Representação logarítmica de um número. Logaritmo

Logaritmo de b (b > 0) para a base a (a > 0, a ≠ 1)é o expoente ao qual você precisa elevar o número a para obter b.

O logaritmo de base 10 de b pode ser escrito como registro(b), e o logaritmo para a base e (logaritmo natural) - ln(b).

Frequentemente usado ao resolver problemas com logaritmos:

Propriedades dos logaritmos

Existem quatro principais propriedades dos logaritmos.

Seja a > 0, a ≠ 1, x > 0 e y > 0.

Propriedade 1. Logaritmo do produto

Logaritmo do produtoé igual à soma dos logaritmos:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Propriedade 2. Logaritmo do quociente

Logaritmo do quocienteé igual à diferença de logaritmos:

log a (x / y) = log a x – log a y

Propriedade 3. Logaritmo do grau

logaritmo de graué igual ao produto do grau e do logaritmo:

Se a base do logaritmo estiver no expoente, outra fórmula se aplica:

Propriedade 4. Logaritmo da raiz

Essa propriedade pode ser obtida a partir da propriedade do logaritmo do grau, pois a raiz do enésimo grau é igual à potência de 1/n:

A fórmula para ir de um logaritmo em uma base para um logaritmo em outra base

Esta fórmula também é frequentemente usada ao resolver várias tarefas para logaritmos:

Caso especial:

Comparação de logaritmos (desigualdades)

Suponha que temos 2 funções f(x) e g(x) sob logaritmos com as mesmas bases e existe um sinal de desigualdade entre elas:

Para compará-los, primeiro você precisa olhar para a base dos logaritmos a:

• Se a > 0, então f(x) > g(x) > 0
• Se 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Como resolver problemas com logaritmos: exemplos

Tarefas com logaritmos incluídos no USE em matemática para a 11ª série na tarefa 5 e tarefa 7, você pode encontrar tarefas com soluções em nosso site nas seções relevantes. Além disso, tarefas com logaritmos são encontradas no banco de tarefas de matemática. Você pode encontrar todos os exemplos pesquisando no site.

o que é um logaritmo

Os logaritmos sempre foram considerados tema difícil na matemática escolar. Existem muitas definições diferentes de logaritmo, mas, por alguma razão, a maioria dos livros didáticos usa as mais complexas e infelizes delas.

Vamos definir o logaritmo de forma simples e clara. Vamos criar uma tabela para isso:

Então, temos potências de dois.

Logaritmos - propriedades, fórmulas, como resolver

Se você pegar o número da linha inferior, poderá encontrar facilmente a potência à qual deve aumentar um dois para obter esse número. Por exemplo, para obter 16, você precisa elevar dois à quarta potência. E para chegar a 64, você precisa elevar dois à sexta potência. Isso pode ser visto na tabela.

E agora - de fato, a definição do logaritmo:

a base a do argumento x é a potência à qual o número a deve ser elevado para obter o número x.

Notação: log a x \u003d b, onde a é a base, x é o argumento, b é realmente o que o logaritmo é igual.

Por exemplo, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (o logaritmo de base 2 de 8 é três porque 2 3 = 8). Pode muito bem logar 2 64 = 6, já que 2 6 = 64.

A operação de encontrar o logaritmo de um número para uma determinada base é chamada. Então, vamos adicionar uma nova linha à nossa tabela:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Infelizmente, nem todos os logaritmos são considerados tão facilmente. Por exemplo, tente encontrar log 2 5. O número 5 não está na tabela, mas a lógica determina que o logaritmo ficará em algum lugar do segmento. Porque 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Esses números são chamados de irracionais: os números após o ponto decimal podem ser escritos indefinidamente e nunca se repetem. Se o logaritmo for irracional, é melhor deixar assim: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

É importante entender que o logaritmo é uma expressão com duas variáveis ​​(base e argumento). A princípio, muitas pessoas confundem onde está a base e onde está o argumento. Para evitar mal-entendidos irritantes, basta dar uma olhada na foto:

Diante de nós nada mais é do que a definição do logaritmo. Lembrar: o logaritmo é a potência, para o qual você precisa aumentar a base para obter o argumento. É a base que é elevada a uma potência - na foto ela está destacada em vermelho. Acontece que a base está sempre no fundo! Eu conto essa regra maravilhosa para meus alunos logo na primeira aula - e não há confusão.

Como contar logaritmos

Descobrimos a definição - resta aprender a contar logaritmos, ou seja, livre-se do sinal de "log". Para começar, notamos que dois fatos importantes decorrem da definição:

1. O argumento e a base devem ser sempre maiores que zero. Isso decorre da definição do grau por um expoente racional, ao qual se reduz a definição do logaritmo.
2. A base deve ser diferente da unidade, pois uma unidade para qualquer potência ainda é uma unidade. Por causa disso, a questão “a que potência um deve ser elevado para obter dois” não tem sentido. Não existe tal grau!

Tais restrições são chamadas intervalo válido(ODZ). Acontece que o ODZ do logaritmo se parece com isto: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Observe que não há restrições quanto ao número b (o valor do logaritmo) não é imposto. Por exemplo, o logaritmo pode ser negativo: log 2 0,5 = −1, porque 0,5 = 2 −1 .

No entanto, agora estamos considerando apenas expressões numéricas, onde não é necessário saber o ODZ do logaritmo. Todas as restrições já foram levadas em consideração pelos compiladores dos problemas. Mas quando equações e desigualdades logarítmicas entram em jogo, os requisitos do DHS se tornam obrigatórios. De fato, na base e no argumento pode haver construções muito fortes, que não correspondem necessariamente às restrições acima.

Agora considere esquema geral cálculos logarítmicos. Consiste em três etapas:

1. Expresse a base a e o argumento x como uma potência com a menor base possível maior que um. Ao longo do caminho, é melhor se livrar das frações decimais;
2. Resolva a equação para a variável b: x = a b ;
3. O número b resultante será a resposta.

Isso é tudo! Se o logaritmo for irracional, isso será visto já na primeira etapa. A exigência de que a base seja maior que um é muito relevante: isso reduz a probabilidade de erro e simplifica muito os cálculos. Da mesma forma com frações decimais: se você as converter imediatamente em frações comuns, haverá muito menos erros.

Vamos ver como esse esquema funciona com exemplos específicos:

Tarefa. Calcule o logaritmo: log 5 25

1. Vamos representar a base e o argumento como uma potência de cinco: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Vamos fazer e resolver a equação:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

2. Recebeu uma resposta: 2.

Tarefa. Calcule o logaritmo:

Tarefa. Calcule o logaritmo: log 4 64

1. Vamos representar a base e o argumento como uma potência de dois: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Vamos fazer e resolver a equação:
   log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Recebeu uma resposta: 3.

Tarefa. Calcule o logaritmo: log 16 1

1. Vamos representar a base e o argumento como uma potência de dois: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Vamos fazer e resolver a equação:
   log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Recebeu uma resposta: 0.

Tarefa. Calcule o logaritmo: log 7 14

1. Vamos representar a base e o argumento como uma potência de sete: 7 = 7 1 ; 14 não é representado como uma potência de sete, porque 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Resulta do parágrafo anterior que o logaritmo não é considerado;
3. A resposta é nenhuma mudança: log 7 14.

Uma pequena nota para último exemplo. Como ter certeza de que um número não é uma potência exata de outro número? Muito simples - basta decompô-lo em fatores primos. Se houver pelo menos dois fatores distintos na expansão, o número não é uma potência exata.

Tarefa. Descubra se as potências exatas do número são: 8; 48; 81; 35; 14.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - o grau exato, porque existe apenas um multiplicador;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 não é uma potência exata porque existem dois fatores: 3 e 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - grau exato;
35 = 7 5 - novamente não é um grau exato;
14 \u003d 7 2 - novamente não é um grau exato;

Observe também que os próprios números primos são sempre potências exatas de si mesmos.

Logaritmo decimal

Alguns logaritmos são tão comuns que têm um nome e uma designação especiais.

do argumento x é o logaritmo de base 10, ou seja, a potência à qual 10 deve ser elevado para obter x. Designação: lgx.

Por exemplo, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - etc.

A partir de agora, quando aparecer uma frase como “Find lg 0.01” no livro didático, saiba que não se trata de um erro de digitação. Este é o logaritmo decimal. No entanto, se você não estiver acostumado com essa designação, sempre poderá reescrevê-la:
log x = log 10 x

Tudo o que é verdade para logaritmos comuns também é verdade para decimais.

Logaritmo natural

Existe outro logaritmo que tem sua própria notação. Em certo sentido, é ainda mais importante do que decimal. É sobre sobre o logaritmo natural.

do argumento x é o logaritmo da base e, ou seja, a potência à qual o número e deve ser elevado para obter o número x. Designação: lnx.

Muitos vão perguntar: qual é o número e? Este é um número irracional valor exato impossível de encontrar e gravar. Aqui estão apenas os primeiros números:
e = 2,718281828459…

Não vamos nos aprofundar em qual é esse número e por que ele é necessário. Apenas lembre-se que e é a base Logaritmo natural:
ln x = log e x

Assim ln e = 1; log e 2 = 2; ln e 16 = 16 - etc. Por outro lado, ln 2 é um número irracional. Em geral, o logaritmo natural de qualquer número racional é irracional. Exceto, é claro, a unidade: ln 1 = 0.

Para logaritmos naturais, todas as regras que são verdadeiras para logaritmos comuns são válidas.

Veja também:

Logaritmo. Propriedades do logaritmo (potência do logaritmo).

Como representar um número como um logaritmo?

Usamos a definição de logaritmo.

O logaritmo é um indicador da potência à qual a base deve ser elevada para obter o número sob o sinal do logaritmo.

Assim, para representar um determinado número c como um logaritmo na base a, você precisa colocar um grau com a mesma base da base do logaritmo sob o sinal do logaritmo e escrever esse número c no expoente:

Na forma de um logaritmo, você pode representar absolutamente qualquer número - positivo, negativo, inteiro, fracionário, racional, irracional:

Para não confundir a e c em condições estressantes de um teste ou exame, você pode usar a seguinte regra para lembrar:

o que está embaixo desce, o que está em cima sobe.

Por exemplo, você deseja representar o número 2 como um logaritmo na base 3.

Temos dois números - 2 e 3. Esses números são a base e o expoente, que escreveremos sob o sinal do logaritmo. Resta determinar qual desses números deve ser anotado, na base do grau, e qual - para cima, no expoente.

A base 3 no registro do logaritmo está na parte inferior, o que significa que quando representamos o duque como um logaritmo na base de 3, também escreveremos 3 na base.

2 é maior que 3. E na notação do grau, escrevemos o dois acima do três, ou seja, no expoente:

Logaritmos. Primeiro nível.

Logaritmos

logaritmo número positivo b Por razão a, Onde a > 0, a ≠ 1, é o expoente ao qual o número deve ser elevado. a, Obter b.

Definição de logaritmo pode ser brevemente escrito assim:

Esta igualdade é válida para b > 0, a > 0, a ≠ 1. Ele geralmente é chamado identidade logarítmica.
A ação de encontrar o logaritmo de um número é chamada logaritmo.

Propriedades dos logaritmos:

O logaritmo do produto:

Logaritmo do quociente da divisão:

Substituindo a base do logaritmo:

Logaritmo de grau:

raiz logarítmica:

Logaritmo com base de potência:

Logaritmos decimais e naturais.

Logaritmo decimal números chamam o logaritmo de base 10 desse número e escrevem   lg b
Logaritmo natural números chamam o logaritmo desse número para a base e, Onde eé um número irracional, aproximadamente igual a 2,7. Ao mesmo tempo, eles escrevem ln b.

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Propriedades básicas dos logaritmos

Propriedades básicas dos logaritmos

Os logaritmos, como qualquer número, podem ser adicionados, subtraídos e convertidos de todas as maneiras possíveis. Mas como os logaritmos não são números comuns, existem regras aqui, chamadas propriedades básicas.

Essas regras devem ser conhecidas - nenhum problema logarítmico sério pode ser resolvido sem elas. Além disso, são muito poucos - tudo pode ser aprendido em um dia. Então vamos começar.

Adição e subtração de logaritmos

Considere dois logaritmos com a mesma base: log a x e log a y. Então eles podem ser adicionados e subtraídos, e:

1. log a x + log a y = log a (x y);
2. log a x - log a y = log a (x: y).

Assim, a soma dos logaritmos é igual ao logaritmo do produto, e a diferença é o logaritmo do quociente. Observe: o ponto chave aqui é - mesmos motivos. Se as bases forem diferentes, essas regras não funcionam!

Estas fórmulas irão ajudá-lo a calcular expressão logarítmica mesmo quando suas partes individuais não são consideradas (veja a lição "O que é um logaritmo"). Dê uma olhada nos exemplos e veja:

log 6 4 + log 6 9.

Como as bases dos logaritmos são iguais, usamos a fórmula da soma:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Tarefa. Encontre o valor da expressão: log 2 48 − log 2 3.

As bases são iguais, usamos a fórmula da diferença:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Tarefa. Encontre o valor da expressão: log 3 135 − log 3 5.

Novamente, as bases são as mesmas, então temos:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Como você pode ver, as expressões originais são compostas por logaritmos "ruins", que não são considerados separadamente. Mas depois que as transformações resultam números bastante normais. Com base nesse fato, muitos papéis de teste. Sim, controle - expressões semelhantes com toda a seriedade (às vezes - praticamente sem alterações) são oferecidas no exame.

Removendo o expoente do logaritmo

Agora vamos complicar um pouco a tarefa. E se houver um grau na base ou argumento do logaritmo? Então o expoente deste grau pode ser retirado do sinal do logaritmo de acordo com as seguintes regras:

É fácil ver que última regra segue os dois primeiros. Mas é melhor lembrar de qualquer maneira - em alguns casos, reduzirá significativamente a quantidade de cálculos.

Claro, todas essas regras fazem sentido se o logaritmo ODZ for observado: a > 0, a ≠ 1, x > 0. E mais uma coisa: aprenda a aplicar todas as fórmulas não apenas da esquerda para a direita, mas também vice-versa, ou seja, você pode inserir os números antes do sinal do logaritmo no próprio logaritmo.

Como resolver logaritmos

Isso é o que é mais frequentemente necessário.

Tarefa. Encontre o valor da expressão: log 7 49 6 .

Vamos nos livrar do grau no argumento de acordo com a primeira fórmula:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Tarefa. Encontre o valor da expressão:

Observe que o denominador é um logaritmo cuja base e argumento são potências exatas: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Nós temos:

Acho que o último exemplo precisa de esclarecimento. Para onde foram os logaritmos? Até o último momento, trabalhamos apenas com o denominador. Eles apresentaram a base e o argumento do logaritmo parado ali na forma de graus e retiraram os indicadores - obtiveram uma fração de “três andares”.

Agora vamos ver a fração principal. O numerador e o denominador têm o mesmo número: log 2 7. Como log 2 7 ≠ 0, podemos reduzir a fração - 2/4 permanecerá no denominador. Pelas regras da aritmética, o quatro pode ser transferido para o numerador, o que foi feito. O resultado é a resposta: 2.

Transição para uma nova fundação

Falando sobre as regras de adição e subtração de logaritmos, enfatizei especificamente que eles só funcionam com as mesmas bases. E se as bases forem diferentes? E se não forem potências exatas do mesmo número?

As fórmulas de transição para uma nova base vêm em socorro. Nós os formulamos na forma de um teorema:

Seja dado o logaritmo log a x. Então, para qualquer número c tal que c > 0 e c ≠ 1, a igualdade é verdadeira:

Em particular, se colocarmos c = x, obtemos:

Segue-se da segunda fórmula que é possível trocar a base e o argumento do logaritmo, mas neste caso toda a expressão é “invertida”, ou seja, o logaritmo está no denominador.

Essas fórmulas raramente são encontradas em expressões numéricas comuns. É possível avaliar a conveniência deles apenas na resolução de equações e inequações logarítmicas.

No entanto, existem tarefas que não podem ser resolvidas, exceto pela mudança para uma nova fundação. Vamos considerar alguns deles:

Tarefa. Encontre o valor da expressão: log 5 16 log 2 25.

Observe que os argumentos de ambos os logaritmos são expoentes exatos. Vamos retirar os indicadores: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Agora vamos inverter o segundo logaritmo:

Como o produto não muda com a permutação de fatores, multiplicamos calmamente quatro e dois e depois calculamos os logaritmos.

Tarefa. Encontre o valor da expressão: log 9 100 lg 3.

A base e o argumento do primeiro logaritmo são potências exatas. Vamos anotar e nos livrar dos indicadores:

Agora vamos nos livrar do logaritmo decimal movendo para uma nova base:

Identidade logarítmica básica

Muitas vezes, no processo de resolução, é necessário representar um número como um logaritmo para uma determinada base.

Nesse caso, as fórmulas nos ajudarão:

No primeiro caso, o número n torna-se o expoente no argumento. O número n pode ser absolutamente qualquer coisa, porque é apenas o valor do logaritmo.

A segunda fórmula é, na verdade, uma definição parafraseada. Chama-se assim:

De fato, o que acontecerá se o número b for elevado a tal grau que o número b nesse grau dê o número a? Isso mesmo: este é o mesmo número a. Leia este parágrafo com atenção novamente - muitas pessoas "penduram" nele.

Como as fórmulas para mudar para uma nova base, o principal identidade logarítmicaàs vezes é a única solução possível.

Tarefa. Encontre o valor da expressão:

Observe que log 25 64 = log 5 8 - apenas retirou o quadrado da base e o argumento do logaritmo. Dadas as regras para multiplicar potências com a mesma base, obtemos:

Se alguém não sabe, esta foi uma tarefa real do Exame de Estado Unificado 🙂

Unidade logarítmica e zero logarítmico

Concluindo, darei duas identidades que são difíceis de chamar de propriedades - ao contrário, são consequências da definição do logaritmo. Eles são constantemente encontrados em problemas e, surpreendentemente, criam problemas até mesmo para alunos "avançados".

1. log a a = 1 é. Lembre-se de uma vez por todas: o logaritmo para qualquer base a a partir dessa própria base é igual a um.
2. log a 1 = 0 é. A base a pode ser qualquer coisa, mas se o argumento for um, o logaritmo é zero! Porque a 0 = 1 é uma consequência direta da definição.

Essas são todas as propriedades. Não deixe de praticar colocando-os em prática! Baixe a folha de dicas no início da lição, imprima-a e resolva os problemas.

Expressões logarítmicas, solução de exemplos. Neste artigo, vamos considerar problemas relacionados à resolução de logaritmos. As tarefas levantam a questão de encontrar o valor da expressão. Deve-se notar que o conceito de logaritmo é usado em muitas tarefas e é extremamente importante entender seu significado. Quanto ao USE, o logaritmo é utilizado na resolução de equações, em problemas aplicados, e também em tarefas relacionadas ao estudo de funções.

Aqui estão exemplos para entender o próprio significado do logaritmo:

Identidade logarítmica básica:

Propriedades dos logaritmos que você deve sempre lembrar:

*O logaritmo do produto é igual à soma dos logaritmos dos fatores.

* * *

* O logaritmo do quociente (fração) é igual à diferença dos logaritmos dos fatores.

* * *

* O logaritmo do grau é igual ao produto do expoente e o logaritmo de sua base.

* * *

*Transição para nova base

* * *

Mais propriedades:

* * *

A computação de logaritmos está intimamente relacionada ao uso das propriedades dos expoentes.

Listamos alguns deles:

A essência dessa propriedade é que, ao transferir o numerador para o denominador e vice-versa, o sinal do expoente muda para o oposto. Por exemplo:

Consequência desta propriedade:

* * *

Ao elevar uma potência a uma potência, a base permanece a mesma, mas os expoentes são multiplicados.

* * *

Como você pode ver, o próprio conceito de logaritmo é simples. O principal é que são necessárias boas práticas, o que dá uma certa habilidade. Certamente o conhecimento das fórmulas é obrigatório. Se a habilidade de converter logaritmos elementares não for formada, ao resolver tarefas simples, pode-se facilmente cometer um erro.

Pratique, resolva os exemplos mais simples do curso de matemática primeiro e depois passe para os mais complexos. No futuro com certeza vou mostrar como se resolvem os logaritmos “feios”, não vão ter no exame, mas interessam, não percam!

Isso é tudo! Boa sorte para você!

Atenciosamente, Alexander Krutitskikh

P.S: Ficaria muito grato se você falasse sobre o site nas redes sociais.

Continuamos a estudar logaritmos. Neste artigo vamos falar sobre cálculo de logaritmos, esse processo é chamado logaritmo. Primeiro, vamos lidar com o cálculo de logaritmos por definição. Em seguida, considere como os valores dos logaritmos são encontrados usando suas propriedades. Depois disso, vamos nos deter no cálculo de logaritmos por meio dos valores inicialmente dados de outros logaritmos. Finalmente, vamos aprender a usar tabelas de logaritmos. Toda a teoria é fornecida com exemplos com soluções detalhadas.

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Calculando logaritmos por definição

Nos casos mais simples, é possível realizar rápida e facilmente encontrando o logaritmo por definição. Vamos dar uma olhada mais de perto em como esse processo ocorre.

Sua essência é representar o número b na forma a c , onde, pela definição do logaritmo, o número c é o valor do logaritmo. Ou seja, por definição, encontrar o logaritmo corresponde à seguinte cadeia de igualdades: log a b=log a a c =c .

Assim, o cálculo do logaritmo, por definição, se resume a encontrar um número c tal que a c \u003d b, e o próprio número c é o valor desejado do logaritmo.

Dadas as informações dos parágrafos anteriores, quando o número sob o sinal do logaritmo é dado por algum grau da base do logaritmo, você pode indicar imediatamente a que o logaritmo é igual - é igual ao expoente. Vamos mostrar exemplos.

Exemplo.

Encontre log 2 2 −3 e também calcule o logaritmo natural de e 5,3 .

Solução.

A definição do logaritmo permite dizer desde já que log 2 2 −3 = −3 . De fato, o número sob o sinal do logaritmo é igual à base 2 elevado a -3.

Da mesma forma, encontramos o segundo logaritmo: lne 5,3 =5,3.

Responder:

log 2 2 −3 = −3 e lne 5,3 =5,3 .

Se o número b sob o sinal do logaritmo não for dado como a potência da base do logaritmo, você precisará considerar cuidadosamente se é possível apresentar uma representação do número b na forma a c . Freqüentemente, essa representação é bastante óbvia, especialmente quando o número sob o sinal do logaritmo é igual à base à potência de 1, ou 2, ou 3, ...

Exemplo.

Calcule os logaritmos log 5 25 , e .

Solução.

É fácil ver que 25=5 2 , isso permite calcular o primeiro logaritmo: log 5 25=log 5 5 2 =2 .

Procedemos ao cálculo do segundo logaritmo. Um número pode ser representado como uma potência de 7: (ver se necessário). Por isso, .

Vamos reescrever o terceiro logaritmo da seguinte forma. Agora você pode ver que , de onde concluímos que . Portanto, pela definição do logaritmo .

Resumidamente, a solução poderia ser escrita da seguinte forma:

Responder:

log 5 25=2 , E .

Quando um número natural suficientemente grande está sob o signo do logaritmo, não custa decompô-lo em fatores primos. Muitas vezes ajuda a representar um número como alguma potência da base do logaritmo e, portanto, calcular esse logaritmo por definição.

Exemplo.

Encontre o valor do logaritmo.

Solução.

Algumas propriedades dos logaritmos permitem que você especifique imediatamente o valor dos logaritmos. Essas propriedades incluem a propriedade do logaritmo de um e a propriedade do logaritmo de um número igual à base: log 1 1=log a a 0 =0 e log a a=log a a 1 =1 . Ou seja, quando o número 1 ou o número a está sob o sinal do logaritmo, igual à base do logaritmo, então nesses casos os logaritmos são 0 e 1, respectivamente.

Exemplo.

Quais são os logaritmos e lg10?

Solução.

Como , segue da definição do logaritmo .

No segundo exemplo, o número 10 sob o sinal do logaritmo coincide com sua base, então o logaritmo decimal de dez é igual a um, ou seja, lg10=lg10 1 =1 .

Responder:

E lg10=1 .

Observe que calcular logaritmos por definição (que discutimos no parágrafo anterior) implica o uso do log de igualdade a a p =p , que é uma das propriedades dos logaritmos.

Na prática, quando o número sob o sinal do logaritmo e a base do logaritmo são facilmente representados como uma potência de algum número, é muito conveniente usar a fórmula , que corresponde a uma das propriedades dos logaritmos. Considere um exemplo de como encontrar o logaritmo, ilustrando o uso dessa fórmula.

Exemplo.

Calcule o logaritmo de .

Solução.

Responder:

.

As propriedades dos logaritmos não mencionadas acima também são usadas no cálculo, mas falaremos sobre isso nos parágrafos seguintes.

Encontrando logaritmos em termos de outros logaritmos conhecidos

As informações neste parágrafo continuam o tópico de usar as propriedades dos logaritmos em seus cálculos. Mas aqui a principal diferença é que as propriedades dos logaritmos são usadas para expressar o logaritmo original em termos de outro logaritmo, cujo valor é conhecido. Vamos dar um exemplo para esclarecimento. Digamos que sabemos que log 2 3≈1.584963 , então podemos encontrar, por exemplo, log 2 6 fazendo uma pequena transformação usando as propriedades do logaritmo: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

No exemplo acima, bastava usarmos a propriedade do logaritmo do produto. No entanto, com muito mais frequência, você precisa usar um arsenal mais amplo de propriedades de logaritmos para calcular o logaritmo original em termos dos dados.

Exemplo.

Calcule o logaritmo de 27 na base 60 se for conhecido que log 60 2=a e log 60 5=b .

Solução.

Portanto, precisamos encontrar log 60 27 . É fácil ver que 27=3 3 , e o logaritmo original, devido à propriedade do logaritmo do grau, pode ser reescrito como 3·log 60 3 .

Agora vamos ver como log 60 3 pode ser expresso em termos de logaritmos conhecidos. A propriedade do logaritmo de um número igual à base permite escrever o log de igualdade 60 60=1 . Por outro lado, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Por isso, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Por isso, log 60 3=1−2 log 60 2−log 60 5=1−2 a−b.

Finalmente, calculamos o logaritmo original: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Responder:

log 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Separadamente, vale mencionar o significado da fórmula para a transição para uma nova base do logaritmo da forma . Ele permite que você passe de logaritmos com qualquer base para logaritmos com uma base específica, cujos valores são conhecidos ou é possível encontrá-los. Normalmente, do logaritmo original, de acordo com a fórmula de transição, eles mudam para logaritmos em uma das bases 2, e ou 10, pois para essas bases existem tabelas de logaritmos que permitem calculá-los com certo grau de precisão. Na próxima seção, mostraremos como isso é feito.

Tabelas de logaritmos, seu uso

Para um cálculo aproximado dos valores dos logaritmos, pode-se usar tabelas de logaritmos. As mais comumente usadas são a tabela de logaritmos de base 2, a tabela de logaritmos naturais e a tabela de logaritmos decimais. Ao trabalhar no sistema de numeração decimal, é conveniente usar uma tabela de logaritmos de base dez. Com sua ajuda, aprenderemos a encontrar os valores dos logaritmos.

A tabela apresentada permite, com uma precisão de um décimo de milésimo, encontrar os valores​​​dos logaritmos decimais dos números de 1,000 a 9,999 (com três casas decimais). O princípio de encontrar o valor do logaritmo usando a tabela de logaritmos decimais será analisado em exemplo específico- muito mais claro. Vamos encontrar lg1,256 .

Na coluna da esquerda da tabela de logaritmos decimais encontramos os dois primeiros dígitos do número 1,256, ou seja, encontramos 1,2 (esse número está circulado em azul para maior clareza). O terceiro dígito do número 1.256 (número 5) é encontrado na primeira ou última linha à esquerda da linha dupla (esse número está circulado em vermelho). O quarto dígito do número original 1.256 (número 6) é encontrado na primeira ou última linha à direita da linha dupla (esse número é circulado em verde). Agora encontramos os números nas células da tabela de logaritmos na interseção da linha marcada e colunas marcadas (esses números são destacados laranja). A soma dos números marcados dá o valor desejado do logaritmo decimal até a quarta casa decimal, ou seja, log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

É possível, usando a tabela acima, encontrar os valores dos logaritmos decimais de números que possuem mais de três dígitos após a vírgula, e também ultrapassar os limites de 1 a 9,999? Sim você pode. Vamos mostrar como isso é feito com um exemplo.

Vamos calcular lg102.76332 . Primeiro você precisa escrever número em forma padrão : 102.76332=1.0276332 10 2 . Depois disso, a mantissa deve ser arredondada para a terceira casa decimal, temos 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, enquanto o logaritmo decimal original é aproximadamente igual ao logaritmo do número resultante, ou seja, tomamos lg102.76332≈lg1.028·10 2 . Agora aplique as propriedades do logaritmo: lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Finalmente, encontramos o valor do logaritmo lg1.028 de acordo com a tabela de logaritmos decimais lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Como resultado, todo o processo de cálculo do logaritmo fica assim: lg102.76332=lg1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2≈0.012+2=2.012.

Concluindo, vale ressaltar que usando a tabela de logaritmos decimais, você pode calcular o valor aproximado de qualquer logaritmo. Para fazer isso, basta usar a fórmula de transição para ir aos logaritmos decimais, encontrar seus valores na tabela e realizar os cálculos restantes.

Por exemplo, vamos calcular log 2 3 . De acordo com a fórmula de transição para uma nova base do logaritmo, temos . Da tabela de logaritmos decimais encontramos lg3≈0,4771 e lg2≈0,3010. Por isso, .

Bibliografia.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. e outros Álgebra e os primórdios da análise: um livro didático para as séries 10-11 das instituições educacionais gerais.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemática (manual para candidatos a escolas técnicas).

Hoje vamos falar sobre fórmulas logarítmicas e dar demonstração exemplos de soluções.

Por si só, eles implicam padrões de solução de acordo com as propriedades básicas dos logaritmos. Antes de aplicar as fórmulas logarítmicas à solução, lembramos para você, primeiro, todas as propriedades:

Agora, com base nessas fórmulas (propriedades), mostramos exemplos de resolução de logaritmos.

Exemplos de resolução de logaritmos com base em fórmulas.

Logaritmo um número positivo b na base a (denotado log a b) é o expoente ao qual a deve ser elevado para obter b, com b > 0, a > 0 e 1.

De acordo com a definição log a b = x, que é equivalente a a x = b, então log a a x = x.

Logaritmos, exemplos:

log 2 8 = 3, porque 2 3 = 8

log 7 49 = 2 porque 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, porque 5 -1 = 1/5

Logaritmo decimalé um logaritmo comum, cuja base é 10. Denotado como lg.

log 10 100 = 2 porque 10 2 = 100

Logaritmo natural- também o logaritmo usual, mas com a base e (e \u003d 2,71828 ... - um número irracional). Referido como ln.

É desejável lembrar as fórmulas ou propriedades dos logaritmos, porque precisaremos delas mais tarde ao resolver logaritmos, equações logarítmicas e desigualdades. Vamos trabalhar com cada fórmula novamente com exemplos.

• Identidade logarítmica básica
  a log a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• O logaritmo do produto é igual a soma dos logaritmos
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4

• O logaritmo do quociente é igual à diferença dos logaritmos
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Propriedades do grau de um número logaritmável e a base do logaritmo

  O expoente de um número logarítmico log a b m = mlog a b

  Expoente base registro de logaritmo a n b = 1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  se m = n, obtemos log a n b n = log a b

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• Transição para uma nova fundação
  log a b = log c b / log c a,

  se c = b, obtemos log b b = 1

  então log a b = 1/log b a

  log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Como você pode ver, as fórmulas logarítmicas não são tão complicadas quanto parecem. Agora, tendo considerado exemplos de resolução de logaritmos, podemos passar para equações logarítmicas. Consideraremos exemplos de resolução de equações logarítmicas com mais detalhes no artigo: "". Não perca!

Se você ainda tiver dúvidas sobre a solução, escreva-as nos comentários do artigo.

Nota: decidiu obter uma educação de outra classe estudar no exterior como opção.

O foco deste artigo é logaritmo. Aqui daremos a definição do logaritmo, mostraremos a notação aceita, daremos exemplos de logaritmos e falaremos sobre logaritmos naturais e decimais. Depois disso, considere a identidade logarítmica básica.

Navegação da página.

Definição de logaritmo

O conceito de logaritmo surge ao resolver um problema em em certo sentido inverso, quando você precisa encontrar o expoente de um valor conhecido do grau e uma base conhecida.

Mas chega de preâmbulo, é hora de responder à pergunta "o que é um logaritmo"? Vamos dar uma definição apropriada.

Definição.

Logaritmo de b para base a, onde a>0 , a≠1 e b>0 é o expoente ao qual você precisa aumentar o número a para obter b como resultado.

Nesta fase, notamos que a palavra falada "logaritmo" deve levantar imediatamente duas questões: "qual número" e "com base em quê". Em outras palavras, simplesmente não existe logaritmo, mas existe apenas o logaritmo de um número em alguma base.

Apresentaremos imediatamente notação logarítmica: o logaritmo do número b para a base a é geralmente denotado como log a b . O logaritmo do número b para a base e e o logaritmo para a base 10 têm suas próprias designações especiais lnb e lgb respectivamente, ou seja, eles escrevem não log e b , mas lnb , e não log 10 b , mas lgb .

Agora você pode trazer: .
E os registros não faz sentido, pois no primeiro deles há um número negativo sob o sinal do logaritmo, no segundo - um número negativo na base e no terceiro - um número negativo sob o sinal do logaritmo e uma unidade na base.

Agora vamos falar sobre regras para ler logaritmos. A entrada log a b é lida como "logaritmo de b para a base a". Por exemplo, log 2 3 é o logaritmo de três na base 2 e é o logaritmo de dois ponto dois terços na base Raiz quadrada de cinco. O logaritmo para a base e é chamado Logaritmo natural, e a notação lnb é lida como "o logaritmo natural de b". Por exemplo, ln7 é o logaritmo natural de sete, e vamos lê-lo como o logaritmo natural de pi. O logaritmo de base 10 também tem um nome especial - logaritmo decimal, e a notação lgb é lida como "logaritmo decimal b". Por exemplo, lg1 é o logaritmo decimal de um e lg2,75 é o logaritmo decimal de dois ponto setenta e cinco centésimos.

Vale a pena deter-se separadamente nas condições a>0, a≠1 eb>0, sob as quais é dada a definição do logaritmo. Vamos explicar de onde vêm essas restrições. Para fazer isso, seremos auxiliados por uma igualdade da forma, chamada , que segue diretamente da definição do logaritmo dada acima.

Vamos começar com a≠1 . Como um é igual a um elevado a qualquer potência, a igualdade só pode ser verdadeira para b=1, mas log 1 1 pode ser qualquer número real. Para evitar essa ambigüidade, a≠1 é aceito.

Vamos substanciar a conveniência da condição a>0 . Com a=0, pela definição do logaritmo, teríamos igualdade , o que só é possível com b=0 . Mas log 0 0 pode ser qualquer número real diferente de zero, já que zero elevado a qualquer potência diferente de zero é zero. Essa ambigüidade pode ser evitada pela condição a≠0 . E por um<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Por fim, a condição b>0 decorre da desigualdade a>0 , pois , e o valor do grau com base positiva a é sempre positivo.

Concluindo este parágrafo, dizemos que a definição expressa do logaritmo permite indicar imediatamente o valor do logaritmo quando o número sob o sinal do logaritmo é um certo grau de base. Com efeito, a definição do logaritmo permite-nos afirmar que se b=a p , então o logaritmo do número b à base a é igual a p . Ou seja, o log de igualdade a a p =p é verdadeiro. Por exemplo, sabemos que 2 3 =8 , então log 2 8=3 . Falaremos mais sobre isso no artigo.