ความสูงของสามเหลี่ยมตัดกันที่ไหน? ทุกสิ่งที่คุณจำเป็นต้องรู้เกี่ยวกับสามเหลี่ยม

ทฤษฎีบทระดับความสูงสามเหลี่ยมมุมฉาก

ถ้าระดับความสูงในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ที่มีความยาว ลากจากจุดยอดของมุมฉาก หารด้านตรงข้ามมุมฉากของความยาวและเป็นส่วนๆ และสอดคล้องกับขา และ แล้วความเท่าเทียมกันต่อไปนี้เป็นจริง:

·

·

คุณสมบัติของฐานความสูงของรูปสามเหลี่ยม

· บริเวณความสูงก่อให้เกิดสิ่งที่เรียกว่า orthotriangle ซึ่งมีคุณสมบัติของตัวเอง

· วงกลมที่ล้อมรอบออร์โธสามเหลี่ยมคือวงกลมออยเลอร์ วงกลมนี้ยังประกอบด้วยจุดกึ่งกลาง 3 จุดของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม และจุดกึ่งกลาง 3 จุดของ 3 ส่วนที่เชื่อมระหว่างออร์โธเซนเตอร์กับจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม

อีกสูตรหนึ่งของคุณสมบัติสุดท้าย:

· ทฤษฎีบทของออยเลอร์สำหรับวงกลมเก้าจุด.

บริเวณสาม ความสูงสามเหลี่ยมใดๆ เป็นจุดกึ่งกลางของด้านทั้งสาม ( รากฐานภายในของมันค่ามัธยฐาน) และจุดกึ่งกลางของสามส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดกับออร์โธเซ็นเตอร์ ล้วนอยู่บนวงกลมเดียวกัน (บน วงกลมเก้าจุด).

· ทฤษฎีบท. ในรูปสามเหลี่ยมใดๆ ส่วนที่เชื่อมต่อกัน บริเวณสอง ความสูงสามเหลี่ยม ตัดสามเหลี่ยมที่คล้ายกับอันที่กำหนดออก

· ทฤษฎีบท. ในรูปสามเหลี่ยมส่วนที่เชื่อมต่อกัน บริเวณสอง ความสูงสามเหลี่ยมวางอยู่สองด้าน ตรงกันข้ามแก่บุคคลที่สามซึ่งเขาไม่มีจุดยืนร่วมกันด้วย วงกลมสามารถลากผ่านปลายทั้งสองข้างได้เสมอ เช่นเดียวกับจุดยอดทั้งสองของด้านที่สามที่กล่าวถึง

คุณสมบัติอื่นของระดับความสูงรูปสามเหลี่ยม

· ถ้าเป็นรูปสามเหลี่ยม อเนกประสงค์ (ย้วย) จากนั้นก็ ภายในเส้นแบ่งครึ่งที่ดึงมาจากจุดยอดใดๆ อยู่ระหว่างนั้น ภายในค่ามัธยฐานและความสูงมาจากจุดยอดเดียวกัน

ความสูงของรูปสามเหลี่ยมจะคอนจูเกตแบบไอโซโกนกับเส้นผ่านศูนย์กลาง (รัศมี) เส้นรอบวงดึงมาจากจุดยอดเดียวกัน

· ในรูปสามเหลี่ยมมุมแหลมมีสองอัน ความสูงตัดสามเหลี่ยมที่คล้ายกันออก

· อยู่ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ความสูงวาดจากจุดยอดของมุมฉากแล้วแยกออกเป็นสามเหลี่ยมสองอันคล้ายกับอันเดิม

คุณสมบัติของความสูงต่ำสุดของรูปสามเหลี่ยม

ระดับความสูงต่ำสุดของรูปสามเหลี่ยมมีคุณสมบัติสุดขั้วหลายประการ ตัวอย่างเช่น:

· เส้นโครงมุมฉากขั้นต่ำของรูปสามเหลี่ยมลงบนเส้นที่วางอยู่ในระนาบของรูปสามเหลี่ยมจะมีความยาวเท่ากับระดับความสูงที่เล็กที่สุด

· การตัดตรงขั้นต่ำในระนาบซึ่งสามารถดึงแผ่นเพลทสามเหลี่ยมแข็งได้ต้องมีความยาวเท่ากับความสูงที่เล็กที่สุดของแผ่นเพลทนี้

· เมื่อจุดสองจุดเคลื่อนที่อย่างต่อเนื่องตามแนวเส้นรอบวงของรูปสามเหลี่ยมเข้าหากัน ระยะห่างสูงสุดระหว่างจุดทั้งสองระหว่างการเคลื่อนที่จากการพบกันครั้งแรกไปยังครั้งที่สองจะต้องไม่น้อยกว่าความยาวของความสูงที่เล็กที่สุดของรูปสามเหลี่ยม

· ความสูงต่ำสุดของสามเหลี่ยมจะอยู่ภายในสามเหลี่ยมนั้นเสมอ

ความสัมพันธ์พื้นฐาน

· โดยที่พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมคือความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมซึ่งความสูงลดลง

· โดยที่ผลคูณของด้านข้างคือรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบ

· ,

รัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้อยู่ที่ไหน

พื้นที่ของสามเหลี่ยมอยู่ที่ไหน

ด้านของสามเหลี่ยมซึ่งความสูงลดลงอยู่ที่ไหน

· ความสูงของสามเหลี่ยมหน้าจั่วลดลงถึงฐาน:

ฐานอยู่ที่ไหน

· - ความสูงในรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า

ค่ามัธยฐานและระดับความสูงในรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า

ค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง ซึ่งแบ่งแต่ละจุดออกเป็นอัตราส่วน 2:1 นับจากจุดยอด จุดนี้เรียกว่า จุดศูนย์ถ่วงสามเหลี่ยม. และในสามเหลี่ยมด้านเท่า ค่ามัธยฐานและความสูงเป็นสิ่งเดียวกัน

พิจารณาสามเหลี่ยม ABC ตามใจชอบ ให้เราเขียนจุดตัดของค่ามัธยฐาน AA1 และ BB1 ด้วยตัวอักษร O แล้ววาดเส้นกึ่งกลาง A1B1 ของสามเหลี่ยมนี้ ค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง ส่วน A1B1 ขนานกับด้าน AB ดังนั้นมุม 1 และ 2 เช่นเดียวกับมุมที่ 3 และ 4 เท่ากับมุมขวางที่จุดตัดของเส้นคู่ขนาน AB และ A1B1 ด้วยเส้นตัดขวาง AA1 และ BB1 ดังนั้น สามเหลี่ยม AOB และ A1OB1 จึงคล้ายกันในสองมุม ดังนั้นด้านของพวกมันจึงเป็นสัดส่วน: AOA1O=BOB1O=ABA1B1 แต่ AB=2⋅A1B1 ดังนั้น AO=2⋅A1O และ BO=2⋅B1O ดังนั้น จุดตัดกัน O ของค่ามัธยฐาน AA1 และ BB1 จึงหารแต่ละจุดด้วยอัตราส่วน 2:1 โดยนับจากจุดยอด ในทำนองเดียวกัน ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าจุดตัดกันของค่ามัธยฐาน BB1 และ CC1 หารแต่ละจุดในอัตราส่วน 2:1 นับจากจุดยอด และด้วยเหตุนี้จึงเกิดขึ้นพร้อมกันกับจุด O ดังนั้น ค่ามัธยฐานทั้งสามของสามเหลี่ยม ABC ตัดกันที่ จุด O และหารด้วยอัตราส่วน 2: 1 นับจากด้านบน

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ลองจินตนาการว่าที่จุดยอดของมุม m₁=1 จากนั้นที่จุด A₁,B₁,C₁, m₂=2 เนื่องจากเป็นจุดกึ่งกลางของด้านข้าง และที่นี่ คุณจะสังเกตได้ว่าเซ็กเมนต์ AA₁,BB₁,CC₁ ซึ่งตัดกันที่จุดหนึ่ง คล้ายกับคันโยกที่มีจุดศูนย์กลาง O โดยที่ AO-l₁ และ OA₁-l₂ (ไหล่) และตามสูตรทางกายภาพ F₁/F₂=l₁/l₂ โดยที่ F=m*g โดยที่ g-const และลดลงตามนั้น ปรากฎว่า m₁/m₂=l₁/l₂ เช่น ½=1/2.

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

สามเหลี่ยมออร์โธไทรแองเกิล

คุณสมบัติ:

· ระดับความสูงสามจุดของสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง จุดนี้เรียกว่าจุดศูนย์กลางออร์โธเซนเตอร์

· ด้านที่อยู่ติดกันสองด้านของสามเหลี่ยมออร์โธไทรแองเกิลมีมุมเท่ากันกับด้านที่ตรงกันของสามเหลี่ยมเดิม

ความสูงของรูปสามเหลี่ยมคือเส้นแบ่งครึ่งของมุมออร์โธสามเหลี่ยม

· สามเหลี่ยมออร์โธไทรแองเกิลคือสามเหลี่ยมที่มีเส้นรอบวงเล็กที่สุดที่สามารถเขียนไว้ภายในสามเหลี่ยมที่กำหนดได้ (ปัญหาแฟญญาโน)

· เส้นรอบรูปของมุมออร์โธไทรแองเกิลเท่ากับสองเท่าของผลคูณของความสูงของรูปสามเหลี่ยมและไซน์ของมุมที่เป็นต้นกำเนิด

· ถ้าจุด A 1 , B 1 และ C 1 ที่ด้าน BC, AC และ AB ของสามเหลี่ยมเฉียบพลัน ABC ตามลำดับ จะได้ว่า

แล้วก็เป็นมุมตั้งฉากของสามเหลี่ยม ABC

Orthotriangle ตัดสามเหลี่ยมที่คล้ายกับอันนี้ออก

ทฤษฎีบทเกี่ยวกับสมบัติของเส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยมมุมฉาก

∟ B₁C₁C=∟B₁BC=∟CAA₁=∟CC₁A

CC₁-เส้นแบ่งครึ่ง ∟B₁C₁A

AA₁-เส้นแบ่งครึ่ง ∟B₁A₁C₁

BB₁-เส้นแบ่งครึ่ง ∟A₁B₁C₁

สามเหลี่ยมคือรูปหลายเหลี่ยมที่มีสามด้าน หรือเป็นเส้นหักปิดที่มีจุดเชื่อมต่อสามจุด หรือรูปที่เกิดจากสามส่วนที่เชื่อมต่อจุดสามจุดซึ่งไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน (ดูรูปที่ 1)

องค์ประกอบพื้นฐานของสามเหลี่ยม abc

ยอดเขา – จุด A, B และ C;

ภาคี – ส่วน a = BC, b = AC และ c = AB เชื่อมต่อจุดยอด

มุม – α, β, γ เกิดจากด้านสามคู่ มุมมักถูกกำหนดในลักษณะเดียวกับจุดยอด โดยมีตัวอักษร A, B และ C

มุมที่เกิดจากด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมและนอนอยู่ในพื้นที่ภายในเรียกว่ามุมภายใน และมุมที่อยู่ติดกันคือมุมที่อยู่ติดกันของรูปสามเหลี่ยม (2, หน้า 534)

ความสูง ค่ามัธยฐาน เส้นแบ่งครึ่ง และเส้นกึ่งกลางของรูปสามเหลี่ยม

นอกจากองค์ประกอบหลักในรูปสามเหลี่ยมแล้ว ยังมีการพิจารณาส่วนอื่นๆ ที่มีคุณสมบัติที่น่าสนใจด้วย เช่น ความสูง ค่ามัธยฐาน เส้นแบ่งครึ่ง และเส้นกึ่งกลาง

ความสูง

ความสูงของสามเหลี่ยม- สิ่งเหล่านี้คือเส้นตั้งฉากที่ตกลงจากจุดยอดของสามเหลี่ยมไปยังด้านตรงข้าม

หากต้องการพล็อตความสูง คุณต้องทำตามขั้นตอนต่อไปนี้:

1) วาดเส้นตรงที่มีด้านใดด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยม (หากความสูงถูกดึงมาจากจุดยอดของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมป้าน)

2) จากจุดยอดที่อยู่ตรงข้ามกับเส้นที่ลาก ให้วาดส่วนจากจุดหนึ่งไปยังเส้นนี้ โดยทำมุม 90 องศา

จุดที่ระดับความสูงตัดกับด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมเรียกว่า ฐานความสูง (ดูรูปที่ 2)

คุณสมบัติของระดับความสูงรูปสามเหลี่ยม

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ระดับความสูงที่ดึงมาจากจุดยอดของมุมฉากจะแยกออกเป็นสามเหลี่ยมสองรูปคล้ายกับสามเหลี่ยมดั้งเดิม

ในรูปสามเหลี่ยมเฉียบพลัน ระดับความสูงทั้งสองจะตัดสามเหลี่ยมที่คล้ายกันออกไป

ถ้ารูปสามเหลี่ยมมีลักษณะแหลม ฐานของความสูงทั้งหมดจะอยู่ที่ด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม และในรูปสามเหลี่ยมป้าน ระดับความสูง 2 อันจะตกลงบนเส้นต่อเนื่องของด้านข้าง

ระดับความสูงสามจุดในรูปสามเหลี่ยมเฉียบพลันตัดกันที่จุดหนึ่งและจุดนี้เรียกว่า ศูนย์ออร์โธเซ็นเตอร์ สามเหลี่ยม.

ค่ามัธยฐาน

ค่ามัธยฐาน(จากภาษาละติน mediana - "ตรงกลาง") - สิ่งเหล่านี้คือส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดของสามเหลี่ยมกับจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม (ดูรูปที่ 3)

ในการสร้างค่ามัธยฐาน คุณต้องทำตามขั้นตอนต่อไปนี้:

1) ค้นหาตรงกลางด้านข้าง

2) เชื่อมต่อจุดที่เป็นจุดกึ่งกลางของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมกับจุดยอดตรงข้ามกับส่วน

คุณสมบัติของค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยม

ค่ามัธยฐานแบ่งสามเหลี่ยมออกเป็นสองสามเหลี่ยมที่มีพื้นที่เท่ากัน

ค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง ซึ่งแบ่งแต่ละจุดออกเป็นอัตราส่วน 2:1 นับจากจุดยอด จุดนี้เรียกว่า จุดศูนย์ถ่วง สามเหลี่ยม.

สามเหลี่ยมทั้งหมดถูกหารด้วยค่ามัธยฐานของมันเป็นสามเหลี่ยมหกรูปเท่าๆ กัน

แบ่งครึ่ง

แบ่งครึ่ง(จากภาษาละติน ทวิ - สองครั้ง และ เซโก - ตัด) คือส่วนของเส้นตรงที่อยู่ภายในสามเหลี่ยมที่แบ่งครึ่งมุม (ดูรูปที่ 4)

ในการสร้างเส้นแบ่งครึ่ง คุณต้องทำตามขั้นตอนต่อไปนี้:

1) สร้างรังสีที่ออกมาจากจุดยอดของมุมแล้วแบ่งออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กัน (เส้นแบ่งครึ่งของมุม)

2) ค้นหาจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งของมุมของสามเหลี่ยมกับด้านตรงข้าม

3) เลือกส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดของสามเหลี่ยมกับจุดตัดที่อยู่ฝั่งตรงข้าม

คุณสมบัติของเส้นแบ่งครึ่งสามเหลี่ยม

เส้นแบ่งครึ่งของมุมของสามเหลี่ยมจะแบ่งด้านตรงข้ามเป็นอัตราส่วนเท่ากับอัตราส่วนของด้านสองด้านที่อยู่ติดกัน

เส้นแบ่งครึ่งของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง จุดนี้เรียกว่าจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้

เส้นแบ่งครึ่งของมุมภายในและภายนอกตั้งฉากกัน

ถ้าเส้นแบ่งครึ่งของมุมภายนอกของสามเหลี่ยมตัดกับส่วนขยายของด้านตรงข้าม ดังนั้น ADBD=ACBC

เส้นแบ่งครึ่งของมุมภายในหนึ่งมุมและมุมภายนอกสองมุมของรูปสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง จุดนี้เป็นจุดศูนย์กลางของหนึ่งในสามวงกลมด้านนอกของสามเหลี่ยมนี้

ฐานของเส้นแบ่งครึ่งของมุมภายในสองมุมและมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมจะอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ถ้าเส้นแบ่งครึ่งของมุมภายนอกไม่ขนานกับด้านตรงข้ามของรูปสามเหลี่ยม

หากเส้นแบ่งครึ่งของมุมภายนอกของสามเหลี่ยมไม่ขนานกับด้านตรงข้าม แสดงว่าฐานของพวกมันอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

เมื่อแก้ไขปัญหาประเภทต่างๆ ทั้งในลักษณะทางคณิตศาสตร์และลักษณะประยุกต์ (โดยเฉพาะในการก่อสร้าง) มักจำเป็นต้องกำหนดค่าความสูงของรูปทรงเรขาคณิตบางอย่าง จะคำนวณค่า (ความสูง) นี้ในรูปสามเหลี่ยมได้อย่างไร?

หากเรารวม 3 จุดเป็นคู่ซึ่งไม่ได้อยู่บนเส้นเดียว ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นรูปสามเหลี่ยม ความสูงเป็นส่วนหนึ่งของเส้นตรงจากจุดยอดใดๆ ของรูปที่เมื่อตัดกับด้านตรงข้ามจะทำให้เกิดมุม 90°

ค้นหาความสูงของสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า

ให้เรากำหนดค่าความสูงของรูปสามเหลี่ยมในกรณีที่รูปนั้นมีมุมและด้านตามอำเภอใจ

สูตรของนกกระสา

h(a)=(2√(p(p-a)*(p-b)*(p-c)))/a โดยที่

p – ครึ่งหนึ่งของเส้นรอบรูปของรูป h(a) – ส่วนของด้าน a วาดเป็นมุมฉากกับมัน

p=(a+b+c)/2 – การคำนวณกึ่งเส้นรอบรูป

หากมีพื้นที่ของรูป คุณสามารถใช้ความสัมพันธ์ h(a)=2S/a เพื่อกำหนดความสูงของรูปได้

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ในการหาความยาวของส่วนที่สร้างมุมฉากเมื่อตัดกับด้าน a คุณสามารถใช้ความสัมพันธ์ต่อไปนี้: หากทราบด้าน b และมุม γ หรือด้าน c และมุม β แล้ว h(a)=b*sinγ หรือ h(a)=c *sinβ.
ที่ไหน:
γ – มุมระหว่างด้าน b และ a
β คือมุมระหว่างด้าน c และ a

ความสัมพันธ์กับรัศมี

ถ้าสามเหลี่ยมเดิมถูกจารึกไว้ในวงกลม คุณสามารถใช้รัศมีของวงกลมนั้นเพื่อกำหนดความสูงได้ ศูนย์กลางตั้งอยู่ที่จุดที่ความสูงทั้ง 3 จุดตัดกัน (จากจุดยอดแต่ละจุด) - จุดศูนย์กลางออร์โธเซนเตอร์ และระยะทางจากจุดยอดถึงจุดยอด (ใดๆ) คือรัศมี

จากนั้น h(a)=bc/2R โดยที่:
b, c – อีก 2 ด้านของสามเหลี่ยม
R คือรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบรูปสามเหลี่ยม

ค้นหาความสูงในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

ในรูปทรงเรขาคณิตประเภทนี้ เมื่อตัดกัน 2 ด้านจะเกิดเป็นมุมฉาก - 90° ดังนั้น หากคุณต้องการกำหนดค่าความสูง คุณจะต้องคำนวณขนาดของขาข้างใดข้างหนึ่งหรือขนาดของส่วนที่เป็น 90° ด้วยด้านตรงข้ามมุมฉาก เมื่อกำหนด:
ก, ข – ขา
ค – ด้านตรงข้ามมุมฉาก,
h(c) – ตั้งฉากกับด้านตรงข้ามมุมฉาก
คุณสามารถทำการคำนวณที่จำเป็นได้โดยใช้ความสัมพันธ์ต่อไปนี้:

• ทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

ก=√(ค 2 -ข 2)
ข=√(ค 2 -a 2)
ชั่วโมง(ค)=2S/ค เพราะ S=ab/2 จากนั้น h(c)=ab/c

• ฟังก์ชันตรีโกณมิติ:

a=c*sinβ,
b=c*cosβ,
h(c)=ab/c=с* sinβ* cosβ.

ค้นหาความสูงของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

รูปทรงเรขาคณิตนี้มีความโดดเด่นด้วยการมีสองด้านที่มีขนาดเท่ากันและด้านที่สามคือฐาน เพื่อกำหนดความสูงที่ลากไปยังด้านที่สามที่ชัดเจน ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเข้ามาช่วย ด้วยสัญกรณ์
เอ – ด้าน
ค - ฐาน
h(c) คือส่วนของ c ที่มุม 90° จากนั้น h(c)=1/2 √(4a 2 -c 2)

บทเรียนประกอบด้วยคำอธิบายคุณสมบัติและสูตรการหาความสูงของรูปสามเหลี่ยมพร้อมตัวอย่างการแก้ปัญหา หากคุณไม่พบวิธีแก้ไขปัญหาที่เหมาะสม - เขียนเกี่ยวกับเรื่องนี้ในฟอรัม. แน่นอนจะมีการเสริมหลักสูตร

สามเหลี่ยมสูง ความสูงของสามเหลี่ยม- เส้นตั้งฉากตกลงจากจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม ลากไปทางด้านตรงข้ามจุดยอดหรือไปต่อจากจุดยอด คุณสมบัติความสูงของสามเหลี่ยม: ถ้าระดับความสูงสองอันในรูปสามเหลี่ยมเท่ากัน สามเหลี่ยมนั้นจะเป็นหน้าจั่ว ในรูปสามเหลี่ยมใดๆ ส่วนที่เชื่อมต่อฐานของความสูงสองระดับของรูปสามเหลี่ยมจะตัดรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกับรูปที่กำหนดออก ในรูปสามเหลี่ยม ส่วนที่เชื่อมต่อฐานของความสูงสองระดับของรูปสามเหลี่ยมที่วางอยู่บนทั้งสองด้านนั้นไม่ขนานกับด้านที่สาม โดยที่มันไม่มีจุดร่วม คุณสามารถวาดวงกลมได้ตลอดเวลาทั้งผ่านปลายทั้งสองและจุดยอดทั้งสองของด้านนี้ ในรูปสามเหลี่ยมเฉียบพลัน ระดับความสูงสองระดับจะตัดสามเหลี่ยมที่คล้ายกันออกไป ความสูงต่ำสุดของสามเหลี่ยมจะอยู่ภายในสามเหลี่ยมนั้นเสมอ ศูนย์กลางออร์โธเซนเตอร์ของสามเหลี่ยม ระดับความสูงทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม (วาดจากจุดยอดทั้งสาม) ตัดกันที่จุดหนึ่งซึ่ง เรียกว่าออร์โธเซ็นเตอร์. เพื่อที่จะหาจุดตัดกันของความสูง ก็เพียงพอที่จะวาดความสูงสองอัน (เส้นสองเส้นตัดกันที่จุดเดียวเท่านั้น) ตำแหน่งของออร์โธเซ็นเตอร์ (จุด O) จะถูกกำหนดโดยประเภทของรูปสามเหลี่ยม สำหรับรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม จุดตัดของระดับความสูงจะอยู่ในระนาบของรูปสามเหลี่ยม (รูปที่ 1) ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก จุดตัดของความสูงเกิดขึ้นพร้อมกับจุดยอดของมุมขวา (รูปที่ 2) สำหรับรูปสามเหลี่ยมป้าน จุดตัดของความสูงจะอยู่ด้านหลังระนาบของรูปสามเหลี่ยม (รูปที่ 3) สำหรับสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ค่ามัธยฐาน เส้นแบ่งครึ่ง และระดับความสูงที่ลากไปยังฐานของรูปสามเหลี่ยมจะเท่ากัน ในรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า เส้น “โดดเด่น” ทั้งสามเส้น (ความสูง เส้นแบ่งครึ่ง และค่ามัธยฐาน) ตรงกัน และมีจุด “โดดเด่น” สามจุด (จุดของจุดออร์โธเซนเตอร์ จุดศูนย์ถ่วง และจุดศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้และวงกลมที่จำกัดขอบเขต) จะอยู่ที่ จุดตัดเดียวกันของเส้นที่ "โดดเด่น" เช่น ยังตรงกัน

ตริคุตนิกาสูง ความสูงของไทรคิวบิทูลลงมาจากด้านบนของไทรคิวบิทูลในแนวตั้งฉาก โดยวาดบนส่วนปลายหรือส่วนต่อขยาย ความสูงทั้งสามของไทรคิวบิทัส (วาดจากจุดยอดสามจุด) ตัดกันที่จุดหนึ่งซึ่งเรียกว่าออร์โธเซ็นเตอร์ เพื่อที่จะหาจุดตัดขวาง คุณจะต้องวาดความสูงสองจุด (เส้นตรงสองเส้นตัดกันที่จุดเดียวเท่านั้น) ตำแหน่งของออร์โธเซ็นเตอร์ (จุด O) ถูกกำหนดโดยประเภทของไตรคิวปูไทด์ ใน gostrokutny trikutnik จุดข้ามความสูงจะอยู่ในระนาบของ trikutnik (มล.1) ในไตรคัทแบบตัดตรง ความสูงของไม้กางเขนบรรจบกับยอดของการตัดแบบตรง (มล. 2) ในไทรคัทนิกมุมป้าน จุดของเส้นกากบาทของความสูงจะอยู่ด้านหลังความเรียบของไทรคัทนิก (Mal.3) ใน isosfemoral tricullus ค่ามัธยฐาน เส้นแบ่งครึ่ง และความสูงที่ลากไปยังฐานของ tricucutineum จะเท่ากัน ในไตรคิวบ์ด้านเท่ากันหมด เส้น “ทำเครื่องหมาย” ทั้งสามเส้น (ความสูง เส้นแบ่งครึ่ง และค่ามัธยฐาน) จะถูกหลีกเลี่ยง และจุด “ทำเครื่องหมาย” สามจุด (จุดออร์โธเซ็นเตอร์ จุดกึ่งกลางของเส้น และจุดศูนย์กลางของกระดูกงูที่ถูกจารึกไว้และอธิบายไว้) จะอยู่ในตำแหน่งเดียวกัน จุดถ่ายโอนโคลนของเส้น "สกปรก" จึงสามารถหลีกเลี่ยงได้

สูตรการหาความสูงของรูปสามเหลี่ยม

รูปนี้แสดงไว้เพื่อให้เข้าใจสูตรการหาความสูงของรูปสามเหลี่ยมได้ง่ายขึ้น กฎทั่วไปคือ ความยาวของด้านจะแสดงด้วยตัวอักษรตัวเล็กที่อยู่ตรงข้ามกับมุมที่สอดคล้องกัน นั่นคือ ด้าน a อยู่ตรงข้ามกับมุม A
ความสูงในสูตรจะแสดงด้วยตัวอักษร h ซึ่งตัวห้อยตรงกับด้านที่ลดลง

การกำหนดอื่น ๆ :
ก,ข,ค- ความยาวของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม
ชม. ก- ความสูงของรูปสามเหลี่ยมที่ลากไปด้าน a จากมุมตรงข้าม
ชม. ข- ความสูงที่ลากไปด้าน b
ชม. ค- ความสูงที่ลากไปด้าน c
ร- รัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบ
ร- รัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้

คำอธิบายสำหรับสูตร
ความสูงของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับผลคูณของความยาวของด้านที่อยู่ติดกับมุมซึ่งละส่วนสูงนี้ไว้กับไซน์ของมุมระหว่างด้านนี้กับด้านซึ่งละส่วนความสูงนี้ไว้ (สูตร 1)
ความสูงของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับผลหารของสองเท่าของพื้นที่รูปสามเหลี่ยมหารด้วยความยาวของด้านที่ความสูงนี้ลดลง (สูตร 2)
ความสูงของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับผลหารของการหารผลคูณของด้านที่อยู่ติดกับมุมซึ่งความสูงนี้ละไว้เป็นสองเท่าของรัศมีของวงกลมที่อธิบายไว้รอบๆ (สูตร 4)
ความสูงของด้านต่างๆ ของรูปสามเหลี่ยมมีความสัมพันธ์กันในสัดส่วนเดียวกันกับสัดส่วนผกผันของความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมเดียวกันซึ่งสัมพันธ์กัน และผลคูณของคู่ของด้านของรูปสามเหลี่ยมที่มี มุมร่วมสัมพันธ์กันในสัดส่วนเดียวกัน (สูตร 5)
ผลรวมของค่าส่วนกลับของความสูงของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับค่าส่วนกลับของรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยมดังกล่าว (สูตร 6)
พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมสามารถหาได้จากความยาวของความสูงของรูปสามเหลี่ยมนี้ (สูตร 7)
ความยาวของด้านของสามเหลี่ยมซึ่งความสูงลดลงสามารถพบได้โดยใช้สูตร 7 และ 2

งานบน.

ในสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC (มุม C = 90 0) ซีดีระดับความสูงจะถูกวาดขึ้นมา กำหนดซีดีถ้า AD = 9 ซม., BD = 16 ซม

สารละลาย.

สามเหลี่ยม ABC, ACD และ CBD มีความคล้ายคลึงกัน สิ่งนี้ตามมาจากเกณฑ์ที่สองของความคล้ายคลึงโดยตรง (ความเท่าเทียมกันของมุมในรูปสามเหลี่ยมเหล่านี้ชัดเจน)

สามเหลี่ยมมุมฉากเป็นสามเหลี่ยมประเภทเดียวที่สามารถตัดออกเป็นสามเหลี่ยมสองรูปที่มีหน้าตาคล้ายกันและกับสามเหลี่ยมดั้งเดิมได้

การกำหนดสามเหลี่ยมทั้งสามนี้ตามลำดับจุดยอด: ABC, ACD, CBD ดังนั้นเราจึงแสดงความสอดคล้องของจุดยอดไปพร้อมๆ กัน (จุดยอด A ของสามเหลี่ยม ABC ยังสอดคล้องกับจุดยอด A ของสามเหลี่ยม ACD และจุดยอด C ของสามเหลี่ยม CBD เป็นต้น)

สามเหลี่ยม ABC และ CBD มีความคล้ายคลึงกัน วิธี:

AD/DC = DC/BD นั่นคือ

ปัญหาในการประยุกต์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

สามเหลี่ยม ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ในกรณีนี้ C เป็นมุมฉาก จากนั้นจึงดึงความสูง CD = 6 ซม. ความแตกต่างระหว่างส่วน BD-AD=5 ซม.

ค้นหา: ด้านของสามเหลี่ยม ABC

สารละลาย.

1. มาสร้างระบบสมการตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสกันดีกว่า

ซีดี 2 +BD 2 =BC 2

ซีดี 2 +โฆษณา 2 =เอซี 2

เนื่องจากซีดี=6

เนื่องจาก BD-AD=5 ดังนั้น

BD = AD+5 จากนั้นระบบสมการจะอยู่ในรูปแบบ

36+(ค.ศ.+5) 2 = พ.ศ. 2

ลองบวกสมการที่หนึ่งและที่สองกัน เนื่องจากด้านซ้ายถูกเพิ่มไปทางซ้าย และด้านขวาทางด้านขวา ความเท่าเทียมกันจะไม่ถูกละเมิด เราได้รับ:

36+36+(AD+5) 2 +โฆษณา 2 =AC 2 +BC 2

72+(AD+5) 2 +โฆษณา 2 =AC 2 +BC 2

2. ทีนี้ เมื่อดูภาพวาดต้นฉบับของสามเหลี่ยมตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสเดียวกัน ความเท่าเทียมกันจะต้องเป็นที่น่าพอใจ:

เอซี 2 +BC 2 =เอบี 2

เนื่องจาก AB=BD+AD สมการจึงกลายเป็น:

เอซี 2 +BC 2 =(AD+BD) 2

เนื่องจาก BD-AD=5 ดังนั้น BD = AD+5 ดังนั้น

เอซี 2 +BC 2 =(โฆษณา+โฆษณา+5) 2

3. ตอนนี้เรามาดูผลลัพธ์ที่เราได้รับเมื่อแก้ไขส่วนที่หนึ่งและที่สองของโซลูชัน กล่าวคือ:

72+(AD+5) 2 +โฆษณา 2 =AC 2 +BC 2

เอซี 2 +BC 2 =(โฆษณา+โฆษณา+5) 2

มีส่วนร่วม AC 2 +BC 2 ดังนั้น, ลองเทียบเคียงกัน.

72+(โฆษณา+5) 2 +โฆษณา 2 =(โฆษณา+โฆษณา+5) 2

72+โฆษณา 2 +10AD+25+โฆษณา 2 =4AD 2 +20AD+25

2AD 2 -10AD+72=0

ในผลลัพธ์ของสมการกำลังสอง ตัวจำแนกจะเท่ากับ D=676 ตามลำดับ รากของสมการจะเท่ากัน:

เนื่องจากความยาวของเซ็กเมนต์ไม่สามารถเป็นลบได้ เราจึงละทิ้งรูตแรก

ตามลำดับ

AB = BD + AD = 4 + 9 = 13

จากการใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เราจะหาด้านที่เหลือของสามเหลี่ยมได้:

AC = รากของ (52)

การรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายถึงวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดตรวจสอบหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้เพื่อระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งโดยเฉพาะ

คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา

ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

เราเก็บรวบรวมข้อมูลส่วนบุคคลอะไรบ้าง:

• เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่อีเมลของคุณ ฯลฯ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

• ข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณเพื่อรับข้อเสนอ โปรโมชั่น และกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่กำลังจะเกิดขึ้น
• ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญ
• เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การดำเนินการตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เรามีให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
• หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การประกวด หรือการส่งเสริมการขายที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้ไว้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยข้อมูลแก่บุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณต่อบุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

• หากจำเป็น - ตามกฎหมาย ขั้นตอนการพิจารณาคดี ในการดำเนินการทางกฎหมาย และ/หรือตามคำขอสาธารณะหรือคำขอจากหน่วยงานของรัฐในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - ให้เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เรายังอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ที่สำคัญสาธารณะอื่น ๆ
• ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังบุคคลที่สามที่รับช่วงต่อที่เกี่ยวข้อง

การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้ความระมัดระวัง - รวมถึงการบริหารจัดการ ทางเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด รวมถึงการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

การเคารพความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้มั่นใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจะสื่อสารมาตรฐานความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเรา และบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด