A equação exponencial é zero. equações exponenciais

As equações são chamadas exponenciais se a incógnita estiver contida no expoente. A equação exponencial mais simples tem a forma: a x \u003d a b, onde a> 0 e 1, x é uma incógnita.

As principais propriedades dos graus, com a ajuda das quais as equações exponenciais são transformadas: a>0, b>0.

Ao decidir equações exponenciais também desfrutar das seguintes propriedades função exponencial: y = a x , a > 0, a1:

Para representar um número como uma potência, use a base identidade logarítmica: b = , a > 0, a1, b > 0.

Tarefas e testes sobre o tema "Equações exponenciais"

• equações exponenciais

  Lições: 4 Tarefas: 21 Testes: 1

• equações exponenciais - Tópicos importantes para a repetição do exame de matemática

  Tarefas: 14

• Sistemas de equações exponenciais e logarítmicas - Funções exponenciais e logarítmicas Grau 11

  Lições: 1 Tarefas: 15 Testes: 1

• §2.1. Solução de equações exponenciais

  Lições: 1 Tarefas: 27

• §7 Equações e desigualdades exponenciais e logarítmicas - Seção 5. Funções exponenciais e logarítmicas 10ª série

  Lições: 1 Tarefas: 17

Para solução de sucesso equações exponenciais Você deve conhecer as propriedades básicas das potências, as propriedades da função exponencial, a identidade logarítmica básica.

Ao resolver equações exponenciais, dois métodos principais são usados:

1. transição da equação a f(x) = a g(x) para a equação f(x) = g(x);
2. introdução de novas linhas.

Exemplos.

1. Equações Reduzindo ao Mais Simples. Eles são resolvidos trazendo ambos os lados da equação a uma potência com a mesma base.

3x \u003d 9x - 2.

Solução:

3 x \u003d (3 2) x - 2;
3x = 3 2x - 4;
x = 2x-4;
x=4.

Responder: 4.

2. Equações resolvidas colocando entre parênteses o fator comum.

Solução:

3x - 3x - 2 = 24
3 x - 2 (3 2 - 1) = 24
3 x - 2 x 8 = 24
3 x - 2 = 3
x - 2 = 1
x=3.

Responder: 3.

3. Equações Resolvidas por Mudança de Variável.

Solução:

2 2x + 2x - 12 = 0
Denotamos 2 x \u003d y.
y 2 + y - 12 = 0
y 1 = - 4; y 2 = 3.
a) 2 x = - 4. A equação não tem solução, porque 2 x > 0.
b) 2 x = 3; 2 x = 2 log 2 3 ; x = log 2 3.

Responder: registro 2 3.

4. Equações contendo potências com duas bases diferentes (não redutíveis entre si).

3 × 2 x + 1 - 2 × 5 x - 2 \u003d 5 x + 2 x - 2.

3 x 2 x + 1 - 2 x - 2 = 5 x - 2 x 5 x - 2
2 x - 2 × 23 = 5 x - 2
×23
2 x - 2 = 5 x - 2
(5/2) x– 2 = 1
x - 2 = 0
x = 2.

Responder: 2.

5. Equações homogêneas em relação a a x e b x .

Forma geral: .

9 x + 4 x = 2,5 x 6 x .

Solução:

3 2x – 2,5 × 2x × 3x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x - 2,5 × (3/2) x + 1 = 0.
Denote (3/2) x = y.
y 2 - 2,5y + 1 \u003d 0,
y 1 = 2; y2 = ½.

Responder: log 3/2 2; - registro 3/2 2.

Solução de equações exponenciais. Exemplos.

Atenção!
Existem adicionais
material na Seção Especial 555.
Para aqueles que fortemente "não muito ..."
E para quem "muito...")

O que aconteceu equação exponencial? Esta é uma equação em que as incógnitas (x) e as expressões com elas estão em indicadores alguns graus. E só lá! É importante.

Aí está você exemplos de equações exponenciais:

3 x 2 x = 8 x + 3

Observação! Nas bases dos graus (abaixo) - apenas números. EM indicadores graus (acima) - uma grande variedade de expressões com x. Se, de repente, aparecer um x na equação em algum lugar que não seja o indicador, por exemplo:

esta será a equação tipo misto. Tais equações não possuem regras claras para resolução. Não vamos considerá-los por enquanto. Aqui vamos lidar com solução de equações exponenciais em sua forma mais pura.

Na verdade, mesmo equações exponenciais puras nem sempre são resolvidas com clareza. Mas existem certos tipos de equações exponenciais que podem e devem ser resolvidas. Esses são os tipos que veremos.

Solução das equações exponenciais mais simples.

Vamos começar com algo muito básico. Por exemplo:

Mesmo sem nenhuma teoria, por simples seleção fica claro que x = 2. Nada mais, certo!? Nenhuma outra jogada de valor x. E agora vamos ver a solução desta complicada equação exponencial:

O que nos fizemos? Na verdade, apenas jogamos fora os mesmos fundos (triplos). Totalmente jogado fora. E, o que agrada, acertou em cheio!

De fato, se na equação exponencial à esquerda e à direita são o mesmo números em qualquer grau, esses números podem ser removidos e expoentes iguais. A matemática permite. Resta resolver uma equação muito mais simples. é bom né?)

No entanto, vamos lembrar ironicamente: você pode remover as bases apenas quando os números das bases à esquerda e à direita estiverem em esplêndido isolamento! Sem quaisquer vizinhos e coeficientes. Digamos nas equações:

2 x +2 x + 1 = 2 3 , ou

Você não pode remover duplas!

Bem, nós dominamos a coisa mais importante. Como passar de expressões exponenciais malignas para equações mais simples.

"Aqui estão aqueles tempos!" - você diz. "Quem vai dar um jeito tão primitivo no controle e nos exames!?"

Forçado a concordar. Ninguém vai. Mas agora você sabe para onde ir ao resolver exemplos confusos. É necessário lembrar quando o mesmo número básico está à esquerda - à direita. Então tudo será mais fácil. Na verdade, este é o clássico da matemática. Pegamos o exemplo original e o transformamos no desejado nós mente. De acordo com as regras da matemática, é claro.

Considere exemplos que requerem algum esforço adicional para trazê-los ao mais simples. Vamos chamá-los equações exponenciais simples.

Solução de equações exponenciais simples. Exemplos.

Ao resolver equações exponenciais, as principais regras são ações com poderes. Sem o conhecimento dessas ações, nada funcionará.

Às ações com graus, deve-se acrescentar observação pessoal e engenhosidade. Precisamos dos mesmos números de base? Portanto, estamos procurando por eles no exemplo de forma explícita ou criptografada.

Vamos ver como isso é feito na prática?

Vamos nos dar um exemplo:

2 2x - 8 x+1 = 0

Primeira olhada em fundamentos. Eles... Eles são diferentes! Dois e oito. Mas é muito cedo para desanimar. É hora de lembrar que

Dois e oito são parentes em grau.) É bem possível escrever:

8 x+1 = (2 3) x+1

Se recordarmos a fórmula das ações com poderes:

(a n) m = a nm ,

geralmente funciona muito bem:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

O exemplo original fica assim:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Nós transferimos 2 3 (x+1) para a direita (ninguém cancelou as ações elementares da matemática!), obtemos:

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

Isso é praticamente tudo. Remoção de bases:

Resolvemos esse monstro e obtemos

Essa é a resposta correta.

Neste exemplo, conhecer as potências de dois nos ajudou. Nós identificado no oito, o deuce criptografado. Essa técnica (codificação de bases comuns em números diferentes) é um truque muito popular em equações exponenciais! Sim, mesmo em logaritmos. É preciso ser capaz de reconhecer as potências de outros números nos números. Isso é extremamente importante para resolver equações exponenciais.

O fato é que elevar qualquer número a qualquer potência não é um problema. Multiplique, mesmo em um pedaço de papel, e isso é tudo. Por exemplo, todos podem elevar 3 à quinta potência. 243 resultará se você souber a tabuada.) Mas em equações exponenciais, com muito mais frequência, é necessário não elevar a uma potência, mas vice-versa ... que número até que ponto se esconde atrás do número 243, ou, digamos, 343... Nenhuma calculadora vai te ajudar aqui.

Você precisa saber as potências de alguns números de vista, sim... Vamos praticar?

Determine quais potências e quais números são números:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Respostas (em confusão, claro!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Se você olhar de perto, poderá ver um fato estranho. Há mais respostas do que perguntas! Bem, acontece... Por exemplo, 2 6 , 4 3 , 8 2 é tudo 64.

Vamos supor que você tenha anotado as informações sobre conhecimento de números.) Deixe-me lembrá-lo de que, para resolver equações exponenciais, aplicamos o todo estoque de conhecimento matemático. Inclusive da classe média baixa. Você não foi direto para o ensino médio, não é?

Por exemplo, ao resolver equações exponenciais, colocar o fator comum fora dos colchetes geralmente ajuda (olá, 7ª série!). Vejamos um exemplo:

3 2x+4 -11 9 x = 210

E novamente, o primeiro olhar - no terreno! As bases dos graus são diferentes... Três e nove. E queremos que sejam iguais. Bem, neste caso, o desejo é bastante viável!) Porque:

9 x = (3 2) x = 3 2x

De acordo com as mesmas regras para ações com graus:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

Isso é ótimo, você pode escrever:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Demos um exemplo pelas mesmas razões. Então, o que vem a seguir!? Três não podem ser jogados fora ... Beco sem saída?

De jeito nenhum. Lembrando a regra de decisão mais universal e poderosa todos tarefas matemáticas:

Se você não sabe o que fazer, faça o que puder!

Você olha, tudo está formado).

O que há nesta equação exponencial Pode fazer? Sim, o lado esquerdo pede parênteses diretamente! O fator comum de 3 2x sugere claramente isso. Vamos tentar, e então veremos:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

O exemplo está cada vez melhor!

Lembramos que para eliminar as bases precisamos de um grau puro, sem coeficientes. O número 70 nos incomoda. Então dividimos ambos os lados da equação por 70, obtemos:

Oppa! Tudo tem estado bem!

Esta é a resposta definitiva.

Acontece, porém, que se consegue o taxiamento pelos mesmos motivos, mas não a sua liquidação. Isso acontece em equações exponenciais de outro tipo. Vamos pegar esse tipo.

Mudança de variável na resolução de equações exponenciais. Exemplos.

Vamos resolver a equação:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Primeiro - como de costume. Vamos para a base. Para o diabo.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Obtemos a equação:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

E aqui vamos pendurar. Os truques anteriores não funcionarão, não importa como você os gire. Teremos que obter do arsenal de outra maneira poderosa e versátil. É chamado substituição variável.

A essência do método é surpreendentemente simples. Em vez de um ícone complexo (no nosso caso, 2 x), escrevemos outro, mais simples (por exemplo, t). Essa substituição aparentemente sem sentido leva a resultados surpreendentes!) Tudo se torna claro e compreensível!

Então deixe

Então 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

Substituímos em nossa equação todas as potências com x por t:

Bem, já amanheceu?) Ainda não esqueceu as equações do segundo grau? Resolvemos pelo discriminante, obtemos:

Aqui, o principal é não parar, como acontece ... Essa ainda não é a resposta, precisamos de x, não de t. Voltamos aos Xs, ou seja, fazendo uma substituição. Primeiro para t 1:

Aquilo é,

Uma raiz foi encontrada. Estamos procurando o segundo, de t 2:

Hum... Esquerda 2 x, Direita 1... Um problema? Sim, de jeito nenhum! Basta lembrar (de ações com graus, sim...) que uma unidade é qualquer número a zero. Qualquer. O que você precisar, nós colocaremos. Precisamos de um dois. Significa:

Agora isso é tudo. Obteve 2 raízes:

Esta é a resposta.

No resolvendo equações exponenciais no final, às vezes é obtida uma expressão estranha. Tipo:

Dos sete, um deuce até um grau simples não funciona. Eles não são parentes ... Como posso estar aqui? Alguém pode estar confuso ... Mas a pessoa que leu neste site o tópico "O que é um logaritmo?" , apenas sorria com moderação e escreva com mão firme a resposta absolutamente correta:

Não pode haver tal resposta nas tarefas "B" no exame. Há um número específico necessário. Mas nas tarefas "C" - facilmente.

Esta lição fornece exemplos de como resolver as equações exponenciais mais comuns. Vamos destacar o principal.

Dicas Práticas:

1. Em primeiro lugar, olhamos para motivos graus. Vamos ver se eles não podem ser feitos o mesmo. Vamos tentar fazer isso usando ativamente ações com poderes. Não se esqueça que números sem x também podem ser transformados em potências!

2. Tentamos trazer a equação exponencial para a forma quando a esquerda e a direita são o mesmo números em qualquer grau. Nós usamos ações com poderes E fatoração. O que pode ser contado em números - nós contamos.

3. Se o segundo conselho não funcionou, tentamos aplicar a substituição de variável. O resultado pode ser uma equação facilmente resolvida. Na maioria das vezes - quadrado. Ou fracionário, que também se reduz a um quadrado.

4. Para resolver equações exponenciais com sucesso, você precisa conhecer os graus de alguns números "à vista".

Como sempre, no final da aula você é convidado a resolver um pouco.) Por conta própria. Do simples ao complexo.

Resolva equações exponenciais:

Mais difícil:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5 x + 1 - 8 = 0

Encontrar o produto das raízes:

2 3-x + 2 x = 9

Ocorrido?

Bem então o exemplo mais difícil(decidiu, porém, na mente...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

O que é mais interessante? Então aqui está um mau exemplo para você. Bastante puxando em maior dificuldade. Vou sugerir que, neste exemplo, a engenhosidade e a regra mais universal para resolver todas as tarefas matemáticas salvam.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Um exemplo é mais simples, para relaxamento):

9 2 x - 4 3 x = 0

E para sobremesa. Encontre a soma das raízes da equação:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Sim Sim! Esta é uma equação de tipo misto! Que não consideramos nesta lição. E o que considerá-los, eles precisam ser resolvidos!) Esta lição é suficiente para resolver a equação. Bem, é preciso engenhosidade ... E sim, a sétima série vai te ajudar (isso é uma dica!).

Respostas (desordenadas, separadas por ponto e vírgula):

1; 2; 3; 4; não há soluções; 2; -2; -5; 4; 0.

Tudo é bem sucedido? Ótimo.

Há um problema? Sem problemas! Na Seção Especial 555, todas essas equações exponenciais são resolvidas com explicações detalhadas. O que, por que e por quê. E, claro, há informações adicionais valiosas sobre como trabalhar com todos os tipos de equações exponenciais. Não só com estes.)

Uma última questão divertida a considerar. Nesta lição, trabalhamos com equações exponenciais. Por que não disse uma palavra sobre ODZ aqui? Em equações, isso é uma coisa muito importante, aliás...

Se você gosta deste site...

A propósito, tenho mais alguns sites interessantes para você.)

Você pode praticar a resolução de exemplos e descobrir seu nível. Teste com verificação instantânea. Aprendendo - com interesse!)

você pode se familiarizar com funções e derivadas.

Palestra: "Métodos para resolução de equações exponenciais."

1 . equações exponenciais.

As equações que contêm incógnitas no expoente são chamadas de equações exponenciais. A mais simples delas é a equação ax = b, onde a > 0 e a ≠ 1.

1) Para b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) Para b > 0, usando a monotonicidade da função e o teorema da raiz, a equação tem uma única raiz. Para encontrá-lo, b deve ser representado como b = aс, ax = bс ó x = c ou x = logab.

As equações exponenciais, por meio de transformações algébricas, levam a equações padrão, que são resolvidas pelos seguintes métodos:

1) método de redução a uma base;

2) método de avaliação;

3) método gráfico;

4) o método de introdução de novas variáveis;

5) método de fatoração;

6) exponencial - equações de potência;

7) exponencial com um parâmetro.

2 . Método de redução a uma base.

O método baseia-se na seguinte propriedade dos graus: se dois graus são iguais e suas bases são iguais, então seus expoentes são iguais, ou seja, deve-se tentar reduzir a equação à forma

Exemplos. Resolva a equação:

1 . 3x=81;

Vamos representar o lado direito da equação na forma 81 = 34 e escrever a equação equivalente ao original 3 x = 34; x = 4. Resposta: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49"> e vá para a equação dos expoentes 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0,5 Resposta: 0,5

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

Observe que os números 0,2, 0,04, √5 e 25 são potências de 5. Vamos aproveitar isso e transformar a equação original da seguinte forma:

, de onde 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2, de onde encontramos a solução x = -1. Resposta 1.

5. 3x = 5. Pela definição do logaritmo, x = log35. Resposta: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Vamos reescrever a equação como 32x+4,22x+4 = 32x,2x+8, ou seja, png" width="181" height="49 src="> Daí x - 4 =0, x = 4. Resposta: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Usando as propriedades das potências, escrevemos a equação na forma e. x+1 = 2, x =1. Resposta 1.

Banco de tarefas nº 1.

Resolva a equação:

Teste número 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) sem raízes
	1) 7;1 2) sem raízes 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Teste #2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) sem raízes 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Método de avaliação.

o teorema da raiz: se a função f (x) aumenta (diminui) no intervalo I, o número a é qualquer valor tomado por f neste intervalo, então a equação f (x) = a tem uma única raiz no intervalo I.

Ao resolver equações pelo método de estimativa, este teorema e as propriedades de monotonicidade da função são usados.

Exemplos. Resolver equações: 1. 4x = 5 - x.

Solução. Vamos reescrever a equação como 4x + x = 5.

1. se x \u003d 1, então 41 + 1 \u003d 5, 5 \u003d 5 é verdadeiro, então 1 é a raiz da equação.

A função f(x) = 4x é crescente em R e g(x) = x é crescente em R => h(x)= f(x)+g(x) é crescente em R como a soma de funções crescentes, então x = 1 é a única raiz da equação 4x = 5 – x. Resposta 1.

2.

Solução. Reescrevemos a equação na forma .

1. se x = -1, então , 3 = 3-verdadeiro, então x = -1 é a raiz da equação.

2. provar que é único.

3. A função f(x) = - diminui em R, e g(x) = - x - diminui em R => h(x) = f(x) + g(x) - diminui em R, como a soma de funções decrescentes. Então, pelo teorema da raiz, x = -1 é a única raiz da equação. Resposta 1.

Banco de tarefas nº 2. resolva a equação

a) 4x + 1 = 6 - x;

b)

c) 2x – 2 =1 – x;

4. Método de introdução de novas variáveis.

O método é descrito na seção 2.1. A introdução de uma nova variável (substituição) geralmente é realizada após transformações (simplificação) dos termos da equação. Considere exemplos.

Exemplos. R comer equação: 1. .

Vamos reescrever a equação de forma diferente: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e..png" width="210" height = "45">

Solução. Vamos reescrever a equação de forma diferente:

Denote https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - não é adequado.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> é uma equação irracional. Observe que

A solução para a equação é x = 2,5 ≤ 4, então 2,5 é a raiz da equação. Resposta: 2.5.

Solução. Vamos reescrever a equação na forma e dividir ambos os lados por 56x+6 ≠ 0. Obtemos a equação

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, então..png" width="118" height="56">

Raízes Equação quadrática– t1 = 1 e t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Solução . Reescrevemos a equação na forma

e observe que é uma equação homogênea de segundo grau.

Dividindo a equação por 42x, obtemos

Substitua https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .

Resposta: 0; 0,5.

Banco de Tarefas #3. resolva a equação

b)

G)

Teste #3 com uma escolha de respostas. Nível mínimo.

A1	1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
À2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) sem raízes 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) sem raízes 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

Teste #4 com uma escolha de respostas. Nível geral.

A1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
À2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) sem raízes

5. Método de fatoração.

1. Resolva a equação: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Solution..png" width="169" height="69"> , de onde

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Solução. Vamos tirar 6x do lado esquerdo da equação e 2x do lado direito. Obtemos a equação 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.

Como 2x > 0 para todo x, podemos dividir ambos os lados dessa equação por 2x sem medo de perder soluções. Obtemos 3x = 1ó x = 0.

3.

Solução. Resolvemos a equação por fatoração.

Selecionamos o quadrado do binômio

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 é a raiz da equação.

Equação x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 = -19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1,5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Teste #6 Nível geral.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0,2
A2	1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Exponencial - equações de potência.

As equações exponenciais são unidas pelas chamadas equações de potência exponencial, ou seja, equações da forma (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

Se for conhecido que f(x)>0 ef(x) ≠ 1, então a equação, como a exponencial, é resolvida igualando os expoentes g(x) = f(x).

Se a condição não exclui a possibilidade de f(x)=0 ef(x)=1, então temos que considerar esses casos ao resolver a equação de potência exponencial.

1..png" width="182" height="116 src=">

2.

Solução. x2 +2x-8 - faz sentido para qualquer x, porque um polinômio, então a equação é equivalente ao conjunto

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

b)

7. Equações exponenciais com parâmetros.

1. Para quais valores do parâmetro p a equação 4 (5 – 3) 2 +4p2–3p = 0 (1) tem única decisão?

Solução. Vamos introduzir a mudança 2x = t, t > 0, então a equação (1) terá a forma t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)

O discriminante da equação (2) é D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

A equação (1) tem uma solução única se a equação (2) tiver uma raiz positiva. Isso é possível nos seguintes casos.

1. Se D = 0, ou seja, p = 1, então a equação (2) terá a forma t2 – 2t + 1 = 0, portanto t = 1, portanto, a equação (1) tem uma solução única x = 0.

2. Se p1, então 9(p – 1)2 > 0, então a equação (2) tem duas raízes diferentes t1 = p, t2 = 4p – 3. O conjunto de sistemas satisfaz a condição do problema

Substituindo t1 e t2 nos sistemas, temos

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Solução. Deixar então a equação (3) terá a forma t2 – 6t – a = 0. (4)

Vamos encontrar os valores do parâmetro a para os quais pelo menos uma raiz da equação (4) satisfaz a condição t > 0.

Vamos introduzir a função f(t) = t2 – 6t – a. Os seguintes casos são possíveis.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Caso 2. A equação (4) tem uma única solução positiva se

D = 0, se a = – 9, então a equação (4) terá a forma (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.

Caso 3. A equação (4) tem duas raízes, mas uma delas não satisfaz a desigualdade t > 0. Isso é possível se

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}

Assim, em a 0 a equação (4) tem uma única raiz positiva . Então a equação (3) tem uma única solução

Para< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

se um< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
se a = – 9, então x = – 1;

se a  0, então

Vamos comparar os métodos para resolver as equações (1) e (3). Observe que ao resolver a equação (1) foi reduzida a uma equação quadrática, cujo discriminante é um quadrado completo; assim, as raízes da equação (2) foram imediatamente calculadas pela fórmula das raízes da equação quadrática, e então foram tiradas conclusões sobre essas raízes. A equação (3) foi reduzida à equação quadrática (4), cujo discriminante não é quadrado completo, portanto, ao resolver a equação (3), é aconselhável usar teoremas sobre a localização das raízes de um trinômio quadrado e um modelo gráfico. Observe que a equação (4) pode ser resolvida usando o teorema de Vieta.

Vamos resolver equações mais complexas.

Tarefa 3. Resolva a equação

Solução. ODZ: x1, x2.

Vamos apresentar um substituto. Seja 2x = t, t > 0, então como resultado das transformações a equação assumirá a forma t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Vamos encontrar os valores de a para os quais pelo menos uma raiz de a equação (*) satisfaz a condição t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

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Resposta: se a > - 13, a  11, a  5, então se a - 13,

a = 11, a = 5, então não há raízes.

Bibliografia.

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26. Liimets trabalham na aula. M. Conhecimento, 1975

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Primeiro, vamos relembrar as fórmulas básicas dos graus e suas propriedades.

Produto de um número a acontece consigo mesmo n vezes, podemos escrever esta expressão como a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m \u003d a n - m

Equações de potência ou exponenciais- são equações em que as variáveis ​​estão em potências (ou expoentes) e a base é um número.

Exemplos de equações exponenciais:

EM este exemplo o número 6 é a base, está sempre na parte inferior, e a variável x grau ou medida.

Vamos dar mais exemplos de equações exponenciais.
2x *5=10
16x-4x-6=0

Agora vamos ver como as equações exponenciais são resolvidas?

Vamos a uma equação simples:

2 x = 2 3

Tal exemplo pode ser resolvido até mesmo na mente. Pode-se ver que x = 3. Afinal, para que os lados esquerdo e direito fiquem iguais, você precisa colocar o número 3 ao invés de x.
Agora vamos ver como essa decisão deve ser tomada:

2 x = 2 3
x = 3

Para resolver esta equação, removemos mesmos motivos(isto é, deuces) e anotou o que restou, são graus. Encontramos a resposta que procurávamos.

Agora vamos resumir nossa solução.

Algoritmo para resolver a equação exponencial:
1. Precisa verificar o mesmo se as bases da equação à direita e à esquerda. Se os fundamentos não forem os mesmos, procuramos opções para resolver este exemplo.
2. Depois que as bases forem iguais, igualar grau e resolva a nova equação resultante.

Agora vamos resolver alguns exemplos:

Vamos começar simples.

As bases dos lados esquerdo e direito são iguais ao número 2, o que significa que podemos descartar a base e igualar seus graus.

x+2=4 A equação mais simples resultou.
x=4 - 2
x=2
Resposta: x=2

No exemplo a seguir, você pode ver que as bases são diferentes, são 3 e 9.

3 3x - 9 x + 8 = 0

Para começar, transferimos o nove para o lado direito, obtemos:

Agora você precisa fazer as mesmas bases. Sabemos que 9=3 2 . Vamos usar a fórmula da potência (a n) m = a nm .

3 3x \u003d (3 2) x + 8

Obtemos 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 agora está claro que as bases nos lados esquerdo e direito são iguais e iguais a três, o que significa que podemos descartá-las e igualar os graus.

3x=2x+16 obteve a equação mais simples
3x-2x=16
x=16
Resposta: x=16.

Vejamos o seguinte exemplo:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

Em primeiro lugar, olhamos para as bases, as bases são diferentes dois e quatro. E precisamos ser iguais. Transformamos o quádruplo de acordo com a fórmula (a n) m = a nm .

4 x = (2 2) x = 2 2x

E também usamos uma fórmula a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Adicione à equação:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Demos um exemplo pelas mesmas razões. Mas outros números 10 e 24 interferem conosco, o que fazer com eles? Se você olhar de perto, verá que no lado esquerdo repetimos 2 2x, aqui está a resposta - podemos colocar 2 2x fora dos colchetes:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Vamos calcular a expressão entre parênteses:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Dividimos toda a equação por 6:

Imagine 4=2 2:

2 2x \u003d 2 2 bases são iguais, descarte-as e iguale os graus.
2x \u003d 2 acabou sendo a equação mais simples. Dividimos por 2, obtemos
x = 1
Resposta: x = 1.

Vamos resolver a equação:

9 x - 12*3 x +27= 0

Vamos transformar:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Obtemos a equação:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Nossas bases são iguais, iguais a 3. Nesse exemplo, fica claro que o primeiro triplo tem grau duas vezes (2x) que o segundo (apenas x). Neste caso, você pode decidir método de substituição. O número com o menor grau é substituído por:

Então 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

Substituímos todos os graus por x na equação com t:

t 2 - 12t + 27 \u003d 0
Obtemos uma equação quadrática. Resolvemos pelo discriminante, obtemos:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Voltar para Variável x.

Tomamos t 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

Aquilo é,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Uma raiz foi encontrada. Estamos procurando o segundo, de t 2:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Resposta: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

No site você pode na seção AJUDAR A DECIDIR fazer perguntas de seu interesse, com certeza iremos responder.

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A solução da maioria dos problemas matemáticos está de alguma forma ligada à transformação de expressões numéricas, algébricas ou funcionais. Isso se aplica especialmente à solução. Nas variantes USE em matemática, este tipo de tarefa inclui, em particular, a tarefa C3. Aprender a resolver tarefas C3 é importante não apenas para o propósito entrega bem sucedida Exame Estadual Unificado, mas também porque essa habilidade é útil quando se estuda um curso de matemática no ensino superior.

Executando tarefas C3, você tem que decidir tipos diferentes equações e inequações. Entre eles estão racionais, irracionais, exponenciais, logarítmicos, trigonométricos, contendo módulos (valores absolutos), bem como combinados. Este artigo discute os principais tipos de equações e inequações exponenciais, bem como vários métodos para resolvê-las. Leia sobre como resolver outros tipos de equações e inequações sob o título "" em artigos dedicados a métodos para resolver problemas C3 de USE opções matemática.

Antes de proceder à análise de determinados equações e inequações exponenciais, como tutor de matemática, sugiro que você atualize alguns material teórico que vamos precisar.

Função exponencial

O que é uma função exponencial?

Ver função y = um x, Onde a> 0 e a≠ 1, chamado função exponencial.

Principal propriedades da função exponencial y = um x:

Gráfico de uma função exponencial

O gráfico da função exponencial é expositor:

Gráficos de funções exponenciais (expoentes)

Solução de equações exponenciais

indicativo chamadas equações em que a variável desconhecida é encontrada apenas em expoentes de quaisquer potências.

Para soluções equações exponenciais você precisa saber e ser capaz de usar o seguinte teorema simples:

Teorema 1. equação exponencial a f(x) = a g(x) (Onde a > 0, a≠ 1) é equivalente à equação f(x) = g(x).

Além disso, é útil lembrar as fórmulas básicas e ações com graus:

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Exemplo 1 Resolva a equação:

Solução: use as fórmulas e substituições acima:

A equação então fica:

O discriminante da equação quadrática resultante é positivo:

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Isso significa que essa equação tem duas raízes. Nós os encontramos:

Voltando à substituição, temos:

A segunda equação não tem raízes, pois a função exponencial é estritamente positiva em todo o domínio de definição. Vamos resolver o segundo:

Tendo em conta o que foi dito no Teorema 1, passamos à equação equivalente: x= 3. Esta será a resposta da tarefa.

Responder: x = 3.

Exemplo 2 Resolva a equação:

Solução: a equação não tem restrições quanto à área de valores admissíveis, pois a expressão radical faz sentido para qualquer valor x(função exponencial y = 9 4 -x positivo e diferente de zero).

Resolvemos a equação por transformações equivalentes usando as regras de multiplicação e divisão de potências:

A última transição foi realizada de acordo com o Teorema 1.

Responder:x= 6.

Exemplo 3 Resolva a equação:

Solução: ambos os lados da equação original podem ser divididos por 0,2 x. Essa transição será equivalente, pois essa expressão é maior que zero para qualquer valor x(a função exponencial é estritamente positiva em seu domínio). Então a equação toma a forma:

Responder: x = 0.

Exemplo 4 Resolva a equação:

Solução: simplificamos a equação para uma elementar por transformações equivalentes usando as regras de divisão e multiplicação de potências dadas no início do artigo:

Dividindo os dois lados da equação por 4 x, como no exemplo anterior, é uma transformação equivalente, pois esta expressão não é igual a zero para nenhum valor x.

Responder: x = 0.

Exemplo 5 Resolva a equação:

Solução: função y = 3x, estando no lado esquerdo da equação, está aumentando. Função y = —x-2/3, do lado direito da equação, está diminuindo. Isso significa que, se os gráficos dessas funções se cruzarem, no máximo em um ponto. EM este casoé fácil adivinhar que os gráficos se interceptam em um ponto x= -1. Não haverá outras raízes.

Responder: x = -1.

Exemplo 6 Resolva a equação:

Solução: simplificamos a equação por transformações equivalentes, tendo sempre em mente que a função exponencial é estritamente maior que zero para qualquer valor x e usando as regras de cálculo do produto e potências parciais dadas no início do artigo:

Responder: x = 2.

Resolvendo desigualdades exponenciais

indicativo chamadas desigualdades em que a variável desconhecida está contida apenas nos expoentes de algumas potências.

Para soluções desigualdades exponenciaisé necessário o conhecimento do seguinte teorema:

Teorema 2. Se a> 1, então a desigualdade a f(x) > a g(x) é equivalente a uma desigualdade de mesmo significado: f(x) > g(x). Se 0< a < 1, то показательное неравенство a f(x) > a g(x) é equivalente a uma desigualdade de significado oposto: f(x) < g(x).

Exemplo 7 Resolva a desigualdade:

Solução: represente a desigualdade original na forma:

Divida ambos os lados desta desigualdade por 3 2 x, e (devido à positividade da função y= 3 2x) o sinal de desigualdade não mudará:

Vamos usar uma substituição:

Então a desigualdade toma a forma:

Então, a solução para a desigualdade é o intervalo:

passando para a substituição inversa, obtemos:

A desigualdade da esquerda, devido à positividade da função exponencial, é preenchida automaticamente. Usando a conhecida propriedade do logaritmo, passamos à desigualdade equivalente:

Como a base do grau é um número maior que um, equivalente (pelo Teorema 2) será a transição para a seguinte desigualdade:

Então nós finalmente conseguimos responder:

Exemplo 8 Resolva a desigualdade:

Solução: usando as propriedades de multiplicação e divisão de potências, reescrevemos a desigualdade na forma:

Vamos introduzir uma nova variável:

Com esta substituição, a desigualdade assume a forma:

Multiplicando o numerador e o denominador da fração por 7, obtemos a seguinte desigualdade equivalente:

Assim, a desigualdade é satisfeita pelos seguintes valores da variável t:

Então, voltando à substituição, obtemos:

Como a base do grau aqui é maior que um, é equivalente (pelo Teorema 2) passar para a desigualdade:

Finalmente chegamos responder:

Exemplo 9 Resolva a desigualdade:

Solução:

Dividimos ambos os lados da desigualdade pela expressão:

É sempre maior que zero (porque a função exponencial é positiva), então o sinal de desigualdade não precisa ser alterado. Nós temos:

t , que estão no intervalo:

Passando para a substituição reversa, descobrimos que a desigualdade original se divide em dois casos:

A primeira desigualdade não tem soluções devido à positividade da função exponencial. Vamos resolver o segundo:

Exemplo 10 Resolva a desigualdade:

Solução:

Ramos da parábola y = 2x+2-x 2 são direcionados para baixo, portanto, é limitado de cima pelo valor que atinge em seu ápice:

Ramos da parábola y = x 2 -2x+2, que está no indicador, são direcionados para cima, o que significa que é limitado por baixo pelo valor que atinge em seu topo:

Ao mesmo tempo, a função acaba sendo limitada por baixo y = 3 x 2 -2x+2 no lado direito da equação. ela a alcança o menor valor no mesmo ponto que a parábola no expoente, e esse valor é 3 1 = 3. Portanto, a desigualdade original só pode ser verdadeira se a função à esquerda e a função à direita assumirem o valor 3 em um ponto (por cruzar os intervalos dessas funções é apenas esse número). Esta condição é satisfeita em um único ponto x = 1.

Responder: x= 1.

Para aprender a resolver equações e desigualdades exponenciais, você precisa treinar constantemente em sua solução. Nesta difícil questão, vários material didáctico, livros de problemas em matemática elementar, coleções de problemas competitivos, aulas de matemática na escola, bem como sessões individuais com um tutor profissional. Sinceramente, desejo-lhe sucesso em sua preparação e resultados brilhantes no exame.

Sergey Valerievich

P.S. Caros convidados! Por favor, não escreva pedidos para resolver suas equações nos comentários. Infelizmente, não tenho tempo para isso. Tais mensagens serão deletadas. Por favor, leia o artigo. Talvez nele você encontre respostas para perguntas que não permitiram que você resolvesse sua tarefa por conta própria.