Pyramide sin base laterale ribber høyde. Pyramide

• apotem- høyden på sideflaten til en vanlig pyramide, som er trukket fra toppen (i tillegg er apotemet lengden på perpendikulæren, som senkes fra midten av en vanlig polygon til 1 av sidene);
• sideflater (ASB, BSC, CSD, DSA) - trekanter som konvergerer på toppen;
• side ribber ( SOM , BS , CS , D.S. ) - felles sider av sideflatene;
• toppen av pyramiden (v. S) - et punkt som forbinder sidekantene og som ikke ligger i basens plan;
• høyde ( SÅ ) - et segment av perpendikulæren, som trekkes gjennom toppen av pyramiden til bunnplanet (endene av et slikt segment vil være toppen av pyramiden og bunnen av perpendikulæren);
• diagonal del av en pyramide- seksjon av pyramiden, som går gjennom toppen og diagonalen til basen;
• utgangspunkt (ABCD) er en polygon som toppen av pyramiden ikke tilhører.

pyramide egenskaper.

1. Når alle sidekanter har samme størrelse, gjør du følgende:

• nær bunnen av pyramiden er det lett å beskrive en sirkel, mens toppen av pyramiden vil bli projisert inn i midten av denne sirkelen;
• sideribber danner like vinkler med grunnplanet;
• i tillegg er det motsatte også sant, dvs. når sidekantene danner like vinkler med grunnplanet, eller når en sirkel kan beskrives nær bunnen av pyramiden og toppen av pyramiden vil projiseres inn i sentrum av denne sirkelen, så har alle sidekantene til pyramiden samme størrelse.

2. Når sideflatene har en helningsvinkel til grunnplanet med samme verdi, da:

• nær bunnen av pyramiden er det lett å beskrive en sirkel, mens toppen av pyramiden vil bli projisert inn i midten av denne sirkelen;
• høydene på sideflatene er lik lengde;
• arealet av sideflaten er ½ produktet av omkretsen av basen og høyden på sideflaten.

3. En kule kan beskrives nær pyramiden hvis bunnen av pyramiden er en polygon som en sirkel kan beskrives rundt (en nødvendig og tilstrekkelig betingelse). Sentrum av sfæren vil være skjæringspunktet for planene som passerer gjennom midtpunktene på kantene av pyramiden vinkelrett på dem. Fra denne teoremet konkluderer vi at, som om enhver trekantet, og om enhver riktig pyramide sfære kan beskrives.

4. En kule kan skrives inn i en pyramide hvis halveringslinjene til de indre dihedrale vinklene til pyramiden skjærer hverandre i 1. punkt (en nødvendig og tilstrekkelig betingelse). Dette punktet vil bli sentrum av sfæren.

Den enkleste pyramiden.

I henhold til antall hjørner av bunnen av pyramiden er de delt inn i trekantede, firkantede og så videre.

Pyramiden vil trekantet, firkantet, og så videre, når bunnen av pyramiden er en trekant, en firkant og så videre. En trekantet pyramide er et tetraeder - et tetraeder. Firkantet - pentaeder og så videre.

Her er samlet grunnleggende informasjon om pyramidene og relaterte formler og konsepter. Alle studeres med veileder i matematikk som forberedelse til eksamen.

Tenk på et plan, en polygon ligger i den og et punkt S som ikke ligger i den. Koble S til alle toppunktene i polygonet. Det resulterende polyederet kalles en pyramide. Segmentene kalles sidekanter. Polygonet kalles grunnflaten, og punktet S kalles toppen av pyramiden. Avhengig av tallet n, kalles pyramiden trekantet (n=3), firkantet (n=4), femkantet (n=5) og så videre. Alternativt navn for den trekantede pyramiden - tetraeder. Høyden på en pyramide er vinkelrett trukket fra toppen til grunnplanet.

En pyramide kalles riktig hvis vanlig polygon, og bunnen av høyden til pyramiden (grunnen av vinkelrett) er dens sentrum.

Lærerens kommentar:
Ikke forveksle konseptet "vanlig pyramide" og "vanlig tetraeder". I en vanlig pyramide er sidekantene ikke nødvendigvis like kantene på basen, men i en vanlig tetraeder er alle 6 kantene like. Dette er hans definisjon. Det er lett å bevise at likheten innebærer at sentrum P av polygonet med en høydebase, så et vanlig tetraeder er en vanlig pyramide.

Hva er et apotem?
Apotemet til en pyramide er høyden på sideflaten. Hvis pyramiden er vanlig, er alle dens apotemer like. Det motsatte er ikke sant.

Matematikklærer om sin terminologi: arbeid med pyramider er 80 % bygget gjennom to typer trekanter:
1) Inneholder apotem SK og høyde SP
2) Inneholder sidekanten SA og dens projeksjon PA

For å forenkle referanser til disse trekantene, er det mer praktisk for en matteveileder å nevne den første av dem apotemisk, og andre costal. Dessverre finner du ikke denne terminologien i noen av lærebøkene, og læreren må introdusere den ensidig.

Formel for pyramidevolum:
1) , hvor er arealet av bunnen av pyramiden, og er høyden på pyramiden
2) , hvor er radiusen til den innskrevne sfæren, og er det totale overflatearealet til pyramiden.
3) , hvor MN er avstanden til to kryssende kanter, og er arealet av parallellogrammet dannet av midtpunktene til de fire gjenværende kantene.

Pyramidehøydebaseegenskap:

Punkt P (se figur) faller sammen med sentrum av den innskrevne sirkelen ved bunnen av pyramiden hvis en av følgende betingelser er oppfylt:
1) Alle apotemer er like
2) Alle sideflater er likt skråstilt mot basen
3) Alle apotemer er like tilbøyelige til pyramidens høyde
4) Høyden på pyramiden er likt skråstilt til alle sideflater

Matteveileders kommentar: merk at alle punkter er forent av en felles eiendom: på en eller annen måte deltar sideflater overalt (apotemer er deres elementer). Derfor kan veilederen tilby en mindre presis, men mer praktisk formulering for memorering: punktet P faller sammen med midten av den innskrevne sirkelen, bunnen av pyramiden, hvis det er lik informasjon om sideflatene. For å bevise det, er det nok å vise at alle apotemiske trekanter er like.

Punktet P faller sammen med sentrum av den omskrevne sirkelen nær bunnen av pyramiden, hvis en av de tre betingelsene er sanne:
1) Alle sidekanter er like
2) Alle sideribber er likt skråstilt mot basen
3) Alle sideribber er likt skråstilt i høyden

Videoleksjon 2: Pyramideutfordring. Pyramidevolum

Videoleksjon 3: Pyramideutfordring. Riktig pyramide

Foredrag: Pyramiden, dens base, sidekanter, høyde, sideoverflate; trekantet pyramide; høyre pyramide

Pyramide– Dette er en tredimensjonal kropp som har en polygon i bunnen, og alle ansiktene består av trekanter.

Et spesielt tilfelle av en pyramide er en kjegle, ved bunnen av denne ligger en sirkel.

Tenk på hovedelementene i pyramiden:

Apotem er et segment som forbinder toppen av pyramiden med midten av den nedre kanten av sideflaten. Med andre ord, dette er høyden på pyramidens overflate.

På figuren kan du se trekantene ADS, ABS, BCS, CDS. Hvis du ser nøye på navnene, kan du se at hver trekant har én felles bokstav i navnet – S. Det vil si at dette betyr at alle sideflater (trekanter) konvergerer i ett punkt, som kalles toppen av pyramiden.

Segmentet OS, som forbinder toppunktet med skjæringspunktet mellom diagonalene til basen (i tilfelle av trekanter, i skjæringspunktet mellom høydene), kalles pyramidehøyde.

Et diagonalt snitt er et plan som går gjennom toppen av pyramiden, samt en av diagonalene til basen.

Siden sideoverflaten av pyramiden består av trekanter, for å finne det totale arealet av sideoverflaten, er det nødvendig å finne områdene til hvert ansikt og legge dem til. Antallet og formen på ansiktene avhenger av formen og størrelsen på sidene av polygonen som ligger ved basen.

Det eneste planet i en pyramide som ikke har et toppunkt kalles basis pyramider.

På figuren ser vi at basen er et parallellogram, men det kan være en hvilken som helst vilkårlig polygon.

Egenskaper:

Tenk på det første tilfellet av en pyramide, der den har kanter av samme lengde:

• En sirkel kan beskrives rundt bunnen av en slik pyramide. Hvis du projiserer toppen av en slik pyramide, vil projeksjonen være plassert i midten av sirkelen.
• Vinklene ved bunnen av pyramiden er de samme for hver side.
• Samtidig kan en tilstrekkelig betingelse for at en sirkel kan beskrives rundt bunnen av pyramiden, og også at alle kantene har forskjellig lengde, betraktes som de samme vinklene mellom bunnen og hver kant av flatene .

Hvis du kommer over en pyramide der vinklene mellom sideflatene og basen er like, så er følgende egenskaper sanne:

• Du vil kunne beskrive en sirkel rundt bunnen av pyramiden, hvor toppen er projisert nøyaktig til midten.
• Hvis du tegner på hver side av høyden til basen, vil de være like lange.
• For å finne det laterale overflatearealet til en slik pyramide, er det nok å finne omkretsen til basen og multiplisere den med halvparten av lengden av høyden.
• Sbp \u003d 0,5P oc H.
• Typer pyramide.
• Avhengig av hvilken polygon som ligger ved bunnen av pyramiden, kan de være trekantede, firkantede osv. Hvis en vanlig polygon (med like sider) ligger ved bunnen av pyramiden, vil en slik pyramide kalles regulær.

Vanlig trekantet pyramide

Pyramidekonsept

Definisjon 1

Geometrisk figur, dannet av en polygon og et punkt som ikke ligger i planet som inneholder denne polygonen, forbundet med alle toppunktene i polygonet, kalles en pyramide (fig. 1).

Polygonen som pyramiden er sammensatt av kalles bunnen av pyramiden, trekantene oppnådd ved å koble til punktet er sideflatene til pyramiden, sidene av trekantene er sidene til pyramiden, og punktet felles for alle trekanter er toppen av pyramiden.

Typer pyramider

Avhengig av antall hjørner ved bunnen av pyramiden, kan den kalles trekantet, firkantet, og så videre (fig. 2).

Figur 2.

En annen type pyramide er en vanlig pyramide.

La oss introdusere og bevise egenskapen til en vanlig pyramide.

Teorem 1

Alle sideflatene til en vanlig pyramide er likebente trekanter som er like med hverandre.

Bevis.

Tenk på en vanlig $n-$gonal pyramide med toppunktet $S$ av høyden $h=SO$. La oss beskrive en sirkel rundt basen (fig. 4).

Figur 4

Tenk på trekant $SOA$. Ved Pythagoras teorem får vi

Selvfølgelig vil enhver sidekant bli definert på denne måten. Derfor er alle sidekanter like med hverandre, det vil si at alle sideflater er likebente trekanter. La oss bevise at de er like med hverandre. Siden basen er en vanlig polygon, er grunnflatene til alle sideflater lik hverandre. Følgelig er alle sideflater like i henhold til III-tegnet for likhet av trekanter.

Teoremet er bevist.

Vi introduserer nå følgende definisjon knyttet til begrepet en vanlig pyramide.

Definisjon 3

Apotemet til en vanlig pyramide er høyden på sideflaten.

Tydeligvis, ved setning 1, er alle apotemer like.

Teorem 2

Det laterale overflatearealet til en vanlig pyramide er definert som produktet av halvperimeteren til basen og apotemet.

Bevis.

La oss betegne siden av bunnen av $n-$kullpyramiden som $a$, og apotemet som $d$. Derfor er arealet av sideflaten lik

Siden, ved setning 1, er alle sider like

Teoremet er bevist.

En annen type pyramide er den avkortede pyramiden.

Definisjon 4

Hvis et plan parallelt med basen trekkes gjennom en vanlig pyramide, kalles figuren som dannes mellom dette planet og basens plan en avkortet pyramide (fig. 5).

Figur 5. Avkuttet pyramide

Sideflatene til den avkortede pyramiden er trapeser.

Teorem 3

Arealet av sideoverflaten til en vanlig avkortet pyramide er definert som produktet av summen av halvperimetrene til basene og apotem.

Bevis.

La oss betegne sidene av basene til $n-$kullpyramiden med henholdsvis $a\ og\ b$, og apotemet med $d$. Derfor er arealet av sideflaten lik

Siden alle sider er like, altså

Teoremet er bevist.

Eksempel på oppgave

Eksempel 1

Finn arealet av sideoverflaten til en avkortet trekantet pyramide hvis den er hentet fra en vanlig pyramide med baseside 4 og apotem 5 ved å kutte av et plan som går gjennom midtlinjen til sideflatene.

Løsning.

I følge medianlinjeteoremet får vi at den øvre basen til den avkortede pyramiden er lik $4\cdot \frac(1)(2)=2$, og apotemet er lik $5\cdot \frac(1)( 2)=2,5$.

Så, ved teorem 3, får vi