O processo de encontrar os menores e maiores valores de uma função em um segmento lembra um voo fascinante em torno de um objeto (um gráfico de uma função) em um helicóptero com disparos de um canhão de longo alcance em determinados pontos e escolhendo entre esses pontos pontos muito especiais para tiros de controle. Os pontos são selecionados de uma certa maneira e de acordo com certas regras. Por quais regras? Falaremos mais sobre isso.
Se a função y = f(x)
contínua no intervalo [ a, b] , então chega neste segmento ao menos
E valores mais altos
. Isso pode acontecer tanto em pontos extremos ou nas extremidades do segmento. Portanto, para encontrar ao menos
E os maiores valores da função
, contínua no segmento [ a, b] , você precisa calcular seus valores em todos Pontos críticos e nas extremidades do segmento e, em seguida, escolha o menor e o maior deles.
Deixe, por exemplo, é necessário determinar o valor máximo da função f(x) no segmento [ a, b] . Para fazer isso, encontre todos os seus pontos críticos sobre [ a, b]
.
ponto crítico
é chamado de ponto no qual função definida, e ela derivadoé zero ou não existe. Então você deve calcular os valores da função em pontos críticos. E, por fim, deve-se comparar os valores da função nos pontos críticos e nas extremidades do segmento ( f(a) E f(b) ). O maior desses números será o maior valor da função no intervalo
[a, b]
.
O problema de encontrar os menores valores da função
.
Estamos procurando os menores e maiores valores da função juntos
Exemplo 1. Encontre os menores e maiores valores de uma função 
no segmento [-1, 2]
.
Solução. Encontramos a derivada dessa função. Iguale a derivada a zero () e obtenha dois pontos críticos: e . Para encontrar os menores e maiores valores de uma função em um determinado segmento, basta calcular seus valores nas extremidades do segmento e no ponto , pois o ponto não pertence ao segmento [-1, 2] . Esses valores de função são os seguintes: , , . Segue que menor valor da função(marcado em vermelho no gráfico abaixo), igual a -7, é atingido na extremidade direita do segmento - no ponto , e o melhor(também vermelho no gráfico), é igual a 9, - no ponto crítico .
Se a função é contínua em um determinado intervalo e esse intervalo não é um segmento (mas é, por exemplo, um intervalo; a diferença entre um intervalo e um segmento: os pontos de fronteira do intervalo não estão incluídos no intervalo, mas o os pontos de fronteira do segmento estão incluídos no segmento), então entre os valores da função pode não haver o menor e o maior. Assim, por exemplo, a função representada na figura abaixo é contínua em ]-∞, +∞[ e não possui o maior valor.
No entanto, para qualquer intervalo (fechado, aberto ou infinito), vale a seguinte propriedade de funções contínuas.
Exemplo 4. Encontre os menores e maiores valores de uma função no segmento [-1, 3]
.
Solução. Encontramos a derivada desta função como a derivada do quociente:
.
Igualamos a derivada a zero, o que nos dá um ponto crítico: . Pertence ao intervalo [-1, 3] . Para encontrar os menores e maiores valores de uma função em um determinado segmento, encontramos seus valores nas extremidades do segmento e no ponto crítico encontrado:
Vamos comparar esses valores. Conclusão: igual a -5/13, no ponto e o maior valor igual a 1 no ponto .
Continuamos a procurar os menores e maiores valores da função juntos
Há professores que, na questão de encontrar os menores e maiores valores de uma função, não dão aos alunos exemplos mais complicados do que os que acabamos de considerar, ou seja, aqueles em que a função é um polinômio ou uma fração, o numerador e denominador dos quais são polinômios. Mas não vamos nos limitar a tais exemplos, pois entre os professores existem amantes de fazer os alunos pensarem por completo (tabela de derivadas). Portanto, o logaritmo e a função trigonométrica serão usados.
Exemplo 6. Encontre os menores e maiores valores de uma função no segmento
.
Solução. Encontramos a derivada dessa função como derivado do produto :
Igualamos a derivada a zero, o que dá um ponto crítico: . Pertence ao segmento. Para encontrar os menores e maiores valores de uma função em um determinado segmento, encontramos seus valores nas extremidades do segmento e no ponto crítico encontrado:
O resultado de todas as ações: a função atinge seu valor mínimo, igual a 0, em um ponto e em um ponto e o maior valor igual a e² , no ponto .
Exemplo 7. Encontre os menores e maiores valores de uma função 
no segmento .
Solução. Encontramos a derivada desta função:
Iguale a derivada a zero:
O único ponto crítico pertence ao segmento. Para encontrar os menores e maiores valores de uma função em um determinado segmento, encontramos seus valores nas extremidades do segmento e no ponto crítico encontrado:
Conclusão: a função atinge seu valor mínimo, igual a , no ponto e o maior valor, igual a , no ponto .
Em problemas extremos aplicados, encontrar os menores (maiores) valores de função, via de regra, é reduzido a encontrar o mínimo (máximo). Mas não são os próprios mínimos ou máximos que são de maior interesse prático, mas os valores do argumento em que são alcançados. Ao resolver problemas aplicados, surge uma dificuldade adicional - a compilação de funções que descrevem o fenômeno ou processo em questão.
Exemplo 8 Deve ser estanhado um tanque com capacidade para 4, em forma de paralelepípedo de base quadrada e aberto na parte superior. Quais devem ser as dimensões do tanque para cobri-lo com a menor quantidade de material?
Solução. Deixar x- base lateral h- altura do tanque, S- sua área de superfície sem cobertura, V- seu volume. A área da superfície do tanque é expressa pela fórmula , ou seja é uma função de duas variáveis. expressar S como função de uma variável, usamos o fato de que , de onde . Substituindo a expressão encontrada h na fórmula para S:
Vamos examinar esta função para um extremo. É definido e diferenciável em todo lugar em ]0, +∞[ , e
.
Igualamos a derivada a zero () e encontramos o ponto crítico. Além disso, em , a derivada não existe, mas esse valor não está incluído no domínio de definição e, portanto, não pode ser um ponto extremo. Então, - o único ponto crítico. Vamos verificar a presença de um extremo usando o segundo critério suficiente. Vamos encontrar a segunda derivada. Quando a segunda derivada é maior que zero (). Isso significa que quando a função atinge um mínimo 
. Porque isso mínimo - o único extremo desta função, é o seu menor valor. Assim, o lado da base do tanque deve ser igual a 2 m, e sua altura.
Exemplo 9 Do parágrafo A, localizado na linha férrea, até o ponto COM, a uma distância dele eu, as mercadorias devem ser transportadas. O custo de transporte de uma unidade de peso por unidade de distância por via férrea é igual a , e por rodovia é igual a . até que ponto M linhas estrada de ferro uma rodovia deveria ser construída para que o transporte de mercadorias de A V COM foi o mais econômico AB a ferrovia é assumida como reta)?
Como encontrar os maiores e menores valores de uma função em um segmento?
Por esta seguimos o conhecido algoritmo:
1
. Encontramos funções ODZ.
2
. Encontrando a derivada de uma função
3
. Iguale a derivada a zero
4
. Encontramos os intervalos nos quais a derivada mantém seu sinal e, a partir deles, determinamos os intervalos de aumento e diminuição da função:
Se no intervalo I a derivada da função 0" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} aumenta neste intervalo.
Se no intervalo I a derivada da função , então a função diminui neste intervalo.
5
. Nós achamos pontos de máximo e mínimo da função.
EM o ponto máximo da função, a derivada muda de sinal de "+" para "-".
EM ponto mínimo da funçãoderivada muda o sinal de "-" para "+".
6
. Encontramos o valor da função nas extremidades do segmento,
- então comparamos o valor da função nas extremidades do segmento e nos pontos máximos, e escolha o maior deles se precisar encontrar o maior valor da função
- ou comparamos o valor da função nas extremidades do segmento e nos pontos mínimos, e escolha o menor deles se precisar encontrar o menor valor da função
No entanto, dependendo de como a função se comporta no intervalo, esse algoritmo pode ser significativamente reduzido.
Considere a função 
. O gráfico dessa função fica assim:
Vejamos alguns exemplos de resolução de problemas de banco aberto atribuições para
1 . Tarefa B15 (#26695)
No corte.
1. A função é definida para todos os valores reais de x
Obviamente, esta equação não tem soluções e a derivada é positiva para todos os valores de x. Portanto, a função aumenta e assume o maior valor na extremidade direita do intervalo, ou seja, em x=0.
Resposta: 5.
2
. Tarefa B15 (nº 26702)
Encontrar o maior valor de uma função 
no segmento.
função 1.ODZ title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}
A derivada é zero em , porém, nesses pontos ela não muda de sinal:
Portanto, título="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} aumenta e assume o maior valor na extremidade direita do intervalo, em .
Para deixar claro por que a derivada não muda de sinal, transformamos a expressão da derivada da seguinte forma:
Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}
Resposta: 5.
3 . Tarefa B15 (#26708)
Encontre o menor valor da função no intervalo .
1. Funções ODZ: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}
Vamos colocar as raízes desta equação em um círculo trigonométrico.
O intervalo contém dois números: e
Vamos colocar os sinais. Para fazer isso, determinamos o sinal da derivada no ponto x=0: 
. Ao passar pelos pontos e a derivada muda de sinal.
Vamos representar a mudança de sinais da derivada da função na linha de coordenadas:
Obviamente, o ponto é um ponto mínimo (onde a derivada muda de sinal de "-" para "+") e, para encontrar o menor valor da função no intervalo, você precisa comparar os valores da função no ponto mínimo e na extremidade esquerda do segmento, .
Neste artigo falarei sobre algoritmo para encontrar o maior e o menor valor função, pontos mínimos e máximos.
Da teoria, definitivamente precisaremos tabela de derivativos E regras de diferenciação. Está tudo nesta placa:
Algoritmo para encontrar os maiores e menores valores.
acho mais facil de explicar exemplo específico. Considerar:
Exemplo: Encontre o maior valor da função y=x^5+20x^3–65x no segmento [–4;0].
Passo 1. Tomamos a derivada.
Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65
Passo 2 Encontrar pontos extremos.
ponto extremo nomeamos os pontos nos quais a função atinge seu valor máximo ou mínimo.
Para encontrar os pontos extremos, é necessário igualar a derivada da função a zero (y "= 0)
5x^4 + 60x^2 - 65 = 0
Agora resolvemos esta equação biquadrada e as raízes encontradas são nossos pontos extremos.
Eu resolvo essas equações substituindo t = x^2, então 5t^2 + 60t - 65 = 0.
Reduza a equação em 5, obtemos: t^2 + 12t - 13 = 0
D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196
T_(1) = (-12 + quadrado(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1
T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13
Fazemos a substituição inversa x^2 = t:
X_(1 e 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 e 4) = ±sqrt(-13) (excluímos, não pode haver números negativos sob a raiz, a menos que estejamos falando de números complexos)
Total: x_(1) = 1 e x_(2) = -1 - esses são nossos pontos extremos.
etapa 3 Determine o maior e o menor valor.
Método de substituição.
Na condição, recebemos o segmento [b][–4;0]. O ponto x=1 não está incluído neste segmento. Então não consideramos. Mas além do ponto x=-1, também precisamos considerar as bordas esquerda e direita do nosso segmento, ou seja, os pontos -4 e 0. Para fazer isso, substituímos todos esses três pontos na função original. Observe que o original é aquele dado na condição (y=x^5+20x^3–65x), alguns começam substituindo na derivada...
Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044
Isso significa que o valor máximo da função é [b]44 e é alcançado nos pontos [b]-1, que é chamado de ponto máximo da função no segmento [-4; 0].
Decidimos e obtivemos uma resposta, estamos ótimos, pode relaxar. Mas pare! Você não acha que contar y(-4) é muito complicado? Em condições de tempo limitado, é melhor usar outro método, chamo assim:
Através de intervalos de constância.
Essas lacunas são encontradas para a derivada da função, ou seja, para nossa equação biquadrada.
Eu faço da seguinte maneira. Eu desenho uma linha direcional. Eu defino os pontos: -4, -1, 0, 1. Apesar de 1 não estar incluído no segmento dado, ainda deve ser anotado para determinar corretamente os intervalos de constância. Vamos pegar um número muitas vezes maior que 1, digamos 100, substituí-lo mentalmente em nossa equação biquadrada 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Mesmo sem contar nada, fica óbvio que no ponto 100 a função tem sinal de mais. Isso significa que para intervalos de 1 a 100 tem um sinal de mais. Ao passar por 1 (vamos da direita para a esquerda), a função mudará o sinal para menos. Ao passar pelo ponto 0, a função manterá seu sinal, pois este é apenas o limite do segmento, e não a raiz da equação. Ao passar por -1, a função mudará novamente o sinal para mais.
Pela teoria, sabemos que onde está a derivada da função (e desenhamos isso para ela) muda o sinal de mais para menos (ponto -1 no nosso caso) função atinge seu máximo local (y(-1)=44 conforme calculado anteriormente) neste segmento (isso é logicamente muito claro, a função deixou de aumentar, pois atingiu seu máximo e começou a diminuir).
Assim, onde a derivada da função muda o sinal de menos para mais, alcançou mínimo local de uma função. Sim, sim, também encontramos o ponto de mínimo local, que é 1, e y(1) é o valor mínimo da função no intervalo, digamos de -1 a +∞. Observe que este é apenas um MÍNIMO LOCAL, ou seja, um mínimo em um determinado segmento. Como a função mínima real (global) chegará a algum lugar lá, em -∞.
Na minha opinião, o primeiro método é mais simples teoricamente, e o segundo é mais simples em termos de operações aritméticas, mas muito mais difícil em termos teóricos. Afinal, às vezes há casos em que a função não muda de sinal ao passar pela raiz da equação e, de fato, você pode se confundir com esses máximos e mínimos locais e globais, embora tenha que dominá-lo bem de qualquer maneira se planejar para entrar em uma universidade técnica (e para o que mais dar exame de perfil e resolver este problema). Mas a prática, e somente a prática, ensinará como resolver esses problemas de uma vez por todas. E você pode treinar em nosso site. Aqui .
Se você tiver alguma dúvida ou algo não estiver claro, não deixe de perguntar. Terei o maior prazer em responder e fazer alterações, acréscimos ao artigo. Lembre-se de que estamos fazendo este site juntos!
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