En trekantet pyramide med like kanter. Hovedegenskapene til den riktige pyramiden

Her er samlet grunnleggende informasjon om pyramidene og relaterte formler og konsepter. Alle studeres med veileder i matematikk som forberedelse til eksamen.

Tenk på et plan, en polygon ligger i den og et punkt S som ikke ligger i den. Koble S til alle toppunktene i polygonet. Det resulterende polyederet kalles en pyramide. Segmentene kalles sidekanter. Polygonet kalles grunnflaten, og punktet S kalles toppen av pyramiden. Avhengig av tallet n, kalles pyramiden trekantet (n=3), firkantet (n=4), femkantet (n=5) og så videre. Alternativt navn for den trekantede pyramiden - tetraeder. Høyden på en pyramide er vinkelrett trukket fra toppen til grunnplanet.

En pyramide kalles riktig hvis vanlig polygon, og bunnen av høyden til pyramiden (grunnen av vinkelrett) er dens sentrum.

Lærerens kommentar:
Ikke forveksle konseptet "vanlig pyramide" og "vanlig tetraeder". Ved høyre pyramide side ribber er ikke nødvendigvis lik kantene på basen, men i et vanlig tetraeder er alle 6 kantene like. Dette er hans definisjon. Det er lett å bevise at likheten innebærer at sentrum P av polygonet med en høydebase, så et vanlig tetraeder er en vanlig pyramide.

Hva er et apotem?
Apotemet til en pyramide er høyden på sideflaten. Hvis pyramiden er vanlig, er alle dens apotemer like. Det motsatte er ikke sant.

Matematikklærer om sin terminologi: arbeid med pyramider er 80 % bygget gjennom to typer trekanter:
1) Inneholder apotem SK og høyde SP
2) Inneholder sidekanten SA og dens projeksjon PA

For å forenkle referanser til disse trekantene, er det mer praktisk for en matteveileder å nevne den første av dem apotemisk, og andre costal. Dessverre finner du ikke denne terminologien i noen av lærebøkene, og læreren må introdusere den ensidig.

Formel for pyramidevolum:
1) , hvor er arealet av bunnen av pyramiden, og er høyden på pyramiden
2) , hvor er radiusen til den innskrevne sfæren, og er det totale overflatearealet til pyramiden.
3) , hvor MN er avstanden til to kryssende kanter, og er arealet av parallellogrammet dannet av midtpunktene til de fire gjenværende kantene.

Pyramidehøydebaseegenskap:

Punkt P (se figur) faller sammen med sentrum av den innskrevne sirkelen ved bunnen av pyramiden hvis en av følgende betingelser er oppfylt:
1) Alle apotemer er like
2) Alle sideflater er likt skråstilt mot basen
3) Alle apotemer er like tilbøyelige til pyramidens høyde
4) Høyden på pyramiden er likt skråstilt til alle sideflater

Matteveileders kommentar: merk at alle punkter er forent av en felles eiendom: på en eller annen måte deltar sideflater overalt (apotemer er deres elementer). Derfor kan veilederen tilby en mindre presis, men mer praktisk formulering for memorering: punktet P faller sammen med midten av den innskrevne sirkelen, bunnen av pyramiden, hvis det er lik informasjon om sideflatene. For å bevise det, er det nok å vise at alle apotemiske trekanter er like.

Punktet P faller sammen med sentrum av den omskrevne sirkelen nær bunnen av pyramiden, hvis en av de tre betingelsene er sanne:
1) Alle sidekanter er like
2) Alle sideribber er likt skråstilt mot basen
3) Alle sideribber er likt skråstilt i høyden

• apotem- høyden på sideflaten til en vanlig pyramide, som er trukket fra toppen (i tillegg er apotemet lengden på perpendikulæren, som senkes fra midten av en vanlig polygon til 1 av sidene);
• sideflater (ASB, BSC, CSD, DSA) - trekanter som konvergerer på toppen;
• side ribber ( SOM , BS , CS , D.S. ) - felles sider av sideflatene;
• toppen av pyramiden (v. S) - et punkt som forbinder sidekantene og som ikke ligger i basens plan;
• høyde ( SÅ ) - et segment av perpendikulæren, som trekkes gjennom toppen av pyramiden til bunnplanet (endene av et slikt segment vil være toppen av pyramiden og bunnen av perpendikulæren);
• diagonal del av en pyramide- seksjon av pyramiden, som går gjennom toppen og diagonalen til basen;
• utgangspunkt (ABCD) er en polygon som toppen av pyramiden ikke tilhører.

pyramideegenskaper.

1. Når alle sidekanter har samme størrelse, gjør du følgende:

• nær bunnen av pyramiden er det lett å beskrive en sirkel, mens toppen av pyramiden vil bli projisert inn i midten av denne sirkelen;
• sideribber danner like vinkler med grunnplanet;
• i tillegg er det motsatte også sant, dvs. når sidekantene danner like vinkler med grunnplanet, eller når en sirkel kan beskrives nær bunnen av pyramiden og toppen av pyramiden vil projiseres inn i sentrum av denne sirkelen, så har alle sidekantene til pyramiden samme størrelse.

2. Når sideflatene har en helningsvinkel til grunnplanet med samme verdi, da:

• nær bunnen av pyramiden er det lett å beskrive en sirkel, mens toppen av pyramiden vil bli projisert inn i midten av denne sirkelen;
• høydene på sideflatene er lik lengde;
• arealet av sideflaten er ½ produktet av omkretsen av basen og høyden på sideflaten.

3. En kule kan beskrives nær pyramiden hvis bunnen av pyramiden er en polygon som en sirkel kan beskrives rundt (en nødvendig og tilstrekkelig betingelse). Sentrum av sfæren vil være skjæringspunktet for planene som passerer gjennom midtpunktene på kantene av pyramiden vinkelrett på dem. Fra denne teoremet konkluderer vi med at en kule kan beskrives både rundt en hvilken som helst trekantet og rundt en hvilken som helst vanlig pyramide.

4. En kule kan skrives inn i en pyramide hvis halveringslinjene til de indre dihedrale vinklene til pyramiden skjærer hverandre i 1. punkt (en nødvendig og tilstrekkelig betingelse). Dette punktet vil bli sentrum av sfæren.

Den enkleste pyramiden.

I henhold til antall hjørner av bunnen av pyramiden er de delt inn i trekantede, firkantede og så videre.

Pyramiden vil trekantet, firkantet, og så videre, når bunnen av pyramiden er en trekant, en firkant og så videre. En trekantet pyramide er et tetraeder - et tetraeder. Firkantet - pentaeder og så videre.

Videoleksjon 2: Pyramideutfordring. Pyramidevolum

Videoleksjon 3: Pyramideutfordring. Riktig pyramide

Foredrag: Pyramiden, dens base, sidekanter, høyde, sideoverflate; trekantet pyramide; høyre pyramide

Pyramide– Dette er en tredimensjonal kropp som har en polygon i bunnen, og alle ansiktene består av trekanter.

Et spesielt tilfelle av en pyramide er en kjegle, ved bunnen av denne ligger en sirkel.

Tenk på hovedelementene i pyramiden:

Apotem er et segment som forbinder toppen av pyramiden med midten av den nedre kanten av sideflaten. Med andre ord, dette er høyden på pyramidens overflate.

På figuren kan du se trekantene ADS, ABS, BCS, CDS. Hvis du ser nøye på navnene, kan du se at hver trekant har én felles bokstav i navnet – S. Det vil si at dette betyr at alle sideflater (trekanter) konvergerer i ett punkt, som kalles toppen av pyramiden.

Segmentet OS, som forbinder toppunktet med skjæringspunktet mellom diagonalene til basen (i tilfelle av trekanter, i skjæringspunktet mellom høydene), kalles pyramidehøyde.

Et diagonalt snitt er et plan som går gjennom toppen av pyramiden, samt en av diagonalene til basen.

Siden sideoverflaten av pyramiden består av trekanter, for å finne det totale arealet av sideoverflaten, er det nødvendig å finne områdene til hvert ansikt og legge dem til. Antallet og formen på ansiktene avhenger av formen og størrelsen på sidene av polygonen som ligger ved basen.

Det eneste planet i en pyramide som ikke har et toppunkt kalles basis pyramider.

På figuren ser vi at basen er et parallellogram, men det kan være en hvilken som helst vilkårlig polygon.

Egenskaper:

Tenk på det første tilfellet av en pyramide, der den har kanter av samme lengde:

• En sirkel kan beskrives rundt bunnen av en slik pyramide. Hvis du projiserer toppen av en slik pyramide, vil projeksjonen være plassert i midten av sirkelen.
• Vinklene ved bunnen av pyramiden er de samme for hver side.
• Samtidig kan en tilstrekkelig betingelse for at en sirkel kan beskrives rundt bunnen av pyramiden, og også at alle kantene har forskjellig lengde, betraktes som de samme vinklene mellom bunnen og hver kant av flatene .

Hvis du kommer over en pyramide der vinklene mellom sideflatene og basen er like, så er følgende egenskaper sanne:

• Du vil kunne beskrive en sirkel rundt bunnen av pyramiden, hvor toppen er projisert nøyaktig til midten.
• Hvis du tegner på hver side av høyden til basen, vil de være like lange.
• For å finne det laterale overflatearealet til en slik pyramide, er det nok å finne omkretsen til basen og multiplisere den med halvparten av lengden av høyden.
• Sbp \u003d 0,5P oc H.
• Typer pyramide.
• Avhengig av hvilken polygon som ligger ved bunnen av pyramiden, kan de være trekantede, firkantede osv. Hvis en vanlig polygon (med like sider) ligger ved bunnen av pyramiden, vil en slik pyramide kalles regulær.

Vanlig trekantet pyramide

Vi er godt klar over de store egyptiske pyramidene, alle kan forestille seg hvordan de ser ut. Denne representasjonen vil hjelpe oss å forstå egenskapene til slike geometrisk figur som en pyramide.

En pyramide er et polyeder som består av en flat polygon - bunnen av pyramiden, et punkt som ikke ligger i bunnens plan - toppen av pyramiden og alle segmenter som forbinder toppen med bunnens punkter. Segmentene som forbinder toppen av pyramiden med toppen av basen kalles sidekanter. På fig. 1 viser pyramiden SABCD. Firkant ABCD er bunnen av pyramiden, punkt S er toppen av pyramiden, segmentene SA, SB, SC og SD er kantene på pyramiden.

Høyden på pyramiden er vinkelrett som faller fra toppen av pyramiden til planet til basen. På fig. 1 SO er høyden på pyramiden.

En pyramide kalles n-gonal hvis basen er en n-gonal. Figur 1 viser en firkantet pyramide. En trekantet pyramide kalles et tetraeder.

En pyramide kalles regulær hvis basen er en regulær polygon, og bunnen av høyden sammenfaller med midten av denne polygonen. Sidekantene til en vanlig pyramide er like, og derfor er sideflatene likebente trekanter. I en vanlig pyramide kalles høyden på sideflaten trukket fra toppen av pyramiden apotem.

Pyramiden har en rekke egenskaper.

Alle diagonaler i en pyramide tilhører dens ansikter.

Hvis alle sidekanter er like, da:

• nær bunnen av pyramiden kan en sirkel beskrives, og toppen av pyramiden projiseres inn i midten;
• sidekantene danner like vinkler med grunnplanet, og omvendt, hvis sidekantene danner like vinkler med grunnplanet, eller hvis en sirkel kan beskrives nær bunnen av pyramiden, og toppen av pyramiden projiseres inn i sentrum, så er alle sidekanter av pyramiden like.

Hvis sideflatene er skråstilt til grunnplanet i én vinkel, da:

• en sirkel kan skrives inn i bunnen av pyramiden, og toppen av pyramiden projiseres inn i midten;
• høydene på sideflatene er like;
• arealet av sideflaten er lik halvparten av produktet av basens omkrets og høyden på sideflaten.

Vurder formlene for å finne volumet, overflatearealet til pyramiden.

Volumet av pyramiden kan beregnes ved å bruke følgende formel:

der S er arealet av basen og h er høyden.

For å finne det totale overflatearealet til en pyramide, bruk formelen:

S p \u003d S b + S o,

der Sp er det totale overflatearealet, S b er sideoverflaten, So er grunnflaten.

En avkortet pyramide er et polyeder innelukket mellom bunnen av pyramiden og et skjæreplan parallelt med bunnen. Overflatene til den avkortede pyramiden, som ligger i parallelle plan, kalles basene til den avkortede pyramiden, de resterende flatene kalles sideflatene. Basene til en avkortet pyramide er lignende polygoner, sideflatene er trapeser. En avkortet pyramide som er hentet fra en vanlig pyramide kalles en vanlig avkortet pyramide. Sideflatene til en vanlig avkortet trapes er like likebenede trapeser, deres høyder kalles apotemer.

nettstedet, med hel eller delvis kopiering av materialet, kreves en lenke til kilden.