Was man Tangens eines spitzen Winkels eines rechtwinkligen Dreiecks nennt. Rechtwinkliges Dreieck

Ich denke, du verdienst mehr als das. Hier ist mein Schlüssel zur Trigonometrie:

• Zeichnen Sie die Kuppel, die Wand und die Decke
• Trigonometrische Funktionen sind nichts anderes als Prozentsätze dieser drei Formen.

Metapher für Sinus und Cosinus: Kuppel

Anstatt nur die Dreiecke selbst zu betrachten, stellen Sie sie sich in Aktion vor, indem Sie ein bestimmtes Beispiel aus dem wirklichen Leben finden.

Stellen Sie sich vor, Sie befinden sich in der Mitte einer Kuppel und möchten eine Filmprojektor-Leinwand aufhängen. Sie zeigen mit dem Finger in einem „x“-Winkel auf die Kuppel, und an dieser Stelle sollte ein Bildschirm aufgehängt werden.

Der Winkel, auf den Sie zeigen, bestimmt:

• Sinus(x) = sin(x) = Bildschirmhöhe (Montagepunkt vom Boden bis zur Kuppel)
• Kosinus(x) = Kosinus(x) = Entfernung von Ihnen zum Bildschirm (pro Etage)
• Hypotenuse, der Abstand von Ihnen zum oberen Rand des Bildschirms, immer gleich, gleich dem Radius der Kuppel

Möchten Sie, dass der Bildschirm so groß wie möglich ist? Hängen Sie es direkt über sich auf.

Möchten Sie, dass der Bildschirm so weit wie möglich von Ihnen entfernt hängt? Hängen Sie es gerade und senkrecht auf. Der Bildschirm hat an dieser Position die Höhe Null und hängt so weit nach hinten, wie Sie es gewünscht haben.

Höhe und Abstand vom Bildschirm sind umgekehrt proportional: Je näher der Bildschirm hängt, desto höher ist seine Höhe.

Sinus und Cosinus sind Prozentangaben

Leider hat mir in meinen Studienjahren niemand erklärt, dass die trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus nichts anderes als Prozentzahlen sind. Ihre Werte reichen von +100 % über 0 bis -100 % oder von einem positiven Maximum über Null bis zu einem negativen Maximum.

Nehmen wir an, ich habe eine Steuer von 14 Rubel bezahlt. Sie wissen nicht, wie viel es ist. Aber wenn Sie sagen, dass ich 95 % der Steuern bezahlt habe, werden Sie verstehen, dass ich einfach nur gehäutet wurde wie ein Klebriger.

Die absolute Höhe bedeutet nichts. Aber wenn der Sinuswert 0,95 beträgt, dann verstehe ich, dass der Fernseher fast oben auf Ihrer Kuppel hängt. Sehr bald erreicht er in der Mitte der Kuppel seine maximale Höhe und beginnt dann wieder zu sinken.

Wie können wir diesen Prozentsatz berechnen? Ganz einfach: Teilen Sie die aktuelle Bildschirmhöhe durch den maximal möglichen (den Radius der Kuppel, auch Hypotenuse genannt).

Deshalb Uns wird gesagt, dass „Kosinus = Gegenkathete / Hypotenuse“. Das ist alles, um einen Prozentsatz zu bekommen! Der Sinus lässt sich am besten als „Prozentsatz der aktuellen Höhe vom maximal möglichen“ definieren. (Der Sinus wird negativ, wenn Ihr Winkel „unter der Erde“ zeigt. Der Kosinus wird negativ, wenn der Winkel auf den Kuppelpunkt hinter Ihnen zeigt.)

Vereinfachen wir die Berechnungen, indem wir annehmen, dass wir uns im Mittelpunkt des Einheitskreises befinden (Radius = 1). Wir können die Division überspringen und einfach den Sinus gleich der Höhe nehmen.

Jeder Kreis ist im Wesentlichen ein einzelner Kreis, vergrößert oder verkleinert auf richtige Größe. Bestimmen Sie also die Beziehungen auf dem Einheitskreis und wenden Sie die Ergebnisse auf Ihre spezielle Kreisgröße an.

Experimentieren Sie: Nehmen Sie eine beliebige Ecke und sehen Sie, wie viel Prozent der Höhe zur Breite sie anzeigt:

Das Diagramm des Sinuswertwachstums ist nicht nur eine gerade Linie. Die ersten 45 Grad decken 70 % der Höhe ab und die letzten 10 Grad (von 80° bis 90°) decken nur 2 % ab.

Dadurch wird es Ihnen klarer: Wenn Sie im Kreis gehen, steigen Sie bei 0° fast senkrecht auf, aber wenn Sie sich der Spitze der Kuppel nähern, ändert sich die Höhe immer weniger.

Tangente und Sekante. Wand

Eines Tages baute ein Nachbar eine Mauer gleich Rücken an Rücken Zu deiner Kuppel. Weinte deinen Blick aus dem Fenster und Guter Preis zum Weiterverkauf!

Aber ist es möglich, in dieser Situation irgendwie zu gewinnen?

Ja natürlich. Was wäre, wenn wir eine Kinoleinwand direkt an die Wand des Nachbarn hängen würden? Sie zielen auf die Ecke (x) und erhalten:

• tan(x) = tan(x) = Bildschirmhöhe an der Wand
• Abstand von dir zur Wand: 1 (das ist der Radius deiner Kuppel, die Wand bewegt sich nirgendwo von dir weg, oder?)
• secant(x) = sec(x) = „Länge der Leiter“ von Ihnen in der Mitte der Kuppel bis zur Oberseite des aufgehängten Bildschirms

Lassen Sie uns ein paar Dinge über die Tangente oder Bildschirmhöhe klären.

• es beginnt bei 0 und kann unendlich hoch gehen. Sie können den Bildschirm immer höher an der Wand ausstrecken, um eine endlose Leinwand zum Ansehen Ihres Lieblingsfilms zu erhalten! (Für so ein riesiges Exemplar muss man natürlich viel Geld ausgeben).
• Tangens ist nur eine vergrößerte Version von Sinus! Und während sich das Wachstum des Sinus verlangsamt, während Sie sich der Spitze der Kuppel nähern, wächst die Tangente weiter!

Sekansu hat auch einiges zu bieten:

• Die Sekante beginnt bei 1 (die Leiter befindet sich auf dem Boden, von Ihnen weg zur Wand) und beginnt von dort aus nach oben
• Die Sekante ist immer länger als die Tangente. Die geneigte Leiter, an der Sie Ihren Bildschirm aufhängen, muss länger sein als der Bildschirm selbst, oder? (Bei unrealistischen Größen, wenn der Bildschirm sooooo lang ist und die Leiter fast vertikal platziert werden muss, sind ihre Größen fast gleich. Aber selbst dann wird die Sekante etwas länger sein.)

Denken Sie daran, die Werte sind Prozent. Wenn Sie sich dafür entscheiden, den Bildschirm in einem Winkel von 50 Grad aufzuhängen, beträgt tan(50)=1,19. Ihr Bildschirm ist 19 % größer als der Abstand zur Wand (Kuppelradius).

(Geben Sie x=0 ein und testen Sie Ihre Intuition – tan(0) = 0 und sec(0) = 1.)

Kotangens und Kosekans. Decke

Unglaublicherweise hat Ihr Nachbar jetzt beschlossen, eine Decke über Ihrer Kuppel zu bauen. (Was ist mit ihm los? Er möchte anscheinend nicht, dass du ihn anstarrst, während er nackt im Garten herumläuft ...)

Nun, es ist Zeit, einen Ausgang zum Dach zu bauen und mit dem Nachbarn zu reden. Sie wählen den Neigungswinkel und beginnen mit dem Bau:

• Der vertikale Abstand zwischen Dachdurchführung und Boden beträgt immer 1 (Kuppelradius)
• Kotangens(x) = cot(x) = Abstand zwischen Kuppelspitze und Austrittspunkt
• Kosekans(x) = csc(x) = Länge Ihres Weges zum Dach

Tangens und Sekante beschreiben die Wand, während Kotangens und Kosekans den Boden beschreiben.

Unsere intuitiven Schlussfolgerungen ähneln diesmal den vorherigen:

• Wenn Sie einen Winkel von 0° wählen, wird der Weg zum Dach ewig dauern, da er nie die Decke erreicht. Problem.
• Die kürzeste „Treppe“ zum Dach erhält man, wenn man sie in einem Winkel von 90 Grad zum Boden baut. Der Kotangens ist gleich 0 (wir bewegen uns überhaupt nicht entlang des Daches, wir verlassen das Dach streng senkrecht) und der Kosekans ist gleich 1 („die Länge der Leiter“ wird minimal sein).

Visualisieren Sie Verbindungen

Wenn alle drei Fälle in einer Kuppel-Wand-Boden-Kombination gezeichnet werden, erhält man Folgendes:

Na ja, wow, es ist alles das gleiche Dreieck, vergrößert, um die Wand und die Decke zu erreichen. Wir haben vertikale Seiten (Sinus, Tangens), horizontale Seiten (Kosinus, Kotangens) und „Hypotenusen“ (Sekanten, Kosekans). (Anhand der Pfeile können Sie erkennen, wie weit jedes Element reicht. Der Kosekans ist die Gesamtentfernung von Ihnen bis zum Dach.)

Ein bisschen Magie. Alle Dreiecke haben die gleichen Gleichheiten:

Aus dem Satz des Pythagoras (a 2 + b 2 = c 2) sehen wir, wie die Seiten jedes Dreiecks verbunden sind. Darüber hinaus müssen die Verhältnisse von Höhe zu Breite bei allen Dreiecken gleich sein. (Gehen Sie einfach vom größten Dreieck zum kleineren zurück. Ja, die Größe hat sich geändert, aber die Proportionen der Seiten bleiben gleich.)

Wenn wir wissen, welche Seite in jedem Dreieck 1 ist (der Radius der Kuppel), können wir leicht berechnen, dass „sin/cos = tan/1“.

Ich habe immer versucht, mich durch einfache Visualisierung an diese Fakten zu erinnern. Auf dem Bild kann man diese Abhängigkeiten deutlich erkennen und nachvollziehen, woher sie kommen. Diese Technik ist viel besser als das Auswendiglernen trockener Formeln.

Vergessen Sie nicht andere Blickwinkel

Pssst ... Sie müssen sich nicht auf ein Diagramm beschränken und denken, dass die Tangente immer kleiner als 1 ist. Wenn Sie den Winkel vergrößern, können Sie die Decke erreichen, ohne die Wand zu erreichen:

Pythagoräische Verbindungen funktionieren immer, aber die relativen Größen können unterschiedlich sein.

(Sie haben wahrscheinlich bemerkt, dass das Verhältnis von Sinus und Cosinus immer am kleinsten ist, weil sie in einer Kuppel eingeschlossen sind.)

Zusammenfassend: Woran müssen wir uns erinnern?

Für die meisten von uns würde ich sagen, dass dies ausreichen wird:

• Trigonometrie erklärt die Anatomie mathematischer Objekte wie Kreise und sich wiederholende Intervalle
• Die Kuppel/Wand/Dach-Analogie zeigt die Beziehung zwischen verschiedenen trigonometrischen Funktionen
• Das Ergebnis der trigonometrischen Funktionen sind die Prozentsätze, die wir auf unser Szenario anwenden.

Sie müssen sich Formeln wie 1 2 + cot 2 = csc 2 nicht merken. Sie eignen sich nur für dumme Tests, bei denen das Wissen über einen Sachverhalt als dessen Verstehen dargestellt wird. Nehmen Sie sich eine Minute Zeit, um einen Halbkreis in Form einer Kuppel, einer Wand und eines Daches zu zeichnen, markieren Sie die Elemente und schon werden Ihnen alle Formeln auf Papier vorgelegt.

Anwendung: Umkehrfunktionen

Beliebig Trigonometrische Funktion Nimmt einen Winkel als Eingabe und gibt das Ergebnis als Prozentsatz zurück. sin(30) = 0,5. Das bedeutet, dass ein 30-Grad-Winkel 50 % der maximalen Höhe einnimmt.

Die inverse trigonometrische Funktion wird als sin -1 oder arcsin („arxine“) geschrieben. Es wird auch oft in verschiedenen Programmiersprachen geschrieben.

Wenn unsere Höhe 25 % der Kuppelhöhe beträgt, welchen Winkel haben wir dann?

In unserer Proportionstabelle finden Sie das Verhältnis, in dem die Sekante durch 1 geteilt wird. Beispielsweise ist die Sekante durch 1 (die Hypotenuse zur Horizontalen) gleich 1 geteilt durch den Kosinus:

Nehmen wir an, unser Sekant ist 3,5, d.h. 350 % des Einheitskreisradius. Welchem ​​Neigungswinkel zur Wand entspricht dieser Wert?

Anhang: Einige Beispiele

Langweilige Aufgabe. Verkomplizieren wir das banale „Finde den Sinus“ zu „Wie groß ist die Höhe als Prozentsatz des Maximums (Hypotenuse)?“.

Beachten Sie zunächst, dass das Dreieck gedreht ist. Daran ist nichts auszusetzen. Das Dreieck hat auch eine Höhe, diese ist in der Abbildung grün dargestellt.

Wie groß ist die Hypotenuse? Durch den Satz des Pythagoras wissen wir:

3 2 + 4 2 = Hypotenuse 2 25 = Hypotenuse 2 5 = Hypotenuse

Bußgeld! Der Sinus ist der Prozentsatz der Höhe von der längsten Seite des Dreiecks oder der Hypotenuse. In unserem Beispiel beträgt der Sinus 3/5 oder 0,60.

Natürlich können wir auf verschiedene Arten vorgehen. Jetzt wissen wir, dass der Sinus 0,60 beträgt und können einfach den Arkussinus ermitteln:

Asin(0,6)=36,9

Und hier ist ein anderer Ansatz. Beachten Sie, dass das Dreieck „Angesicht zu Angesicht mit der Wand“ liegt, sodass wir Tangens anstelle von Sinus verwenden können. Die Höhe beträgt 3, der Abstand zur Wand beträgt 4, also beträgt die Tangente ¾ oder 75 %. Wir können den Arcus-Tangens verwenden, um vom Prozentsatz zurück zum Winkel zu gelangen:

Tan = 3/4 = 0,75 atan(0,75) = 36,9 Beispiel: Wirst du ans Ufer schwimmen?

Sie sitzen in einem Boot und haben genug Treibstoff, um 2 km zurückzulegen. Sie sind jetzt 0,25 km von der Küste entfernt. In welchem ​​maximalen Winkel zum Ufer kann man dorthin schwimmen, damit man genügend Treibstoff hat? Ergänzung zum Problemzustand: Wir haben nur eine Tabelle mit Arkuskosinuswerten.

Was wir haben? Die Küstenlinie kann in unserem berühmten Dreieck als „Mauer“ dargestellt werden, und die „Länge der an der Mauer befestigten Treppen“ kann als maximal mögliche Entfernung mit dem Boot zum Ufer (2 km) dargestellt werden. Es entsteht eine Sekante.

Zuerst müssen Sie auf Prozentsätze umstellen. Wir haben 2 / 0,25 = 8, was bedeutet, dass wir das 8-fache der geraden Distanz zum Ufer (oder zur Wand) schwimmen können.

Es stellt sich die Frage „Was ist die Sekante 8?“. Aber darauf können wir keine Antwort geben, da wir nur Arkuskosinus haben.

Wir verwenden unsere zuvor abgeleiteten Abhängigkeiten, um die Sekante auf den Kosinus abzubilden: „sec/1 = 1/cos“

Der Sekante von 8 ist gleich dem Kosinus von ⅛. Ein Winkel, dessen Kosinus ⅛ ist, ist acos(1/8) = 82,8. Und das ist der größte Winkel, den wir uns auf einem Boot mit der angegebenen Treibstoffmenge leisten können.

Nicht schlecht, oder? Ohne die Kuppel-Wand-Decke-Analogie wäre ich in einer Reihe von Formeln und Berechnungen verwirrt. Die Visualisierung des Problems vereinfacht die Suche nach einer Lösung erheblich, außerdem ist es interessant zu sehen, welche trigonometrische Funktion letztendlich weiterhilft.

Überlegen Sie sich bei jeder Aufgabe Folgendes: Interessiere ich mich für eine Kuppel (sin/cos), eine Wand (tan/sec) oder eine Decke (cot/csc)?

Und die Trigonometrie wird viel angenehmer. Einfache Berechnungen für Sie!

Der Sinus ist eine der grundlegenden trigonometrischen Funktionen, deren Anwendung nicht nur auf die Geometrie beschränkt ist. Tabellen zur Berechnung trigonometrischer Funktionen wie technische Taschenrechner sind nicht immer verfügbar, und die Berechnung des Sinus ist manchmal zur Lösung verschiedener Probleme erforderlich. Im Allgemeinen hilft die Berechnung des Sinus dabei, zeichnerische Fähigkeiten und Kenntnisse über trigonometrische Identitäten zu festigen.

Lineal- und Bleistiftspiele

Eine einfache Aufgabe: Wie finde ich den Sinus eines auf Papier gezeichneten Winkels? Zum Lösen benötigen Sie ein normales Lineal, ein Dreieck (oder einen Zirkel) und einen Bleistift. Der einfachste Weg, den Sinus eines Winkels zu berechnen, besteht darin, den entfernten Schenkel eines Dreiecks mit einem rechten Winkel durch die lange Seite – die Hypotenuse – zu teilen. Daher müssen Sie zunächst den spitzen Winkel zur Figur eines rechtwinkligen Dreiecks vervollständigen, indem Sie eine Linie senkrecht zu einem der Strahlen in einem beliebigen Abstand vom Scheitelpunkt des Winkels zeichnen. Es muss ein Winkel von genau 90° eingehalten werden, wofür wir ein Bürodreieck benötigen.

Die Verwendung eines Kompasses ist etwas genauer, dauert aber länger. Auf einem der Strahlen müssen Sie zwei Punkte in einem bestimmten Abstand markieren, auf dem Kompass einen Radius einstellen, der ungefähr dem Abstand zwischen den Punkten entspricht, und Halbkreise mit Mittelpunkten an diesen Punkten zeichnen, bis sich diese Linien schneiden. Indem wir die Schnittpunkte unserer Kreise miteinander verbinden, erhalten wir eine strenge Senkrechte zum Strahl unseres Winkels. Es bleibt nur noch, die Linie zu verlängern, bis sie einen anderen Strahl schneidet.

Im resultierenden Dreieck müssen Sie mit einem Lineal die der Ecke gegenüberliegende Seite und die lange Seite an einem der Strahlen messen. Das Verhältnis der ersten Dimension zur zweiten ist der gewünschte Wert des Sinus spitzer Winkel.

Finden Sie den Sinus für einen Winkel größer als 90°

Bei einem stumpfen Winkel ist die Aufgabe nicht viel schwieriger. Es ist notwendig, mit einem Lineal einen Strahl vom Scheitelpunkt in die entgegengesetzte Richtung zu zeichnen, um mit einem der Strahlen des Winkels, der uns interessiert, eine gerade Linie zu bilden. Mit dem resultierenden spitzen Winkel ist wie oben beschrieben vorzugehen, die Sinuswerte benachbarter Winkel, die zusammen einen entwickelten Winkel von 180° bilden, sind gleich.

Berechnung des Sinus aus anderen trigonometrischen Funktionen

Auch die Berechnung des Sinus ist möglich, wenn die Werte anderer trigonometrischer Funktionen des Winkels oder zumindest der Länge der Seiten des Dreiecks bekannt sind. Trigonometrische Identitäten werden uns dabei helfen. Schauen wir uns gängige Beispiele an.

Wie finde ich den Sinus mit einem bekannten Kosinus eines Winkels? Die erste trigonometrische Identität, die aus dem Satz des Pythagoras stammt, besagt, dass die Summe der Quadrate von Sinus und Cosinus desselben Winkels gleich eins ist.

Wie finde ich den Sinus mit einem bekannten Tangens eines Winkels? Den Tangens erhält man, indem man den fernen Schenkel durch den nahen oder den Sinus durch den Kosinus dividiert. Somit ist der Sinus das Produkt aus Kosinus und Tangens, und das Quadrat des Sinus ist das Quadrat dieses Produkts. Wir ersetzen den Quadratkosinus durch die Differenz zwischen Eins und dem Quadratsinus gemäß der ersten trigonometrischen Identität und führen durch einfache Manipulationen die Gleichung zur Berechnung des Quadratsinus durch den Tangens bzw. zur Berechnung des Sinus durch Extrahieren Sie die Wurzel aus dem erhaltenen Ergebnis.

Wie finde ich den Sinus mit einem bekannten Kotangens eines Winkels? Der Wert des Kotangens kann berechnet werden, indem man die Länge des nahen Winkels vom Schenkelwinkel durch die Länge des entfernten Winkels dividiert und auch den Kosinus durch den Sinus dividiert, d. h. der Kotangens ist die Umkehrfunktion des Tangens mit in Bezug auf die Zahl 1. Um den Sinus zu berechnen, können Sie den Tangens mit der Formel tg α \u003d 1 / ctg α berechnen und die Formel in der zweiten Option verwenden. In Analogie zur Tangente kann man auch eine direkte Formel ableiten, die so aussieht.

So ermitteln Sie den Sinus der drei Seiten eines Dreiecks

Es gibt eine Formel zum Ermitteln der Länge der unbekannten Seite eines beliebigen Dreiecks, nicht nur eines rechtwinkligen Dreiecks, bei gegebenen zwei bekannten Seiten unter Verwendung der trigonometrischen Funktion des Kosinus des entgegengesetzten Winkels. Sie sieht so aus.

Sinus und Cosinus entstanden ursprünglich aus der Notwendigkeit, Größen in rechtwinkligen Dreiecken zu berechnen. Es wurde festgestellt, dass das Seitenverhältnis immer gleich bleibt, unabhängig davon, wie stark sich die Länge dieser Seiten ändert, wenn der Wert des Gradmaßes der Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck nicht geändert wird.

So wurden die Konzepte Sinus und Cosinus eingeführt. Der Sinus eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zur Hypotenuse, und der Kosinus ist das Verhältnis des benachbarten Schenkels zur Hypotenuse.

Sätze von Kosinus und Sinus

Kosinus und Sinus können aber nicht nur in rechtwinkligen Dreiecken verwendet werden. Um den Wert eines stumpfen oder spitzen Winkels, der Seite eines beliebigen Dreiecks, zu ermitteln, reicht es aus, den Kosinus- und Sinussatz anzuwenden.

Der Kosinussatz ist ganz einfach: „Das Quadrat einer Seite eines Dreiecks ist gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten minus dem doppelten Produkt dieser Seiten mit dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen.“

Es gibt zwei Interpretationen des Sinussatzes: klein und erweitert. Nach dem Kleinen: „In einem Dreieck sind die Winkel proportional zu den gegenüberliegenden Seiten.“ Dieser Satz wird oft aufgrund der Eigenschaft des um ein Dreieck umschriebenen Kreises erweitert: „In einem Dreieck sind die Winkel proportional zu gegenüberliegenden Seiten und ihr Verhältnis ist gleich dem Durchmesser des umschriebenen Kreises.“

Derivate

Eine Ableitung ist ein mathematisches Werkzeug, das zeigt, wie schnell sich eine Funktion in Bezug auf eine Änderung ihres Arguments ändert. Ableitungen werden in der Geometrie und in einer Reihe technischer Disziplinen verwendet.

Beim Lösen von Problemen müssen Sie die Tabellenwerte der Ableitungen trigonometrischer Funktionen kennen: Sinus und Cosinus. Die Ableitung des Sinus ist der Kosinus, und die Ableitung des Kosinus ist der Sinus, jedoch mit einem Minuszeichen.

Anwendung in der Mathematik

Besonders häufig werden Sinus und Cosinus zur Lösung rechtwinkliger Dreiecke und damit verbundener Probleme verwendet.

Die Bequemlichkeit von Sinus und Cosinus spiegelt sich auch in der Technologie wider. Winkel und Seiten ließen sich mithilfe der Kosinus- und Sinussätze leicht auswerten und brechen komplexe Figuren und Objekte in „einfache“ Dreiecke. Ingenieure, die sich häufig mit Berechnungen des Seitenverhältnisses befassen und Abschlussmaße, investierte viel Zeit und Mühe in die Berechnung der Kosinus- und Sinuswerte von Nicht-Tabellenwinkeln.

Dann kamen Bradis-Tabellen zur Rettung, die Tausende von Werten für Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens verschiedener Winkel enthielten. IN Sowjetzeit Einige Lehrer zwangen ihre Schüler, die Seiten der Bradys-Tabellen auswendig zu lernen.

Bogenmaß – der Winkelwert des Bogens, entlang der Länge gleich dem Radius oder 57,295779513° Grad.

Grad (in der Geometrie) – 1/360 eines Kreises oder 1/90 eines rechten Winkels.

π = 3,141592653589793238462… (ungefährer Wert von Pi).

Kosinustabelle für Winkel: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

Wo die Aufgaben zur Lösung eines rechtwinkligen Dreiecks betrachtet wurden, versprach ich, eine Technik zum Auswendiglernen der Definitionen von Sinus und Cosinus vorzustellen. Damit merken Sie sich immer schnell, welches Bein zur Hypotenuse gehört (angrenzend oder gegenüberliegend). Ich beschloss, es nicht auf unbestimmte Zeit aufzuschieben, notwendiges Material siehe unten

Tatsache ist, dass ich immer wieder beobachtet habe, dass Schüler der 10. bis 11. Klasse Schwierigkeiten haben, sich diese Definitionen zu merken. Sie erinnern sich sehr gut daran, dass sich das Bein auf die Hypotenuse bezieht, aber welche- vergessen und verwirrt. Der Preis für einen Fehler ist, wie man in der Prüfung weiß, ein verlorener Punktestand.

Die Informationen, die ich direkt mit der Mathematik präsentieren werde, haben nichts zu tun. Sie ist verbunden mit figuratives Denken und mit den Methoden der verbal-logischen Verbindung. Das stimmt, ich selbst habe mich ein für alle Mal daran erinnertDefinitionsdaten. Wenn Sie sie dennoch vergessen, können Sie sie sich mit Hilfe der vorgestellten Techniken immer leicht merken.

Ich möchte Sie an die Definitionen von Sinus und Cosinus in einem rechtwinkligen Dreieck erinnern:

Kosinus Der spitze Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des benachbarten Schenkels zur Hypotenuse:

Sinus Der spitze Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zur Hypotenuse:

Welche Assoziationen weckt das Wort Kosinus in Ihnen?

Wahrscheinlich hat jeder sein eigenesDenken Sie an den Link:

So bleibt Ihnen sofort ein Ausdruck im Gedächtnis -

«… Verhältnis des benachbarten Beins zur Hypotenuse».

Das Problem mit der Definition des Kosinus ist gelöst.

Wenn Sie sich die Definition des Sinus in einem rechtwinkligen Dreieck merken müssen, können Sie durch die Erinnerung an die Definition des Kosinus leicht feststellen, dass der Sinus eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zur Hypotenuse ist. Schließlich gibt es nur zwei Zweige. Wenn der benachbarte Zweig vom Kosinus „besetzt“ ist, bleibt nur die Gegenseite für den Sinus übrig.

Was ist mit Tangens und Kotangens? Gleiche Verwirrung. Die Schüler wissen, dass dies das Verhältnis der Beine ist, aber das Problem besteht darin, sich daran zu erinnern, welches sich auf welches bezieht – entweder das Gegenteil von benachbarten Beinen oder umgekehrt.

Definitionen:

Tangente Ein spitzer Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zum benachbarten:

Kotangens Der spitze Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des benachbarten Schenkels zum gegenüberliegenden:

Wie erinnert man sich? Es gibt zwei Möglichkeiten. Der eine nutzt ebenfalls einen verbal-logischen Zusammenhang, der andere einen mathematischen.

MATHEMATISCHE METHODE

Es gibt eine solche Definition – der Tangens eines spitzen Winkels ist das Verhältnis des Sinus eines Winkels zu seinem Kosinus:

* Wenn Sie sich die Formel merken, können Sie immer bestimmen, dass der Tangens eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zum angrenzenden Schenkel ist.

Ebenfalls.Der Kotangens eines spitzen Winkels ist das Verhältnis des Kosinus eines Winkels zu seinem Sinus:

So! Wenn Sie sich diese Formeln merken, können Sie immer Folgendes feststellen:

- Der Tangens eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zum angrenzenden

- Der Kotangens eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des benachbarten Schenkels zum gegenüberliegenden.

VERBAL-LOGISCHE METHODE

Über Tangente. Denken Sie an den Link:

Das heißt, wenn Sie sich die Definition der Tangente merken müssen, können Sie sich mithilfe dieser logischen Verbindung leicht merken, was sie ist

„... das Verhältnis des gegenüberliegenden Beins zum benachbarten“

Wenn es um Kotangens geht, dann können Sie, wenn Sie sich an die Definition von Tangens erinnern, die Definition von Kotangens leicht aussprechen -

„... das Verhältnis des benachbarten Beins zum gegenüberliegenden“

Es gibt eine interessante Technik zum Auswendiglernen von Tangens und Kotangens auf der Website " Mathematisches Tandem " , sehen.

METHODE UNIVERSAL

Sie können einfach mahlen.Aber wie die Praxis zeigt, erinnert sich ein Mensch dank verbal-logischer Zusammenhänge lange an Informationen, und zwar nicht nur an mathematische.

Ich hoffe, das Material war für Sie nützlich.

Mit freundlichen Grüßen Alexander Krutitskikh

P.S.: Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie in sozialen Netzwerken von der Seite berichten würden.

Der Kosinus ist eine bekannte trigonometrische Funktion, die auch eine der Hauptfunktionen der Trigonometrie ist. Der Kosinus eines Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des benachbarten Schenkels des Dreiecks zur Hypotenuse des Dreiecks. Am häufigsten wird die Definition des Kosinus mit einem Dreieck vom genau rechteckigen Typ in Verbindung gebracht. Es kommt aber auch vor, dass der Winkel, für den der Kosinus in einem rechtwinkligen Dreieck berechnet werden muss, nicht in diesem rechtwinkligen Dreieck liegt. Was ist dann zu tun? Wie finde ich den Kosinus des Winkels eines Dreiecks?

Wenn Sie den Kosinus eines Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck berechnen möchten, ist alles ganz einfach. Sie müssen sich nur an die Definition des Kosinus erinnern, in der die Lösung dieses Problems liegt. Sie müssen lediglich das gleiche Verhältnis zwischen dem benachbarten Bein und der Hypotenuse des Dreiecks finden. Tatsächlich ist es hier nicht schwierig, den Kosinus eines Winkels auszudrücken. Die Formel sieht so aus: - cosα = a/c, hier ist „a“ die Länge des Beins und Seite „c“ jeweils die Länge der Hypotenuse. Mit dieser Formel kann beispielsweise der Kosinus eines spitzen Winkels eines rechtwinkligen Dreiecks ermittelt werden.

Wenn Sie daran interessiert sind, wie groß der Kosinus eines Winkels in einem beliebigen Dreieck ist, hilft Ihnen der Kosinussatz, der in solchen Fällen verwendet werden sollte. Der Kosinussatz besagt, dass das Quadrat einer Seite eines Dreiecks a priori gleich der Summe der Quadrate der anderen Seiten desselben Dreiecks ist, jedoch ohne das Doppelte des Produkts dieser Seiten mit dem Kosinus des dazwischen liegenden Winkels ihnen.

1. Wenn Sie den Kosinus eines spitzen Winkels in einem Dreieck ermitteln müssen, müssen Sie die folgende Formel verwenden: cosα \u003d (a 2 + b 2 - c 2) / (2ab).
2. Wenn in einem Dreieck der Kosinus eines stumpfen Winkels ermittelt werden muss, müssen Sie die folgende Formel verwenden: cosα \u003d (c 2 - a 2 - b 2) / (2ab). Die Bezeichnungen in der Formel – a und b – sind die Längen der Seiten, die an den gewünschten Winkel angrenzen, c ist die Länge der Seite, die dem gewünschten Winkel gegenüberliegt.

Auch der Kosinus eines Winkels kann mit dem Sinussatz berechnet werden. Es besagt, dass alle Seiten eines Dreiecks proportional zu den Sinuswerten der entgegengesetzten Winkel sind. Mit dem Sinussatz können Sie die übrigen Elemente eines Dreiecks berechnen, wenn Sie nur zwei Seiten und einen Winkel kennen, der einer Seite gegenüberliegt, oder zwei Winkel und eine Seite. Betrachten Sie ein Beispiel. Problembedingungen: a=1; b=2; c=3. Den Winkel, der der Seite „A“ gegenüberliegt, bezeichnen wir mit – α, dann gilt gemäß den Formeln: cosα = (b² + c²-a²) / (2 * b * c) = (2² + 3² -1²) / (2 * 2 *3)=(4+9-1)/12=12/12=1. Antwort 1.

Wenn der Kosinus des Winkels nicht in einem Dreieck, sondern in einem anderen beliebigen Winkel berechnet werden muss geometrische Figur, hier wird es etwas komplizierter. Der Wert des Winkels muss zunächst im Bogenmaß oder Grad ermittelt werden und erst dann aus diesem Wert der Kosinus berechnet werden. Der Kosinus anhand eines numerischen Werts wird mithilfe von Bradis-Tabellen, technischen Taschenrechnern oder speziellen mathematischen Anwendungen bestimmt.

Spezielle mathematische Anwendungen können über Funktionen wie die automatische Berechnung der Winkelkosinuswerte in einer bestimmten Figur verfügen. Das Schöne an solchen Anwendungen ist, dass sie die richtige Antwort geben und der Benutzer seine Zeit nicht mit der Lösung manchmal recht komplexer Probleme verschwendet. Andererseits gehen durch die ständige Nutzung ausschließlicher Anwendungen zur Problemlösung alle Fähigkeiten zur Lösung mathematischer Probleme zur Ermittlung der Winkelkosinusse in Dreiecken sowie anderer willkürlicher Figuren verloren.