Головна › Паливна система › Як знайти найменше значення функції рівняння. Найбільше та найменше значення функції двох змінних у замкнутій області

Як знайти найменше значення функції рівняння. Найбільше та найменше значення функції двох змінних у замкнутій області

Мініатюрне і досить просте завдання з розряду тих, які служать рятівним колом студенту, що плаває. На природі сонне царство середини липня, тому саме час влаштуватися з ноутбуком на пляжі. Рано-вранці заграв сонячний зайчиктеорії, щоб незабаром сфокусуватися на практиці, яка, незважаючи на заявлену легкість, містить уламки скла в піску. У зв'язку з цим рекомендую сумлінно розглянути нечисленні приклади цієї сторінки. Для вирішення практичних завдань необхідно вміти знаходити похідніта розуміти матеріал статті Інтервали монотонності та екстремуми функції.

Спочатку коротко про головне. На уроці про безперервності функціїя наводив визначення безперервності у точці та безперервності на інтервалі. Зразково-показова поведінка функції на відрізку формулюється схожим чином. Функція безперервна на відрізку якщо:

1) вона безперервна на інтервалі;
2) безперервна у точці справаі в точці зліва.

У другому пункті мова зайшла про так звану односторонньої безперервностіфункції у точці. Існує кілька підходів до її визначення, але я дотримуватимуся розпочатої раніше лінії:

Функція безперервна у точці справа, якщо вона визначена в цій точці та її правостороння межа збігається зі значенням функції у цій точці: . Вона ж безперервна у точці зліва, якщо визначена в даній точці та її лівостороння межа дорівнює значенню у цій точці:

Уявіть, що зелені крапки – це цвяхи, на яких закріплена чарівна гумка:

Подумки візьміть червону лінію до рук. Очевидно, що як далеко ми не розтягували графік вгору і вниз (вздовж осі), функція все одно залишиться обмеженою– огорожу зверху, огорожу знизу, і наш виріб пасеться в загоні. Таким чином, безперервна на відрізку функція обмежена на ньому. У курсі матаналізу цей начебто простий факт констатується і суворо доводиться першою теоремою Вейєрштраса.…Багато дратує, що в математиці нудно обґрунтовуються елементарні твердження, однак у цьому є важливий сенс. Припустимо, якийсь житель махрового середньовіччя витягував графік у небо поза видимості ось це вставляло. До винаходу телескопа обмеженість функції у космосі була зовсім очевидна! Справді, звідки ви знаєте, що на нас чекає за обрієм? Адже колись і Земля вважалася плоскою, тому сьогодні навіть звичайна телепортація потребує доказів.

Згідно другий теоремі Вейєрштраса, безперервна на відрізкуфункція досягає своєї точної верхньої граніі своєю точної нижньої грані .

Число також називають максимальним значенням функції на відрізкуі позначають через , а число – мінімальним значенням функції на відрізкуз позначкою .

У нашому випадку:

Примітка : у теорії поширені записи .

Грубо кажучи, найбільше значеннязнаходиться там, де сама висока точкаграфіка, а найменше – де найнижча точка.

Важливо!Як уже загострювалася увага у статті про екстремумах функції, найбільше значення функціїі найменше значення функції – НЕ ТЕ Ж САМЕ, що максимум функціїі мінімум функції. Так, у прикладі число є мінімумом функції, але не мінімальним значенням.

До речі, а що відбувається поза відрізком? Та хоч потоп, у контексті завдання це нас зовсім не цікавить. Завдання передбачає лише знаходження двох чисел і все!

Більше того, рішення чисто аналітичне, отже, креслення робити не треба!

Алгоритм лежить на поверхні та напрошується з наведеного малюнка:

1) Знаходимо значення функції у критичних точках, які належать даному відрізку.

Ловіть ще одну плюшку: тут відпадає необхідність перевіряти достатню умову екстремуму, оскільки, щойно було показано, наявність мінімуму або максимуму ще не гарантуєщо там мінімальне або максимальне значення. Демонстраційна функція досягає максимуму і волею долі це число є найбільшим значенням функції на відрізку. Але, зрозуміло, такий збіг має місце далеко не завжди.

Отже, на першому кроці швидше і простіше обчислити значення функції в критичних точках, що належать відрізку, не заморочуючись їсти в них екстремуми чи ні.

2) Обчислюємо значення функції кінцях відрізка.

3) Серед знайдених у 1-му та 2-му пунктах значень функції вибираємо найменше та найменше велике число, записуємо відповідь.

Сідаємо на берег синього моря і б'ємо п'ятами по мілководді:

Приклад 1

Знайти найбільше та найменше значенняфункції на відрізку

Рішення:
1) Обчислимо значення функції у критичних точках, що належать даному відрізку:

Обчислимо значення функції у другій критичній точці:

2) Обчислимо значення функції на кінцях відрізка:

3) «Жирні» результати отримані з експонентами та логарифмами, що суттєво ускладнює їх порівняння. Тому озброїмося калькулятором або Екселем і обчислимо наближені значення, не забуваючи, що :

Ось тепер все зрозуміло.

Відповідь:

Дробно-раціональний екземпляр для самостійного вирішення:

Приклад 6

Знайти максимальне та мінімальне значення функції на відрізку

Найбільше (найменше) значення функції – це найбільше (маленьке) значення ординати, що приймається, на аналізованому інтервалі.

Щоб знайти найбільше чи найменше значення функції, необхідно:

Перевірити, які стаціонарні точки входять у заданий відрізок.
Обчислити значення функції на кінцях відрізка та в стаціонарних точках з п.3
Вибрати з отриманих результатів найбільше чи найменше значення.

Щоб знайти точки максимуму чи мінімуму необхідно:

Знайти похідну функції $f"(х)$
Знайти стаціонарні точки, розв'язавши рівняння $f"(х)=0$
Розкласти похідну функції на множники.
Накреслити координатну пряму, розставити на ній стаціонарні точки і визначити похідні знаки в отриманих інтервалах, користуючись записом п.3.
Знайти точки максимуму чи мінімуму за правилом: якщо в точці похідна змінює знак із плюсу на мінус, то це буде точка максимуму (якщо з мінуса на плюс, то це буде точка мінімуму). На практиці зручно використовувати зображення стрілок на проміжках: на проміжку, де позитивна похідна, стрілка малюється вгору і навпаки.

Таблиця похідних деяких елементарних функцій:

Функція	Похідна
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^n, n∈N$	$nx^(n-1), n∈N$
$(1)/(x)$	$-(1)/(x^2)$
$(1)/x(^n), n∈N$	$-(n)/(x^(n+1)), n∈N$
$√^n(x), n∈N$	$(1)/(n√^n(x^(n-1)), n∈N$
$sinx$	$cosx$
$cosx$	$-sinx$
$tgx$	$(1)/(cos^2x)$
$ctgx$	$-(1)/(sin^2x)$
$cos^2x$	$-sin2x$
$sin^2x$	$sin2x$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^xlna$
$lnx$	$(1)/(x)$
$log_(a)x$	$(1)/(xlna)$

Основні правила диференціювання

1. Похідна суми та різниці дорівнює похідній кожного доданку

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

Знайти похідну функції $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$

Похідна суми та різниці дорівнює похідній кожного доданку

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$

2. Похідна робота.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

Знайти похідну $f(x)=4x∙cosx$

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. Похідна приватного

$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$

Знайти похідну $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$

4. Похідна складної функції дорівнює добутку похідної зовнішньої функції на похідну внутрішньої функції

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

Знайдіть точку мінімуму функції $y=2x-ln⁡(x+11)+4$

1. Знайдемо ОДЗ функції: $х+11>0; х>-11$

2. Знайдемо похідну функції $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$

3. Знайдемо стаціонарні точки, прирівнявши похідну до нуля

$(2x+21)/(x+11)=0$

Дроб дорівнює нулю якщо чисельник дорівнює нулю, а знаменник не дорівнює нулю

$2x+21=0; x≠-11$

4. Накреслимо координатну пряму, розставимо на ній стаціонарні точки та визначимо знаки похідної в отриманих інтервалах. Для цього підставимо похідну будь-яке число з крайньої правої області, наприклад, нуль.

$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$

5. У точці мінімуму похідна змінює знак із мінуса на плюс, отже, точка $-10,5$ - це точка мінімуму.

Відповідь: $-10,5 $

Знайдіть найбільше значення функції $y=6x^5-90x^3-5$ на відрізку $[-5;1]$

1. Знайдемо похідну функції $y′=30x^4-270x^2$

2. Прирівняємо похідну до нуля та знайдемо стаціонарні точки

$30x^4-270x^2=0$

Винесемо загальний множник $30x^2$ за дужки

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(х-3)(х+3)=0$

Прирівняємо кожен множник до нуля

$ x ^ 2 = 0; х-3 = 0; х +3 = 0 $

$х=0;х=3;х=-3$

3. Виберемо стаціонарні точки, що належать заданому відрізку $[-5;1]$

Нам підходять стаціонарні точки $х=0$ та $х=-3$

4. Обчислимо значення функції на кінцях відрізка та в стаціонарних точках з п.3

Що таке екстремум функції та яка необхідна умова екстремуму?

Екстремумом функції називається максимум і мінімум функції.

Необхідна умова максимуму і мінімуму (екстремуму) функції таке: якщо функція f(x) має екстремум у точці х = а, то цій точці похідна або дорівнює нулю, або нескінченна, або немає.

Ця умова необхідна, але не достатня. Похідна в точці х = а може звертатися в нуль, у нескінченність або не існувати без того, щоб функція мала екстремум у цій точці.

Яка достатня умова екстремуму функції (максимум або мінімум)?

Перша умова:

Якщо в достатній близькості від точки х = а похідна f? максимум

Якщо в достатній близькості від точки х = а похідна f? мінімумза умови, що функція f(x) тут безперервна.

Натомість можна скористатися другою достатньою умовою екстремуму функції:

Нехай у точці х = а перша похідна f?(x) перетворюється на нуль; якщо у своїй друга похідна f??(а) негативна, то функція f(x) має у точці x = a максимум, якщо позитивна - то мінімум.

Що таке критична точка функції та як її знайти?

Це значення аргументу функції, у якому функція має екстремум (тобто максимум чи мінімум). Щоб його знайти, потрібно знайти похіднуфункції f?(x) і, прирівнявши її до нуля, вирішити рівняння f?(x) = 0. Коріння цього рівняння, і навіть ті точки, у яких немає похідна цієї функції, є критичними точками, т. е. значеннями аргументу, у яких може бути екстремум. Їх можна легко визначити, глянувши на графік похідної: нас цікавлять ті значення аргументу, за яких графік функції перетинає вісь абсцис (вісь Ох) і ті, за яких графік зазнає розривів.

Наприклад знайдемо екстремум параболи.

Функція y(x) = 3x2 + 2x – 50.

Похідна функції: y? (x) = 6x + 2

Вирішуємо рівняння: y? (x) = 0

6х + 2 = 0, 6х = -2, х = -2/6 = -1/3

У даному випадкукритична точка – це х0=-1/3. Саме при цьому значенні аргументу функція має екстремум. Щоб його знайти, підставляємо для функції замість «х» знайдене число:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Як визначити максимум і мінімум функції, тобто. її найбільше та найменше значення?

Якщо знак похідної під час переходу через критичну точку х0 змінюється з «плюсу» на «мінус», то х0 є точка максимуму; якщо ж знак похідної змінюється з мінуса на плюс, то х0 є точка мінімуму; якщо знак не змінюється, то у точці х0 ні максимуму, ні мінімуму немає.

Для розглянутого прикладу:

Беремо довільне значення аргументу зліва від критичної точки: х = -1

При х = -1 значення похідної буде у? (-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (тобто знак - "мінус").

Тепер беремо довільне значення аргументу праворуч від критичної точки: х = 1

При х = 1 значення похідної буде у (1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (тобто знак - плюс).

Як бачимо, похідна під час переходу через критичну точку змінила знак із мінуса на плюс. Отже, за критичного значення х0 ми маємо точку мінімуму.

Найбільше та найменше значення функції на інтервалі(на відрізку) знаходять за такою ж процедурою тільки з урахуванням того, що, можливо, не всі критичні точки лежатимуть усередині зазначеного інтервалу. Ті критичні точки, які перебувають за межею інтервалу, слід виключити з розгляду. Якщо всередині інтервалу знаходиться лише одна критична точка – у ній буде або максимум, або мінімум. У цьому випадку для визначення найбільшого та найменшого значень функції враховуємо також значення функції на кінцях інтервалу.

Наприклад, знайдемо найбільше та найменше значення функції

y(x) = 3sin(x) - 0,5х

на інтервалах:

Отже, похідна функції -

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Вирішуємо рівняння 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

х = ± arccos (0,16667) + 2πk.

Знаходимо критичні точки на інтервалі [-9; 9]:

х = arccos (0,16667) - 2π * 2 = -11,163 (не входить в інтервал)

х = -arccos (0,16667) - 2π * 1 = -7,687

х = arccos (0,16667) - 2π * 1 = -4,88

x = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403

x = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

x = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

x = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

х = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (не входить до інтервалу)

Знаходимо значення функції при критичних значеннях аргументу:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Видно, що на інтервалі [-9; 9] найбільше значення функція має за x = -4,88:

x = -4,88, у = 5,398,

а найменше – при х = 4,88:

x = 4,88, у = -5,398.

На інтервалі [-6; -3] маємо лише одну критичну точку: х = -4,88. Значення функції при х = -4,88 дорівнює у = 5,398.

Знаходимо значення функції на кінцях інтервалу:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

На інтервалі [-6; -3] маємо найбільше значення функції

у = 5,398 при x = -4,88

найменше значення -

у = 1,077 при x = -3

Як знайти точки перегину графіка функції та визначити сторони опуклості та увігнутості?

Щоб знайти всі точки перегину лінії y = f(x), треба знайти другу похідну, прирівняти її до нуля (вирішити рівняння) і випробувати всі значення х, для яких друга похідна дорівнює нулю, нескінченна або не існує. Якщо при переході через одне з цих значень друга похідна змінює знак, графік функції має в цій точці перегин. Якщо ж не змінює, то перегину немає.

Коріння рівняння f? (x) = 0, а також можливі точки розриву функції та другої похідної розбивають область визначення функції на ряд інтервалів. Випуклість на кожному їх інтервалі визначається знаком другої похідної. Якщо друга похідна в точці на досліджуваному інтервалі позитивна, лінія y = f(x) звернена тут увігнутістю догори, і якщо негативна - то донизу.

Як знайти екстремуми функції двох змінних?

Щоб знайти екстремуми функції f(x,y), що диференціюється в області її завдання, потрібно:

1) знайти критичні точки, а для цього вирішити систему рівнянь

fх? (x, y) = 0, f? (x, y) = 0

2) для кожної критичної точки Р0(a;b) дослідити, чи залишається незмінним знак різниці

всім точок (х;у), досить близьких до Р0. Якщо різницю зберігає позитивний знак, то точці Р0 маємо мінімум, якщо негативний - то максимум. Якщо різницю не зберігає знака, то точці Р0 екстремуму немає.

Аналогічно визначають екстремуми функції за більшої кількості аргументів.

Про що мультфільм «Шрек назавжди»
Мультфільм: «Шрек назавжди» Рік випуску: 2010 Прем'єра (РФ): 20 травня 2010 р. Країна: США Режисер: Майкл Пітчел Сценарій: Джош Клауснер, Даррен Лемке Жанр: сімейна комедія, фентезі, пригоди Офіційний сайт: www. Сюжет муль

Чи можна здавати кров під час менструації
Лікарі не радять здавати кров під час місячних, т.к. втрати крові, хоч і не в значній кількості, загрожують зниженням рівня гемоглобіну та погіршенням самопочуття жінки. Під час процедури здачі крові ситуація із самопочуттям може загостритись аж до відкриття кровотечі. Тому жінкам слід утриматись від донації крові під час менструацій. І вже на 5-й день після їх закінчення

Скільки ккал/година витрачається під час миття підлоги
Види фізичної активностіВитрата енергії, ккал/год Приготування їжі 80 Одягання 30 Водіння автомобіля 50 Витирання пилу 80 Їжа 30 Робота в саду 135 Очищення білизни 45 Прибирання ліжка 130 Ходіння по магазинах 80 Сидяча робота 75 Колка дров 300 Миття підлог 10

Що означає слово "шахрай"
Шахрай - це злодій, що займається дрібними крадіжками, або шахрай людина, схильна до шахрайських витівок. Підтвердження цього визначення міститься в етимологічному словнику Крилова, згідно з яким слово «шахрай» утворено від слова «жуль» (злодій, шахрай), спорідненого дієслову

Як називається остання опублікована розповідь братів Стругацьких
Невелика розповідьАркадія та Бориса Стругацьких "До питання про циклотацію" був вперше опублікований у квітні 2008 року в альманасі фантастики "Полудень. XXI століття" (додаток до журналу "Навколо світу", видається під редакцією Бориса Стругацького). Публікація була присвячена 75-річчю Бориса Стругацького.

Де можна почитати оповідання учасників програми Work And Travel USA
Work and Travel USA (працюй та подорожуй у США) – популярна програма студентського обміну, за якою можна провести літо в Америці, легально працюючи у сфері обслуговування та подорожуючи. Історія програми Work & Travel входить до програми міжурядових обмінів Cultural Exchange Pro

Юшка. Кулінарно-історична довідка Протягом більш як двох з половиною століть словом «вуха» позначаються супи або відвар зі свіжої риби. Але був час, коли це слово тлумачилося ширше. Їм позначали суп — не лише рибний, а й м'ясний, гороховий і навіть солодкий. Так в історичному документі — «

Інформаційно-рекрутингові портали Superjob.ru - рекрутинговий портал Superjob.ru російському ринкуонлайн-рекрутменту з 2000 року і є лідером серед ресурсів, які пропонують пошук роботи та персоналу. Щодня до бази даних сайту додається понад 80 000 резюме фахівців та понад 10 000 вакансій.

Що таке мотивація
Визначення мотивації Мотивація (від латів. moveo - рухаю) - спонукання до дії; динамічний процес фізіологічного та психологічного плану, керуючий поведінкою людини, що визначає її спрямованість, організованість, активність та стійкість; здатність людини через працю задовольняти свої потреби. Мотивац

Хто такий Боб Ділана (Bob Dylan)
Боб Ділан (англ. Bob Dylan, справжнє ім'я - Роберт Аллен Циммерман англ. Robert Allen Zimmerman; нар. 24 травня 1941) - американський автор-виконавець пісень, який - за даними опитування журналу Rolling Stone - є другим (

Як транспортувати кімнатні рослини
Після покупки кімнатних рослинПеред садівником стоїть завдання - як доставити неушкодженими куплені екзотичні квіти. Вирішити цю проблему допоможуть знання основних правил упаковки та перевезення кімнатних рослин. Для перенесення чи перевезення рослини необхідно упаковувати. На яку б невелику відстань не переносилися рослини, вони можуть бути пошкоджені, можуть пересохнути, а взимку

Що таке екстремум функції та яка необхідна умова екстремуму?

Екстремумом функції називається максимум і мінімум функції.

Яка достатня умова екстремуму функції (максимум або мінімум)?

Перша умова:

Якщо в достатній близькості від точки х = а похідна f? максимум

Якщо в достатній близькості від точки х = а похідна f? мінімумза умови, що функція f(x) тут безперервна.

Натомість можна скористатися другою достатньою умовою екстремуму функції:

Що таке критична точка функції та як її знайти?

Наприклад знайдемо екстремум параболи.

Функція y(x) = 3x2 + 2x – 50.

Похідна функції: y? (x) = 6x + 2

Вирішуємо рівняння: y? (x) = 0

6х + 2 = 0, 6х = -2, х = -2/6 = -1/3

У разі критична точка - це х0=-1/3. Саме при цьому значенні аргументу функція має екстремум. Щоб його знайти, підставляємо для функції замість «х» знайдене число:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Як визначити максимум і мінімум функції, тобто. її найбільше та найменше значення?

Для розглянутого прикладу:

Беремо довільне значення аргументу ліворуч від критичної точки: х = -1

При х = -1 значення похідної буде у? (-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (тобто знак - "мінус").

Тепер беремо довільне значення аргументу праворуч від критичної точки: х = 1

При х = 1 значення похідної буде у (1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (тобто знак - плюс).

Наприклад, знайдемо найбільше та найменше значення функції

y(x) = 3sin(x) - 0,5х

на інтервалах:

Отже, похідна функції -

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Вирішуємо рівняння 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

х = ± arccos (0,16667) + 2πk.

Знаходимо критичні точки на інтервалі [-9; 9]:

х = arccos (0,16667) - 2π * 2 = -11,163 (не входить в інтервал)

х = -arccos (0,16667) - 2π * 1 = -7,687

х = arccos (0,16667) - 2π * 1 = -4,88

x = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403

x = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

x = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

x = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

х = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (не входить до інтервалу)

Знаходимо значення функції при критичних значеннях аргументу:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Видно, що на інтервалі [-9; 9] найбільше значення функція має за x = -4,88:

x = -4,88, у = 5,398,

а найменше – при х = 4,88:

x = 4,88, у = -5,398.

На інтервалі [-6; -3] маємо лише одну критичну точку: х = -4,88. Значення функції при х = -4,88 дорівнює у = 5,398.

Знаходимо значення функції на кінцях інтервалу:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

На інтервалі [-6; -3] маємо найбільше значення функції

у = 5,398 при x = -4,88

найменше значення -

у = 1,077 при x = -3

Як знайти точки перегину графіка функції та визначити сторони опуклості та увігнутості?

Як знайти екстремуми функції двох змінних?

Щоб знайти екстремуми функції f(x,y), що диференціюється в області її завдання, потрібно:

1) знайти критичні точки, а для цього вирішити систему рівнянь

fх? (x, y) = 0, f? (x, y) = 0

2) для кожної критичної точки Р0(a;b) дослідити, чи залишається незмінним знак різниці

Аналогічно визначають екстремуми функції за більшої кількості аргументів.

Як знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку?

Для цього ми слідуємо відомому алгоритму:

1 . Знаходимо ОДЗ функції.

2 . Знаходимо похідну функції

3 . Прирівнюємо похідну до нуля

4 . Знаходимо проміжки, на яких похідна зберігає знак, і за ними визначаємо проміжки зростання та зменшення функції:

Якщо на проміжку I похідна функції 0" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} зростає у цьому проміжку.

Якщо на проміжку I похідна функції, то функція зменшується у цьому проміжку.

5 . Знаходимо точки максимуму та мінімуму функції.

У точці максимуму функції похідна змінює знак з "+" на "-".

У точці мінімуму функціїпохідна змінює знак з "-" на "+".

6 . Знаходимо значення функції в кінцях відрізка,

потім порівнюємо значення функції в кінцях відрізка і в точках максимуму, і вибираємо з них найбільше, якщо потрібно знайти найбільше значення функції
або порівнюємо значення функції в кінцях відрізка і в точках мінімуму, та вибираємо з них найменше, якщо потрібно знайти найменше значення функції

Однак, залежно від того, як поводиться функція на відрізку, це алгоритм можна значно скоротити.

Розглянемо функцію . Графік цієї функції виглядає так:

Розглянемо кілька прикладів розв'язання задач з Відкритого банкузавдань для

1 . Завдання B15 (№ 26695)

На відрізку.

1. Функція визначена при всіх дійсних значеннях

Вочевидь, що це рівнянь немає рішень, і похідна за всіх значеннях х позитивна. Отже, функція зростає і набуває найбільшого значення правому кінці проміжку, тобто при х=0.

Відповідь: 5.

2 . Завдання B15 (№ 26702)

Знайдіть найбільше значення функції на відрізку.

1. ОДЗ функції title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Похідна дорівнює нулю при , однак, у цих точках вона не змінює знак:

Отже, title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} зростає та приймає найбільше значення у правому кінці проміжку, при .

Щоб стало очевидно, чому похідна не змінює знак, перетворюємо вираз для похідної так:

Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Відповідь: 5.

3 . Завдання B15 (№ 26708)

Знайдіть найменше значення функції на відрізку.

1. ОДЗ функції: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Розташуємо коріння цього рівняння на тригонометричному колі.

Проміжку належать два числа: і

Розставимо знаки. Для цього визначимо знак похідної у точці х=0: . При переході через крапки і похідна змінює знак.

Зобразимо зміну знаків похідної функції координатної прямої:

Очевидно, що точка є точкою мінімуму (у ній похідна змінює знак з "-" на "+"), і щоб знайти найменше значення функції на відрізку, потрібно порівняти значення функції в точці мінімуму і в лівому кінці відрізка, .

Популярне в рубриці: