O logaritmo natural de 0 é igual a. Logaritmo

O que é um logaritmo?

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O que é um logaritmo? Como resolver logaritmos? Essas perguntas confundem muitos graduados. Tradicionalmente, o tema dos logaritmos é considerado complexo, incompreensível e assustador. Especialmente - equações com logaritmos.

Isso não é absolutamente verdade. Absolutamente! Não acredita? Multar. Agora, por cerca de 10 a 20 minutos você:

1. Entenda o que é um logaritmo.

2. Aprenda a resolver toda uma classe de equações exponenciais. Mesmo que você nunca tenha ouvido falar deles.

3. Aprenda a calcular logaritmos simples.

Além disso, para isso você só precisa saber a tabuada e como um número é elevado a uma potência ...

Eu sinto que você duvida ... Bem, mantenha o tempo! Ir!

Primeiro, resolva mentalmente a seguinte equação:

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Você pode praticar a resolução de exemplos e descobrir seu nível. Teste com verificação instantânea. Aprendendo - com interesse!)

você pode se familiarizar com funções e derivadas.

O logaritmo do número b na base a é o expoente ao qual você precisa elevar o número a para obter o número b.

Se então .

O logaritmo é extremamente quantidade matemática importante, uma vez que o cálculo logarítmico permite não só resolver equações exponenciais, mas também operar com indicadores, diferenciar funções exponenciais e logarítmicas, integrá-las e levar a uma forma mais aceitável de ser calculada.

Em contato com

Todas as propriedades dos logaritmos estão diretamente relacionadas às propriedades funções exponenciais. Por exemplo, o fato de significa que:

Deve-se notar que, ao resolver problemas específicos, as propriedades dos logaritmos podem ser mais importantes e úteis do que as regras para trabalhar com potências.

Aqui estão algumas identidades:

Aqui estão as principais expressões algébricas:

;

.

Atenção! só pode existir para x>0, x≠1, y>0.

Vamos tentar entender a questão do que são logaritmos naturais. Interesse separado em matemática representam dois tipos- o primeiro tem o número "10" na base, e chama-se " logaritmo decimal". O segundo é chamado natural. A base do logaritmo natural é o número e. É sobre ele que falaremos em detalhes neste artigo.

Designações:

• lg x - decimal;
• ln x - natural.

Usando a identidade, podemos ver que ln e = 1, assim como lg 10=1.

gráfico de log natural

Construímos um gráfico do logaritmo natural na forma clássica padrão por pontos. Se desejar, você pode verificar se estamos construindo uma função corretamente examinando a função. No entanto, faz sentido aprender a construí-lo "manualmente" para saber como calcular corretamente o logaritmo.

Função: y = log x. Vamos escrever uma tabela de pontos pelos quais o gráfico passará:

Vamos explicar porque escolhemos tais valores do argumento x. É tudo uma questão de identidade: Para um logaritmo natural, essa identidade ficará assim:

Por conveniência, podemos tomar cinco pontos de referência:

;

;

.

;

.

Assim, contar logaritmos naturais é uma tarefa bastante simples, além disso, simplifica o cálculo de operações com potências, transformando-as em multiplicação normal.

Tendo construído um gráfico por pontos, obtemos um gráfico aproximado:

O domínio do logaritmo natural (ou seja, todos os valores válidos do argumento X) são todos os números maiores que zero.

Atenção! O domínio de definição do logaritmo natural inclui apenas números positivos! O escopo não inclui x=0. Isso é impossível com base nas condições de existência do logaritmo.

O intervalo de valores (ou seja, todos os valores válidos da função y = ln x) são todos os números no intervalo.

limite de log natural

Estudando o gráfico, surge a pergunta - como a função se comporta quando y<0.

Obviamente, o gráfico da função tende a cruzar o eixo y, mas não poderá fazer isso, pois o logaritmo natural de x<0 не существует.

limite natural registro pode ser escrito assim:

Fórmula para mudar a base de um logaritmo

Lidar com um logaritmo natural é muito mais fácil do que lidar com um logaritmo que tem uma base arbitrária. É por isso que tentaremos aprender como reduzir qualquer logaritmo a um natural, ou expressá-lo em uma base arbitrária por meio de logaritmos naturais.

Vamos começar com a identidade logarítmica:

Então qualquer número ou variável y pode ser representado como:

onde x é qualquer número (positivo de acordo com as propriedades do logaritmo).

Esta expressão pode ser logaritmizada em ambos os lados. Vamos fazer isso com uma base arbitrária z:

Vamos usar a propriedade (só que ao invés de "with" temos uma expressão):

A partir daqui, obtemos a fórmula universal:

.

Em particular, se z=e, então:

.

Conseguimos representar o logaritmo para uma base arbitrária através da razão de dois logaritmos naturais.

Nós resolvemos problemas

Para navegar melhor em logaritmos naturais, considere exemplos de vários problemas.

Tarefa 1. É necessário resolver a equação ln x = 3.

Solução: Usando a definição do logaritmo: se , então , obtemos:

Tarefa 2. Resolva a equação (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3.

Solução: Usando a definição do logaritmo: se , então , obtemos:

.

Mais uma vez, aplicamos a definição do logaritmo:

.

Por isso:

.

Você pode calcular a resposta aproximadamente ou pode deixá-la neste formulário.

Tarefa 3. Resolva a equação.

Solução: Vamos fazer uma substituição: t = ln x. Então a equação terá a seguinte forma:

.

Temos uma equação quadrática. Vamos encontrar seu discriminante:

Primeira raiz da equação:

.

Segunda raiz da equação:

.

Lembrando que fizemos a substituição t = ln x, obtemos:

Em estatística e teoria da probabilidade, quantidades logarítmicas são muito comuns. Isso não é surpreendente, porque o número e - geralmente reflete a taxa de crescimento de valores exponenciais.

Em ciência da computação, programação e teoria da computação, logaritmos são bastante comuns, por exemplo, para armazenar N bits na memória.

Nas teorias dos fractais e dimensões, os logaritmos são constantemente usados, pois as dimensões dos fractais são determinadas apenas com a ajuda deles.

Na mecânica e na física não há nenhuma seção onde os logaritmos não foram usados. A distribuição barométrica, todos os princípios da termodinâmica estatística, a equação de Tsiolkovsky e assim por diante são processos que só podem ser descritos matematicamente usando logaritmos.

Em química, o logaritmo é usado nas equações de Nernst, descrições de processos redox.

Surpreendentemente, até na música, para descobrir o número de partes de uma oitava, usam-se logaritmos.

Função de logaritmo natural y=ln x suas propriedades

Prova da principal propriedade do logaritmo natural

muitas vezes pega um número e = 2,718281828 . Logaritmos nesta base são chamados natural. Ao realizar cálculos com logaritmos naturais, é comum operar com o sinal eun, mas não registro; enquanto o número 2,718281828 , definindo a base, não indicam.

Em outras palavras, o texto ficará assim: Logaritmo natural números xé o expoente ao qual o número deve ser elevado e, Obter x.

Então, ln(7.389...)= 2 porque e 2 =7,389... . O logaritmo natural do próprio número e= 1 porque e 1 =e, e o logaritmo natural da unidade é igual a zero, pois e 0 = 1.

O próprio número e define o limite de uma sequência limitada monótona

calculou que e = 2,7182818284... .

Muitas vezes, para fixar um número na memória, os dígitos do número necessário são associados a alguma data pendente. A velocidade de lembrar os nove primeiros dígitos de um número e após o ponto decimal aumentará se você observar que 1828 é o ano do nascimento de Leo Tolstoi!

Até o momento, existem tabelas bastante completas de logaritmos naturais.

gráfico de log natural(funções y=ln x) é uma consequência do gráfico do expoente como uma imagem espelhada em relação à linha reta y = x e parece:

O logaritmo natural pode ser encontrado para todo número real positivo a como a área sob a curva y = 1/x de 1 antes a.

A natureza elementar desta formulação, que se encaixa com muitas outras fórmulas em que o logaritmo natural está envolvido, foi a razão para a formação do nome "natural".

Se analisarmos Logaritmo natural, como uma função real de uma variável real, então ela atua função inversa a uma função exponencial, que se reduz às identidades:

ln(a)=a (a>0)

ln(e a)=a

Por analogia com todos os logaritmos, o logaritmo natural converte a multiplicação em adição, a divisão em subtração:

ln(xy) = ln(x) + ln(y)

ln(x/y)= lnx - lny

O logaritmo pode ser encontrado para toda base positiva que não é igual a um, não apenas para e, mas os logaritmos para outras bases diferem do logaritmo natural apenas por um fator constante e geralmente são definidos em termos do logaritmo natural.

Tendo analisado gráfico de log natural, obtemos que existe para valores positivos da variável x. Ele aumenta monotonicamente em seu domínio de definição.

No x → 0 o limite do logaritmo natural é menos infinito ( -∞ ).No x → +∞ o limite do logaritmo natural é mais infinito ( + ∞ ). Em geral x o logaritmo aumenta lentamente. Qualquer função de energia x a com um expoente positivo a aumenta mais rápido que o logaritmo. O logaritmo natural é uma função monotonicamente crescente, portanto não possui extremos.

Uso logaritmos naturais muito racional na passagem da matemática superior. Assim, o uso do logaritmo é conveniente para encontrar a resposta de equações em que as incógnitas aparecem como expoentes. O uso de logaritmos naturais em cálculos torna possível facilitar bastante um grande número de fórmulas matemáticas. logaritmos de base e estão presentes na resolução de um número significativo de problemas físicos e são naturalmente incluídos na descrição matemática de processos químicos, biológicos e outros processos individuais. Assim, os logaritmos são usados ​​para calcular a constante de decaimento para uma meia-vida conhecida, ou para calcular o tempo de decaimento na resolução de problemas de radioatividade. Eles desempenham um papel de liderança em muitas seções de matemática e ciências práticas, são utilizados no campo das finanças para resolver um grande número de problemas, inclusive no cálculo de juros compostos.

Aula e apresentação sobre os temas: "Logaritmos naturais. Base de um logaritmo natural. Logaritmo de um número natural"

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O que é logaritmo natural

Pessoal, na última aula aprendemos um novo número especial - E. Hoje vamos continuar trabalhando com esse número.
Estudamos logaritmos e sabemos que a base do logaritmo pode ser um conjunto de números maiores que 0. Hoje também consideraremos o logaritmo, que é baseado no número e. Tal logaritmo é geralmente chamado de logaritmo natural . Tem sua própria notação: $\ln(n)$ é o logaritmo natural. Esta notação é equivalente a: $\log_e(n)=\ln(n)$.
As funções exponenciais e logarítmicas são inversas, então o logaritmo natural é a inversa da função: $y=e^x$.
As funções inversas são simétricas em relação à reta $y=x$.
Vamos plotar o logaritmo natural plotando a função exponencial em relação à reta $y=x$.

Vale notar que a inclinação da tangente ao gráfico da função $y=e^x$ no ponto (0;1) é de 45°. Então a inclinação da tangente ao gráfico do logaritmo natural no ponto (1; 0) também será igual a 45°. Ambas as tangentes serão paralelas à linha $y=x$. Vamos esboçar as tangentes:

Propriedades da função $y=\ln(x)$

1. $D(f)=(0;+∞)$.
2. Não é par nem ímpar.
3. Aumenta em todo o domínio de definição.
4. Não limitado de cima, não limitado de baixo.
5. Não existe valor máximo, não existe valor mínimo.
6. Contínuo.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. Convexo para cima.
9. Diferenciável em todos os lugares.

No curso da matemática superior é provado que a derivada de uma função inversa é o recíproco da derivada da função dada.
Não faz muito sentido nos aprofundarmos na prova, vamos apenas escrever a fórmula: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.

Exemplo.
Calcule o valor da derivada da função: $y=\ln(2x-7)$ no ponto $x=4$.
Solução.
Em geral, nossa função é representada pela função $y=f(kx+m)$, podemos calcular as derivadas de tais funções.
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
Vamos calcular o valor da derivada no ponto requerido: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
Resposta: 2.

Exemplo.
Desenhe uma tangente ao gráfico da função $y=ln(x)$ no ponto $x=e$.
Solução.
A equação da tangente ao gráfico da função, no ponto $x=a$, lembramos bem.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Vamos calcular sequencialmente os valores necessários.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
A equação da tangente no ponto $x=e$ é a função $y=\frac(x)(e)$.
Vamos plotar o logaritmo natural e a tangente.

Exemplo.
Investigue a função para monotonicidade e extrema: $y=x^6-6*ln(x)$.
Solução.
Domínio da função $D(y)=(0;+∞)$.
Encontre a derivada da função dada:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
A derivada existe para todo x do domínio de definição, então não há pontos críticos. Vamos encontrar pontos estacionários:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
O ponto $х=-1$ não pertence ao domínio de definição. Então temos um ponto estacionário $х=1$. Encontre os intervalos de aumento e diminuição:

O ponto $x=1$ é o ponto mínimo, então $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
Resposta: A função é decrescente no segmento (0;1], a função é crescente no raio $)