Hem › elektrisk utrustning › Exempel på geometrisk progression. Summan av en oändligt avtagande geometrisk progression och Zenons paradox

Exempel på geometrisk progression. Summan av en oändligt avtagande geometrisk progression och Zenons paradox

Lektion och presentation på ämnet: "Talsekvenser. Geometrisk progression"

Ytterligare material
Kära användare, glöm inte att lämna dina kommentarer, feedback, förslag! Allt material kontrolleras av ett antivirusprogram.

Läromedel och simulatorer i webbutiken "Integral" för årskurs 9
Effekter och rötter Funktioner och grafer

Killar, idag ska vi bekanta oss med en annan typ av progression.
Ämnet för dagens lektion är geometrisk progression.

Geometrisk progression

Definition. En numerisk sekvens där varje term, med början från den andra, är lika med produkten av den föregående och något fast tal, kallas en geometrisk progression.
Låt oss definiera vår sekvens rekursivt: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
där b och q är vissa givna tal. Talet q kallas fortskridandets nämnare.

Exempel. 1,2,4,8,16... Geometrisk progression, där den första delen är lika med en och $q=2$.

Exempel. 8,8,8,8... En geometrisk progression vars första term är åtta,
och $q=1$.

Exempel. 3,-3,3,-3,3... En geometrisk progression vars första term är tre,
och $q=-1$.

Den geometriska progressionen har egenskaperna monotoni.
Om $b_(1)>0$, $q>1$,
då ökar sekvensen.
Om $b_(1)>0$, $0 Sekvensen betecknas vanligtvis som: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.

Precis som i en aritmetisk progression, om i geometrisk progression antalet element är ändligt, då kallas progressionen en finit geometrisk progression.

$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Observera att om sekvensen är en geometrisk progression, så är sekvensen av kvadratiska termer också en geometrisk progression. Den andra sekvensen har den första termen $b_(1)^2$ och nämnaren $q^2$.

Formel för den n:e medlemmen av en geometrisk progression

En geometrisk progression kan också specificeras i en analytisk form. Låt oss se hur man gör det:
$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
Vi kan enkelt se mönstret: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
Vår formel kallas "formel för den n:te medlemmen av en geometrisk progression".

Låt oss gå tillbaka till våra exempel.

Exempel. 1,2,4,8,16... En geometrisk progression vars första term är lika med en,
och $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

Exempel. 16,8,4,2,1,1/2... En geometrisk progression vars första term är sexton och $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

Exempel. 8,8,8,8... En geometrisk progression där den första termen är åtta och $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

Exempel. 3,-3,3,-3,3... En geometrisk progression vars första term är tre och $q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

Exempel. Givet en geometrisk progression $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $.
a) Det är känt att $b_(1)=6, q=3$. Hitta $b_(5)$.
b) Det är känt att $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. Hitta n.
c) Det är känt att $q=-2, b_(6)=96$. Hitta $b_(1)$.
d) Det är känt att $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. Hitta q.

Lösning.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$ sedan $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

Exempel. Skillnaden mellan den sjunde och femte medlemmen av den geometriska progressionen är 192, summan av den femte och sjätte delen av progressionen är 192. Hitta den tionde medlemmen av denna progression.

Lösning.
Vi vet att: $b_(7)-b_(5)=192$ och $b_(5)+b_(6)=192$.
Vi vet också: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Sedan:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Vi har ett ekvationssystem:
$\begin(cases)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(cases)$.
Genom att likställa får våra ekvationer:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Vi har två lösningar q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Ersätt successivt i den andra ekvationen:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ inga lösningar.
Vi fick det: $b_(1)=4, q=2$.
Låt oss hitta den tionde termen: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

Summan av en ändlig geometrisk progression

Antag att vi har en ändlig geometrisk progression. Låt oss, liksom för en aritmetisk progression, beräkna summan av dess medlemmar.

Låt en ändlig geometrisk progression ges: $b_(1),b_(2),...,b_(n-1),b_(n)$.
Låt oss introducera notationen för summan av dess termer: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
I fallet när $q=1$. Alla medlemmar av den geometriska progressionen är lika med den första medlemmen, då är det uppenbart att $S_(n)=n*b_(1)$.
Betrakta nu fallet $q≠1$.
Multiplicera beloppet ovan med q.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Notera:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2) )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

Vi har fått formeln för summan av en ändlig geometrisk progression.

Exempel.
Hitta summan av de första sju termerna i en geometrisk progression vars första term är 4 och nämnaren är 3.

Lösning.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

Exempel.
Hitta den femte medlemmen av den geometriska progressionen, som är känd: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.

Lösning.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
$341q=1364$.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

Karakteristisk egenskap hos en geometrisk progression

Killar, med tanke på en geometrisk progression. Låt oss betrakta dess tre på varandra följande medlemmar: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.
Vi vet det:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
Sedan:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Om progressionen är finit, gäller denna likhet för alla termer utom den första och den sista.
Om det inte är känt i förväg vilken typ av sekvens sekvensen har, men det är känt att: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Då kan vi lugnt säga att detta är en geometrisk progression.

En talsekvens är en geometrisk progression endast när kvadraten på var och en av dess termer är lika med produkten av dess två angränsande termer av progressionen. Glöm inte att för en ändlig progression är detta villkor inte uppfyllt för den första och sista terminen.

Låt oss titta på denna identitet: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ kallas det geometriska medelvärdet av a och b.

Modulen för varje medlem av en geometrisk progression är lika med det geometriska medelvärdet av de två delarna intill den.

Exempel.
Hitta x så att $x+2; 2x+2; 3x+3$ var tre på varandra följande medlemmar av en geometrisk progression.

Lösning.
Låt oss använda den karakteristiska egenskapen:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ och $x_(2)=-1$.
Ersätt sekventiellt i det ursprungliga uttrycket, våra lösningar:
Med $x=2$ fick vi sekvensen: 4;6;9 är en geometrisk progression med $q=1,5$.
Med $x=-1$ fick vi sekvensen: 1;0;0.
Svar: $x=2.$

Uppgifter för självständig lösning

1. Hitta den åttonde första medlemmen av den geometriska progressionen 16; -8; 4; -2 ....
2. Hitta den tionde medlemmen av den geometriska progressionen 11,22,44….
3. Det är känt att $b_(1)=5, q=3$. Hitta $b_(7)$.
4. Det är känt att $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. Hitta n.
5. Hitta summan av de första 11 medlemmarna av den geometriska progressionen 3;12;48….
6. Hitta x så att $3x+4; 2x+4; x+5$ är tre på varandra följande medlemmar av en geometrisk progression.

Syftet med lektionen: att introducera eleverna till en ny sorts sekvens - en oändligt minskande geometrisk progression.
Uppgifter:
formulering av den ursprungliga idén om gränsen nummerföljd;
bekantskap med ett annat sätt att omvandla oändliga periodiska bråk till vanliga med formeln för summan av en oändligt minskande geometrisk progression;
utvecklingen av de intellektuella egenskaperna hos skolbarns personlighet, såsom logiskt tänkande, förmågan till utvärderande handlingar, generalisering;
utbildning av aktivitet, ömsesidig hjälp, kollektivism, intresse för ämnet.

Ladda ner:

Förhandsvisning:

Relaterad lektion "Oändligt minskande geometrisk progression" (algebra, årskurs 10)

Syftet med lektionen: introducerar eleverna för en ny typ av sekvens - en oändligt minskande geometrisk progression.

Uppgifter:

formulering av den ursprungliga idén om gränsen för den numeriska sekvensen; bekantskap med ett annat sätt att omvandla oändliga periodiska bråk till vanliga med formeln för summan av en oändligt minskande geometrisk progression;

utvecklingen av de intellektuella egenskaperna hos skolbarns personlighet, såsom logiskt tänkande, förmågan till utvärderande handlingar, generalisering;

utbildning av aktivitet, ömsesidig hjälp, kollektivism, intresse för ämnet.

Utrustning: datorklass, projektor, duk.

Lektionstyp: Lektion - bemästra ett nytt ämne.

Under lektionerna

I. Org. ögonblick. Meddelande om ämnet och syftet med lektionen.

II. Uppdatering av elevernas kunskaper.

I 9:an läste du aritmetiska och geometriska progressioner.

Frågor

1. Definition av en aritmetisk progression.

(En aritmetisk progression är en sekvens där varje medlem,

Från och med den andra är den lika med föregående term, tillagd med samma nummer).

2. Formel n -e medlemmen i en aritmetisk progression

3. Formeln för summan av den första n medlemmar av en aritmetisk progression.

( eller )

4. Definition av en geometrisk progression.

(En geometrisk progression är en sekvens av tal som inte är noll,

Varje term som, från och med den andra, är lika med föregående term, multiplicerad med

samma nummer).

5. Formel n termen av en geometrisk progression

6. Formeln för summan av den första n medlemmar av en geometrisk progression.

7. Vilka formler känner du fortfarande till?

(, Var ; ;

; , )

Uppgifter

1. Aritmetisk progression ges av formeln a n = 7 - 4n. Hitta en 10:a. (-33)

2. Aritmetisk progression a 3 = 7 och a 5 = 1 . Hitta en 4:a. (4)

3. Aritmetisk progression a 3 = 7 och a 5 = 1 . Hitta en 17 . (-35)

4. Aritmetisk progression a 3 = 7 och a 5 = 1 . Hitta S 17 . (-187)

5. För en geometrisk progressionhitta den femte termen.

6. För en geometrisk progression hitta den n:e termen.

7. Exponentiellt b 3 = 8 och b 5 = 2 . Hitta b 4 . (4)

8. Exponentiellt b 3 = 8 och b 5 = 2 . Hitta b 1 och q .

9. Exponentiellt b 3 = 8 och b 5 = 2 . Hitta S 5 . (62)

III. Utforskar ett nytt ämne(demonstration presentation).

Betrakta en ruta med en sida lika med 1. Låt oss rita en annan ruta, vars sida är halva den första kvadraten, sedan en annan, vars sida är halva den andra, sedan nästa, och så vidare. Varje gång är sidan av den nya kvadraten hälften av den föregående.

Som ett resultat fick vi en sekvens av sidor av rutorbildar en geometrisk progression med en nämnare.

Och det som är väldigt viktigt, ju mer vi bygger sådana rutor, desto mindre blir sidan av torget. Till exempel ,

De där. när antalet n ökar närmar sig termerna för progressionen noll.

Med hjälp av denna figur kan ytterligare en sekvens övervägas.

Till exempel, sekvensen av områden med kvadrater:

Och återigen, om n ökar på obestämd tid, sedan närmar sig området noll godtyckligt nära.

Låt oss överväga ytterligare ett exempel. En liksidig triangel med en sida på 1 cm. Låt oss bygga nästa triangel med hörn i mittpunkterna på sidorna i den första triangeln, enligt triangelns mittlinjesats - sidan på den andra är lika med halva sidan av den första, sidan på den tredje är halva sidan av 2:an osv. Återigen får vi en sekvens av längder på trianglarnas sidor.

Kl.

Om vi betraktar en geometrisk progression med en negativ nämnare.

Sedan, igen, med ökande antal n villkoren för progressionen närmar sig noll.

Låt oss vara uppmärksamma på nämnare för dessa sekvenser. Överallt var nämnarna mindre än 1 modulo.

Vi kan dra slutsatsen: en geometrisk progression kommer att minska oändligt om modulen för dess nämnare är mindre än 1.

Framarbete.

Definition:

En geometrisk progression sägs vara oändligt avtagande om modulen för dess nämnare är mindre än en..

Med hjälp av definitionen är det möjligt att lösa frågan om en geometrisk progression är oändligt avtagande eller inte.

Uppgift

Är sekvensen en oändligt minskande geometrisk progression om den ges av formeln:

Lösning:

Låt oss hitta q .

; ; ; .

denna geometriska progression minskar oändligt.

b) denna sekvens är inte en oändligt avtagande geometrisk progression.

Betrakta en kvadrat med en sida lika med 1. Dela den på mitten, en av halvorna på mitten igen, och så vidare. områdena för alla resulterande rektanglar bildar en oändligt minskande geometrisk progression:

Summan av areorna för alla rektanglar som erhålls på detta sätt kommer att vara lika med arean av den första kvadraten och lika med 1.

Men på vänster sida av denna likhet finns summan av ett oändligt antal termer.

Betrakta summan av de första n termerna.

Enligt formeln för summan av de första n termerna i en geometrisk progression är den lika med.

Om n ökar på obestämd tid alltså

eller . Därför, d.v.s. .

Summan av en oändligt minskande geometrisk progressiondet finns en sekvensgräns S1, S2, S3, …, Sn, ….

Till exempel för en progression,

vi har

Därför att

Summan av en oändligt minskande geometrisk progressionkan hittas med hjälp av formeln.

III. Reflektion och konsolidering(slutförande av uppgifter).

№13; №14; №15(1,3); №16(1,3); №18(1,3); №19; №20.

IV. Sammanfattande.

Vilken sekvens mötte du idag?

Definiera en oändligt minskande geometrisk progression.

Hur bevisar man att en geometrisk progression minskar oändligt?

Ge formeln för summan av en oändligt minskande geometrisk progression.

V. Läxor.

2. № 15(2,4); №16(2,4); 18(2,4).

Förhandsvisning:

För att använda förhandsgranskningen av presentationer, skapa ett Google-konto (konto) och logga in: https://accounts.google.com

Bildtexter:

Alla borde kunna tänka konsekvent, döma slutgiltigt och motbevisa felaktiga slutsatser: en fysiker och en poet, en traktorförare och en kemist. E.Kolman I matematik bör man komma ihåg inte formler, utan tankeprocesser. VP Ermakov Det är lättare att hitta kvadraten på en cirkel än att överlista en matematiker. Augustus de Morgan Vilken vetenskap kan vara ädlare, mer beundransvärd, mer användbar för mänskligheten än matematik? Franklin

Oändligt minskande geometrisk progression Grad 10

jag. Aritmetiska och geometriska progressioner. Frågor 1. Definition av en aritmetisk progression. En aritmetisk progression är en sekvens där varje term, med början från den andra, är lika med den föregående termen adderad till samma tal. 2. Formel för den n:e medlemmen i en aritmetisk progression. 3. Formeln för summan av de första n medlemmarna i en aritmetisk progression. 4. Definition av en geometrisk progression. En geometrisk progression är en sekvens av tal som inte är noll, där varje medlem, från och med den andra, är lika med föregående medlem multiplicerat med samma tal 5. Formeln för den n:te medlemmen i en geometrisk progression. 6. Formeln för summan av de första n medlemmarna i en geometrisk progression.

II. Aritmetisk progression. Uppgifter Aritmetisk progression ges av formeln a n = 7 – 4 n Hitta en 10 . (-33) 2. I aritmetisk progression a 3 = 7 och a 5 = 1 . Hitta en 4:a. (4) 3. I aritmetisk progression a 3 = 7 och a 5 = 1 . Hitta en 17 . (-35) 4. I aritmetisk progression a 3 = 7 och a 5 = 1 . Hitta S 17 . (-187)

II. Geometrisk progression. Uppgifter 5. För en geometrisk progression, hitta den femte termen 6. För en geometrisk progression, hitta den n:te termen. 7. I geometrisk progression b 3 = 8 och b 5 = 2. Hitta b 4 . (4) 8. I geometrisk progression b 3 = 8 och b 5 = 2 . Hitta b 1 och q . 9. I geometrisk progression b 3 = 8 och b 5 = 2. Hitta S 5 . (62)

definition: En geometrisk progression sägs vara oändligt avtagande om modulen för dess nämnare är mindre än en.

Problem №1 Är sekvensen en oändligt avtagande geometrisk progression, om den ges av formeln: Lösning: a) denna geometriska progression är oändligt avtagande. b) denna sekvens är inte en oändligt minskande geometrisk progression.

Summan av en oändligt avtagande geometrisk progression är gränsen för sekvensen S 1 , S 2 , S 3 , …, S n , … . Till exempel, för en progression, har vi Eftersom summan av en oändligt minskande geometrisk progression kan hittas av formeln

Slutförande av uppgifter Hitta summan av en oändligt minskande geometrisk progression med den första termen 3, den andra 0,3. 2. Nr 13; nr 14; lärobok, s. 138 3. N:o 15 (1; 3); #16(1;3) #18(1;3); 4. Nr 19; Nr 20.

Vilken sekvens mötte du idag? Definiera en oändligt minskande geometrisk progression. Hur bevisar man att en geometrisk progression minskar oändligt? Ge formeln för summan av en oändligt minskande geometrisk progression. Frågor

Den berömde polske matematikern Hugo Steinghaus hävdar skämtsamt att det finns en lag som är formulerad så här: en matematiker kommer att göra det bättre. Nämligen, om du anförtror två personer, varav en är matematiker, att utföra något arbete de inte känner till, så kommer resultatet alltid att bli följande: matematikern kommer att göra det bättre. Hugo Steinhaus 14.01.1887-25.02.1972

Instruktion

10, 30, 90, 270...

Det krävs för att hitta nämnaren för en geometrisk progression.
Lösning:

1 alternativ. Låt oss ta en godtycklig medlem av progressionen (till exempel 90) och dividera den med den föregående (30): 90/30=3.

Om summan av flera medlemmar av en geometrisk progression eller summan av alla medlemmar av en minskande geometrisk progression är känd, använd lämpliga formler för att hitta nämnaren för progressionen:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), där Sn är summan av de första n termerna av den geometriska progressionen och
S = b1/(1-q), där S är summan av en oändligt minskande geometrisk progression (summan av alla medlemmar av progressionen med en nämnare mindre än en).
Exempel.

Den första termen i en minskande geometrisk progression är lika med ett, och summan av alla dess termer är lika med två.

Det krävs för att bestämma nämnaren för denna progression.
Lösning:

Ersätt data från uppgiften i formeln. Skaffa sig:
2=1/(1-q), varav – q=1/2.

En progression är en sekvens av tal. I en geometrisk progression erhålls varje efterföljande term genom att multiplicera den föregående med ett visst tal q, kallad progressionens nämnare.

Instruktion

Om två angränsande medlemmar av de geometriska b(n+1) och b(n) är kända, för att få nämnaren, är det nödvändigt att dividera talet med ett stort tal med det som föregår det: q=b(n) +1)/b(n). Detta följer av definitionen av progressionen och dess nämnare. En viktig förutsättning är att den första termen och nämnaren i progressionen inte är lika med noll, annars anses den vara obestämd.

Således upprättas följande relationer mellan medlemmarna i progressionen: b2=b1 q, b3=b2 q, … , b(n)=b(n-1) q. Med formeln b(n)=b1 q^(n-1) kan vilken term som helst i en geometrisk progression beräknas, där nämnaren q och termen b1 är kända. Dessutom är var och en av progressionsmodulerna lika med medelvärdet av dess närliggande medlemmar: |b(n)|=√, därför fick progressionen sin .

En analog till en geometrisk progression är den enklaste exponentiell funktion y=a^x, där x är i exponenten, a är något tal. I detta fall sammanfaller nämnaren för progressionen med den första termen och är lika med talet a. Värdet av funktionen y kan förstås som n:e medlem progressioner, om argumentet x tas som ett naturligt tal n (räknare).

Finns för summan av de första n medlemmarna av en geometrisk progression: S(n)=b1 (1-q^n)/(1-q). Denna formel är giltig för q≠1. Om q=1, så beräknas summan av de första n termerna med formeln S(n)=n b1. Förresten kommer progressionen att kallas ökande för q större än ett och positiv b1. När nämnaren för progressionen, modulo inte överstiger ett, kommer progressionen att kallas minskande.

specialfall geometrisk progression - en oändligt minskande geometrisk progression (b.u.g.p.). Faktum är att medlemmarna i en minskande geometrisk progression kommer att minska om och om igen, men kommer aldrig att nå noll. Trots detta är det möjligt att hitta summan av alla termer för en sådan progression. Det bestäms av formeln S=b1/(1-q). Total n medlemmar är oändliga.

För att visualisera hur du kan lägga till ett oändligt antal siffror och inte få oändlighet, baka en tårta. Klipp av hälften. Skär sedan 1/2 av hälften osv. Delarna som du kommer att få är inget annat än medlemmar av en oändligt minskande geometrisk progression med en nämnare på 1/2. Om du lägger ihop alla dessa bitar får du den ursprungliga kakan.

Geometriproblem är speciell sortövningar som kräver rumsligt tänkande. Om du inte kan lösa det geometriska uppgift försök att följa reglerna nedan.

Instruktion

Läs tillståndet för problemet mycket noggrant, om du inte kommer ihåg eller inte förstår något, läs det igen.

Försök att avgöra vilken typ av geometriska problem det är, till exempel: beräkningsmässiga, när du behöver ta reda på något värde, uppgifter för att kräva en logisk kedja av resonemang, uppgifter för att bygga med hjälp av en kompass och linjal. Fler uppgifter blandad typ. När du har listat ut typen av problem, försök att tänka logiskt.

Tillämpa den nödvändiga satsen för detta problem, om det finns tvivel eller det inte finns några alternativ alls, försök sedan komma ihåg teorin som du studerade om det relevanta ämnet.

Gör ett utkast till problemet också. Försök att ansöka kända sätt kontrollera att din lösning är korrekt.

Slutför lösningen av problemet snyggt i en anteckningsbok, utan fläckar och genomslag, och viktigast av allt -. Kanske kommer det att ta tid och ansträngning att lösa de första geometriska problemen. Men när du väl har fått kläm på den här processen kommer du att börja klicka på uppgifter som nötter och ha roligt när du gör det!

En geometrisk progression är en följd av tal b1, b2, b3, ... , b(n-1), b(n) så att b2=b1*q, b3=b2*q, ... , b(n) ) =b(n-1)*q, b1≠0, q≠0. Med andra ord, varje medlem av progressionen erhålls från den föregående genom att multiplicera den med någon icke-noll nämnare av progressionen q.

Instruktion

Problem på en progression löses oftast genom att sammanställa och följa ett system med avseende på den första termen av progressionen b1 och nämnaren för progressionen q. För att skriva ekvationer är det bra att komma ihåg några formler.

Hur man uttrycker den n:e medlemmen av progressionen genom den första medlemmen av progressionen och nämnaren för progressionen: b(n)=b1*q^(n-1).

Betrakta fallet |q| separat<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

En geometrisk progression är en numerisk sekvens, vars första term är icke-noll, och varje nästa term är lika med föregående term multiplicerad med samma icke-nolltal.

Begreppet geometrisk progression

Den geometriska progressionen betecknas med b1,b2,b3, …, bn, … .

Förhållandet mellan en term av det geometriska felet och dess föregående term är lika med samma tal, det vill säga b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+ 1)/bn = …. Detta följer direkt av definitionen av en aritmetisk progression. Detta tal kallas nämnaren för en geometrisk progression. Vanligtvis betecknas nämnaren för en geometrisk progression med bokstaven q.

Summan av en oändlig geometrisk progression för |q|<1

Ett sätt att ställa in en geometrisk progression är att sätta dess första term b1 och nämnaren för det geometriska felet q. Till exempel, b1=4, q=-2. Dessa två villkor ger en geometrisk progression på 4, -8, 16, -32, … .

Om q>0 (q är inte lika med 1), så är progressionen en monoton sekvens. Till exempel är sekvensen 2, 4,8,16,32, ... en monotont ökande sekvens (b1=2, q=2).

Om nämnaren q=1 i det geometriska felet kommer alla medlemmar av den geometriska progressionen att vara lika med varandra. I sådana fall sägs progressionen vara en konstant sekvens.

För att den numeriska sekvensen (bn) ska vara en geometrisk progression, är det nödvändigt att var och en av dess medlemmar, med början från den andra, är det geometriska medelvärdet av de angränsande delarna. Det vill säga, det är nödvändigt att uppfylla följande ekvation
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), för alla n>0, där n hör till mängden naturliga tal N.

Låt oss nu sätta (Xn) - en geometrisk progression. Nämnaren för den geometriska progressionen q, med |q|∞).
Om vi nu betecknar summan av en oändlig geometrisk progression med S, så kommer följande formel att gälla:
S=xl/(1-q).

Tänk på ett enkelt exempel:

Hitta summan av en oändlig geometrisk progression 2, -2/3, 2/9, - 2/27, ... .

För att hitta S använder vi formeln för summan av en oändligt aritmetisk progression. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.

Om varje naturligt tal n matcha ett reellt tal en , då säger de att givet nummerföljd :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , en , . . . .

Så en numerisk sekvens är en funktion av ett naturligt argument.

siffra a 1 kallad den första medlemmen i sekvensen , siffra a 2 — den andra medlemmen av sekvensen , siffra a 3 — tredje och så vidare. siffra en kallad n:e medlem sekvenser , och det naturliga talet n — hans nummer .

Från två grannmedlemmar en Och en +1 medlemssekvenser en +1 kallad senare (mot en ), A en — tidigare (mot en +1 ).

För att ange en sekvens måste du ange en metod som gör att du kan hitta en sekvensmedlem med valfritt nummer.

Ofta ges sekvensen med n:te termformler , det vill säga en formel som låter dig bestämma en sekvensmedlem efter dess nummer.

Till exempel,

sekvensen av positiva udda tal kan ges av formeln

en= 2n- 1,

och sekvensen av alternerande 1 Och -1 - formel

b n = (-1)n +1 . ◄

Sekvensen kan bestämmas återkommande formel, det vill säga en formel som uttrycker vilken medlem som helst i sekvensen, som börjar med några, till och med föregående (en eller flera) medlemmar.

Till exempel,

Om a 1 = 1 , A en +1 = en + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Om en 1= 1, en 2 = 1, en +2 = en + en +1 , sedan ställs de första sju medlemmarna av den numeriska sekvensen in enligt följande:

en 1 = 1,

en 2 = 1,

en 3 = en 1 + en 2 = 1 + 1 = 2,

en 4 = en 2 + en 3 = 1 + 2 = 3,

en 5 = en 3 + en 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Sekvenser kan vara slutlig Och ändlös .

Sekvensen kallas slutlig om den har ett begränsat antal medlemmar. Sekvensen kallas ändlös om den har oändligt många medlemmar.

Till exempel,

sekvens av tvåsiffriga naturliga tal:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

slutlig.

Primtalssekvens:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

ändlös. ◄

Sekvensen kallas ökande , om var och en av dess medlemmar, med början från den andra, är större än den föregående.

Sekvensen kallas avtagande , om var och en av dess medlemmar, med början från den andra, är mindre än den föregående.

Till exempel,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . är en stigande sekvens;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . är en fallande sekvens. ◄

En sekvens vars element inte minskar med ökande antal, eller omvänt inte ökar, kallas monoton sekvens .

Monotona sekvenser är i synnerhet ökande sekvenser och minskande sekvenser.

Aritmetisk progression

Aritmetisk progression en sekvens anropas, vars medlem, från och med den andra, är lika med den föregående, till vilken samma nummer läggs till.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , en, . . .

är en aritmetisk progression om för något naturligt tal n villkoret är uppfyllt:

en +1 = en + d,

Var d - något nummer.

Således är skillnaden mellan nästa och föregående medlemmar av en given aritmetisk progression alltid konstant:

en 2 - a 1 = en 3 - a 2 = . . . = en +1 - en = d.

siffra d kallad skillnaden mellan en aritmetisk progression.

För att ställa in en aritmetisk progression räcker det att ange dess första term och skillnad.

Till exempel,

Om a 1 = 3, d = 4 , sedan hittas de första fem termerna i sekvensen enligt följande:

en 1 =3,

en 2 = en 1 + d = 3 + 4 = 7,

en 3 = en 2 + d= 7 + 4 = 11,

en 4 = en 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

För en aritmetisk progression med den första termen a 1 och skillnad d henne n

en = en 1 + (n- 1)d.

Till exempel,

hitta den trettionde termen i en aritmetisk progression

1, 4, 7, 10, . . .

en 1 =1, d = 3,

en 30 = en 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

en n-1 = en 1 + (n- 2)d,

en= en 1 + (n- 1)d,

en +1 = a 1 + nd,

då uppenbarligen

en=	a n-1 + a n+1
	2

varje medlem av den aritmetiska progressionen, med början från den andra, är lika med det aritmetiska medelvärdet av föregående och efterföljande medlemmar.

talen a, b och c är på varandra följande medlemmar av någon aritmetisk progression om och endast om en av dem är lika med det aritmetiska medelvärdet av de andra två.

Till exempel,

en = 2n- 7 , är en aritmetisk progression.

Låt oss använda uttalandet ovan. Vi har:

en = 2n- 7,

en n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Därav,

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = en,
2		2

◄

Anteckna det n -te medlemmen av en aritmetisk progression kan hittas inte bara genom a 1 , men även alla tidigare ett k

en = ett k + (n- k)d.

Till exempel,

För a 5 kan skrivas

en 5 = en 1 + 4d,

en 5 = en 2 + 3d,

en 5 = en 3 + 2d,

en 5 = en 4 + d. ◄

en = en n-k + kd,

en = a n+k - kd,

då uppenbarligen

en=	a n-k +a n+k
	2

varje medlem av en aritmetisk progression, med början från den andra, är lika med halva summan av medlemmarna i denna aritmetiska progression på lika avstånd från den.

Dessutom, för varje aritmetisk progression, är likheten sann:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Till exempel,

i aritmetisk progression

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = en 10:a = en 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) en 10:a= 28 = (19 + 37)/2 = (en 7 + en 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, därför att

en 2 + en 12= 4 + 34 = 38,

en 5 + en 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ en,

först n medlemmar av en aritmetisk progression är lika med produkten av halva summan av extremtermerna med antalet termer:

Särskilt av detta följer att om det är nödvändigt att summera villkoren

ett k, ett k +1 , . . . , en,

då behåller den föregående formeln sin struktur:

Till exempel,

i aritmetisk progression 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Om det ges aritmetisk progression, sedan mängderna a 1 , en, d, n OchS n länkad med två formler:

Därför, om värdena för tre av dessa kvantiteter anges, bestäms motsvarande värden för de andra två kvantiteterna från dessa formler kombinerade till ett system med två ekvationer med två okända.

En aritmetisk progression är en monoton sekvens. Vart i:

Om d > 0 , då ökar det;
Om d < 0 , då minskar den;
Om d = 0 , då blir sekvensen stationär.

Geometrisk progression

geometrisk progression en sekvens anropas, vars termer, med början från den andra, är lika med den föregående, multiplicerat med samma tal.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

är en geometrisk progression om för något naturligt tal n villkoret är uppfyllt:

b n +1 = b n · q,

Var q ≠ 0 - något nummer.

Således är förhållandet mellan nästa term i denna geometriska progression och den föregående ett konstant tal:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

siffra q kallad nämnare för en geometrisk progression.

För att ställa in en geometrisk progression räcker det att ange dess första term och nämnare.

Till exempel,

Om b 1 = 1, q = -3 , sedan hittas de första fem termerna i sekvensen enligt följande:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 och nämnare q henne n -th term kan hittas med formeln:

b n = b 1 · q n -1 .

Till exempel,

hitta den sjunde termen i en geometrisk progression 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

då uppenbarligen

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

varje medlem av den geometriska progressionen, med början från den andra, är lika med det geometriska medelvärdet (proportionell) av föregående och efterföljande medlemmar.

Eftersom det omvända också är sant, gäller följande påstående:

talen a, b och c är på varandra följande medlemmar av någon geometrisk progression om och endast om kvadraten på en av dem är lika med produkten av de andra två, det vill säga ett av talen är det geometriska medelvärdet av de andra två.

Till exempel,

låt oss bevisa att sekvensen ges av formeln b n= -3 2 n , är en geometrisk progression. Låt oss använda uttalandet ovan. Vi har:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Därav,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

vilket bevisar det erforderliga påståendet. ◄

Anteckna det n termen av en geometrisk progression kan hittas inte bara genom b 1 , men även någon tidigare termin b k , för vilket det räcker att använda formeln

b n = b k · q n - k.

Till exempel,

För b 5 kan skrivas

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

då uppenbarligen

b n 2 = b n - k· b n + k

kvadraten på varje medlem av en geometrisk progression, med början från den andra, är lika med produkten av medlemmarna i denna progression på samma avstånd från den.

Dessutom, för varje geometrisk progression, är likheten sann:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Till exempel,

exponentiellt

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , därför att

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

först n medlemmar av en geometrisk progression med en nämnare q ≠ 0 beräknas med formeln:

Och när q = 1 - enligt formeln

S n= n.b. 1

Observera att om vi behöver summera villkoren

b k, b k +1 , . . . , b n,

då används formeln:

S n- Sk -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - q n - k +1	.
	1 - q

Till exempel,

exponentiellt 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Om en geometrisk progression ges, då mängderna b 1 , b n, q, n Och S n länkad med två formler:

Därför, om värdena för någon av tre av dessa kvantiteter anges, bestäms motsvarande värden för de andra två kvantiteterna från dessa formler kombinerade till ett system med två ekvationer med två okända.

För en geometrisk progression med den första termen b 1 och nämnare q följande ske monotoniska egenskaper :

progressionen ökar om något av följande villkor är uppfyllt:

b 1 > 0 Och q> 1;

b 1 < 0 Och 0 < q< 1;

En progression minskar om något av följande villkor är uppfyllt:

b 1 > 0 Och 0 < q< 1;

b 1 < 0 Och q> 1.

Om q< 0 , då är den geometriska progressionen teckenalternerande: dess udda numrerade termer har samma tecken som dess första term, och jämna numrerade termer har motsatt tecken. Det är tydligt att en alternerande geometrisk progression inte är monoton.

Produkten av den första n termer för en geometrisk progression kan beräknas med formeln:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Till exempel,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Oändligt minskande geometrisk progression

Oändligt minskande geometrisk progression kallas en oändlig geometrisk progression vars nämnarmodul är mindre än 1 , det är

|q| < 1 .

Observera att en oändligt minskande geometrisk progression kanske inte är en minskande sekvens. Detta passar fallet

1 < q< 0 .

Med en sådan nämnare är sekvensen teckenalternerande. Till exempel,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Summan av en oändligt minskande geometrisk progression namnge numret som summan av den första n vad gäller progressionen med en obegränsad ökning av antalet n . Detta tal är alltid ändligt och uttrycks med formeln