Ev › Yorumlar › Bir vektörün ve kendisinin çapraz çarpımı. Koordinatlarla verilen vektörlerin vektörel çarpımı

Bir vektörün ve kendisinin çapraz çarpımı. Koordinatlarla verilen vektörlerin vektörel çarpımı

İngilizce: Wikipedia siteyi daha güvenli hale getiriyor. Gelecekte Wikipedia'ya bağlanamayacak eski bir web tarayıcısı kullanıyorsunuz. Lütfen cihazınızı güncelleyin veya BT yöneticinizle iletişime geçin.

中文: 维基百科正在使使网站网站旧旧旧旧旧联络联络联络联络联络联络联络管理员管理员管理员管理员管理员管理员的的的的的的的的的仅仅仅仅仅仅仅仅仅仅仅仅仅仅仅仅仅仅仅仅仅İngilizce Çeviri

İspanyol: Vikipedi en güvenli sitedir. Gelecekte Vikipedi'ye bağlanamayacak bir web gezgini kullanabilirsiniz. Aygıtınızı etkinleştirin veya bir bilgi yöneticisiyle iletişime geçin. İngilizcede daha büyük ve daha büyük teknikler gerçekleştirilebilir.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

Fransızca: Wikipedia, sitenin güvenliğini artırıyor. Eski bir web gezintisini gerçekleştirmek için kullanabilirsiniz, bu da Wikipédia lorsque ce fait'e bağlanır. Merci de mettre à loutre à apareil or de contacter to administrateur informatique à cette fin. Ek bilgiler artı teknikler ve en son dillerde kullanılabilir.

日本語: ウィキペディアでてますのののの。。。ごご性性性性。。。。。。。。。。。者者者者者者者相談相談相談くださいくださいくださいくださいください。。。。。。。。。。。。。。。。詳しい詳しい詳しい詳しい詳しい詳しい詳しい詳しい詳しい詳しい詳しい詳しい詳しいししで提供しています。

Almanca: Wikipedia, Web Sitesinden Korunabilir. Webbrowser'ı kullanmak, Vikipedi'de daha fazla bilgi edinmenize yardımcı olabilir. Gerät veya IT-Administrator'ı etkinleştirin. Ausführlichere (ve teknik ayrıntılar) Hinweise, İngilizce Dilinde Du unten'i bulur.

İtalyanca: Vikipedi güvenli bir sitedir. Gelecekteki bir Vikipedi'de dereceli bağlantılarda olmayan bir tarayıcı web tarayıcısı kullanın. Tercihen, aygıtınızı ekleyin veya bilişim yönetimiyle iletişime geçin. Basta bas ve İngilizce'de gelişmiş bir ses tekniği ve tekniği sunar.

Magyar: Biztonságosabb bir Wikipedia lesz. Bir patlama, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni ve jövőben. Modern ebb szoftvert vagy, bir depolama alanıyla ilgili bir soruna neden oldu. Alább olvashatod a reszletesebb magyarázatot (angolul).

İsveç: Wikipedia daha fazlasını gör. Vikipedi'yi ve çerçeveyi geliştirmek için tam olarak web sitelerini ziyaret edebilirsiniz. BT yöneticisinden güncelleyin veya iletişim kurun. Bu, bir dilden finns ve bir engelska lingre ned olan teknisk förklaring.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

Güvenli olmayan TLS protokolü sürümleri, özellikle tarayıcı yazılımınızın sitelerimize bağlanmak için kullandığı TLSv1.0 ve TLSv1.1 desteğini kaldırıyoruz. Buna genellikle eski tarayıcılar veya eski Android akıllı telefonlar neden olur. Veya bağlantı güvenliğini gerçekten düşüren kurumsal veya kişisel "Web Güvenliği" yazılımından kaynaklanan parazit olabilir.

Sitelerimize erişmek için web tarayıcınızı yükseltmeniz veya başka bir şekilde bu sorunu düzeltmeniz gerekir. Bu mesaj 1 Ocak 2020 tarihine kadar kalacaktır. Bu tarihten sonra tarayıcınız sunucularımızla bağlantı kuramayacaktır.

Tanım. Bir a vektörünün (çarpan) kendisine eşdoğrusal olmayan bir vektör (çarpan) ile vektörel çarpımı, aşağıdaki gibi oluşturulan üçüncü vektör c'dir (çarpım):

1) modülü, Şekil l'deki paralelkenarın alanına sayısal olarak eşittir. 155), vektörler üzerine inşa edilmiştir, yani bahsedilen paralelkenarın düzlemine dik olan yöne eşittir;

3) bu durumda, c vektörünün yönü (iki olası yön arasından) c vektörlerinin sağ elli bir sistem oluşturacağı şekilde seçilir (§ 110).

atama: veya

Tanıma ek. Vektörler eşdoğrusal ise, şekli (şartlı olarak) bir paralelkenar olarak düşünürsek, sıfır alan atamak doğaldır. Bu yüzden vektör ürünü doğrusal vektörler boş vektöre eşit kabul edilir.

Sıfır vektörü herhangi bir yöne atanabileceğinden, bu kural tanımın 2. ve 3. maddeleriyle çelişmez.

Açıklama 1. "Vektör çarpımı" terimindeki ilk kelime, bir eylemin sonucunun bir vektör olduğunu belirtir (skaler çarpımın aksine; bkz. § 104, açıklama 1).

Örnek 1. Doğru koordinat sisteminin ana vektörlerinin bulunduğu vektör çarpımını bulun (Şek. 156).

1. Ana vektörlerin uzunlukları ölçek birimine eşit olduğu için paralelkenarın (karenin) alanı sayısal olarak bire eşittir. Bu nedenle, vektör çarpımının modülü bire eşittir.

2. Düzleme dik eksen eksen olduğu için, istenen vektör çarpımı k vektörüne doğrusal bir vektördür; ve her ikisinin de modülü 1 olduğundan, gerekli çapraz çarpım ya k ya da -k'dir.

3. Bu iki olası vektörden ilki seçilmelidir, çünkü k vektörleri bir sağ sistem oluşturur (ve vektörler bir sol sistem oluşturur).

Örnek 2. Çapraz çarpımı bulun

Çözüm. Örnek 1'de olduğu gibi, vektörün k veya -k olduğu sonucuna varıyoruz. Ama şimdi -k'yi seçmemiz gerekiyor, çünkü vektörler doğru sistemi oluşturuyor (ve vektörler solu oluşturuyor). Bu yüzden,

Örnek 3 Vektörlerin uzunlukları sırasıyla 80 ve 50 cm'dir ve 30°'lik bir açı oluştururlar. Uzunluk birimi olarak bir metre alarak, vektör çarpımının uzunluğunu bulun a

Çözüm. Vektörler üzerine inşa edilmiş bir paralelkenarın alanı eşittir İstenen vektör çarpımının uzunluğu eşittir

Örnek 4. Uzunluk birimi olarak bir santimetre alarak aynı vektörlerin çapraz çarpımının uzunluğunu bulun.

Çözüm. Vektörler üzerine inşa edilen paralelkenarın alanı, vektör çarpımının uzunluğuna eşit olduğundan 2000 cm'dir, yani

Örnek 3 ve 4'ün karşılaştırılması, vektörün uzunluğunun sadece faktörlerin uzunluklarına değil, aynı zamanda uzunluk birimi seçimine de bağlı olduğunu göstermektedir.

Vektör çarpımının fiziksel anlamı. Vektör çarpımı tarafından temsil edilen birçok fiziksel nicelikten yalnızca kuvvet momentini dikkate alacağız.

A, kuvvetin uygulama noktası olsun O noktasına göre kuvvet momentine vektör ürünü denir.Bu vektör ürününün modülü sayısal olarak paralelkenarın alanına eşittir (Şekil 157), momentin modülü, taban ile yüksekliğin çarpımına eşittir, yani kuvvet ile O noktasından kuvvetin etki ettiği düz çizgiye olan mesafenin çarpımıdır.

Mekanikte, rijit bir cismin dengesi için sadece cisme uygulanan kuvvetleri temsil eden vektörlerin toplamının değil, aynı zamanda kuvvetlerin momentlerinin toplamının da sıfıra eşit olması gerektiği kanıtlanmıştır. Tüm kuvvetlerin aynı düzleme paralel olması durumunda, momentleri temsil eden vektörlerin toplamı, modüllerinin toplanması ve çıkarılması ile değiştirilebilir. Ancak keyfi güç yönleri için böyle bir değiştirme imkansızdır. Buna göre, çapraz çarpım bir sayı olarak değil, tam olarak bir vektör olarak tanımlanır.

bu cevrimici hesap makinesi vektörlerin çapraz çarpımını hesaplar. Ayrıntılı bir çözüm verilir. Vektörlerin çapraz çarpımını hesaplamak için vektörlerin koordinatlarını hücrelere girin ve "Hesapla" düğmesine tıklayın.

Uyarı

Tüm hücreler temizlensin mi?

Kapat Temizle

Veri girişi talimatı. Sayılar tam sayı (örnek: 487, 5, -7623 vb.), ondalık sayı (ör. 67., 102.54 vb.) veya kesir olarak girilir. Kesir a/b şeklinde yazılmalıdır, burada a ve b (b>0) tamsayı veya ondalık sayılardır. Örnekler 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, vb.

Vektörlerin çapraz çarpımı

Vektörlerin vektör çarpımının tanımına geçmeden önce kavramları göz önünde bulundurun. sıralı üçlü vektörler, sol üçlü vektörler, sağ üçlü vektörler.

Tanım 1. Üç vektör denir üçlü sipariş(veya üçlü) bu vektörlerden hangisinin birinci, hangisinin ikinci ve hangisinin üçüncü olduğu belirtilirse.

Kayıt MİA- şu anlama gelir - ilki bir vektördür C, ikincisi vektördür B ve üçüncü vektör A.

Tanım 2. Eş düzlemli olmayan vektörlerin üçlüsü ABC ortak bir başlangıca indirgendiğinde, bu vektörler sırasıyla büyük, bükülmemiş indeks ve orta parmaklar sağ (sol) el.

Tanım 2 başka bir şekilde formüle edilebilir.

Tanım 2. Eş düzlemli olmayan vektörlerin üçlüsü ABC vektör ortak bir orijine indirgendiğinde sağ (sol) olarak adlandırılır C vektörlerle tanımlanan düzlemin diğer tarafında bulunan A Ve B, nereden en kısa dönüş Aİle B saat yönünün tersine (saat yönünde) gerçekleştirilir.

Vektör üçlüsü ABCŞek. 1 sağ ve üçlü ABCŞek. 2 kaldı.

İki üçlü vektör sağ veya sol ise, aynı yönelime sahip oldukları söylenir. Aksi takdirde, zıt yönelimli oldukları söylenir.

Tanım 3. Üç temel vektör bir sağ (sol) üçlüsü oluşturuyorsa, bir Kartezyen veya afin koordinat sistemi sağ (sol) olarak adlandırılır.

Kesinlik için, aşağıda sadece sağ-elli koordinat sistemlerini ele alacağız.

tanım 4. vektör sanatı vektör A vektör başına B vektör denir İle, sembolü ile gösterilir c=[ab] (veya c=[bir, b], veya c=a×b) ve aşağıdaki üç gereksinimi karşılama:

vektör uzunluğu İle vektörlerin uzunluklarının ürününe eşittir A Ve B açının sinüsüne φ onların arasında:

|C|=|[ab]|=|A||B|günah;

(1)

vektör İle vektörlerin her birine ortogonal A Ve B;
vektör C yönlendirildi, böylece üç ABC doğrudur.

Vektörlerin çapraz çarpımı aşağıdaki özelliklere sahiptir:

[ab]=−[ba] (antipermutabilite faktörler);
[(λa)B]=λ [ab] (uyumluluk sayısal faktöre göre);
[(a+b)C]=[AC]+[BC] (dağıtım vektörlerin toplamına göre);
[aa]=0 herhangi bir vektör için A.

Vektörlerin çapraz çarpımının geometrik özellikleri

Teorem 1. İki vektörün eşdoğrusal olması için vektör çarpımlarının sıfıra eşit olması gerekli ve yeterlidir.

Kanıt. gereklilik. Vektörlere izin ver A Ve B doğrusal. O zaman aralarındaki açı 0 veya 180°'dir ve günah=sin180=günah 0=0. Bu nedenle, ifade (1) dikkate alındığında, vektörün uzunluğu C sıfıra eşittir. Daha sonra C boş vektör.

Yeterlilik Vektörlerin çapraz çarpımı olsun A Ve B sıfıra git: [ ab]=0. vektörlerin olduğunu kanıtlayalım. A Ve B doğrusal. Eğer vektörlerden en az biri A Ve B sıfır, o zaman bu vektörler eşdoğrusaldır (çünkü sıfır vektörü belirsiz bir yöne sahiptir ve herhangi bir vektöre eşdoğrusal olarak kabul edilebilir).

Eğer her iki vektör A Ve B sıfırdan farklı, sonra | A|>0, |B|>0. Sonra [ ab]=0 ve (1)'den şunu takip eder günah= 0. dolayısıyla vektörler A Ve B doğrusal.

Teorem kanıtlanmıştır.

Teorem 2. Vektör ürününün uzunluğu (modülü) [ ab] alana eşittir S ortak bir kökene indirgenmiş vektörler üzerine inşa edilmiş paralelkenar A Ve B.

Kanıt. Bildiğiniz gibi, bir paralelkenarın alanı, bu paralelkenarın bitişik kenarlarının ürününe ve aralarındaki açının sinüsüne eşittir. Buradan:

Daha sonra bu vektörlerin çapraz çarpımı şu şekildedir:

Determinantı ilk satırın öğelerine genişleterek vektörün ayrışmasını elde ederiz. a×b temel ben, j, k, formül (3)'e eşdeğerdir.

Teoremin Kanıtı 3. Olası tüm temel vektör çiftlerini oluşturun ben, j, k ve vektör çarpımlarını hesaplayın. Temel vektörlerin karşılıklı ortogonal olması, dik üçlü oluşturması ve birim uzunluğa sahip olması dikkate alınmalıdır (başka bir deyişle, şöyle kabul edebiliriz). Ben={1, 0, 0}, J={0, 1, 0}, k=(0, 0, 1)). O zaman elimizde:

Son eşitlik ve ilişkilerden (4), şunu elde ederiz:

İlk satırı temel vektörler olan 3×3'lük bir matris oluşturun ben, j, k, ve kalan satırlar vektör öğeleriyle doldurulur A Ve B.

Bir vektör çarpımı kavramını vermeden önce, a → , b → , c → vektörlerinin sıralı üçlüsünün üç boyutlu uzayda yönelimi sorusuna dönelim.

Başlangıç olarak a → , b → , c → vektörlerini bir noktadan ayıralım. a → , b → , c → üçlüsünün yönü, c → vektörünün yönüne bağlı olarak sağ veya soldur. a → vektörünün sonundan b → vektörüne en kısa dönüşün yapıldığı yönden c → , a → , b → , c → üçlüsünün formu belirlenir.

En kısa dönüş saat yönünün tersine ise, a → , b → , c → vektörlerinin üçlüsü denir Sağ saat yönünde ise - sol.

Ardından, doğrusal olmayan iki vektör a → ve b → alın. O halde A noktasından A B → = a → ve AC → = b → vektörlerini erteleyelim. Hem AB → hem de AC → 'ye aynı anda dik olan bir A D → = c → vektörü oluşturalım. Böylece, AD → = c → vektörünü oluştururken, ona bir yön veya ters yön vererek iki şey yapabiliriz (şekle bakın).

a → , b → , c → vektörlerinin sıralı üçlüsü, öğrendiğimiz gibi, vektörün yönüne bağlı olarak sağ veya sol olabilir.

Yukarıdan, bir vektör çarpımının tanımını sunabiliriz. Bu tanımüç boyutlu uzayın dikdörtgen koordinat sisteminde tanımlanan iki vektör için verilmiştir.

tanım 1

İki vektörün vektör ürünü a → ve b → üç boyutlu uzayın dikdörtgen koordinat sisteminde verilen böyle bir vektöre şöyle diyeceğiz:

a → ve b → vektörleri eşdoğrusal ise, sıfır olacaktır;
hem a → vektörüne hem de b → vektörüne dik olacaktır, yani ∠ bir → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
uzunluğu şu formülle belirlenir: c → = a → b → sin ∠ a → , b → ;
a → , b → , c → vektörlerinin üçlüsü, verilen koordinat sistemiyle aynı oryantasyona sahiptir.

a → ve b → vektörlerinin çapraz çarpımı aşağıdaki gösterime sahiptir: a → × b → .

Çapraz ürün koordinatları

Herhangi bir vektörün koordinat sisteminde belirli koordinatları olduğundan, vektör çarpımının ikinci bir tanımını yapmak mümkündür; bu, vektörlerin verilen koordinatlarından koordinatlarını bulmanızı sağlar.

Tanım 2

Üç boyutlu uzayın dikdörtgen koordinat sisteminde iki vektörün vektör çarpımı a → = (a x ; a y ; a z) ve b → = (b x ; b y ; bz) c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , burada i → , j → , k → koordinat vektörleridir.

Vektör çarpımı, üçüncü dereceden bir kare matrisin determinantı olarak temsil edilebilir; burada birinci sıra orta vektörler i → , j → , k → , ikinci sıra vektörün koordinatlarını içerir a → , ve üçüncü sıra belirli bir dikdörtgen koordinat sisteminde b → vektörünün koordinatlarıdır, bu matris determinantı şuna benzer: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Bu determinantı ilk satırın elemanları üzerine genişleterek eşitliği elde ederiz: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z by y b z ben → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b y k → = = a → × b → = ( a y b z - a z b y) ben → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Çapraz ürün özellikleri

Koordinatlardaki vektör ürününün, c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y bz matrisinin determinantı olarak temsil edildiği bilinmektedir. matris belirleyici özellikler aşağıdaki vektörel ürün özellikleri:

değişmelilik a → × b → = - b → × a → ;
dağılım a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → veya a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
ilişkilendirme λ a → × b → = λ a → × b → veya a → × (λ b →) = λ a → × b → , burada λ keyfi bir gerçek sayıdır.

Bu özelliklerin karmaşık kanıtları yoktur.

Örneğin, bir vektör çarpımının değişme karşıtı özelliğini ispatlayabiliriz.

Karşıt değişmeliliğin kanıtı

Tanım olarak, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z ve b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . Ve matrisin iki satırı değiştirilirse, matrisin determinantının değeri tersine değişmelidir, bu nedenle a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , bu vektör çarpımının ters değişmeliliğini kanıtlar.

Vektör Çarpımı - Örnekler ve Çözümler

Çoğu durumda, üç tür görev vardır.

Birinci tür problemlerde, genellikle iki vektörün uzunlukları ve aralarındaki açı verilir, ancak çapraz çarpımın uzunluğunu bulmanız gerekir. Bu durumda, aşağıdaki formülü kullanın c → = a → b → sin ∠ a → , b → .

örnek 1

a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4 biliniyorsa a → ve b → vektörlerinin çapraz çarpımının uzunluğunu bulun.

Çözüm

a → ve b → vektörlerinin vektörel çarpımının uzunluğunun tanımını kullanarak şu sorunu çözüyoruz: a → × b → = a → b → sin ∠ a → , b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2 .

Cevap: 15 2 2 .

İkinci tür görevler, vektörlerin koordinatlarıyla bağlantılıdır, bir vektör ürünü, uzunluğu vb. içerirler. bilinen koordinatlar üzerinden arandı verilen vektörler bir → = (bir x ; bir y ; bir z) Ve b → = (b x ; b y ; b z) .

Bu tür görevler için, görevler için birçok seçeneği çözebilirsiniz. Örneğin, a → ve b → vektörlerinin koordinatları değil, ancak formun koordinat vektörlerindeki açılımları b → = b x ben → + b y j → + b z k → ve c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x by y - a y b x) k → , veya a → ve b → vektörleri koordinatlarıyla verilebilir. başlangıç ve bitiş noktaları.

Aşağıdaki örnekleri göz önünde bulundurun.

Örnek 2

İki vektör dikdörtgen bir koordinat sisteminde ayarlanır a → = (2 ; 1 ; - 3) , b → = (0 ; - 1 ; 1) . Vektörel çarpımlarını bulun.

Çözüm

İkinci tanıma göre, verilen koordinatlarda iki vektörün vektör çarpımını buluyoruz: a → × b → = (a y bz - a z b y) i → + (a z bx - a x bz) j → + (a x b y - a y bx) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) ben → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 ben → - 2 j → - 2k → .

Çapraz çarpımı matris determinantı cinsinden yazarsak, o zaman çözüm bu örnekşuna benzer: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 ben → - 2 j → - 2 k → .

Cevap: a → × b → = - 2 ben → - 2 j → - 2 k → .

Örnek 3

Dikdörtgen bir Kartezyen koordinat sisteminin i → - j → ve i → + j → + k → vektörlerinin çapraz çarpımının uzunluğunu bulun; burada i → , j → , k → - orts.

Çözüm

İlk olarak, verilen vektörel çarpımın i → - j → × i → + j → + k → koordinatlarını verilen dikdörtgen koordinat sisteminde bulalım.

i → - j → ve i → + j → + k → vektörlerinin sırasıyla (1 ; - 1 ; 0) ve (1 ; 1 ; 1) koordinatlarına sahip olduğu bilinmektedir. Matris determinantını kullanarak vektör çarpımının uzunluğunu bulun, sonra i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Bu nedenle, i → - j → × i → + j → + k → vektör çarpımı verilen koordinat sisteminde (- 1 ; - 1 ; 2) koordinatlara sahiptir.

Vektör çarpımının uzunluğunu formülle buluruz (vektörün uzunluğunu bulma bölümüne bakın): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

Cevap: ben → - j → × ben → + j → + k → = 6 . .

Örnek 4

A (1 , 0 , 1) , B (0 , 2 , 3) , C (1 , 4 , 2) üç noktasının koordinatları dikdörtgen bir Kartezyen koordinat sisteminde verilmiştir. Aynı anda A B → ve AC →'ye dik bir vektör bulun.

Çözüm

A B → ve AC → vektörleri sırasıyla (- 1 ; 2 ; 2) ve (0 ; 4 ; 1) aşağıdaki koordinatlara sahiptir. A B → ve A C → vektörlerinin vektör çarpımını bulduktan sonra, bunun hem AB → hem de A C → vektörlerine tanım gereği dik bir vektör olduğu, yani problemimizin çözümü olduğu açıktır. Bul A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 ben → + j → - 4 k → .

Cevap: - 6 ben → + j → - 4 k → . dikey vektörlerden biridir.

Üçüncü tip problemler, vektörlerin vektör çarpımının özelliklerini kullanmaya odaklanır. Hangisini uyguladıktan sonra, verilen soruna bir çözüm elde edeceğiz.

Örnek 5

a → ve b → vektörleri diktir ve uzunlukları sırasıyla 3 ve 4'tür. 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → çapraz çarpımının uzunluğunu bulun + 3 bir → × - 2 b → + - b → × bir → + - b → × - 2 b → .

Çözüm

Vektörel çarpımın dağılım özelliği ile 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 yazabiliriz. a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

İlişkilendirilebilirlik özelliği ile, son ifadedeki vektör çarpımlarının işaretinin ötesindeki sayısal katsayıları çıkarıyoruz: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

a → × a → ve b → × b → vektör ürünleri 0'a eşittir, çünkü a → × a → = a → a → sin 0 = 0 ve b → × b → = b → b → sin 0 = 0 , o zaman 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a → . .

Vektör çarpımının ters değişmeliliğinden şu sonuç çıkar - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b → . .

Vektör çarpımının özelliklerini kullanarak, 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → eşitliğini elde ederiz.

Koşullu olarak, a → ve b → vektörleri diktir, yani aralarındaki açı eşittir π 2 . Şimdi geriye kalan tek şey, bulunan değerleri karşılık gelen formüllerle değiştirmektir: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → günah (a →, b →) = 5 3 4 sin π 2 = 60.

Cevap: 3 bir → - b → × bir → - 2 b → = 60 .

Tanım gereği vektörlerin çapraz çarpımının uzunluğu şu şekildedir: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Zaten bilindiği için (okul kursundan), bir üçgenin alanı, iki kenarının uzunluklarının çarpımının yarısına ve bu taraflar arasındaki açının sinüsüne eşittir. Bu nedenle, vektör ürününün uzunluğu bir paralelkenarın alanına eşittir - iki katına çıkmış bir üçgen, yani a → ve b → vektörleri biçimindeki kenarların çarpımı , bir noktadan sinüs tarafından atılır sin ∠ a → , b → .

Bu vektör çarpımının geometrik anlamıdır.

Vektör ürününün fiziksel anlamı

Fiziğin dallarından biri olan mekanikte vektörel çarpım sayesinde uzayda bir noktaya göre kuvvet momentini belirleyebilirsiniz.

Tanım 3

A noktasına göre B noktasına uygulanan F → kuvveti momenti altında, aşağıdaki A B → × F → vektör ürününü anlayacağız.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

nokta çarpım özellikleri

Vektörlerin iç çarpımı, tanımı, özellikleri

Vektörler üzerinde doğrusal işlemler.

Vektörler, temel kavramlar, tanımlar, üzerlerinde doğrusal işlemler

Düzlemdeki bir vektör, noktalarının sıralı bir çiftidir, birinci nokta vektörün başlangıcı ve ikinci nokta - vektörün sonu olarak adlandırılır.

İki vektör, eşit ve eş yönlü ise eşit olarak adlandırılır.

Aynı doğru üzerinde bulunan vektörler, bu doğru üzerinde olmayan aynı vektörün bazılarıyla eş yönlü iseler eş yönlü olarak adlandırılırlar.

Aynı doğru üzerinde veya paralel doğrular üzerinde bulunan vektörlere eşdoğrusal, eşdoğrusal ancak eş yönlü olmayan vektörlere ters yönlü denir.

Dik doğrular üzerinde uzanan vektörlere ortogonal denir.

Tanım 5.4. toplam a+b vektörler A Ve B vektörün başından gelen vektör denir A vektörün sonuna kadar B , eğer vektörün başlangıcı ise B vektörün sonu ile çakışıyor A .

Tanım 5.5. fark bir - b vektörler A Ve B böyle bir vektör denir İle , hangi vektör ile birlikte B bir vektör verir A .

Tanım 5.6. işk A vektör A sayı başına k vektör denir B , doğrusal vektör A modülüne eşit olan | k||A | ve yön ile aynı olan bir yön A de k>0 ve karşıt A de k<0.

Bir vektörün bir sayı ile çarpılmasının özellikleri:

Mülk 1. k(a+b ) = k A+k B.

Mülk 2. (k+m)A = k A+ m A.

Mülk 3. k(m A) = (km)A .

Sonuçlar. sıfır olmayan vektörler ise A Ve B eşdoğrusaldır, o zaman bir sayı vardır k, Ne b= k A.

Sıfır olmayan iki vektörün skaler çarpımı A Ve B bu vektörlerin uzunluklarının ve aralarındaki φ açısının kosinüsünün çarpımına eşit bir sayı (skaler) olarak adlandırılır. Skaler çarpım, örneğin aşağıdaki gibi çeşitli şekillerde ifade edilebilir: ab, A · B, (A , B), (A · B). Yani iç çarpım:

A · B = |A| · | B| çünkü φ

Vektörlerden en az biri sıfıra eşitse, skaler çarpım sıfıra eşittir.

permütasyon özelliği: A · B = B · A(skaler çarpım, faktörlerin permütasyonundan değişmez);

dağıtım özelliği: A · ( B · C) = (A · B) · C(sonuç, çarpma sırasına bağlı değildir);

Kombinasyon özelliği (skaler faktöre göre): (λ A) · B = λ ( A · B).

Ortogonallik özelliği (diklik): eğer vektör A Ve B sıfır olmayan, o zaman iç çarpımları yalnızca bu vektörler ortogonal olduğunda (birbirine dik) sıfırdır. A ┴ B;

Kare özellik: A · A = A 2 = |A| 2 (bir vektörün kendisiyle skaler çarpımı, modülünün karesine eşittir);

Eğer vektörlerin koordinatları A=(x 1 , y 1 , z 1 ) ve B=(x 2 , y 2 , z 2 ), o zaman skaler çarpım A · B= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 .

Vektör tutan vektörler. Tanım: İki vektörün vektör ürünüdür ve aşağıdakiler için bir vektör olarak anlaşılır:

Modül, bu vektörler üzerine inşa edilen paralelkenarın alanına eşittir, yani. , vektörler arasındaki açı nerede ve

Bu vektör, çarpılmış vektörlere diktir, yani

Vektörler doğrusal değilse, vektörlerin sağ üçlüsünü oluştururlar.

Çapraz ürün özellikleri:

1. Faktörlerin sırası değiştirildiğinde, vektör çarpımı modülü koruyarak işaretini tersine değiştirir, yani

2 .Vektör kare sıfır vektöre eşittir, yani

3 .Skaler faktör, vektör çarpımının işaretinden çıkarılabilir, yani.

4 .Her üç vektör için eşitlik

5 .İki vektörün eşdoğrusallığı için gerekli ve yeterli koşul ve :