Bir dik üçgenin dar açısının sinüsü olarak adlandırılan şey. sağ üçgen
Talimat
Eğer kosinüsü bulmanız gerekiyorsa köşe keyfi bir üçgende kosinüs teoremini kullanmak gerekir:
açı dar ise: cos? = (a2 + b2 – c2)/(2ab);
eğer açı: çünkü? = (c2 - a2 - b2)/(2ab), burada a, b köşeye bitişik kenarların uzunlukları, c köşenin karşısındaki kenarın uzunluğudur.
Kosinüsün matematiksel gösterimi cos'tur.
Kosinüs değeri 1'den büyük ve -1'den küçük olamaz.
kaynaklar:
- bir açının kosinüsü nasıl hesaplanır
- Birim çember üzerinde trigonometrik fonksiyonlar
Kosinüs açının temel trigonometrik fonksiyonudur. Kosinüsü belirleme yeteneği, vektör cebirinde vektörlerin çeşitli eksenler üzerindeki izdüşümlerini belirlerken faydalıdır.
Talimat
çünkü?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)
a, b, c kenarları sırasıyla 3, 4, 5 mm olan bir üçgen vardır.
Bulmak kosinüs büyük kenarlar arasındaki açı.
Kenarın karşısındaki açıyı a ile mi gösterelim, o zaman yukarıda türetilen formüle göre şunu elde ederiz:
çünkü?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(4?+5?-3?)/(2*4*5)=(16+25-9)/40 =32/40=0,8
Cevap: 0.8.
Üçgen bir dik üçgen ise, o zaman bulmak için kosinüs ve açının herhangi iki kenarının uzunluğunu bilmek yeterlidir ( kosinüs dik açı 0'dır).
Kenarları a, b, c olan ve c'nin hipotenüs olduğu bir dik üçgen olsun.
Tüm seçenekleri göz önünde bulundurun:
a ve b (bir üçgenin) kenarlarının uzunlukları biliniyorsa cos?
Ek olarak Pisagor teoremini kullanalım:
çünkü?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(b?+b?+a?-a?)/(2*b*v(b?+a?)) =(2*b?)/(2*b*v(b?+a?))=b/v(b?+a?)
Ortaya çıkan formülün doğruluğu için, örnek 1'den yerine koyuyoruz, yani.
Temel hesaplamaları yaptıktan sonra şunu elde ederiz:
Benzer şekilde, var kosinüs dikdörtgen şeklinde üçgen diğer durumlarda:
Bilinen a ve c (hipotenüs ve karşı bacak), cos'u bulun?
çünkü?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(c?-a?+c?-a?)/(2*c*v(c?-a?)) =(2*s?-2*a?)/(2*s*v(s?-a?))=v(s?-a?)/s.
Örnekteki a=3 ve c=5 değerlerini değiştirerek şunu elde ederiz:
b ve c biliniyor (hipotenüs ve bitişik bacak).
Sos'u bul?
Benzer dönüşümleri gerçekleştirdikten sonra (örnek 2 ve 3'te gösterilmiştir), bu durumda şunu elde ederiz: kosinüs V üçgençok basit bir formülle hesaplanır:
Elde edilen formülün basitliği basit bir şekilde açıklanmaktadır: aslında, köşeye bitişik mi? bacak hipotenüsün bir izdüşümüdür, uzunluğu hipotenüsün uzunluğunun cos? ile çarpımına eşittir.
İlk örnekteki b=4 ve c=5 değerlerini değiştirerek şunu elde ederiz:
Yani tüm formüllerimiz doğru.
İpucu 5: Dik üçgende dar açı nasıl bulunur?
Direkt olarak karboniküçgen muhtemelen tarihsel açıdan en ünlülerinden biridir, geometrik şekiller. Pisagor "pantolonları" yalnızca "Eureka!" Arşimet.
İhtiyacın olacak
- - bir üçgenin çizimi;
- - cetvel;
- - iletki.
Talimat
Bir üçgenin iç açılarının toplamı 180 derecedir. dikdörtgen şeklinde üçgen bir açı (sağ) her zaman 90 derece olacaktır ve geri kalanı keskindir, yani her biri 90 dereceden az. Dikdörtgenin hangi açısını belirlemek için üçgen düz ise, üçgenin kenarlarını bir cetvelle ölçün ve en büyüğünü belirleyin. Hipotenüstür (AB) ve dik açının (C) karşısındadır. Kalan iki kenar dik açı ve ayakları oluşturur (AC, BC).
Hangi açının dar olduğunu belirledikten sonra, açıyı hesaplamak için bir iletki kullanabilir veya matematiksel formüller kullanarak hesaplayabilirsiniz.
Bir iletki kullanarak açının değerini belirlemek için, üst kısmını (A harfi ile gösterelim) iletki ortasındaki cetvel üzerinde özel bir işaretle hizalayın, AC ayağı üst kenarı ile çakışmalıdır. İletkinin yarım daire şeklindeki kısmında AB hipotenüsünün geçtiği noktayı işaretleyin. Bu noktadaki değer derece cinsinden açı değerine karşılık gelir. İletki üzerinde 2 miktar belirtilmişse, o zaman için dar açı aptal olan için daha küçük olanı seçmelisin - daha büyük olanı.
Elde edilen değeri Bradis referansında bulun ve elde edilen sayısal değere hangi açının karşılık geldiğini belirleyin. Anneannelerimiz bu yöntemi kullanırdı.
Bizimkinde trigonometrik formülleri hesaplama fonksiyonu ile almak yeterlidir. Örneğin, yerleşik Windows hesap makinesi. "Hesap Makinesi" uygulamasını başlatın, "Görünüm" menü öğesinde "Mühendislik" öğesini seçin. İstenen açının sinüsünü hesaplayın, örneğin sin (A) = BC/AB = 2/4 = 0,5
Hesap makinesi ekranındaki INV düğmesine tıklayarak hesap makinesini ters işlev moduna geçirin, ardından ark sinüs işlevi düğmesine tıklayın (ekranda sin to eksi bir kuvvet olarak etiketlenmiştir). Aşağıdaki yazıt hesaplama penceresinde görünecektir: asind (0,5) = 30. Yani, istenen açı 30 derecedir.
kaynaklar:
- Bradis tabloları (sinüsler, kosinüsler)
Matematikteki kosinüs teoremi en çok üçüncü tarafı bir açı ve iki tarafla bulmak gerektiğinde kullanılır. Ancak bazen problemin durumu tam tersi olur: Verilen üç kenar için açıyı bulmak gerekir.
Talimat
Size iki kenarının uzunluğu ve bir açısının değeri bilinen bir üçgen verildiğini hayal edin. Bu üçgenin tüm açıları birbirine eşit değildir ve kenarlarının boyutları da farklıdır. γ açısı, bu şekil olan AB olarak gösterilen üçgenin kenarının karşısında yer alır. Bu açının yanı sıra AC ve BC'nin geri kalan kenarları boyunca, kosinüs teoremini kullanarak, aşağıdaki formülü temel alarak türetilen üçgenin bilinmeyen tarafını bulabilirsiniz:
a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ, burada a=BC, b=AB, c=AC
Aksi takdirde kosinüs teoremi genelleştirilmiş Pisagor teoremi olarak adlandırılır.
Şimdi şeklin üç kenarının da verildiğini ancak γ açısının bilinmediğini hayal edin. a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ formunu bilerek, bu ifadeyi istenen değer γ açısı olacak şekilde dönüştürün: b^2+c^2=2bc*cosγ+a^2.
Sonra yukarıdaki denklemi biraz farklı bir forma getirin: b^2+c^2-a^2=2bc*cosγ.
Daha sonra bu ifade şuna dönüştürülmelidir: cosγ=√b^2+c^2-a^2/2bc.
Formüldeki sayıları değiştirmek ve hesaplamaları yapmak için kalır.
γ olarak gösterilen kosinüsü bulmak için, ters kosinüs adı verilen ters trigonometri ile ifade edilmelidir. M sayısının arkkosinüsü, γ açısının kosinüsünün m'ye eşit olduğu γ açısının değeridir. y=arccos m fonksiyonu azalıyor. Örneğin, γ açısının kosinüsünün bir buçuk olduğunu hayal edin. Daha sonra γ açısı ark kosinüsü cinsinden aşağıdaki gibi tanımlanabilir:
γ = yay, m = yay 1/2 = 60°, burada m = 1/2.
Benzer şekilde, diğer iki bilinmeyen kenarı olan bir üçgenin kalan açılarını bulabilirsiniz.
Sinüs ve kosinüs, "düz çizgiler" olarak adlandırılan iki trigonometrik fonksiyondur. Diğerlerinden daha sık hesaplanması gereken onlardır ve bugün her birimizin bu sorunu çözmek için önemli bir seçeneği var. Aşağıda en çok birkaçı var basit yollar.
Talimat
Başka hesaplama yöntemleri yoksa iletki, kalem ve kağıt kullanın. Kosinüsün tanımlarından biri, bir dik üçgende dar açılarla verilir - bu açının karşısındaki bacağın uzunluğu ile uzunluk arasındaki orana eşittir. Açılardan birinin dik (90°), diğerinin ise hesaplamak istediğiniz açı olduğu bir üçgen çizin. Kenarların uzunluğu önemli değil - onları ölçmeniz için daha uygun olacak şekilde çizin. İstenilen bacağın ve hipotenüsün uzunluğunu ölçün ve birinciyi ikinciye uygun herhangi bir şekilde bölün.
Değer fırsatını yakalayın trigonometrik fonksiyonlarİnternet erişiminiz varsa, Nigma arama motorunda yerleşik hesap makinesini kullanarak. Örneğin, 20°'lik bir açının kosinüsünü hesaplamak istiyorsanız, ana sayfa hizmet http://nigma.ru "cosinüs 20" arama sorgusunu yazın ve "Bul!" düğmesini tıklayın. "Dereceleri" atlayabilir ve "kosinüs" kelimesini cos ile değiştirebilirsiniz - her durumda, arama motoru sonucu 15 ondalık basamağa kadar (0.939692620785908) doğrulukla gösterecektir.
İşletim sistemiyle birlikte yüklenen standart programı açın Windows sistemi internet erişimi yoksa. Bu, örneğin, kazan ve r tuşlarına aynı anda basıp ardından calc komutunu girerek ve Tamam düğmesine tıklayarak yapılabilir. Trigonometrik fonksiyonları hesaplamak için burada "mühendislik" veya "bilimsel" (işletim sistemi sürümüne bağlı olarak) adı verilen bir arayüz vardır - hesap makinesi menüsünün "Görünüm" bölümünde istediğiniz öğeyi seçin. Bundan sonra, açının değerini girin ve program arayüzündeki cos düğmesine tıklayın.
İlgili videolar
İpucu 8: Bir dik üçgende açılar nasıl belirlenir
Dikdörtgen, açılar ve kenarlar arasındaki belirli oranlarla karakterize edilir. Bazılarının değerlerini bilerek, diğerlerini hesaplayabilirsiniz. Bunun için, sırasıyla geometrinin aksiyomlarına ve teoremlerine dayanan formüller kullanılır.
Teğet (tg x) ve kotanjant (ctg x) için referans verileri. Geometrik tanım, özellikler, grafikler, formüller. Teğet ve kotanjant tablosu, türevler, integraller, seri açılımları. Karmaşık değişkenler aracılığıyla ifadeler. Hiperbolik fonksiyonlarla bağlantı.
geometrik tanım
|BD| - A noktasında merkezli bir daire yayının uzunluğu.
α, radyan cinsinden ifade edilen açıdır.
teğet ( tga) bir dik üçgenin kenarı ile hipotenüs arasındaki α açısına bağlı, karşı kenarın uzunluğunun |BC| oranına eşit bir trigonometrik fonksiyondur. bitişik bacağın uzunluğuna kadar |AB| .
kotanjant ( ctga) bir dik üçgenin kenarı ile hipotenüs arasındaki α açısına bağlı, komşu kenarın |AB| uzunluğunun oranına eşit bir trigonometrik fonksiyondur. karşı bacağın uzunluğuna kadar |BC| .
Teğet
Nerede N- tüm.
Batı literatüründe teğet şu şekilde gösterilir:
.
;
;
.
Teğet fonksiyonunun grafiği, y = tg x
Kotanjant
Nerede N- tüm.
Batı literatüründe kotanjant şu şekilde gösterilir:
.
Aşağıdaki notasyon da kabul edilmiştir:
;
;
.
Kotanjant fonksiyonunun grafiği, y = ctg x
Teğet ve kotanjantın özellikleri
periyodiklik
fonksiyonlar y= tg x ve y= ctg xπ periyodu ile periyodiktir.
parite
Teğet ve kotanjant fonksiyonları tektir.
Tanım ve değer alanları, artan, azalan
Teğet ve kotanjant fonksiyonları tanım alanlarında süreklidir (sürekliliğin ispatına bakınız). Teğet ve kotanjantın ana özellikleri tabloda sunulmuştur ( N- tamsayı).
| y= tg x | y= ctg x | |
| Kapsam ve süreklilik | ||
| Değer aralığı | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| artan | - | |
| Azalan | - | |
| aşırılıklar | - | - |
| sıfırlar, y= 0 | ||
| y ekseni ile kesişme noktaları, x = 0 | y= 0 | - |
formüller
Sinüs ve kosinüs cinsinden ifadeler
;
;
;
;
;
Toplam ve farkın teğet ve kotanjant formülleri
Formüllerin geri kalanının elde edilmesi kolaydır, örneğin
teğet çarpımı
Teğetlerin toplamı ve farkı için formül
Bu tablo, bağımsız değişkenin bazı değerleri için teğet ve kotanjant değerlerini gösterir. 
Karmaşık sayılar cinsinden ifadeler
Hiperbolik fonksiyonlar açısından ifadeler
;
;
türevler
; .
.
Fonksiyonun x değişkenine göre n'inci mertebeden türevi :
.
Teğet için formüllerin türetilmesi > > > ; kotanjant için > > >
integraller
Seriye genişletmeler
Teğetin x'in kuvvetleri cinsinden açılımını elde etmek için, fonksiyonlar için bir kuvvet serisindeki açılımın birkaç terimini almanız gerekir. günah x Ve çünkü x ve bu polinomları birbirine bölün , . Bu, aşağıdaki formüllerle sonuçlanır.
.
.
Nerede B n- Bernoulli sayıları. Yineleme ilişkisinden belirlenirler:
;
;
Nerede .
Veya Laplace formülüne göre: 
ters fonksiyonlar
ters fonksiyonlar teğet ve kotanjant sırasıyla arktanjant ve arkkotanjanttır.
arktanjant, arktg
, Nerede N- tüm.
Ark teğeti, arkctg
, Nerede N- tüm.
Referanslar:
İÇİNDE. Bronstein, K.A. Semendyaev, Yüksek Eğitim Kurumlarının Mühendisleri ve Öğrencileri için Matematik El Kitabı, Lan, 2009.
G. Korn, Araştırmacılar ve Mühendisler için Matematik El Kitabı, 2012.
Sinüs, uygulaması yalnızca geometri ile sınırlı olmayan temel trigonometrik fonksiyonlardan biridir. Mühendislik hesap makineleri gibi trigonometrik fonksiyonları hesaplamak için tablolar her zaman elinizin altında değildir ve sinüsün hesaplanması bazen çeşitli problemleri çözmek için gereklidir. Genel olarak, sinüsün hesaplanması, çizim becerilerinin ve trigonometrik kimlik bilgilerinin pekiştirilmesine yardımcı olacaktır.
Cetvel ve kalem oyunları
Basit bir görev: Kağıda çizilen bir açının sinüsü nasıl bulunur? Çözmek için normal bir cetvele, bir üçgene (veya pusulaya) ve bir kurşun kaleme ihtiyacınız var. Bir açının sinüsünü hesaplamanın en basit yolu, dik açılı bir üçgenin uzak ayağını uzun kenara, yani hipotenüse bölmektir. Bu nedenle, önce açının tepe noktasından keyfi bir mesafede ışınlardan birine dik bir çizgi çizerek bir dik üçgen şekline olan dar açıyı tamamlamanız gerekir. Bir büro üçgenine ihtiyacımız olan tam olarak 90 ° 'lik bir açıyı gözlemlemek gerekli olacaktır.
Pusula kullanmak biraz daha hassastır, ancak daha uzun sürer. Işınlardan birinde belirli bir mesafede 2 nokta işaretlemeniz, pusula üzerinde noktalar arasındaki mesafeye yaklaşık olarak eşit bir yarıçap ayarlamanız ve bu çizgiler kesişene kadar bu noktalarda merkezli yarım daireler çizmeniz gerekir. Dairelerimizin kesişme noktalarını birbirine bağlayarak açımızın ışınına kesin bir diklik elde edeceğiz, geriye sadece çizgiyi başka bir ışınla kesişene kadar uzatmak kalıyor.
Ortaya çıkan üçgende, köşenin karşısındaki kenarı ve ışınlardan birinin üzerindeki uzun kenarı bir cetvelle ölçmeniz gerekir. Birinci ölçümün ikinciye oranı, dar açının sinüsünün istenen değeri olacaktır.
90°'den büyük bir açı için sinüsü bulun
Geniş bir açı için görev çok daha zor değil. İlgilendiğimiz açının ışınlarından biriyle düz bir çizgi oluşturmak için tepe noktasından ters yönde bir cetvel kullanarak bir ışın çizmek gerekir. Ortaya çıkan dar açı ile yukarıda açıklandığı gibi ilerlemelisiniz, birlikte 180 ° 'lik gelişmiş bir açı oluşturan bitişik açıların sinüsleri eşittir.
Diğer trigonometrik fonksiyonlardan sinüsü hesaplama
Ayrıca, açının diğer trigonometrik fonksiyonlarının değerleri veya en azından üçgenin kenarlarının uzunluğu biliniyorsa sinüsün hesaplanması mümkündür. Trigonometrik özdeşlikler bu konuda bize yardımcı olacaktır. Yaygın örneklere bakalım.
Bilinen bir açının kosinüsü ile sinüs nasıl bulunur? Pisagor teoreminden gelen ilk trigonometrik özdeşlik, aynı açının sinüs ve kosinüsünün karelerinin toplamının bire eşit olduğunu söyler.
Bir açının tanjantı bilinen sinüsü nasıl bulabilirim? Teğet, uzak bacak yakın olana bölünerek veya sinüs kosinüs ile bölünerek elde edilir. Böylece sinüs, kosinüs ve teğetin ürünü olacak ve sinüsün karesi bu çarpımın karesi olacaktır. Kosinüsün karesini ilk trigonometrik kimliğe göre birlik ve kare sinüs arasındaki farkla değiştiriyoruz ve basit manipülasyonlarla sırasıyla teğet boyunca kare sinüsü hesaplamak için denklemi getiriyoruz, sinüsü hesaplamak için yapmanız gerekecek elde edilen sonuçtan kökü çıkarın.
Bilinen bir açı kotanjantı olan sinüs nasıl bulunur? Kotanjantın değeri, bacak açısından yakın olanın uzunluğunu uzak olanın uzunluğuna bölerek ve ayrıca kosinüsü sinüse bölerek hesaplanabilir, yani kotanjant, teğetin ters işlevidir. 1 sayısına göre. Sinüsü hesaplamak için tg α \u003d 1 / ctg α formülünü kullanarak teğeti hesaplayabilir ve ikinci seçenekteki formülü kullanabilirsiniz. Ayrıca teğete benzeterek doğrudan bir formül türetebilirsiniz, ki bu şöyle görünecektir.
Bir üçgenin üç kenarının sinüsü nasıl bulunur?
Karşı açının kosinüsünün trigonometrik fonksiyonunu kullanan bilinen iki kenar verildiğinde, sadece bir dik üçgen değil, herhangi bir üçgenin bilinmeyen tarafının uzunluğunu bulmak için bir formül vardır. Buna benziyor.
Sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant kavramları, matematiğin bir dalı olan trigonometrinin ana kategorileridir ve ayrılmaz bir şekilde bir açının tanımıyla bağlantılıdır. Bu matematik bilimine sahip olmak, formüllerin ve teoremlerin ezberlenmesini ve anlaşılmasının yanı sıra gelişmiş uzamsal düşünmeyi gerektirir. Bu nedenle trigonometrik hesaplamalar genellikle okul çocukları ve öğrenciler için zorluklara neden olur. Bunların üstesinden gelmek için trigonometrik fonksiyonlara ve formüllere daha aşina olmalısınız.
trigonometride kavramlar
Trigonometrinin temel kavramlarını anlamak için önce bir dik üçgenin ve bir çemberdeki açının ne olduğuna ve neden tüm temel trigonometrik hesaplamaların bunlarla ilişkili olduğuna karar vermelisiniz. Açılarından biri 90 derece olan üçgen dik üçgendir. Tarihsel olarak, bu figür mimarlık, denizcilik, sanat, astronomi alanındaki insanlar tarafından sıklıkla kullanılmıştır. Buna göre, bu rakamın özelliklerini inceleyen ve analiz eden insanlar, parametrelerinin karşılık gelen oranlarını hesaplamaya geldi.
Dik üçgenlerle ilişkilendirilen ana kategoriler hipotenüs ve bacaklardır. Hipotenüs, bir üçgenin dik açının karşısındaki kenarıdır. Bacaklar sırasıyla diğer iki taraftır. Herhangi bir üçgenin iç açılarının toplamı her zaman 180 derecedir.
Küresel trigonometri, trigonometrinin okulda incelenmeyen bir bölümüdür, ancak astronomi ve jeodezi gibi uygulamalı bilimlerde bilim adamları tarafından kullanılır. Küresel trigonometride bir üçgenin özelliği, her zaman 180 dereceden büyük açılara sahip olmasıdır.
bir üçgenin açıları
Bir dik üçgende, bir açının sinüsü, istenen açının karşısındaki bacağın üçgenin hipotenüsüne oranıdır. Buna göre kosinüs, bitişik bacak ile hipotenüsün oranıdır. Hipotenüs her zaman bacaktan daha uzun olduğu için bu değerlerin her ikisi de her zaman birden küçük bir değere sahiptir.
Bir açının tanjantı, istenen açının karşı bacağının komşu bacağa oranına veya sinüsün kosinüs değerine eşit bir değerdir. Kotanjant ise, istenen açının bitişik bacağının karşı kaktete oranıdır. Bir açının kotanjantı, birimi teğetin değerine bölerek de elde edilebilir.
birim çember
Geometride birim çember, yarıçapı bire eşit olan çemberdir. Böyle bir daire Kartezyen koordinat sisteminde oluşturulur, dairenin merkezi başlangıç noktasıyla çakışır ve yarıçap vektörünün başlangıç konumu X ekseninin (apsis ekseni) pozitif yönü tarafından belirlenir. Dairenin her noktasının iki koordinatı vardır: XX ve YY, yani apsis ve ordinatın koordinatları. XX düzleminde daire üzerinde herhangi bir noktayı seçip buradan apsis eksenine dikmeyi bırakarak, seçilen noktaya bir yarıçaptan oluşan bir dik üçgen elde ederiz (bunu C harfi ile gösterelim), dik çizilen X ekseni (kesişim noktası G harfi ile gösterilir) ve orijin (nokta A harfi ile gösterilir) ile kesişme noktası G arasında apsis ekseninin bir parçası. Ortaya çıkan ACG üçgeni, içinde yazılı bir dik üçgendir. AG'nin hipotenüs olduğu ve AC ve GC'nin bacaklar olduğu bir daire. AC dairesinin yarıçapı ile apsis ekseninin AG işaretli bölümü arasındaki açıyı α (alfa) olarak tanımlarız. Yani, cos α = AG/AC. AC'nin birim çemberin yarıçapı olduğu ve bire eşit olduğu göz önüne alındığında, cos α=AG olduğu ortaya çıkıyor. Benzer şekilde sin α=CG.
Ek olarak, bu verileri bilerek, daire üzerindeki C noktasının koordinatını belirleyebilirsiniz, çünkü cos α \u003d AG ve sin α \u003d CG, bu da C noktasının sahip olduğu anlamına gelir. verilen koordinatlar(cos α;sin α). Teğetin sinüsün kosinüs oranına eşit olduğunu bilerek, tg α \u003d y / x ve ctg α \u003d x / y olduğunu belirleyebiliriz. Negatif bir koordinat sistemindeki açılar dikkate alındığında, bazı açıların sinüs ve kosinüs değerlerinin negatif olabileceği hesaplanabilir.
Hesaplamalar ve temel formüller
Trigonometrik fonksiyonların değerleri
Birim çember aracılığıyla trigonometrik fonksiyonların özünü ele alarak, bu fonksiyonların bazı açılar için değerlerini türetebiliriz. Değerler aşağıdaki tabloda listelenmiştir.
En basit trigonometrik özdeşlikler
Trigonometrik fonksiyonun işareti altında bilinmeyen bir değer bulunan denklemlere trigonometrik denir. sin x = α değerine sahip kimlikler, k herhangi bir tamsayıdır:
- günah x = 0, x = πk.
- 2. günah x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
- günah x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
- günah x = a, |a| > 1, çözüm yok.
- günah x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arksin α + πk.
cos x = a değerine sahip kimlikler, burada k herhangi bir tamsayıdır:
- çünkü x = 0, x = π/2 + πk.
- çünkü x = 1, x = 2πk.
- çünkü x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
- çünkü x = a, |a| > 1, çözüm yok.
- çünkü x = a, |a| ≦ 1, х = ±arccos α + 2πk.
tg x = a değerine sahip kimlikler, burada k herhangi bir tamsayıdır:
- tg x = 0, x = π/2 + πk.
- tg x \u003d a, x \u003d arktg α + πk.
ctg x = a değerine sahip kimlikler, burada k herhangi bir tamsayıdır:
- ctg x = 0, x = π/2 + πk.
- ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.
Döküm formülleri
Bu sabit formüller kategorisi, formun trigonometrik fonksiyonlarından argümanın fonksiyonlarına geçebileceğiniz, yani sinüs, kosinüs, teğet ve herhangi bir değerdeki açının kotanjantını açının karşılık gelen göstergelerine dönüştürebileceğiniz yöntemleri belirtir. daha fazla hesaplama kolaylığı için 0 ila 90 derece aralığı.
Bir açının sinüsü için fonksiyonları azaltma formülleri şöyle görünür:
- sin(900 - α) = α;
- sin(900 + α) = cos α;
- sin(1800 - α) = sin α;
- sin(1800 + α) = -sin α;
- sin(2700 - α) = -cos α;
- sin(2700 + α) = -cos α;
- sin(3600 - α) = -sin α;
- sin(3600 + α) = günah α.
Bir açının kosinüsü için:
- cos(900 - α) = sin α;
- cos(900 + a) = -sin a;
- cos(1800 - α) = -cos α;
- cos(1800 + α) = -cos α;
- cos(2700 - a) = -sin a;
- cos(2700 + α) = sin α;
- cos(3600 - α) = cos α;
- cos(3600 + α) = cos α.
Yukarıdaki formüllerin kullanımı iki kurala tabi olarak mümkündür. İlk olarak, açı bir değer (π/2 ± a) veya (3π/2 ± a) olarak gösterilebilirse, fonksiyonun değeri değişir:
- günahtan cos'a;
- cos'tan günah'a;
- tg'den ctg'ye;
- ctg'den tg'ye.
Açı (π ± a) veya (2π ± a) olarak temsil edilebiliyorsa, fonksiyonun değeri değişmeden kalır.
İkincisi, indirgenmiş fonksiyonun işareti değişmez: başlangıçta pozitifse, öyle kalır. Aynısı negatif fonksiyonlar için de geçerlidir.
Toplama Formülleri
Bu formüller trigonometrik fonksiyonları açısından iki dönüş açısının toplamının ve farkının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant değerlerini ifade eder. Açılar genellikle α ve β olarak gösterilir.
Formüller şöyle görünür:
- günah(α ± β) = günah α * çünkü β ± çünkü α * günah.
- çünkü(α ± β) = çünkü α * çünkü β ∓ günah α * günah.
- tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
- ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).
Bu formüller herhangi bir α ve β açısı için geçerlidir.
Çift ve üçlü açı formülleri
İkili ve üçlü açının trigonometrik formülleri, sırasıyla 2a ve 3a açılarının fonksiyonlarını α açısının trigonometrik fonksiyonlarıyla ilişkilendiren formüllerdir. Toplama formüllerinden elde edilen:
- sin2α = 2sinα*cosα.
- cos2α = 1 - 2sin^2α.
- tg2α = 2tgα / (1 - tg^2α).
- sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
- cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
- tg3α = (3tgα - tg^3α) / (1-tg^2α).
Toplamdan ürüne geçiş
2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y) olduğunu dikkate alarak, bu formülü sadeleştirerek sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2 özdeşliğini elde ederiz. Benzer şekilde, sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).
Çarpımdan toplama geçiş
Bu formüller, toplamın ürüne geçişine yönelik kimliklerden çıkar:
- sinα * sinβ = 1/2*;
- cosα * cosβ = 1/2*;
- sinα * cosβ = 1/2*.
İndirgeme formülleri
Bu kimliklerde, sinüs ve kosinüsün kare ve kübik kuvvetleri, bir çoklu açının birinci kuvvetinin sinüs ve kosinüsü cinsinden ifade edilebilir:
- sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
- cos^2α = (1 + cos2α)/2;
- sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
- cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
- sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
- cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.
Evrensel ikame
Evrensel trigonometrik ikame formülleri, trigonometrik fonksiyonları yarım açının tanjantı cinsinden ifade eder.
- sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), x \u003d π + 2πn ise;
- cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), burada x = π + 2πn;
- tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), burada x \u003d π + 2πn;
- ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), x \u003d π + 2πn iken.
Özel durumlar
En basit trigonometrik denklemlerin özel durumları aşağıda verilmiştir (k herhangi bir tamsayıdır).
Sinüs için özel:
| günah x değeri | x değeri |
|---|---|
| 0 | pk |
| 1 | π/2 + 2πk |
| -1 | -π/2 + 2πk |
| 1/2 | π/6 + 2πk veya 5π/6 + 2πk |
| -1/2 | -π/6 + 2πk veya -5π/6 + 2πk |
| √2/2 | π/4 + 2πk veya 3π/4 + 2πk |
| -√2/2 | -π/4 + 2πk veya -3π/4 + 2πk |
| √3/2 | π/3 + 2πk veya 2π/3 + 2πk |
| -√3/2 | -π/3 + 2πk veya -2π/3 + 2πk |
Kosinüs bölümleri:
| çünkü x değeri | x değeri |
|---|---|
| 0 | π/2 + 2πk |
| 1 | 2πk |
| -1 | 2 + 2πk |
| 1/2 | ±π/3 + 2πk |
| -1/2 | ±2π/3 + 2πk |
| √2/2 | ±π/4 + 2πk |
| -√2/2 | ±3π/4 + 2πk |
| √3/2 | ±π/6 + 2πk |
| -√3/2 | ±5π/6 + 2πk |
Teğet için özel:
| tg x değeri | x değeri |
|---|---|
| 0 | pk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3/3 | π/6 + πk |
| -√3/3 | -π/6 + πk |
| √3 | π/3 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
Kotanjant bölümleri:
| ctg x değeri | x değeri |
|---|---|
| 0 | π/2 + πk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3 | π/6 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
| √3/3 | π/3 + πk |
| -√3/3 | -π/3 + πk |
teoremler
sinüs teoremi
Teoremin iki versiyonu vardır - basit ve genişletilmiş. Basit sinüs teoremi: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. Bu durumda sırasıyla a, b, c üçgenin kenarları ve α, β, γ karşılıklı açılardır.
Keyfi bir üçgen için genişletilmiş sinüs teoremi: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. Bu özdeşlikte R, verilen üçgenin yazılı olduğu dairenin yarıçapını gösterir.
kosinüs teoremi
Kimlik şu şekilde görüntülenir: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. Formülde a, b, c üçgenin kenarları, α ise a kenarının karşısındaki açıdır.
teğet teoremi
Formül, iki açının teğetleri ile bu açıların karşısındaki kenarların uzunlukları arasındaki ilişkiyi ifade eder. Kenarlar a, b, c olarak etiketlenir ve karşılık gelen karşıt açılar α, β, γ şeklindedir. Teğet teoreminin formülü: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).
kotanjant teoremi
Üçgenin içine çizilen dairenin yarıçapını kenarlarının uzunluğuyla ilişkilendirir. a, b, c bir üçgenin kenarları ve sırasıyla A, B, C karşılıklı açıları ise, r çevrelenmiş dairenin yarıçapı ve p üçgenin yarım çevresi ise, aşağıdaki özdeşlikler tutmak:
- ctg A/2 = (p-a)/r;
- ctg B/2 = (p-b)/r;
- ctg C/2 = (p-c)/r.
Uygulamalar
Trigonometri sadece teorik bilim matematiksel formüllerle ilişkilendirilir. Özellikleri, teoremleri ve kuralları pratikte çeşitli endüstriler tarafından kullanılmaktadır. insan aktivitesi– astronomi, hava ve deniz seyrüsefer, müzik teorisi, jeodezi, kimya, akustik, optik, elektronik, mimarlık, ekonomi, makine mühendisliği, ölçme işleri, bilgisayar grafikleri, haritacılık, oşinografi ve diğerleri.
Sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant, bir üçgende açılar ve kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi matematiksel olarak ifade edebileceğiniz, özdeşlikler, teoremler ve kurallar aracılığıyla istediğiniz nicelikleri bulabileceğiniz trigonometrinin temel kavramlarıdır.
Bir açının sinüsü, kosinüsü, tanjantı, kotanjantı nedir, dik üçgeni anlamanıza yardımcı olacaktır.
Dik üçgenin kenarlarına ne ad verilir? Doğru, hipotenüs ve bacaklar: hipotenüs, dik açının karşısındaki taraftır (bizim örneğimizde, bu taraf \ (AC \) ); bacaklar kalan iki taraftır \ (AB \) ve \ (BC \) (dik açıya bitişik olanlar), ayrıca bacakları \ (BC \) açısına göre düşünürsek, o zaman bacak \ (AB \) bitişik bacaktır ve \ (BC \) bacak karşı taraftadır. Şimdi şu soruyu cevaplayalım: Bir açının sinüsü, kosinüsü, tanjantı ve kotanjantı nedir?
bir açının sinüsü- bu, karşı (uzak) bacağın hipotenüse oranıdır.
Bizim üçgenimizde:
\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]
bir açının kosinüsü- bu, bitişik (yakın) bacağın hipotenüse oranıdır.
Bizim üçgenimizde:
\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]
açı teğeti- bu, karşı (uzak) bacağın bitişik (yakın) olana oranıdır.
Bizim üçgenimizde:
\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]
bir açının kotanjantı- bu, bitişik (yakın) bacağın karşı (uzak) olana oranıdır.
Bizim üçgenimizde:
\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]
Bu tanımlar gerekli Unutma! Hangi bacağın neye bölüneceğini hatırlamayı kolaylaştırmak için, bunu açıkça anlamanız gerekir. teğet Ve kotanjant sadece bacaklar oturur ve hipotenüs sadece sinüs Ve kosinüs. Ve sonra bir çağrışımlar zinciri oluşturabilirsiniz. Örneğin, bu:
kosinüs→dokunma→dokunma→bitişik;
Kotanjant→dokunma→dokunma→bitişik.
Her şeyden önce, bir üçgenin kenarlarının oranları olarak sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantın bu kenarların uzunluklarına (bir açıda) bağlı olmadığını hatırlamak gerekir. İnanma? Ardından resme bakarak emin olun:
Örneğin, \(\beta \) açısının kosinüsünü ele alalım. Tanım olarak, bir üçgenden \(ABC \) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), ancak \(\beta \) açısının kosinüsünü \(AHI \) üçgeninden hesaplayabiliriz: \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Görüyorsunuz, kenarların uzunlukları farklı ama bir açının kosinüs değeri aynı. Böylece sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant değerleri yalnızca açının büyüklüğüne bağlıdır.
Tanımları anlıyorsanız, devam edin ve düzeltin!
Aşağıdaki şekilde gösterilen \(ABC \) üçgeni için şunu buluruz: \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).
\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(dizi) \)
Peki, anladın mı? O zaman kendiniz deneyin: aynısını \(\beta \) açısı için hesaplayın.
Yanıtlar: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).
Birim (trigonometrik) daire
Derece ve radyan kavramlarını anlayarak, \ (1 \) yarıçapına eşit bir daire düşündük. Böyle bir daire denir Bekar. Trigonometri çalışmasında çok faydalıdır. Bu nedenle, üzerinde biraz daha ayrıntılı olarak duruyoruz.
Gördüğünüz gibi, bu daire Kartezyen koordinat sisteminde inşa edilmiştir. Çemberin yarıçapı bire eşittir, çemberin merkezi orijinde iken, yarıçap vektörünün ilk konumu \(x \) ekseninin pozitif yönü boyunca sabitlenir (örneğimizde bu, yarıçap \(AB \) ).
Daire üzerindeki her nokta iki sayıya karşılık gelir: \(x \) ekseni boyunca koordinat ve \(y \) ekseni boyunca koordinat. Nedir bu koordinat numaraları? Ve genel olarak, eldeki konuyla ne ilgisi var? Bunu yapmak için, dikkate alınan dik açılı üçgeni hatırlayın. Yukarıdaki şekilde iki tam dik üçgen görebilirsiniz. \(ACG \) üçgenini ele alalım. Dikdörtgendir çünkü \(CG \), \(x \) eksenine diktir.
\(ACG \) üçgeninden \(\cos \ \alpha \) nedir? Bu doğru \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Ayrıca, \(AC \)'nin birim çemberin yarıçapı olduğunu biliyoruz, dolayısıyla \(AC=1 \) . Bu değeri kosinüs formülümüzde değiştirin. İşte olanlar:
\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).
Ve \(ACG \) üçgeninden \(\sin \ \alpha \) nedir? Tabii ki \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC) \)! Bu formülde \ (AC \) yarıçapının değerini değiştirin ve şunu elde edin:
\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)
Peki çembere ait olan \(C\) noktasının koordinatlarını söyleyebilir misiniz? Olamaz mı? Peki ya \(\cos \ \alpha \) ve \(\sin \alpha \)'nin sadece sayı olduğunu anlarsanız? \(\cos \alpha \) hangi koordinata karşılık gelir? Tabii ki, koordinat \(x \) ! Ve \(\sin \alpha \) hangi koordinata karşılık gelir? Doğru, \(y \) koordinatı! Yani nokta \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).
O halde \(tg \alpha \) ve \(ctg \alpha \) nedir? Bu doğru, teğet ve kotanjantın uygun tanımlarını kullanalım ve bunu elde edelim. \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).
Ya açı daha büyükse? Burada, örneğin, bu resimdeki gibi:
içinde ne değişti bu örnek? Hadi çözelim. Bunu yapmak için yine dik açılı bir üçgene dönüyoruz. Bir dik üçgen \(((A)_(1))((C)_(1))G \) düşünün : bir açı ( \(\beta \) açısına bitişik olarak). Bir açı için sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantın değeri nedir? \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Bu doğru, trigonometrik fonksiyonların karşılık gelen tanımlarına bağlı kalıyoruz:
\(\begin(dizi)(l)\sin \açı ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \açı ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\açı ((C) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\açı ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1) )G)=\dfrac(x)(y)\end(dizi) \)
Gördüğünüz gibi, açının sinüsünün değeri hala \ (y \) koordinatına karşılık geliyor; açının kosinüsünün değeri - koordinat \ (x \) ; ve karşılık gelen oranlara teğet ve kotanjant değerleri. Böylece, bu ilişkiler yarıçap vektörünün herhangi bir dönüşüne uygulanabilir.
Yarıçap vektörünün başlangıç konumunun \(x \) ekseninin pozitif yönü boyunca olduğundan daha önce bahsedilmişti. Şimdiye kadar bu vektörü saat yönünün tersine döndürdük, peki saat yönünde döndürürsek ne olur? Olağanüstü bir şey yok, ayrıca belirli bir boyutta bir açı elde edeceksiniz, ancak yalnızca negatif olacaktır. Böylece, yarıçap vektörünü saat yönünün tersine döndürürken, pozitif açılar ve saat yönünde döndürürken - olumsuz.
Böylece, yarıçap vektörünün daire etrafındaki tüm dönüşünün \(360()^\circ \) veya \(2\pi \) olduğunu biliyoruz. Yarıçap vektörünü \(390()^\circ \) veya \(-1140()^\circ \) ile döndürmek mümkün müdür? Tabii ki yapabilirsin! İlk durumda, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), böylece yarıçap vektörü bir tam dönüş yapacak ve \(30()^\circ \) veya \(\dfrac(\pi )(6) \) noktasında duracaktır.
İkinci durumda, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \) yani, yarıçap vektörü üç tam tur yapacak ve \(-60()^\circ \) veya \(-\dfrac(\pi )(3) \) konumunda duracaktır.
Böylece, yukarıdaki örneklerden, açıların \(360()^\circ \cdot m \) veya \(2\pi \cdot m \) ile farklı olduğu sonucuna varabiliriz (burada \(m \) herhangi bir tam sayıdır) yarıçap vektörünün aynı konumuna karşılık gelir.
Aşağıdaki şekil \(\beta =-60()^\circ \) açısını göstermektedir. Aynı görüntü köşeye karşılık gelir \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) vesaire. Bu liste süresiz olarak devam ettirilebilir. Tüm bu açılar genel formül ile yazılabilir. \(\beta +360()^\circ \cdot m\) veya \(\beta +2\pi \cdot m \) (burada \(m \) herhangi bir tam sayıdır)
\(\begin(dizi)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(dizi) \)
Şimdi, temel trigonometrik fonksiyonların tanımlarını bilerek ve birim çemberi kullanarak, değerlerin neye eşit olduğunu cevaplamaya çalışın:
\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(dizi) \)
İşte size yardımcı olacak bir birim çember:
Herhangi bir zorluk var mı? O zaman çözelim. Yani şunu biliyoruz:
\(\begin(dizi)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x) )(y).\end(dizi) \)
Buradan açının belirli ölçülerine karşılık gelen noktaların koordinatlarını belirliyoruz. Pekala, sırayla başlayalım: köşe \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) koordinatları \(\left(0;1 \right) \) olan bir noktaya karşılık gelir, dolayısıyla:
\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;
\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;
\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- bulunmuyor;
\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).
Ayrıca, aynı mantığa bağlı kalarak, köşelerin \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) koordinatlı noktalara karşılık gelir \(\left(-1;0 \sağ),\text( )\left(0;-1 \sağ),\text()\left(1;0 \sağ),\text( )\left(0 ;1 \sağ) \), sırasıyla. Bunu bilerek, karşılık gelen noktalardaki trigonometrik fonksiyonların değerlerini belirlemek kolaydır. Önce kendiniz deneyin, sonra cevapları kontrol edin.
Yanıtlar:
\(\displaystyle \sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)
\(\displaystyle \cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =-1 \)
\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- bulunmuyor
\(\sin \ 270()^\circ =-1 \)
\(\cos \ 270()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- bulunmuyor
\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\sin \ 360()^\circ =0 \)
\(\cos \ 360()^\circ =1 \)
\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- bulunmuyor
\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)
\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- bulunmuyor
\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).
Böylece aşağıdaki tabloyu oluşturabiliriz:
Tüm bu değerleri hatırlamanıza gerek yok. Birim çember üzerindeki noktaların koordinatları ile trigonometrik fonksiyonların değerleri arasındaki yazışmayı hatırlamak yeterlidir:
\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Hatırlamanız veya çıktı alabilmeniz gerekiyor!! \) !}
Ve işte açıların trigonometrik fonksiyonlarının değerleri ve \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4) \) aşağıdaki tabloda verildiğini hatırlamanız gerekir:
Korkmanıza gerek yok, şimdi karşılık gelen değerlerin oldukça basit bir şekilde ezberlenmesinin örneklerinden birini göstereceğiz:
Bu yöntemi kullanmak için, üç açı ölçüsünün tümü için sinüs değerlerini hatırlamak çok önemlidir ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3) \)), ayrıca \(30()^\circ \) içindeki açının tanjantının değeri. Bu \(4\) değerlerini bilmek, tüm tabloyu geri yüklemek oldukça kolaydır - kosinüs değerleri oklara göre aktarılır, yani:
\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3) )(2)\ \end(dizi) \)
\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), bunu bilerek, değerleri geri yüklemek mümkündür \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). “\(1 \) ” payı \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) ile eşleşir ve “\(\sqrt(\text(3)) \) ” paydası \ ile eşleşir (\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Kotanjant değerleri şekilde gösterilen oklara göre aktarılır. Bunu anlar ve oklarla şemayı hatırlarsanız, tablodan sadece \(4 \) değerlerini hatırlamanız yeterli olacaktır.
Çember üzerindeki bir noktanın koordinatları
Dairenin merkezinin koordinatlarını, yarıçapını ve dönme açısını bilerek bir daire üzerinde bir nokta (koordinatları) bulmak mümkün müdür? Tabii ki yapabilirsin! Bir noktanın koordinatlarını bulmak için genel bir formül türetelim. Burada, örneğin, böyle bir dairemiz var:
Bize o nokta verildi \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \) dairenin merkezidir. Çemberin yarıçapı \(1,5 \) 'dir. \(O\) noktasının \(\delta \) derece döndürülmesiyle elde edilen \(P\) noktasının koordinatlarını bulmak gerekir.
Şekilden de görüleceği üzere \(P\) noktasının \(x \) koordinatı \(TP=UQ=UK+KQ\) doğru parçasının uzunluğuna karşılık gelmektedir. \ (UK \) segmentinin uzunluğu dairenin merkezinin \ (x \) koordinatına karşılık gelir, yani \ (3 \) 'e eşittir. \(KQ \) segmentinin uzunluğu kosinüs tanımı kullanılarak ifade edilebilir:
\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).
O zaman \(P \) noktası için koordinata sahibiz. \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).
Aynı mantıkla \(P\) noktası için y koordinatının değerini buluyoruz. Böylece,
\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).
Yani içinde Genel görünüm nokta koordinatları aşağıdaki formüllerle belirlenir:
\(\begin(dizi)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(dizi) \), Nerede
\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - dairenin merkezinin koordinatları,
\(r\) - daire yarıçapı,
\(\delta \) - vektör yarıçapının dönüş açısı.
Gördüğünüz gibi, düşündüğümüz birim çember için, merkezin koordinatları sıfır ve yarıçap bire eşit olduğundan, bu formüller önemli ölçüde azaltılmıştır:
\(\begin(dizi)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(dizi) \)
Javascript tarayıcınızda devre dışı.Hesaplama yapabilmek için ActiveX kontrolleri açık olmalıdır!
