blitt kjent med et slikt konsept som en lineær funksjon, vi kjenner dens egenskaper og har lært å bygge grafer. Du vurderte også spesielle tilfeller av en lineær funksjon og lærte hva den relative plasseringen av grafene til lineære funksjoner avhenger av. Men det viser seg at i vår Hverdagen vi krysser også hele tiden denne matematiske modellen.

La oss tenke på hvilke virkelige situasjoner som er forbundet med et slikt konsept som lineære funksjoner? Også mellom hvilke mengder eller livssituasjoner kanskje etablere en lineær avhengighet?

Mange av dere forstår sannsynligvis ikke helt hvorfor de trenger å studere lineære funksjoner, fordi dette er usannsynlig å være nyttig i senere liv. Men her tar du dypt feil, for vi møter funksjoner hele tiden og overalt. Siden, selv den vanlige månedlige leie er også en funksjon som avhenger av mange variabler. Og disse variablene inkluderer kvadratmeter, antall innbyggere, tariffer, strømbruk, etc.

Selvfølgelig er de vanligste eksemplene på lineære avhengighetsfunksjoner som vi har kommet over, matematikktimer.

Du og jeg løste problemer der vi fant avstandene som biler, tog eller fotgjengere passerte med en viss hastighet. Dette er de lineære funksjonene til bevegelsestiden. Men disse eksemplene gjelder ikke bare i matematikk, de er tilstede i vårt daglige liv.

Kaloriinnholdet i meieriprodukter avhenger av fettinnholdet, og en slik avhengighet er som regel en lineær funksjon. Så, for eksempel, med en økning i prosentandelen av fettinnholdet i rømme, øker også kaloriinnholdet i produktet.

La oss nå gjøre beregningene og finne verdiene til k og b ved å løse ligningssystemet:

La oss nå utlede avhengighetsformelen:

Som et resultat fikk vi et lineært forhold.

For å vite hastigheten på lydutbredelsen avhengig av temperatur, er det mulig å finne ut ved å bruke formelen: v = 331 + 0,6t, hvor v er hastigheten (i m/s), t er temperaturen. Hvis vi tegner en graf over denne avhengigheten, vil vi se at den vil være lineær, det vil si at den vil representere en rett linje.

Og slik praktisk bruk av kunnskap i anvendelsen av lineær funksjonell avhengighet kan listes opp i lang tid. Starter fra telefonkostnader, hårlengde og -høyde, og til og med ordtak i litteraturen. Og denne listen kan fortsettes i det uendelige.

Kalendertematisk planlegging i matematikk, video i matematikk på nett, nedlasting av matematikk på skolen

A. V. Pogorelov, Geometri for klassetrinn 7-11, Lærebok for utdanningsinstitusjoner

Instruksjon

Det er flere måter å løse lineære funksjoner på. La oss ta en titt på de fleste av dem. Den mest brukte trinnvise erstatningsmetoden. I en av ligningene er det nødvendig å uttrykke en variabel i form av en annen, og erstatte den med en annen ligning. Og så videre til bare én variabel gjenstår i en av ligningene. For å løse det, må du la variabelen stå på den ene siden av likhetstegnet (det kan være med en koeffisient), og på den andre siden av likhetstegnet alle numeriske data, ikke glem å endre tegnet til tallet til det motsatte ved overføring. Etter å ha beregnet en variabel, erstatte den med andre uttrykk, fortsett beregningene i henhold til samme algoritme.

Til ta et eksempel lineær funksjoner, bestående av to ligninger:
2x+y-7=0;
x-y-2=0.
Fra den andre ligningen er det praktisk å uttrykke x:
x=y+2.
Som du kan se, når du overfører fra en del av likheten til en annen, endret tegnet på og variablene seg, som beskrevet ovenfor.
Vi erstatter det resulterende uttrykket i den første ligningen, og ekskluderer dermed variabelen x fra den:
2*(y+2)+y-7=0.
Utvide parentesene:
2y+4+y-7=0.
Vi komponerer variabler og tall, legger dem til:
3y-3=0.
Vi overfører til høyre side av ligningen, endrer tegnet:
3y=3.
Vi deler på den totale koeffisienten, vi får:
y=1.
Erstatt den resulterende verdien i det første uttrykket:
x=y+2.
Vi får x=3.

En annen måte å løse liknende på er å bruke termin-for-term to likninger for å få en ny med én variabel. Ligningen kan multipliseres med en viss koeffisient, det viktigste er å multiplisere hvert ledd i ligningen og ikke glemme, og deretter legge til eller subtrahere en ligning fra. Denne metoden sparer mye når du finner en lineær funksjoner.

La oss ta det allerede kjente likningssystemet med to variabler:
2x+y-7=0;
x-y-2=0.
Det er lett å se at koeffisienten til variabelen y er identisk i den første og andre ligningen og skiller seg bare i fortegn. Dette betyr at når vi legger til disse to likningene termin for ledd, får vi en ny, men med én variabel.
2x+x+y-y-7-2=0;
3x-9=0.
Vi overfører de numeriske dataene til høyre side av ligningen, mens vi endrer tegnet:
3x=9.
Vi finner en felles faktor lik koeffisienten ved x og deler begge sider av ligningen med den:
x=3.
Den resulterende kan erstattes med hvilken som helst av likningene i systemet for å beregne y:
x-y-2=0;
3-y-2=0;
-y+1=0;
-y=-1;
y=1.

Du kan også beregne data ved å plotte en nøyaktig graf. For å gjøre dette må du finne nullene funksjoner. Hvis en av variablene er lik null, kalles en slik funksjon homogen. Ved å løse slike ligninger vil du få to punkter som er nødvendige og tilstrekkelige til å bygge en rett linje - en av dem vil være plassert på x-aksen, den andre på y-aksen.

Vi tar en hvilken som helst ligning av systemet og erstatter verdien x \u003d 0 der:
2*0+y-7=0;
Vi får y=7. Dermed vil det første punktet, la oss kalle det A, ha koordinatene A (0; 7).
For å beregne et punkt som ligger på x-aksen, er det praktisk å erstatte verdien y \u003d 0 i den andre ligningen til systemet:
x-0-2=0;
x=2.
Det andre punktet (B) vil ha koordinatene B (2;0).
Vi markerer de oppnådde punktene på koordinatnettet og tegner en rett linje gjennom dem. Hvis du bygger den ganske nøyaktig, kan andre x- og y-verdier beregnes direkte fra den.