Теорема гауса у вакуумі. Застосування теореми Гауса для розрахунку електричних полів

Як було сказано вище, силові лінії домовилися проводити з такою густотою, щоб кількість ліній, що пронизують одиницю поверхні, перпендикулярної до ліній майданчика, дорівнювала б модулю вектора . Тоді за картиною ліній напруженості можна будувати висновки як про напрямі, а й величині вектора у різних точках простору.

Розглянемо силові лінії нерухомого позитивного точкового заряду. Вони є радіальні прямі, що виходять із заряду і закінчуються на нескінченності. Проведемо Nтаких ліній. Тоді на відстані rвід заряду число силових ліній, що перетинають одиницю поверхні сфери радіусу r, буде одно. Ця величина пропорційна напруженості поля точкового заряду на відстані r.Число Nзавжди можна вибрати таким, щоб виконувалася рівність

звідки. Оскільки силові лінії безперервні, така ж кількість силових ліній перетинає замкнуту поверхню будь-якої форми, що охоплює заряд q.Залежно від знака заряду силові лінії або входять до цієї замкнутої поверхні, або виходять назовні. Якщо число вихідних ліній вважати позитивним, а вхідних – негативним, можна опустити знак модуля і записати:

.

(1.4)

Потік вектор напруженості.Помістимо в електричне поле елементарний майданчик, що має площу. Майданчик повинен бути настільки малим, щоб напруженість електричного поля у всіх її точках можна було вважати однаковою. Проведемо нормаль до майданчика (рис. 1.17). Напрямок цієї нормалі вибирається довільно. Нормаль складає кут із вектором. Потоком вектора напруженості електричного поля через виділену поверхню називається добуток площі поверхні на проекцію вектора напруженості електричного поля на нормаль до майданчика:

де - Проекція вектора на нормаль до майданчика.

Оскільки кількість силових ліній, що пронизують одиничний майданчик, дорівнює модулю вектора напруженості в околиці виділеного майданчика, то потік вектора напруженості через поверхню пропорційний числу силових ліній, що перетинають цю поверхню. Тому, у загальному випадку, наочно потік вектора напруженості поля через майданчик можна інтерпретувати як величину, що дорівнює кількості силових ліній, що пронизують цей майданчик:

.

(1.5)

Зауважимо, що вибір напряму нормалі умовний, її можна направити і в інший бік. Отже, потік - алгебраїчна величина: знак потоку залежить не тільки від конфігурації поля, але і від взаємної орієнтації вектора нормалі і вектора напруженості. Якщо ці два вектори утворюють гострий кут, потік позитивний, якщо тупий – негативний. У разі замкнутої поверхні прийнято нормаль брати назовні області, що охоплюється цією поверхнею, тобто вибирати зовнішню нормаль.

Якщо поле неоднорідне і поверхня довільна, то потік визначається так. Всю поверхню треба розбити на малі елементи площею, обчислити потоки напруженості через кожен із цих елементів, а потім підсумувати потоки через всі елементи:

Таким чином, напруженість поля характеризує електричне поле у ​​точці простору. Потік напруженості залежить не від значення напруженості поля в даній точці, а від розподілу поля поверхнею тієї чи іншої площі.

Силові лінії електричного поля можуть починатися лише на позитивних зарядах та закінчуватися на негативних. Вони не можуть починатися чи обриватися у просторі. Тому, якщо всередині деякого замкнутого об'єму немає електричного заряду, то повне число ліній, що входять в даний об'єм і виходять з нього, дорівнюватиме нулю. Якщо обсяг виходить більше ліній, ніж входить у нього, то всередині обсягу перебуває позитивний заряд; якщо входить ліній більше, ніж виходить, то всередині має бути негативний заряд. При рівності повного заряду всередині обсягу нулю або за відсутності в ньому електричного заряду лінії поля пронизують його наскрізь і повний потік дорівнює нулю.

Ці прості міркування не залежить від того, як електричний заряд розподілений всередині об'єму. Він може знаходитися в центрі об'єму або поблизу обмежуючої поверхні. В обсязі може бути кілька позитивних і негативних зарядів, розподілених всередині обсягу будь-яким способом. Тільки сумарний заряд визначає повну кількість вхідних або вихідних ліній напруги.

Як видно з (1.4) та (1.5), потік вектора напруженості електричного поля через довільну замкнуту поверхню, що охоплює заряд q,дорівнює. Якщо всередині поверхні знаходиться nзарядів, то, згідно з принципом суперпозиції полів, повний потік буде складатися з потоків напруженостей полів усіх зарядів і дорівнюватиме , де під в цьому випадку мається на увазі алгебраїчна сума всіх зарядів, що охоплюються замкнутою поверхнею.

Теорема Гауса. Гауспершим виявив той простий факт, що потік вектора напруженості електричного поля через довільну замкнуту поверхню має бути пов'язаний з повним зарядом, що знаходиться всередині цього обсягу:

Гаус Карл Фрідріх (1777–1855)

Великий німецький математик, фізик та астроном, творець абсолютної системи одиниць у фізиці. Розробив теорію електростатичного потенціалу та довів найважливішу теорему електростатики (теорема Гаусса). Створив теорію побудови зображень у складних оптичних системах. Одним із перших прийшов до думки про можливість існування неевклідової геометрії. Крім того, Гаус вніс видатний внесок практично у всі розділи математики.

Останнє співвідношення і являє собою теорему Гауса для електричного поля: поток вектора напруженості через довільну замкнуту поверхню пропорційний сумі алгебри зарядів, розташованих всередині цієї поверхні. Коефіцієнт пропорційності залежить від вибору системи одиниць.

Слід зазначити, що теорема Гауса виходить як наслідок закону Кулона та принципу суперпозиції. Якби напруженість електричного поля змінювалася б не обернено пропорційно квадрату відстані, то теорема виявилася б несправедливою. Тому теорема Гауса застосовна до будь-яких полів, у яких суворо виконується закон зворотних квадратів і принцип суперпозиції, наприклад, до гравітаційного поля. У разі гравітаційного поля роль зарядів, що утворюють поле, відіграють маси тіл. Потік ліній гравітаційного поля через замкнуту поверхню пропорційний до повної маси, укладеної всередині цієї поверхні.

Напруженість поля зарядженої площини.Застосуємо теорему Гаусса визначення напруженості електричного поля нескінченної зарядженої площині. Якщо площина нескінченна і заряджена рівномірно, тобто поверхнева щільність заряду однакова в будь-якому її місці, лінії напруженості електричного поля в будь-якій точці перпендикулярні цій площині. Щоб показати це, скористаємося принципом суперпозиції вектора напруженості. Виділимо дві елементарні ділянки на площині, які можна вважати точковими для точки А, В якій необхідно визначити напруженість поля. Як видно із рис. 1.18 результуючий вектор напруженості буде спрямований перпендикулярно площині. Оскільки площину можна розбити на нескінченну кількість пар таких ділянок для будь-якої точки спостереження, очевидно, що силові лінії поля зарядженої площини перпендикулярні до площини, і поле є однорідним (рис. 1.19). Якби це було не так, то при переміщенні площини вздовж самої себе поле в кожній точці простору змінювалося, але це суперечить симетрії зарядженої системи (площина нескінченна). У разі позитивно зарядженої площини силові лінії починаються на площині та закінчуються на нескінченності, а для негативно зарядженої площини силові лінії починаються на нескінченності та входять у площину.

Мал. 1.18	Мал. 1.19

Для визначення напруженості електричного поля нескінченної позитивно зарядженої площини подумки виділимо в просторі циліндр, вісь якого перпендикулярна зарядженій площині, а основи паралельні їй, і одна з основ проходить через точку поля, що цікавить нас (рис. 1.19). Циліндр вирізає із зарядженої площини ділянку площею, і таку ж площу мають підстави циліндра, розташовані по різні боки від площини.

Відповідно до теореми Гауса потік вектора напруженості електричного поля через поверхню циліндра пов'язаний з електричним зарядом усередині циліндра виразом:

.

Так як лінії напруженості перетинають лише підстави циліндра, потік через бічну поверхню циліндра дорівнює нулю. Тому потік вектора напруженості через циліндричну поверхню складатиметься тільки з потоків через основи циліндра, отже,

Порівнюючи два останні вирази для потоку вектора напруженості, отримаємо

Напруженість електричного поля між різноіменно зарядженими пластинами.Якщо розміри пластин значно перевищують відстань між ними, то електричне поле кожної із пластин можна вважати близьким до поля нескінченної рівномірно зарядженої площини. Так як лінії напруженості електричного поля різноіменно заряджених пластин між пластинами спрямовані в один бік (рис. 1.20), то напруженість поля між пластинами дорівнює

.

У зовнішньому просторі лінії напруженості електричного поля різноіменно заряджених пластин мають протилежні напрямки, тому поза цими пластинами результуюча напруженість електричного поля дорівнює нулю. Отримане напруженості вираз справедливо для великих заряджених пластин, коли напруженість визначається точці, розташованої далеко від своїх країв.

Напруженість електричного поля рівномірно зарядженого тонкого дроту нескінченної довжини.Знайдемо залежність напруженості електричного поля рівномірно зарядженого тонкого дроту нескінченної довжини від відстані до осі дроту, використовуючи теорему Гауса. Виділимо ділянку дроту кінцевої довжини. Якщо лінійна щільність заряду на дроті, то заряд виділеної ділянки дорівнює.

Розглянемо поле точкового заряду $q$, знайдемо потік вектора напруженості ($\overrightarrow(E)$) через замкнуту поверхню $S$. Вважатимемо, що заряд знаходиться всередині поверхні. Потік вектора напруженості через будь-яку поверхню дорівнює кількості ліній вектора напруженості, які виходять назовні (починаються на заряді, якщо $q>0$) або кількості ліній $\overrightarrow(E)$входять усередину, якщо $q \[Ф_E=\frac( q)((\varepsilon )_0)\ \left(1\right),\]

де знак потоку збігається із знаком заряду.

Теорема Остроградського – Гауса в інтегральній формі

Припустимо, що всередині поверхні S знаходиться N точкових зарядів, величини $ q_1, q_2, \ dots q_N. є:

Отже, для потоку системи точкових зарядів можна записати:

Використовуємо формулу (1), отримуємо, що:

\[Ф_E=\oint\limits_S(\overrightarrow(E)d\overrightarrow(S))=\frac(1)((\varepsilon )_0)\sum\limits^N_(i=1)(q_i\ )\ left(4\right).\]

Рівняння (4) означає, що потік вектора напруженості електричного поля через замкнуту поверхню дорівнює сумі алгебри зарядів, які знаходяться всередині даної поверхні, поділеної на електричну постійну. Це теорема Остроградського – Гауса в інтегральній формі. Ця теорема є наслідком закону Кулона. Значення цієї теореми у тому, що вона дозволяє досить легко обчислювати електричні поля за різних розподілах зарядів.

Як наслідок теореми Остроградського - Гауса треба сказати, що потік вектора напруженості ($Ф_E$) через замкнуту поверхню у разі якого заряди знаходяться поза даної поверхні, дорівнює нулю.

У тому випадку, коли можна не враховувати дискретність зарядів, використовують поняття об'ємної щільності заряду ($\rho $), якщо заряд розподілений за обсягом. Вона визначена як:

\[\rho =\frac(dq)(dV)\left(5\right),\]

де $dq$ - заряд, який вважатимуться точковим, $dV$ -- малий обсяг. (Щодо $dV$ необхідно зробити таке зауваження. Даний об'єм малий настільки, щоб щільність заряду в ньому можна було вважати постійною, але досить великою, щоб не почала проявлятися дискретність заряду). Сумарний заряд, який знаходиться в порожнині, можна знайти як:

\[\sum\limits^N_(i=1)(q_i\ )=\int\limits_V(\rho dV)\left(6\right).\]

У такому разі формулу (4) перепишемо у вигляді:

\[\oint\limits_S(\overrightarrow(E)d\overrightarrow(S))=\frac(1)((\varepsilon )_0)\int\limits_V(\rho dV)\left(7\right).\ ]

Теорема Остроградського – Гауса в диференційній формі

Використовуючи формулу Остроградського - Гауса для будь-якого поля векторної природи, за допомогою якої здійснюється перехід від інтегрування замкнутої поверхні до інтегрування за обсягом:

\[\oint\limits_S(\overrightarrow(a)\overrightarrow(dS)=\int\nolimits_V(div))\overrightarrow(a)dV\ \left(8\right),\]

де $\overrightarrow(a)-$вектор поля (у нашому випадку це $\overrightarrow(E)$), $div\overrightarrow(a)=\overrightarrow(\nabla )\overrightarrow(a)=\frac(\partial a_x)(\partial x)+\frac(\partial a_y)(\partial y)+\frac(\partial a_z)(\partial z)$ -- дивергенція вектора $\overrightarrow(a)$ у точці з координатами ( x,y,z), яка відображає векторне поле на скалярному. $\overrightarrow(\nabla )=\frac(\partial )(\partial x)\overrightarrow(i)+\frac(\partial )(\partial y)\overrightarrow(j)+\frac(\partial )(\ partial z) \ overrightarrow (k) $ - оператор набла. (У нашому випадку буде $div\overrightarrow(E)=\overrightarrow(\nabla )\overrightarrow(E)=\frac(\partial E_x)(\partial x)+\frac(\partial E_y)(\partial y) +\frac(\partial E_z)(\partial z)$) - дивергенція вектора напруженості. Дотримуючись вищесказаного, формулу (6) перепишемо як:

\[\oint\limits_S(\overrightarrow(E)\overrightarrow(dS)=\int\nolimits_V(div))\overrightarrow(E)dV=\frac(1)((\varepsilon )_0)\int\limits_V( \rho dV)\left(9\right).\]

Рівності в рівнянні (9) виконуються для будь-якого об'єму, а це можливо тільки, якщо функції, які знаходяться в підінтегральних виразах, рівні в кожному струмі простору, тобто ми можемо записати, що:

Вираз (10) – теорема Остроградського – Гауса в диференційній формі. Трактування її таке: заряди є джерелами електричного поля. Якщо $div\overrightarrow(E)>0$, то в цих точках поля (позитивні заряди) ми маємо джерела поля, якщо $div\overrightarrow(E)

Завдання: Заряд рівномірно розподілений за об'ємом, у цьому об'ємі виділена кубічна поверхня зі стороною b. Вона вписана у сферу. Знайдіть відношення потоків вектора напруженості через ці поверхні.

Відповідно до теореми Гауса потік ($Ф_E$) вектора напруженості $\overrightarrow(E)$ через замкнуту поверхню при рівномірному розподілі заряду за обсягом дорівнює:

\[Ф_E=\frac(1)((\varepsilon )_0)Q=\frac(1)((\varepsilon )_0)\int\limits_V(\rho dV=\frac(\rho )((\varepsilon ) _0)\int\limits_V(dV)=\frac(\rho V)((\varepsilon )_0))\left(1.1\right).

Отже, нам необхідно визначити обсяги куба та кулі, якщо куля описати навколо цього куба. Для початку обсяг куба ($V_k$) якщо сторона його b дорівнює:

Знайдемо об'єм кулі ($V_(sh)$) за формулою:

де $D$ -- діаметр кулі і (оскільки куля описаний навколо куба), головна діагональ куба. Отже, нам необхідно виразити діагональ куба через його бік. Це легко зробити, якщо використати теорему Піфагора. Для обчислення діагоналі куба, наприклад, (1,5), нам спочатку необхідно знайти діагональ квадрата (нижньої основи куба) (1,6). Довжина діагоналі (1,6) дорівнює:

У такому випадку довжина діагоналі (1,5) дорівнює:

\[(D=D)_(15)=\sqrt(b^2+((\sqrt(b^2+b^2\ \ )))^2)=b\sqrt(3)\ \left (1.5 \ right). \]

Підставимо в (1.3) знайдений діаметр кулі, отримаємо:

Тепер ми можемо знайти потоки вектора напруженості через поверхню куба, вона дорівнює:

\[Ф_(Ek)=\frac(\rho V_k)((\varepsilon )_0)=\frac(\rho b^3)((\varepsilon )_0)\left(1.7\right),\]

через поверхню кулі:

\[Ф_(Esh)=\frac(\rho V_(sh))((\varepsilon )_0)=\frac(\rho )((\varepsilon )_0)\frac(\sqrt(3))(2) \pi b^3\ \left(1.8\right).\]

Знайдемо відношення $\frac(Ф_(Esh))(Ф_(Ek))$:

\[\frac(Ф_(Esh))(Ф_(Ek))=\frac(\frac(с)(\varepsilon_0)\frac(\sqrt(3))(2) \pi b^3)(\frac (сb^3)(\varepsilon_0))=\frac(\pi)(2)\sqrt(3)\ \approx 2,7\left(1.9\right).

Відповідь: Потік через поверхню кулі в 2,7 рази більший.

Завдання: Доведіть, що заряд провідника розташовується на поверхні.

Використовуємо для доказу теорему Гауса. Виділимо у провіднику замкнуту поверхню довільної форми біля поверхні провідника (рис.2).

Припустимо, що заряди всередині провідника є, запишемо з теорему Остроградського – Гауса для дивергенції поля маємо для будь-якої точки поверхні S:

де $ rho -щільність $ внутрішнього заряду. Однак поля всередині провідника немає, тобто $\overrightarrow(E)=0$, отже $div\overrightarrow(E)=0\to \rho =0$. Теорема Остроградського - Гауса в диференціальній формі локальна, тобто вона записана для точки поля, ми спеціальним чином точку не вибирали, отже, щільність заряду дорівнює нулю в будь-якій точці поля всередині провідника.

Принцип суперпозиції разом із законом Кулона дає ключ до обчислення електричного поля довільної системи зарядів, але безпосереднє підсумовування полів за формулою (4.2) зазвичай потребує складних обчислень. Втім, за наявності тієї чи іншої симетрії системи зарядів обчислення суттєво спрощуються, якщо запровадити поняття потоку електричного поля та використовувати теорему Гауса.

Уявлення про потік електричного поля привнесені до електродинаміки з гідродинаміки. У гідродинаміці потік рідини через трубу, тобто обсяг рідини N , що проходить через переріз труби в одиницю часу, дорівнює v ⋅ S , де v швидкість рідини, а S - площа перерізу труби. Якщо швидкість рідини змінюється за перерізом, потрібно використовувати інтегральну формулу N = ∫ S v → ⋅ d S → . Дійсно, виділимо в полі швидкостей малу площадку d S перпендикулярну до вектора швидкості (рис. ).

Мал. 1.4: Потік рідини

Об'єм рідини, що протікає через цей майданчик за час d t , дорівнює v d S d t . Якщо площадка нахилена до потоку, то відповідний обсяг буде v d S cos θ d t , де θ - Кут між вектором швидкості v → і нормаллю n → до майданчика d S . Об'єм рідини, що протікає через майданчик d S в одиницю часу, виходить розподілом цієї величини на d t . Він дорівнює v d S cos θ d t, тобто. скалярному твору v → ⋅ d S → вектор швидкості v → на вектор елемента площі d S → = n → d S . Поодинокий вектор n → нормалі до майданчика d S можна провести у двох прямо протилежних напрямках. одна з них умовно приймається за позитивне. У цьому напрямку проводиться нормаль n → . Та сторона майданчика, з якої виходить нормаль n → , називається зовнішньою, а та, до якої нормаль n → входить — внутрішньою. Вектор елемента площі d S → спрямований зовнішньої нормалі n → до поверхні, а за величиною дорівнює площі елемента d S = ∣ d S → ∣ . При обчисленні об'єму рідини, що протікає через майданчик S кінцевих розмірів, її треба розвинути на нескінченно малі майданчики d S , а потім обчислити інтеграл ∫ S v → ⋅ d S → по всій поверхні S .

Вирази типу ∫ S v → ⋅ d S → зустрічаються у багатьох галузях фізики та математики. Вони називаються потоком вектора v → через поверхню S незалежно від вектора природи v → . В електродинаміці інтеграл

N = ∫ S E → ⋅ d S →

(5.1)

називають потоком напруженості електричного поля E → через довільну поверхню S хоча з цим поняттям не пов'язана ніяка реальна течія.

Припустимо, що вектор E → представляється геометричною сумою

E → = ∑ j E → j.

Помноживши цю рівність скалярно на d S → і проінтегрувавши, отримаємо

N = ∑ j N j .

де N j — потік вектора E → j через ту саму поверхню. Таким чином, з принципу суперпозиції напруженості електричного поля випливає, що потоки через ту саму поверхню складаються алгебраїчно.

Теорема Гауса свідчить, що потік вектора E через довільну замкнуту поверхню дорівнює помноженому на 4 π сумарному заряду Q всіх частинок, що знаходяться всередині цієї поверхні:

Доказ теореми проведемо у три етапи.

1. Почнемо з обчислення потоку електричного поля одного точкового заряду q (рис.). У найпростішому разі, коли поверхня інтегрування S є сферою, а заряд перебуває у її центрі, справедливість теореми Гаусса практично очевидна. На поверхні сфери напруженість електричного поля

E → = q r → ∕ r 3

постійна за величиною і всюди спрямована нормалі до поверхні, так що потік електричного поля просто дорівнює добутку E = q r 2 на площу сфери S = ​​4 π r 2 . Отже, N = 4 π q. Цей результат не залежить від форми поверхні, що оточує заряд. Щоб довести це, виділимо довільний майданчик поверхні малого розміру з встановленим на ній напрямом зовнішньої нормалі n → . На рис. показаний такий сегмент перебільшено великого (для наочності) розміру.

Потік вектора E → через цей майданчик дорівнює d N = E → ⋅ d S → = E cos θ d S ,

де θ - Кут між напрямком E → і зовнішньою нормаллю n → до майданчика d S . Оскільки E = q ∕ r 2 , а d S cos θ ∕ ​​r 2 за абсолютною величиною є елемент тілесного кута d Ω = d S ∣ cos θ ∣ ∕ r 2 , під яким видно майданчик d S з точки розташування заряду,

D N = ± q d Ω.

де знаки плюс і мінус відповідають знаку cos θ , а саме: слід взяти знак плюс, якщо вектор E → становить гострий кут з напрямком зовнішньої нормалі n → і знак мінус в іншому випадку.

2. Тепер розглянемо кінцеву поверхню S, що охоплює певний виділений об'єм V. По відношенню до цього обсягу завжди можна визначити, який із двох протилежних напрямків нормалі до будь-якого елемента поверхні S слід вважати зовнішнім. Зовнішня нормаль спрямовано обсягу V назовні. Підсумовуючи сегментами, з точністю до знака маємо N = q Ω , де Ω — тілесний кут, під яким видно поверхню S з точки, де знаходиться заряд q . Якщо поверхня S замкнута, Ω = 4 π за умови, що заряд q знаходиться всередині S . Інакше Ω = 0 . Щоб пояснити останнє твердження можна знову звернутися до рис. .

Очевидно, що потоки через сегменти замкнутої поверхні, що спираються на рівні тілесні кути, але звернені в протилежні сторони, скорочуються взаємно. Очевидно також, що якщо заряд знаходиться поза замкнутою поверхнею, то будь-якому сегменту, зверненому назовні, знайдеться відповідний сегмент, звернений усередину.

3. Нарешті, скориставшись принципом суперпозиції, приходимо до підсумкового формулювання теореми Гауса (). Справді, поле системи зарядів дорівнює сумі полів кожного заряду окремо, але праву частину теореми () дають ненульовий внесок лише заряди, що усередині замкнутої поверхні. Цим завершується підтвердження.

У макроскопічних тілах кількість носіїв заряду настільки велике, що дискретний ансамбль частинок зручно у вигляді безперервного розподілу, ввівши поняття щільності заряду. За визначенням, щільністю заряду ρ називається відношення Δ Q ∕ Δ V у межі, коли обсяг Δ V прагне фізично нескінченно малої величини:

де інтегрування у правій частині проводиться за обсягом V замкненому поверхнею S .

Теорема Гауса дає одне скалярне рівняння на три компоненти вектора E → , тому для розрахунку електричного поля цієї теореми недостатньо. Необхідна відома симетрія розподілу густини зарядів, щоб завдання могло бути зведене до одного скалярного рівняння. Теорема Гауса дозволяє знайти поле в тих випадках, коли поверхню інтегрування () вдається вибрати так, що напруженість електричного поля E постійна на всій поверхні. Розглянемо найбільш повчальні приклади.

▸ Завдання 5.1

Знайти поле кулі, рівномірно зарядженої за об'ємом абоповерхні.

Рішення: Електричне поле точкового заряду E → = q r → ∕ r 3 прагне нескінченності при r → 0 . Цей факт показує суперечливість уявлення елементарних частинок точковими зарядами Якщо ж заряд q рівномірно розподілений за обсягом кулі кінцевого радіусу a , то електричне поле немає особливостей.

З симетрії завдання ясно, що електричне поле E → всюди спрямовано радіально, яке напруження E = E(r) залежить тільки від відстані r до центру кулі. Тоді потік електричного поля через сферу радіусу r просто дорівнює 4 π r 2 E (рис.).

З іншого боку, заряд усередині тієї ж сфери дорівнює повному зарядукулі Q, якщо r ≥ a. Прирівнюючи 4 π r 2 E до помноженого на 4 π заряду кулі q отримуємо: E (r) = q ∕ r 2 .

Таким чином, у зовнішньому просторі заряджена куля створює таке поле, ніби весь заряд був зосереджений у його центрі. Цей результат справедливий за будь-якого сферично-симетричного. розподіл заряду.

Поле всередині кулі одно E (r) = Q r 2 , де Q - заряд усередині сірки радіуса r . Якщо заряд рівномірно розподілено за обсягом кулі, то Q = q (r ∕ a) 3 . В цьому випадку

E (r) = q r ∕ a 3 = (4 π ∕ 3) ρ r ,

де ρ = q ∕ (4 π a 3 ∕ 3) - густина заряду. Усередині кулі поле лінійно спадає від максимальної значення поверхні кулі до нуля у його центрі (рис. ).

Функція E(r) при цьому всюди кінцева і безперервна.

Якщо заряд розподілений поверхнею кулі, то Q = 0 , тому також E = 0 . Це результат також справедливий для випадку, коли всередині сферичної порожнини зарядів немає, а зовнішні заряди розподілені сферичносиметрично. ▸ Завдання 5.2

Знайти поле рівномірно зарядженої нескінченної нитки; радіус нитки a , заряд на одиницю довжини ϰ .

▸ Завдання 5.3

Знайти поле нескінченної прямої нитки та нескінченно довгого рівномірно зарядженого циліндра.

▸ Завдання 5.4

Знайти поле нескінченної зарядженої площини та рівномірно зарядженого нескінченного плоского шару.

Рішення: Внаслідок симетрії завдання поле спрямоване по нормалі до шару і залежить лише від відстані x від площини симетрії пластини. Для обчислення поля за допомогою теореми Гауса зручно вибрати поверхню інтегрування S в вигляді паралеліпіпеда, як показано на рис. .

Останній результат виходить граничним переходом a → 0 при одночасному збільшенні щільності зарядуρ так, щоб величина σ = ρ a залишалася незмінною. По різні боки від площини напруженість електричного поля однакова за величиною, але протилежна за напрямом. Тому при переході через заряджену площину поле стрибком змінюється на величину 4 π σ . Зауважимо, що пластина може вважатися нескінченною, якщо відстань від зневажливо мало проти її розмірами. на відстанях дуже великих у порівнянні з розмірами пластини вона діє, як точковий заряд, та її поле убуває назад пропорційно квадрату відстані.

Електростатичне поле можна наочно зобразити за допомогою силових ліній (ліній напруженості). Силовими лініяминазивають криві, дотичні до яких у кожній точці збігаються з вектором напруженості Е .

Силові лінії є умовним поняттям і реально немає. Силові лінії одиночного негативного та одиночного позитивного зарядів зображені на рис. 5 - це радіальні прямі, що виходять від позитивного заряду або йдуть до негативного заряду.

Якщо густота і напрям силових ліній по всьому об'єму поля зберігаються незмінними, таке електростатичне поле вважається однорідним (виділення число ліній повинно бути чисельно дорівнює напруженості поля Е .

Число силових ліній позначка dS, перпендикулярну до них, визначає потік вектора напруженості електростатичного поля:

формула "src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/17-1.gif" border="0" align="absmiddle" alt="- Проекція вектора Е на напрямок нормалі n до майданчика dS (рис. 6).

Відповідно, потік вектора Е крізь довільну замкнуту поверхню S

позначка">S не тільки величина, а й знак потоку можуть змінюватися:

1) при формула "src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/17-4.gif" border="0" align="absmiddle" alt="

3) при виділенні Знайдемо потік вектора Е крізь сферичну поверхню S, в центрі якої знаходиться точковий заряд q.

У цьому випадку позначка Е і n у всіх точках сферичної поверхні збігаються.

З урахуванням напруженості поля точкового заряду формула src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/18-2.gif" border="0" align="absmiddle" alt="(! LANG:отримаємо

формула "src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/Fe.gif" border="0" align="absmiddle" alt="- алгебраїчна величина, що залежить від знаку заряду. Наприклад, при q<0 линии Е направлены к заряду и противоположны направлению внешней нормали n ..gif" border="0" align="absmiddle" alt="навколо заряду має довільну форму. Очевидно, що поверхня помітка "Е, що і поверхня S. Отже, потік вектора Е крізь довільну поверхню формула" src=" ="0" align="absmiddle" alt=".

Якщо заряд перебуватиме поза замкненою поверхнею, то, очевидно, скільки ліній увійде в замкнуту область, стільки ж із неї і вийде. В результаті потік вектора Е дорівнюватиме нулю.

Якщо електричне поле створюється системою точкових зарядівформула "src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/18-4.gif" border="0" align="absmiddle" alt="

Ця формула є математичним виразом теореми Гауса: потік вектора напруженості Е електричного поля у вакуумі через довільну замкнуту поверхню дорівнює сумі алгебри зарядів, які вона охоплює, поділеної наформула "src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/18-6.gif" border="0" align="absmiddle" alt="

Для повноти опису представимо теорему Гауса ще й у локальній формі, спираючись не так на інтегральні співвідношення, але в параметри поля у цій точці простору. Для цього зручно використовувати диференціальний оператор - дивергенцію вектора, -

формула "src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/nabla.gif" border="0" align="absmiddle" alt="(«набла») -

формула "src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/19-1.gif" border="0" align="absmiddle" alt="

У математичному аналізі відома теорема Гаусса-Остроградського: потік вектора через замкнуту поверхню дорівнює інтегралу від його дивергенції за обсягом, обмеженим цією поверхнею, -

формула src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/ro.gif" border="0" align="absmiddle" alt=":

формула "src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/19-4.gif" border="0" align="absmiddle" alt="

Цей вислів є теорема Гауса в локальній (диференціальній) формі.

Теорема Гауса (2.2) дозволяє визначати напруженість різних електростатичних полів. Розглянемо кілька прикладів застосування теореми Гауса.

1. Обчислимо Е електростатичного поля, що створюється рівномірно зарядженою сферичною поверхнею.

Припустимо, що сферична поверхня радіуса R несе у собі рівномірно розподілений заряд q, тобто. поверхнева щільність заряду всюди однакова позначка R від центру сфери подумки побудуємо нову сферичну поверхню S, симетричну зарядженій сфері. Відповідно до теореми Гауса

формула "src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/20-1.gif" border="0" align="absmiddle" alt="

Для точок, що знаходяться на поверхні зарядженої сфери радіуса R, можна за аналогією записати:

виділення">всередині зарядженої сфери, не містить у собі електричних зарядів, тому потік позначка">Е = 0.

Завдання обчислення напруженості поля системи електричних зарядів, використовуючи за допомогою принципу суперпозиції електростатичних полів можна полегшити, якщо застосовувати відкриту німецьким ученим К. Гауссом (1777-1855) теорему, яка визначає потік вектора напруженості електричного поля крізь довільну замкнуту поверхню.

З визначення потоку вектора напруженості крізь замкнуту поверхню потік вектора напруженості крізь сферичну поверхню радіуса r, яка охоплює точковий заряд Q, що знаходиться в її центрі (мал. 1), дорівнює

Цей результат є справедливим для замкнутої поверхні довільної форми. Справді, якщо укласти сферу (рис. 1) у довільну замкнуту поверхню, кожна лінія напруженості, яка пронизує сферу, пройде і крізь цю поверхню.

У разі, якщо замкнута поверхня будь-якої форми охоплює заряд (рис. 2), то при перетині будь-якої лінії напруженості з поверхнею вона входить до неї, то виходить з неї. При обчисленні потоку непарне число перетинів в кінцевому рахунку зводиться до одного перетину, так як потік належить позитивним, якщо лінії напруженості виходять з поверхні, і негативним для ліній, які входять в поверхню. як число ліній напруженості, що входять у поверхню, дорівнює числу ліній напруженості, що виходять із неї.

Значить, на поверхні довільної форми, якщо вона замкнута і містить у собі точковий заряд Q, потік вектора Едорівнюватиме Q/ε 0 , тобто.

Знак потоку збігається із знаком заряду Q.

Досліджуємо загальний випадок довільної поверхні, що оточує n зарядів. Використовуючи принцип суперпозиції, напруженість Еполя, що створюється всіма зарядами, дорівнює сумі напруженостей E iполів, які утворюються кожним зарядом окремо. Тому

Відповідно до (1), кожен з інтегралів, який стоїть під знаком суми, дорівнює Q i / ε 0 . Значить,

(2)

Формула (2) виражає теорему Гауса для електростатичного поля у вакуумі: потік вектора напруженості електростатичного поля у вакуумі крізь довільну замкнуту поверхню дорівнює сумі алгебри укладених всередині цієї поверхні зарядів, діленої на ε 0 . Ця теорема отримана математично для векторного поля довільної природи російським математиком М.В.Остроградським (1801-1862), а потім незалежно від нього стосовно електростатичного поля - К. Гауссом.

Загалом електричні заряди можуть бути розподілені з деякою об'ємною щільністю ρ=dQ/dV, яка різна у різних місцях простору. Тоді сумарний заряд, укладений усередині замкнутої поверхні S, яка охоплює деякий об'єм V,

(3)

Використовуючи формулу (3), теорему Гауса (2) можна записати так:

Циркуляцією вектора напруженості називається робота, яку здійснюють електричні сили при переміщенні одиничного позитивного заряду замкненим шляхом L

(13.18)

Оскільки робота сил електростатичного поля замкнутого контуру дорівнює нулю (робота сил потенційного поля), отже циркуляція напруженості електростатичного поля замкнутому контуру дорівнює нулю.

Потенціал електростатичного поля.Поле консервативної сили може бути описано не тільки векторною функцією, але еквівалентний опис цього поля можна отримати, визначивши в кожній його точці відповідну скалярну величину. Для електростатичного поля такою величиною є потенціал електростатичного поля, що визначається як відношення потенційної енергії пробного заряду qдо величини цього заряду,  = Wп / q, Звідки випливає, що потенціал чисельно дорівнює потенційній енергії, якою володіє в цій точці поля одиничний позитивний заряд. Одиницею виміру потенціалу служить Вольт (1 У).

Потенціал поля точкового заряду Qв однорідному ізотропному середовищі з діелектричною проникністю  :

Принцип суперпозиції.Потенціал є скалярною функцією, для неї справедливий принцип суперпозиції. Так для потенціалу поля системи точкових зарядів Q 1, Q 2 , Q nмаємо

,

де r i- відстань від точки поля, що має потенціал , до заряду Q i. Якщо заряд довільним чином розподілено у просторі, то

,

де r- Відстань від елементарного об'єму d x, d y, d zдо точки ( x, y, z), де визначається потенціал; V- Обсяг простору, в якому розподілений заряд.

Потенціал та робота сил електричного поля.Грунтуючись на визначенні потенціалу, можна показати, що робота сил електричного поля під час переміщення точкового заряду qз однієї точки поля в іншу дорівнює добутку величини цього заряду на різницю потенціалів у початковій та кінцевій точках шляху, A = q (     
Якщо за аналогією з потенційною енергією вважати, що в точках, нескінченно віддалених від електричних зарядів - джерел поля потенціал дорівнює нулю, то роботу сил електричного поля при переміщенні заряду qз точки 1 в нескінченність можна уявити як A   q  1 .
Таким чином, потенціал в даній точці електростатичного поля - це фізична величина, чисельно рівна роботі, що здійснюється силами електричного поля при переміщенні одиничного позитивного точкового заряду з даної точки поля в нескінченно віддалену:  = A  / q.
У деяких випадках потенціал електричного поля наочніше визначається як фізична величина, чисельно рівна роботі зовнішніх сил проти сил електричного поля при переміщенні одиничного позитивного точкового заряду з нескінченності до цієї точки. Останнє визначення зручно записати так:

У сучасній науці та техніці, особливо при описі явищ, що відбуваються в мікросвіті, часто використовується одиниця роботи та енергії, яка називається електрон-вольтом(ЕВ). Це робота, що здійснюється при переміщенні заряду, рівного заряду електрона, між двома точками з різницею потенціалів 1 В: 1 еВ = 1,6010  Кл1 В = 1,6010  Дж

Еквіпотенційні поверхні- поняття, застосовне до будь-якого потенційного векторного поля, наприклад, до статичного електричного поля або до ньютонівського гравітаційного поля. Еквіпотенційна поверхня - це поверхня, на якій скалярний потенціал даного потенційного поля набуває постійного значення (поверхня рівня потенціалу). Інше, еквівалентне, визначення - поверхня, у будь-якій своїй точці ортогональна силовим лініям поля.

Поверхня провідника в електростатиці є еквіпотенційною поверхнею. Крім того, приміщення провідника на еквіпотенційну поверхню не викликає зміни конфігурації електростатичного поля. Цей факт використовується у методі зображень, що дозволяє розраховувати електростатичне поле для складних конфігурацій.

У (стаціонарному) гравітаційному полі рівень нерухомої рідини встановлюється за еквіпотенційною поверхнею. Зокрема, приблизно можна стверджувати, що по еквіпотенційній поверхні гравітаційного поля Землі проходить рівень океанів. Форма поверхні океанів, продовжена поверхню Землі, називається геоїдом і грає значної ролі в геодезії. Геоїд, таким чином, є еквіпотенційною поверхнею сили тяжіння, що складається з гравітаційної та відцентрової складової.