Expressões literais. Convertendo Expressões
Qualquer idioma pode expressar a mesma informação em palavras diferentes e revoluções. A linguagem matemática não é exceção. Mas a mesma expressão pode ser escrita equivalentemente de maneiras diferentes. E em algumas situações, uma das entradas é mais simples. Falaremos sobre simplificação de expressões nesta lição.
As pessoas se comunicam idiomas diferentes. Para nós, uma comparação importante é o par “língua russa - linguagem matemática”. A mesma informação pode ser comunicada em diferentes idiomas. Mas, além disso, pode ser pronunciado de diferentes maneiras em um idioma.
Por exemplo: “Petya é amigo de Vasya”, “Vasya é amigo de Petya”, “Petya e Vasya são amigos”. Dito de forma diferente, mas a mesma coisa. A partir de qualquer uma dessas frases entenderíamos do que estamos falando.
Vejamos esta frase: “O menino Petya e o menino Vasya são amigos”. Nós entendemos o que queremos dizer estamos falando sobre. No entanto, não gostamos do som desta frase. Não podemos simplificar, dizer a mesma coisa, mas mais simples? “Menino e menino” - você pode dizer uma vez: “Os meninos Petya e Vasya são amigos”.
“Meninos”... Não fica claro pelos nomes deles que não são meninas? Removemos os “meninos”: “Petya e Vasya são amigos”. E a palavra “amigos” pode ser substituída por “amigos”: “Petya e Vasya são amigos”. Como resultado, a primeira frase longa e feia foi substituída por uma afirmação equivalente, mais fácil de dizer e mais fácil de entender. Simplificamos esta frase. Simplificar significa dizer de forma mais simples, mas sem perder ou distorcer o significado.
Na linguagem matemática, acontece aproximadamente a mesma coisa. A mesma coisa pode ser dita, escrita de forma diferente. O que significa simplificar uma expressão? Isso significa que para a expressão original existem muitas expressões equivalentes, ou seja, aquelas que significam a mesma coisa. E de toda esta variedade devemos escolher a mais simples, em nossa opinião, ou a mais adequada aos nossos propósitos posteriores.
Por exemplo, considere a expressão numérica. Será equivalente a.
Também será equivalente aos dois primeiros: 
.
Acontece que simplificamos as nossas expressões e encontrámos a expressão equivalente mais curta.
Para expressões numéricas, você sempre precisa fazer tudo e obter a expressão equivalente como um único número.
Vejamos um exemplo de expressão literal . Obviamente, será mais simples.
Ao simplificar expressões literais, é necessário realizar todas as ações possíveis.
É sempre necessário simplificar uma expressão? Não, às vezes será mais conveniente para nós ter uma entrada equivalente, mas mais longa.
Exemplo: você precisa subtrair um número de um número.
É possível calcular, mas se o primeiro número fosse representado pela sua notação equivalente: , então os cálculos seriam instantâneos: .
Ou seja, uma expressão simplificada nem sempre é benéfica para cálculos posteriores.
No entanto, muitas vezes nos deparamos com uma tarefa que soa apenas como “simplificar a expressão”.
Simplifique a expressão: .
Solução
1) Execute as ações do primeiro e segundo colchetes: .
2) Vamos calcular os produtos: .
Obviamente, a última expressão tem uma forma mais simples que a inicial. Nós simplificamos isso.
Para simplificar a expressão, ela deve ser substituída por um equivalente (igual).
Para determinar a expressão equivalente, você precisa:
1) realizar todas as ações possíveis,
2) utilizar as propriedades de adição, subtração, multiplicação e divisão para simplificar os cálculos.
Propriedades de adição e subtração:
1. Propriedade comutativa da adição: reorganizar os termos não altera a soma.
2. Propriedade combinativa de adição: para adicionar um terceiro número à soma de dois números, você pode adicionar a soma do segundo e do terceiro números ao primeiro número.
3. A propriedade de subtrair uma soma de um número: para subtrair uma soma de um número, você pode subtrair cada termo separadamente.
Propriedades de multiplicação e divisão
1. Propriedade comutativa da multiplicação: reorganizar os fatores não altera o produto.
2. Propriedade combinativa: para multiplicar um número pelo produto de dois números, você pode primeiro multiplicá-lo pelo primeiro fator e depois multiplicar o produto resultante pelo segundo fator.
3. Propriedade distributiva da multiplicação: para multiplicar um número por uma soma, é necessário multiplicá-lo por cada termo separadamente.
Vamos ver como realmente fazemos cálculos mentais.
Calcular:
Solução
1) Vamos imaginar como
2) Vamos imaginar o primeiro fator como uma soma de termos de bits e realizar a multiplicação:
3) você pode imaginar como e realizar a multiplicação:
4) Substitua o primeiro fator por uma soma equivalente:
A lei distributiva também pode ser usada em lado reverso: .
Siga esses passos:
1) 
2) 
Solução
1) Por conveniência, você pode usar a lei distributiva, apenas use-a na direção oposta - retire o fator comum dos colchetes.
2) Vamos tirar o fator comum dos colchetes
É necessário comprar linóleo para cozinha e corredor. Área da cozinha - , corredor - . Existem três tipos de linóleo: para e rublos para. Quanto custará cada um? três tipos linóleo? (Figura 1)
Arroz. 1. Ilustração para a declaração do problema
Solução
Método 1. Você pode descobrir separadamente quanto dinheiro será necessário para comprar linóleo para a cozinha, colocá-lo no corredor e somar os produtos resultantes.
No início da lição revisaremos as propriedades básicas das raízes quadradas e depois veremos vários exemplos complexos para simplificar expressões contendo raízes quadradas.
Assunto:Função. Propriedades raiz quadrada
Lição:Convertendo e simplificando expressões mais complexas com raízes
1. Revisão das propriedades das raízes quadradas
Vamos repetir brevemente a teoria e relembrar as propriedades básicas das raízes quadradas.
Propriedades das raízes quadradas:
1. portanto,;
3. 
;
4. 
.
2. Exemplos de simplificação de expressões com raízes
Vejamos exemplos de uso dessas propriedades.
Exemplo 1: Simplifique uma expressão 
.
Solução. Para simplificar, o número 120 deve ser fatorado em fatores primos:
Revelaremos o quadrado da soma usando a fórmula apropriada:
Exemplo 2: Simplifique uma expressão 
.
Solução. Levemos em consideração que esta expressão não faz sentido para todos os valores possíveis da variável, pois esta expressão contém raízes quadradas e frações, o que leva a um “estreitamento” da faixa de valores permitidos. ODZ: 
().
Vamos trazer a expressão entre colchetes para o denominador comum e escrever o numerador da última fração como a diferença dos quadrados:
Responder. no.
Exemplo 3: Simplifique uma expressão 
.
Solução. Percebe-se que o segundo colchete do numerador tem uma aparência inconveniente e precisa ser simplificado; vamos tentar fatorá-lo usando o método de agrupamento.
Para poder derivar um fator comum, simplificamos as raízes fatorando-as. Vamos substituir a expressão resultante na fração original:
Depois de reduzir a fração, aplicamos a fórmula da diferença de quadrados.
3. Um exemplo de como se livrar da irracionalidade
Exemplo 4. Liberte-se da irracionalidade (raízes) no denominador: a) ; b).
Solução. a) Para se livrar da irracionalidade no denominador, utiliza-se o método padrão de multiplicar o numerador e o denominador de uma fração pelo fator conjugado ao denominador (a mesma expressão, mas com sinal oposto). Isso é feito para complementar o denominador da fração à diferença dos quadrados, o que permite eliminar as raízes do denominador. Vamos fazer isso no nosso caso:
b) realizar ações semelhantes:
4. Exemplo de prova e identificação de um quadrado completo em um radical complexo
Exemplo 5. Prove igualdade 
.
Prova. Vamos usar a definição de raiz quadrada, da qual segue que o quadrado da expressão à direita deve ser igual à expressão radical:
. Vamos abrir os colchetes usando a fórmula do quadrado da soma:
, obtivemos a igualdade correta.
Comprovado.
Exemplo 6. Simplifique a expressão.
Solução. Esta expressão é geralmente chamada de radical complexo (raiz sob raiz). EM neste exemplo você precisa adivinhar para isolar um quadrado completo da expressão radical. Para isso, observe que dos dois termos, ele é candidato ao papel do produto duplo na fórmula da diferença quadrada (diferença, pois há menos). Vamos escrevê-lo na forma do seguinte produto: , então o papel de um dos termos quadrado completo reivindicações , e para o papel do segundo - 1.
Vamos substituir esta expressão na raiz.
Seção 5 EXPRESSÕES E EQUAÇÕES
Nesta seção você aprenderá:
ü o expressões e suas simplificações;
ü quais são as propriedades das igualdades;
ü como resolver equações com base nas propriedades das igualdades;
ü que tipos de problemas são resolvidos por meio de equações; o que são retas perpendiculares e como construí-las;
ü quais linhas são chamadas de paralelas e como construí-las;
ü o que é um plano coordenado?
ü como determinar as coordenadas de um ponto em um plano;
ü o que é um gráfico da relação entre quantidades e como construí-lo;
ü como aplicar o material estudado na prática
§ 30. EXPRESSÕES E SUA SIMPLIFICAÇÃO
Você já sabe o que são expressões de letras e sabe como simplificá-las usando as leis da adição e da multiplicação. Por exemplo, 2a ∙ (-4 b) = -8ab . Na expressão resultante, o número -8 é chamado de coeficiente da expressão.
Será que a expressão CD coeficiente? Então. É igual a 1 porque CD - 1 ∙ CD .
Lembre-se de que converter uma expressão com parênteses em uma expressão sem parênteses é chamado de expansão dos parênteses. Por exemplo: 5(2x + 4) = 10x+ 20.
A ação inversa neste exemplo é retirar o fator comum dos colchetes.
Termos que contêm os mesmos fatores de letras são chamados de termos semelhantes. Ao retirar o fator comum dos colchetes, termos semelhantes são levantados:
5x + y + 4 - 2x + 6 y - 9 =
= (5x - 2x) + (y + 6y )+ (4 - 9) = = (5-2)* + (1 + 6)* y -5 =
Bx+ 7y - 5.
Regras para abrir parênteses
1. Se houver um sinal “+” antes dos colchetes, então ao abrir os colchetes, os sinais dos termos entre colchetes são preservados;
2. Se houver um sinal “-” na frente dos colchetes, quando os colchetes forem abertos, os sinais dos termos entre colchetes mudam para o oposto.
Tarefa 1. Simplifique a expressão:
1) 4x+(-7x + 5);
2) 15 anos -(-8 + 7 anos).
Soluções. 1. Antes dos colchetes há um sinal “+”, portanto, ao abrir os colchetes, os sinais de todos os termos são preservados:
4x +(-7x + 5) = 4x - 7x + 5=-3x + 5.
2. Antes dos colchetes há um sinal “-”, portanto ao abrir os colchetes: os sinais de todos os termos são invertidos:
15 - (- 8 + 7y) = 15y + 8 - 7y = 8y +8.
Para abrir os parênteses, use a propriedade distributiva da multiplicação: a( b + c) = ab + ac. Se a > 0, então os sinais dos termos b e com não mude. Se um< 0, то знаки слагаемых b e mude para o oposto.
Tarefa 2. Simplifique a expressão:
1) 2(6 anos -8) + 7 anos;
2)-5(2-5x) + 12.
Soluções. 1. O fator 2 na frente dos colchetes é positivo, portanto, ao abrir os colchetes, preservamos os sinais de todos os termos: 2(6 y - 8) + 7 y = 12 y - 16 + 7 y =19 y -16.
2. O fator -5 na frente dos colchetes é negativo, portanto, ao abrir os colchetes, alteramos os sinais de todos os termos para o oposto:
5(2 - 5x) + 12 = -10 + 25x +12 = 2 + 25x.
Descubra mais
1. A palavra “soma” vem do latim soma , que significa “total”, “valor total”.
2. A palavra “mais” vem do latim mais que significa "mais" e a palavra "menos" vem do latim menos O que significa “menos”? Os sinais “+” e “-” são utilizados para indicar as operações de adição e subtração. Esses sinais foram introduzidos pelo cientista tcheco J. Widman em 1489 no livro “Um relato rápido e agradável para todos os comerciantes”(Fig. 138).
Arroz. 138
LEMBRE-SE DO IMPORTANTE
1. Quais termos são chamados de semelhantes? Como esses termos são construídos?
2. Como você abre parênteses precedidos de um sinal “+”?
3. Como você abre parênteses precedidos de um sinal “-”?
4. Como abrir parênteses precedidos de fator positivo?
5. Como abrir parênteses precedidos por um fator negativo?
1374". Nomeie o coeficiente da expressão:
1)12a; 3) -5,6xy;
2)4 6; 4)-s.
1375". Cite os termos que diferem apenas pelo coeficiente:
1) 10a+76-26+a; 3) 5 n + 5 m -4 n + 4;
2) bc -4 d - bc + 4 d ; 4)5x + 4y-x + y.
Como são chamados esses termos?
1376". Existem termos semelhantes na expressão:
1)11a+10a; 3)6 n + 15 n ; 5) 25r - 10r + 15r;
2) 14s-12; 4)12m + m; 6)8 k +10 k - n ?
1377". É necessário alterar os sinais dos termos entre colchetes, abrindo os colchetes na expressão:
1)4 + (uma+ 3b); 2)-c +(5-d); 3) 16-(5m-8n)?
1378°. Simplifique a expressão e sublinhe o coeficiente:
1379°. Simplifique a expressão e sublinhe o coeficiente:
1380°. Combine termos semelhantes:
1) 4a - Po + 6a - 2a; 4) 10 - 4 d-12 + 4d;
2) 4b - 5b + 4 + 5b ; 5) 5a - 12b - 7a + 5b;
3)-7 ang="PT-US">c+ 5-3 c + 2; 6) 14 n - 12 m -4 n -3 m.
1381°. Combine termos semelhantes:
1) 6a - 5a + 8a -7a; 3) 5s + 4-2s-3s;
2)9b+12-8-46; 4) -7n + 8m - 13n - 3m.
1382°. Retire o fator comum dos colchetes:
1)1,2 a +1,2 b; 3) -3n - 1,8m; 5)-5 p + 2,5 k -0,5 t ;
2) 0,5s + 5d; 4) 1,2n - 1,8m; 6) -8r - 10k - 6t.
1383°. Retire o fator comum dos colchetes:
1) 6a-12b; 3) -1,8 n -3,6m;
2) -0,2 s + 1 4 d ; A) 3p - 0,9k + 2,7t.
1384°. Abra os colchetes e combine termos semelhantes;
1) 5 + (4a -4); 4) -(5 c - d) + (4 d + 5c);
2) 17x-(4x-5); 5) (n - m) - (-2 m - 3 n);
3) (76 - 4) - (46 + 2); 6) 7(-5x + y) - (-2y + 4x) + (x - 3y).
1385°. Abra os colchetes e combine termos semelhantes:
1) 10a + (4 - 4a); 3) (s - 5 d) - (- d + 5c);
2) -(46-10) + (4-56); 4)-(5n +m) + (-4n + 8m)-(2m -5n).
1386°. Abra os colchetes e encontre o significado da expressão:
1)15+(-12+ 4,5); 3) (14,2-5)-(12,2-5);
2) 23-(5,3-4,7); 4) (-2,8 + 13)-(-5,6 + 2,8) + (2,8-13).
1387°. Abra os colchetes e encontre o significado da expressão:
1) (14- 15,8)- (5,8 + 4);
2)-(18+22,2)+ (-12+ 22,2)-(5- 12).
1388°. Abra parênteses:
1)0,5 ∙ (a + 4); 4) (n - m) ∙ (-2,4 p);
2)-s ∙ (2,7-1,2 d ); 5)3 ∙ (-1,5 r + k - 0,2 t);
3) 1,6 ∙ (2 n + m); 6) (4,2 p - 3,5 k -6 t) ∙ (-2a).
1389°. Abra parênteses:
1) 2,2∙(x-4); 3)(4 c - d )∙(-0,5 y );
2) -2∙(1,2n-m); 4)6- (-р + 0,3 k - 1,2 t).
1390. Simplifique a expressão:
1391. Simplifique a expressão:
1392. Reduza termos semelhantes:
1393. Combine termos semelhantes:
1394. Simplifique a expressão:
1)2,8 - (0,5 a + 4) - 2,5 ∙ (2a - 6);
2) -12 ∙ (8 - 2, por ) + 4,5 ∙ (-6 y - 3,2);
4) (-12,8 m + 24,8 n) ∙ (-0,5)-(3,5 m -4,05 m) ∙ 2.
1395. Simplifique a expressão:
1396. Encontre o significado da expressão;
1) 4-(0,2 a-3)-(5,8 a-16), se a = -5;
2) 2-(7-56)+ 156-3∙(26+ 5), se = -0,8;
m = 0,25, n = 5,7.
1397. Encontre o significado da expressão:
1) -4∙ (i-2) + 2∙(6x - 1), se x = -0,25;
1398*. Encontre o erro na solução:
1)5- (a-2,4)-7 ∙ (-a+ 1,2) = 5a - 12-7a + 8,4 = -2a-3,6;
2) -4 ∙ (2,3 a - 6) + 4,2 ∙ (-6 - 3,5 a) = -9,2 a + 46 + 4,26 - 14,7 a = -5,5 a + 8,26.
1399*. Abra os parênteses e simplifique a expressão:
1) 2ab - 3(6(4a - 1) - 6(6 - 10a)) + 76;
1400*. Organize os parênteses para obter a igualdade correta:
1)a-6-a + 6 = 2a; 2) uma -2 b -2 uma + b = 3 uma -3 b .
1401*. Prove que para quaisquer números a e b se a > b , então a igualdade é válida:
1) (a + b) + (a- b) = 2a; 2) (a + b) - (a - b) = 2 b.
Esta igualdade será correta se: a) a< b; b) uma = 6?
1402*. Prove que para qualquer número natural a, a média aritmética dos números anteriores e seguintes é igual ao número a.
COLOQUE EM PRÁTICA
1403. Para preparar uma sobremesa de frutas para três pessoas são necessários: 2 maçãs, 1 laranja, 2 bananas e 1 kiwi. Como criar uma expressão de letras para determinar a quantidade de frutas necessárias para preparar a sobremesa dos convidados? Ajude Marin a calcular quantas frutas ela precisa comprar se: 1) 5 amigos vierem visitá-la; 2) 8 amigos.
1404. Faça uma expressão alfabética para determinar o tempo necessário para concluir seu dever de matemática se:
1) foi gasto um minuto na resolução de problemas; 2) a simplificação das expressões é 2 vezes maior do que na resolução de problemas. Quanto tempo demorou para ser concluído trabalho de casa Vasilko, se ele passasse 15 minutos resolvendo problemas?
1405. O almoço no refeitório da escola consiste em salada, borscht, rolinho de repolho e compota. O custo da salada é de 20%, do borscht - 30%, do rolinho de repolho - 45%, da compota - 5% do custo total de todo o almoço. Escreva uma expressão para saber o custo do almoço na cantina da escola. Quanto custa o almoço se o preço da salada for 2 UAH?
REVISAR PROBLEMAS
1406. Resolva a equação:
1407. Tanya gastou em sorvetetodo o dinheiro disponível e para doces -o resto. Quanto dinheiro resta para Tanya?
se os doces custam 12 UAH?
§ 1º O conceito de simplificação de uma expressão literal
Nesta lição conheceremos o conceito de “termos semelhantes” e, a partir de exemplos, aprenderemos como realizar a redução de termos semelhantes, simplificando assim expressões literais.
Vamos descobrir o significado do conceito “simplificação”. A palavra “simplificação” é derivada da palavra “simplificar”. Simplificar significa tornar simples, mais simples. Portanto, simplificar uma expressão alfabética é torná-la mais curta, com um número mínimo de ações.
Considere a expressão 9x + 4x. Esta é uma expressão literal que é uma soma. Os termos aqui são apresentados como produtos de um número e uma letra. O fator numérico de tais termos é chamado de coeficiente. Nesta expressão, os coeficientes serão os números 9 e 4. Observe que o fator representado pela letra é o mesmo nos dois termos desta soma.
Vamos relembrar a lei distributiva da multiplicação:
Para multiplicar uma soma por um número, você pode multiplicar cada termo por esse número e adicionar os produtos resultantes.
EM visão geral escrito da seguinte forma: (a + b) ∙ c = ac + bc.
Esta lei é verdadeira em ambas as direções ac + bc = (a + b) ∙ c
Vamos aplicar à nossa expressão literal: a soma dos produtos de 9x e 4x é igual a um produto cujo primeiro fator é igual à soma de 9 e 4, o segundo fator é x.
9 + 4 = 13, isso é 13x.
9x + 4x = (9 + 4)x = 13x.
Em vez de três ações na expressão, resta apenas uma ação - multiplicação. Isso significa que tornamos nossa expressão literal mais simples, ou seja, simplificou.
§ 2º Redução de prazos similares
Os termos 9x e 4x diferem apenas em seus coeficientes - tais termos são chamados de semelhantes. A parte da letra de termos semelhantes é a mesma. Termos semelhantes também incluem números e termos iguais.
Por exemplo, na expressão 9a + 12 - 15 termos semelhantes serão os números 12 e -15, e na soma do produto de 12 e 6a, o número 14 e o produto de 12 e 6a (12 ∙ 6a + 14 + 12 ∙ 6a) os termos iguais representados pelo produto de 12 e 6a.
É importante notar que termos cujos coeficientes são iguais, mas cujos fatores alfabéticos são diferentes, não são semelhantes, embora às vezes seja útil aplicar-lhes a lei distributiva da multiplicação, por exemplo, a soma dos produtos 5x e 5y é igual ao produto do número 5 e a soma de x e y
5x + 5y = 5(x + y).
Vamos simplificar a expressão -9a + 15a - 4 + 10.
Termos semelhantes em nesse caso são os termos -9a e 15a, pois diferem apenas em seus coeficientes. O multiplicador de letras deles é o mesmo, e os termos -4 e 10 também são semelhantes, pois são números. Some termos semelhantes:
9a + 15a - 4 + 10
9a + 15a = 6a;
Obtemos: 6a + 6.
Ao simplificar a expressão, encontramos as somas de termos semelhantes; em matemática isso é chamado de redução de termos semelhantes.
Se for difícil adicionar esses termos, você pode criar palavras para eles e adicionar objetos.
Por exemplo, considere a expressão:
Para cada letra pegamos nosso próprio objeto: b-apple, c-pear, então obtemos: 2 maçãs menos 5 peras mais 8 peras.
Podemos subtrair peras de maçãs? Claro que não. Mas podemos adicionar 8 peras a menos 5 peras.
Apresentamos termos semelhantes -5 peras + 8 peras. Termos semelhantes possuem a mesma parte alfabética, portanto ao trazer termos semelhantes basta somar os coeficientes e adicionar a parte alfabética ao resultado:
(-5 + 8) peras - você ganha 3 peras.
Voltando à nossa expressão literal, temos -5 s + 8 s = 3 s. Assim, após trazer termos semelhantes, obtemos a expressão 2b + 3c.
Portanto, nesta lição você conheceu o conceito de “termos semelhantes” e aprendeu como simplificar expressões de letras reduzindo termos semelhantes.
Lista de literatura usada:
- Matemática. 6ª série: planos de aula para o livro didático de I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // autor-compilador L.A. Topilina. Mnemósine 2009.
- Matemática. 6ª série: livro didático para alunos de instituições de ensino geral. I. I. Zubareva, A. G. Mordkovich.- M.: Mnemosyne, 2013.
- Matemática. 6ª série: livro didático para instituições de ensino geral/G.V. Dorofeev, I.F. Sharygin, S.B. Suvorov e outros/editado por G.V. Dorofeeva, I.F. Sharygina; Academia Russa de Ciências, Academia Russa de Educação. M.: “Iluminismo”, 2010.
- Matemática. 6ª série: estudo para instituições de ensino geral/N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Schwartzburd. – M.: Mnemosyna, 2013.
- Matemática. 6ª série: livro didático/G.K. Muravin, O.V. Muravina. – M.: Abetarda, 2014.
Imagens usadas:
Primeiro nível
Convertendo Expressões. Teoria detalhada (2019)
Convertendo Expressões
Muitas vezes ouvimos esta frase desagradável: “simplifique a expressão”. Normalmente vemos algum tipo de monstro como este:
“É muito mais simples”, dizemos, mas essa resposta geralmente não funciona.
Agora vou te ensinar a não ter medo de tais tarefas. Além disso, no final da lição, você mesmo simplificará este exemplo para (apenas!) um número comum (sim, para o inferno com essas letras).
Mas antes de começar esta lição, você precisa ser capaz de lidar com frações e fatorar polinômios. Portanto, primeiro, se você ainda não fez isso, certifique-se de dominar os tópicos “” e “”.
Você leu isso? Se sim, então agora você está pronto.
Operações básicas de simplificação
Agora vejamos as técnicas básicas usadas para simplificar expressões.
O mais simples é
1. Trazendo semelhantes
O que são semelhantes? Você fez isso na 7ª série, quando letras em vez de números apareceram pela primeira vez na matemática. Semelhantes são os termos (monômios) com a mesma parte da letra. Por exemplo, na soma, termos semelhantes são e.
Você se lembra?
Trazer semelhantes significa adicionar vários termos semelhantes entre si e obter um termo.
Como podemos juntar as letras? - você pergunta.
Isso é muito fácil de entender se você imaginar que as letras são algum tipo de objeto. Por exemplo, uma carta é uma cadeira. Então a que é igual a expressão? Duas cadeiras mais três cadeiras, quantas serão? Isso mesmo, cadeiras: .
Agora tente esta expressão: .
Para evitar confusão, deixe letras diferentes representarem objetos diferentes. Por exemplo, - é (como sempre) uma cadeira e - é uma mesa. Então:
cadeiras mesas mesas de cadeiras cadeiras cadeiras mesas
Os números pelos quais as letras em tais termos são multiplicadas são chamados coeficientes. Por exemplo, num monômio o coeficiente é igual. E nisso é igual.
Então, a regra para trazer similares é:
Exemplos:
Dê outros semelhantes:
Respostas:
2. (e semelhantes, pois, portanto, esses termos possuem a mesma parte alfabética).
2. Fatoração
Isso geralmente é o mais uma parte importante na simplificação de expressões. Depois de fornecer outras semelhantes, na maioria das vezes a expressão resultante precisa ser fatorada, ou seja, apresentada como um produto. Isto é especialmente importante em frações: para poder reduzir uma fração, o numerador e o denominador devem ser representados como um produto.
Você abordou detalhadamente os métodos de fatoração de expressões no tópico “”, então aqui você só precisa lembrar o que aprendeu. Para fazer isso, decida alguns exemplos(precisa ser fatorado):
Soluções:
3. Reduzindo uma fração.
Bem, o que poderia ser mais agradável do que riscar parte do numerador e do denominador e jogá-los fora da sua vida?
Essa é a beleza do downsizing.
É simples:
Se o numerador e o denominador contiverem os mesmos fatores, eles podem ser reduzidos, ou seja, retirados da fração.
Esta regra segue da propriedade básica de uma fração:
Ou seja, a essência da operação de redução é que Dividimos o numerador e o denominador da fração pelo mesmo número (ou pela mesma expressão).
Para reduzir uma fração você precisa:
1) numerador e denominador fatorar
2) se o numerador e o denominador contiverem Fatores comuns, eles podem ser riscados.
O princípio, eu acho, é claro?
Gostaria de chamar sua atenção para um erro típico de abreviação. Embora este tópico seja simples, muitas pessoas fazem tudo errado, sem entender que reduzir- isso significa dividir numerador e denominador são o mesmo número.
Sem abreviaturas se o numerador ou denominador for uma soma.
Por exemplo: precisamos simplificar.
Algumas pessoas fazem isso: o que é absolutamente errado.
Outro exemplo: reduzir.
Os “mais inteligentes” farão isso: .
Diga-me o que há de errado aqui? Parece: - este é um multiplicador, o que significa que pode ser reduzido.
Mas não: - este é um fator de apenas um termo no numerador, mas o próprio numerador como um todo não é fatorado.
Aqui está outro exemplo: .
Esta expressão é fatorada, o que significa que você pode reduzi-la, ou seja, dividir o numerador e o denominador por e depois por:
Você pode dividi-lo imediatamente em:
Para evitar tais erros, lembre-se jeito fácil como determinar se uma expressão é fatorada:
A última operação aritmética executada ao calcular o valor de uma expressão é a operação “mestre”. Ou seja, se substituirmos alguns (quaisquer) números em vez de letras e tentarmos calcular o valor da expressão, então se a última ação for a multiplicação, então teremos um produto (a expressão é fatorada). Se a última ação for adição ou subtração, isso significa que a expressão não é fatorada (e portanto não pode ser reduzida).
Para consolidar, resolva alguns você mesmo exemplos:
Respostas:
1. Espero que você não tenha corrido imediatamente para cortar e? Ainda não foi suficiente “reduzir” unidades como esta:
O primeiro passo deve ser a fatoração:
4. Adição e subtração de frações. Reduzindo frações a um denominador comum.
Adicionar e subtrair frações ordinárias é uma operação familiar: procuramos um denominador comum, multiplicamos cada fração pelo fator que falta e adicionamos/subtraímos os numeradores. Vamos lembrar:
Respostas:
1. Os denominadores e são relativamente primos, ou seja, não possuem fatores comuns. Portanto, o MMC desses números é igual ao seu produto. Este será o denominador comum:
2. Aqui o denominador comum é:
3. Primeira coisa aqui frações mistas nós os transformamos em incorretos e depois seguimos o padrão usual:
É uma questão completamente diferente se as frações contiverem letras, por exemplo:
Vamos começar com algo simples:
a) Os denominadores não contêm letras
Aqui tudo é igual às frações numéricas ordinárias: encontramos o denominador comum, multiplicamos cada fração pelo fator que falta e somamos/subtraímos os numeradores:
Agora, no numerador, você pode fornecer outros semelhantes, se houver, e fatorá-los:
Tente você mesmo:
b) Os denominadores contêm letras
Vamos lembrar o princípio de encontrar um denominador comum sem letras:
· em primeiro lugar, determinamos os factores comuns;
· então escrevemos todos os fatores comuns, um de cada vez;
· e multiplicá-los por todos os outros fatores não comuns.
Para determinar os fatores comuns dos denominadores, primeiro os fatoramos em fatores primos:
Vamos enfatizar os fatores comuns:
Agora vamos escrever os fatores comuns, um de cada vez, e adicionar a eles todos os fatores não comuns (não sublinhados):
Este é o denominador comum.
Voltemos às cartas. Os denominadores são dados exatamente da mesma maneira:
· fatorar os denominadores;
· determinar fatores comuns (idênticos);
· escreva todos os fatores comuns uma vez;
· multiplicá-los por todos os outros fatores não comuns.
Então, em ordem:
1) fatorar os denominadores:
2) determinar fatores comuns (idênticos):
3) escreva todos os fatores comuns uma vez e multiplique-os por todos os outros fatores (não sublinhados):
Portanto, há um denominador comum aqui. A primeira fração deve ser multiplicada por, a segunda por:
A propósito, há um truque:
Por exemplo: .
Vemos os mesmos fatores nos denominadores, só que todos com indicadores diferentes. O denominador comum será:
até certo ponto
até certo ponto
até certo ponto
até certo ponto.
Vamos complicar a tarefa:
Como fazer com que as frações tenham o mesmo denominador?
Vamos lembrar a propriedade básica de uma fração:
Em nenhum lugar diz que o mesmo número pode ser subtraído (ou adicionado) do numerador e denominador de uma fração. Porque não é verdade!
Veja você mesmo: pegue qualquer fração, por exemplo, e adicione algum número ao numerador e ao denominador, por exemplo, . O que você aprendeu?
Então, outra regra inabalável:
Ao reduzir frações a um denominador comum, use apenas a operação de multiplicação!
Mas pelo que você precisa multiplicar para obter?
Então multiplique por. E multiplique por:
Chamaremos expressões que não podem ser fatoradas de “fatores elementares”. Por exemplo, este é um fator elementar. - Mesmo. Mas não: pode ser fatorado.
E a expressão? É elementar?
Não, porque pode ser fatorado:
(você já leu sobre fatoração no tópico “”).
Portanto, os fatores elementares nos quais você decompõe uma expressão com letras são análogos aos fatores simples nos quais você decompõe os números. E vamos lidar com eles da mesma maneira.
Vemos que ambos os denominadores têm um multiplicador. Irá para o denominador comum até o grau (lembra por quê?).
O fator é elementar e não possuem fator comum, o que significa que a primeira fração terá simplesmente que ser multiplicada por ele:
Outro exemplo:
Solução:
Antes de multiplicar esses denominadores em pânico, você precisa pensar em como fatorá-los. Ambos representam:
Ótimo! Então:
Outro exemplo:
Solução:
Como sempre, vamos fatorar os denominadores. No primeiro denominador simplesmente o colocamos fora dos colchetes; no segundo - a diferença de quadrados:
Parece que não existem fatores comuns. Mas se você olhar de perto, eles são parecidos... E é verdade:
Então vamos escrever:
Ou seja, ficou assim: dentro do colchete trocamos os termos, e ao mesmo tempo o sinal antes da fração mudou para o oposto. Tome nota, você terá que fazer isso com frequência.
Agora vamos trazer isso para um denominador comum:
Entendi? Vamos verificar agora.
Tarefas para solução independente:
Respostas:
Aqui precisamos lembrar mais uma coisa - a diferença entre os cubos:
Observe que o denominador da segunda fração não contém a fórmula “quadrado da soma”! O quadrado da soma ficaria assim: .
A é o chamado quadrado incompleto da soma: o segundo termo nele é o produto do primeiro e do último, e não seu produto duplo. O quadrado parcial da soma é um dos fatores na expansão da diferença de cubos:
O que fazer se já houver três frações?
Sim, a mesma coisa! Em primeiro lugar, vamos ter certeza de que o número máximo de fatores nos denominadores é o mesmo:
Observação: se você alterar os sinais dentro de um colchete, o sinal na frente da fração muda para o oposto. Quando mudamos os sinais do segundo colchete, o sinal na frente da fração muda novamente para o oposto. Como resultado, (o sinal antes da fração) não mudou.
Escrevemos todo o primeiro denominador no denominador comum e depois adicionamos a ele todos os fatores que ainda não foram escritos, do segundo e depois do terceiro (e assim por diante, se houver mais frações). Ou seja, acontece assim:
Hmm... Está claro o que fazer com frações. Mas e os dois?
É simples: você sabe somar frações, certo? Então, precisamos fazer com que dois se tornem uma fração! Lembremos: uma fração é uma operação de divisão (o numerador é dividido pelo denominador, caso você tenha esquecido). E não há nada mais fácil do que dividir um número por. Neste caso, o número em si não mudará, mas se transformará em uma fração:
Exatamente o que é necessário!
5. Multiplicação e divisão de frações.
Bem, a parte mais difícil já passou. E temos pela frente o mais simples, mas ao mesmo tempo o mais importante:
Procedimento
Qual é o procedimento para calcular uma expressão numérica? Lembre-se calculando o significado desta expressão:
Você contou?
Deveria funcionar.
Então, deixe-me lembrá-lo.
O primeiro passo é calcular o grau.
A segunda é multiplicação e divisão. Se houver várias multiplicações e divisões ao mesmo tempo, elas poderão ser feitas em qualquer ordem.
E por fim, realizamos adição e subtração. Novamente, em qualquer ordem.
Mas: a expressão entre colchetes é avaliada fora de hora!
Se vários colchetes forem multiplicados ou divididos entre si, primeiro calculamos a expressão em cada um dos colchetes e depois os multiplicamos ou dividimos.
E se houver mais colchetes dentro dos colchetes? Bem, vamos pensar: alguma expressão está escrita entre colchetes. Ao calcular uma expressão, o que você deve fazer primeiro? Isso mesmo, calcule os colchetes. Bem, nós descobrimos: primeiro calculamos os colchetes internos, depois todo o resto.
Então, o procedimento para a expressão acima é o seguinte (a ação atual está destacada em vermelho, ou seja, a ação que estou realizando neste momento):
Ok, é tudo simples.
Mas isto não é o mesmo que uma expressão com letras?
Não, é a mesma coisa! Só que em vez de operações aritméticas, é necessário fazer operações algébricas, ou seja, as ações descritas na seção anterior: trazendo semelhante, adicionando frações, reduzindo frações e assim por diante. A única diferença será a ação de fatorar polinômios (geralmente usamos isso quando trabalhamos com frações). Na maioria das vezes, para fatorar, você precisa usar I ou simplesmente colocar o fator comum entre colchetes.
Normalmente nosso objetivo é representar a expressão como um produto ou quociente.
Por exemplo:
Vamos simplificar a expressão.
1) Primeiro, simplificamos a expressão entre colchetes. Aí temos uma diferença de frações, e nosso objetivo é apresentá-la como produto ou quociente. Então, trazemos as frações para um denominador comum e adicionamos:
É impossível simplificar ainda mais esta expressão; todos os fatores aqui são elementares (você ainda se lembra do que isso significa?).
2) Obtemos:
Multiplicando frações: o que poderia ser mais simples.
3) Agora você pode encurtar:
OK, está tudo acabado agora. Nada complicado, certo?
Outro exemplo:
Simplifique a expressão.
Primeiro tente resolver sozinho e só depois veja a solução.
Em primeiro lugar, vamos determinar a ordem das ações. Primeiro, vamos adicionar as frações entre parênteses, para que em vez de duas frações obtenhamos uma. Então faremos divisão de frações. Bem, vamos somar o resultado com a última fração. Vou numerar as etapas esquematicamente:
Agora vou mostrar o processo, tingindo a ação atual de vermelho:
Por fim, darei duas dicas úteis:
1. Se houver semelhantes, devem ser trazidos imediatamente. Sempre que surgirem problemas semelhantes em nosso país, é aconselhável trazê-los à tona imediatamente.
2. O mesmo se aplica à redução de frações: assim que surgir a oportunidade de redução, deve ser aproveitada. A exceção fica para frações que você soma ou subtrai: se elas agora tiverem os mesmos denominadores, a redução deverá ser deixada para depois.
Aqui estão algumas tarefas para você resolver sozinho:
E o que foi prometido logo no início:
Soluções (breve):
Se você lidou com pelo menos os três primeiros exemplos, então dominou o tópico.
Agora vamos aprender!
CONVERSÃO DE EXPRESSÕES. RESUMO E FÓRMULAS BÁSICAS
Operações básicas de simplificação:
- Trazendo semelhante: para adicionar (reduzir) termos semelhantes, você precisa somar seus coeficientes e atribuir a parte da letra.
- Fatoração: colocar o fator comum fora dos colchetes, aplicá-lo, etc.
- Reduzindo uma fração: O numerador e o denominador de uma fração podem ser multiplicados ou divididos pelo mesmo número diferente de zero, o que não altera o valor da fração.
1) numerador e denominador fatorar
2) se o numerador e o denominador tiverem fatores comuns, podem ser riscados.IMPORTANTE: apenas os multiplicadores podem ser reduzidos!
- Adição e subtração de frações:
; - Multiplicando e dividindo frações:
;
