Radiusen til den innskrevne sirkelen i en rettvinklet trekantformel. Formler for radiene til innskrevne og omskrevne sirkler av vanlige polygoner

Svært ofte, når du løser geometriske problemer, må du utføre handlinger med hjelpefigurer. Finn for eksempel radiusen til en innskrevet eller omskreven sirkel osv. Denne artikkelen vil vise deg hvordan du finner radiusen til en sirkel som omgir en trekant. Eller, med andre ord, radiusen til sirkelen som trekanten er innskrevet i.

Hvordan finne radiusen til en sirkel omskrevet rundt en trekant - den generelle formelen

Den generelle formelen er som følger: R = abc/4√p(p - a)(p - b)(p - c), hvor R er radiusen til den omskrevne sirkelen, p er omkretsen av trekanten delt på 2 (halvomkrets). a, b, c er sidene i trekanten.

Finn radiusen til trekantens omsirkel hvis a = 3, b = 6, c = 7.

Derfor, basert på formelen ovenfor, beregner vi semi-perimeteren:
p = (a + b + c)/2 = 3 + 6 + 7 = 16. => 16/2 = 8.

Bytt ut verdiene i formelen og få:
R = 3 × 6 × 7/4√8(8 – 3)(8 – 6)(8 – 7) = 126/4√(8 × 5 × 2 × 1) = 126/4√80 = 126/16 √5.

Svar: R = 126/16√5

Hvordan finne radiusen til en sirkel omskrevet om en likesidet trekant

For å finne radiusen til en sirkel omskrevet om en likesidet trekant, er det ganske enkel formel: R = a/√3, der a er verdien av siden.

Eksempel: Siden av en likesidet trekant er 5. Finn radiusen til den omskrevne sirkelen.

Siden alle sider av en likesidet trekant er like, for å løse problemet, trenger du bare å skrive inn verdien i formelen. Vi får: R = 5/√3.

Svar: R = 5/√3.

Hvordan finne radiusen til en sirkel omskrevet om en rettvinklet trekant

Formelen ser slik ut: R = 1/2 × √(a² + b²) = c/2, hvor a og b er ben og c er hypotenusen. Legger vi til kvadratene av bena i en rettvinklet trekant, får vi kvadratet av hypotenusen. Som man kan se av formelen, er dette uttrykket under roten. Ved å beregne roten av kvadratet av hypotenusen får vi selve lengden. Å multiplisere det resulterende uttrykket med 1/2 fører oss til slutt til uttrykket 1/2 × c = c/2.

Eksempel: Regn ut radiusen til den omskrevne sirkelen hvis trekantens ben er 3 og 4. Bytt inn verdiene i formelen. Vi får: R = 1/2 × √(3² + 4²) = 1/2 × √25 = 1/2 × 5 = 2,5.

I dette uttrykket er 5 lengden på hypotenusen.

Svar: R = 2,5.

Hvordan finne radiusen til en sirkel omskrevet om en likebenet trekant

Formelen ser slik ut: R = a² / √ (4a² - b²), der a er lengden på trekantens lår og b er lengden på basen.

Eksempel: Regn ut radiusen til en sirkel hvis hoften = 7 og basen = 8.

Løsning: Vi erstatter disse verdiene i formelen og får: R \u003d 7² / √ (4 × 7² - 8²).

R = 49/√(196 - 64) = 49/√132. Svaret kan skrives direkte slik.

Svar: R = 49/√132

Nettressurser for å beregne radiusen til en sirkel

Det er veldig lett å bli forvirret i alle disse formlene. Derfor, om nødvendig, kan du bruke kalkulatorer på nett, som vil hjelpe deg med å løse problemer med å finne radius. Prinsippet for drift av slike miniprogrammer er veldig enkelt. Bytt inn verdien på siden i det aktuelle feltet og få et ferdig svar. Du kan velge flere alternativer for å avrunde svaret: til desimaler, hundredeler, tusendeler osv.

Sirkel innskrevet i en trekant

Eksistensen av en sirkel innskrevet i en trekant

Husk definisjonen vinkelhalveringslinje .

Definisjon 1 .Vinkelhalveringslinje kalt en stråle som deler en vinkel i to like deler.

Teorem 1 (Grunnleggende egenskap for vinkelhalveringslinjen) . Hvert punkt i halveringslinjen til vinkelen er i samme avstand fra sidene av vinkelen (fig. 1).

Ris. 1

Bevis D liggende på halveringslinjen til vinkelenBAC , Og DE Og D.F. på sidene av hjørnet (fig. 1).rette trekanter ADF Og ADE lik fordi de har de samme spisse vinkleneDAF Og DAE , og hypotenusen AD - generell. Derfor,

D.F. = D.E.

Q.E.D.

Teorem 2 (invers teorem til teorem 1) . Hvis noen , så ligger den på halveringslinjen til vinkelen (fig. 2).

Ris. 2

Bevis . Tenk på et vilkårlig poengD ligger inne i hjørnetBAC og plassert i samme avstand fra sidene av hjørnet. Slipp fra punktetD perpendikulære DE Og D.F. på sidene av hjørnet (fig. 2).rette trekanter ADF Og ADE lik , siden de har like benD.F. Og DE , og hypotenusen AD - generell. Derfor,

Q.E.D.

Definisjon 2 . Sirkelen kalles sirkel innskrevet i en vinkel hvis det er sidene av denne vinkelen.

Teorem 3 . Hvis en sirkel er innskrevet i en vinkel, er avstandene fra vinkelens toppunkt til kontaktpunktene til sirkelen med sidene av vinkelen like.

Bevis . La poenget D er sentrum av en sirkel innskrevet i en vinkelBAC , og poengene E Og F - kontaktpunkter for sirkelen med sidene av hjørnet (fig. 3).

Fig.3

en , b , c - sider av en trekant
 S -torget,

r – radius av den innskrevne sirkelen,
 s - semiperimeter

.

Se formelutdata

en – sidesiden av en likebenet trekant , 
 b - utgangspunkt, r – innskrevet sirkelradius

en r – innskrevet sirkelradius

Se formelutdata

,

Hvor

,

deretter, i tilfelle av en likebenet trekant, når

vi får

som var det som var nødvendig.

Teorem 7 . For likestillingen

Hvor en - siden av en likesidet trekantr – radius av den innskrevne sirkelen (fig. 8).

Ris. 8

Bevis .

,

deretter, i tilfelle av en likesidet trekant, når

b=a,

vi får

som var det som var nødvendig.

Kommentar . Jeg anbefaler å utlede formelen for radiusen til en sirkel som er innskrevet i en likesidet trekant direkte, dvs. uten å bruke generelle formler for radiene til sirkler innskrevet i en vilkårlig trekant eller i en likebenet trekant.

Teorem 8 . For en rettvinklet trekant, likheten

Hvor en , b - ben i en rettvinklet trekant, c – hypotenusen , r – radius av den innskrevne sirkelen.

Bevis . Tenk på figur 9.

Ris. 9

Siden firkantenCDOF er , som har tilstøtende siderGJØRE Og AV er like, så er dette rektangelet . Derfor,

CB \u003d CF \u003d r,

I kraft av teorem 3, likhetene

Derfor, også tatt i betraktning, får vi

som var det som var nødvendig.

Et utvalg oppgaver om emnet "En sirkel innskrevet i en trekant."

1.

En sirkel innskrevet i en likebenet trekant deler en av sidene i to segmenter ved kontaktpunktet, hvis lengder er lik 5 og 3, regnet fra toppunktet overfor basen. Finn omkretsen til trekanten.

2.

3

I trekant ABC AC=4, BC=3, vinkel C er 90º. Finn radiusen til den innskrevne sirkelen.

4.

Benene til en likebenet rettvinklet trekant er 2+. Finn radiusen til sirkelen som er innskrevet i denne trekanten.

5.

Radius av en sirkel innskrevet i en likebenet høyre trekant, er lik 2. Finn hypotenusen c til denne trekanten. Skriv c(-1) i svaret ditt.

Her er en rekke oppgaver fra eksamen med løsninger.

Radiusen til en sirkel innskrevet i en likebenet rettvinklet trekant er . Finn hypotenusen c til denne trekanten. Vennligst oppgi i svaret ditt.

Trekanten er rett og likebenet. Så bena hans er de samme. La hvert ben være like. Da er hypotenusen.

Vi skriver arealet av trekanten ABC på to måter:

Ved å sette likhetstegn mellom disse uttrykkene får vi det. Fordi det, det skjønner vi. Deretter.

Skriv som svar.

Svar:.

Oppgave 2.

1. På alle to sider 10 cm og 6 cm (AB og BC). Finn radiene til de omskrevne og innskrevne sirklene
Problemet løses uavhengig med kommentarer.

Løsning:

I.

1) Finn:
2) Bevis:og finn CK
3) Finn: radiene til de omskrevne og innskrevne sirklene

Løsning:

Oppgave 6.

R radiusen til en sirkel innskrevet i en firkant er. Finn radiusen til sirkelen som er omskrevet rundt dette kvadratet.Gitt :

Finne: OS=?
Løsning: V denne saken problemet kan løses ved å bruke enten Pythagoras teorem eller formelen for R. Det andre tilfellet er enklere, siden formelen for R er avledet fra teoremet.

Oppgave 7.

Radiusen til en sirkel innskrevet i en likebenet rettvinklet trekant er 2. Finn hypotenusenMed denne trekanten. Vennligst oppgi i svaret ditt.

S er arealet av trekanten

Vi kjenner verken sidene til trekanten eller arealet. La oss betegne bena som x, da vil hypotenusen være lik:

Arealet av trekanten vil være 0,5x 2 .

Midler

Så hypotenusen vil være:

Svaret må skrives:

Svar: 4

Oppgave 8.

I trekant ABC, AC = 4, BC = 3, vinkel C er lik 90 0 . Finn radiusen til den innskrevne sirkelen.

La oss bruke formelen for radiusen til en sirkel innskrevet i en trekant:

hvor a, b, c er sidene i trekanten

S er arealet av trekanten

To sider er kjent (disse er ben), vi kan beregne den tredje (hypotenusa), vi kan også beregne arealet.

I følge Pythagoras teorem:

La oss finne området:

Dermed:

Svar: 1

Oppgave 9.

Sidene i en likebenet trekant er 5, grunnflaten er 6. Finn radiusen til den innskrevne sirkelen.

La oss bruke formelen for radiusen til en sirkel innskrevet i en trekant:

hvor a, b, c er sidene i trekanten

S er arealet av trekanten

Alle sider er kjent, og arealet er beregnet. Vi kan finne det ved å bruke Herons formel:

Deretter

Personvernet ditt er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernerklæring som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Vennligst les vår personvernerklæring og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.

Innsamling og bruk av personopplysninger

Personopplysninger refererer til data som kan brukes til å identifisere eller kontakte en bestemt person.

Du kan bli bedt om å oppgi din personlige informasjon når som helst når du kontakter oss.

Følgende er noen eksempler på hvilke typer personopplysninger vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.

Hvilken personlig informasjon samler vi inn:

• Når du sender inn en søknad på nettstedet, kan vi samle inn ulike opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, adresse E-post etc.

Hvordan vi bruker dine personopplysninger:

• Personopplysningene vi samler inn lar oss kontakte deg og informere deg om unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer.
• Fra tid til annen kan vi bruke din personlige informasjon til å sende deg viktige meldinger og kommunikasjoner.
• Vi kan også bruke personopplysninger til interne formål, som å gjennomføre revisjoner, dataanalyser og ulike undersøkelser for å forbedre tjenestene vi leverer og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
• Hvis du deltar i en premietrekning, konkurranse eller lignende insentiv, kan vi bruke informasjonen du gir til å administrere slike programmer.

Offentliggjøring til tredjeparter

Vi utleverer ikke informasjon mottatt fra deg til tredjeparter.

Unntak:

• I tilfelle det er nødvendig - i samsvar med loven, rettsorden, i rettslige prosesser og / eller basert på offentlige forespørsler eller forespørsler fra statlige organer på territoriet til den russiske føderasjonen - avslør din personlige informasjon. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi fastslår at slik avsløring er nødvendig eller hensiktsmessig for sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre formål av allmenn interesse.
• Ved en omorganisering, fusjon eller salg kan vi overføre personopplysningene vi samler inn til den aktuelle tredjeparts etterfølgeren.

Beskyttelse av personopplysninger

Vi tar forholdsregler - inkludert administrative, tekniske og fysiske - for å beskytte din personlige informasjon mot tap, tyveri og misbruk, samt mot uautorisert tilgang, avsløring, endring og ødeleggelse.

Opprettholde personvernet ditt på bedriftsnivå

For å sikre at din personlige informasjon er sikker, kommuniserer vi personvern- og sikkerhetspraksis til våre ansatte og håndhever strengt personvernpraksis.

En rombe er et parallellogram med alle sider like. Derfor arver den alle egenskapene til et parallellogram. Nemlig:

• Diagonalene til en rombe er vinkelrett på hverandre.
• Diagonalene til en rombe er halveringslinjene til dens indre vinkler.

En sirkel kan skrives inn i en firkant hvis og bare hvis summen av motsatte sider er like.
Derfor kan en sirkel skrives inn i hvilken som helst rombe. Sentrum av den innskrevne sirkelen faller sammen med skjæringspunktet mellom diagonalene til romben.
Radien til en innskrevet sirkel i en rombe kan uttrykkes på flere måter

1 vei. Radiusen til den innskrevne sirkelen i en rombe gjennom høyden

Høyden på en rombe er lik diameteren til den innskrevne sirkelen. Dette følger av egenskapen til et rektangel, som er dannet av diameteren til den innskrevne sirkelen og høyden på romben - de motsatte sidene av rektangelet er like.

Derfor er formelen for radiusen til den innskrevne sirkelen i en rombe gjennom høyden:

2-veis. Radius av en innskrevet sirkel i en rombe gjennom diagonalene

Arealet til en rombe kan uttrykkes i form av radiusen til den innskrevne sirkelen
, Hvor R er omkretsen til romben. Å vite at omkretsen er summen av alle sidene til en firkant, har vi P= 4×ha. Deretter
Men arealet til en rombe er også halvparten av produktet av diagonalene
Setter vi likhetstegn mellom de riktige delene av områdeformlene, har vi følgende likhet
Som et resultat får vi en formel som lar oss beregne radiusen til den innskrevne sirkelen i en rombe gjennom diagonalene

Et eksempel på beregning av radiusen til en sirkel innskrevet i en rombe hvis diagonalene er kjent
Finn radiusen til en sirkel innskrevet i en rombe hvis det er kjent at lengden på diagonalene er 30 cm og 40 cm
La ABCD- rombe altså AC Og BD dens diagonaler. AC= 30 cm , BD=40 cm
La poenget OM er midten av det innskrevne i romben ABCD sirkel, da vil det også være skjæringspunktet mellom diagonalene, og dele dem i to.


siden diagonalene til romben skjærer hverandre i rette vinkler, så trekanten AOB rektangulær. Deretter etter Pythagoras teorem
, erstatter vi de tidligere oppnådde verdiene i formelen

AB= 25 cm
Ved å bruke den tidligere avledede formelen for radiusen til den omskrevne sirkelen på en rombe, får vi

3 veis. Radien til den innskrevne sirkelen i romben gjennom segmentene m og n

Punktum F- kontaktpunktet for sirkelen med siden av romben, som deler den inn i segmenter AF Og bf. La AF=m, BF=n.
Punktum O- skjæringspunktet mellom diagonalene til romben og midten av sirkelen som er innskrevet i den.
Triangel AOB- rektangulær, siden diagonalene til romben skjærer hverandre i rette vinkler.
, fordi er radiusen tegnet til tangentpunktet til sirkelen. Derfor AV- høyden på trekanten AOB til hypotenusen. Deretter AF Og bf- projeksjoner av bena på hypotenusen.
Høyden i en rettvinklet trekant falt til hypotenusen er gjennomsnittlig proporsjonal mellom projeksjonene av bena på hypotenusen.

Formelen for radiusen til en innskrevet sirkel i en rombe gjennom segmentene er lik kvadratroten av produktet av disse segmentene som siden av romben er delt i med tangentpunktet til sirkelen

Hvordan finne radiusen til en sirkel? Dette spørsmålet er alltid relevant for skolebarn som studerer planimetri. Nedenfor skal vi se på noen eksempler på hvordan du kan takle oppgaven.

Avhengig av tilstanden til problemet, kan du finne radiusen til sirkelen slik.

Formel 1: R \u003d L / 2π, der L er og π er en konstant lik 3,141 ...

Formel 2: R = √(S / π), hvor S er arealet av sirkelen.

Formel 1: R = B/2, hvor B er hypotenusen.

Formel 2: R \u003d M * B, der B er hypotenusen, og M er medianen som trekkes til den.

Hvordan finne radiusen til en sirkel hvis den er omskrevet rundt en vanlig polygon

Formel: R \u003d A / (2 * sin (360 / (2 * n))), der A er lengden på en av sidene av figuren, og n er antall sider i denne geometriske figuren.

Hvordan finne radiusen til en innskrevet sirkel

En innskrevet sirkel kalles når den berører alle sider av polygonet. La oss se på noen få eksempler.

Formel 1: R \u003d S / (P / 2), hvor - S og P er henholdsvis arealet og omkretsen av figuren.

Formel 2: R \u003d (P / 2 - A) * tg (a / 2), der P er omkretsen, A er lengden på en av sidene, og er vinkelen motsatt denne siden.

Hvordan finne radiusen til en sirkel hvis den er innskrevet i en rettvinklet trekant

Formel 1:

Radius av en sirkel innskrevet i en rombe

En sirkel kan skrives inn i hvilken som helst rombe, både likesidet og likesidet.

Formel 1: R \u003d 2 * H, hvor H er høyden på den geometriske figuren.

Formel 2: R \u003d S / (A * 2), der S er og A er lengden på siden.

Formel 3: R \u003d √ ((S * sin A) / 4), der S er arealet av romben, og sin A er sinus spiss vinkel denne geometriske figuren.

Formel 4: R \u003d V * G / (√ (V² + G²), der V og G er lengdene på diagonalene til en geometrisk figur.

Formel 5: R = B * sin (A / 2), der B er diagonalen til romben, og A er vinkelen ved toppunktene som forbinder diagonalen.

Radius av en sirkel som er innskrevet i en trekant

I tilfelle at du i tilstanden til problemet får lengdene på alle sidene av figuren, beregner du først (P), og deretter semi-perimeteren (p):

P \u003d A + B + C, der A, B, C er lengdene på sidene til den geometriske figuren.

Formel 1: R = √((p-A)*(p-B)*(p-B)/p).

Og hvis du kjenner alle de samme tre sidene, kan du beregne den nødvendige radiusen som følger.

Formel 2: R = S * 2(A + B + C)

Formel 3: R \u003d S / p \u003d S / (A + B + C) / 2), hvor - p er halvperimeteren til den geometriske figuren.

Formel 4: R \u003d (n - A) * tg (A / 2), hvor n er halvomkretsen av trekanten, A er en av sidene, og tg (A / 2) er tangensen til halvparten av trekanten. vinkel motsatt denne siden.

Og formelen nedenfor vil hjelpe deg med å finne radiusen til sirkelen som er skrevet inn

Formel 5: R \u003d A * √3/6.

Radius av en sirkel som er innskrevet i en rettvinklet trekant

Hvis problemet er gitt lengden på bena, så vel som hypotenusen, blir radiusen til den innskrevne sirkelen funnet ut som følger.

Formel 1: R \u003d (A + B-C) ​​/ 2, hvor A, B er ben, C er hypotenusen.

I tilfelle du bare får to ben, er det på tide å huske Pythagoras teorem for å finne hypotenusen og bruke formelen ovenfor.

C \u003d √ (A² + B²).

Radius av en sirkel som er innskrevet i en firkant

Sirkelen, som er innskrevet i firkanten, deler alle sine 4 sider nøyaktig i to ved kontaktpunktene.

Formel 1: R \u003d A / 2, der A er lengden på siden av kvadratet.

Formel 2: R \u003d S / (P / 2), hvor S og P er henholdsvis arealet og omkretsen av kvadratet.