Hvor krysser høydene til en trekant? Alt du trenger å vite om trekanten
Høydeteorem for høyre trekant
Hvis høyden i en rettvinklet trekant ABC av lengde , trukket fra toppunktet til den rette vinkelen, deler hypotenusen av lengde og i segmenter og tilsvarer bena og , så er følgende likheter sanne:
· 
· 
Egenskaper til høydebasene til en trekant
· Grunner høyder danner en såkalt ortotriangel, som har sine egne egenskaper.
· Sirkelen som er omskrevet rundt en ortotriangel er Euler-sirkelen. Denne sirkelen inneholder også tre midtpunkter på sidene av trekanten og tre midtpunkter av tre segmenter som forbinder ortosenteret med trekantens toppunkter.
En annen formulering av den siste egenskapen:
· Eulers teorem for nipunktssirkelen.
Grunner tre høyder vilkårlig trekant, midtpunktene til dens tre sider ( grunnlaget for dens indre medianer) og midtpunktene til tre segmenter som forbinder toppunktene med ortosenteret, ligger alle på samme sirkel (på nipunktssirkel).
· Teorem. I en hvilken som helst trekant forbinder segmentet begrunnelse to høyder trekant, kutter av en trekant som ligner på den gitte.
· Teorem. I en trekant forbinder segmentet begrunnelse to høyder trekanter som ligger på to sider antiparallell til en tredjepart som han ikke har felles grunn med. En sirkel kan alltid tegnes gjennom sine to ender, så vel som gjennom de to toppunktene på den tredje nevnte siden.
Andre egenskaper ved trekanthøyder
· Hvis trekanten allsidig (scalene), da det innvendig halveringslinjen trukket fra et hvilket som helst toppunkt ligger mellom innvendig median og høyde trukket fra samme toppunkt.
Høyden til en trekant er isogonalt konjugert til diameteren (radius) omringe, trukket fra samme toppunkt.
· I en spiss trekant er det to høyder klipp av lignende trekanter fra den.
· I en rettvinklet trekant høyde trukket fra toppunktet i en rett vinkel, deler den i to trekanter som ligner den opprinnelige.
Egenskaper for minimumshøyden til en trekant
Minimumshøyden til en trekant har mange ekstreme egenskaper. For eksempel:
· Den minste ortogonale projeksjonen av en trekant på linjer som ligger i trekantens plan har en lengde som er lik den minste av dens høyder.
· Det minste rette snittet i planet som en stiv trekantet plate kan trekkes gjennom, må ha en lengde lik den minste av høydene på denne platen.
· Når to punkter beveger seg kontinuerlig langs omkretsen av en trekant mot hverandre, kan den maksimale avstanden mellom dem under bevegelsen fra det første møtet til det andre ikke være mindre enn lengden på trekantens minste høyde.
· Minimumshøyden i en trekant ligger alltid innenfor den trekanten.
Grunnleggende relasjoner
· 
hvor er arealet av trekanten, er lengden på siden av trekanten som høyden senkes med.
· 
hvor er produktet av sidene, radiusen til den omskrevne sirkelen
· 
,
hvor er radiusen til den innskrevne sirkelen.
Hvor er arealet av trekanten.
hvor er siden av trekanten som høyden synker til.
· Høyden på en likebenet trekant senket til basen:
hvor er basen.
· 
- høyde i en likesidet trekant.
Medianer og høyder i en likesidet trekant
Medianene til en trekant skjærer hverandre i ett punkt, som deler hver av dem i forholdet 2:1, regnet fra toppunktet. Dette punktet kalles tyngdepunkt triangel. Og i likesidede trekanter er medianer og høyder det samme.
Tenk på en vilkårlig trekant ABC. La oss angi med bokstaven O skjæringspunktet mellom medianene AA1 og BB1 og tegne midtlinjen A1B1 til denne trekanten. Medianene til trekanten skjærer hverandre i ett punkt. Segmentet A1B1 er parallelt med siden AB, derfor vinklene 1 og 2 , samt vinklene 3 og 4 er like som kryssvinkler i skjæringspunktet mellom parallelle linjer AB og A1B1 ved sekantene AA1 og BB1. Derfor er trekantene AOB og A1OB1 like i to vinkler, og derfor er sidene deres proporsjonale: AOA1O=BOB1O=ABA1B1. Men AB=2⋅A1B1, så AO=2⋅A1O og BO=2⋅B1O. Dermed deler skjæringspunktet O til medianene AA1 og BB1 hver av dem i forholdet 2:1, regnet fra toppunktet. Tilsvarende er det bevist at skjæringspunktet for medianene BB1 og CC1 deler hver av dem i forholdet 2:1 regnet fra toppunktet, og derfor sammenfaller med punktet O. Dermed skjærer alle tre medianene i trekanten ABC kl. punktet O og deles med det i forholdet 2: 1, regnet fra toppen.
Teoremet er bevist.
La oss forestille oss at ved toppunktene til vinkelen m₁=1, så i punktene A₁,B₁,C₁, m₂=2, siden de er midtpunktene til sidene. Og her kan du legge merke til at segmentene AA₁,BB₁,CC₁, som skjærer hverandre på ett punkt, ligner spaker med et dreiepunkt O, hvor AO-l₁, og OA₁-l₂ (skuldre). Og i henhold til den fysiske formelen F1/F₂=l1/l₂, hvor F=m*g, hvor g-konst, og den reduseres tilsvarende, viser det seg at m1/m₂=l1/l₂, dvs. ½=1/2.
Teoremet er bevist.
Ortotriangel
Egenskaper:
· Tre høyder av en trekant skjærer hverandre i ett punkt, dette punktet kalles ortosenteret
· To tilstøtende sider av en ortotriangel danner like vinkler med den tilsvarende siden av den opprinnelige trekanten
Høydene til en trekant er halveringslinjen til en ortotriangel
· En ortotriangel er trekanten med den minste omkretsen som kan skrives inn i en gitt trekant (Fagnano-problemet)
· Omkretsen til en ortotriangel er lik to ganger produktet av høyden til trekanten og sinusen til vinkelen den kommer fra.
· Hvis punktene A 1 , B 1 og C 1 på sidene BC, AC og AB av henholdsvis den spisse trekant ABC er slik at
da er en ortotriangel av trekant ABC.
Ortotriangel kutter av trekanter som ligner på denne
Teorem om egenskapen til halveringslinjer i en ortotriangel
∟ B₁C₁C=∟B₁BC=∟CAA₁=∟CC₁A
CC₁-bisektor ∟B₁C₁A
AA₁-bisektor ∟B₁A₁C₁
BB₁-bisektor ∟A₁B₁C₁
En trekant er en polygon med tre sider, eller en lukket stiplet linje med tre ledd, eller en figur dannet av tre segmenter som forbinder tre punkter som ikke ligger på samme rette linje (se fig. 1).
Grunnleggende elementer i trekant abc
Topper – punktene A, B og C;
Fester – segmentene a = BC, b = AC og c = AB som forbinder toppunktene;
Vinkler – α, β, γ dannet av tre sidepar. Vinkler er ofte utpekt på samme måte som hjørner, med bokstavene A, B og C.
Vinkelen som dannes av sidene av en trekant og som ligger i dens indre område kalles en indre vinkel, og den som grenser til den er den tilstøtende vinkelen til trekanten (2, s. 534).
Høyder, medianer, halveringslinjer og midtlinjer i en trekant
I tillegg til hovedelementene i en trekant, vurderes også andre segmenter med interessante egenskaper: høyder, medianer, halveringslinjer og midtlinjer.
Høyde
Trekanthøyder- dette er perpendikulære lodd fra trekantens toppunkter til motsatte sider.
For å plotte høyden må du utføre følgende trinn:
1) tegne en rett linje som inneholder en av sidene av trekanten (hvis høyden er trukket fra toppunktet til en spiss vinkel i en stump trekant);
2) fra toppunktet som ligger overfor den tegnede linjen, tegn et segment fra punktet til denne linjen, og lag en vinkel på 90 grader med det.
Punktet der høyden skjærer siden av trekanten kalles høyde base (se fig. 2).
Egenskaper til trekanthøyder
I en rettvinklet trekant deler høyden trukket fra toppunktet til den rette vinkelen den i to trekanter som ligner på den opprinnelige trekanten.
I en spiss trekant avskjærer dens to høyder lignende trekanter fra den.
Hvis trekanten er spiss, hører alle høydebasene til sidene av trekanten, og i en stump trekant faller to høyder på fortsettelsen av sidene.
Tre høyder i en spiss trekant skjærer hverandre i ett punkt og dette punktet kalles ortosenter triangel.
Median
Medianer(fra latin mediana – «midt») - dette er segmenter som forbinder trekantens toppunkter med midtpunktene på de motsatte sidene (se fig. 3).
For å konstruere medianen må du utføre følgende trinn:
1) finn midten av siden;
2) koble punktet som er midten av siden av trekanten med motsatt toppunkt med et segment.
Egenskaper til trekantmedianer
Medianen deler en trekant i to trekanter med lik areal.
Medianene til en trekant skjærer hverandre i ett punkt, som deler hver av dem i forholdet 2:1, regnet fra toppunktet. Dette punktet kalles tyngdepunkt triangel.
Hele trekanten er delt med medianene i seks like trekanter.
Bisector
Halvledere(fra latin bis - to ganger og seko - cut) er de rette linjestykkene innelukket i en trekant som halverer vinklene (se fig. 4).
For å konstruere en halveringslinje, må du utføre følgende trinn:
1) konstruer en stråle som kommer ut fra vinkelens toppunkt og deler den i to like deler (halveringslinjen til vinkelen);
2) finn skjæringspunktet for halveringslinjen til trekantens vinkel med motsatt side;
3) velg et segment som forbinder trekantens toppunkt med skjæringspunktet på motsatt side.
Egenskaper til halveringslinjer for trekant
Halveringslinjen til en vinkel i en trekant deler den motsatte siden i et forhold som er lik forholdet mellom de to tilstøtende sidene.
Halveringslinjene til de indre vinklene til en trekant skjærer hverandre i ett punkt. Dette punktet kalles midten av den innskrevne sirkelen.
Halveringslinjene til de indre og ytre vinklene er vinkelrette.
Hvis halveringslinjen til en ytre vinkel av en trekant skjærer forlengelsen av den motsatte siden, så ADBD=ACBC.
Halveringslinjene til en indre og to ytre vinkler i en trekant skjærer hverandre i ett punkt. Dette punktet er sentrum av en av de tre eksirklene i denne trekanten.
Basene til halveringslinjen til to indre og en ytre vinkel i en trekant ligger på samme rette linje hvis halveringslinjen til den ytre vinkelen ikke er parallell med motsatt side av trekanten.
Hvis halveringslinjene til de ytre vinklene til en trekant ikke er parallelle med motsatte sider, ligger deres base på samme rette linje.
Når du løser ulike typer problemer, både av rent matematisk og anvendt art (spesielt i konstruksjon), er det ofte nødvendig å bestemme verdien av høyden til en viss geometrisk figur. Hvordan beregne denne verdien (høyden) i en trekant?
Hvis vi kombinerer 3 punkter i par som ikke er plassert på en enkelt linje, vil den resulterende figuren være en trekant. Høyde er den delen av en rett linje fra et hvilket som helst toppunkt på en figur som, når den krysser den motsatte siden, danner en vinkel på 90°.
Finn høyden på en skala trekant
La oss bestemme verdien av høyden til en trekant i tilfellet når figuren har vilkårlige vinkler og sider.
Herons formel
h(a)=(2√(p(p-a)*(p-b)*(p-c)))/a, hvor
p – halve omkretsen av figuren, h(a) – et segment til side a, tegnet i rette vinkler på det,
p=(a+b+c)/2 – beregning av halvperimeteren.
Hvis det er et område av figuren, kan du bruke forholdet h(a)=2S/a for å bestemme høyden.
Trigonometriske funksjoner
For å bestemme lengden på et segment som danner en rett vinkel når det skjærer side a, kan du bruke følgende relasjoner: hvis side b og vinkel γ eller side c og vinkel β er kjent, så er h(a)=b*sinγ eller h(a)=c *sinβ.
Hvor:
γ – vinkel mellom side b og a,
β er vinkelen mellom siden c og a.
Forholdet til radius
Hvis den opprinnelige trekanten er innskrevet i en sirkel, kan du bruke radiusen til en slik sirkel for å bestemme høyden. Senteret er plassert på punktet der alle 3 høyder skjærer hverandre (fra hvert toppunkt) - ortosenteret, og avstanden fra det til toppunktet (hvilken som helst) er radiusen.
Deretter h(a)=bc/2R, hvor:
b, c – 2 andre sider av trekanten,
R er radiusen til sirkelen som omgir trekanten.
Finn høyden i en rettvinklet trekant
I denne typen geometrisk figur danner 2 sider, når de krysser hverandre, en rett vinkel - 90°. Derfor, hvis du vil bestemme høydeverdien i den, må du beregne enten størrelsen på et av bena, eller størrelsen på segmentet som danner 90 ° med hypotenusen. Når du utpeker:
a, b – ben,
c – hypotenusen,
h(c) – vinkelrett på hypotenusen.
Du kan gjøre de nødvendige beregningene ved å bruke følgende relasjoner:
- Pythagoras teorem:
a=√(c 2 -b 2),
b=√(c 2 -a 2),
h(c)=2S/c, fordi S=ab/2, deretter h(c)=ab/c.
- Trigonometriske funksjoner:
a=c*sinβ,
b=c*cosβ,
h(c)=ab/c=с* sinβ* cosβ.
Finn høyden på en likebenet trekant
Denne geometriske figuren utmerker seg ved tilstedeværelsen av to sider av samme størrelse og en tredje - basen. For å bestemme høyden trukket til den tredje, distinkte siden, kommer Pythagoras teoremet til unnsetning. Med notasjoner
en – side,
c – base,
h(c) er et segment til c i en vinkel på 90°, deretter h(c)=1/2 √(4a 2 -c 2).
Leksjonen inneholder en beskrivelse av egenskapene og formlene for å finne høyden på en trekant, samt eksempler på problemløsning. Hvis du ikke har funnet en løsning på et passende problem - skriv om det på forumet. Kurset vil garantert bli supplert.
TREKANTHØYDETrekanthøyde- en vinkelrett falt fra toppunktet i en trekant, trukket til siden motsatt toppunktet eller til dens fortsettelse. Egenskaper trekanthøyder:
Ortosenter av trekantenAlle tre høyder av trekanten (tegnet fra de tre toppunktene) skjærer hverandre i ett punkt, som kalt ortosenter. For å finne skjæringspunktet mellom høyder, er det nok å tegne to høyder (to linjer krysser bare i ett punkt). Plasseringen av ortosenteret (punkt O) bestemmes av typen trekant. For en spiss trekant er skjæringspunktet mellom høydene i trekantens plan. (Figur 1). I en rettvinklet trekant faller skjæringspunktet til høydene sammen med toppunktet til den rette vinkelen (fig. 2). For en stump trekant er skjæringspunktet mellom høydene plassert bak trekantens plan (fig. 3). For en likebenet trekant er medianen, halveringslinjen og høyden trukket til bunnen av trekanten de samme. I en likesidet trekant faller alle de tre "bemerkelsesverdige" linjene (høyde, halveringslinje og median) sammen og tre "bemerkelsesverdige" punkter (punktene til ortosenteret, tyngdepunktet og sentrum av de innskrevne og omskrevne sirklene) er plassert ved samme skjæringspunkt for de "bemerkelsesverdige" linjene, dvs. også matche. |
HØY TRIKUTNIKA Høyden på tricubitulen er synkende fra toppen av tricubitule perpendikulæren, og trekker på protidal apex eller på forlengelsen. Alle tre høyder av tricubitus (tegning fra tre toppunkter) skjærer hverandre i ett punkt, som kalles ortosenteret. For å finne poenget med krysshøyder, må du tegne to høyder (to rette linjer krysser bare i ett punkt). Plasseringen av ortosenteret (punkt O) bestemmes av typen tricuputid. I gostrokutny trikutnik er punktet for høydekryssing plassert i trikutnikens plan. (Mal.1). I den rettskårede trikutten møter høydepunktet på krysset toppen av det rette snittet (Mal. 2). I en stumpvinklet tricutnik er punktet på tverrlinjen til høydene plassert bak flatheten til tricutniken (Mal.3). I den isosfemorale tricullus er medianen, halveringslinjen og høyden trukket til bunnen av tricucutineum like. I en likesidet trikube unngås alle de tre "merkede" linjene (høyde, halveringslinje og median) og tre "merkede" punkter (ortosenterpunkter, midten av linjen og midten av den innskrevne og beskrevne kjølen) er plassert på samme måte. punktet for overføringen gjørme av de "skitne" linjene, slik at de også kan unngås. |
Formler for å finne høyden til en trekant
Figuren er vist for å gjøre det lettere å forstå formlene for å finne høyden til en trekant. Den generelle regelen er at lengden på en side er angitt med en liten bokstav på motsatt side av den tilsvarende vinkelen. Det vil si at side a ligger motsatt vinkel A.
Høyde i formler er betegnet med bokstaven h, hvis subskript tilsvarer siden den er senket på.
Andre betegnelser:
a,b,c- lengder på sidene i trekanten
h en- høyden på trekanten tegnet til side a fra motsatt vinkel
h b- høyde trukket til side b
h c- høyde trukket til side c
R- radius av omskrevne sirkel
r- radius av den innskrevne sirkelen
Forklaringer til formler.
Høyden til en trekant er lik produktet av lengden på siden ved siden av vinkelen som denne høyden er utelatt fra og sinusen til vinkelen mellom denne siden og siden som denne høyden er utelatt til (formel 1)
Høyden til en trekant er lik kvotienten på to ganger arealet av trekanten delt på lengden på siden som denne høyden er senket til (formel 2)
Høyden til en trekant er lik kvotienten for å dele produktet av sidene ved siden av vinkelen som denne høyden er utelatt fra med to ganger radiusen til sirkelen beskrevet rundt den (formel 4).
Høydene på sidene i en trekant er relatert til hverandre i samme proporsjon som de omvendte proporsjonene av lengdene på sidene i den samme trekanten er relatert til hverandre, og også produktene av sidepar i en trekant som har en felles vinkel er relatert til hverandre i samme proporsjon (formel 5).
Summen av de gjensidige verdiene av høydene til en trekant er lik den gjensidige verdien av radiusen til sirkelen innskrevet i en slik trekant (formel 6)
Arealet til en trekant kan bli funnet gjennom lengdene på høydene til denne trekanten (formel 7)
Lengden på siden av trekanten som høyden senkes med, kan du finne ved å bruke formlene 7 og 2.
Oppgave på .
I en rettvinklet trekant ABC (vinkel C = 90 0) er høyde-CD tegnet. Bestem CD hvis AD = 9 cm, BD = 16 cm
Løsning.
Trekanter ABC, ACD og CBD ligner på hverandre. Dette følger direkte av det andre likhetskriteriet (likheten av vinkler i disse trekantene er åpenbar).
Rettvinklede trekanter er den eneste typen trekant som kan kuttes i to trekanter som ligner hverandre og den opprinnelige trekanten.
Betegnelsene til disse tre trekantene i denne rekkefølgen av hjørner: ABC, ACD, CBD. Dermed viser vi samtidig korrespondansen til toppunktene. (Hondepunkt A til trekant ABC tilsvarer også toppunkt A til trekant ACD og toppunkt C til trekant CBD, etc.)
Trekanter ABC og CBD er like. Midler:
AD/DC = DC/BD, altså
Problem med å bruke Pythagoras teorem.
Trekant ABC er en rettvinklet trekant. I dette tilfellet er C en rett vinkel. Fra den er høyden CD = 6 cm tegnet. Forskjellen mellom segmentene BD-AD=5 cm.
Finn: Sider av trekanten ABC.
Løsning.
1. La oss lage et likningssystem i henhold til Pythagoras teorem
CD 2 +BD 2 =BC 2
CD 2 +AD 2 =AC 2
siden CD=6
Siden BD-AD=5, altså
BD = AD+5, så tar ligningssystemet formen
36+(AD+5) 2 =BC 2
La oss legge til den første og andre ligningen. Siden venstre side er lagt til venstre, og høyre side til høyre, vil ikke likestillingen bli krenket. Vi får:
36+36+(AD+5) 2 +AD 2 =AC 2 +BC 2
72+(AD+5) 2 +AD 2 =AC 2 +BC 2
2. Ser nå på den opprinnelige tegningen av trekanten, i henhold til den samme Pythagoras teorem, må likheten være tilfredsstilt:
AC 2 +BC 2 =AB 2
Siden AB=BD+AD, blir ligningen:
AC 2 +BC 2 =(AD+BD) 2
Siden BD-AD=5, så er BD = AD+5, da
AC 2 +BC 2 =(AD+AD+5) 2
3. La oss nå se på resultatene vi fikk når vi løste den første og andre delen av løsningen. Nemlig:
72+(AD+5) 2 +AD 2 =AC 2 +BC 2
AC 2 +BC 2 =(AD+AD+5) 2
De har en felles del AC 2 + BC 2. Derfor, la oss likestille dem med hverandre.
72+(AD+5) 2 +AD 2 =(AD+AD+5) 2
72+AD 2 +10AD+25+AD 2 =4AD 2 +20AD+25
2AD 2 -10AD+72=0
I den resulterende kvadratiske ligningen er diskriminanten lik D=676, henholdsvis røttene til ligningen er like:
Siden lengden på segmentet ikke kan være negativ, forkaster vi den første roten.
Henholdsvis
AB = BD + AD = 4 + 9 = 13
Ved å bruke Pythagoras teorem finner vi de gjenværende sidene av trekanten:
AC = roten av (52)
Å opprettholde personvernet ditt er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernerklæring som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Se gjennom vår personvernpraksis og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.
Innsamling og bruk av personopplysninger
Personopplysninger refererer til data som kan brukes til å identifisere eller kontakte en bestemt person.
Du kan bli bedt om å oppgi din personlige informasjon når som helst når du kontakter oss.
Nedenfor er noen eksempler på hvilke typer personopplysninger vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.
Hvilken personlig informasjon samler vi inn:
- Når du sender inn en søknad på nettstedet, kan vi samle inn ulike opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, e-postadresse osv.
Hvordan vi bruker dine personopplysninger:
- Personopplysningene vi samler inn lar oss kontakte deg med unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer.
- Fra tid til annen kan vi bruke din personlige informasjon til å sende viktige meldinger og kommunikasjoner.
- Vi kan også bruke personopplysninger til interne formål, som å gjennomføre revisjoner, dataanalyser og ulike undersøkelser for å forbedre tjenestene vi leverer og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
- Hvis du deltar i en premietrekning, konkurranse eller lignende kampanje, kan vi bruke informasjonen du gir til å administrere slike programmer.
Utlevering av informasjon til tredjeparter
Vi utleverer ikke informasjonen mottatt fra deg til tredjeparter.
Unntak:
- Om nødvendig - i samsvar med loven, rettslig prosedyre, i rettslige prosesser og/eller på grunnlag av offentlige forespørsler eller forespørsler fra offentlige organer i Den russiske føderasjonen - for å avsløre din personlige informasjon. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi fastslår at slik avsløring er nødvendig eller hensiktsmessig for sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre offentlige viktige formål.
- I tilfelle en omorganisering, fusjon eller salg, kan vi overføre personopplysningene vi samler inn til gjeldende etterfølger tredjepart.
Beskyttelse av personopplysninger
Vi tar forholdsregler - inkludert administrative, tekniske og fysiske - for å beskytte din personlige informasjon mot tap, tyveri og misbruk, samt uautorisert tilgang, avsløring, endring og ødeleggelse.
Respekter ditt privatliv på bedriftsnivå
For å sikre at din personlige informasjon er sikker, kommuniserer vi personvern- og sikkerhetsstandarder til våre ansatte og håndhever strengt personvernpraksis.
