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Logaritmo natural menos 1. Funções LN e LOG para calcular o logaritmo natural no EXCEL

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Muito bom, certo? Enquanto os matemáticos estão procurando palavras para lhe dar uma definição longa e complicada, vamos dar uma olhada mais de perto nesta definição simples e clara.

O número e significa crescimento

O número e significa crescimento contínuo. Como vimos no exemplo anterior, e x nos permite vincular juros e tempo: 3 anos a 100% de crescimento é o mesmo que 1 ano a 300%, sujeito a "juros compostos".

Você pode substituir qualquer porcentagem e valores de tempo (50% em 4 anos), mas é melhor definir a porcentagem como 100% por conveniência (resulta em 100% em 2 anos). Ao passar para 100%, podemos nos concentrar apenas no componente de tempo:

e x = e porcentagem * tempo = e 1,0 * tempo = e tempo

Obviamente, e x significa:

quanto minha contribuição crescerá em x unidades de tempo (assumindo 100% de crescimento contínuo).
por exemplo, após 3 intervalos de tempo obterei e 3 = 20,08 vezes mais "coisas".

e x é um fator de escala que mostra a que nível cresceremos em x períodos de tempo.

Logaritmo natural significa tempo

O logaritmo natural é o inverso de e, um termo chique para o oposto. Falando em peculiaridades; em latim é chamado logarithmus naturali, daí a abreviação ln.

E o que significa essa inversão ou oposto?

e x nos permite conectar o tempo e obter o crescimento.
ln(x) nos permite pegar crescimento ou renda e descobrir o tempo que leva para obtê-lo.

Por exemplo:

e 3 é igual a 20,08. Em três intervalos de tempo, teremos 20,08 vezes mais do que começamos.
ln(20.08) será cerca de 3. Se você estiver interessado em um aumento de 20,08x, precisará de 3 vezes (novamente, assumindo 100% de crescimento contínuo).

Você ainda está lendo? O logaritmo natural mostra o tempo necessário para atingir o nível desejado.

Esta contagem logarítmica não padrão

Você passou os logaritmos - isso é criaturas estranhas. Como eles conseguiram transformar a multiplicação em adição? E a divisão em subtração? Vamos dar uma olhada.

A que valor ln(1) é igual? Intuitivamente, a pergunta é: quanto tempo tenho que esperar para conseguir 1 vez mais do que tenho?

Zero. Zero. De jeito nenhum. Você já tem uma vez. Não leva tempo para crescer do nível 1 para o nível 1.

log(1) = 0

Ok, e quanto ao valor fracionário? Quanto tempo levará para termos 1/2 do que nos resta? Sabemos que com 100% de crescimento contínuo, ln(2) significa o tempo que leva para dobrar. Se nós voltar no tempo(ou seja, esperar um tempo negativo), então obtemos metade do que temos.

ln(1/2) = -ln(2) = -0,693

Lógico, certo? Se voltarmos (tempo de volta) em 0,693 segundos, encontraremos metade do valor disponível. Em geral, você pode inverter a fração e obter um valor negativo: ln(1/3) = -ln(3) = -1,09. Isso significa que, se voltarmos no tempo para 1,09 vezes, encontraremos apenas um terço do número atual.

Certo, e o logaritmo de um número negativo? Quanto tempo leva para "crescer" uma colônia de bactérias de 1 a -3?

Isto é impossível! Você não pode obter uma contagem negativa de bactérias, pode? Você pode obter um máximo (uh... mínimo) de zero, mas não há como obter um número negativo dessas criaturinhas. O número negativo de bactérias simplesmente não faz sentido.

ln(número negativo) = indefinido

"Indefinido" significa que não há tempo de espera para obter um valor negativo.

A multiplicação logarítmica é simplesmente hilária

Quanto tempo levará para quadruplicar o crescimento? Claro, você pode simplesmente pegar ln(4). Mas é muito fácil, vamos por outro caminho.

Você pode pensar em quadruplicar como dobrar (exigindo ln(2) unidades de tempo) e depois dobrar novamente (exigindo outras ln(2) unidades de tempo):

Tempo para crescimento de 4x = ln(4) = Tempo para dobrar e depois dobrar novamente = ln(2) + ln(2)

Interessante. Qualquer taxa de crescimento, digamos 20, pode ser vista como dobrando imediatamente após um aumento de 10 vezes. Ou crescimento 4 vezes e depois 5 vezes. Ou uma triplicação e depois um aumento de 6,666 vezes. Veja o padrão?

ln(a*b) = ln(a) + ln(b)

O logaritmo de A vezes B é log(A) + log(B). Essa relação faz sentido imediatamente se você operar em termos de crescimento.

Se você estiver interessado em um crescimento de 30x, pode esperar que ln(30) de uma só vez ou esperar que ln(3) triplique e depois outro ln(10) para multiplicar por dez. O resultado final é o mesmo, então é claro que o tempo deve permanecer constante (e permanece).

E a divisão? Em particular, ln(5/3) significa: quanto tempo leva para crescer 5 vezes e então obter 1/3 disso?

Ótimo, um fator de 5 é ln(5). Crescer 1/3 vezes levará -ln(3) unidades de tempo. Então,

ln(5/3) = ln(5) – ln(3)

Isso significa: deixe crescer 5 vezes e depois "volte no tempo" até o ponto em que resta apenas um terço desse valor, para obter 5/3 de crescimento. Em geral, resulta

ln(a/b) = ln(a) – ln(b)

Espero que a estranha aritmética dos logaritmos esteja começando a fazer sentido para você: multiplicar as taxas de crescimento torna-se adicionar unidades de tempo de crescimento e dividir torna-se subtrair unidades de tempo. Não memorize as regras, tente entendê-las.

Usando o logaritmo natural para crescimento arbitrário

Bem, claro - você diz - tudo bem se o crescimento for de 100%, mas e os 5% que recebo?

Sem problemas. O "tempo" que calculamos com ln() é na verdade uma combinação de taxa de juros e tempo, o mesmo X da equação e x. Acabamos de escolher definir a porcentagem como 100% para simplificar, mas podemos usar qualquer número.

Digamos que queremos alcançar um crescimento de 30x: pegamos ln(30) e obtemos 3,4 Isso significa:

e x = altura
e 3,4 = 30

Obviamente, esta equação significa "100% de retorno em 3,4 anos dá origem a 30 vezes". Podemos escrever essa equação assim:

e x = e velocidade*tempo
e 100% * 3,4 anos = 30

Podemos alterar os valores de "taxa" e "tempo", desde que a taxa * tempo permaneça 3.4. Por exemplo, se estivermos interessados em um crescimento de 30x, quanto tempo teremos que esperar com uma taxa de juros de 5%?

log(30) = 3,4
taxa * tempo = 3,4
0,05 * tempo = 3,4
tempo = 3,4 / 0,05 = 68 anos

Eu raciocinei assim: "ln(30) = 3,4, então com 100% de crescimento levará 3,4 anos. Se eu dobrar a taxa de crescimento, o tempo necessário cai pela metade."

100% em 3,4 anos = 1,0 * 3,4 = 3,4
200% em 1,7 anos = 2,0 * 1,7 = 3,4
50% em 6,8 anos = 0,5 * 6,8 = 3,4
5% acima de 68 anos = 0,05 * 68 = 3,4 .

É ótimo, certo? O logaritmo natural pode ser usado com qualquer taxa de juros e tempo, desde que seu produto permaneça constante. Você pode mover os valores das variáveis o quanto quiser.

Mau Exemplo: A Regra dos Setenta e Dois

A regra dos setenta e dois é uma técnica matemática que permite estimar quanto tempo levará para o seu dinheiro dobrar. Agora vamos derivá-lo (sim!) e, além disso, tentaremos entender sua essência.

Quanto tempo leva para dobrar seu dinheiro a uma taxa de 100% que aumenta a cada ano?

Op-pa. Usamos o logaritmo natural para o caso de crescimento contínuo, e agora você está falando do acréscimo anual? Esta fórmula não se tornaria inadequada para tal caso? Sim, vai, mas para taxas de juros reais como 5%, 6% ou até 15%, a diferença entre capitalização anual e crescimento constante será pequena. Então, a estimativa aproximada funciona, uh, aproximadamente, então vamos fingir que temos um acréscimo completamente contínuo.

Agora a pergunta é simples: com que rapidez você pode dobrar com 100% de crescimento? ln(2) = 0,693. Leva 0,693 unidades de tempo (anos no nosso caso) para dobrar nossa quantidade com um crescimento contínuo de 100%.

Então, e se a taxa de juros não for 100%, mas digamos 5% ou 10%?

Facilmente! Como taxa * tempo = 0,693, vamos dobrar o valor:

taxa * tempo = 0,693
tempo = 0,693 / taxa

Portanto, se o crescimento for de 10%, levará 0,693 / 0,10 = 6,93 anos para dobrar.

Para simplificar os cálculos, vamos multiplicar as duas partes por 100, então podemos dizer "10" e não "0,10":

tempo de duplicação = 69,3 / aposta, onde a aposta é expressa em porcentagem.

Agora é hora de dobrar em 5%, 69,3 / 5 = 13,86 anos. No entanto, 69,3 não é o dividendo mais conveniente. Vamos escolher um número próximo, 72, que é convenientemente divisível por 2, 3, 4, 6, 8 e outros números.

tempo de duplicação = 72 / aposta

que é a regra de setenta e dois. Tudo está encoberto.

Se você precisa encontrar tempo para triplicar, pode usar ln(3) ~ 109,8 e obter

tempo de triplicação = 110 / aposta

o que é outro regra útil. A "Regra 72" aplica-se ao crescimento por taxa de juros, crescimento populacional, culturas de bactérias e tudo que cresce exponencialmente.

Qual é o próximo?

Espero que o logaritmo natural agora faça sentido para você - ele mostra o tempo que leva para qualquer número crescer exponencialmente. Acho que é chamado de natural porque e é uma medida universal de crescimento, então ln pode ser considerado uma forma universal de determinar quanto tempo leva para crescer.

Toda vez que você vir ln(x), lembre-se de "o tempo que leva para crescer x vezes". Em um próximo artigo, descreverei e e ln em conjunto, para que o aroma fresco da matemática preencha o ar.

Complemento: logaritmo natural de e

Quiz rápido: quanto será ln(e)?

o robô matemático dirá: como eles são definidos como o inverso um do outro, é óbvio que ln(e) = 1.
pessoa compreensiva: ln(e) é o número de vezes para crescer "e" vezes (cerca de 2,718). No entanto, o próprio número e é uma medida de crescimento por um fator de 1, então ln(e) = 1.

Pensar claramente.

9 de setembro de 2013

Pode ser, por exemplo, uma calculadora do conjunto básico de programas de sala de cirurgia. sistemas Windows. O link para iniciá-lo está oculto no menu principal do sistema operacional - abra-o clicando no botão "Iniciar", abra a seção "Programas", vá para a subseção "Acessórios" e depois para "Utilitários" seção e, finalmente, clique no item "Calculadora". Você pode usar o teclado e a caixa de diálogo de inicialização do programa em vez do mouse e navegar pelo menu - pressione a combinação de teclas WIN + R, digite calc (este é o nome do arquivo executável da calculadora) e pressione a tecla Enter.

Mude a interface da calculadora para o modo avançado, permitindo que você. Por padrão, ele abre no formato "normal" e você precisa de "engenharia" ou "" (dependendo da versão do sistema operacional que você está usando). Expanda a seção "Exibir" no menu e selecione a linha apropriada.

Insira o argumento cujo valor natural deve ser calculado. Isso pode ser feito tanto no teclado quanto clicando nos botões correspondentes na interface da calculadora na tela.

Clique no botão chamado ln - o programa calculará o logaritmo para a base e e exibirá o resultado.

Use uma das calculadoras como um cálculo alternativo do valor Logaritmo natural. Por exemplo, aquele localizado em http://calc.org.ua. Sua interface é extremamente simples - há um único campo de entrada onde você precisa digitar o valor do número, cujo logaritmo deseja calcular. Entre os botões, localize e clique naquele que diz ln. O script desta calculadora não requer o envio de dados para o servidor e uma resposta, então você receberá o resultado do cálculo quase instantaneamente. A única característica que deve ser levada em consideração é que o separador entre as partes fracionária e inteira do número digitado deve ser um ponto aqui, e não .

O termo " logaritmo"derivado de dois palavras gregas, um dos quais significa "número" e o outro, "relação". Eles denotam a operação matemática de calcular uma variável (expoente), à qual um valor constante (base) deve ser elevado para obter o número indicado sob o sinal logaritmo A. Se a base for igual a uma constante matemática, chamada de número "e", então logaritmo chamados de "naturais".

você vai precisar

Acesso à Internet, Microsoft Office Excel ou calculadora.

Instrução

Use as muitas calculadoras apresentadas na Internet - esta é, talvez, uma maneira fácil de calcular a natural. Você não precisará procurar o serviço apropriado, pois muitos mecanismos de pesquisa possuem calculadoras embutidas que são bastante adequadas para trabalhar com logaritmo ami. Por exemplo, vá para pagina inicial o maior motor de busca online - Google. Nenhum botão para inserir valores e selecionar funções é necessário aqui, basta digitar a ação matemática desejada no campo de entrada da consulta. Digamos que para calcular logaritmo e os números 457 na base "e" digite ln 457 - isso será suficiente para o Google exibir com precisão de oito casas decimais (6,12468339) mesmo sem pressionar o botão para enviar uma solicitação ao servidor.

Use a função interna apropriada se precisar calcular o valor de um natural logaritmo mas ocorre ao trabalhar com dados no popular editor de planilhas Microsoft Office Excel. Esta função é chamada aqui usando a notação convencional como logaritmo e em maiúsculas - LN. Selecione a célula na qual o resultado do cálculo deve ser exibido e insira um sinal de igual - é assim que as entradas nas células contidas na subseção "Padrão" da seção "Todos os programas" do menu principal devem começar nesta tabela editor. Mude a calculadora para um modo mais funcional pressionando o atalho de teclado Alt + 2. Em seguida, insira o valor, natural logaritmo que você deseja calcular e clique no botão na interface do programa, marcado com os símbolos ln. O aplicativo realizará o cálculo e exibirá o resultado.

Vídeos relacionados

O logaritmo do número b na base a é o expoente ao qual você precisa elevar o número a para obter o número b.

Se então .

O logaritmo é extremamente quantidade matemática importante, uma vez que o cálculo logarítmico permite não só resolver equações exponenciais, mas também operar com indicadores, diferenciar funções exponenciais e logarítmicas, integrá-las e levar a uma forma mais aceitável de ser calculada.

Em contato com

Todas as propriedades dos logaritmos estão diretamente relacionadas às propriedades funções exponenciais. Por exemplo, o fato de significa que:

Deve-se notar que, ao resolver problemas específicos, as propriedades dos logaritmos podem ser mais importantes e úteis do que as regras para trabalhar com potências.

Aqui estão algumas identidades:

Aqui estão as principais expressões algébricas:

;

Atenção! só pode existir para x>0, x≠1, y>0.

Vamos tentar entender a questão do que são logaritmos naturais. Interesse separado em matemática representam dois tipos- o primeiro tem o número "10" na base, e chama-se " logaritmo decimal". O segundo é chamado natural. A base do logaritmo natural é o número e. É sobre ele que falaremos em detalhes neste artigo.

Designações:

lg x - decimal;
ln x - natural.

Usando a identidade, podemos ver que ln e = 1, assim como lg 10=1.

gráfico de log natural

Construímos um gráfico do logaritmo natural na forma clássica padrão por pontos. Se desejar, você pode verificar se estamos construindo uma função corretamente examinando a função. No entanto, faz sentido aprender a construí-lo "manualmente" para saber como calcular corretamente o logaritmo.

Função: y = log x. Vamos escrever uma tabela de pontos pelos quais o gráfico passará:

Vamos explicar porque escolhemos tais valores do argumento x. É tudo uma questão de identidade: Para um logaritmo natural, essa identidade ficará assim:

Por conveniência, podemos tomar cinco pontos de referência:

;

Assim, contar logaritmos naturais é uma tarefa bastante simples, além disso, simplifica o cálculo de operações com potências, transformando-as em multiplicação normal.

Tendo construído um gráfico por pontos, obtemos um gráfico aproximado:

O domínio do logaritmo natural (ou seja, todos os valores válidos do argumento X) são todos os números maiores que zero.

Atenção! O domínio de definição do logaritmo natural inclui apenas números positivos! O escopo não inclui x=0. Isso é impossível com base nas condições de existência do logaritmo.

O intervalo de valores (ou seja, todos os valores válidos da função y = ln x) são todos os números no intervalo.

limite de log natural

Estudando o gráfico, surge a pergunta - como a função se comporta quando y<0.

Obviamente, o gráfico da função tende a cruzar o eixo y, mas não poderá fazer isso, pois o logaritmo natural de x<0 не существует.

limite natural registro pode ser escrito assim:

Fórmula para mudar a base de um logaritmo

Lidar com um logaritmo natural é muito mais fácil do que lidar com um logaritmo que tem uma base arbitrária. É por isso que tentaremos aprender como reduzir qualquer logaritmo a um natural, ou expressá-lo em uma base arbitrária por meio de logaritmos naturais.

Vamos começar com a identidade logarítmica:

Então qualquer número ou variável y pode ser representado como:

onde x é qualquer número (positivo de acordo com as propriedades do logaritmo).

Esta expressão pode ser logaritmizada em ambos os lados. Vamos fazer isso com uma base arbitrária z:

Vamos usar a propriedade (só que ao invés de "with" temos uma expressão):

A partir daqui, obtemos a fórmula universal:

Em particular, se z=e, então:

Conseguimos representar o logaritmo para uma base arbitrária através da razão de dois logaritmos naturais.

Nós resolvemos problemas

Para navegar melhor em logaritmos naturais, considere exemplos de vários problemas.

Tarefa 1. É necessário resolver a equação ln x = 3.

Solução: Usando a definição do logaritmo: se , então , obtemos:

Tarefa 2. Resolva a equação (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3.

Solução: Usando a definição do logaritmo: se , então , obtemos:

Mais uma vez, aplicamos a definição do logaritmo:

Por isso:

Você pode calcular a resposta aproximadamente ou pode deixá-la neste formulário.

Tarefa 3. Resolva a equação.

Solução: Vamos fazer uma substituição: t = ln x. Então a equação terá a seguinte forma:

Temos uma equação quadrática. Vamos encontrar seu discriminante:

Primeira raiz da equação:

Segunda raiz da equação:

Lembrando que fizemos a substituição t = ln x, obtemos:

Em estatística e teoria da probabilidade, quantidades logarítmicas são muito comuns. Isso não é surpreendente, porque o número e - geralmente reflete a taxa de crescimento de valores exponenciais.

Em ciência da computação, programação e teoria da computação, logaritmos são bastante comuns, por exemplo, para armazenar N bits na memória.

Nas teorias de fractais e dimensões, os logaritmos são constantemente usados, pois as dimensões dos fractais são determinadas apenas com a ajuda deles.

Na mecânica e na física não há nenhuma seção onde os logaritmos não foram usados. A distribuição barométrica, todos os princípios da termodinâmica estatística, a equação de Tsiolkovsky e assim por diante são processos que só podem ser descritos matematicamente usando logaritmos.

Em química, o logaritmo é usado nas equações de Nernst, descrições de processos redox.

Surpreendentemente, até na música, para descobrir o número de partes de uma oitava, usam-se logaritmos.

Função de logaritmo natural y=ln x suas propriedades

Prova da principal propriedade do logaritmo natural

O que é um logaritmo?

Atenção!
Existem adicionais
material na Seção Especial 555.
Para aqueles que fortemente "não muito ..."
E para quem "muito...")

O que é um logaritmo? Como resolver logaritmos? Essas perguntas confundem muitos graduados. Tradicionalmente, o tema dos logaritmos é considerado complexo, incompreensível e assustador. Especialmente - equações com logaritmos.

Isso não é absolutamente verdade. Absolutamente! Não acredita? Multar. Agora, por cerca de 10 a 20 minutos você:

1. Entenda o que é um logaritmo.

2. Aprenda a resolver toda uma classe de equações exponenciais. Mesmo que você nunca tenha ouvido falar deles.

3. Aprenda a calcular logaritmos simples.

Além disso, para isso você só precisa saber a tabuada e como um número é elevado a uma potência ...

Eu sinto que você duvida ... Bem, mantenha o tempo! Ir!

Primeiro, resolva mentalmente a seguinte equação: