รัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน สามเหลี่ยมด้านเท่า

ถ้าวงกลมอยู่ในมุมหนึ่งและสัมผัสด้านข้างของวงกลมนั้น เรียกว่าจารึกไว้ในมุมนี้ ศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้นั้นตั้งอยู่ที่ เส้นแบ่งครึ่งของมุมนี้.

หากอยู่ภายในรูปหลายเหลี่ยมนูนและสัมผัสกับทุกด้าน จะเรียกว่าถูกจารึกไว้ในรูปหลายเหลี่ยมนูน

วงกลมที่ถูกจารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยม

วงกลมที่จารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยมสัมผัสแต่ละด้านของรูปนี้ที่จุดเดียวเท่านั้น สามเหลี่ยมเดียวสามารถเขียนวงกลมได้เพียงวงเดียว

รัศมีของวงกลมดังกล่าวจะขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ของรูปสามเหลี่ยมต่อไปนี้:

1. ความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยม
2. พื้นที่ของเขา.
3. เส้นรอบวงของมัน
4. มุมของรูปสามเหลี่ยม

ในการคำนวณรัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยม ไม่จำเป็นต้องรู้พารามิเตอร์ทั้งหมดที่ระบุไว้ข้างต้นเสมอไป เนื่องจากพารามิเตอร์เหล่านี้เชื่อมโยงถึงกันผ่านฟังก์ชันตรีโกณมิติ

การคำนวณโดยใช้กึ่งปริมณฑล

1. หากทราบความยาวของทุกด้านของรูปทรงเรขาคณิต (เราแสดงด้วยตัวอักษร a, b และ c) จะต้องคำนวณรัศมีโดยการแยกรากที่สอง
2. เริ่มต้นการคำนวณจำเป็นต้องเพิ่มตัวแปรอีกหนึ่งตัวให้กับข้อมูลเริ่มต้น - กึ่งปริมณฑล (p) สามารถคำนวณได้โดยการบวกความยาวทั้งหมดแล้วหารจำนวนผลลัพธ์ด้วย 2 p = (a+b+c)/2 ดังนั้นสูตรในการค้นหารัศมีจึงง่ายขึ้นมาก
3. โดยทั่วไป สูตรควรมีเครื่องหมายของรากซึ่งวางเศษส่วนไว้ด้วย ตัวส่วนของเศษส่วนนี้จะเป็นค่าของกึ่งเส้นรอบรูป p
4. ตัวเศษของเศษส่วนนี้จะเป็นผลคูณของผลต่าง (p-a)*(p-b)*(p-c)
5. ดังนั้น สูตรแบบเต็มจะแสดงดังนี้: r = √(p-a)*(p-b)*(p-c)/p)

การคำนวณโดยคำนึงถึงพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม

ถ้าเรารู้ พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมและความยาวของด้านทั้งหมดจะทำให้เราสามารถหารัศมีของวงกลมที่เราสนใจได้โดยไม่ต้องอาศัยการถอนราก

1. ก่อนอื่นคุณต้องเพิ่มขนาดของพื้นที่เป็นสองเท่า
2. ผลลัพธ์จะถูกหารด้วยผลรวมของความยาวของด้านทั้งหมด จากนั้นสูตรจะมีลักษณะดังนี้: r = 2*S/(a+b+c)
3. หากคุณใช้ค่าของกึ่งปริมณฑลคุณจะได้สูตรง่ายๆ: r \u003d S / p

การคำนวณโดยใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

หากเงื่อนไขของปัญหาประกอบด้วยความยาวของด้านใดด้านหนึ่ง ค่าของมุมตรงข้ามและเส้นรอบวง คุณสามารถใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติ - แทนเจนต์ได้ ในกรณีนี้ สูตรการคำนวณจะมีลักษณะดังนี้:

r \u003d (P / 2- a) * tg (α / 2) โดยที่ r คือรัศมีที่ต้องการ P คือเส้นรอบวง a คือความยาวของด้านใดด้านหนึ่ง α คือค่าของด้านตรงข้ามและ มุม

รัศมีของวงกลมซึ่งจะต้องเขียนไว้ในสามเหลี่ยมปกติ หาได้จากสูตร r = a*√3/6

วงกลมที่ถูกจารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

คุณสามารถเขียนเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากได้ มีเพียงวงกลมเดียวเท่านั้น. ศูนย์กลางของวงกลมดังกล่าวทำหน้าที่เป็นจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งทั้งหมดพร้อมกัน รูปทรงเรขาคณิตนี้มีคุณสมบัติที่โดดเด่นบางประการที่ต้องนำมาพิจารณาเมื่อคำนวณรัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้

1. ก่อนอื่นคุณต้องสร้างสามเหลี่ยมมุมฉากด้วยพารามิเตอร์ที่กำหนด คุณสามารถสร้างรูปดังกล่าวตามขนาดของด้านหนึ่งและค่าของมุมสองมุมหรือสองด้านและมุมระหว่างด้านเหล่านี้ ต้องระบุพารามิเตอร์ทั้งหมดเหล่านี้ในคำสั่งงาน รูปสามเหลี่ยมเขียนแทนด้วย ABC โดยที่ C เป็นจุดยอดของมุมฉาก ขาแสดงด้วยตัวแปร กและ ขและด้านตรงข้ามมุมฉากเป็นตัวแปร กับ.
2. ในการสร้างสูตรคลาสสิกและคำนวณรัศมีของวงกลมจำเป็นต้องค้นหาขนาดของทุกด้านของภาพที่อธิบายไว้ในสภาพของปัญหาและคำนวณค่ากึ่งเส้นรอบวงจากสิ่งเหล่านี้ ถ้าเงื่อนไขให้มิติของสองขา ก็สามารถใช้เพื่อคำนวณค่าของด้านตรงข้ามมุมฉากตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส
3. หากกำหนดขนาดของขาข้างหนึ่งและมุมหนึ่งมุมในสภาวะนี้ จำเป็นต้องเข้าใจว่ามุมนี้อยู่ติดกันหรือตรงกันข้าม ในกรณีแรก พบด้านตรงข้ามมุมฉากโดยใช้ทฤษฎีบทไซน์: с=a/sinСАВในกรณีที่สอง จะใช้ทฤษฎีบทโคไซน์ с=a/cosCBA.
4. เมื่อการคำนวณทั้งหมดเสร็จสิ้นและทราบขนาดของทุกด้านแล้ว จะพบกึ่งปริมณฑลโดยใช้สูตรที่อธิบายไว้ข้างต้น
5. เมื่อรู้ค่าของกึ่งเส้นรอบวงแล้ว คุณก็จะสามารถหารัศมีได้ สูตรเป็นเศษส่วน ตัวเศษเป็นผลคูณของผลต่างระหว่างครึ่งเส้นรอบรูปกับแต่ละด้าน และตัวส่วนคือค่าของครึ่งเส้นรอบรูป

ควรสังเกตว่าตัวเศษของสูตรนี้เป็นตัวบ่งชี้พื้นที่ ในกรณีนี้ สูตรการหารัศมีนั้นง่ายกว่ามาก - แค่แบ่งพื้นที่เป็นครึ่งเส้นรอบรูปก็เพียงพอแล้ว

นอกจากนี้ยังสามารถกำหนดพื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิตได้หากทราบขาทั้งสองข้าง ผลรวมของกำลังสองของขาเหล่านี้คือด้านตรงข้ามมุมฉาก จากนั้นจึงคำนวณค่ากึ่งเส้นรอบรูป คุณสามารถคำนวณพื้นที่ได้โดยการคูณความยาวของขาเข้าด้วยกันแล้วหารผลลัพธ์ด้วย 2

หากระบุความยาวของขาทั้งสองและด้านตรงข้ามมุมฉากในเงื่อนไข รัศมีสามารถกำหนดได้โดยใช้สูตรง่ายๆ: สำหรับสิ่งนี้ ความยาวของขาจะถูกบวก ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากจะถูกลบออกจากจำนวนผลลัพธ์ ผลลัพธ์จะต้องแบ่งครึ่ง

วีดีโอ

จากวิดีโอนี้ คุณจะได้เรียนรู้วิธีหารัศมีของวงกลมที่เขียนไว้ในรูปสามเหลี่ยม

วงกลมที่ถูกจารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยม

การดำรงอยู่ของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยม

จำคำจำกัดความ เส้นแบ่งครึ่งมุม .

คำจำกัดความ 1 .เส้นแบ่งครึ่งมุม เรียกว่ารังสีที่แบ่งมุมออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กัน

ทฤษฎีบท 1 (คุณสมบัติพื้นฐานของเส้นแบ่งครึ่งมุม) . แต่ละจุดของเส้นแบ่งครึ่งของมุมนั้นอยู่ห่างจากด้านข้างของมุมเท่ากัน (รูปที่ 1)

ข้าว. 1

การพิสูจน์ ดี นอนอยู่บนเส้นแบ่งครึ่งของมุมบ.บ , และ เด และ ดี.เอฟ. ที่ด้านข้างของมุม (รูปที่ 1)สามเหลี่ยมมุมฉาก ADF และ อดี เท่ากัน เพราะมีมุมแหลมเท่ากันดีเอเอฟ และ แด และด้านตรงข้ามมุมฉาก ค.ศ - ทั่วไป. เพราะฉะนั้น,

DF = พ.ศ.

Q.E.D.

ทฤษฎีบท 2 (ทฤษฎีบทผกผันกับทฤษฎีบท 1) . หากมี แสดงว่ามันอยู่บนเส้นแบ่งครึ่งของมุม (รูปที่ 2)

ข้าว. 2

การพิสูจน์ . พิจารณาจุดใดก็ได้ดี นอนอยู่ในมุมบ.บ และอยู่ห่างจากด้านข้างของมุมเท่ากัน หลุดจากจุดดี ตั้งฉาก เด และ ดี.เอฟ. ที่ด้านข้างของมุม (รูปที่ 2)สามเหลี่ยมมุมฉาก ADF และ อดี เท่ากัน เนื่องจากมีขาเท่ากันดี.เอฟ. และ เด และด้านตรงข้ามมุมฉาก ค.ศ - ทั่วไป. เพราะฉะนั้น,

Q.E.D.

คำจำกัดความ 2 . วงกลมเรียกว่า วงกลมที่ถูกจารึกไว้ในมุม ถ้าเป็นด้านของมุมนี้

ทฤษฎีบท 3 . ถ้าวงกลมถูกเขียนไว้ในมุมหนึ่ง ระยะห่างจากจุดยอดของมุมถึงจุดสัมผัสของวงกลมกับด้านข้างของมุมจะเท่ากัน

การพิสูจน์ . ปล่อยให้ประเด็น ดี คือจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในมุมหนึ่งบ.บ และจุดต่างๆ อี และ เอฟ - จุดสัมผัสของวงกลมกับด้านข้างของมุม (รูปที่ 3)

รูปที่ 3

ก , ข , ค - ด้านของรูปสามเหลี่ยม
 ส -สี่เหลี่ยม,

ร – รัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้
 พี - กึ่งปริมณฑล

.

ดูผลลัพธ์ของสูตร

ก – ด้านข้างของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว , 
 ข - ฐาน, ร – รัศมีวงกลมที่ถูกจารึกไว้

ก ร – รัศมีวงกลมที่ถูกจารึกไว้

ดูผลลัพธ์ของสูตร

,

ที่ไหน

,

แล้วในกรณีของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว เมื่อใด

เราได้รับ

ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็น

ทฤษฎีบท 7 . เพื่อความเท่าเทียมกัน

ที่ไหน ก - ด้านของสามเหลี่ยมด้านเท่าร – รัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ (รูปที่ 8)

ข้าว. 8

การพิสูจน์ .

,

แล้วในกรณีของสามเหลี่ยมด้านเท่า เมื่อใด

ข=ก,

เราได้รับ

ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็น

ความคิดเห็น . ฉันขอแนะนำให้ใช้สูตรสำหรับรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าโดยตรงเช่น โดยไม่ต้องใช้สูตรทั่วไปสำหรับรัศมีของวงกลมที่เขียนไว้ในรูปสามเหลี่ยมใดๆ หรือในสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

ทฤษฎีบท 8 . สำหรับสามเหลี่ยมมุมฉาก ความเท่าเทียมกัน

ที่ไหน ก , ข - ขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก ค – ด้านตรงข้ามมุมฉาก , ร – รัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้

การพิสูจน์ . พิจารณารูปที่ 9

ข้าว. 9

เนื่องจากเป็นรูปสี่เหลี่ยมซีดีออฟ เป็น ซึ่งมีด้านประชิดกันทำ และ ของ เท่ากัน แล้วสี่เหลี่ยมนี้ก็เท่ากับ . เพราะฉะนั้น,

CB \u003d CF \u003d ร

โดยอาศัยทฤษฎีบทที่ 3 ความเท่าเทียมกัน

ดังนั้นเราจึงคำนึงถึงด้วย

ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็น

การเลือกงานในหัวข้อ "วงกลมที่ถูกจารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยม"

1.

วงกลมที่จารึกไว้ในสามเหลี่ยมหน้าจั่วจะแบ่ง ณ จุดสัมผัสของด้านใดด้านหนึ่งออกเป็นสองส่วน ซึ่งมีความยาวเท่ากับ 5 และ 3 โดยนับจากจุดยอดที่อยู่ตรงข้ามฐาน หาเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยม.

2.

3

ในรูปสามเหลี่ยม ABC AC=4, BC=3, มุม C คือ 90° ค้นหารัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้

4.

ขาของสามเหลี่ยมหน้าจั่วคือ 2+ หารัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในสามเหลี่ยมนี้

5.

รัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่วคือ 2 จงหาด้านตรงข้ามมุมฉาก c ของสามเหลี่ยมนี้ เขียน c(-1) ในคำตอบของคุณ

ต่อไปนี้เป็นงานจำนวนหนึ่งจากการสอบพร้อมเฉลย

รัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่วคือ จงหาด้านตรงข้ามมุมฉาก c ของสามเหลี่ยมนี้ โปรดระบุในคำตอบของคุณ

สามเหลี่ยมอยู่ตรงและเป็นหน้าจั่ว ขาของเขาจึงเหมือนกัน ให้ขาแต่ละข้างเท่ากัน. แล้วด้านตรงข้ามมุมฉากคือ.

เราเขียนพื้นที่ของสามเหลี่ยม ABC ได้สองวิธี:

เมื่อเทียบนิพจน์เหล่านี้ เราจะได้สิ่งนั้น. เพราะว่าเราเข้าใจแล้ว. แล้ว.

เพื่อตอบกลับให้เขียน.

คำตอบ:.

ภารกิจที่ 2

1. ในสองด้านใด ๆ 10 ซม. และ 6 ซม. (AB และ BC) ค้นหารัศมีของวงกลมที่มีเส้นรอบวงและวงกลมที่มีเส้นรอบวง
ปัญหาได้รับการแก้ไขอย่างอิสระด้วยการแสดงความคิดเห็น

สารละลาย:

ใน.

1) ค้นหา:
2) พิสูจน์:และตามหาซีเค
3) ค้นหา: รัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบและวงกลมที่จารึกไว้

สารละลาย:

ภารกิจที่ 6

ร รัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ. จงหารัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบสี่เหลี่ยมจัตุรัสนี้ที่ให้ไว้ :

หา: ระบบปฏิบัติการ=?
สารละลาย: ในกรณีนี้ ปัญหาสามารถแก้ไขได้โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสหรือสูตรสำหรับ R กรณีที่สองจะง่ายกว่า เนื่องจากสูตรสำหรับ R ได้มาจากทฤษฎีบท

ภารกิจที่ 7

รัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่วคือ 2 จงหาด้านตรงข้ามมุมฉากกับ สามเหลี่ยมนี้ โปรดระบุในคำตอบของคุณ.

S คือพื้นที่ของสามเหลี่ยม

เราไม่รู้ด้านของสามเหลี่ยมหรือพื้นที่ของมัน สมมติว่าขาเป็น x แล้วด้านตรงข้ามมุมฉากจะเท่ากับ:

พื้นที่ของสามเหลี่ยมจะเป็น 0.5x 2 .

วิธี

ด้านตรงข้ามมุมฉากจะเป็น:

จะต้องเขียนคำตอบ:

คำตอบ: 4

ภารกิจที่ 8

ในรูปสามเหลี่ยม ABC, AC = 4, BC = 3, มุม คมีค่าเท่ากับ 90 0 . ค้นหารัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้

ลองใช้สูตรสำหรับรัศมีของวงกลมที่เขียนไว้ในรูปสามเหลี่ยม:

โดยที่ a, b, c คือด้านของสามเหลี่ยม

S คือพื้นที่ของสามเหลี่ยม

รู้จักสองด้าน (นี่คือขา) เราสามารถคำนวณด้านที่สามได้ (ด้านตรงข้ามมุมฉาก) เราก็คำนวณพื้นที่ได้เช่นกัน

ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

มาหาพื้นที่กัน:

ดังนั้น:

คำตอบ: 1

ภารกิจที่ 9

ด้านของสามเหลี่ยมหน้าจั่วคือ 5 ฐานคือ 6 จงหารัศมีของวงกลมที่อยู่ภายใน

ลองใช้สูตรสำหรับรัศมีของวงกลมที่เขียนไว้ในรูปสามเหลี่ยม:

โดยที่ a, b, c คือด้านของสามเหลี่ยม

S คือพื้นที่ของสามเหลี่ยม

ทราบทุกด้านแล้ว และคำนวณพื้นที่แล้ว เราหาได้จากสูตรของ Heron:

แล้ว

สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้านเท่ากันทุกด้าน ดังนั้นจึงสืบทอดคุณสมบัติทั้งหมดของสี่เหลี่ยมด้านขนาน กล่าวคือ:

• เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนตั้งฉากกัน
• เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนคือเส้นแบ่งครึ่งของมุมภายใน

วงกลมสามารถเขียนเป็นรูปสี่เหลี่ยมได้ก็ต่อเมื่อผลรวมของด้านตรงข้ามเท่ากัน
ดังนั้นจึงสามารถเขียนวงกลมเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนใดก็ได้ จุดศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้นั้นเกิดขึ้นพร้อมกับจุดศูนย์กลางของจุดตัดของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน
รัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนสามารถแสดงได้หลายวิธี

1 วิธี. รัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนผ่านความสูง

ความสูงของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ สิ่งนี้ตามมาจากคุณสมบัติของสี่เหลี่ยมผืนผ้าซึ่งเกิดจากเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้และความสูงของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน - ด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยมจะเท่ากัน

ดังนั้น สูตรสำหรับรัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนถึงความสูง:

2 ทาง. รัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนผ่านเส้นทแยงมุม

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนสามารถแสดงเป็นรัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้
, ที่ไหน รคือเส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน เมื่อรู้ว่าเส้นรอบรูปคือผลรวมของด้านทั้งหมดของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน เราก็ได้ พ= 4×ฮ่าแล้ว
แต่พื้นที่ของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนก็เท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของเส้นทแยงมุมด้วย
การเท่ากันส่วนที่ถูกต้องของสูตรพื้นที่เรามีความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้
เป็นผลให้เราได้สูตรที่ช่วยให้เราสามารถคำนวณรัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนผ่านเส้นทแยงมุม

ตัวอย่างการคำนวณรัศมีของวงกลมที่เขียนไว้ในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนหากทราบเส้นทแยงมุม
ค้นหารัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ในสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนหากรู้ว่าความยาวของเส้นทแยงมุมคือ 30 ซม. และ 40 ซม.
อนุญาต เอบีซีดี- รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนแล้ว เครื่องปรับอากาศและ บีดีเส้นทแยงมุมของมัน เอซี= 30 ซม ,บีดี=40 ซม
ปล่อยให้ประเด็น เกี่ยวกับเป็นจุดศูนย์กลางของรอยจารึกไว้ในสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน เอบีซีดีวงกลม จากนั้นมันจะเป็นจุดตัดของเส้นทแยงมุมโดยแบ่งครึ่ง


เนื่องจากเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนตัดกันที่มุมขวา จากนั้นก็เป็นรูปสามเหลี่ยม เอโอบีสี่เหลี่ยม แล้วตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส
เราแทนที่ค่าที่ได้รับก่อนหน้านี้ลงในสูตร

เอบี= 25 ซม
เราได้รับสูตรที่ได้รับก่อนหน้านี้สำหรับรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบด้วยสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

3 ทาง. รัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนผ่านส่วน m และ n

จุด เอฟ- จุดสัมผัสของวงกลมกับด้านข้างของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนซึ่งแบ่งออกเป็นส่วน ๆ เอเอฟและ แฟน. อนุญาต เอเอฟ=ม., BF=n.
จุด โอ- จุดศูนย์กลางของจุดตัดของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนและจุดศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้
สามเหลี่ยม เอโอบี- เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เนื่องจากเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนตัดกันเป็นมุมฉาก
, เพราะ คือรัศมีที่ลากไปยังจุดสัมผัสของวงกลม เพราะฉะนั้น ของ- ความสูงของรูปสามเหลี่ยม เอโอบีถึงด้านตรงข้ามมุมฉาก แล้ว เอเอฟและ เป็นแฟนกัน-การฉายขาลงบนด้านตรงข้ามมุมฉาก
ความสูงในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่ตกลงไปที่ด้านตรงข้ามมุมฉากคือสัดส่วนเฉลี่ยระหว่างส่วนที่ยื่นออกมาของขาบนด้านตรงข้ามมุมฉาก

สูตรสำหรับรัศมีของวงกลมที่เขียนไว้ในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนผ่านส่วนต่างๆ เท่ากับรากที่สองของผลคูณของส่วนเหล่านี้ โดยที่ด้านของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนหารด้วยจุดสัมผัสกันของวงกลม

พิจารณาวงกลมที่จารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยม (รูปที่ 302) จำไว้ว่าจุดศูนย์กลาง O อยู่ที่จุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม ส่วนของ OA, OB, OS ที่เชื่อม O กับจุดยอดของสามเหลี่ยม ABC จะแบ่งสามเหลี่ยมออกเป็นสามเหลี่ยมสามรูป:

เอโอบี, บอส, SOA ความสูงของรูปสามเหลี่ยมแต่ละรูปจะเท่ากับรัศมี ดังนั้นพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมจึงแสดงเป็น

พื้นที่ของสามเหลี่ยม S ทั้งหมดเท่ากับผลรวมของพื้นที่ทั้งสามนี้:

เสี้ยวเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมอยู่ที่ไหน จากที่นี่

รัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้นั้นเท่ากับอัตราส่วนของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมต่อครึ่งปริมณฑล

เพื่อให้ได้สูตรสำหรับรัศมีของวงกลมที่มีเส้นรอบวงของสามเหลี่ยม เราพิสูจน์ข้อเสนอต่อไปนี้

ทฤษฎีบท a: ในรูปสามเหลี่ยมใดๆ ด้านจะเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่เส้นรอบวงคูณด้วยไซน์ของมุมตรงข้าม

การพิสูจน์. พิจารณาสามเหลี่ยม ABC โดยพลการและวงกลมที่ล้อมรอบรัศมีซึ่งจะแสดงด้วย R (รูปที่ 303) ให้ A เป็นมุมแหลมของสามเหลี่ยม ลองวาดรัศมี OB, OS ของวงกลมแล้วปล่อยค่าตั้งฉาก OK จากจุดศูนย์กลาง O ไปยังด้าน BC ของรูปสามเหลี่ยม โปรดทราบว่ามุม a ของรูปสามเหลี่ยมวัดโดยครึ่งหนึ่งของส่วนโค้ง BC ซึ่งมุม BOC คือมุมที่ศูนย์กลาง จากตรงนี้ก็ชัดเจนว่า. ดังนั้นจากสามเหลี่ยมมุมฉาก SOK เราจึงพบ หรือ ซึ่งจำเป็นต้องพิสูจน์

รูปที่ให้มา 303 และการโต้แย้งอ้างถึงกรณีของมุมแหลมของรูปสามเหลี่ยม การพิสูจน์กรณีของมุมฉากและมุมป้านไม่ใช่เรื่องยาก (ผู้อ่านจะทำด้วยตัวเอง) แต่สามารถใช้ทฤษฎีบทไซน์ (218.3) ได้ เนื่องจากมันจะต้องอยู่ที่ไหน

ทฤษฎีบทไซน์ก็เขียนไว้เช่นกัน รูปร่าง

และการเปรียบเทียบกับสัญกรณ์ (218.3) ให้ไว้

รัศมีของวงกลมที่มีเส้นรอบวงเท่ากับอัตราส่วนผลคูณของด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมต่อพื้นที่สี่เท่า

งาน. ค้นหาด้านของสามเหลี่ยมหน้าจั่วถ้าวงกลมที่มีเส้นจารึกและวงกลมที่มีเส้นรอบวงมีรัศมี ตามลำดับ

สารละลาย. เรามาเขียนสูตรที่แสดงรัศมีของวงกลมภายในและวงกลมของสามเหลี่ยม:

สำหรับสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีด้านและฐาน พื้นที่จะแสดงตามสูตร

หรือการลดเศษส่วนด้วยตัวประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์ เราก็ได้

ซึ่งนำไปสู่สมการกำลังสองสำหรับ

มีสองวิธีแก้ไข:

แทนที่จะแทนที่นิพจน์ลงในสมการใดๆ สำหรับหรือ R ในที่สุดเราก็พบคำตอบสองข้อสำหรับปัญหาของเรา:

การออกกำลังกาย

1. ความสูงของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่ลากจากจุดยอดของมุมฉาก จะหารด้านตรงข้ามมุมฉากโดยสัมพันธ์กับ จงหาอัตราส่วนของขาแต่ละข้างต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก

2. ฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วที่เขียนรอบวงกลมมีค่าเท่ากับ a และ b หารัศมีของวงกลม.

3. วงกลมสองวงสัมผัสกันภายนอก แทนเจนต์ร่วมของพวกมันจะเอียงกับเส้นกึ่งกลางที่มุม 30° ความยาวของส่วนสัมผัสกันระหว่างจุดสัมผัสคือ 108 ซม. จงหารัศมีของวงกลม

4. ขาของสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับ a และ b ค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่ด้านข้างเป็นความสูงและค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมที่กำหนด ซึ่งลากจากจุดยอดของมุมฉาก และส่วนของด้านตรงข้ามมุมฉากระหว่างจุดตัดกับด้านตรงข้ามมุมฉาก

5. ด้านของสามเหลี่ยมคือ 13, 14, 15 จงหาเส้นโครงของแต่ละด้านไปยังอีกสองด้าน

6. ในรูปสามเหลี่ยม รู้ด้านและความสูง หาด้าน b และ c

7. รู้ด้านสองด้านของสามเหลี่ยมและค่ามัธยฐานแล้ว หาด้านที่สามของสามเหลี่ยม

8. กำหนดด้านสองด้านของรูปสามเหลี่ยมและมุมที่อยู่ระหว่างสองด้าน: จงหารัศมีของวงกลมที่ถูกกำหนดไว้และวงกลมที่ถูกกำหนดขอบเขตไว้

9. ทราบด้านของสามเหลี่ยม a, b, c อะไรคือส่วนที่แบ่งตามจุดสัมผัสของวงกลมที่ถูกจารึกไว้กับด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม?