O ponto extremo da função f x. O que são extremos de uma função: pontos críticos de máximo e mínimo

Passando essas desigualdades ao limite como Δ x→ 0 e levando em conta que a derivada f "(x 0) existe e, portanto, o limite à esquerda não depende de como Δ x→ 0, obtemos: para Δ x → 0 – 0 f" (x 0) ≥ 0 e em Δ x → 0 + 0 f" (x 0) ≤ 0. Desde f" (x 0) define um número, então essas duas desigualdades são compatíveis somente se f" (x 0) = 0.

O teorema provado afirma que os pontos máximo e mínimo só podem estar entre os valores do argumento para os quais a derivada desaparece.

Consideramos o caso quando uma função tem uma derivada em todos os pontos de um determinado segmento. O que acontece quando a derivada não existe? Considere exemplos.

y =|x |.

A função não tem derivada em um ponto x=0 (neste ponto, o gráfico da função não possui uma tangente definida), mas neste ponto a função possui um mínimo, pois y(0)=0, e para todo x ≠ 0y > 0.

Assim, a partir dos exemplos dados e do teorema formulado fica claro que a função pode ter um extremo apenas em dois casos: 1) nos pontos onde a derivada existe e é igual a zero; 2) no ponto em que a derivada não existe.

No entanto, se em algum momento x 0 nós sabemos que f"(x 0 ) =0, então não se pode concluir disso que no ponto x 0 a função tem um extremo.

Por exemplo.

mas ponto x=0 não é um ponto extremo, pois à esquerda deste ponto os valores da função estão localizados abaixo do eixo Boi, e acima à direita.

Valores de um argumento do domínio de uma função, para os quais a derivada da função desaparece ou não existe, são chamados Pontos críticos .

Segue-se do exposto que os pontos extremos de uma função estão entre os pontos críticos e, no entanto, nem todo ponto crítico é um ponto extremo. Portanto, para encontrar o extremo da função, você precisa encontrar todos os pontos críticos da função e, em seguida, examinar cada um desses pontos separadamente para máximo e mínimo. Para isso, serve o seguinte teorema.

Teorema 2. (Uma condição suficiente para a existência de um extremo.) Seja a função contínua em algum intervalo contendo o ponto crítico x 0 , e é diferenciável em todos os pontos deste intervalo (exceto, talvez, o próprio ponto x 0). Se, ao passar da esquerda para a direita por este ponto, a derivada muda de sinal de mais para menos, então no ponto x = x 0 a função tem um máximo. Se, ao passar por x 0 da esquerda para a direita, a derivada muda de sinal de menos para mais, então a função tem um mínimo neste ponto.

Assim, se

f"(x)>0 em x <x 0 e f"(x)< 0 em x > x 0 , então x 0 - ponto máximo;

Prova. Suponhamos primeiro que ao passar por x 0, a derivada muda de sinal de mais para menos, ou seja, para todos x perto do ponto x 0 f"(x)> 0 para x< x 0 , f"(x)< 0 para x > x 0 . Apliquemos o teorema de Lagrange à diferença f(x) - f(x 0 ) = f"(c)(x-x 0), onde c encontra-se entre x E x 0 .

Deixar x< x 0 . Então c< x 0 e f"(c)> 0. É por isso f "(c)(x-x 0)< 0 e, portanto,

f(x) - f(x 0 )< 0, ou seja f(x)< f(x 0 ).

Deixar x > x 0 . Então c> x 0 e f"(c)< 0. Significa f "(c)(x-x 0)< 0. É por isso f(x) - f(x 0 ) <0,т.е.f(x) < f(x 0 ) .

Assim, para todos os valores x perto o suficiente para x 0 f(x) < f(x 0 ) . E isso significa que no ponto x 0 a função tem um máximo.

A segunda parte do teorema do mínimo é provada de forma análoga.

Vamos ilustrar o significado desse teorema na figura. Deixar f"(x 1 ) =0 e para qualquer x, perto o suficiente para x 1 , as desigualdades

f"(x)< 0 em x< x 1 , f"(x)> 0 em x > x 1 .

Em seguida, à esquerda do ponto x 1 a função é crescente e decrescente à direita, portanto, quando x = x 1 função vai de crescente a decrescente, ou seja, tem um máximo.

Da mesma forma, pode-se considerar os pontos x 2 e x 3 .

Esquematicamente, todos os itens acima podem ser representados na imagem:

A regra para estudar a função y=f(x) para um extremo

Encontrar o escopo de uma função f(x).

Encontrar a primeira derivada de uma função f"(x) .

Determine os pontos críticos, para isso:

encontre as raízes reais da equação f"(x) =0;

encontrar todos os valores x sob o qual a derivada f"(x) não existe.

Determine o sinal da derivada à esquerda e à direita do ponto crítico. Como o sinal da derivada permanece constante entre dois pontos críticos, basta determinar o sinal da derivada em qualquer ponto à esquerda e em um ponto à direita do ponto crítico.

Calcule o valor da função nos pontos extremos.

Antes de aprender a encontrar o extremo de uma função, é necessário entender o que é um extremo. A definição mais geral de um extremo é que é o menor ou maior valor de uma função usada em matemática em um determinado conjunto de uma linha numérica ou gráfico. No lugar onde está o mínimo, aparece o extremo do mínimo, e onde está o máximo, aparece o extremo do máximo. Também em uma disciplina como a análise matemática, os extremos locais de uma função são distinguidos. Agora vamos ver como encontrar extremos.

Os extremos em matemática estão entre as características mais importantes de uma função, eles mostram seu maior e menor valor. Os extremos são encontrados principalmente nos pontos críticos das funções encontradas. Vale notar que é no ponto extremo que a função muda radicalmente de direção. Se calcularmos a derivada do ponto extremo, então, de acordo com a definição, ela deve ser igual a zero ou estará completamente ausente. Assim, para aprender a encontrar o extremo de uma função, você precisa realizar duas tarefas sequenciais:

• encontre a derivada para a função que precisa ser determinada pela tarefa;
• encontre as raízes da equação.

A sequência de encontrar o extremo

1. Escreva a função f(x) que é dada. Encontre sua derivada de primeira ordem f "(x). Iguale a expressão resultante a zero.
2. Agora você tem que resolver a equação que acabou. As soluções resultantes serão as raízes da equação, bem como os pontos críticos da função que está sendo definida.
3. Agora determinamos quais pontos críticos (máximo ou mínimo) são as raízes encontradas. O próximo passo, depois que aprendemos como encontrar os pontos extremos de uma função, é encontrar a segunda derivada da função desejada f "(x). Será necessário substituir os valores dos pontos críticos encontrados em uma desigualdade específica e depois calcule o que acontece. Se isso acontecer, a segunda derivada for maior que zero no ponto crítico, então será o ponto mínimo, caso contrário, será o ponto máximo.
4. Resta calcular o valor da função inicial nos pontos máximos e mínimos necessários da função. Para fazer isso, substituímos os valores obtidos na função e calculamos. No entanto, deve-se notar que, se o ponto crítico for máximo, o extremo será máximo e, se for mínimo, será mínimo por analogia.

Algoritmo para encontrar um extremo

Para resumir o conhecimento adquirido, vamos fazer um breve algoritmo de como encontrar pontos extremos.

1. Encontramos o domínio da função dada e seus intervalos, que determinam exatamente em quais intervalos a função é contínua.
2. Encontramos a derivada da função f "(x).
3. Calculamos os pontos críticos da equação y = f (x).
4. Analisamos as mudanças na direção da função f(x), bem como o sinal da derivada f”(x) onde os pontos críticos separam o domínio de definição desta função.
5. Agora determinamos se cada ponto no gráfico é um máximo ou um mínimo.
6. Encontramos os valores da função naqueles pontos que são extremos.
7. Fixamos o resultado deste estudo - extremos e intervalos de monotonicidade. Isso é tudo. Agora consideramos como encontrar um extremo em qualquer intervalo. Se você precisa encontrar um extremo em um determinado intervalo de uma função, isso é feito de maneira semelhante, apenas os limites do estudo que está sendo realizado são necessariamente levados em consideração.

Então, consideramos como encontrar os pontos extremos de uma função. Com a ajuda de cálculos simples, bem como conhecimento sobre como encontrar derivadas, você pode encontrar qualquer extremo e calculá-lo, bem como designá-lo graficamente. Encontrar extremos é uma das seções mais importantes da matemática, tanto na escola quanto em uma instituição de ensino superior; portanto, se você aprender a determiná-los corretamente, o aprendizado se tornará muito mais fácil e interessante.

A partir deste artigo, o leitor aprenderá o que é um extremo de valor funcional, bem como as características de seu uso na prática. O estudo de tal conceito é extremamente importante para a compreensão dos fundamentos da matemática superior. Este tema é fundamental para um aprofundamento do curso.

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O que é um extremo?

No curso escolar, muitas definições do conceito de "extremo" são dadas. Este artigo destina-se a dar a compreensão mais profunda e clara do termo para aqueles que desconhecem o assunto. Assim, o termo é entendido em que medida o intervalo funcional adquire um valor mínimo ou máximo em um determinado conjunto.

O extremo é o valor mínimo da função e o máximo ao mesmo tempo. Existe um ponto mínimo e um ponto máximo, ou seja, os valores extremos do argumento no gráfico. As principais ciências em que este conceito é usado:

• Estatisticas;
• controle da máquina;
• econometria.

Os pontos extremos desempenham um papel importante na determinação da sequência de uma determinada função. O melhor sistema de coordenadas no gráfico mostra a mudança na posição extrema, dependendo da mudança na funcionalidade.

Extremos da função derivada

Também existe um "derivado". É necessário determinar o ponto extremo. É importante não confundir os pontos mínimos ou máximos com os maiores e menores valores. São conceitos diferentes, embora possam parecer semelhantes.

O valor da função é o principal fator para determinar como encontrar o ponto máximo. A derivada não é formada a partir dos valores, mas exclusivamente de sua posição extrema em uma ou outra ordem.

A própria derivada é determinada com base nos dados dos pontos extremos, e não no maior ou menor valor. Nas escolas russas, a linha entre esses dois conceitos não é claramente traçada, o que afeta a compreensão desse tópico em geral.

Vamos agora considerar algo como um "extremo agudo". Até o momento, existe um valor mínimo agudo e um valor máximo agudo. A definição é dada de acordo com a classificação russa de pontos críticos de uma função. O conceito de ponto extremo é a base para encontrar pontos críticos em um gráfico.

Para definir tal conceito, o teorema de Fermat é usado. É o mais importante no estudo dos pontos extremos e dá uma idéia clara de sua existência de uma forma ou de outra. Para garantir extremos, é importante criar certas condições para diminuir ou aumentar no gráfico.

Para responder com precisão à pergunta "como encontrar o ponto máximo", você deve seguir estas disposições:

1. Encontrar a área exata de definição no gráfico.
2. Procure a derivada de uma função e um ponto extremo.
3. Resolva desigualdades padrão para o domínio do argumento.
4. Ser capaz de provar em que funções um ponto de um gráfico é definido e contínuo.

Atenção! A busca de um ponto crítico de uma função só é possível se houver uma derivada de pelo menos segunda ordem, o que é assegurado por uma alta proporção da presença de um ponto extremo.

Condição necessária para o extremo da função

Para que exista um extremo, é importante que haja pontos mínimos e pontos máximos. Se esta regra for observada apenas parcialmente, então a condição para a existência de um extremo é violada.

Cada função em qualquer posição deve ser diferenciada para identificar seus novos significados. É importante entender que o caso em que um ponto desaparece não é o princípio básico para encontrar um ponto diferenciável.

Um extremo agudo, bem como um mínimo de função, é um aspecto extremamente importante da resolução de um problema matemático usando valores extremos. Para entender melhor este componente, é importante consultar os valores tabulares para definição do funcional.

O ponto extremo de uma função é o ponto no domínio da função onde o valor da função assume um valor mínimo ou máximo. Os valores da função nesses pontos são chamados de extremos (mínimo e máximo) da função.

Definição. Ponto x1 escopo da função f(x) é chamado ponto máximo da função , se o valor da função neste ponto for maior que os valores da função nos pontos próximos o suficiente dela, localizados à direita e à esquerda dela (ou seja, a desigualdade f(x0 ) > f(x 0 + Δ x) x1 máximo.

Definição. Ponto x2 escopo da função f(x) é chamado ponto mínimo da função, se o valor da função neste ponto for menor que os valores da função nos pontos próximos o suficiente dela, localizados à direita e à esquerda dela (ou seja, a desigualdade f(x0 ) < f(x 0 + Δ x) ). Neste caso, diz-se que a função tem no ponto x2 mínimo.

digamos que o ponto x1 - ponto máximo da função f(x) . Então no intervalo até x1 função aumenta, então a derivada da função é maior que zero ( f "(x) > 0 ), e no intervalo após x1 a função é decrescente, então função derivada menos que zero ( f "(x) < 0 ). Тогда в точке x1

Suponhamos também que o ponto x2 - ponto mínimo da função f(x) . Então no intervalo até x2 a função é decrescente e a derivada da função é menor que zero ( f "(x) < 0 ), а в интервале после x2 a função é crescente e a derivada da função é maior que zero ( f "(x) > 0 ). Neste caso também no ponto x2 a derivada da função é zero ou não existe.

Teorema de Fermat (um critério necessário para a existência de um extremo de uma função). Se ponto x0 - ponto extremo da função f(x), então neste ponto a derivada da função é igual a zero ( f "(x) = 0 ) ou não existe.

Definição. Os pontos nos quais a derivada de uma função é igual a zero ou não existe são chamados Pontos críticos .

Exemplo 1 Vamos considerar uma função.

No ponto x= 0 a derivada da função é igual a zero, portanto, o ponto x= 0 é o ponto crítico. Porém, como pode ser visto no gráfico da função, ela aumenta em todo o domínio de definição, então o ponto x= 0 não é um ponto extremo desta função.

Assim, as condições de que a derivada de uma função em um ponto seja igual a zero ou não exista são condições necessárias para um extremo, mas não suficientes, pois podem ser dados outros exemplos de funções para as quais essas condições são satisfeitas, mas a função não possui extremo no ponto correspondente. É por isso deve ter indicações suficientes, que permitem julgar se existe um extremo em um determinado ponto crítico e qual deles - um máximo ou um mínimo.

Teorema (o primeiro critério suficiente para a existência de um extremo de uma função). Ponto crítico x0 f(x) , se a derivada da função mudar de sinal ao passar por este ponto, e se o sinal mudar de "mais" para "menos", então o ponto máximo, e se de "menos" para "mais", então o ponto mínimo .

Se perto do ponto x0 , à esquerda e à direita dela, a derivada mantém seu sinal, isso significa que a função ou só decresce ou só aumenta em alguma vizinhança do ponto x0 . Neste caso, no ponto x0 não há extremo.

Então, para determinar os pontos extremos da função, você precisa fazer o seguinte :

1. Encontre a derivada de uma função.
2. Iguale a derivada a zero e determine os pontos críticos.
3. Mentalmente ou no papel, marque os pontos críticos no eixo numérico e determine os sinais da derivada da função nos intervalos resultantes. Se o sinal da derivada mudar de "mais" para "menos", então o ponto crítico é o ponto máximo, e se de "menos" para "mais", então o ponto crítico é o ponto mínimo.
4. Calcule o valor da função nos pontos extremos.

Exemplo 2 Encontrar extremos de uma função .

Solução. Vamos encontrar a derivada da função:

Iguale a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:

.

Como para quaisquer valores de "x" o denominador não é igual a zero, igualamos o numerador a zero:

Tem um ponto crítico x= 3 . Determinamos o sinal da derivada nos intervalos delimitados por este ponto:

na faixa de menos infinito a 3 - sinal de menos, ou seja, a função diminui,

na faixa de 3 a mais infinito - um sinal de mais, ou seja, a função aumenta.

ou seja, ponto x= 3 é o ponto mínimo.

Encontre o valor da função no ponto mínimo:

Assim, encontra-se o ponto extremo da função: (3; 0) , e é o ponto mínimo.

Teorema (o segundo critério suficiente para a existência de um extremo de uma função). Ponto crítico x0 é o ponto extremo da função f(x), se a segunda derivada da função neste ponto não for igual a zero ( f ""(x) ≠ 0 ), além disso, se a segunda derivada for maior que zero ( f ""(x) > 0 ), então o ponto máximo, e se a segunda derivada for menor que zero ( f ""(x) < 0 ), то точкой минимума.

Observação 1. Se em um ponto x0 tanto a primeira quanto a segunda derivada desaparecem, então neste ponto é impossível julgar a presença de um extremo com base no segundo sinal suficiente. Nesse caso, você precisa usar o primeiro critério suficiente para o extremo da função.

Observação 2. O segundo critério suficiente para o extremo de uma função também é inaplicável quando a primeira derivada não existe no ponto estacionário (então a segunda derivada também não existe). Neste caso, também é necessário utilizar o primeiro critério suficiente para o extremo da função.

A natureza local dos extremos da função

Das definições acima, segue-se que o extremo de uma função é de natureza local - este é o maior e o menor valor da função em comparação com os valores mais próximos.

Suponha que você considere seus ganhos em um período de tempo de um ano. Se em maio você ganhou 45.000 rublos, e em abril 42.000 rublos e em junho 39.000 rublos, os ganhos de maio são o máximo da função de ganhos em comparação com os valores mais próximos. Mas em outubro você ganhou 71.000 rublos, em setembro 75.000 rublos e em novembro 74.000 rublos, portanto, os ganhos de outubro são o mínimo da função de ganhos em comparação com os valores próximos. E você pode ver facilmente que o máximo entre os valores de abril-maio-junho é menor que o mínimo de setembro-outubro-novembro.

De um modo geral, uma função pode ter vários extremos em um intervalo e pode ocorrer que qualquer mínimo da função seja maior que qualquer máximo. Então, para a função mostrada na figura acima, .

Ou seja, não se deve pensar que o máximo e o mínimo da função são, respectivamente, seus valores máximo e mínimo em todo o segmento considerado. No ponto máximo, a função tem o maior valor apenas em comparação com aqueles valores que possui em todos os pontos suficientemente próximos do ponto máximo, e no ponto mínimo, o menor valor apenas em comparação com esses valores que tem em todos os pontos suficientemente perto do ponto mínimo.

Portanto, podemos refinar o conceito de pontos extremos de uma função dada acima e chamar os pontos mínimos de pontos mínimos locais e os pontos máximos - pontos máximos locais.

Estamos procurando os extremos da função juntos

Exemplo 3

Solução: A função é definida e contínua em toda a reta numérica. sua derivada também existe em toda a reta numérica. Portanto, em este caso apenas aqueles em que , ou seja, , de onde e . Pontos críticos e dividem todo o domínio da função em três intervalos de monotonicidade: . Selecionamos um ponto de controle em cada um deles e encontramos o sinal da derivada neste ponto.

Para o intervalo, o ponto de referência pode ser : encontramos . Tomando um ponto no intervalo, obtemos , e tomando um ponto no intervalo, temos . Então, nos intervalos e , e no intervalo . De acordo com o primeiro sinal suficiente de um extremo, não há extremo no ponto (já que a derivada mantém seu sinal no intervalo ), e a função tem um mínimo no ponto (já que a derivada muda de sinal de menos para mais ao passar por este ponto). Encontre os valores correspondentes da função: , e . No intervalo, a função diminui, pois neste intervalo , e no intervalo aumenta, pois neste intervalo.

Para esclarecer a construção do gráfico, encontramos os pontos de interseção do mesmo com os eixos coordenados. Quando obtemos uma equação cujas raízes e , ou seja, dois pontos (0; 0) e (4; 0) do gráfico da função são encontrados. Usando todas as informações recebidas, construímos um gráfico (veja no início do exemplo).

Exemplo 4 Encontre o extremo da função e construa seu gráfico.

O domínio da função é toda a reta numérica, exceto o ponto, ou seja, .

Para abreviar o estudo, podemos usar o fato de que essa função é par, pois . Portanto, seu gráfico é simétrico em relação ao eixo oi e o estudo só pode ser realizado para o intervalo.

Encontrando a derivada e pontos críticos da função:

1) ;

2) ,

mas a função sofre uma quebra neste ponto, então não pode ser um ponto extremo.

Assim, a função dada tem dois pontos críticos: e . Levando em consideração a paridade da função, verificamos apenas o ponto pelo segundo sinal suficiente do extremo. Para fazer isso, encontramos a segunda derivada e determine seu sinal em : obtemos . Desde e , então é o ponto mínimo da função, enquanto .

Para obter uma imagem mais completa do gráfico da função, vamos descobrir seu comportamento nos limites do domínio de definição:

(aqui o símbolo indica o desejo x a zero à direita e x permanece positivo; similarmente significa aspiração x a zero à esquerda e x permanece negativo). Assim, se , então . A seguir, encontramos

,

aqueles. se então .

O gráfico da função não tem pontos de interseção com os eixos. A imagem está no início do exemplo.

Continuamos a procurar os extremos da função juntos

Exemplo 8 Encontre o extremo da função .

Solução. Encontre o domínio da função. Como a desigualdade deve ser mantida, obtemos de .

Vamos encontrar a primeira derivada da função:

Vamos encontrar os pontos críticos da função.