Derivada 5x 4. Derivada de e elevado a x e função exponencial

Derivação da fórmula para a derivada de uma função de potência (x à potência de a). Derivadas de raízes de x são consideradas. A fórmula para a derivada de uma função de potência de ordem superior. Exemplos de cálculo de derivadas.

A derivada de x à potência de a é a vezes x à potência de a menos um:
(1) .

A derivada da n-ésima raiz de x elevado à m-ésima potência é:
(2) .

Derivação da fórmula para a derivada de uma função de potência

Caso x > 0

Considere uma função potência da variável x com expoente a:
(3) .
Aqui a é um número real arbitrário. Vamos considerar o caso primeiro.

Para encontrar a derivada da função (3), usamos as propriedades da função potência e a transformamos na seguinte forma:
.

Agora encontramos a derivada aplicando:
;
.
Aqui .

A fórmula (1) está provada.

Derivação da fórmula para a derivada da raiz do grau n de x ao grau m

Agora considere uma função que é a raiz da seguinte forma:
(4) .

Para encontrar a derivada, convertemos a raiz em uma função de potência:
.
Comparando com a fórmula (3), vemos que
.
Então
.

Pela fórmula (1) encontramos a derivada:
(1) ;
;
(2) .

Na prática, não há necessidade de memorizar a fórmula (2). É muito mais conveniente primeiro converter as raízes em funções de potência e depois encontrar suas derivadas usando a fórmula (1) (veja exemplos no final da página).

Caso x = 0

Se , então a função potência também é definida para o valor da variável x = 0 . Vamos encontrar a derivada da função (3) para x = 0 . Para fazer isso, usamos a definição de derivada:
.

Substituir x = 0 :
.
Neste caso, por derivada queremos dizer o limite à direita para o qual .

Então encontramos:
.
A partir disso, pode-se ver que em , .
No , .
No , .
Este resultado também é obtido pela fórmula (1):
(1) .
Portanto, a fórmula (1) também é válida para x = 0 .

caso x< 0

Considere a função (3) novamente:
(3) .
Para alguns valores da constante a , também é definido para valores negativos da variável x . Ou seja, seja a um número racional. Então pode ser representado como uma fração irredutível:
,
onde m e n são inteiros sem divisor comum.

Se n for ímpar, então a função exponencial também é definida para valores negativos da variável x. Por exemplo, para n = 3 e m = 1 temos a raiz cúbica de x:
.
Também é definido para valores negativos de x .

Vamos encontrar a derivada da função potência (3) para e para valores racionais da constante a , para a qual é definida. Para fazer isso, representamos x na seguinte forma:
.
Então ,
.
Encontramos a derivada tirando a constante do sinal da derivada e aplicando a regra de diferenciação de uma função complexa:

.
Aqui . Mas
.
Porque então
.
Então
.
Ou seja, a fórmula (1) também é válida para:
(1) .

Derivadas de ordens superiores

Agora encontramos as derivadas de ordem superior da função de potência
(3) .
Já encontramos a derivada de primeira ordem:
.

Tirando a constante a do sinal da derivada, encontramos a derivada de segunda ordem:
.
Da mesma forma, encontramos derivadas de terceira e quarta ordens:
;

.

Daqui fica claro que derivada de uma enésima ordem arbitrária tem a seguinte forma:
.

notar que se a é um número natural, , então a derivada n é constante:
.
Então todas as derivadas subsequentes são iguais a zero:
,
no .

Exemplos de Derivados

Exemplo

Encontre a derivada da função:
.

Solução

Vamos converter as raízes em potências:
;
.
Então a função original assume a forma:
.

Encontramos derivadas de graus:
;
.
A derivada de uma constante é zero:
.

O cálculo da derivada é frequentemente encontrado em USE atribuições. Esta página contém uma lista de fórmulas para encontrar derivadas.

regras de diferenciação

1. (k⋅f(x))′=k⋅f′(x).
2. (f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).
3. (f(x)⋅ g(x))′=f′(x)⋅ g(x)+f(x)⋅ g′(x).
4. Derivada de uma função complexa. Se y=F(u) e u=u(x), então a função y=f(x)=F(u(x)) é chamada de função complexa de x. É igual a y′(x)=Fu′⋅ ux′.
5. Derivada de uma função implícita. A função y=f(x) é chamada de função implícita dada pela relação F(x,y)=0 se F(x,f(x))≡0.
6. Derivada da função inversa. Se g(f(x))=x, então a função g(x) é chamada de função inversa para a função y=f(x).
7. Derivada de uma função dada parametricamente. Sejam x e y dados como funções da variável t: x=x(t), y=y(t). Diz-se que y=y(x) é uma função definida parametricamente no intervalo x∈ (a;b) se neste intervalo a equação x=x(t) pode ser expressa como t=t(x) e a função y=y(t(x))=y(x).
8. Derivada da função exponencial. É encontrado levando o logaritmo à base do logaritmo natural.

Aconselhamos que guarde o link, pois esta tabela pode ser necessária mais vezes.

Aplicativo

A solução do derivado para o site para consolidar o material abordado por alunos e escolares. Calcular a derivada de uma função em poucos segundos não é difícil se você usar nosso serviço de solução de problemas online. Liderar análise detalhada cada terceiro aluno poderá estudar minuciosamente em uma aula prática. Muitas vezes somos abordados pelo departamento do departamento relevante para a promoção da matemática em instituições educacionais países. Nesse caso, como não falar da solução da derivada online para espaço fechado sequências numéricas. Muitos indivíduos ricos podem expressar sua perplexidade. Mas enquanto isso, os matemáticos não ficam parados e trabalham duro. A mudança nos parâmetros de entrada de acordo com as características lineares será aceita pela calculadora de derivadas principalmente devido à supremacia das posições descendentes dos cubos. O resultado é inevitável como superfície. Como dados iniciais, a derivada online elimina a necessidade de tomar medidas desnecessárias. Exceto para trabalhos de casa fictícios. Além do fato de que resolver derivadas online é um aspecto necessário e importante da aprendizagem da matemática, os alunos muitas vezes não se lembram de problemas do passado. O aluno, como uma criatura preguiçosa, entende isso. Mas os alunos pessoas engraçadas! Ou faça de acordo com as regras, ou a derivada da função em um plano inclinado pode dar aceleração a um ponto material. Vamos direcionar o vetor do feixe espacial descendente para algum lugar. Na resposta desejada, encontrar a derivada parece abstrato direção teórica devido à instabilidade do sistema matemático. Pense em uma proporção de números como uma sequência de opções não utilizadas. O canal de comunicação foi reabastecido com a quinta linha ao longo do vetor descendente a partir do ponto da bifurcação fechada do cubo. No plano dos espaços curvos, resolver a derivada online nos leva a uma conclusão que nos fez pensar no século passado as maiores mentes planetas. No decorrer dos eventos do campo da matemática, cinco fundamentalmente fatores importantes, contribuindo para melhorar a posição da escolha da variável. Portanto, a lei dos pontos diz que a derivada online não é calculada em detalhes em todos os casos, apenas um momento de progressão fiel pode ser uma exceção. A previsão nos levou a nova rodada desenvolvimento. Precisamos de um resultado. Na linha da inclinação matemática passada sob a superfície, a calculadora das derivadas do modo está na área da interseção dos produtos no conjunto de flexão. Resta analisar a diferenciação da função em seu ponto independente próximo à vizinhança epsilon. Isso pode ser visto por todos na prática. Como resultado, haverá algo a decidir na próxima etapa da programação. O aluno precisa da derivada online como sempre, independentemente dos estudos imaginários que está praticando. Acontece que a função multiplicada por uma constante não altera a solução da derivada online direção geral movimento de um ponto material, mas caracteriza o aumento da velocidade em linha reta. Nesse sentido, será útil aplicar nossa calculadora de derivadas e calcular todos os valores de uma função em todo o conjunto de sua definição. Simplesmente não há necessidade de estudar as ondas de força do campo gravitacional. Em nenhum caso a solução de derivação online mostrará a inclinação da viga de saída, mas apenas em casos raros, quando for realmente necessário, os universitários podem imaginar isso. Nós investigamos o principal. O valor do menor rotor é previsível. Aplique ao resultado as linhas voltadas para a direita que descrevem a bola, mas calculadora online derivados, esta é a base para figuras de força especial e dependência não linear. O relatório do projeto de matemática está pronto. Diferença de características pessoais menores números e a derivada da função ao longo do eixo y trará a concavidade da mesma função para a altura. Existe uma direção - existe uma conclusão. É mais fácil colocar a teoria em prática. Existe uma proposta dos alunos sobre o momento do início do estudo. Precisa da resposta de um professor. Novamente, como na posição anterior, o sistema matemático não é regulado com base em uma ação que ajudará a encontrar a derivada. Como na versão semi-linear inferior, a derivada online indicará em detalhes a identificação da solução de acordo com o lei condicional degenerada. Basta apresentar a ideia de calcular fórmulas. A diferenciação linear de uma função rejeita a verdade da solução simplesmente apresentando variações positivas irrelevantes. A importância dos sinais de comparação será considerada como uma quebra contínua da função ao longo do eixo. Essa é a importância da conclusão mais consciente, segundo o aluno, em que a derivada online é algo mais do que um exemplo fiel de análise matemática. O raio de um círculo curvo no espaço euclidiano, ao contrário, dava ao calculador de derivadas uma representação natural da troca de problemas decisivos por estabilidade. O melhor método foi encontrado. Era mais fácil subir de nível na tarefa. Deixe a aplicabilidade da proporção de diferença independente levar à solução das derivadas online. A solução gira em torno do eixo x, descrevendo a figura de um círculo. Existe uma saída, e ela se baseia em pesquisas teoricamente apoiadas por universitários, com as quais todos aprendem, e mesmo nesses momentos há uma derivação da função. Encontramos um caminho para o progresso e os alunos o confirmaram. Podemos nos dar ao luxo de encontrar a derivada sem ir além de uma abordagem não natural para transformar o sistema matemático. O sinal proporcional esquerdo cresce exponencialmente como a representação matemática da calculadora de derivadas on-line devido à circunstância desconhecida de fatores lineares no eixo y infinito. Matemáticos de todo o mundo provaram ser excepcionais processo de produção. Existe um menor quadrado dentro de um círculo de acordo com a descrição da teoria. Mais uma vez, a derivada online elaborará nosso palpite sobre o que pode ter influenciado a opinião teoricamente refinada em primeiro lugar. Houve opiniões de natureza diferente do relatório que analisamos. A atenção separada pode não acontecer com os alunos de nossas faculdades, mas apenas com matemáticos inteligentes e avançados para os quais a diferenciação de uma função é apenas uma desculpa. O significado mecânico da derivada é muito simples. A força de elevação é calculada como uma derivada online para espaços estacionários descendentes no tempo. Obviamente, a calculadora de derivadas é um processo rigoroso de descrição do problema da degenerescência de uma transformação artificial como um corpo amorfo. A primeira derivada fala de uma mudança no movimento de um ponto material. O espaço tridimensional é obviamente observado no contexto de tecnologias especialmente treinadas para resolver derivadas online; na verdade, está em todos os colóquios sobre o tema da disciplina matemática. A segunda derivada caracteriza a mudança na velocidade de um ponto material e determina a aceleração. A abordagem meridiana baseada no uso de uma transformação afim leva a derivada de uma função em um ponto do domínio de definição dessa função para um novo nível. Uma calculadora online de derivadas não pode ficar sem números e notação simbólica em alguns casos pelo momento executável certo, exceto pelo arranjo transformável das coisas da tarefa. Surpreendentemente, há uma segunda aceleração de um ponto material, isso caracteriza a mudança na aceleração. Em pouco tempo, começaremos a estudar a solução da derivada online, mas assim que um determinado marco de conhecimento for alcançado, nosso aluno interromperá esse processo. O melhor meio de networking é conversar ao vivo sobre um tópico matemático. Existem princípios que não devem ser violados em hipótese alguma, por mais difícil que seja a tarefa. É útil encontrar a derivada online a tempo e sem erros. Isso levará a uma nova posição da expressão matemática. O sistema é estável. significado físico derivativo não é tão popular quanto mecânico. É improvável que alguém se lembre de como a derivada online trouxe em detalhes no plano o contorno das linhas da função à normal do triângulo adjacente ao eixo x. O homem merece um grande papel na pesquisa do século passado. Façamos em três etapas elementares a diferenciação da função nos pontos, tanto do domínio de definição como no infinito. Estará em escrita apenas no campo de estudo, mas pode ocupar o lugar do vetor principal em matemática e teoria dos números, assim que o que acontecer conectará a calculadora de derivadas online com o problema. Haveria uma razão, mas haverá uma razão para elaborar uma equação. É muito importante ter em mente todos os parâmetros de entrada. O melhor nem sempre é levado na testa, por trás disso há uma quantidade colossal de trabalho as melhores mentes que sabia como a derivada online é calculada no espaço. Desde então, a convexidade tem sido considerada uma propriedade de uma função contínua. Ainda assim, é melhor primeiro definir a tarefa de resolver derivativos online no menor tempo possível. Assim a solução estará completa. Além das normas não cumpridas, isso não é considerado suficiente. Inicialmente, quase todos os alunos propõem apresentar um método simples sobre como a derivada de uma função causa um algoritmo de crescimento controverso. Na direção do feixe ascendente. Faz sentido como posição geral. Anteriormente, eles marcavam o início da conclusão de uma ação matemática específica, mas hoje será o contrário. Talvez a solução da derivada online levante o problema novamente e aceitemos uma opinião comum sobre sua preservação na discussão da reunião de professores. Esperamos a compreensão de todos os lados dos participantes da reunião. O significado lógico é concluído na descrição da calculadora de derivadas na ressonância de números sobre a sequência de apresentação do pensamento do problema, que foi respondido no século passado pelos grandes cientistas do mundo. Isso ajudará a extrair uma variável complexa da expressão convertida e encontrar a derivada online para executar uma ação massiva do mesmo tipo. A verdade é muito melhor do que adivinhações. valor mais baixo na moda. O resultado não demorará a chegar ao usar um serviço exclusivo para a localização mais precisa, para o qual existe um derivado online em detalhes. Indiretamente, mas direto ao ponto, como disse um sábio, uma calculadora de derivativos online foi criada a pedido de muitos alunos de diferentes cidades do sindicato. Se houver uma diferença, por que decidir duas vezes. vetor especificado está do mesmo lado da normal. Em meados do século passado, a diferenciação de uma função não era de forma alguma percebida como hoje. Graças ao desenvolvimento em andamento, surgiu a matemática online. Com o tempo, os alunos esquecem de dar crédito às disciplinas matemáticas. A solução da derivada online vai desafiar a nossa tese, justamente baseada na aplicação da teoria, suportada pelo conhecimento prático. Irá além do valor existente do fator de apresentação e escreverá a fórmula de forma explícita para a função. Acontece que você precisa encontrar a derivada online agora mesmo sem usar nenhuma calculadora, porém, você sempre pode recorrer ao truque do aluno e ainda usar tal serviço como um site. Assim, o aluno economizará muito tempo copiando exemplos de um rascunho de caderno para um formulário final. Se não houver contradições, use o serviço de solução passo a passo para exemplos tão complexos.

Primeiro nível

Função derivada. Guia completo (2019)

Imagine uma estrada reta passando por uma área montanhosa. Ou seja, sobe e desce, mas não vira à direita nem à esquerda. Se o eixo for direcionado horizontalmente ao longo da estrada e verticalmente, a linha da estrada será muito semelhante ao gráfico de alguma função contínua:

O eixo é um certo nível de altura zero, na vida usamos o nível do mar como ele.

Avançando por essa estrada, também estamos subindo ou descendo. Também podemos dizer: quando o argumento muda (movendo-se ao longo do eixo das abcissas), o valor da função muda (movendo-se ao longo do eixo das ordenadas). Agora vamos pensar em como determinar a "inclinação" da nossa estrada? Qual pode ser esse valor? Muito simples: quanto a altura mudará ao avançar uma certa distância. De fato, em diferentes trechos da estrada, avançando (ao longo da abcissa) um quilômetro, subiremos ou desceremos um número diferente de metros em relação ao nível do mar (ao longo da ordenada).

Indicamos o progresso para frente (leia-se "delta x").

A letra grega (delta) é comumente usada em matemática como um prefixo que significa "mudança". Isto é - esta é uma mudança de magnitude, - uma mudança; então, o que é? Isso mesmo, uma mudança de tamanho.

Importante: a expressão é uma única entidade, uma variável. Você nunca deve arrancar o "delta" do "x" ou de qualquer outra letra! Ou seja, por exemplo, .

Então, avançamos, horizontalmente, em frente. Se compararmos a linha da estrada com o gráfico de uma função, como denotamos a elevação? Certamente, . Ou seja, quando avançamos, subimos mais alto.

É fácil calcular o valor: se no início estávamos em altura e depois de nos movermos em altura, então. Se o ponto final for menor que o ponto inicial, será negativo - isso significa que não estamos subindo, mas descendo.

De volta a "inclinação": este é um valor que indica quanto (inclinadamente) a altura aumenta ao avançar por unidade de distância:

Suponha que em algum trecho do caminho, ao avançar km, a estrada sobe km. Então a inclinação neste lugar é igual. E se a estrada, ao avançar m, afundasse km? Então a inclinação é igual.

Agora considere o topo de uma colina. Se você pegar o início do trecho meio quilômetro até o topo, e o final - meio quilômetro depois dele, verá que a altura é quase a mesma.

Ou seja, de acordo com nossa lógica, verifica-se que a inclinação aqui é quase igual a zero, o que claramente não é verdade. Muita coisa pode mudar a apenas alguns quilômetros de distância. Áreas menores precisam ser consideradas para uma estimativa mais adequada e precisa da declividade. Por exemplo, se você medir a mudança de altura ao mover um metro, o resultado será muito mais preciso. Mas mesmo essa precisão pode não ser suficiente para nós - afinal, se houver um poste no meio da estrada, podemos simplesmente passar por ele. Que distância devemos escolher então? Centímetro? Milímetro? Menos é melhor!

EM Vida real medir a distância até o milímetro mais próximo é mais do que suficiente. Mas os matemáticos sempre buscam a perfeição. Portanto, o conceito foi infinitesimal, ou seja, o valor do módulo é menor que qualquer número que possamos nomear. Por exemplo, você diz: um trilionésimo! Quanto menos? E você divide esse número por - e será ainda menor. E assim por diante. Se quisermos escrever que o valor é infinitamente pequeno, escrevemos assim: (lemos “x tende a zero”). É muito importante entender que este número não é igual a zero! Mas muito perto disso. Isso significa que ele pode ser dividido em.

O conceito oposto a infinitamente pequeno é infinitamente grande (). Você provavelmente já o encontrou quando estava trabalhando com desigualdades: esse número é maior em módulo do que qualquer número que você possa imaginar. Se você encontrar o maior número possível, basta multiplicá-lo por dois e obterá ainda mais. E o infinito é ainda mais do que aquilo que acontece. De fato, infinitamente grande e infinitamente pequeno são inversos entre si, ou seja, at, e vice-versa: at.

Agora de volta à nossa estrada. A inclinação idealmente calculada é a inclinação calculada para um segmento infinitamente pequeno do caminho, ou seja:

Observo que com um deslocamento infinitamente pequeno, a mudança na altura também será infinitamente pequena. Mas deixe-me lembrá-lo de que infinitamente pequeno não significa igual a zero. Se você dividir números infinitesimais entre si, poderá obter um número completamente comum, por exemplo. Ou seja, um valor pequeno pode ser exatamente duas vezes maior que outro.

Por que tudo isso? A estrada, a inclinação ... Não vamos a um rali, mas estamos aprendendo matemática. E na matemática tudo é exatamente o mesmo, apenas chamado de forma diferente.

O conceito de derivada

A derivada de uma função é a razão entre o incremento da função e o incremento do argumento em um incremento infinitesimal do argumento.

Incremento em matemática chama-se mudança. Quanto o argumento () mudou ao mover ao longo do eixo é chamado incremento de argumento e denotado por Quanto a função (altura) mudou ao avançar ao longo do eixo por uma distância é chamada incremento de função e está marcado.

Então, a derivada de uma função é a relação com quando. Indicamos a derivada com a mesma letra da função, apenas com um traço do canto superior direito: ou simplesmente. Então, vamos escrever a fórmula da derivada usando estas notações:

Como na analogia com a estrada, aqui, quando a função aumenta, a derivada é positiva e, quando diminui, é negativa.

Mas a derivada é igual a zero? Certamente. Por exemplo, se estivermos dirigindo em uma estrada horizontal plana, a inclinação é zero. De fato, a altura não muda nada. Assim com a derivada: a derivada de uma função constante (constante) é igual a zero:

já que o incremento de tal função é zero para qualquer.

Vamos pegar o exemplo do topo da colina. Descobriu-se que era possível dispor as extremidades do segmento em lados opostos do vértice de forma que a altura nas extremidades fosse a mesma, ou seja, o segmento era paralelo ao eixo:

Mas grandes segmentos são um sinal de medição imprecisa. Vamos elevar nosso segmento paralelo a si mesmo, então seu comprimento diminuirá.

No final, quando estivermos infinitamente perto do topo, o comprimento do segmento se tornará infinitamente pequeno. Mas, ao mesmo tempo, permaneceu paralelo ao eixo, ou seja, a diferença de altura em suas extremidades é igual a zero (não tende, mas é igual). Então a derivada

Isso pode ser entendido da seguinte forma: quando estamos bem no topo, uma pequena mudança para a esquerda ou para a direita altera nossa altura de forma insignificante.

Há também uma explicação puramente algébrica: à esquerda do topo, a função aumenta e à direita, diminui. Como já descobrimos anteriormente, quando a função aumenta, a derivada é positiva e, quando diminui, é negativa. Mas muda suavemente, sem saltos (porque a estrada não muda sua inclinação bruscamente em nenhum lugar). Portanto, deve haver entre valores negativos e positivos. Será onde a função nem aumenta nem diminui - no ponto do vértice.

O mesmo vale para o vale (a área onde a função diminui à esquerda e aumenta à direita):

Um pouco mais sobre incrementos.

Então, mudamos o argumento para um valor. Mudamos de qual valor? O que ele (argumento) agora se tornou? Podemos escolher qualquer ponto e agora vamos dançar a partir dele.

Considere um ponto com uma coordenada. O valor da função nele é igual. Então fazemos o mesmo incremento: aumentamos a coordenada em. Qual é o argumento agora? Muito fácil: . Qual é o valor da função agora? Onde vai o argumento, vai a função: . E quanto ao incremento de função? Nada de novo: este ainda é o valor pelo qual a função mudou:

Pratique encontrar incrementos:

1. Encontre o incremento da função em um ponto com um incremento do argumento igual a.
2. O mesmo para uma função em um ponto.

Soluções:

EM pontos diferentes com o mesmo incremento do argumento, o incremento da função será diferente. Isso significa que a derivada em cada ponto tem a sua própria (discutimos isso no início - a inclinação da estrada em diferentes pontos é diferente). Portanto, quando escrevemos uma derivada, devemos indicar em que ponto:

Função liga-desliga.

Uma função de potência é chamada de função em que o argumento é até certo ponto (lógico, certo?).

E - em qualquer medida: .

O caso mais simplesé quando o expoente é:

Vamos encontrar sua derivada em um ponto. Lembre-se da definição de derivada:

Portanto, o argumento muda de para. Qual é o incremento da função?

Incremento é. Mas a função em qualquer ponto é igual ao seu argumento. É por isso:

A derivada é:

A derivada de é:

b) Agora considere a função quadrática (): .

Agora vamos lembrar disso. Isso significa que o valor do incremento pode ser desprezado, pois é infinitamente pequeno e, portanto, insignificante em relação a outro termo:

Então, temos outra regra:

c) Continuamos a série lógica: .

Essa expressão pode ser simplificada de várias maneiras: abra o primeiro colchete usando a fórmula para multiplicação abreviada do cubo da soma ou decomponha toda a expressão em fatores usando a fórmula da diferença de cubos. Tente fazer você mesmo em qualquer uma das maneiras sugeridas.

Então, eu tenho o seguinte:

E vamos nos lembrar disso novamente. Isso significa que podemos desprezar todos os termos que contêm:

Nós temos: .

d) Regras semelhantes podem ser obtidas para grandes potências:

e) Acontece que esta regra pode ser generalizada para uma função de potência com um expoente arbitrário, nem mesmo um inteiro:

(2)

Você pode formular a regra com as palavras: “o grau é apresentado como um coeficiente e depois diminui”.

Vamos provar essa regra mais tarde (quase no final). Agora vamos ver alguns exemplos. Encontre a derivada das funções:

1. (de duas maneiras: pela fórmula e usando a definição da derivada - contando o incremento da função);

1. . Acredite ou não, esta é uma função de potência. Se você tiver perguntas como “Como é? E onde está o diploma? ”, Lembre-se do tópico“ ”!
   Sim, sim, a raiz também é um grau, apenas uma fração:.
   Então nosso Raiz quadradaé apenas um grau com um expoente:
   .
   Estamos procurando a derivada usando a fórmula aprendida recentemente:

   Se neste ponto ficou claro novamente, repita o tópico "" !!! (cerca de um grau com um indicador negativo)

2. . Agora o expoente:

   E agora através da definição (você já esqueceu?):
   ;
   .
   Agora, como sempre, negligenciamos o termo que contém:
   .

3. . Combinação dos casos anteriores: .

funções trigonométricas.

Aqui vamos usar um fato da matemática superior:

Quando expressão.

Você aprenderá a prova no primeiro ano do instituto (e para chegar lá, você precisa passar bem no exame). Agora vou apenas mostrar graficamente:

Vemos que quando a função não existe - o ponto no gráfico é perfurado. Mas quanto mais próximo do valor, mais próxima está a função, esse é o próprio “esforço”.

Além disso, você pode verificar esta regra com uma calculadora. Sim, sim, não se acanhe, leve uma calculadora, ainda não estamos no exame.

Então vamos tentar: ;

Não se esqueça de mudar a calculadora para o modo Radianos!

etc. Vemos que quanto menor o significado mais próximo Relação para.

a) Considere uma função. Como de costume, encontramos seu incremento:

Vamos transformar a diferença de senos em um produto. Para fazer isso, usamos a fórmula (lembre-se do tópico ""):.

Agora a derivada:

Vamos fazer uma substituição: . Então, para infinitamente pequeno, também é infinitamente pequeno: . A expressão para assume a forma:

E agora nos lembramos disso com a expressão. E também, e se um valor infinitamente pequeno puder ser desprezado na soma (isto é, at).

Assim, obtemos a seguinte regra: a derivada do seno é igual ao cosseno:

Estes são derivados básicos (“tabela”). Aqui estão eles em uma lista:

Mais tarde, adicionaremos mais alguns a eles, mas estes são os mais importantes, pois são usados ​​com mais frequência.

Prática:

1. Encontre a derivada de uma função em um ponto;
2. Encontre a derivada da função.

Soluções:

1. Primeiro encontramos a derivada em visão geral, e então substitua seu valor por ele:
   ;
   .
2. Aqui temos algo semelhante a uma função de potência. Vamos tentar trazê-la para
   visão normal:
   .
   Ok, agora você pode usar a fórmula:
   .
   .
3. . Eeeeeee….. O que é isso????

Ok, você está certo, ainda não sabemos como encontrar essas derivadas. Aqui temos uma combinação de vários tipos de funções. Para trabalhar com eles, você precisa aprender mais algumas regras:

Expoente e logaritmo natural.

Existe tal função na matemática, cuja derivada para qualquer é igual ao valor da própria função para o mesmo. É chamado de "expoente" e é uma função exponencial

A base dessa função - uma constante - é uma fração decimal infinita, ou seja, um número irracional (como). É chamado de "número de Euler", e é por isso que é indicado por uma letra.

Então a regra é:

É muito fácil de lembrar.

Bem, não iremos longe, consideraremos imediatamente a função inversa. Qual é a inversa da função exponencial? Logaritmo:

No nosso caso, a base é um número:

Esse logaritmo (isto é, um logaritmo com uma base) é chamado de “natural” e usamos uma notação especial para ele: escrevemos em vez disso.

O que é igual a? Claro, .

A derivada do logaritmo natural também é muito simples:

Exemplos:

1. Encontre a derivada da função.
2. Qual é a derivada da função?

Respostas: Expositor e Logaritmo natural- as funções são exclusivamente simples em termos da derivada. Funções exponenciais e logarítmicas com qualquer outra base terão uma derivada diferente, que analisaremos mais adiante, após passarmos pelas regras de diferenciação.

regras de diferenciação

Que regras? Mais um termo novo, de novo?!...

Diferenciaçãoé o processo de encontrar a derivada.

Só e tudo. Qual é outra palavra para esse processo? Não proizvodnovanie... O diferencial da matemática é chamado o próprio incremento da função em. Este termo vem do latim differentia - diferença. Aqui.

Ao derivar todas essas regras, usaremos duas funções, por exemplo, e. Também precisaremos de fórmulas para seus incrementos:

Existem 5 regras no total.

A constante é retirada do sinal da derivada.

Se - algum número constante (constante), então.

Obviamente, essa regra também vale para a diferença: .

Vamos provar isso. Deixe, ou mais fácil.

Exemplos.

Encontre derivadas de funções:

1. no ponto;
2. no ponto;
3. no ponto;
4. no ponto.

Soluções:

1. (a derivada é a mesma em todos os pontos, pois é Função linear, lembrar?);

Derivado de um produto

Tudo é semelhante aqui: introduzimos uma nova função e encontramos seu incremento:

Derivado:

Exemplos:

1. Encontre derivadas de funções e;
2. Encontre a derivada de uma função em um ponto.

Soluções:

Derivada da função exponencial

Agora seu conhecimento é suficiente para aprender a encontrar a derivada de qualquer função exponencial, e não apenas o expoente (você já esqueceu o que é?).

Então, onde está algum número.

Já sabemos a derivada da função, então vamos tentar trazer nossa função para uma nova base:

Para isso usamos regra simples: . Então:

Bem, funcionou. Agora tente encontrar a derivada, e não se esqueça que esta função é complexa.

Ocorrido?

Aqui, verifique você mesmo:

A fórmula acabou sendo muito parecida com a derivada do expoente: como era, resta apenas um fator que apareceu, que é apenas um número, mas não uma variável.

Exemplos:
Encontre derivadas de funções:

Respostas:

Este é apenas um número que não pode ser calculado sem uma calculadora, ou seja, não há como escrevê-lo de maneira mais forma simples. Portanto, na resposta é deixado neste formulário.

Derivada de uma função logarítmica

Aqui é parecido: você já conhece a derivada do logaritmo natural:

Portanto, para encontrar um arbitrário do logaritmo com uma base diferente, por exemplo:

Precisamos trazer esse logaritmo para a base. Como mudar a base de um logaritmo? Espero que você se lembre desta fórmula:

Só agora, em vez de escreveremos:

O denominador acabou sendo apenas uma constante (um número constante, sem variável). A derivada é muito simples:

Derivadas das funções exponenciais e logarítmicas quase nunca são encontradas no exame, mas não será supérfluo conhecê-las.

Derivada de uma função complexa.

O que é uma "função complexa"? Não, isso não é um logaritmo e não é um arco tangente. Essas funções podem ser difíceis de entender (embora se o logaritmo parecer difícil para você, leia o tópico "Logaritmos" e tudo dará certo), mas em termos de matemática, a palavra "complexo" não significa "difícil".

Imagine uma pequena esteira: duas pessoas estão sentadas fazendo algumas ações com alguns objetos. Por exemplo, o primeiro envolve uma barra de chocolate em um invólucro e o segundo amarra com uma fita. Acontece que um objeto tão composto: uma barra de chocolate embrulhada e amarrada com uma fita. Para comer uma barra de chocolate, você precisa fazer as etapas opostas na ordem inversa.

Vamos criar um pipeline matemático semelhante: primeiro encontraremos o cosseno de um número e, em seguida, elevaremos ao quadrado o número resultante. Então, eles dão um número (chocolate), eu acho o cosseno (embalagem), e aí você acerta o quadrado (amarra com uma fita). O que aconteceu? Função. Este é um exemplo de função complexa: quando, para encontrar seu valor, fazemos a primeira ação diretamente com a variável, e depois outra segunda ação com o que aconteceu como resultado da primeira.

Podemos fazer as mesmas ações na ordem inversa: primeiro você eleva ao quadrado e depois procuro o cosseno do número resultante:. É fácil adivinhar que o resultado quase sempre será diferente. Recurso importante funções complexas: quando você altera a ordem das ações, a função muda.

Em outras palavras, Uma função complexa é uma função cujo argumento é outra função: .

Para o primeiro exemplo, .

Segundo exemplo: (mesmo). .

A última ação que fizermos será chamada função "externa", e a ação executada primeiro - respectivamente função "interna"(estes são nomes informais, eu os uso apenas para explicar o material em linguagem simples).

Tente determinar por si mesmo qual função é externa e qual é interna:

Respostas: A separação de funções internas e externas é muito semelhante à mudança de variáveis: por exemplo, na função

1. Que ação vamos tomar primeiro? Primeiro calculamos o seno e só então o elevamos a um cubo. Portanto, é uma função interna, não externa.
   E a função original é a sua composição: .
2. Interno: ; externo: .
   Exame: .
3. Interno: ; externo: .
   Exame: .
4. Interno: ; externo: .
   Exame: .
5. Interno: ; externo: .
   Exame: .

mudamos as variáveis ​​e obtemos uma função.

Bem, agora vamos extrair nosso chocolate - procure o derivado. O procedimento é sempre inverso: primeiro procuramos a derivada da função externa, depois multiplicamos o resultado pela derivada da função interna. Para o exemplo original, fica assim:

Outro exemplo:

Então, vamos finalmente formular a regra oficial:

Algoritmo para encontrar a derivada de uma função complexa:

Tudo parece ser simples, certo?

Vamos verificar com exemplos:

Soluções:

1) Interno: ;

Externo: ;

2) Interno: ;

(só não tente reduzir agora! Nada é retirado de baixo do cosseno, lembra?)

3) Interno: ;

Externo: ;

Fica imediatamente claro que existe uma função complexa de três níveis aqui: afinal, essa já é uma função complexa em si, e ainda extraímos a raiz dela, ou seja, realizamos a terceira ação (colocar o chocolate em uma embalagem e com uma fita em uma maleta). Mas não há porque ter medo: de qualquer forma, vamos “desempacotar” essa função na mesma ordem de sempre: do final.

Ou seja, primeiro diferenciamos a raiz, depois o cosseno e só depois a expressão entre parênteses. E então nós multiplicamos tudo.

Nesses casos, é conveniente numerar as ações. Ou seja, vamos imaginar o que sabemos. Em que ordem realizaremos ações para calcular o valor dessa expressão? Vejamos um exemplo:

Quanto mais tarde a ação for executada, mais "externa" será a função correspondente. A sequência de ações - como antes:

Aqui, o aninhamento é geralmente de 4 níveis. Vamos determinar o curso de ação.

1. Expressão radical. .

2. Raiz. .

3. Sinusite. .

4. Quadrado. .

5. Juntando tudo:

DERIVADO. BREVEMENTE SOBRE OS PRINCIPAIS

função derivada- a razão do incremento da função para o incremento do argumento com um incremento infinitesimal do argumento:

Derivados básicos:

Regras de diferenciação:

A constante é retirada do sinal da derivada:

Derivada da soma:

Produto derivado:

Derivada do quociente:

Derivada de uma função complexa:

Algoritmo para encontrar a derivada de uma função complexa:

1. Definimos a função "interna", encontramos sua derivada.
2. Definimos a função "externa", encontramos sua derivada.
3. Multiplicamos os resultados do primeiro e segundo pontos.

Data: 20/11/2014

O que é um derivado?

Tabela de derivativos.

A derivada é um dos principais conceitos da matemática superior. Nesta lição, vamos introduzir este conceito. Vamos nos familiarizar, sem formulações e provas matemáticas estritas.

Esta introdução permitirá que você:

Compreender a essência de tarefas simples com uma derivada;

Resolva com sucesso estes mais tarefas difíceis;

Prepare-se para lições de derivativos mais sérias.

Em primeiro lugar, uma agradável surpresa.

A definição estrita da derivada é baseada na teoria dos limites, e a coisa é bastante complicada. É perturbador. Mas a aplicação prática da derivada, via de regra, não exige um conhecimento tão extenso e profundo!

Para concluir com sucesso a maioria das tarefas na escola e na universidade, basta saber apenas alguns termos- entender a tarefa, e apenas algumas regras- para resolvê-lo. E é isso. Isso me faz feliz.

Vamos nos conhecer?)

Termos e designações.

Existem muitas operações matemáticas na matemática elementar. Adição, subtração, multiplicação, exponenciação, logaritmo, etc. Se mais uma operação for adicionada a essas operações, a matemática elementar torna-se superior. Esse nova operação chamado diferenciação. A definição e o significado desta operação serão discutidos em lições separadas.

Aqui é importante entender que a diferenciação é apenas uma operação matemática em uma função. Pegamos qualquer função e, de acordo com certas regras, a transformamos. O resultado será novo recurso. Esta nova função chama-se: derivado.

Diferenciação- ação em uma função.

Derivadoé o resultado desta ação.

Assim como, por exemplo, somaé o resultado da adição. Ou privadoé o resultado da divisão.

Conhecendo os termos, você pode pelo menos entender as tarefas.) A redação é a seguinte: encontre a derivada de uma função; pegue a derivada; diferenciar a função; calcular derivada e assim por diante. Isso é tudo mesmo. Claro, existem tarefas mais complexas, onde encontrar a derivada (diferenciação) será apenas uma das etapas para resolver a tarefa.

A derivada é indicada por um traço no canto superior direito acima da função. Assim: você" ou f"(x) ou S"(t) e assim por diante.

ler y golpe, ef golpe de x, es golpe de te, bem, você entendeu...)

Um primo também pode denotar a derivada de uma função particular, por exemplo: (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)" etc. Freqüentemente, a derivada é denotada usando diferenciais, mas não consideraremos essa notação nesta lição.

Suponha que aprendemos a entender as tarefas. Não há mais nada - para aprender como resolvê-los.) Deixe-me lembrá-lo novamente: encontrar a derivada é transformação de uma função de acordo com certas regras. Essas regras são surpreendentemente poucas.

Para encontrar a derivada de uma função, você só precisa saber três coisas. Três pilares sobre os quais assenta toda a diferenciação. Aqui estão as três baleias:

1. Tabela de derivadas (fórmulas de diferenciação).

3. Derivada de uma função complexa.

Vamos começar em ordem. Nesta lição, vamos considerar a tabela de derivadas.

Tabela de derivativos.

O mundo tem um número infinito de funções. Entre este conjunto existem funções que são mais importantes para aplicação prática. Essas funções estão em todas as leis da natureza. A partir dessas funções, como de tijolos, você pode construir todas as outras. Esta classe de funções é chamada funções elementares. São essas funções que são estudadas na escola - linear, quadrática, hipérbole, etc.

Diferenciação de funções "do zero", ou seja, baseado na definição da derivada e na teoria dos limites - uma coisa bastante demorada. E os matemáticos também são pessoas, sim, sim!) Então eles simplificaram suas vidas (e nós). Eles calcularam derivadas de funções elementares antes de nós. O resultado é uma tabela de derivadas, onde está tudo pronto.)

Aqui está, esta placa para as funções mais populares. Esquerda - função elementar, direita - sua derivada.

	Função y	Derivada da função y você"
1	C (constante)	C" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n é qualquer número)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	pecado x	(senx)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - sen x
	tg x
	ctg x
5	arco sen x
	arcos x
	arco x
	arco x
4	a x
	e x
5	registro a x
	ln x ( a = e)

Recomendo prestar atenção ao terceiro grupo de funções nesta tabela de derivadas. A derivada de uma função de potência é uma das fórmulas mais comuns, senão a mais comum! A dica está clara?) Sim, é desejável saber de cor a tabela de derivadas. A propósito, isso não é tão difícil quanto parece. Tente resolver mais exemplos, a própria tabela será lembrada!)

Encontrar o valor tabular da derivada, como você entende, não é a tarefa mais difícil. Portanto, muitas vezes em tais tarefas existem fichas adicionais. Seja na formulação da tarefa, seja na função original, que parece não estar na tabela...

Vejamos alguns exemplos:

1. Encontre a derivada da função y = x 3

Não existe essa função na tabela. Mas existe uma derivada geral da função potência (terceiro grupo). No nosso caso, n=3. Então, substituímos o triplo em vez de n e anotamos cuidadosamente o resultado:

(x 3) " = 3x 3-1 = 3x 2

Isso é tudo.

Responder: y" = 3x 2

2. Encontre o valor da derivada da função y = senx no ponto x = 0.

Esta tarefa significa que você deve primeiro encontrar a derivada do seno e depois substituir o valor x = 0 a esta mesma derivada. É nessa ordem! Caso contrário, eles substituem imediatamente o zero na função original ... Somos solicitados a encontrar não o valor da função original, mas o valor sua derivada. A derivada, deixe-me lembrá-lo, já é uma nova função.

Na placa encontramos o seno e a derivada correspondente:

y" = (senx)" = cosx

Substituindo zero na derivada:

y"(0) = cos 0 = 1

Esta será a resposta.

3. Diferencie a função:

O que inspira?) Não existe nem perto de tal função na tabela de derivados.

Deixe-me lembrá-lo de que diferenciar uma função é simplesmente encontrar a derivada dessa função. Se você esquecer a trigonometria elementar, encontrar a derivada de nossa função é bastante problemático. A tabela não ajuda...

Mas se virmos que nossa função é cosseno de um ângulo duplo, então tudo fica imediatamente melhor!

Sim Sim! Lembre-se que a transformação da função original antes da diferenciação bastante aceitável! E acontece para tornar a vida muito mais fácil. De acordo com a fórmula para o cosseno de um ângulo duplo:

Aqueles. nossa função complicada nada mais é do que y = cox. E esta é uma função de tabela. Obtemos imediatamente:

Responder: y" = - sen x.

Exemplo para graduados e estudantes avançados:

4. Encontre a derivada de uma função:

Não existe tal função na tabela de derivativos, é claro. Mas se você se lembra da matemática elementar, ações com poderes... Então é bem possível simplificar esta função. Assim:

E x elevado a um décimo já é uma função tabular! O terceiro grupo, n=1/10. Diretamente de acordo com a fórmula e escreva:

Isso é tudo. Esta será a resposta.

Espero que com a primeira baleia de diferenciação - a tabela de derivadas - tudo fique claro. Resta lidar com as duas baleias restantes. Na próxima lição, aprenderemos as regras de diferenciação.