Головна › Ходова частина › Як знайти найбільше та найменше значення функції в обмеженій замкнутій області? Вивчення графіка функції.

Як знайти найбільше та найменше значення функції в обмеженій замкнутій області? Вивчення графіка функції.

У цій статті я розповім про те, як застосовувати вміння знаходити до дослідження функції: до знаходження її найбільшого чи найменшого значення. А потім ми вирішимо кілька завдань із Завдання В15 з Відкритого банкузавдань для .

Як завжди, спочатку згадаємо теорію.

На початку будь-якого дослідження функції знаходимо її

Щоб знайти найбільше чи найменше значення функції , необхідно досліджувати, яких проміжках функція зростає, і яких убуває.

Для цього треба знайти похідну функції та досліджувати її проміжки знакостійності, тобто проміжки, на яких похідна зберігає знак.

Проміжки, на яких позитивна похідна функції, є проміжками зростання функції.

Проміжки, у яких похідна функції негативна, є проміжками зменшення функції.

1 . Розв'яжемо завдання В15 (№ 245184)

Для його вирішення слідуватимемо таким алгоритмом:

а) Знайдемо область визначення функції

б) Знайдемо похідну функції.

в) Прирівняємо її до нуля.

г) Знайдемо проміжки знаковості функції.

д) Знайдемо точку, в якій функція набуває найбільшого значення.

е) Знайдемо значення функції у цій точці.

Докладне рішення цього завдання я розповідаю у ВІДЕОУРОКУ:

Ймовірно, ваш браузер не підтримується. Щоб використати тренажер "Година ЄДІ", спробуйте скачати
Firefox

2 . Розв'яжемо завдання В15 (№282862)

Знайдіть найбільше значення функції на відрізку

Очевидно, що найбільше значення на відрізку функція набуває у точці максимуму, при х=2. Знайдемо значення функції у цій точці:

Відповідь: 5

3 . Розв'яжемо завдання В15 (№245180):

Знайдіть найбільше значення функції

1. title="ln5>0"">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}

2. Оскільки область визначення вихідної функції title="4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}

3. Чисельник дорівнює нулю при . Перевіримо, чи належить ОДЗ функції. Для цього перевіримо, чи виконується умова title="4-2x-x^2>0""> при .!}

Title="4-2(-1)-((-1))^2>0">,

отже, точка належить ОДЗ функції

Досліджуємо знак похідної праворуч і ліворуч від точки:

Ми бачимо, що найбільше значення функція набуває в точці . Тепер знайдемо значення функції при:

Примітка 1. Зауважимо, що у цьому завдання ми знаходили область визначення функції: ми лише зафіксували обмеження і перевірили, чи належить точка, у якій похідна дорівнює нулю області визначення функції. У цьому завдання цього виявилося достатньо. Проте так буває не завжди. Це залежить від завдання.

Примітка 2. При дослідженні поведінки складної функції можна скористатися таким правилом:

якщо зовнішня функція складної функції зростаюча, то функція набуває найбільшого значення у тій точці, у якій внутрішня функція приймає найбільше значення. Це випливає з визначення зростаючої функції: функція зростає на проміжку I, якщо більшого значенняаргумент з цього проміжку відповідає більше значення функції.
якщо зовнішня функція складної функції спадна, то функція набуває найбільшого значення в тій же точці, в якій внутрішня функція набуває найменшого значення . Це випливає з визначення спадної функції: функція зменшується на проміжку I, якщо більшому значенню аргументу цього проміжку відповідає менше значення функції

У прикладі зовнішня функція - зростає по всій області визначення. Під знаком логарифму стоїть вираз - квадратний тричлен, який при негативному старшому коефіцієнті набуває найбільшого значення в точці . Далі підставляємо це значення х рівняння функції та знаходимо її найбільше значення.

Нехай функція $z=f(x,y)$ визначена і безперервна у певній обмеженій замкнутій області $D$. Нехай у цій галузі за дана функціямає кінцеві приватні похідні першого порядку (за винятком, можливо, кінцевої кількості точок). Щоб знайти найбільше та найменше значення функції двох змінних у цій замкнутій області потрібно виконати три кроки простого алгоритму.

Алгоритм пошуку найбільшого та найменшого значень функції $z=f(x,y)$ у замкнутій області $D$.

Знайти критичні точки функції $ z = f (x, y) $, що належать області $ D $. Обчислити значення функції у критичних точках.
Дослідити поведінку функції $z=f(x,y)$ на межі області $D$, знайшовши точки можливого найбільшого та найменшого значень. Обчислити значення функції отриманих точках.
Зі значень функції, отриманих у попередніх двох пунктах, вибрати найбільше та найменше.

Що таке критичні точки? показати\сховати

Під критичними точкамимають на увазі такі точки, в яких обидві приватні похідні першого порядку дорівнюють нулю (тобто $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ і $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) чи хоча б одна приватна похідна немає.

Часто точки, у яких приватні похідні першого порядку дорівнюють нулю, називають стаціонарними точками. Таким чином, стаціонарні точки є підмножина критичних точок.

Приклад №1

Знайти найбільше та найменше значення функції $z=x^2+2xy-y^2-4x$ у замкнутій області, обмеженій лініями $x=3$, $y=0$ та $y=x+1$.

Наслідуватимемо вище, але для початку розберемося з кресленням заданої області, яку позначимо буквою $ D $. Нам задані рівняння трьох прямих, які цю область обмежують. Пряма $x=3$ проходить через точку $(3;0)$ паралельно осі ординат (осі Oy). Пряма $y=0$ - це рівняння осі абсцис (осі Ox). Ну, а для побудови прямої $ y = x + 1 $ знайдемо дві точки, через які і проведемо цю пряму. Можна, звичайно, замість $x$ підставити парочку довільних значень. Наприклад, підставляючи $x=10$, отримаємо: $y=x+1=10+1=11$. Ми знайшли точку $(10;11)$, що лежить на прямій $y=x+1$. Однак краще знайдемо ті точки, в яких пряма $ y = x + 1 $ перетинається з лініями $ x = 3 $ і $ y = 0 $. Чому це краще? Тому що ми одним пострілом укладемо пару зайців: отримаємо дві точки для побудови прямої $ y = x + 1 $ і заразом з'ясуємо, в яких точках ця пряма перетинає інші лінії, що обмежують задану область. Пряма $y=x+1$ перетинає пряму $x=3$ у точці $(3;4)$, а пряму $y=0$ - у точці $(-1;0)$. Щоб не захаращувати хід рішення допоміжними поясненнями, то питання про отримання цих двох точок винесу до примітки.

Як було отримано точки $(3;4)$ і $(-1;0)$? показати\сховати

Почнемо з точки перетину прямих $y=x+1$ та $x=3$. Координати точки, що шукається, належать і першій, і другій прямій, тому для знаходження невідомих координат потрібно вирішити систему рівнянь:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & x=3. \end(aligned) \right. $$

Рішення такої системи тривіальне: підставляючи $x=3$ у перше рівняння матимемо: $y=3+1=4$. Точка $(3;4)$ і є шукана точка перетину прямих $y=x+1$ і $x=3$.

Тепер знайдемо точку перетину прямих $ y = x + 1 $ і $ y = 0 $. Знову складемо і вирішимо систему рівнянь:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & y=0. \end(aligned) \right. $$

Підставляючи $y=0$ у перше рівняння, отримаємо: $0=x+1$, $x=-1$. Точка $(-1;0)$ і є шукана точка перетину прямих $y=x+1$ і $y=0$ (осі абсцис).

Все готове для побудови креслення, який матиме такий вигляд:

Питання примітки здається очевидним, адже все видно на малюнку. Однак варто пам'ятати, що малюнок не може бути доказом. Малюнок – лише ілюстрація для наочності.

Наша область була задана за допомогою прямих рівнянь, які її обмежують. Очевидно, що ці прямі визначають трикутник, чи не так? Чи не зовсім очевидно? А може, нам задана інша область, обмежена тими самими прямими:

Звісно, за умови сказано, що область замкнута, тому показаний малюнок неправильний. Але щоб уникати подібних двозначностей, області краще задавати нерівності. Нас цікавить частина площини, розташована під прямою $y=x+1$? Ок, отже, $y ≤ x+1$. Наша область повинна розташовуватись над прямою $y=0$? Відмінно, означає $ y ≥ 0 $. До речі, дві останні нерівності легко поєднуються в одну: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(aligned) \right. $$

Ці нерівності і задають область $ D $, причому задають її однозначно, не допускаючи жодних двозначностей. Але як це допоможе нам у тому питанні, що вказано на початку примітки? Ще як допоможе:) Нам потрібно перевірити, чи належить точка $M_1(1;1)$ області $D$. Підставимо $x=1$ і $y=1$ у систему нерівностей, які цю область визначають. Якщо обидві нерівності будуть виконані, то точка лежить усередині області. Якщо хоча б одна з нерівностей буде не виконана, то точка області не належить. Отже:

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right.$$

Обидві нерівності справедливі. Крапка $M_1(1;1)$ належить області $D$.

Тепер настала черга досліджувати поведінку функції межі області, тобто. переходимо до. Почнемо із прямої $y=0$.

Пряма $y=0$ (вісь абсцис) обмежує область $D$ за умови $-1 ≤ x ≤ 3$. Підставимо $y=0$ у задану функцію $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Отриману в результаті підстановки функцію однієї змінної $x$ позначимо як $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Тепер для функції $f_1(x)$ потрібно знайти найбільше та найменше значення на відрізку $-1 ≤ x ≤ 3$. Знайдемо похідну цієї функції і прирівняємо її до нуля:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \;x=2. $$

Значення $x=2$ належить відрізку $-1 ≤ x ≤ 3$, тому до списку точок додамо ще $M_2(2;0)$. З іншого боку, обчислимо значення функції $z$ кінцях відрізка $-1 ≤ x ≤ 3$, тобто. у точках $M_3(-1;0)$ і $M_4(3;0)$. До речі, якби точка $M_2$ не належала розглянутому відрізку, то, очевидно, значення функції $z$ у ній обчислювати був потреби.

Отже, обчислимо значення функції $z$ у точках $M_2$, $M_3$, $M_4$. Можна, звичайно, підставляти координати даних точок у вихідний вираз $z=x^2+2xy-y^2-4x$. Наприклад, для точки $M_2$ отримаємо:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

Однак обчислення можна трохи спростити. І тому варто згадати, що у відрізку $M_3M_4$ маємо $z(x,y)=f_1(x)$. Розпишу це докладно:

\begin(aligned) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0) = f_1 (-1) = (-1) ^ 2-4 \ cdot (-1) = 5; \ \ & z_4 = z (M_4) = z (3,0) = f_1 (3) = 3^2-4\cdot 3=-3. \end(aligned)

Зрозуміло, що в докладних записах зазвичай немає потреби, і всі обчислення в подальшому будемо записувати коротше:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

Тепер звернемося до прямої $x=3$. Ця пряма обмежує область $D$ за умови $0 ≤ y ≤ 4$. Підставимо $x=3$ у задану функцію $z$. В результаті такої підстановки ми отримаємо функцію $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2cdot 3cdot y-y^2-4cdot 3=-y^2+6y-3. $$

Для функції $f_2(y)$ потрібно знайти найбільше та найменше значення на відрізку $0 ≤ y ≤ 4$. Знайдемо похідну цієї функції і прирівняємо її до нуля:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

Значення $y=3$ належить відрізку $0 ≤ y ≤ 4$, тому до знайдених раніше точок додамо ще $M_5(3;3)$. З іншого боку, необхідно обчислити значення функції $z$ у точках кінцях відрізка $0 ≤ y ≤ 4$, тобто. у точках $M_4(3;0)$ і $M_6(3;4)$. У точці $M_4(3;0)$ ми вже обчислювали значення $z$. Обчислимо значення функції $z$ у точках $M_5$ та $M_6$. Нагадаю, що на відрізку $M_4M_6$ маємо $z(x,y)=f_2(y)$, тому:

\begin(aligned) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; & z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end(aligned)

І, нарешті, розглянемо останню межу області $D$, тобто. пряму $ y = x + 1 $. Ця пряма обмежує область $D$ за умови $-1 ≤ x ≤ 3$. Підставляючи $y=x+1$ у функцію $z$, матимемо:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Знов ми отримали функцію однієї змінної $x$. І знову потрібно знайти найбільше та найменше значення цієї функції на відрізку $-1 ≤ x ≤ 3$. Знайдемо похідну функції $f_(3)(x)$ і прирівняємо її до нуля:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

Значення $x=1$ належить відрізку $-1 ≤ x ≤ 3$. Якщо $x=1$, то $y=x+1=2$. Додамо до списку точок ще й $M_7(1;2)$ і з'ясуємо, чому значення функції $z$ в цій точці. Крапки кінцях відрізка $-1 ≤ x ≤ 3$, тобто. точки $M_3(-1;0)$ і $M_6(3;4)$, було розглянуто раніше, значення функції у яких ми вже знаходили.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

Другий крок рішення закінчено. Ми отримали сім значень:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

Звернемося до . Вибираючи найбільше та найменше значення з тих чисел, що були отримані у третьому пункті, матимемо:

$ $ z_ (min) = -4; \; z_(max)=6.$$

Завдання вирішене, залишилося лише записати відповідь.

Відповідь: $z_(min)=-4; \; z_(max)=6$.

Приклад №2

Знайти найбільше та найменше значення функції $z=x^2+y^2-12x+16y$ в області $x^2+y^2 ≤ 25$.

Спочатку збудуємо креслення. Рівняння $x^2+y^2=25$ (це гранична лінія заданої області) визначає коло з центром на початку координат (тобто в точці $(0;0)$) і радіусом 5. Нерівності $x^2 +y^2 ≤ 25$ задовольняють усі точки всередині та на згаданому колі.

Діятимемо по . Знайдемо приватні похідні та з'ясуємо критичні точки.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2y+16. $$

Точок, у яких знайдені приватні похідні немає, немає. З'ясуємо, у яких точках обидві похідні одночасно рівні нулю, тобто. знайдемо стаціонарні точки.

$$ \left \( \begin(aligned) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & x =6;\\&y=-8.\end(aligned) \right.$$

Ми отримали стаціонарну точку $(6;-8)$. Проте знайдена точка не належить до області $D$. Це легко показати, навіть не вдаючись до допомоги малюнку. Перевіримо, чи виконується нерівність $x^2+y^2 ≤ 25$, яка визначає нашу область $D$. Якщо $x=6$, $y=-8$, то $x^2+y^2=36+64=100$, тобто. нерівність $x^2+y^2 ≤ 25$ не виконано. Висновок: точка $(6;-8)$ не належить області $D$.

Отже, всередині області $D$ немає критичних точок. Переходимо далі, до . Нам слід дослідити поведінку функції межі заданої області, тобто. на колі $x^2+y^2=25$. Можна, звичайно, висловити $y$ через $x$, а потім підставити отриманий вираз у нашу функцію $z$. З рівняння кола отримаємо: $y=\sqrt(25-x^2)$ або $y=-sqrt(25-x^2)$. Підставляючи, наприклад, $y=\sqrt(25-x^2)$ в задану функцію, матимемо:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

Подальше рішення буде повністю ідентичне дослідженню поведінки функції на межі області у попередньому прикладі №1. Однак мені здається розумнішим у цій ситуації застосувати метод Лагранжа. Нас цікавитиме лише перша частина цього методу. Після застосування першої частини методу Лагранжа ми отримаємо точки, в яких досліджуємо функцію $z$ на предмет мінімального та максимального значень.

Складаємо функцію Лагранжа:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

Знаходимо приватні похідні функції Лагранжа та складаємо відповідну систему рівнянь:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (aligned) & 2x-12+2 \ lambda x = 0; \ \ & 2y + 16 +2 \ lambda y = 0; \ \ & x ^ 2 + y ^2-25 = 0. \end (aligned) \ right. \;\; aligned) \right.$$

Для вирішення цієї системи давайте відразу вкажемо, що $ lambda neq -1 $. Чому $\lambda\neq -1$? Спробуємо підставити $\lambda=-1$ у перше рівняння:

$ $ x + (-1) \ cdot x = 6; \; x-x=6; \; 0 = 6. $$

Отримана суперечність $0=6$ свідчить, що значення $\lambda=-1$ неприпустимо. Висновок: $ \ lambda \ neq -1 $. Виразимо $x$ і $y$ через $\lambda$:

\begin(aligned) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y = frac (-8) (1 + lambda). \end(aligned)

Вважаю, що тут стає очевидним, навіщо ми спеціально обговорювали умову $lambda\neq -1$. Це було зроблено, щоб безперешкодно помістити вираз $1+\lambda$ у знаменники. Тобто, щоб бути впевненим, що знаменник $1+lambda\neq 0$.

Підставимо отримані висловлювання для $x$ і $y$ на третє рівняння системи, тобто. $x^2+y^2=25$:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+lambda)^2)+frac(64)((1+lambda)^2)=25;\frac(100)((1+lambda)^2)=25 ; \; (1 + \ lambda) ^ 2 = 4. $$

З отриманої рівності випливає, що $1+lambda=2$ або $1+lambda=-2$. Звідси маємо два значення параметра $ lambda $, а саме: $ lambda_1 = 1 $, $ lambda_2 = -3 $. Відповідно, отримаємо і дві пари значень $x$ і $y$:

\begin(aligned) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=frac(-8)(1+lambda_1)=frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=frac(-8)(1+lambda_2)=frac(-8)(-2)=4. \end(aligned)

Отже, отримали дві точки можливого умовного екстремуму, тобто. $M_1(3;-4)$ і $M_2(-3;4)$. Знайдемо значення функції $z$ у точках $M_1$ і $M_2$:

\begin(aligned) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \ & z_2 = z (M_2) = (-3) ^ 2 + 4 ^ 2-12 \ cdot (-3) + 16 \ cdot 4 = 125. \end(aligned)

На слід вибрати найбільше та найменше значення з тих, що ми отримали на першому та другому кроках. Але в даному випадкувибір невеликий:) Маємо:

$ $ z_ (min) = -75; \; z_(max)=125. $$

Відповідь: $ Z_ (min) = -75; \; z_(max) = 125 $.

У цій статті я розповім про алгоритм пошуку найбільшого та найменшого значенняфункції, точок мінімуму та максимуму.

З теорії нам нагоді таблиця похіднихі правила диференціювання. Все це є в цій табличці:

Алгоритм пошуку найбільшого та найменшого значення.

Мені зручніше пояснювати конкретному прикладі. Розглянемо:

Приклад:Знайдіть найбільше значення функції y=x^5+20x^3–65x на відрізку [–4;0].

Крок 1.Беремо похідну.

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

Крок 2Знаходимо точки екстремуму.

Крапкою екстремумуми називаємо такі точки, у яких функція сягає свого найбільшого чи найменшого значення.

Щоб знайти точки екстремуму, треба прирівняти похідну функцію до нуля (y" = 0)

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

Тепер вирішуємо це біквадратне рівняння і знайдене коріння є наші точки екстремуму.

Я розв'язую такі рівняння заміною t = x^2, тоді 5t^2 + 60t - 65 = 0.

Скоротимо рівняння на 5, отримаємо: t^2 + 12t - 13 = 0

D = 12 ^ 2 - 4 * 1 * (-13) = 196

T_(1) = (-12 + sqrt (196)) / 2 = (-12 + 14) / 2 = 1

T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

Робимо зворотну заміну x^2 = t:

X_(1 та 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 і 4) = ±sqrt(-13) (виключаємо, під коренем не може бути негативних чисел, якщо звичайно не йдеться про комплексні числа)

Разом: x_(1) = 1 і x_(2) = -1 - і є наші точки екстремуму.

Крок 3Визначаємо найбільше та найменше значення.

Метод підстановки.

За умови нам було дано відрізок [b][–4;0]. Точка x=1 у цей відрізок не входить. Отже її ми не розглядаємо. Але крім точки x=-1 нам також треба розглянути ліву та праву межу нашого відрізка, тобто точки -4 та 0. Для цього підставляємо всі ці три точки у вихідну функцію. Зауважте вихідну - це ту, яка дана в умові (y=x^5+20x^3–65x), деякі починають підставляти у похідну...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

Значить найбільше значення функції це [b]44 і досягається воно точки [b]-1, яка називається точкою максимуму функції на відрізку [-4; 0].

Ми вирішили та отримали відповідь, ми молодці, можна розслабитися. Але стоп! Вам не здається, що рахувати y(-4) якось надто складно? В умовах обмеженого часу краще скористатися іншим способом, я називаю його так:

Через проміжки знакостійності.

Знаходяться ці проміжки для похідної функції, тобто нашого біквадратного рівняння.

Я роблю це так. Малюю спрямований відрізок. Розставляю точки: -4, -1, 0, 1. Не дивлячись на те, що 1 не входить у заданий відрізок, її все одно слід зазначити для того, щоб коректно визначити проміжки знакопостійності. Візьмемо якесь число набагато більше 1, припустимо 100, подумки підставимо їх у наше биквадратное рівняння 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Навіть нічого крім стає очевидно, що у точці 100 функція має знак плюс. А значить, і на проміжки від 1 до 100 вона має знак плюс. При переході через 1 (ми йдемо праворуч наліво) функція змінить знак на мінус. При переході через точку 0 функція збереже свій знак, оскільки це лише межа відрізка, а чи не корінь рівняння. При переході через -1 функція знову змінить знак плюс.

З теорії ми знаємо, що там, де похідна функції (а ми саме для неї це й креслили) змінює знак із плюсу на мінус (точка -1 у нашому випадку)функція досягає свого локального максимуму (y(-1)=44, як було пораховано раніше)на даному відрізку (це логічно дуже зрозуміло, функція перестала зростати, оскільки досягла свого максимуму і почала зменшуватися).

Відповідно, там де похідна функції змінює знак з мінусу на плюсдосягається локальний мінімум функції. Так, так, ми також знайшли точку локального мінімуму це 1, а y(1) – це мінімальне значення функції на відрізку, допустимо від -1 до +∞. Зверніть велику увагу, що це лише локальний мінімум, тобто мінімум на певному відрізку. Так як дійсний (глобальний) мінімум функція досягне десь там, -∞.

На погляд перший спосіб простіше теоретично, а другий простіше з погляду арифметичних дій, але набагато складніше з погляду теорії. Адже іноді бувають випадки, коли функція не змінює знак при переході через корінь рівняння, та й взагалі можна заплутатися з цими локальними, глобальними максимумами та мінімумами, хоча Вам так і так доведеться це добре освоїти, якщо ви плануєте вступати до технічного ВНЗ (а для чого інакше здавати профільне ЄДІта вирішувати це завдання). Але практика і лише практика раз і назавжди навчить Вас вирішувати такі завдання. А тренуватись можете на нашому сайті. Ось.

Якщо виникли якісь питання, чи щось незрозуміло – обов'язково запитайте. Я з радістю Вам відповім і внесу зміни, доповнення до статті. Пам'ятайте, ми робимо цей сайт разом!

Подивимося, як дослідити функцію з допомогою графіка. Виявляється, дивлячись на графік, можна дізнатися про все, що нас цікавить, а саме:

область визначення функції
область значень функції
нулі функції
проміжки зростання та спадання
точки максимуму та мінімуму
найбільше та найменше значення функції на відрізку.

Уточнимо термінологію:

Абсцисса- Це координата точки по горизонталі.
Ордината- Координата по вертикалі.
Ось абсцис- горизонтальна вісь, найчастіше звана вісь.
Вісь ординат- вертикальна вісь, або вісь.

Аргумент- незалежна змінна, від якої залежить значення функції. Найчастіше позначається.
Іншими словами, ми самі вибираємо , підставляємо у формулу функції та отримуємо .

Область визначенняфункції - безліч тих (і лише тих) значень аргументу, у яких функція існує.
Позначається: або .

На нашому малюнку область визначення функції - це відрізок. Саме на цьому відрізку намальовано графік функції. Тільки тут ця функція існує.

Область значень функції- це безліч значень, які набуває змінна . На нашому малюнку це відрізок - від найнижчого до самого верхнього значення.

Нулі функції- Точки, де значення функції дорівнює нулю, тобто . На малюнку це точки і .

Значення функції позитивнітам де . На малюнку це проміжки і .
Значення функції негативнітам де . У нас це проміжок (або інтервал) від до .

Найважливіші поняття - зростання та зменшення функціїна деякій множині. Як безліч можна взяти відрізок, інтервал, об'єднання проміжків або всю числову пряму.

Функція зростає

Іншими словами, чим більше, тим більше, тобто графік йде вправо та вгору.

Функція зменшуєтьсяна множині, якщо для будь-яких і, що належать множині, з нерівності випливає нерівність.

Для спадної функції більшому значенню відповідає менше значення. Графік йде вправо та вниз.

На нашому малюнку функція зростає на проміжку та зменшується на проміжках і .

Визначимо, що таке точки максимуму та мінімуму функції.

Точка максимуму- це внутрішня точка області визначення, така, що значення функції в ній більше, ніж у всіх близьких до неї точках.
Іншими словами, точка максимуму - така точка, значення функції в якій більше, ніж у сусідніх. Це локальний горбок на графіку.

На нашому малюнку – точка максимуму.

Точка мінімуму- Внутрішня точка області визначення, така, що значення функції в ній менше, ніж у всіх досить близьких до неї точках.
Тобто точка мінімуму - така, що значення функції у ній менше, ніж у сусідніх. На графіку це локальна "ямка".

На нашому малюнку – точка мінімуму.

Крапка – гранична. Вона не є внутрішньою точкою області визначення і тому не підходить для визначення точки максимуму. Адже вона не має сусідів ліворуч. Так само і на нашому графіку не може бути точкою мінімуму.

Точки максимуму та мінімуму разом називаються точками екстремуму функції. У нашому випадку це і.

А що робити, якщо потрібно знайти, наприклад, мінімум функціїна відрізку? У разі відповідь: . Тому що мінімум функції- це її значення у точці мінімуму.

Аналогічно, максимум нашої функції дорівнює. Він досягається в точці.

Можна сміливо сказати, що екстремуми функції рівні і .

Іноді у завданнях потрібно знайти найбільше та найменше значення функціїна заданому відрізку. Вони не обов'язково збігаються з екстремумами.

У нашому випадку найменше значення функціїна відрізку одно і збігається з мінімумом функції. А ось найбільше її значення на цьому відрізку дорівнює. Воно досягається у лівому кінці відрізка.

У будь-якому випадку найбільше та найменше значення безперервної функції на відрізку досягаються або в точках екстремуму, або на кінцях відрізка.

Мініатюрне і досить просте завдання з розряду тих, які служать рятівним колом студенту, що плаває. На природі сонне царство середини липня, тому саме час влаштуватися з ноутбуком на пляжі. Рано-вранці заграв сонячний зайчиктеорії, щоб незабаром сфокусуватися на практиці, яка, незважаючи на заявлену легкість, містить уламки скла в піску. У зв'язку з цим рекомендую сумлінно розглянути нечисленні приклади цієї сторінки. Для вирішення практичних завдань необхідно вміти знаходити похідніта розуміти матеріал статті Інтервали монотонності та екстремуми функції.

Спочатку коротко про головне. На уроці про безперервності функціїя наводив визначення безперервності у точці та безперервності на інтервалі. Зразково-показова поведінка функції на відрізку формулюється схожим чином. Функція безперервна на відрізку якщо:

1) вона безперервна на інтервалі;
2) безперервна у точці справаі в точці зліва.

У другому пункті мова зайшла про так звану односторонньої безперервностіфункції у точці. Існує кілька підходів до її визначення, але я дотримуватимуся розпочатої раніше лінії:

Функція безперервна у точці справа, якщо вона визначена в цій точці та її правостороння межа збігається зі значенням функції у цій точці: . Вона ж безперервна у точці зліва, якщо визначена в даній точці та її лівостороння межа дорівнює значенню у цій точці:

Уявіть, що зелені крапки – це цвяхи, на яких закріплена чарівна гумка:

Подумки візьміть червону лінію до рук. Очевидно, що як далеко ми не розтягували графік вгору і вниз (вздовж осі), функція все одно залишиться обмеженою– огорожу зверху, огорожу знизу, і наш виріб пасеться в загоні. Таким чином, безперервна на відрізку функція обмежена на ньому. У курсі матаналізу цей начебто простий факт констатується і суворо доводиться першою теоремою Вейєрштраса.…Багато дратує, що в математиці нудно обґрунтовуються елементарні твердження, однак у цьому є важливий сенс. Припустимо, якийсь житель махрового середньовіччя витягував графік у небо поза видимості ось це вставляло. До винаходу телескопа обмеженість функції у космосі була зовсім очевидна! Справді, звідки ви знаєте, що на нас чекає за обрієм? Адже колись і Земля вважалася плоскою, тому сьогодні навіть звичайна телепортація потребує доказів.

Згідно другий теоремі Вейєрштраса, безперервна на відрізкуфункція досягає своєї точної верхньої граніі своєю точної нижньої грані .

Число також називають максимальним значенням функції на відрізкуі позначають через , а число – мінімальним значенням функції на відрізкуз позначкою .

У нашому випадку:

Примітка : у теорії поширені записи .

Грубо кажучи, найбільше значення є там, де сама висока точкаграфіка, а найменше – де найнижча точка.

Важливо!Як уже загострювалася увага у статті про екстремумах функції, найбільше значення функціїі найменше значення функції – НЕ ТЕ Ж САМЕ, що максимум функціїі мінімум функції. Так, у прикладі число є мінімумом функції, але не мінімальним значенням.

До речі, а що відбувається поза відрізком? Та хоч потоп, у контексті завдання це нас зовсім не цікавить. Завдання передбачає лише знаходження двох чисел і все!

Більше того, рішення чисто аналітичне, отже, креслення робити не треба!

Алгоритм лежить на поверхні та напрошується з наведеного малюнка:

1) Знаходимо значення функції у критичних точках, які належать даному відрізку.

Ловіть ще одну плюшку: тут відпадає необхідність перевіряти достатню умову екстремуму, оскільки, щойно було показано, наявність мінімуму або максимуму ще не гарантуєщо там мінімальне або максимальне значення. Демонстраційна функція досягає максимуму і волею долі це ж число є найбільшим значеннямфункції на відрізку. Але, зрозуміло, такий збіг має місце далеко не завжди.

Отже, на першому кроці швидше і простіше обчислити значення функції в критичних точках, що належать відрізку, не заморочуючись їсти в них екстремуми чи ні.

2) Обчислюємо значення функції кінцях відрізка.

3) Серед знайдених у 1-му та 2-му пунктах значень функції вибираємо найменше та найменше велике число, записуємо відповідь.

Сідаємо на берег синього моря і б'ємо п'ятами по мілководді:

Приклад 1

Знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку

Рішення:
1) Обчислимо значення функції у критичних точках, що належать даному відрізку:

Обчислимо значення функції на другий критичній точці:

2) Обчислимо значення функції на кінцях відрізка:

3) «Жирні» результати отримані з експонентами та логарифмами, що суттєво ускладнює їх порівняння. Тому озброїмося калькулятором або Екселем і обчислимо наближені значення, не забуваючи, що :