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Regra da multiplicação de frações e exemplos. Multiplicação de frações simples e mistas com denominadores diferentes

BALANCE ESSES RAKE JÁ! 🙂

Multiplicação e divisão de frações.

Atenção!
Existem adicionais
material na Seção Especial 555.
Para quem é forte "não muito. »
E para quem “muito mesmo. "")

Esta operação é muito mais agradável do que a adição-subtração! Porque é mais fácil. Relembro: para multiplicar uma fração por uma fração, você precisa multiplicar os numeradores (este será o numerador do resultado) e os denominadores (este será o denominador). Aquilo é:

Tudo é extremamente simples. E, por favor, não procure um denominador comum! Não preciso disso aqui...

Para dividir uma fração por uma fração, você precisa inverter segundo(isso é importante!) fração e multiplicá-los, ou seja:

Se a multiplicação ou divisão com números inteiros e frações for capturada, tudo bem. Assim como na adição, fazemos uma fração de um número inteiro com uma unidade no denominador - e pronto! Por exemplo:

No ensino médio, muitas vezes você tem que lidar com frações de três andares (ou mesmo de quatro!). Por exemplo:

Como trazer essa fração para uma forma decente? Sim, muito fácil! Use a divisão por dois pontos:

Mas não se esqueça da ordem de divisão! Ao contrário da multiplicação, isso é muito importante aqui! Claro, não vamos confundir 4:2 ou 2:4. Mas em uma fração de três andares é fácil cometer um erro. Observe, por exemplo:

No primeiro caso (expressão à esquerda):

Na segunda (expressão à direita):

Sinta a diferença? 4 e 1/9!

Qual é a ordem da divisão? Ou colchetes, ou (como aqui) o comprimento dos traços horizontais. Desenvolva um olho. E se não houver colchetes ou travessões, como:

então divida-multiplique em ordem, da esquerda para a direita!

E outro truque muito simples e importante. Em ações com graus, será útil para você! Vamos dividir a unidade por qualquer fração, por exemplo, por 13/15:

O tiro virou! E sempre acontece. Ao dividir 1 por qualquer fração, o resultado é a mesma fração, só que invertida.

Essas são todas as ações com frações. A coisa é bem simples, mas dá erros mais do que suficientes. Observação Conselho prático, e eles (erros) serão menores!

1. O mais importante ao trabalhar com expressões fracionárias é precisão e atenção! Estas não são palavras comuns, não são bons desejos! Esta é uma necessidade severa! Faça todos os cálculos do exame como uma tarefa completa, com concentração e clareza. É melhor escrever duas linhas extras em um rascunho do que bagunçar ao calcular de cabeça.

2. Nos exemplos com tipos diferentes frações - vá para frações comuns.

3. Reduzimos todas as frações até a parada.

4. Reduzimos expressões fracionárias de vários níveis a expressões comuns usando a divisão por dois pontos (seguimos a ordem da divisão!).

Aqui estão as tarefas que você precisa concluir. As respostas são dadas após todas as tarefas. Use os materiais deste tópico e conselhos práticos. Estime quantos exemplos você poderia resolver corretamente. A primeira vez! Sem uma calculadora! E tire as conclusões certas.

Lembre-se da resposta correta obtido na segunda (especialmente na terceira) vez - não conta! Assim é a dura vida.

Então, resolver em modo de exame ! Esta é a preparação para o exame, a propósito. Resolvemos um exemplo, verificamos, resolvemos o seguinte. Decidimos tudo - verificamos novamente do primeiro ao último. Se apenas Então veja as respostas.

Procurando respostas que correspondam às suas. Eu os escrevi deliberadamente em uma confusão, longe da tentação, por assim dizer. Aqui estão elas, as respostas, separadas por ponto e vírgula.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

E agora tiramos conclusões. Se tudo deu certo - feliz por você! Cálculos elementares com frações não são problema seu! Você pode fazer coisas mais sérias. Se não.

Então você tem um dos dois problemas. Ou ambos ao mesmo tempo.) Falta de conhecimento e (ou) desatenção. Mas. Esse solucionável Problemas.

Na Seção Especial 555 "Frações" todos esses (e não apenas!) exemplos são analisados. Com explicações detalhadas sobre o que, por que e como. Essa análise ajuda muito com a falta de conhecimento e habilidades!

Sim, e no segundo problema há algo lá.) Conselho bastante prático, como ficar mais atento. Sim Sim! Conselhos que podem ser aplicados todo.

Além de conhecimento e atenção, um certo automatismo é necessário para o sucesso. Onde obtê-lo? Ouço um suspiro pesado... Sim, só na prática, em nenhum outro lugar.

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E aqui você pode se familiarizar com funções e derivados.

Regra 1

Para multiplicar uma fração por um número natural, você precisa multiplicar seu numerador por esse número e deixar o denominador inalterado.

Regra 2

Para multiplicar uma fração por outra fração:

1. encontre o produto dos numeradores e o produto dos denominadores dessas frações

2. Escreva o primeiro produto como numerador e o segundo como denominador.

Regra 3

Para multiplicar números mistos, você precisa escrevê-los como frações impróprias e, em seguida, usar a regra para multiplicar frações.

Regra 4

Para dividir uma fração por outra, você precisa multiplicar o dividendo pelo recíproco do divisor.

Exemplo 1

Calcular

Exemplo 2

Calcular

Exemplo 3

Calcular

Exemplo 4

Calcular

Matemática. Outros materiais

Elevar um número a uma potência racional. (

Elevar um número a uma potência natural. (

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Teste-se no tópico 'Multiplicação e divisão de frações ordinárias'

Multiplicação de frações

Consideraremos a multiplicação de frações ordinárias de várias maneiras possíveis.

Multiplicando uma fração por uma fração

Este é o caso mais simples, no qual você precisa usar o seguinte regras de multiplicação de frações.

Para multiplicar uma fração por uma fração, necessário:

multiplique o numerador da primeira fração pelo numerador da segunda fração e escreva seu produto no numerador da nova fração;

multiplique o denominador da primeira fração pelo denominador da segunda fração e escreva seu produto no denominador da nova fração;

Antes de multiplicar numeradores e denominadores, verifique se as frações podem ser reduzidas. A redução de frações nos cálculos facilitará muito seus cálculos.

Multiplicando uma fração por um número natural

para fracionar multiplique por um número natural você precisa multiplicar o numerador da fração por esse número e deixar o denominador da fração inalterado.

Se o resultado da multiplicação for uma fração imprópria, não esqueça de transformá-la em número misto, ou seja, selecione a parte inteira.

Multiplicação de números mistos

Para multiplicar números mistos, você deve primeiro convertê-los em frações impróprias e depois multiplicá-los de acordo com a regra de multiplicação de frações ordinárias.

Outra forma de multiplicar uma fração por um número natural

Às vezes, nos cálculos, é mais conveniente usar um método diferente de multiplicar uma fração comum por um número.

Para multiplicar uma fração por um número natural, você precisa dividir o denominador da fração por esse número e deixar o numerador igual.

Como pode ser visto no exemplo, é mais conveniente usar esta versão da regra se o denominador da fração for divisível sem resto por um número natural.

Divisão de uma fração por um número

Qual é a maneira mais rápida de dividir uma fração por um número? Vamos analisar a teoria, tirar uma conclusão e usar exemplos para ver como a divisão de uma fração por um número pode ser realizada de acordo com uma nova regra curta.

Normalmente, a divisão de uma fração por um número é realizada de acordo com a regra de divisão de frações. O primeiro número (fração) é multiplicado pelo inverso do segundo. Como o segundo número é um número inteiro, seu recíproco é uma fração, cujo numerador é igual a um e o denominador é determinado número. Esquematicamente, a divisão de uma fração por um número natural é assim:

Disso concluímos:

Para dividir uma fração por um número, multiplique o denominador por esse número e deixe o numerador igual. A regra pode ser formulada ainda mais brevemente:

Quando você divide uma fração por um número, o número vai para o denominador.

Divisão de uma fração por um número:

Para dividir uma fração por um número, reescrevemos o numerador inalterado e multiplicamos o denominador por esse número. Reduzimos 6 e 3 por 3.

Ao dividir uma fração por um número, reescrevemos o numerador e multiplicamos o denominador por esse número. Reduzimos 16 e 24 por 8.

Ao dividir uma fração por um número, o número vai para o denominador, então deixamos o numerador igual e multiplicamos o denominador pelo divisor. Reduzimos 21 e 35 em 7.

Multiplicação e divisão de frações

Da última vez, aprendemos a somar e subtrair frações (consulte a lição "Adicionar e subtrair frações"). O momento mais difícil dessas ações foi trazer as frações para um denominador comum.

Agora é hora de lidar com a multiplicação e divisão. A boa notícia é que essas operações são ainda mais fáceis do que a adição e a subtração. Para começar, considere caso mais simples, quando há duas frações positivas sem uma parte inteira distinta.

Para multiplicar duas frações, você precisa multiplicar seus numeradores e denominadores separadamente. O primeiro número será o numerador da nova fração e o segundo será o denominador.

Para dividir duas frações, você precisa multiplicar a primeira fração pela segunda "invertida".

Da definição segue-se que a divisão de frações é reduzida à multiplicação. Para inverter uma fração, basta trocar o numerador e o denominador. Portanto, toda a lição consideraremos principalmente a multiplicação.

Como resultado da multiplicação, uma fração reduzida pode surgir (e freqüentemente ocorre) - claro, ela deve ser reduzida. Se, após todas as reduções, a fração se revelar incorreta, toda a parte deve ser distinguida nela. Mas o que exatamente não acontecerá com a multiplicação é a redução a um denominador comum: sem métodos cruzados, fatores máximos e mínimos múltiplos comuns.

Tarefa. Encontre o valor da expressão:

Por definição temos:

Multiplicação de frações com uma parte inteira e frações negativas

Se houver uma parte inteira nas frações, elas devem ser convertidas em impróprias - e só então multiplicadas de acordo com os esquemas descritos acima.

Se houver menos no numerador de uma fração, no denominador ou antes dele, ele pode ser retirado dos limites de multiplicação ou removido completamente de acordo com as seguintes regras:

Mais vezes menos dá menos;
Dois negativos formam uma afirmativa.

Até agora, essas regras só foram encontradas ao adicionar e subtrair frações negativas, quando era necessário se livrar da parte inteira. Para um produto, eles podem ser generalizados para “queimar” vários pontos negativos de uma só vez:

Riscando os menos em pares até que desapareçam completamente. Em um caso extremo, um menos pode sobreviver - aquele que não encontrou uma correspondência;
Se não houver menos, a operação está concluída - você pode começar a multiplicar. Se o último sinal de menos não for riscado, pois não encontrou um par, nós o retiramos dos limites de multiplicação. Você obtém uma fração negativa.

Traduzimos todas as frações em impróprias e, em seguida, retiramos os menos fora dos limites da multiplicação. O que resta é multiplicado por regras usuais. Nós temos:

Deixe-me lembrá-lo mais uma vez que o menos que vem antes de uma fração com uma parte inteira realçada refere-se especificamente à fração inteira, e não apenas à sua parte inteira (isso se aplica aos dois últimos exemplos).

Preste atenção também aos números negativos: quando multiplicados, eles ficam entre colchetes. Isso é feito para separar os sinais de menos dos sinais de multiplicação e tornar toda a notação mais precisa.

Reduzindo frações em tempo real

A multiplicação é uma operação muito trabalhosa. Os números aqui são bem grandes e, para simplificar a tarefa, você pode tentar reduzir ainda mais a fração antes da multiplicação. De fato, em essência, os numeradores e denominadores de frações são fatores comuns e, portanto, podem ser reduzidos usando a propriedade básica de uma fração. Dê uma olhada nos exemplos:

Em todos os exemplos, os números que foram reduzidos e o que resta deles estão marcados em vermelho.

Observação: no primeiro caso, os multiplicadores foram reduzidos completamente. As unidades permaneceram em seu lugar, o que, em geral, pode ser omitido. No segundo exemplo redução total não foi possível alcançar, mas a quantidade total de cálculos ainda diminuiu.

No entanto, em nenhum caso, não use esta técnica ao adicionar e subtrair frações! Sim, às vezes existem números semelhantes que você só quer reduzir. Olhe aqui:

Você não pode fazer isso!

O erro ocorre devido ao fato de que ao adicionar uma fração, a soma aparece no numerador da fração, e não no produto dos números. Portanto, é impossível aplicar a propriedade principal de uma fração, pois nesta propriedade nós estamos falando Trata-se de multiplicar números.

Simplesmente não há outro motivo para reduzir frações, então a solução correta para o problema anterior é assim:

Como você pode ver, a resposta correta acabou não sendo tão bonita. Em geral, tenha cuidado.

Divisão de frações.

Divisão de uma fração por um número natural.

Exemplos de divisão de uma fração por um número natural

Divisão de um número natural por uma fração.

Exemplos de divisão de um número natural por uma fração

Divisão de frações ordinárias.

Exemplos de divisão de frações ordinárias

Divisão de números mistos.

converter frações mistas em impróprias;
multiplique a primeira fração pelo inverso da segunda;
reduzir a fração resultante;
Se você obtiver uma fração imprópria, converta a fração imprópria em uma mista.

Exemplos de divisão de números mistos

1 1 2: 2 2 3 = 1 2 + 1 2: 2 3 + 2 3 = 3 2: 8 3 = 3 2 3 8 = 3 3 2 8 = 9 16

2 1 7: 3 5 = 2 7 + 1 7: 3 5 = 15 7: 3 5 = 15 7 5 3 = 15 5 7 3 = 5 5 7 = 25 7 = 7 3 + 4 7 = 3 4 7

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Frações. Multiplicação e divisão de frações.

Multiplicando uma fração por uma fração.

Para multiplicar frações comuns, é necessário multiplicar o numerador pelo numerador (obtemos o numerador do produto) e o denominador pelo denominador (obtemos o denominador do produto).

Fórmula de multiplicação de frações:

Antes de proceder à multiplicação de numeradores e denominadores, é necessário verificar a possibilidade de redução da fração. Se você conseguir reduzir a fração, será mais fácil continuar fazendo cálculos.

Observação! Não há necessidade de procurar um denominador comum!!

Divisão de uma fração ordinária por uma fração.

A divisão de uma fração comum por uma fração é a seguinte: vire a segunda fração (ou seja, troque o numerador e o denominador nas casas) e depois disso as frações são multiplicadas.

A fórmula para dividir frações ordinárias:

Multiplicando uma fração por um número natural.

Observação! Ao multiplicar uma fração por um número natural, o numerador da fração é multiplicado pelo nosso número natural e o denominador da fração permanece o mesmo. Se o resultado do produto for uma fração imprópria, certifique-se de selecionar a parte inteira transformando a fração imprópria em mista.

Divisão de frações envolvendo um número natural.

Não é tão assustador quanto parece. Como no caso da adição, convertemos um número inteiro em uma fração com uma unidade no denominador. Por exemplo:

Multiplicação de frações mistas.

Regras para multiplicar frações (mistas):

converter frações mistas em impróprias;
multiplique os numeradores e denominadores das frações;
reduzimos a fração;
se obtivermos uma fração imprópria, convertemos a fração imprópria em uma fração mista.

Observação! Para multiplicar uma fração mista por outra fração mista, primeiro você precisa trazê-los para a forma de frações impróprias e depois multiplicar de acordo com a regra de multiplicação de frações comuns.

A segunda maneira de multiplicar uma fração por um número natural.

É mais conveniente usar o segundo método de multiplicar uma fração comum por um número.

Observação! Para multiplicar uma fração por um número natural, é necessário dividir o denominador da fração por esse número e deixar o numerador inalterado.

Do exemplo acima, fica claro que esta opção é mais conveniente de usar quando o denominador de uma fração é dividido sem resto por um número natural.

Frações multiníveis.

No ensino médio, frequentemente são encontradas frações de três andares (ou mais). Exemplo:

Para trazer essa fração à sua forma usual, é usada a divisão por 2 pontos:

Observação! Ao dividir frações, a ordem da divisão é muito importante. Tenha cuidado, é fácil ficar confuso aqui.

Observação, Por exemplo:

Ao dividir um por qualquer fração, o resultado será a mesma fração, só que invertida:

Dicas práticas para multiplicar e dividir frações:

1. O mais importante ao trabalhar com expressões fracionárias é precisão e atenção. Faça todos os cálculos com cuidado e precisão, concentração e clareza. É melhor escrever algumas linhas extras em um rascunho do que se confundir com os cálculos em sua cabeça.

2. Em tarefas com diferentes tipos de frações, vá para o tipo de frações ordinárias.

3. Reduzimos todas as frações até que não seja mais possível reduzir.

4. Transformamos expressões fracionárias de vários níveis em expressões comuns, usando a divisão por 2 pontos.

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Ao longo da média e ensino médio Os alunos passaram pelo tópico "Frações". No entanto, esse conceito é muito mais amplo do que o dado no processo de aprendizagem. Hoje, o conceito de fração é encontrado com bastante frequência e nem todos podem calcular qualquer expressão, por exemplo, multiplicar frações.

O que é uma fração?

Aconteceu historicamente que os números fracionários surgiram devido à necessidade de medir. Como mostra a prática, geralmente existem exemplos para determinar o comprimento de um segmento, o volume de um retângulo retangular.

Inicialmente, os alunos são apresentados a um conceito como compartilhamento. Por exemplo, se você dividir uma melancia em 8 partes, cada uma receberá um oitavo de uma melancia. Esta parte de oito é chamada de ação.

Uma ação igual a ½ de qualquer valor é chamada de metade; ⅓ - terceiro; ¼ - um quarto. Entradas como 5/8, 4/5, 2/4 são chamadas de frações comuns. Uma fração ordinária é dividida em um numerador e um denominador. Entre eles está uma linha fracionária ou linha fracionária. Uma barra fracionária pode ser desenhada como uma linha horizontal ou inclinada. EM este caso representa o sinal de divisão.

O denominador representa em quantas partes iguais o valor do objeto é dividido; e o numerador é quantas partes iguais são tomadas. O numerador é escrito acima da barra fracionária, o denominador abaixo dela.

É mais conveniente mostrar frações ordinárias em um raio de coordenadas. Se um único segmento for dividido em 4 partes iguais, designe cada parte letra latina, então, como resultado, você pode obter um excelente material visual. Assim, o ponto A mostra uma participação igual a 1/4 de todo o segmento da unidade e o ponto B marca 2/8 desse segmento.

Variedades de frações

Frações são números comuns, decimais e mistos. Além disso, as frações podem ser divididas em próprias e impróprias. Essa classificação é mais adequada para frações comuns.

Uma fração própria é um número cujo numerador é menor que o denominador. Assim, uma fração imprópria é um número cujo numerador é maior que o denominador. O segundo tipo geralmente é escrito como um número misto. Tal expressão consiste em uma parte inteira e uma parte fracionária. Por exemplo, 1½. 1 - parte inteira, ½ - fracionária. No entanto, se você precisar realizar algumas manipulações com a expressão (dividir ou multiplicar frações, reduzi-las ou convertê-las), o número misto é convertido em uma fração imprópria.

Uma expressão fracionária correta é sempre menor que um e uma incorreta é sempre maior ou igual a 1.

Quanto a esta expressão, eles entendem um registro no qual qualquer número é representado, cujo denominador da expressão fracionária pode ser expresso por um com vários zeros. Se a fração estiver correta, a parte inteira na notação decimal será zero.

Para escrever um decimal, você deve primeiro escrever a parte inteira, separá-la da fração com uma vírgula e, em seguida, escrever a expressão fracionária. Deve-se lembrar que após a vírgula o numerador deve conter tantos caracteres numéricos quantos forem os zeros no denominador.

Exemplo. Represente a fração 7 21 / 1000 em notação decimal.

Algoritmo para converter uma fração imprópria em um número misto e vice-versa

É incorreto escrever uma fração imprópria na resposta do problema, então ela deve ser convertida em um número misto:

divida o numerador pelo denominador existente;
V exemplo específico quociente incompleto - inteiro;
e o restante é o numerador da parte fracionária, permanecendo o denominador inalterado.

Exemplo. Converter fração imprópria em número misto: 47 / 5 .

Solução. 47: 5. O quociente incompleto é 9, o restante = 2. Portanto, 47/5 = 9 2/5.

Às vezes, você precisa representar um número misto como uma fração imprópria. Então você precisa usar o seguinte algoritmo:

a parte inteira é multiplicada pelo denominador da expressão fracionária;
o produto resultante é adicionado ao numerador;
o resultado é escrito no numerador, o denominador permanece inalterado.

Exemplo. Expresse o número na forma mista como uma fração imprópria: 9 8/10 .

Solução. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 é o numerador.

Responder: 98 / 10.

Multiplicação de frações ordinárias

Você pode realizar várias operações algébricas em frações comuns. Para multiplicar dois números, você precisa multiplicar o numerador pelo numerador e o denominador pelo denominador. Além disso, a multiplicação de frações com denominadores diferentes não difere do produto de números fracionários com os mesmos denominadores.

Acontece que depois de encontrar o resultado, você precisa reduzir a fração. É imperativo simplificar a expressão resultante tanto quanto possível. Claro, não se pode dizer que uma fração imprópria na resposta é um erro, mas também é difícil chamá-la de resposta correta.

Exemplo. Encontre o produto de duas frações comuns: ½ e 20/18.

Como pode ser visto no exemplo, após encontrar o produto, obtém-se uma notação fracionária redutível. Tanto o numerador quanto o denominador neste caso são divisíveis por 4, e o resultado é a resposta 5/9.

Multiplicação de frações decimais

O produto de frações decimais é bastante diferente do produto de frações comuns em seu princípio. Então, a multiplicação de frações é a seguinte:

duas frações decimais devem ser escritas uma sob a outra de forma que os dígitos mais à direita fiquem um sob o outro;
você precisa multiplicar os números escritos, apesar das vírgulas, ou seja, como números naturais;
conte o número de dígitos após a vírgula em cada um dos números;
no resultado obtido após a multiplicação, você precisa contar quantos caracteres digitais à direita estiverem contidos na soma em ambos os fatores após o ponto decimal e colocar um sinal de separação;
se houver menos dígitos no produto, tantos zeros devem ser escritos na frente deles para cobrir esse número, coloque uma vírgula e atribua uma parte inteira igual a zero.

Exemplo. Calcule o produto de duas casas decimais: 2,25 e 3,6.

Solução.

Multiplicação de frações mistas

Para calcular o produto de duas frações mistas, você precisa usar a regra de multiplicação de frações:

converter números mistos em frações impróprias;
encontre o produto de numeradores;
encontre o produto dos denominadores;
anote o resultado;
simplifique a expressão o máximo possível.

Exemplo. Encontre o produto de 4½ e 6 2/5.

Multiplicando um número por uma fração (frações por um número)

Além de encontrar o produto de duas frações, números mistos, existem tarefas em que você precisa multiplicar por uma fração.

Então, para encontrar o produto de uma fração decimal e um número natural, você precisa:

escreva o número sob a fração de modo que os dígitos mais à direita fiquem um acima do outro;
encontre o trabalho, apesar da vírgula;
no resultado obtido, separe a parte inteira da parte fracionária usando uma vírgula, contando à direita o número de caracteres que está após a vírgula na fração.

Multiplicar fração comum por um número, você deve encontrar o produto do numerador e do fator natural. Se a resposta for uma fração redutível, ela deve ser convertida.

Exemplo. Calcule o produto de 5/8 e 12.

Solução. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Responder: 7 1 / 2.

Como você pode ver no exemplo anterior, foi necessário reduzir o resultado resultante e converter a expressão fracionária incorreta em um número misto.

Além disso, a multiplicação de frações também se aplica a encontrar o produto de um número na forma mista e um fator natural. Para multiplicar esses dois números, você deve multiplicar a parte inteira do fator misto pelo número, multiplicar o numerador pelo mesmo valor e deixar o denominador inalterado. Se necessário, você precisa simplificar o resultado o máximo possível.

Exemplo. Encontre o produto de 9 5/6 e 9.

Solução. 9 5 / 6 x 9 \u003d 9 x 9 + (5 x 9) / 6 \u003d 81 + 45 / 6 \u003d 81 + 7 3 / 6 \u003d 88 1 / 2.

Responder: 88 1 / 2.

Multiplicação por fatores 10, 100, 1000 ou 0,1; 0,01; 0,001

A seguinte regra decorre do parágrafo anterior. Para multiplicar uma fração decimal por 10, 100, 1000, 10000, etc., você precisa mover a vírgula para a direita em tantos dígitos quantos forem os zeros no multiplicador após um.

Exemplo 1. Encontre o produto de 0,065 e 1000.

Solução. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.

Responder: 65.

Exemplo 2. Encontre o produto de 3,9 e 1000.

Solução. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.

Responder: 3900.

Se você precisar multiplicar um número natural e 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001, etc., você deve mover a vírgula para a esquerda no produto resultante em tantos dígitos quantos forem os zeros antes de um. Se necessário, um número suficiente de zeros é escrito na frente de um número natural.

Exemplo 1. Encontre o produto de 56 e 0,01.

Solução. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.

Responder: 0,56.

Exemplo 2. Encontre o produto de 4 e 0,001.

Solução. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

Responder: 0,004.

Portanto, encontrar o produto de várias frações não deve causar dificuldades, exceto talvez o cálculo do resultado; Nesse caso, você simplesmente não pode ficar sem uma calculadora.

Conteúdo da lição

Adição de frações com os mesmos denominadores

A adição de frações é de dois tipos:

Adição de frações com os mesmos denominadores
Adição de frações com denominadores diferentes

Vamos começar adicionando frações com os mesmos denominadores. Tudo é simples aqui. Para adicionar frações com os mesmos denominadores, você precisa adicionar seus numeradores e deixar o denominador inalterado. Por exemplo, vamos somar as frações e . Adicionamos os numeradores e deixamos o denominador inalterado:

Esse exemplo pode ser facilmente entendido se pensarmos em uma pizza dividida em quatro partes. Se você adicionar pizza a pizza, obterá pizza:

Exemplo 2 Adicionar frações e .

A resposta é uma fração imprópria. Se chegar o fim da tarefa, é costume livrar-se das frações impróprias. Para se livrar de uma fração imprópria, você precisa selecionar a parte inteira nela. No nosso caso, a parte inteira é alocada facilmente - dois divididos por dois é igual a um:

Esse exemplo pode ser facilmente entendido se pensarmos em uma pizza dividida em duas partes. Se adicionar mais pizzas à pizza, obtém uma pizza inteira:

Exemplo 3. Adicionar frações e .

Novamente, adicione os numeradores e deixe o denominador inalterado:

Esse exemplo pode ser facilmente entendido se pensarmos em uma pizza dividida em três partes. Se você adicionar mais pizzas à pizza, obterá pizzas:

Exemplo 4 Encontrar o valor de uma expressão

Este exemplo é resolvido exatamente da mesma maneira que os anteriores. Os numeradores devem ser somados e o denominador deixado inalterado:

Vamos tentar representar nossa solução usando uma imagem. Se você adicionar pizzas a uma pizza e adicionar mais pizzas, obterá 1 pizza inteira e mais pizzas.

Como você pode ver, adicionar frações com os mesmos denominadores não é difícil. Basta entender as seguintes regras:

Para adicionar frações com o mesmo denominador, você precisa adicionar seus numeradores e deixar o denominador inalterado;

Adição de frações com denominadores diferentes

Agora vamos aprender a somar frações com denominadores diferentes. Ao adicionar frações, os denominadores dessas frações devem ser iguais. Mas nem sempre são os mesmos.

Por exemplo, as frações podem ser adicionadas porque têm os mesmos denominadores.

Mas as frações não podem ser adicionadas de uma vez, porque essas frações têm denominadores diferentes. Nesses casos, as frações devem ser reduzidas ao mesmo denominador (comum).

Existem várias maneiras de reduzir frações ao mesmo denominador. Hoje vamos considerar apenas um deles, pois o restante dos métodos pode parecer complicado para um iniciante.

A essência deste método reside no fato de que o primeiro (LCM) dos denominadores de ambas as frações é procurado. Então o MMC é dividido pelo denominador da primeira fração e o primeiro fator adicional é obtido. Eles fazem o mesmo com a segunda fração - o MMC é dividido pelo denominador da segunda fração e o segundo fator adicional é obtido.

Em seguida, os numeradores e denominadores das frações são multiplicados por seus fatores adicionais. Como resultado dessas ações, as frações que tinham denominadores diferentes se transformam em frações com os mesmos denominadores. E já sabemos como somar essas frações.

Exemplo 1. Adicione frações e

Em primeiro lugar, encontramos o mínimo múltiplo comum dos denominadores de ambas as frações. O denominador da primeira fração é o número 3 e o denominador da segunda fração é o número 2. O mínimo múltiplo comum desses números é 6

LCM (2 e 3) = 6

Agora, de volta às frações e . Primeiro, dividimos o MMC pelo denominador da primeira fração e obtemos o primeiro fator adicional. LCM é o número 6 e o denominador da primeira fração é o número 3. Divida 6 por 3, obtemos 2.

O número 2 resultante é o primeiro fator adicional. Nós escrevemos na primeira fração. Para fazer isso, fazemos uma pequena linha oblíqua acima da fração e anotamos o fator adicional encontrado acima dela:

Fazemos o mesmo com a segunda fração. Dividimos o MMC pelo denominador da segunda fração e obtemos o segundo fator adicional. LCM é o número 6 e o denominador da segunda fração é o número 2. Divida 6 por 2, obtemos 3.

O número resultante 3 é o segundo fator adicional. Nós escrevemos para a segunda fração. Novamente, fazemos uma pequena linha oblíqua acima da segunda fração e escrevemos o fator adicional encontrado acima dela:

Agora estamos prontos para adicionar. Resta multiplicar os numeradores e denominadores das frações por seus fatores adicionais:

Olhe atentamente para onde chegamos. Chegamos à conclusão de que frações com denominadores diferentes se transformam em frações com denominadores iguais. E já sabemos como somar essas frações. Vamos completar este exemplo até o fim:

Assim termina o exemplo. Para adicionar, acaba.

Vamos tentar representar nossa solução usando uma imagem. Se você adicionar pizzas a uma pizza, obtém uma pizza inteira e outro sexto de pizza:

A redução de frações ao mesmo denominador (comum) também pode ser representada usando uma imagem. Trazendo as frações e a um denominador comum, obtemos as frações e . Essas duas frações serão representadas pelas mesmas fatias de pizza. A única diferença será que desta vez serão divididos em partes iguais (reduzidas ao mesmo denominador).

O primeiro desenho mostra uma fração (quatro peças em seis) e a segunda imagem mostra uma fração (três peças em seis). Juntando essas peças, obtemos (sete peças em seis). Esta fração está incorreta, então destacamos a parte inteira nela. O resultado foi (uma pizza inteira e outra sexta pizza).

Observe que pintamos dado exemplo detalhado demais. EM instituições educacionais não é costume escrever de maneira tão detalhada. Você precisa ser capaz de encontrar rapidamente o LCM de ambos os denominadores e fatores adicionais a eles, bem como multiplicar rapidamente os fatores adicionais encontrados por seus numeradores e denominadores. Na escola, teríamos que escrever este exemplo da seguinte maneira:

Mas também há verso medalhas. Se notas detalhadas não forem feitas nos primeiros estágios do estudo da matemática, então questões do tipo “De onde vem esse número?”, “Por que as frações de repente se transformam em frações completamente diferentes? «.

Para facilitar a adição de frações com denominadores diferentes, você pode usar as seguintes instruções passo a passo:

Encontre o MMC dos denominadores das frações;
Divida o LCM pelo denominador de cada fração e obtenha um multiplicador adicional para cada fração;
Multiplique os numeradores e denominadores das frações por seus fatores adicionais;
Adicione frações com os mesmos denominadores;
Se a resposta for uma fração imprópria, selecione a parte inteira;

Exemplo 2 Encontrar o valor de uma expressão .

Vamos usar as instruções acima.

Etapa 1. Encontre o MMC dos denominadores das frações

Encontre o MMC dos denominadores de ambas as frações. Os denominadores das frações são os números 2, 3 e 4

Etapa 2. Divida o MMC pelo denominador de cada fração e obtenha um multiplicador adicional para cada fração

Divida o MMC pelo denominador da primeira fração. LCM é o número 12 e o denominador da primeira fração é o número 2. Divida 12 por 2, obtemos 6. Obtemos o primeiro fator adicional 6. Escrevemos sobre a primeira fração:

Agora dividimos o MMC pelo denominador da segunda fração. LCM é o número 12 e o denominador da segunda fração é o número 3. Divida 12 por 3, obtemos 4. Obtemos o segundo fator adicional 4. Escrevemos sobre a segunda fração:

Agora dividimos o MMC pelo denominador da terceira fração. LCM é o número 12 e o denominador da terceira fração é o número 4. Divida 12 por 4, obtemos 3. Obtemos o terceiro fator adicional 3. Escrevemos sobre a terceira fração:

Etapa 3. Multiplique os numeradores e denominadores das frações por seus fatores adicionais

Multiplicamos os numeradores e denominadores por nossos fatores adicionais:

Etapa 4. Adicione frações com os mesmos denominadores

Chegamos à conclusão de que as frações com denominadores diferentes se transformaram em frações com os mesmos denominadores (comuns). Resta somar essas frações. Adicionar:

A adição não coube em uma linha, então movemos a expressão restante para a próxima linha. Isso é permitido em matemática. Quando uma expressão não couber em uma linha, ela é transportada para a linha seguinte, sendo necessário colocar um sinal de igual (=) no final da primeira linha e no início de uma nova linha. O sinal de igual na segunda linha indica que esta é uma continuação da expressão que estava na primeira linha.

Etapa 5. Se a resposta for uma fração imprópria, selecione a parte inteira nela

Nossa resposta é uma fração imprópria. Devemos destacar toda a parte dele. Destacamos:

Tenho uma resposta

Subtração de frações de mesmo denominador

Existem dois tipos de subtração de frações:

Subtração de frações de mesmo denominador
Subtração de frações com denominadores diferentes

Primeiro, vamos aprender como subtrair frações com os mesmos denominadores. Tudo é simples aqui. Para subtrair outro de uma fração, você precisa subtrair o numerador da segunda fração do numerador da primeira fração e deixar o denominador igual.

Por exemplo, vamos encontrar o valor da expressão . Para resolver este exemplo, é necessário subtrair o numerador da segunda fração do numerador da primeira fração e deixar o denominador inalterado. Vamos fazer isso:

Esse exemplo pode ser facilmente entendido se pensarmos em uma pizza dividida em quatro partes. Se você cortar pizzas de uma pizza, obterá pizzas:

Exemplo 2 Encontre o valor da expressão .

Novamente, do numerador da primeira fração, subtraia o numerador da segunda fração e deixe o denominador inalterado:

Esse exemplo pode ser facilmente entendido se pensarmos em uma pizza dividida em três partes. Se você cortar pizzas de uma pizza, obterá pizzas:

Exemplo 3 Encontrar o valor de uma expressão

Este exemplo é resolvido exatamente da mesma maneira que os anteriores. Do numerador da primeira fração, você precisa subtrair os numeradores das frações restantes:

Como você pode ver, não há nada complicado em subtrair frações com os mesmos denominadores. Basta entender as seguintes regras:

Para subtrair outro de uma fração, você precisa subtrair o numerador da segunda fração do numerador da primeira fração e deixar o denominador inalterado;
Se a resposta for uma fração imprópria, você precisará selecionar a parte inteira nela.

Subtração de frações com denominadores diferentes

Por exemplo, uma fração pode ser subtraída de uma fração, pois essas frações têm os mesmos denominadores. Mas uma fração não pode ser subtraída de uma fração, porque essas frações têm denominadores diferentes. Nesses casos, as frações devem ser reduzidas ao mesmo denominador (comum).

O denominador comum é encontrado de acordo com o mesmo princípio que usamos ao adicionar frações com denominadores diferentes. Em primeiro lugar, encontre o MMC dos denominadores de ambas as frações. Em seguida, o MMC é dividido pelo denominador da primeira fração e obtém-se o primeiro fator adicional, que é escrito sobre a primeira fração. Da mesma forma, o MMC é dividido pelo denominador da segunda fração e um segundo fator adicional é obtido, que é escrito sobre a segunda fração.

As frações são então multiplicadas por seus fatores adicionais. Como resultado dessas operações, as frações que tinham denominadores diferentes se transformam em frações com os mesmos denominadores. E já sabemos como subtrair essas frações.

Exemplo 1 Encontre o valor de uma expressão:

Essas frações têm denominadores diferentes, então você precisa trazê-las para o mesmo denominador (comum).

Primeiro, encontramos o MMC dos denominadores de ambas as frações. O denominador da primeira fração é o número 3 e o denominador da segunda fração é o número 4. O mínimo múltiplo comum desses números é 12

LCM (3 e 4) = 12

Agora de volta às frações e

Vamos encontrar um fator adicional para a primeira fração. Para fazer isso, dividimos o MMC pelo denominador da primeira fração. LCM é o número 12 e o denominador da primeira fração é o número 3. Divida 12 por 3, obtemos 4. Escrevemos o quatro sobre a primeira fração:

Fazemos o mesmo com a segunda fração. Dividimos o MMC pelo denominador da segunda fração. LCM é o número 12 e o denominador da segunda fração é o número 4. Divida 12 por 4, obtemos 3. Escreva um triplo sobre a segunda fração:

Agora estamos todos prontos para a subtração. Resta multiplicar as frações por seus fatores adicionais:

Chegamos à conclusão de que frações com denominadores diferentes se transformam em frações com denominadores iguais. E já sabemos como subtrair essas frações. Vamos completar este exemplo até o fim:

Tenho uma resposta

Vamos tentar representar nossa solução usando uma imagem. Se você cortar pizzas de uma pizza, obterá pizzas.

Esta é a versão detalhada da solução. Estando na escola, teríamos que resolver este exemplo de forma mais curta. Tal solução ficaria assim:

A redução de frações e a um denominador comum também pode ser representada usando uma imagem. Trazendo essas frações a um denominador comum, obtemos as frações e . Essas frações serão representadas pelas mesmas fatias de pizza, mas desta vez serão divididas nas mesmas frações (reduzidas ao mesmo denominador):

O primeiro desenho mostra uma fração (oito peças em doze), e a segunda imagem mostra uma fração (três peças em doze). Cortando três pedaços de oito pedaços, obtemos cinco pedaços de doze. A fração descreve essas cinco peças.

Exemplo 2 Encontrar o valor de uma expressão

Essas frações têm denominadores diferentes, então primeiro você precisa trazê-las para o mesmo denominador (comum).

Encontre o MMC dos denominadores dessas frações.

Os denominadores das frações são os números 10, 3 e 5. O mínimo múltiplo comum desses números é 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Agora encontramos fatores adicionais para cada fração. Para fazer isso, dividimos o MMC pelo denominador de cada fração.

Vamos encontrar um fator adicional para a primeira fração. LCM é o número 30 e o denominador da primeira fração é o número 10. Divida 30 por 10, obtemos o primeiro fator adicional 3. Escrevemos sobre a primeira fração:

Agora encontramos um fator adicional para a segunda fração. Divida o MMC pelo denominador da segunda fração. LCM é o número 30 e o denominador da segunda fração é o número 3. Divida 30 por 3, obtemos o segundo fator adicional 10. Escrevemos sobre a segunda fração:

Agora encontramos um fator adicional para a terceira fração. Divida o MMC pelo denominador da terceira fração. LCM é o número 30 e o denominador da terceira fração é o número 5. Divida 30 por 5, obtemos o terceiro fator adicional 6. Escrevemos sobre a terceira fração:

Agora tudo está pronto para a subtração. Resta multiplicar as frações por seus fatores adicionais:

Chegamos à conclusão de que as frações com denominadores diferentes se transformaram em frações com os mesmos denominadores (comuns). E já sabemos como subtrair essas frações. Vamos terminar este exemplo.

A continuação do exemplo não caberá em uma linha, então movemos a continuação para a próxima linha. Não se esqueça do sinal de igual (=) na nova linha:

A resposta acabou sendo uma fração correta e tudo parece nos agradar, mas é muito pesado e feio. Devemos facilitar. O que pode ser feito? Você pode reduzir essa fração.

Para reduzir uma fração, você precisa dividir seu numerador e denominador por (mdc) os números 20 e 30.

Assim, encontramos o MDC dos números 20 e 30:

Agora voltamos ao nosso exemplo e dividimos o numerador e o denominador da fração pelo MDC encontrado, ou seja, por 10

Tenho uma resposta

Multiplicando uma fração por um número

Para multiplicar uma fração por um número, você precisa multiplicar o numerador da fração dada por esse número e deixar o denominador igual.

Exemplo 1. Multiplique a fração pelo número 1.

Multiplique o numerador da fração pelo número 1

A entrada pode ser entendida como demorando meia 1 vez. Por exemplo, se você pegar pizza 1 vez, você ganha pizza

Pelas leis da multiplicação, sabemos que se o multiplicando e o multiplicador forem trocados, o produto não mudará. Se a expressão for escrita como , o produto ainda será igual a . Novamente, a regra para multiplicar um número inteiro e uma fração funciona:

Esta entrada pode ser entendida como tendo metade da unidade. Por exemplo, se houver 1 pizza inteira e pegarmos metade dela, teremos pizza:

Exemplo 2. Encontrar o valor de uma expressão

Multiplique o numerador da fração por 4

A resposta é uma fração imprópria. Vamos pegar uma parte inteira disso:

A expressão pode ser entendida como tomar dois quartos 4 vezes. Por exemplo, se você pegar pizzas 4 vezes, receberá duas pizzas inteiras.

E se trocarmos o multiplicando e o multiplicador de lugar, obtemos a expressão. Também será igual a 2. Essa expressão pode ser entendida como tirar duas pizzas de quatro pizzas inteiras:

Multiplicação de frações

Para multiplicar frações, você precisa multiplicar seus numeradores e denominadores. Se a resposta for uma fração imprópria, você precisa selecionar a parte inteira nela.

Exemplo 1 Encontre o valor da expressão .

Tenho uma resposta. É desejável reduzir esta fração. A fração pode ser reduzida em 2. Então a solução final terá a seguinte forma:

A expressão pode ser entendida como tirar uma pizza de meia pizza. Digamos que comemos meia pizza:

Como tirar dois terços desta metade? Primeiro você precisa dividir esta metade em três partes iguais:

E pegue dois desses três pedaços:

Vamos comer pizza. Lembre-se de como é uma pizza dividida em três partes:

Uma fatia desta pizza e as duas fatias que pegamos terão as mesmas dimensões:

Em outras palavras, estamos falando do mesmo tamanho de pizza. Portanto, o valor da expressão é

Exemplo 2. Encontrar o valor de uma expressão

Multiplique o numerador da primeira fração pelo numerador da segunda fração e o denominador da primeira fração pelo denominador da segunda fração:

A resposta é uma fração imprópria. Vamos pegar uma parte inteira disso:

Exemplo 3 Encontrar o valor de uma expressão

Multiplique o numerador da primeira fração pelo numerador da segunda fração e o denominador da primeira fração pelo denominador da segunda fração:

A resposta acabou sendo uma fração correta, mas será bom se for reduzida. Para reduzir essa fração, você precisa dividir o numerador e o denominador dessa fração pelo maior divisor comum(gcd) números 105 e 450.

Então, vamos encontrar o MDC dos números 105 e 450:

Agora dividimos o numerador e o denominador de nossa resposta ao MDC que encontramos agora, ou seja, por 15

Representando um inteiro como uma fração

Qualquer número inteiro pode ser representado como uma fração. Por exemplo, o número 5 pode ser representado como . A partir disso, o cinco não mudará de significado, pois a expressão significa “o número cinco dividido por um”, e este, como você sabe, é igual a cinco:

números inversos

Agora vamos conhecer tópico interessante Na matemática. Chama-se "números inversos".

Definição. Inverter para o númeroa é o número que, quando multiplicado pora dá uma unidade.

Vamos substituir nesta definição em vez de uma variável a número 5 e tente ler a definição:

Inverter para o número 5 é o número que, quando multiplicado por 5 dá uma unidade.

É possível encontrar um número que, multiplicado por 5, dê um? Acontece que você pode. Vamos representar cinco como uma fração:

Depois multiplique essa fração por ela mesma, basta trocar o numerador e o denominador. Ou seja, vamos multiplicar a fração por ela mesma, só que invertida:

Qual será o resultado disso? Se continuarmos a resolver este exemplo, obteremos um:

Isso significa que o inverso do número 5 é o número, pois quando 5 é multiplicado por um, obtém-se um.

O recíproco também pode ser encontrado para qualquer outro inteiro.

Você também pode encontrar o recíproco para qualquer outra fração. Para fazer isso, basta virar.

Divisão de uma fração por um número

Digamos que comemos meia pizza:

Vamos dividir igualmente entre dois. Quantas pizzas cada um receberá?

Pode-se observar que após dividir a metade da pizza, obtiveram-se dois pedaços iguais, cada um formando uma pizza. Então todo mundo ganha uma pizza.

A divisão de frações é feita usando recíprocos. Os recíprocos permitem que você substitua a divisão pela multiplicação.

Para dividir uma fração por um número, você precisa multiplicar essa fração pelo recíproco do divisor.

Usando esta regra, anotaremos a divisão da nossa metade da pizza em duas partes.

Então, você precisa dividir a fração pelo número 2. Aqui o dividendo é uma fração e o divisor é 2.

Para dividir uma fração pelo número 2, você precisa multiplicar essa fração pelo inverso do divisor 2. O recíproco do divisor 2 é uma fração. Então você precisa multiplicar por

Multiplicação e divisão de frações.

Atenção!
Existem adicionais
material na Seção Especial 555.
Para aqueles que fortemente "não muito ..."
E para quem "muito...")

Por exemplo:

Tudo é extremamente simples. E, por favor, não procure um denominador comum! Não preciso disso aqui...

Para dividir uma fração por uma fração, você precisa inverter segundo(isso é importante!) fração e multiplicá-los, ou seja:

Por exemplo:

No ensino médio, muitas vezes você tem que lidar com frações de três andares (ou mesmo de quatro!). Por exemplo:

Como trazer essa fração para uma forma decente? Sim, muito fácil! Use a divisão por dois pontos:

No primeiro caso (expressão à esquerda):

Na segunda (expressão à direita):

Sinta a diferença? 4 e 1/9!

Qual é a ordem da divisão? Ou colchetes, ou (como aqui) o comprimento dos traços horizontais. Desenvolva um olho. E se não houver colchetes ou travessões, como:

então divida-multiplique em ordem, da esquerda para a direita!

E outro truque muito simples e importante. Em ações com graus, será útil para você! Vamos dividir a unidade por qualquer fração, por exemplo, por 13/15:

O tiro virou! E sempre acontece. Ao dividir 1 por qualquer fração, o resultado é a mesma fração, só que invertida.

Essas são todas as ações com frações. A coisa é bem simples, mas dá erros mais do que suficientes. Observe os conselhos práticos e haverá menos deles (erros)!

Dicas Práticas:

2. Em exemplos com diferentes tipos de frações - vá para frações comuns.

3. Reduzimos todas as frações até a parada.

4. Reduzimos expressões fracionárias de vários níveis a expressões comuns usando a divisão por dois pontos (seguimos a ordem da divisão!).

5. Dividimos a unidade em uma fração em nossa mente, simplesmente virando a fração.

Lembre-se da resposta correta obtido na segunda (especialmente na terceira) vez - não conta! Assim é a dura vida.

Calcular:

Você decidiu?

Procurando respostas que correspondam às suas. Eu especificamente as escrevi em desordem, longe da tentação, por assim dizer ... Aqui estão elas, as respostas, escritas com ponto e vírgula.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

E agora tiramos conclusões. Se tudo deu certo - feliz por você! Cálculos elementares com frações não são problema seu! Você pode fazer coisas mais sérias. Se não...

Então você tem um dos dois problemas. Ou ambos ao mesmo tempo.) Falta de conhecimento e (ou) desatenção. Mas isso solucionável Problemas.

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Da última vez, aprendemos a somar e subtrair frações (consulte a lição "Adição e subtração de frações"). O momento mais difícil dessas ações foi trazer as frações para um denominador comum.

Agora é hora de lidar com a multiplicação e divisão. A boa notícia é que essas operações são ainda mais fáceis do que a adição e a subtração. Para começar, considere o caso mais simples, quando há duas frações positivas sem uma parte inteira distinta.

Para multiplicar duas frações, você precisa multiplicar seus numeradores e denominadores separadamente. O primeiro número será o numerador da nova fração e o segundo será o denominador.

Para dividir duas frações, você precisa multiplicar a primeira fração pela segunda "invertida".

Designação:

Por definição temos:

Multiplicação de frações com uma parte inteira e frações negativas

Se houver uma parte inteira nas frações, elas devem ser convertidas em impróprias - e só então multiplicadas de acordo com os esquemas descritos acima.

Se houver menos no numerador de uma fração, no denominador ou antes dele, ele pode ser retirado dos limites de multiplicação ou removido completamente de acordo com as seguintes regras:

Mais vezes menos dá menos;
Dois negativos formam uma afirmativa.

Riscando os menos em pares até que desapareçam completamente. Em um caso extremo, um menos pode sobreviver - aquele que não encontrou uma correspondência;
Se não houver menos, a operação está concluída - você pode começar a multiplicar. Se o último sinal de menos não for riscado, pois não encontrou um par, nós o retiramos dos limites de multiplicação. Você obtém uma fração negativa.

Tarefa. Encontre o valor da expressão:

Traduzimos todas as frações em impróprias e, em seguida, retiramos os menos fora dos limites da multiplicação. O que resta é multiplicado de acordo com as regras usuais. Nós temos:

Reduzindo frações em tempo real

Tarefa. Encontre o valor da expressão:

Por definição temos:

Em todos os exemplos, os números que foram reduzidos e o que resta deles estão marcados em vermelho.

Observação: no primeiro caso, os multiplicadores foram reduzidos completamente. As unidades permaneceram em seu lugar, o que, em geral, pode ser omitido. No segundo exemplo, não foi possível obter uma redução completa, mas a quantidade total de cálculos ainda diminuiu.

No entanto, em nenhum caso, não use esta técnica ao adicionar e subtrair frações! Sim, às vezes existem números semelhantes que você só quer reduzir. Olhe aqui:

Você não pode fazer isso!

O erro ocorre devido ao fato de que ao adicionar uma fração, a soma aparece no numerador da fração, e não no produto dos números. Portanto, é impossível aplicar a propriedade principal de uma fração, pois essa propriedade trata especificamente da multiplicação de números.

Simplesmente não há outro motivo para reduzir frações, então a solução correta para o problema anterior é assim: