บ้าน › ร้านเสริมสวย › วิธีกราฟิกสำหรับการแก้ระบบสมการ การแก้สมการ อสมการ ระบบโดยใช้กราฟฟังก์ชัน

วิธีกราฟิกสำหรับการแก้ระบบสมการ การแก้สมการ อสมการ ระบบโดยใช้กราฟฟังก์ชัน

การนำเสนอและบทเรียนในหัวข้อ: "การเฉลยกราฟิกของสมการกำลังสอง"

วัสดุเพิ่มเติม
เรียนผู้ใช้ อย่าลืมแสดงความคิดเห็น บทวิจารณ์ และความปรารถนาของคุณ! วัสดุทั้งหมดได้รับการตรวจสอบโดยโปรแกรมป้องกันไวรัส

เครื่องช่วยการศึกษาและเครื่องจำลองในร้านค้าออนไลน์ Integral สำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 8
เลขยกกำลังและราก ฟังก์ชันและกราฟ

กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง

ในบทเรียนที่แล้ว เราได้เรียนรู้วิธีสร้างกราฟฟังก์ชันกำลังสองใดๆ ด้วยความช่วยเหลือของฟังก์ชันดังกล่าว เราสามารถแก้สิ่งที่เรียกว่าสมการกำลังสอง ซึ่งโดยทั่วไปเขียนได้ดังนี้: $ax^2+bx+c=0$,
$a, b, c$ เป็นตัวเลขใดๆ ก็ตาม แต่ $a≠0$
เพื่อนๆ เปรียบเทียบสมการที่เขียนไว้ข้างต้นกับสิ่งนี้: $y=ax^2+bx+c$
พวกมันเกือบจะเหมือนกัน ข้อแตกต่างคือแทนที่จะเขียน $y$ เราเขียน $0$ เช่น $y=0$. แล้วจะแก้สมการกำลังสองได้อย่างไร? สิ่งแรกที่นึกถึงคือสร้างกราฟของพาราโบลา $ax^2+bx+c$ และค้นหาจุดตัดของกราฟนี้ด้วยเส้นตรง $y=0$ มีวิธีแก้ไขปัญหาอื่น ๆ ลองดูพวกเขาโดยใช้ตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง

วิธีการแก้ฟังก์ชันกำลังสอง

ตัวอย่าง.
แก้สมการ: $x^2+2x-8=0$

สารละลาย.
วิธีที่ 1 ลองพลอตฟังก์ชัน $y=x^2+2x-8$ แล้วหาจุดตัดด้วยเส้นตรง $y=0$ ค่าสัมประสิทธิ์ของระดับสูงสุดเป็นค่าบวก ซึ่งหมายความว่ากิ่งก้านของพาราโบลาชี้ขึ้น มาหาพิกัดของจุดยอด:
$x_(c)=-\frac(b)(2a)=\frac(-2)(2)=-1$.
$y_(ใน)=(-1)^2+2*(-1)-8=1-2-8=-9$.

ให้เราเอาจุดที่มีพิกัด $(-1;-9)$ เป็นจุดเริ่มต้นของระบบพิกัดใหม่และสร้างกราฟของพาราโบลา $y=x^2$ ที่อยู่ในนั้น

เราเห็นจุดตัดกันสองจุด โดยมีจุดสีดำกำกับไว้บนกราฟ เรากำลังแก้สมการของ x ดังนั้นเราจึงต้องเลือกจุดหักมุมของจุดเหล่านี้ มีค่าเท่ากับ $-4$ และ $2$
ดังนั้น การแก้สมการกำลังสอง $x^2+2x-8=0$ จึงเป็นสองราก: $ x_1=-4$ และ $x_2=2$

วิธีที่ 2 แปลงสมการดั้งเดิมให้อยู่ในรูปแบบ: $x^2=8-2x$
ดังนั้น เราสามารถแก้สมการนี้ด้วยวิธีกราฟิกปกติโดยหาจุดตัดของจุดตัดของกราฟทั้งสอง $y=x^2$ และ $y=8-2x$
เราได้จุดตัดกันสองจุด ซึ่งจุดหักล้างนั้นตรงกับคำตอบที่ได้จากวิธีแรก คือ: $x_1=-4$ และ $x_2=2$

วิธีที่ 3
ลองแปลงสมการดั้งเดิมเป็นรูปแบบนี้: $x^2-8=-2x$
มาสร้างกราฟสองกราฟ $y=x^2-8$ และ $y=-2x$ แล้วหาจุดตัดกัน
กราฟของ $y=x^2-8$ เป็นพาราโบลาเลื่อนลงมา 8 หน่วย
เราได้จุดตัดกันสองจุด และจุดหักล้างของจุดเหล่านี้เหมือนกับในสองวิธีก่อนหน้านี้ คือ: $x_1=-4$ และ $x_2=2$

วิธีที่ 4
ลองเลือกกำลังสองสมบูรณ์ในสมการเดิม: $x^2+2x-8=x^2+2x+1-9=(x+1)^2-9$
ลองสร้างกราฟสองกราฟของฟังก์ชัน $y=(x+1)^2$ และ $y=9$ กราฟของฟังก์ชันแรกคือพาราโบลาเลื่อนไปทางซ้ายหนึ่งหน่วย กราฟของฟังก์ชันที่สองเป็นเส้นตรงขนานกับแกนแอบซิสซาและผ่านพิกัดเท่ากับ $9$
เป็นอีกครั้งที่เราได้รับจุดตัดกันของกราฟสองจุด และจุดหักล้างของจุดเหล่านี้ตรงกับจุดที่ได้รับในวิธีการก่อนหน้านี้ $x_1=-4$ และ $x_2=2$

วิธีที่ 5
หารสมการดั้งเดิมด้วย x: $\frac(x^2)(x)+\frac(2x)(x)-\frac(8)(x)=\frac(0)(x)$
$x+2-\frac(8)(x)=0$.
$x+2=\frac(8)(x)$.
ลองแก้สมการนี้แบบกราฟิก สร้างกราฟ $y=x+2$ และ $y=\frac(8)(x)$ สองกราฟ
เราได้จุดตัดกันสองจุดอีกครั้ง และจุดหักล้างของจุดเหล่านี้ตรงกับจุดที่ได้สูงกว่า $x_1=-4$ และ $x_2=2$

อัลกอริทึมสำหรับคำตอบกราฟิกของฟังก์ชันกำลังสอง

เพื่อนๆ เราดูห้าวิธีในการแก้สมการกำลังสองแบบกราฟิกแล้ว ในแต่ละวิธีเหล่านี้ รากของสมการจะเหมือนกัน ซึ่งหมายความว่าได้คำตอบที่ถูกต้อง

วิธีการพื้นฐานสำหรับการแก้สมการกำลังสองแบบกราฟิก $ax^2+bx+c=0$, $a, b, c$ - ตัวเลขใดๆ ก็ได้ ยกเว้น $a≠0$:
1. สร้างกราฟของฟังก์ชัน $y=ax^2+bx+c$ หาจุดตัดกับแกนแอบซิสซา ซึ่งจะเป็นคำตอบของสมการ
2. สร้างกราฟสองกราฟ $y=ax^2$ และ $y=-bx-c$ หาจุดตัดของกราฟเหล่านี้
3. สร้างกราฟ $y=ax^2+c$ และ $y=-bx$ สองกราฟ หาจุดตัดของกราฟเหล่านี้ กราฟของฟังก์ชันแรกจะเป็นพาราโบลาเลื่อนขึ้นหรือลง ขึ้นอยู่กับเครื่องหมายของตัวเลข c กราฟที่สองเป็นเส้นตรงที่ลากผ่านจุดกำเนิด
4. เลือกกำลังสองที่สมบูรณ์ นั่นคือ นำสมการดั้งเดิมมาอยู่ในรูปแบบ: $a(x+l)^2+m=0$
สร้างกราฟสองกราฟของฟังก์ชัน $y=a(x+l)^2$ และ $y=-m$ ค้นหาจุดตัดกัน กราฟของฟังก์ชันแรกจะเป็นพาราโบลาที่เลื่อนไปทางซ้ายหรือทางขวา ขึ้นอยู่กับเครื่องหมายของตัวเลข $l$ กราฟของฟังก์ชันที่สองจะเป็นเส้นตรงขนานกับแกน Abscissa และตัดแกนพิกัดที่จุดเท่ากับ $-m$
5. หารสมการดั้งเดิมด้วย x: $ax+b+\frac(c)(x)=0$
แปลงเป็นรูปแบบ: $\frac(c)(x)=-ax-b$
สร้างกราฟสองกราฟอีกครั้งแล้วหาจุดตัดกัน กราฟแรกเป็นไฮเปอร์โบลา กราฟที่สองเป็นเส้นตรง น่าเสียดายที่วิธีการแก้สมการกำลังสองแบบกราฟิกไม่ใช่วิธีแก้ปัญหาที่ดีเสมอไป จุดตัดกันของกราฟต่างๆ ไม่ใช่จำนวนเต็มเสมอไปหรืออาจมีตัวเลขจำนวนมากมากใน Abscissa (พิกัด) ซึ่งไม่สามารถลงจุดบนกระดาษธรรมดาได้

ให้เราสาธิตวิธีการทั้งหมดเหล่านี้ให้ชัดเจนยิ่งขึ้นพร้อมตัวอย่าง

ตัวอย่าง.
แก้สมการ: $x^2+3x-12=0$,

สารละลาย.
ลองพลอตพาราโบลาและหาพิกัดของจุดยอด: $x_(c)=-\frac(b)(2a)=\frac(-3)(2)=-1.5$
$y_(ใน)=(-1.5)^2+2*(-1.5)-8=2.25-3-8=-8.75$.
เมื่อสร้างพาราโบลาดังกล่าว ปัญหาจะเกิดขึ้นทันที เช่น การทำเครื่องหมายจุดยอดของพาราโบลาอย่างถูกต้อง เพื่อให้ทำเครื่องหมายตำแหน่งของจุดยอดได้อย่างแม่นยำ คุณต้องเลือกเซลล์หนึ่งเซลล์ที่มีขนาดเท่ากับ 0.25 หน่วยสเกล ขนาดนี้ต้องลงอีก 35 หน่วย ซึ่งไม่สะดวกนัก อย่างไรก็ตาม เรามาสร้างตารางเวลาของเรากันดีกว่า
ปัญหาที่สองที่เราพบคือกราฟของฟังก์ชันตัดกับแกน x ณ จุดที่มีพิกัดที่ไม่สามารถระบุได้อย่างแม่นยำ วิธีแก้ปัญหาโดยประมาณนั้นเป็นไปได้ แต่คณิตศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์ที่แน่นอน
ดังนั้นวิธีการแบบกราฟิกจึงไม่สะดวกที่สุด ดังนั้น การแก้สมการกำลังสองจึงต้องอาศัยวิธีการที่เป็นสากลมากกว่า ซึ่งเราจะศึกษาในบทเรียนต่อไปนี้

ปัญหาที่ต้องแก้ไขอย่างอิสระ

1. แก้สมการแบบกราฟิก (ทั้ง 5 วิธี): $x^2+4x-12=0$
2. แก้สมการโดยใช้วิธีกราฟิกใดๆ: $-x^2+6x+16=0$

บางครั้งสมการก็แก้ได้แบบกราฟิก ในการทำเช่นนี้ คุณต้องแปลงสมการ (หากยังไม่ได้นำเสนอในรูปแบบที่แปลงแล้ว) ว่าทางซ้ายและขวาของเครื่องหมายเท่ากับจะมีนิพจน์ที่คุณสามารถวาดกราฟฟังก์ชันได้อย่างง่ายดาย ตัวอย่างเช่น โดยให้สมการต่อไปนี้:
x² – 2x – 1 = 0

หากเรายังไม่ได้ศึกษาการแก้สมการกำลังสองด้วยพีชคณิต เราสามารถลองทำสิ่งนี้ได้โดยการแยกตัวประกอบหรือแบบกราฟิกก็ได้ ในการแก้สมการดังกล่าวแบบกราฟิก เรานำเสนอในรูปแบบนี้:
x² = 2x + 1

จากการแทนสมการนี้เป็นไปตามความจำเป็นต้องค้นหาค่า x ซึ่งด้านซ้ายจะเท่ากับด้านขวา

ดังที่คุณทราบ กราฟของฟังก์ชัน y = x² คือพาราโบลา และ y = 2x + 1 เป็นเส้นตรง พิกัด x ของจุดของระนาบพิกัดที่วางอยู่บนกราฟแรกและกราฟที่สอง (นั่นคือจุดตัดของกราฟ) คือค่า x ที่ด้านซ้ายของสมการจะเท่ากันอย่างแม่นยำ ไปทางขวา. กล่าวอีกนัยหนึ่ง พิกัด x ของจุดตัดกันของกราฟคือรากของสมการ

กราฟสามารถตัดกันได้หลายจุด ณ จุดเดียว หรือไม่ตัดกันเลย ตามมาว่าสมการสามารถมีได้หลายราก หรือมีรากเดียว หรือไม่มีเลยก็ได้

ลองดูตัวอย่างที่ง่ายกว่านี้:
x² – 2x = 0 หรือ x² = 2x

มาวาดกราฟของฟังก์ชัน y = x² และ y = 2x กัน:

ดังที่เห็นจากภาพวาด พาราโบลาและเส้นตรงตัดกันที่จุด (0; 0) และ (2; 4) พิกัด x ของจุดเหล่านี้มีค่าเท่ากับ 0 และ 2 ตามลำดับ ซึ่งหมายความว่าสมการ x² – 2x = 0 มีสองราก - x 1 = 0, x 2 = 2

ลองตรวจสอบสิ่งนี้ด้วยการแก้สมการโดยนำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ:
x² – 2x = 0
x(x – 2) = 0

ศูนย์ทางด้านขวาสามารถเกิดขึ้นได้เมื่อ x เป็น 0 หรือ 2

เหตุผลที่เราไม่ได้แก้สมการ x² – 2x – 1 = 0 แบบกราฟิกก็คือ ในสมการส่วนใหญ่ รากนั้นเป็นจำนวนจริง (เศษส่วน) และเป็นการยากที่จะระบุค่าของ x บนกราฟอย่างแม่นยำ ดังนั้น สำหรับสมการส่วนใหญ่ ผลเฉลยแบบกราฟิกจึงไม่ใช่วิธีที่ดีที่สุด อย่างไรก็ตาม ความรู้เกี่ยวกับวิธีนี้ช่วยให้เข้าใจความสัมพันธ์ระหว่างสมการและฟังก์ชันได้ลึกซึ้งยิ่งขึ้น

>>คณิตศาสตร์: การแก้สมการกราฟิก

การแก้สมการเชิงกราฟิก

เรามาสรุปความรู้ของเราเกี่ยวกับ กราฟฟังก์ชั่น. เราได้เรียนรู้วิธีสร้างกราฟของฟังก์ชันต่อไปนี้:

y =b (เส้นตรงขนานกับแกน x);

y = kx (เส้นที่ผ่านจุดกำเนิด);

y - kx + m (เส้นตรง);

y = x 2 (พาราโบลา)

ความรู้เกี่ยวกับกราฟเหล่านี้จะช่วยให้เราแทนที่การวิเคราะห์ได้ หากจำเป็น แบบอย่างตัวอย่างเช่น เรขาคณิต (กราฟิก) แทนที่จะเป็นแบบจำลอง y = x 2 (ซึ่งแสดงถึงความเท่าเทียมกันด้วยตัวแปร x และ y สองตัว) ให้พิจารณาพาราโบลาในระนาบพิกัด โดยเฉพาะอย่างยิ่งบางครั้งอาจมีประโยชน์ในการแก้สมการ เรามาหารือกันถึงวิธีการดำเนินการนี้โดยใช้ตัวอย่างต่างๆ

A. V. Pogorelov เรขาคณิตสำหรับเกรด 7-11 หนังสือเรียนสำหรับสถาบันการศึกษา

เนื้อหาบทเรียน บันทึกบทเรียนสนับสนุนวิธีการเร่งความเร็วการนำเสนอบทเรียนแบบเฟรมเทคโนโลยีเชิงโต้ตอบ ฝึกฝน งานและแบบฝึกหัด การทดสอบตัวเอง เวิร์คช็อป การฝึกอบรม กรณีศึกษา ภารกิจ การบ้าน การอภิปราย คำถาม คำถามวาทศิลป์จากนักเรียน ภาพประกอบ เสียง คลิปวิดีโอ และมัลติมีเดียภาพถ่าย รูปภาพ กราฟิก ตาราง แผนภาพ อารมณ์ขัน เกร็ดเล็กเกร็ดน้อย เรื่องตลก การ์ตูน อุปมา คำพูด ปริศนาอักษรไขว้ คำพูด ส่วนเสริม บทคัดย่อบทความ เคล็ดลับสำหรับเปล ตำราเรียนขั้นพื้นฐาน และพจนานุกรมคำศัพท์เพิ่มเติมอื่นๆ การปรับปรุงตำราเรียนและบทเรียนแก้ไขข้อผิดพลาดในตำราเรียนอัปเดตชิ้นส่วนในตำราเรียน องค์ประกอบของนวัตกรรมในบทเรียน แทนที่ความรู้ที่ล้าสมัยด้วยความรู้ใหม่ สำหรับครูเท่านั้น บทเรียนที่สมบูรณ์แบบแผนปฏิทินสำหรับปี คำแนะนำด้านระเบียบวิธี โปรแกรมการอภิปราย บทเรียนบูรณาการ

ให้มีสมการกำลังสองที่สมบูรณ์: A*x2+B*x+C=0 โดยที่ A, B และ C เป็นตัวเลขใดๆ และ A ไม่เท่ากับศูนย์ นี่เป็นกรณีทั่วไปของสมการกำลังสอง นอกจากนี้ยังมีรูปแบบรีดิวซ์ซึ่ง A=1 ในการแก้สมการใดๆ ในรูปแบบกราฟิก คุณต้องย้ายคำศัพท์ที่มีระดับสูงสุดไปยังอีกส่วนหนึ่งและจัดทั้งสองส่วนให้เป็นตัวแปรบางตัว

หลังจากนี้ A*x2 จะยังคงอยู่ทางด้านซ้ายของสมการ และ B*x-C จะอยู่ทางด้านขวา (เราสามารถสรุปได้ว่า B เป็นจำนวนลบ ซึ่งจะไม่เปลี่ยนสาระสำคัญ) สมการที่ได้คือ A*x2=B*x-C=y เพื่อความชัดเจน ในกรณีนี้ ทั้งสองส่วนจะเท่ากับตัวแปร y

การพล็อตกราฟและการประมวลผลผลลัพธ์

ตอนนี้เราสามารถเขียนสมการได้สองสมการ: y=A*x2 และ y=B*x-C ถัดไป คุณจะต้องพล็อตกราฟของฟังก์ชันแต่ละฟังก์ชันเหล่านี้ กราฟ y=A*x2 เป็นพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่จุดเริ่มต้น โดยมีกิ่งก้านชี้ขึ้นหรือลง ขึ้นอยู่กับเครื่องหมายของเลข A หากเป็นลบ กิ่งก้านจะชี้ลง หากเป็นบวก กิ่งก้านชี้ขึ้น

กราฟ y=B*x-C เป็นเส้นตรงปกติ ถ้า C=0 เส้นจะผ่านจุดกำเนิด ในกรณีทั่วไป มันจะตัดส่วนที่เท่ากับ C ออกจากแกนกำหนด มุมเอียงของเส้นนี้สัมพันธ์กับแกน abscissa ถูกกำหนดโดยสัมประสิทธิ์ B ซึ่งเท่ากับแทนเจนต์ของความเอียงของมุมนี้

หลังจากที่กราฟถูกพล็อตแล้วจะเห็นว่ากราฟตัดกันที่จุดสองจุด พิกัดของจุดเหล่านี้ตามแนวแกน x จะกำหนดรากของสมการกำลังสอง เพื่อให้ระบุได้อย่างแม่นยำ คุณจะต้องสร้างกราฟให้ชัดเจนและเลือกสเกลที่เหมาะสม

โซลูชันกราฟิกอื่น

มีอีกวิธีหนึ่งในการแก้สมการกำลังสองแบบกราฟิก ไม่จำเป็นต้องย้าย B*x+C ไปอีกด้านหนึ่งของสมการ คุณสามารถพลอตฟังก์ชัน y=A*x2+B*x+C ได้ทันที กราฟดังกล่าวเป็นพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่จุดใดๆ ก็ตาม วิธีนี้ซับซ้อนกว่าวิธีก่อนหน้า แต่คุณสามารถสร้างกราฟได้เพียงกราฟเดียวเพื่อ...

ก่อนอื่น คุณต้องหาจุดยอดของพาราโบลาด้วยพิกัด x0 และ y0 ค่า Abscissa คำนวณโดยใช้สูตร x0=-B/2*a ในการกำหนดลำดับ คุณจะต้องแทนที่ค่า Abscissa ที่เป็นผลลัพธ์ลงในฟังก์ชันดั้งเดิม ในทางคณิตศาสตร์ ข้อความนี้เขียนได้ดังนี้: y0=y(x0)

จากนั้นคุณจะต้องหาจุดสองจุดที่สมมาตรกับแกนของพาราโบลา ในนั้นฟังก์ชันดั้งเดิมจะต้องหายไป หลังจากนี้ คุณสามารถสร้างพาราโบลาได้ จุดตัดกับแกน X จะให้ราก 2 อันของสมการกำลังสอง