Вектор витвір вектор на себе. Векторний твір векторів заданих координатами

English: Wikipedia is making the site more secure. Ви використовуєте old web browser, який не може бути підключений до Wikipedia в майбутньому. Please update your device or contact your IT administrator.

中文: 维基百科正在使网站更加安全。您正在使用旧的浏览器、这在将来无法连接维基百科。请更新您的设备または联络您的IT管理员。 ）.

Español: Wikipedia має в своєму розпорядженні el sitio mas seguro. Ви використовуєте свій navegador web viejo que no será capaz de conectarse a Wikipedia en el futuro. Actualice su dispositivo o contacto a su administrador informático. Más abajo hay una actualización más larga y más técnica en anglès.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

Français: Wikipedia va bientôt augmenter la sécurité de son site. Vous utilisez actuellement un navigateur web ancien, що не pourra plus se connecter à Wikipédia lorsque ce sera fait. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. Des informations supplémentaires plus techniques et en anglais sont disponibles ci-dessous.

日本語: 위키피디아는 사이트의 보안을 강화하고 있습니다.이용 브라우저는 버전이 오래되어, 향후 위키피디아에 접속할 수 없게 될 가능성이 있습니다.디바이스를 갱신하거나 IT 관리자에게 상담해 주세요.기술면의 상세한 갱신 정보는 아래에 영어로 제공됩니다.

Deutsch: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du benutzt einen alten Webbrowser, der in Zukunft нігт мейр на Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerat oder sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.

Italiano: Wikipedia sta rendendo il sito più sicuro. Stai usando un browser web che non sarà in grado di connettersi a Wikipedia in futuro. Для favore, aggiorna il tuo dispositivo o contatta il tuo amministratore informatico. Più in basso è disponibile un aggiornamento più dettagliato e tecnico in inglese.

Magyar: Biztonságosabb lesz a Wikipedia. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Hazznalj modernebb szoftvert vagy jelezd a problémát a rendszergazdádnak. Alab olvashatod a részletesebb magyarázatot (angolul).

Svenska: Wikipedia gör sidan mer säker. Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Wikipedia і framtiden. Uppdatera din enhet eller kontakta din IT-administratör. Det finns en längre och mer teknisk förklaring på engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

Використовується для підтримки програмного забезпечення для TLS protocol versions, особливо TLSv1.0 і TLSv1.1, які ваш браузер використовується для підключення до наших мереж. Це зазвичай пов'язано з зареєстрованими браузерами, або за допомогою Android smartphones. Або це може бути interference від корпоративного або індивідуального "Web Security" software, який в даний час підвищує зв'язок безпеки.

Ви повинні upgrade вашого веб-браузера або іншогоwise fix це issue to access our sites. Цей message буде remain until Jan 1, 2020. Після того, як ваш браузер не може бути встановлений для підключення до наших серверів.

Визначення. Векторним твором вектора а (множинне) на колінеарний йому вектор (множник) називається третій вектор з (твір), який будується наступним чином:

1) його модуль чисельно дорівнює площі паралелограма на рис. 155), побудованого на векторах тобто він дорівнює напрям перпендикулярно площині згаданого паралелограма;

3) при цьому напрям вектора з вибирається (з двох можливих) так, щоб вектори складали праву систему (§ 110).

Позначення: або

Доповнення до визначення. Якщо вектори колінеарні, то фігурі вважаючи її (умовно) паралелограмом, звичайно приписати нульову площу. Тому векторний витвірколінеарних векторів вважається рівним нуль-вектору.

Оскільки нуль-вектор можна приписати будь-який напрям, ця угода не суперечить пунктам 2 і 3 визначення.

Зауваження 1. У терміні «векторний твір» перше слово вказує на те, що результат дії є вектором (на противагу скалярному твору; порівн. § 104, зауваження 1).

Приклад 1. Знайти векторний твір, де основні вектори правої системи координат (рис. 156).

1. Оскільки довжини основних векторів дорівнюють одиниці масштабу, то площа паралелограма (квадрату) чисельно дорівнює одиниці. Отже, модуль векторного добутку дорівнює одиниці.

2. Так як перпендикуляр до площини є ось те шуканий векторний твір є вектор, колінеарний вектор; бо обидва вони мають модуль 1, то шуканий векторний добуток дорівнює або k, або -k.

3. З цих двох можливих векторів треба вибрати перший, тому що вектори до утворюють праву систему (а вектори ліву).

Приклад 2. Знайти векторний твір

Рішення. Як приклад 1, укладаємо, що вектор дорівнює або k, або -k. Але тепер треба вибрати -k, тому що вектори утворюють праву систему (а вектори ліву). Отже,

Приклад 3. Вектори мають довжини, що дорівнює 80 і 50 см, і утворюють кут 30°. Взявши за одиницю довжини метр, знайти довжину векторного твору

Рішення. Площа паралелограма, побудованого на векторах, дорівнює Довжина шуканого векторного твору дорівнює

Приклад 4. Знайти довжину векторного добутку тих самих векторів, взявши за одиницю довжини сантиметр.

Рішення. Оскільки площа паралелограма, побудованого векторах дорівнює то довжина векторного добутку дорівнює 2000 див, тобто.

З порівняння прикладів 3 і 4 видно, що довжина вектора залежить від довжин сомножителей але й від вибору одиниці довжини.

Фізичний зміст векторного твору.З численних фізичних величин, що зображуються векторним твором, розглянемо лише момент сили.

Нехай А є точка докладання сили Моментом сили щодо точки О називається векторний твір Оскільки модуль цього векторного твору чисельно дорівнює площі паралелограма (рис. 157), то модуль моменту дорівнює добутку основи на висоту, тобто силі, помноженій на відстань від точки О до прямої, вздовж якої діє сила.

У механіці доводиться, що з рівноваги твердого тіла необхідно, щоб дорівнювала нулю як сума векторів , які мають сили, прикладені до тіла, але й сума моментів сил. У тому випадку, коли всі сили паралельні одній площині, складання векторів, що представляють моменти, можна замінити додаванням і відніманням їх модулів. Але за довільних напрямів сил така заміна неможлива. Відповідно до цього векторний добуток визначається саме як вектор, а не як число.

Даний онлайн калькуляторобчислює векторний добуток векторів. Надається докладне рішення. Для обчислення векторного добутку векторів введіть координати векторів у комірки та натискайте на кнопку "Обчислити."

×

Попередження

Очистити всі комірки?

Закрити Очистити

Інструкція щодо введення даних.Числа вводяться як цілих чисел (приклади: 487, 5, -7623 тощо.), десяткових чисел (напр. 67., 102.54 тощо.) чи дробів. Дроб треба набирати у вигляді a/b, де a і b (b>0) цілі або десяткові числа. Приклади 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 тощо.

Векторний твір векторів

Перш ніж перейти до визначення векторного твору векторів, розглянемо поняття впорядкована трійка векторів, ліва трійка векторів, права трійка векторів.

Визначення 1. Три вектори називаються упорядкованої трійкою(або трійкою ), якщо зазначено, який із цих векторів перший, який другий та який третій.

Запис cba- означає - першим є вектор c, другим є вектор bі третім є вектор a.

Визначення 2. Трійка некомпланарних векторів abcназивається правою (лівою ), якщо при приведенні до загального початку, ці вектори розташовуються так, як розташовані відповідно великий, незігнутий вказівний і середній пальціправої (лівої) руки.

Визначення 2 можна формулювати і інакше.

Визначення 2". Трійка некомпланарних векторів abcназивається правою (лівою), якщо при приведенні до загального початку, вектор cрозташовується по той бік від площини, що визначається векторами aі b, звідки найкоротший поворот від aдо bвідбувається проти годинникової стрілки (за годинниковою стрілкою).

Трійка векторів abc, зображена на рис. 1 є правою, а трійка abcзображена на рис. 2 є лівою.

Якщо дві трійки векторів є правими чи лівими, кажуть, що вони однієї орієнтації. Інакше кажуть, що вони є протилежною орієнтацією.

Визначення 3. Декартова або афінна система координат називається правою (лівою), якщо три базові вектори утворюють праву (ліву) трійку.

Для певності, надалі ми розглядатимемо лише праві системи координат.

Визначення 4. Векторним творомвектора aна вектор bназивається вектор з, що позначається символом c=[ab] (або c=[a,b], або c=a×b) і задовольняє наступним трьом вимогам:

• довжина вектора здорівнює добутку довжин векторів aі bна синус кута φ між ними:

|c|=|[ab]|=|a||b|sinφ;

(1)

• вектор зортогональний до кожного з векторів aі b;
• вектор cспрямований так, що трійка abcє правою.

Векторний добуток векторів має такі властивості:

• [ab]=−[ba] (антиперестановністьспівмножників);
• [(λa)b]=λ [ab] (сполучністьщодо числового множника);
• [(a+b)c]=[ac]+[bc] (розподільністьщодо суми векторів);
• [aa]=0 для будь-якого вектора a.

Геометричні властивості векторного твору.

Теорема 1. Для колінеарності двох векторів необхідна і досить рівність нуля їхнього векторного твору.

Доведення. Необхідність. Нехай вектори aі bколінеарні. Тоді кут між ними 0 або 180° sinφ=sin180=sin 0 = 0. Отже, враховуючи вираз (1), довжина вектора cдорівнює нулю. Тоді cнульовий вектор.

Достатність. Нехай векторний добуток векторів aі bнавно нулю: [ ab]=0. Доведемо, що вектори aі bколінеарні. Якщо хоча б один із векторів aі bнульовий, то ці вектори колінеарні (бо нульовий вектор має невизначений напрямок і його можна вважати колінеарним будь-якому вектору).

Якщо ж обидва вектори aі bненульові, то | a|>0, |b|>0. Тоді з [ ab]=0 і з (1) випливає, що sinφ=0. Отже вектори aі bколінеарні.

Теорему доведено.

Теорема 2. Довжина (модуль) векторного твору ab] дорівнює площі Sпаралелограма, побудованого на наведених до загального початку векторах aі b.

Доведення. Як відомо, площа паралелограма дорівнює добутку суміжних сторін цього паралелограма на синус кута між ними. Отже:

Тоді векторний добуток цих векторів має вигляд:

Розкриваючи визначник за елементами першого рядка, ми отримаємо розкладання вектора. a×bпо базису i, j, k, Яке еквівалентно формулі (3).

Доказ теореми 3. Складемо всі можливі пари з базових векторів i, j, kі порахуємо їхній векторний твір. Потрібно враховувати, що базисні вектори взаємно ортогональні, утворюють праву трійку і мають одиничну довжину (іншими словами можна припускати, що i={1, 0, 0}, j={0, 1, 0}, k= (0, 0, 1)). Тоді маємо:

З останньої рівності та співвідношень (4), отримаємо:

Складемо 3×3 матрицю, перший рядок якої базисні вектори i, j, k,а інші рядки заповнені елементами векторів aі b.

Перед тим, як дати поняття векторного твору, звернемося до питання орієнтації впорядкованої трійки векторів a → , b → , c → у тривимірному просторі.

Відкладемо спочатку вектори a → , b → , c → від однієї точки. Орієнтація трійки a → , b → , c → буває правою чи лівою, залежно від напрямку самого вектора c → . Від того, в яку сторону здійснюється найкоротший поворот від вектора a → до b → з кінця вектора c → буде визначено вид трійки a → b → c → .

Якщо найкоротший поворот здійснюється проти годинникової стрілки, то трійка векторів a → , b → , c → називається правою, якщо за годинниковою стрілкою – лівий.

Далі візьмемо два не коллінеарні вектори a → і b → . Відкладемо потім від точки A вектори AB → = a → і A C → b → . Побудуємо вектор A D → = c → , який одночасно перпендикулярний і A B → і A C → . Таким чином, при побудові самого вектора A D → = c → ми можемо вчинити подвійно, поставивши йому або один напрямок, або протилежний (дивіться ілюстрацію).

Упорядкована трійка векторів a → , b → , c → може бути, як ми з'ясували правою чи лівою залежно від напрямку вектора.

Зі сказаного вище можемо ввести визначення векторного твору. Дане визначеннядається для двох векторів, визначених у прямокутній системі координат тривимірного простору.

Визначення 1

Векторним твором двох векторів a → та b → називатимемо такий вектор заданий у прямокутній системі координат тривимірного простору такий, що:

• якщо вектори a → та b → колінеарні, він буде нульовим;
• він буде перпендикулярний вектору a → і вектору b → тобто. ∠ a → c → ∠ b → c → = π 2 ;
• його довжина визначається за формулою: c → = a → b → sin ∠ a → , b → ;
• трійка векторів a → , b → c → має таку ж орієнтацію, що і задана система координат.

Векторний добуток векторів a → і b → має таке позначення: a → × b → .

Координати векторного твору

Оскільки будь-який вектор має певні координати в системі координат, можна ввести друге визначення векторного твору, яке дозволить знаходити його координати за заданими координатами векторів.

Визначення 2

У прямокутній системі координат тривимірного простору векторним твором двох векторів a → = (a x ; a y ; a z) і b → = (b x ; b y ; b z) називають вектор c → = a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + (a x · b y - a y · b x) · k → , де i → j → k → є координатними векторами.

Векторний добуток можна представити як визначник квадратної матриці третього порядку, де перший рядок є вектори орти i → , j → , k → , другий рядок містить координати вектора a → , а третій – координати вектора b → у заданій прямокутній системі координат, даний визначник матриці виглядає так: c → = a → x b → = i → j → k → a x a y z b x b y b z

Розклавши даний визначник по елементам першого рядка, отримаємо рівність: = → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + (a x · b y - a y · b x) · k →

Властивості векторного твору

Відомо, що векторний добуток у координатах представляється як визначник матриці c → = a → × b → = i → j → k → властивостей визначника матрицівиводяться такі властивості векторного твору:

1. антикомутативність a → × b → = - b → × a →;
2. дистрибутивність a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → або a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. асоціативність λ · a → × b → = λ · a → × b → або a → × (λ · b →) = λ · a → × b → , де λ - довільне дійсне число.

Ці властивості мають нескладні докази.

Наприклад можемо довести властивість антикомутативності векторного твору.

Доказ антикомутативності

За визначенням a → x b → = i → j → k → a x a y z b x b y b z і b → x a → = i → j → k → b x b y b a x a y a z . А якщо два рядки матриці переставити місцями, то значення визначника матриці має змінюватися на протилежне, отже, a → x b → = i → j → k → a x a y z b x b y b = - i → j → та доводить антикомутативність векторного твору.

Векторний твір – приклади та рішення

Найчастіше зустрічаються три типи завдань.

У задачах першого типу зазвичай задані довжини двох векторів та кут між ними, а потрібно знайти довжину векторного твору. У цьому випадку користуються наступною формулою c → = a → b → sin ∠ a → , b → .

Приклад 1

Знайдіть довжину векторного добутку векторів a → та b → , якщо відомо a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4 .

Рішення

За допомогою визначення довжини векторного добутку векторів a → і b → розв'яжемо дану задачу: a → × b → = a → b → sin ∠ a → b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2 .

Відповідь: 15 2 2 .

Завдання другого типу мають зв'язок із координатами векторів, у яких векторний твір, його довжина тощо. шукаються через відомі координати заданих векторів a → = (a x ; a y ; a z) і b → = (b x ; b y ; b z) .

Для такого типу завдань можна вирішити масу варіантів завдань. Наприклад, можуть бути задані не координати векторів a → і b → , які розкладання по координатним векторам виду b → = b x · i → + b y · j → + b z · k → і c → = a → ? вектори a → та b → можуть бути задані координатами точок їх початку та кінця.

Розглянемо такі приклади.

Приклад 2

У прямокутній системі координат задані два вектори a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1). Знайдіть їхній векторний твір.

Рішення

За другим визначенням знайдемо векторний добуток двох векторів у заданих координатах: a → x b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + (a x · b y - a y · b x) · k → = = (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · i → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) · j → + (2 · (- 1) - 1 · 0) · k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Якщо записати векторний добуток через визначник матриці, то рішення даного прикладувиглядає так: a → x b → = i → j → k → a x a y z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Відповідь: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Приклад 3

Знайдіть довжину векторного добутку векторів i → - j → та i → + j → + k → , де i → , j → , k → - орти прямокутної декартової системи координат.

Рішення

Для початку знайдемо координати заданого векторного твору i → - j → × i → + j → + k → у цій прямокутній системі координат.

Відомо, що вектори i → - j → і i → + j → + k → мають координати (1; - 1; 0) і (1; 1; 1) відповідно. Знайдемо довжину векторного твору за допомогою визначника матриці, тоді маємо i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Отже, векторний твір i → - j → × i → + j → + k → має координати (- 1; - 1; 2) у заданій системі координат.

Довжину векторного твору знайдемо за формулою (див. розділ довжини вектора): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6 .

Відповідь: i → -j → × i → + j → + k → = 6 . .

Приклад 4

У прямокутній декартовій системі координат задані координати трьох точок A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2). Знайдіть якийсь вектор, перпендикулярний A B → і A C → одночасно.

Рішення

Вектори A B → і A C → мають наступні координати (-1; 2; 2) і (0; 4; 1) відповідно. Знайшовши векторний добуток векторів A B → і A C → , очевидно, що він є перпендикулярним вектором за визначенням і до A B → і до A C →, тобто є рішенням нашої задачі. Знайдемо його A B → A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Відповідь: - 6 i → + j → - 4 k → . - один із перпендикулярних векторів.

Завдання третього типу орієнтовані використання властивостей векторного добутку векторів. Після застосування яких будемо отримувати рішення заданого завдання.

Приклад 5

Вектори a → та b → перпендикулярні та їх довжини рівні відповідно 3 та 4 . Знайдіть довжину векторного твору 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = 3 · a → × a → - 2 · b → + - b → × a → - 2 · b → = = 3 · a → * a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → .

Рішення

За властивістю дистрибутивності векторного твору ми можемо записати 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = 3 · a → × a → - 2 · b → + - b → × a → - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b →

За якістю асоціативності винесемо числові коефіцієнти за знак векторних творів в останньому виразі: 3 · a → × a → + 3 · a → = 3 · a → × a → + 3 · (-2) · a → × b → + (- 1) · b → × a → + (- 1) · (- 2) · b → × b → = = 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b →

Векторні твори a → × a → і b → × b → рівні 0, оскільки a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0 і b → × b → = b → 0 , тоді 3 · a → ? .

З антикомутативності векторного твору випливає - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × b → . .

Скориставшись властивостями векторного твору, отримуємо рівність 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

За умовами вектори a → та b → перпендикулярні, тобто кут між ними дорівнює π 2 . Тепер залишається лише підставити знайдені значення у відповідні формули: 3 · a → - b → ? → · sin (a → , b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60 .

Відповідь: 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = 60 .

Довжина векторного добутку векторів з орпеділення дорівнює a → × b → = a → b → sin ∠ a → , b → . Оскільки вже відомо (зі шкільного курсу), площа трикутника дорівнює половині добутку довжин двох сторін помножене на синус кута між цими сторонами. Отже, довжина векторного добутку дорівнює площі паралелограма - подвоєного трикутника, а саме добутку сторін у вигляді векторів a → і b → відкладені від однієї точки на синус кута між ними sin ∠ a → , b → .

Це і є геометричне значення векторного твору.

Фізичний зміст векторного твору

У механіці, одному з розділів фізики завдяки векторному твору можна визначити момент сили щодо точки простору.

Визначення 3

Під моментом сили F → ​​, прикладеної до точки B , щодо точки A розумітимемо наступний векторний твір A B → × F → .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Властивості скалярного твору

Скалярне твір векторів, визначення, властивості

Лінійні операції над векторами.

Вектори, основні поняття, визначення, лінійні операції над ними

Вектором на площині називається впорядкована пара її точок, при цьому перша точка називається початком, а друга кінцем – вектора

Два вектори називаються рівними, якщо вони рівні і співспрямовані.

Вектори, що лежать на одній прямій, називаються сонаправленными якщо вони сонаправленны з одним і тим самим вектором, що не лежать на цій прямій.

Вектори, що лежать на одній прямій або на паралельних прямих, називаються колінеарними, а колінеарні, але не сонаправленные – протилежно-спрямовані.

Вектори, що лежать на перпендикулярних до прямих, називаються ортогональними.

Визначення 5.4. Сумою a + b векторів a і b називається вектор, що йде з початку вектора а в кінець вектора b , якщо початок вектора b збігається з кінцем вектора а .

Визначення 5.5. Різниця а - b векторів а і b називається такий вектор з , який у сумі з вектором b дає вектор а .

Визначення 5.6. Творомk a вектора а на число kназивається вектор b , колінеарний вектор а , що має модуль, що дорівнює | k||a |, та напрямок, що збігається з напрямком | а при k>0 і протилежне а при k<0.

Властивості множення вектора на число:

Властивість 1. k(a + b ) = k a+ k b.

Властивість 2. (k + m)a = k a+ m a.

Властивість 3. k(m a) = (km)a .

Слідство. Якщо ненульові вектори а і b колінеарні, то існує таке число k, що b = k a.

Скалярним твором двох ненульових векторів aі bназивається число (скаляр), що дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута φ між ними. Скалярний твір можна позначати різними способами, наприклад, як ab, a · b, (a , b), (a · b). Таким чином, скалярний добуток дорівнює:

a · b = |a| · | b| · cos φ

Якщо хоча б один із векторів дорівнює нулю, то скалярний добуток дорівнює нулю.

· Властивість перестановки: a · b = b · a(Від перестановки множників скалярне твір не змінюється);

· Властивість розподілу: a · ( b · c) = (a · b) · c(Результат не залежить від порядку множення);

· Властивість поєднання (стосовно скалярного множника): (λ a) · b = λ ( a · b).

· Властивість ортогональності (перпендикулярності): якщо вектора aі bненульові, їх скалярний добуток дорівнює нулю, тільки коли ці вектори ортогональні (перпендикулярні один до одного) a ┴ b;

· Властивість квадрата: a · a = a 2 = |a| 2 (скалярне твори вектора самого із собою дорівнює квадрату його модуля);

· Якщо координати векторів a=(x 1 , y 1 , z 1 ) b=(x 2 , y 2 , z 2 ), то скалярний добуток дорівнює a · b= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2.

Вектор проведення векторів. Визначення: Під векторним твором двох векторів і розуміється вектор, для якого:

Модуль дорівнює площі паралелограма, побудованого даних векторах, тобто. , де кут між векторами та

Цей вектор перпендикулярний векторам, що перемножуються, тобто.

Якщо вектори неколлінеарні, вони утворюють праву трійку векторів.

Властивості векторного твору:

1.При зміні порядку співмножників векторний твір змінює свій знак зворотний, зберігаючи модуль, тобто.

2 .Векторний квадрат дорівнює нуль-вектору, тобто.

3 .Скалярний множник можна виносити за символ векторного твори, тобто.

4 .Для будь-яких трьох векторів справедлива рівність

5 . Необхідна і достатня умова колінеарності двох векторів і: