Exempel på geometrisk progression. Var alltid på humör

Geometrisk progression är tillsammans med aritmetik en viktig talserie som studeras i skolalgebrakursen i årskurs 9. I den här artikeln kommer vi att överväga nämnaren för en geometrisk progression och hur dess värde påverkar dess egenskaper.

Definition av geometrisk progression

Till att börja med ger vi definitionen av denna nummerserie. En geometrisk progression är en serie rationella tal som bildas genom att successivt multiplicera dess första element med ett konstant tal som kallas nämnaren.

Till exempel är talen i serien 3, 6, 12, 24, ... en geometrisk progression, för om vi multiplicerar 3 (det första elementet) med 2 får vi 6. Om vi ​​multiplicerar 6 med 2 får vi 12 och så vidare.

Medlemmarna i sekvensen som övervägs betecknas vanligtvis med symbolen ai, där i är ett heltal som anger numret på elementet i serien.

Ovanstående definition av en progression kan skrivas på matematikens språk enligt följande: an = bn-1 * a1, där b är nämnaren. Det är lätt att kontrollera denna formel: om n = 1, då b1-1 = 1, och vi får a1 = a1. Om n = 2, då är an = b * a1, och vi kommer återigen till definitionen av den talserie som är under övervägande. Liknande resonemang kan fortsätta för stora värden n.

Nämnaren för en geometrisk progression

Siffran b avgör helt vilken karaktär hela nummerserien kommer att ha. Nämnaren b kan vara positiv, negativ eller större än eller mindre än ett. Alla ovanstående alternativ leder till olika sekvenser:

• b > 1. Det finns en ökande serie av rationella tal. Till exempel, 1, 2, 4, 8, ... Om elementet a1 är negativt, kommer hela sekvensen att öka endast modulo, men minska med hänsyn till talens tecken.
• b = 1. Ofta kallas ett sådant fall inte en progression, eftersom det finns en vanlig serie med identiska rationella tal. Till exempel -4, -4, -4.

Formel för summa

Innan man går vidare till övervägandet av specifika problem med hjälp av nämnaren för den typ av progression som övervägs, bör en viktig formel ges för summan av dess första n element. Formeln är: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Du kan få detta uttryck själv om du överväger en rekursiv sekvens av medlemmar i progressionen. Observera också att i formeln ovan räcker det att bara känna till det första elementet och nämnaren för att hitta summan av ett godtyckligt antal termer.

Oändligt minskande sekvens

Ovan var en förklaring av vad det är. Nu när vi känner till formeln för Sn, låt oss tillämpa den på den här nummerserien. Eftersom alla tal vars modul inte överstiger 1 tenderar mot noll när det höjs till stora potenser, det vill säga b∞ => 0 om -1

Eftersom skillnaden (1 - b) alltid kommer att vara positiv, oavsett nämnarens värde, bestäms tecknet för summan av en oändligt minskande geometrisk progression S∞ unikt av tecknet för dess första element a1.

Nu kommer vi att överväga flera problem, där vi kommer att visa hur man tillämpar den förvärvade kunskapen på specifika siffror.

Uppgift nummer 1. Beräkning av okända element i progressionen och summan

Givet en geometrisk progression är nämnaren för progressionen 2, och dess första element är 3. Vad blir dess 7:e och 10:e led, och vad är summan av dess sju initiala element?

Tillståndet för problemet är ganska enkelt och involverar direkt användning av ovanstående formler. Så för att beräkna elementet med nummer n använder vi uttrycket an = bn-1 * a1. För det 7:e elementet har vi: a7 = b6 * a1, genom att ersätta de kända data, får vi: a7 = 26 * 3 = 192. Vi gör samma sak för den 10:e medlemmen: a10 = 29 * 3 = 1536.

Vi använder den välkända formeln för summan och bestämmer detta värde för de första 7 elementen i serien. Vi har: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Uppgift nummer 2. Bestämma summan av godtyckliga element i progressionen

Låt -2 vara nämnaren för den exponentiella progressionen bn-1 * 4, där n är ett heltal. Det är nödvändigt att bestämma summan från det 5:e till det 10:e elementet i denna serie, inklusive.

Problemet kan inte lösas direkt med hjälp av kända formler. Det kan lösas på 2 olika sätt. För fullständighetens skull presenterar vi båda.

Metod 1. Dess idé är enkel: du måste beräkna de två motsvarande summorna av de första termerna och sedan subtrahera den andra från den ena. Beräkna den mindre summan: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Nu räknar vi en stor mängd: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Observera att i det sista uttrycket summerades endast 4 termer, eftersom den 5:e redan ingår i summan som behöver beräknas enligt problemets tillstånd. Till sist tar vi skillnaden: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

Metod 2. Innan du byter ut tal och räknar kan du få en formel för summan mellan termerna m och n i serien i fråga. Vi agerar på exakt samma sätt som i metod 1, bara vi arbetar först med den symboliska representationen av summan. Vi har: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Du kan ersätta kända tal i det resulterande uttrycket och beräkna slutresultatet: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Uppgift nummer 3. Vad är nämnaren?

Låt a1 = 2, hitta nämnaren för den geometriska progressionen, förutsatt att dess oändliga summa är 3, och det är känt att detta är en avtagande talserie.

Beroende på problemets tillstånd är det inte svårt att gissa vilken formel som ska användas för att lösa det. Naturligtvis för summan av en oändligt minskande progression. Vi har: S∞ = a1 / (1 - b). Varifrån vi uttrycker nämnaren: b = 1 - a1 / S∞. Det återstår att ersätta de kända värdena och få det nödvändiga antalet: b \u003d 1 - 2 / 3 \u003d -1 / 3 eller -0,333 (3). Vi kan kontrollera detta resultat kvalitativt om vi kommer ihåg att för denna typ av sekvens får modulen b inte överstiga 1. Som du kan se, |-1 / 3|

Uppgift nummer 4. Återställa en serie nummer

Låt 2 element i en nummerserie ges, till exempel är den 5:e lika med 30 och den 10:e är lika med 60. Det är nödvändigt att återställa hela serien från dessa data, med vetskap om att den uppfyller egenskaperna för en geometrisk progression.

För att lösa problemet måste du först skriva ner motsvarande uttryck för varje känd medlem. Vi har: a5 = b4 * a1 och a10 = b9 * a1. Nu dividerar vi det andra uttrycket med det första, vi får: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Härifrån bestämmer vi nämnaren genom att ta femtegradsroten av förhållandet mellan medlemmarna som är kända från problemets tillstånd, b = 1,148698. Vi ersätter det resulterande talet i ett av uttrycken för ett känt element, vi får: a1 = a5 / b4 = 30 / (1,148698)4 = 17,2304966.

Således har vi hittat vad nämnaren för progressionen bn är, och den geometriska progressionen bn-1 * 17,2304966 = an, där b = 1,148698.

Var används geometriska progressioner?

Om det inte fanns någon tillämpning av denna numeriska serie i praktiken, skulle dess studie reduceras till ett rent teoretiskt intresse. Men det finns en sådan ansökan.

De 3 mest kända exemplen listas nedan:

• Zenos paradox, där den smidige Akilles inte kan hinna med den långsamma sköldpaddan, löses med hjälp av konceptet med en oändligt minskande talföljd.
• Om vetekorn placeras på varje cell på schackbrädet så att 1 korn placeras på den 1:a cellen, 2 - på den 2:a, 3 - på den 3:e, och så vidare, så kommer 18446744073709551615 korn att behövas för att fylla alla celler i styrelsen!
• I spelet "Tower of Hanoi", för att ordna om diskar från en stav till en annan, är det nödvändigt att utföra 2n - 1 operationer, det vill säga deras antal växer exponentiellt från antalet diskar n som används.

Geometrisk progression inte mindre viktig i matematik än i aritmetik. En geometrisk progression är en sådan sekvens av tal b1, b2,..., b[n] vars nästa medlem erhålls genom att multiplicera det föregående med ett konstant tal. Detta nummer, som också kännetecknar tillväxttakten eller minskningen av progressionen, kallas nämnare för en geometrisk progression och beteckna

För fullständig uppgift geometrisk progression, förutom nämnaren, är det nödvändigt att känna till eller bestämma dess första term. För ett positivt värde på nämnaren är progressionen en monoton sekvens, och om denna talföljd är monotont minskande och monotont ökande när. Fallet när nämnaren är lika med ett beaktas inte i praktiken, eftersom vi har en sekvens av identiska tal, och deras summering är inte av praktiskt intresse

Allmän term för en geometrisk progression beräknas enligt formeln

Summan av de första n termerna av en geometrisk progression bestäms av formeln

Låt oss överväga lösningar på klassiska geometriska progressionsproblem. Låt oss börja med det enklaste att förstå.

Exempel 1. Den första termen i en geometrisk progression är 27, och dess nämnare är 1/3. Hitta de första sex termerna i en geometrisk progression.

Lösning: Vi skriver tillståndet för problemet i formuläret

För beräkningar använder vi formeln för den n:e medlemmen av en geometrisk progression

Baserat på den hittar vi okända medlemmar av progressionen

Som du kan se är det inte svårt att beräkna termerna för en geometrisk progression. Själva utvecklingen kommer att se ut så här

Exempel 2. De tre första medlemmarna av en geometrisk progression ges: 6; -12; 24. Hitta nämnaren och den sjunde termen.

Lösning: Vi beräknar nämnaren för den geometriska progressionen baserat på dess definition

Vi fick en alternerande geometrisk progression vars nämnare är -2. Den sjunde termen beräknas med formeln

På denna uppgift är löst.

Exempel 3. En geometrisk progression ges av två av dess medlemmar . Hitta den tionde termen i progressionen.

Lösning:

Låt oss skriva de givna värdena genom formlerna

Enligt reglerna skulle det vara nödvändigt att hitta nämnaren, och sedan leta efter det önskade värdet, men för den tionde termen har vi

Samma formel kan erhållas på basis av enkla manipulationer med indata. Vi delar den sjätte termen i serien med en annan, som ett resultat får vi

Om det resulterande värdet multipliceras med den sjätte termen får vi den tionde

Således, för sådana problem, med hjälp av enkla transformationer till snabb väg du kan hitta rätt lösning.

Exempel 4. Geometrisk progression ges av återkommande formler

Hitta nämnaren för den geometriska progressionen och summan av de första sex termerna.

Lösning:

Vi skriver den givna datan i form av ett ekvationssystem

Uttryck nämnaren genom att dividera den andra ekvationen med den första

Hitta den första termen i progressionen från den första ekvationen

Beräkna följande fem termer för att hitta summan av den geometriska progressionen

Om varje naturligt tal n matcha ett verkligt tal en , då säger de att givet nummerföljd :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , en , . . . .

Så en numerisk sekvens är en funktion av ett naturligt argument.

siffra a 1 kallad den första medlemmen i sekvensen , siffra a 2 — den andra medlemmen av sekvensen , siffra a 3 — tredje och så vidare. siffra en kallad n:e medlem sekvenser , och det naturliga talet n — hans nummer .

Från två grannmedlemmar en Och en +1 medlemssekvenser en +1 kallad senare (mot en ), A en — tidigare (mot en +1 ).

För att ange en sekvens måste du ange en metod som gör att du kan hitta en sekvensmedlem med valfritt nummer.

Ofta ges sekvensen med n:te termformler , det vill säga en formel som låter dig bestämma en sekvensmedlem efter dess nummer.

Till exempel,

sekvensen av positiva udda tal kan ges av formeln

en= 2n- 1,

och sekvensen av alternerande 1 Och -1 - formel

b n = (-1)n +1 . ◄

Sekvensen kan bestämmas återkommande formel, det vill säga en formel som uttrycker vilken medlem som helst i sekvensen, som börjar med några, till och med föregående (en eller flera) medlemmar.

Till exempel,

Om a 1 = 1 , A en +1 = en + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Om en 1= 1, en 2 = 1, en +2 = en + en +1 , sedan ställs de första sju medlemmarna av den numeriska sekvensen in enligt följande:

en 1 = 1,

en 2 = 1,

en 3 = en 1 + en 2 = 1 + 1 = 2,

en 4 = en 2 + en 3 = 1 + 2 = 3,

en 5 = en 3 + en 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Sekvenser kan vara slutlig Och ändlös .

Sekvensen kallas slutlig om den har ett begränsat antal medlemmar. Sekvensen kallas ändlös om den har oändligt många medlemmar.

Till exempel,

sekvens av tvåsiffriga naturliga tal:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

slutlig.

Primtalssekvens:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

ändlös. ◄

Sekvensen kallas ökande , om var och en av dess medlemmar, med början från den andra, är större än den föregående.

Sekvensen kallas avtagande , om var och en av dess medlemmar, med början från den andra, är mindre än den föregående.

Till exempel,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . är en stigande sekvens;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . är en fallande sekvens. ◄

En sekvens vars element inte minskar med ökande antal, eller omvänt inte ökar, kallas monoton sekvens .

Monotona sekvenser är i synnerhet ökande sekvenser och minskande sekvenser.

Aritmetisk progression

Aritmetisk progression en sekvens anropas, vars medlem, från och med den andra, är lika med den föregående, till vilken samma nummer läggs till.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , en, . . .

är en aritmetisk progression om för något naturligt tal n villkoret är uppfyllt:

en +1 = en + d,

Var d - något nummer.

Alltså skillnaden mellan nästa och föregående medlemmar av en given aritmetisk progression alltid konstant:

en 2 - a 1 = en 3 - a 2 = . . . = en +1 - en = d.

siffra d kallad skillnaden mellan en aritmetisk progression.

För att ställa in en aritmetisk progression räcker det att ange dess första term och skillnad.

Till exempel,

Om a 1 = 3, d = 4 , sedan hittas de första fem termerna i sekvensen enligt följande:

en 1 =3,

en 2 = en 1 + d = 3 + 4 = 7,

en 3 = en 2 + d= 7 + 4 = 11,

en 4 = en 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

För en aritmetisk progression med den första termen a 1 och skillnad d henne n

en = en 1 + (n- 1)d.

Till exempel,

hitta den trettionde termen i en aritmetisk progression

1, 4, 7, 10, . . .

en 1 =1, d = 3,

en 30 = en 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

en n-1 = en 1 + (n- 2)d,

en= en 1 + (n- 1)d,

en +1 = a 1 + nd,

då uppenbarligen

varje medlem av den aritmetiska progressionen, med början från den andra, är lika med det aritmetiska medelvärdet av föregående och efterföljande medlemmar.

talen a, b och c är på varandra följande medlemmar av någon aritmetisk progression om och endast om en av dem är lika med det aritmetiska medelvärdet av de andra två.

Till exempel,

en = 2n- 7 , är en aritmetisk progression.

Låt oss använda uttalandet ovan. Vi har:

en = 2n- 7,

en n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Därav,

◄

Anteckna det n -te medlemmen av en aritmetisk progression kan hittas inte bara genom a 1 , men även alla tidigare ett k

en = ett k + (n- k)d.

Till exempel,

För a 5 kan skrivas

en 5 = en 1 + 4d,

en 5 = en 2 + 3d,

en 5 = en 3 + 2d,

en 5 = en 4 + d. ◄

en = en n-k + kd,

en = a n+k - kd,

då uppenbarligen

varje medlem av en aritmetisk progression, med början från den andra, är lika med halva summan av medlemmarna i denna aritmetiska progression på lika avstånd från den.

Dessutom, för varje aritmetisk progression, är likheten sann:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Till exempel,

i aritmetisk progression

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = en 10:a = en 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) en 10:a= 28 = (19 + 37)/2 = (en 7 + en 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, därför att

en 2 + en 12= 4 + 34 = 38,

en 5 + en 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ en,

först n medlemmar av en aritmetisk progression är lika med produkten av halva summan av extremtermerna med antalet termer:

Särskilt av detta följer att om det är nödvändigt att summera villkoren

ett k, ett k +1 , . . . , en,

då behåller den föregående formeln sin struktur:

Till exempel,

i aritmetisk progression 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Om en aritmetisk progression ges, då kvantiteterna a 1 , en, d, n OchS n länkad med två formler:

Därför, om värdena för tre av dessa kvantiteter anges, bestäms motsvarande värden för de andra två kvantiteterna från dessa formler kombinerade till ett system med två ekvationer med två okända.

En aritmetisk progression är en monoton sekvens. Vart i:

• Om d > 0 , då ökar det;
• Om d < 0 , då minskar det;
• Om d = 0 , då blir sekvensen stationär.

Geometrisk progression

geometrisk progression en sekvens anropas, vars termer, med början från den andra, är lika med den föregående, multiplicerat med samma tal.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

är en geometrisk progression om för något naturligt tal n villkoret är uppfyllt:

b n +1 = b n · q,

Var q ≠ 0 - något nummer.

Således är förhållandet mellan nästa term i denna geometriska progression och den föregående ett konstant tal:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

siffra q kallad nämnare för en geometrisk progression.

För att ställa in en geometrisk progression räcker det att ange dess första term och nämnare.

Till exempel,

Om b 1 = 1, q = -3 , sedan hittas de första fem termerna i sekvensen enligt följande:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 och nämnare q henne n -th term kan hittas med formeln:

b n = b 1 · q n -1 .

Till exempel,

hitta den sjunde termen i en geometrisk progression 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

då uppenbarligen

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

varje medlem av den geometriska progressionen, med början från den andra, är lika med det geometriska medelvärdet (proportionell) av föregående och efterföljande medlemmar.

Eftersom det omvända också är sant, gäller följande påstående:

talen a, b och c är på varandra följande medlemmar av någon geometrisk progression om och endast om kvadraten på en av dem är lika med produkten av de andra två, det vill säga ett av talen är det geometriska medelvärdet av de andra två.

Till exempel,

låt oss bevisa att sekvensen ges av formeln b n= -3 2 n , är en geometrisk progression. Låt oss använda uttalandet ovan. Vi har:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Därav,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

vilket bevisar det erforderliga påståendet. ◄

Anteckna det n termen av en geometrisk progression kan hittas inte bara genom b 1 , men även någon tidigare termin b k , för vilket det räcker att använda formeln

b n = b k · q n - k.

Till exempel,

För b 5 kan skrivas

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

då uppenbarligen

b n 2 = b n - k· b n + k

kvadraten på varje medlem av en geometrisk progression, med början från den andra, är lika med produkten av medlemmarna i denna progression på samma avstånd från den.

Dessutom, för varje geometrisk progression, är likheten sann:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Till exempel,

exponentiellt

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , därför att

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

först n termer av en geometrisk progression med en nämnare q ≠ 0 beräknas med formeln:

Och när q = 1 - enligt formeln

S n= n.b. 1

Observera att om vi behöver summera villkoren

b k, b k +1 , . . . , b n,

då används formeln:

Till exempel,

exponentiellt 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Om en geometrisk progression ges, då mängderna b 1 , b n, q, n Och S n länkad med två formler:

Därför, om värdena för någon av tre av dessa kvantiteter anges, bestäms motsvarande värden för de andra två kvantiteterna från dessa formler kombinerade till ett system med två ekvationer med två okända.

För en geometrisk progression med den första termen b 1 och nämnare q följande ske monotoniska egenskaper :

• progressionen ökar om något av följande villkor är uppfyllt:

b 1 > 0 Och q> 1;

b 1 < 0 Och 0 < q< 1;

• En progression minskar om något av följande villkor är uppfyllt:

b 1 > 0 Och 0 < q< 1;

b 1 < 0 Och q> 1.

Om q< 0 , då är den geometriska progressionen teckenalternerande: dess udda numrerade termer har samma tecken som dess första term, och jämna numrerade termer har motsatt tecken. Det är tydligt att en alternerande geometrisk progression inte är monoton.

Produkten av den första n termer för en geometrisk progression kan beräknas med formeln:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Till exempel,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Oändligt minskande geometrisk progression

Oändligt minskande geometrisk progression kallas en oändlig geometrisk progression vars nämnarmodul är mindre än 1 , det är

|q| < 1 .

Observera att en oändligt minskande geometrisk progression kanske inte är en minskande sekvens. Detta passar fallet

1 < q< 0 .

Med en sådan nämnare är sekvensen teckenalternerande. Till exempel,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Summan av en oändligt minskande geometrisk progression namnge numret som summan av den första n vad gäller progressionen med en obegränsad ökning av antalet n . Detta tal är alltid ändligt och uttrycks med formeln

Till exempel,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Samband mellan aritmetiska och geometriska progressioner

Aritmetik och geometrisk progressionär nära besläktade. Låt oss bara överväga två exempel.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , Den där

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Till exempel,

1, 3, 5, . . . — aritmetisk progression med skillnad 2 Och

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . är en geometrisk progression med en nämnare 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . är en geometrisk progression med en nämnare q , Den där

logga a b 1, logga a b 2, logga a b 3, . . . — aritmetisk progression med skillnad logga aq .

Till exempel,

2, 12, 72, . . . är en geometrisk progression med en nämnare 6 Och

lg 2, lg 12, lg 72, . . . — aritmetisk progression med skillnad lg 6 . ◄

Låt oss överväga en serie.

7 28 112 448 1792...

Det är helt klart att värdet av något av dess element är exakt fyra gånger större än det föregående. Så den här serien är en progression.

En geometrisk progression är en oändlig talföljd huvud funktion vilket är att nästa tal erhålls från det föregående genom att multiplicera med något specifikt tal. Detta uttrycks med följande formel.

a z +1 =a z q, där z är numret på det valda elementet.

Följaktligen, z ∈ N.

Perioden då en geometrisk progression studeras i skolan är årskurs 9. Exempel hjälper dig att förstå konceptet:

0.25 0.125 0.0625...

Baserat på denna formel kan nämnaren för progressionen hittas enligt följande:

Varken q eller b z kan vara noll. Dessutom bör vart och ett av elementen i progressionen inte vara lika med noll.

Följaktligen, för att ta reda på nästa nummer i serien, måste du multiplicera det sista med q.

För att specificera denna progression måste du ange dess första element och nämnare. Efter det är det möjligt att hitta någon av de efterföljande termerna och deras summa.

Olika sorter

Beroende på q och a 1 är denna progression uppdelad i flera typer:

• Om både a 1 och q är större än ett, så är en sådan sekvens en geometrisk progression som ökar med varje nästa element. Ett exempel på sådant presenteras nedan.

Exempel: a 1 =3, q=2 - båda parametrarna är större än en.

Sedan kan den numeriska sekvensen skrivas så här:

3 6 12 24 48 ...

• Om |q| mindre än ett, det vill säga multiplikation med det är ekvivalent med division, då är en progression med liknande förhållanden en minskande geometrisk progression. Ett exempel på sådant presenteras nedan.

Exempel: a 1 =6, q=1/3 - a 1 är större än ett, q är mindre.

Sedan kan den numeriska sekvensen skrivas på följande sätt:

6 2 2/3 ... - vilket element som helst är 3 gånger större än elementet efter det.

• Teckenvariabel. Om q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Exempel: a 1 = -3 , q = -2 - båda parametrarna är mindre än noll.

Sedan kan sekvensen skrivas så här:

3, 6, -12, 24,...

Formler

För bekväm användning av geometriska progressioner finns det många formler:

• Formel för den z-te medlemmen. Gör att du kan beräkna elementet under ett specifikt nummer utan att beräkna de tidigare siffrorna.

Exempel:q = 3, a 1 = 4. Det krävs att man beräknar det fjärde elementet i progressionen.

Lösning:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Summan av de första elementen vars antal är z. Låter dig beräkna summan av alla element i en sekvens upp tilla zinklusive.

Sedan (1-q) är i nämnaren, då (1 - q)≠ 0, därför är q inte lika med 1.

Notera: om q=1, så skulle förloppet vara en serie av ett oändligt upprepande tal.

Summan av en geometrisk progression, exempel:a 1 = 2, q= -2. Beräkna S 5 .

Lösning:S 5 = 22 - beräkning med formel.

• Belopp om |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Exempel:a 1 = 2 , q= 0,5. Hitta beloppet.

Lösning:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Några egenskaper:

• karakteristisk egenskap. Om följande villkor utförs för någonz, då är den givna nummerserien en geometrisk progression:

a z 2 = a z -1 · az+1

• Dessutom hittas kvadraten av ett valfritt tal i en geometrisk progression genom att addera kvadraterna för två andra tal i en given serie, om de är lika långt från detta element.

a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , Vartär avståndet mellan dessa siffror.

• Elementskiljer sig i qen gång.
• Logaritmerna för progressionselementen bildar också en progression, men redan aritmetisk, det vill säga var och en av dem är större än den föregående med ett visst antal.

Exempel på några klassiska problem

För att bättre förstå vad en geometrisk progression är kan exempel med en lösning för årskurs 9 hjälpa.

• Betingelser:a 1 = 3, a 3 = 48. Hittaq.

Lösning: varje efterföljande element är större än det föregående iq en gång.Det är nödvändigt att uttrycka vissa element genom andra med hjälp av en nämnare.

Därav,a 3 = q 2 · a 1

Vid byteq= 4

• Betingelser:a 2 = 6, a 3 = 12. Beräkna S 6 .

Lösning:För att göra detta räcker det att hitta q, det första elementet och ersätta det i formeln.

a 3 = q· a 2 , därav,q= 2

a 2 = q en 1,Det är därför a 1 = 3

S6 = 189

• · a 1 = 10, q= -2. Hitta det fjärde elementet i progressionen.

Lösning: för att göra detta räcker det att uttrycka det fjärde elementet genom det första och genom nämnaren.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Applikationsexempel:

• Bankens klient gjorde en insättning på 10 000 rubel, enligt vilka villkoren varje år kommer att lägga till 6% av det till huvudbeloppet. Hur mycket pengar kommer att finnas på kontot efter 4 år?

Lösning: Det ursprungliga beloppet är 10 tusen rubel. Så ett år efter investeringen kommer kontot att ha ett belopp motsvarande 10 000 + 10 000 · 0,06 = 10 000 1,06

Följaktligen kommer beloppet på kontot efter ytterligare ett år att uttryckas enligt följande:

(10 000 1,06) 0,06 + 10 000 1,06 = 1,06 1,06 10 000

Det vill säga varje år ökar beloppet med 1,06 gånger. Detta innebär att för att hitta mängden medel på kontot efter 4 år räcker det med att hitta det fjärde elementet i progressionen, som ges av det första elementet lika med 10 tusen, och nämnaren lika med 1,06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Exempel på uppgifter för att beräkna summan:

I olika problem används en geometrisk progression. Ett exempel för att hitta summan kan ges enligt följande:

a 1 = 4, q= 2, beräknaS5.

Lösning: alla data som behövs för beräkningen är kända, du behöver bara ersätta dem i formeln.

S 5 = 124

• a 2 = 6, a 3 = 18. Beräkna summan av de första sex elementen.

Lösning:

Geom. progression, varje nästa element är q gånger större än det föregående, det vill säga för att beräkna summan måste du känna till elementeta 1 och nämnareq.

a 2 · q = a 3

q = 3

På samma sätt måste vi hittaa 1 , att vetaa 2 Ochq.

a 1 · q = a 2

a 1 =2

S 6 = 728.

En geometrisk progression är en numerisk sekvens, vars första term är icke-noll, och varje nästa term är lika med föregående term multiplicerad med samma icke-nolltal.

Begreppet geometrisk progression

Den geometriska progressionen betecknas med b1,b2,b3, …, bn, … .

Förhållandet mellan en term av det geometriska felet och dess föregående term är lika med samma tal, det vill säga b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+ 1)/bn = …. Detta följer direkt av definitionen av en aritmetisk progression. Detta tal kallas nämnaren för en geometrisk progression. Vanligtvis betecknas nämnaren för en geometrisk progression med bokstaven q.

Summan av en oändlig geometrisk progression för |q|<1

Ett sätt att ställa in en geometrisk progression är att sätta dess första term b1 och nämnaren för det geometriska felet q. Till exempel, b1=4, q=-2. Dessa två villkor ger en geometrisk progression på 4, -8, 16, -32, … .

Om q>0 (q är inte lika med 1), så är progressionen en monoton sekvens. Till exempel är sekvensen 2, 4,8,16,32, ... en monotont ökande sekvens (b1=2, q=2).

Om nämnaren q=1 i det geometriska felet kommer alla medlemmar av den geometriska progressionen att vara lika med varandra. I sådana fall sägs progressionen vara en konstant sekvens.

För att den numeriska sekvensen (bn) ska vara en geometrisk progression, är det nödvändigt att var och en av dess medlemmar, med början från den andra, är det geometriska medelvärdet av de angränsande delarna. Det vill säga, det är nödvändigt att uppfylla följande ekvation
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), för alla n>0, där n hör till mängden naturliga tal N.

Låt oss nu sätta (Xn) - en geometrisk progression. Nämnaren för den geometriska progressionen q, med |q|∞).
Om vi ​​nu betecknar summan av en oändlig geometrisk progression med S, så kommer följande formel att gälla:
S=xl/(1-q).

Tänk på ett enkelt exempel:

Hitta summan av en oändlig geometrisk progression 2, -2/3, 2/9, - 2/27, ... .

För att hitta S använder vi formeln för summan av en oändligt aritmetisk progression. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.