Gradmaß für Inschrifts- und Mittelpunktswinkel. Kreis und eingeschriebener Winkel

Der Winkel ABC ist ein eingeschriebener Winkel. Es ruht auf dem zwischen seinen Seiten eingeschlossenen Bogen AC (Abb. 330).

Satz. Ein eingeschriebener Winkel wird durch die Hälfte des Bogens gemessen, den er schneidet.

Dies ist wie folgt zu verstehen: Ein eingeschriebener Winkel enthält so viele Winkelgrade, Minuten und Sekunden, wie Bogengrade, Minuten und Sekunden in der Hälfte des Bogens enthalten sind, auf der er ruht.

Um diesen Satz zu beweisen, müssen wir drei Fälle betrachten.

Erster Fall. Der Mittelpunkt des Kreises liegt auf der Seite des eingeschriebenen Winkels (Abb. 331).

Sei ∠ABC ein eingeschriebener Winkel und der Mittelpunkt des Kreises O liegt auf der Seite BC. Es muss nachgewiesen werden, dass es sich um die Hälfte des Lichtbogenwechselstroms handelt.

Verbinden Sie Punkt A mit dem Mittelpunkt des Kreises. Wir erhalten die gleichschenkligen \(\Delta\)AOB, in denen AO = OB, als die Radien desselben Kreises. Daher ist ∠A = ∠B.

∠AOC liegt außerhalb des Dreiecks AOB, also ist ∠AOC = ∠A + ∠B, und da die Winkel A und B gleich sind, ist ∠B 1/2 ∠AOC.

Aber ∠AOC wird durch den Bogen-Wechselstrom gemessen, daher wird ∠B durch den halben Bogen-Wechselstrom gemessen.

Wenn beispielsweise \(\breve(AC)\) 60°18' enthält, dann enthält ∠B 30°9'.

Zweiter Fall. Der Mittelpunkt des Kreises liegt zwischen den Seiten des eingeschriebenen Winkels (Abb. 332).

Sei ∠ABD ein eingeschriebener Winkel. Der Mittelpunkt des Kreises O liegt zwischen seinen Seiten. Es muss nachgewiesen werden, dass ∠ABD durch die Hälfte des Bogens AD gemessen wird.

Um dies zu beweisen, zeichnen wir den Durchmesser BC ein. Der Winkel ABD ist in zwei Winkel aufgeteilt: ∠1 und ∠2.

∠1 wird durch die Hälfte des Bogens AC gemessen und ∠2 wird durch die Hälfte des Bogens CD gemessen, daher wird das gesamte ∠ABD durch 1/2 \(\breve(AC)\) + 1/2 \( \breve(CD)\), also die Hälfte des Bogens AD.

Wenn beispielsweise \(\breve(AD)\) 124° enthält, dann enthält ∠B 62°.

Dritter Fall. Der Mittelpunkt des Kreises liegt außerhalb des eingeschriebenen Winkels (Abb. 333).

Sei ∠MAD ein eingeschriebener Winkel. Der Mittelpunkt des Kreises O liegt außerhalb der Ecke. Es muss nachgewiesen werden, dass ∠MAD durch die Hälfte der Bogen-MD gemessen wird.

Um dies zu beweisen, zeichnen wir den Durchmesser AB ein. ∠MAD = ∠MAB - ∠DAB. Aber ∠MAB misst 1/2 \(\breve(MB)\) und ∠DAB misst 1/2 \(\breve(DB)\).

Daher misst ∠MAD 1 / 2 (\(\breve(MB) - \breve(DB))\, also 1 / 2 \(\breve(MD)\).

Wenn \(\breve(MD)\) beispielsweise 48° 38" enthält, dann enthält ∠MAD 24° 19' 8".

Folgen
1. Alle eingeschriebenen Winkel, die auf demselben Bogen basieren, sind einander gleich, da sie durch die Hälfte desselben Bogens gemessen werden (Abb. 334, a).

2. Ein eingeschriebener Winkel, der auf einem Durchmesser basiert, ist ein rechter Winkel, da er auf einem Halbkreis basiert. Die Hälfte des Kreises enthält 180 Bogengrade, was bedeutet, dass der Winkel bezogen auf den Durchmesser 90 Winkelgrade beträgt (Abb. 334, b).

Konzept des eingeschriebenen und zentralen Winkels

Lassen Sie uns zunächst das Konzept eines Zentralwinkels vorstellen.

Bemerkung 1

Beachten Sie, dass Das Gradmaß eines Mittelpunktswinkels ist gleich dem Gradmaß des Bogens, den er schneidet.

Wir führen nun das Konzept eines eingeschriebenen Winkels ein.

Definition 2

Ein Winkel, dessen Scheitelpunkt auf einem Kreis liegt und dessen Seiten denselben Kreis schneiden, wird als eingeschriebener Winkel bezeichnet (Abb. 2).

Abbildung 2. Eingeschriebener Winkel

Eingeschriebener Winkelsatz

Satz 1

Das Maß eines eingeschriebenen Winkels ist die Hälfte des Maßes des Bogens, den er schneidet.

Nachweisen.

Gegeben sei ein Kreis mit Mittelpunkt im Punkt $O$. Bezeichnen Sie den eingeschriebenen Winkel $ACB$ (Abb. 2). Folgende drei Fälle sind möglich:

• Der Strahl $CO$ fällt mit einer Seite des Winkels zusammen. Dies sei die $CB$-Seite (Abb. 3).

Figur 3

In diesem Fall ist der Bogen $AB$ kleiner als $(180)^(()^\circ )$, daher ist der Mittelpunktswinkel $AOB$ gleich dem Bogen $AB$. Da $AO=OC=r$ ist, ist das Dreieck $AOC$ gleichschenklig. Daher sind die Basiswinkel $CAO$ und $ACO$ gleich. Nach dem Satz über den Außenwinkel eines Dreiecks gilt:

• Der Strahl $CO$ teilt einen Innenwinkel in zwei Winkel. Lassen Sie es den Kreis am Punkt $D$ schneiden (Abb. 4).

Figur 4

Wir bekommen

• Der Strahl $CO$ teilt einen Innenwinkel nicht in zwei Winkel und fällt mit keiner seiner Seiten zusammen (Abb. 5).

Abbildung 5

Betrachten Sie getrennt die Winkel $ACD$ und $DCB$. Nach dem, was in Punkt 1 bewiesen wurde, erhalten wir

Wir bekommen

Der Satz ist bewiesen.

Bringen wir Folgen aus diesem Satz.

Folgerung 1: Die eingeschriebenen Winkel, die denselben Bogen schneiden, sind gleich.

Konsequenz 2: Ein eingeschriebener Winkel, der einen Durchmesser schneidet, ist ein rechter Winkel.

Konzept des eingeschriebenen und zentralen Winkels

Lassen Sie uns zunächst das Konzept eines Zentralwinkels vorstellen.

Bemerkung 1

Beachten Sie, dass Das Gradmaß eines Mittelpunktswinkels ist gleich dem Gradmaß des Bogens, den er schneidet.

Wir führen nun das Konzept eines eingeschriebenen Winkels ein.

Definition 2

Ein Winkel, dessen Scheitelpunkt auf einem Kreis liegt und dessen Seiten denselben Kreis schneiden, wird als eingeschriebener Winkel bezeichnet (Abb. 2).

Abbildung 2. Eingeschriebener Winkel

Eingeschriebener Winkelsatz

Satz 1

Das Maß eines eingeschriebenen Winkels ist die Hälfte des Maßes des Bogens, den er schneidet.

Nachweisen.

Gegeben sei ein Kreis mit Mittelpunkt im Punkt $O$. Bezeichnen Sie den eingeschriebenen Winkel $ACB$ (Abb. 2). Folgende drei Fälle sind möglich:

• Der Strahl $CO$ fällt mit einer Seite des Winkels zusammen. Dies sei die $CB$-Seite (Abb. 3).

Figur 3

In diesem Fall ist der Bogen $AB$ kleiner als $(180)^(()^\circ )$, daher ist der Mittelpunktswinkel $AOB$ gleich dem Bogen $AB$. Da $AO=OC=r$ ist, ist das Dreieck $AOC$ gleichschenklig. Daher sind die Basiswinkel $CAO$ und $ACO$ gleich. Nach dem Satz über den Außenwinkel eines Dreiecks gilt:

• Der Strahl $CO$ teilt einen Innenwinkel in zwei Winkel. Lassen Sie es den Kreis am Punkt $D$ schneiden (Abb. 4).

Figur 4

Wir bekommen

• Der Strahl $CO$ teilt einen Innenwinkel nicht in zwei Winkel und fällt mit keiner seiner Seiten zusammen (Abb. 5).

Abbildung 5

Betrachten Sie getrennt die Winkel $ACD$ und $DCB$. Nach dem, was in Punkt 1 bewiesen wurde, erhalten wir

Wir bekommen

Der Satz ist bewiesen.

Bringen wir Folgen aus diesem Satz.

Folgerung 1: Die eingeschriebenen Winkel, die denselben Bogen schneiden, sind gleich.

Konsequenz 2: Ein eingeschriebener Winkel, der einen Durchmesser schneidet, ist ein rechter Winkel.

Eingeschriebener Winkel, Problemtheorie. Freunde! In diesem Artikel werden wir über Aufgaben sprechen, für deren Lösung es notwendig ist, die Eigenschaften eines eingeschriebenen Winkels zu kennen. Dabei handelt es sich um eine ganze Gruppe von Aufgaben, die in der Prüfung enthalten sind. Die meisten davon lassen sich ganz einfach in einem Schritt lösen.

Es gibt schwierigere Aufgaben, die Ihnen jedoch keine großen Schwierigkeiten bereiten. Sie müssen die Eigenschaften des eingeschriebenen Winkels kennen. Nach und nach werden wir alle Prototypen der Aufgaben analysieren, ich lade Sie zum Blog ein!

Jetzt notwendige Theorie. Erinnern Sie sich, was für ein zentraler und eingeschriebener Winkel, eine Sehne, ein Bogen, auf dem diese Winkel beruhen:

Der Mittelpunktswinkel in einem Kreis wird Flachwinkel genanntGipfel in der Mitte.

Der Teil eines Kreises, der sich innerhalb einer flachen Ecke befindetKreisbogen genannt.

Das Gradmaß eines Kreisbogens ist das Gradmaßentsprechenden Zentriwinkel.

Ein Winkel heißt in einen Kreis eingeschrieben, wenn der Scheitelpunkt des Winkels darin liegtauf einem Kreis, und die Seiten des Winkels schneiden diesen Kreis.

Ein Liniensegment, das zwei Punkte auf einem Kreis verbindet, heißtAkkord. Der längste Akkord verläuft durch die Mitte des Kreises und wird aufgerufenDurchmesser.

Um Probleme für in einen Kreis eingeschriebene Winkel zu lösen,Sie müssen die folgenden Eigenschaften kennen:

1. Der eingeschriebene Winkel ist gleich der Hälfte des Mittelpunktswinkels basierend auf demselben Bogen.

2. Alle eingeschriebenen Winkel, die auf demselben Bogen basieren, sind gleich.

3. Alle eingeschriebenen Winkel, die auf derselben Sehne basieren und deren Scheitelpunkte auf derselben Seite dieser Sehne liegen, sind gleich.

4. Jedes auf derselben Sehne basierende Winkelpaar, dessen Scheitelpunkte auf gegenüberliegenden Seiten der Sehne liegen, ergibt zusammen 180°.

Folgerung: Die entgegengesetzten Winkel eines in einen Kreis eingeschriebenen Vierecks ergeben zusammen 180 Grad.

5. Alle eingeschriebenen Winkel basierend auf dem Durchmesser sind gerade.

Im Allgemeinen ist diese Eigenschaft eine Folge der Eigenschaft (1), dies ist ihre besonderer Fall. Schauen Sie – der Zentralwinkel beträgt 180 Grad (und dieser entwickelte Winkel ist nichts anderes als ein Durchmesser), was bedeutet, dass gemäß der ersten Eigenschaft der eingeschriebene Winkel C gleich seiner Hälfte, also 90 Grad, ist.

Die Kenntnis dieser Eigenschaft hilft bei der Lösung vieler Probleme und ermöglicht es Ihnen oft, unnötige Berechnungen zu vermeiden. Wenn Sie es gut beherrschen, können Sie mehr als die Hälfte dieser Art von Problemen mündlich lösen. Zwei Konsequenzen, die daraus gezogen werden können:

Folgerung 1: Wenn ein Dreieck in einen Kreis eingeschrieben ist und eine seiner Seiten mit dem Durchmesser dieses Kreises übereinstimmt, dann ist das Dreieck rechtwinklig (der Scheitelpunkt des rechten Winkels liegt auf dem Kreis).

Folgerung 2: das Zentrum des Beschriebenen rechtwinkliges Dreieck Der Kreis fällt mit dem Mittelpunkt seiner Hypotenuse zusammen.

Viele Prototypen stereometrischer Probleme werden ebenfalls mithilfe dieser Eigenschaft und dieser Folgerungen gelöst. Denken Sie an die Tatsache selbst: Wenn der Durchmesser eines Kreises die Seite eines eingeschriebenen Dreiecks ist, dann ist dieses Dreieck rechtwinklig (der Winkel gegenüber dem Durchmesser beträgt 90 Grad). Alle anderen Schlussfolgerungen und Konsequenzen können Sie selbst ziehen, Sie müssen sie nicht unterrichten.

In der Regel wird die Hälfte der Aufgaben für einen eingeschriebenen Winkel mit einer Skizze, aber ohne Notation gegeben. Um den Denkprozess beim Lösen von Problemen (unten im Artikel) zu verstehen, werden die Bezeichnungen von Scheitelpunkten (Ecken) eingeführt. Bei der Prüfung können Sie dies nicht tun.Betrachten Sie die Aufgaben:

Was ist ein spitzer eingeschriebener Winkel, der eine Sehne schneidet, die dem Radius des Kreises entspricht? Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.

Erstellen wir einen zentralen Winkel für einen gegebenen eingeschriebenen Winkel und bezeichnen wir die Eckpunkte:

Gemäß der Eigenschaft eines in einen Kreis eingeschriebenen Winkels:

Der Winkel AOB ist gleich 60 0, da das Dreieck AOB gleichseitig ist und in einem gleichseitigen Dreieck alle Winkel gleich 60 0 sind. Die Seiten des Dreiecks sind gleich, da die Bedingung besagt, dass die Sehne gleich dem Radius ist.

Somit beträgt der eingeschriebene Winkel DIA 30 0 .

Antwort: 30

Finden Sie die Sehne, auf der der Winkel 30 0 ruht, eingeschrieben in einen Kreis mit Radius 3.

Dies ist im Wesentlichen das umgekehrte Problem (zum vorherigen). Lasst uns eine zentrale Ecke bauen.

Er ist doppelt so groß wie der eingeschriebene, d. h. der Winkel AOB beträgt 60 0 . Daraus können wir schließen, dass das Dreieck AOB gleichseitig ist. Somit ist die Sehne gleich dem Radius, also drei.

Antwort: 3

Der Radius des Kreises beträgt 1. Ermitteln Sie den Wert eines stumpfen eingeschriebenen Winkels basierend auf einer Sehne, die der Wurzel aus zwei entspricht. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.

Lassen Sie uns den zentralen Winkel konstruieren:

Wenn wir den Radius und die Sehne kennen, können wir den Mittelpunktswinkel DIA ermitteln. Dies kann mithilfe des Kosinusgesetzes erfolgen. Wenn wir den Zentralwinkel kennen, können wir leicht den eingeschriebenen Winkel ACB ermitteln.

Kosinussatz: Das Quadrat einer beliebigen Seite eines Dreiecks ist gleich der Summe der Quadrate der anderen beiden Seiten, ohne das Produkt dieser Seiten mal dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen zu verdoppeln.

Daher beträgt der zweite Mittelpunktswinkel 360 0 – 90 0 = 270 0 .

Gemäß der Eigenschaft eines eingeschriebenen Winkels ist der Winkel DIA gleich seiner Hälfte, also 135 Grad.

Antwort: 135

Finden Sie die Sehne, auf der der Winkel von 120 Grad, die Wurzel aus drei, in einen Kreis mit Radius eingeschrieben ist.

Verbinden Sie die Punkte A und B mit dem Mittelpunkt des Kreises. Nennen wir es O:

Wir kennen den Radius und den eingeschriebenen Winkel DIA. Wir können den Mittelpunktswinkel AOB (größer als 180 Grad) ermitteln und dann den Winkel AOB im Dreieck AOB ermitteln. Und dann berechnen Sie AB mit dem Kosinussatz.

Aufgrund der Eigenschaft eines eingeschriebenen Winkels ist der Zentralwinkel AOB (der größer als 180 Grad ist) gleich dem Doppelten des eingeschriebenen Winkels, also 240 Grad. Das bedeutet, dass der Winkel AOB im Dreieck AOB 360 0 - 240 0 = 120 0 beträgt.

Nach dem Kosinusgesetz gilt:

Antwort:3

Ermitteln Sie den eingeschriebenen Winkel anhand des Bogens, der 20 % des Kreises ausmacht. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.

Aufgrund der Eigenschaft eines eingeschriebenen Winkels ist er halb so groß wie der Zentralwinkel, der auf demselben Bogen basiert, in dieser Fall Die Rede ist vom Bogen AB.

Man sagt, dass der Bogen AB 20 Prozent des Umfangs ausmacht. Das bedeutet, dass der Mittelpunktswinkel AOB ebenfalls 20 Prozent von 360 0 beträgt.* Ein Kreis ist ein 360-Grad-Winkel. Bedeutet,

Somit beträgt der eingeschriebene Winkel ACB 36 Grad.

Antwort: 36

Bogen eines Kreises Wechselstrom, enthält keine Punkte B, beträgt 200 Grad. Und der Kreisbogen BC, der keine Punkte enthält A, beträgt 80 Grad. Finden Sie den eingeschriebenen Winkel ACB. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.

Bezeichnen wir der Klarheit halber die Bögen, deren Winkelmaße angegeben sind. Bogen entsprechend 200 Grad - blaue Farbe, der 80-Grad-Bogen ist rot, der Rest des Kreises ist gelb.

Somit beträgt das Gradmaß des Bogens AB (gelb) und damit der Mittelpunktswinkel AOB: 360 0 – 200 0 – 80 0 = 80 0 .

Der eingeschriebene Winkel DAB beträgt die Hälfte des Zentralwinkels AOB, also 40 Grad.

Antwort: 40

Wie groß ist der eingeschriebene Winkel bezogen auf den Kreisdurchmesser? Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.

Dies ist der Winkel, den zwei bilden Akkorde Ausgangspunkt ist ein Punkt auf dem Kreis. Ein eingeschriebener Winkel soll sein verlässt sich auf einem zwischen seinen Seiten eingeschlossenen Bogen.

Beschrifteter Winkel gleich der Hälfte des Bogens, auf dem es ruht.

Mit anderen Worten, beschrifteter Winkel umfasst so viele Grad, Minuten und Sekunden wie Bogengrad, Minuten und Sekunden sind in der Hälfte des Bogens eingeschlossen, auf dem sie beruht. Zur Begründung analysieren wir drei Fälle:

Erster Fall:

Das Zentrum O befindet sich auf der Seite beschrifteter Winkel ABS. Wenn wir den Radius AO zeichnen, erhalten wir ΔABO, wobei OA = OB (als Radien) und dementsprechend ∠ABO = ∠BAO. In diesem Zusammenhang Dreieck, der Winkel AOC ist extern. Er ist also gleich der Summe der Winkel ABO und BAO bzw. gleich dem doppelten Winkel ABO. Also ist ∠ABO die Hälfte zentrale Ecke AOC. Dieser Winkel wird jedoch durch den Bogen AC gemessen. Das heißt, der eingeschriebene Winkel ABC wird durch den halben Bogen AC gemessen.

Zweiter Fall:

Der Mittelpunkt O liegt zwischen den Seiten beschrifteter Winkel ABC. Nachdem wir den Durchmesser BD gezeichnet haben, teilen wir den Winkel ABC in zwei Winkel auf, von denen einer nach der im ersten Fall ermittelten Methode halbiert wird Bögen AD und die andere Hälfte des Bogens CD. Und dementsprechend wird der Winkel ABC durch (AD + DC) / 2 gemessen, d.h. 1/2 AC.

Dritter Fall:

Das Zentrum O befindet sich außerhalb beschrifteter Winkel ABS. Nachdem wir den Durchmesser BD gezeichnet haben, erhalten wir: ∠ABС = ∠ABD - ∠CBD . Es werden jedoch die Winkel ABD und CBD gemessen, basierend auf den zuvor begründeten Hälften Bögen AD und CD. Und da ∠ABС durch (AD-CD)/2 gemessen wird, also die Hälfte des Wechselstrombogens.

Konsequenz 1. Alle, die auf demselben Bogen basieren, sind gleich, das heißt, sie sind einander gleich. Da jeder von ihnen zur Hälfte gleich ist Bögen .

Konsequenz 2. Beschrifteter Winkel, bezogen auf den Durchmesser - rechter Winkel. Denn jeder dieser Winkel wird durch einen halben Halbkreis gemessen und enthält dementsprechend 90°.