Geometrischer Verlauf mit Beispielen. Seien Sie immer in Stimmung

Die geometrische Progression ist neben der arithmetischen Progression eine wichtige Zahlenreihe, die im Algebrakurs der Schule in der 9. Klasse studiert wird. In diesem Artikel betrachten wir den Nenner einer geometrischen Folge und wie sich ihr Wert auf ihre Eigenschaften auswirkt.

Definition des geometrischen Verlaufs

Lassen Sie uns zunächst die Definition dieser Zahlenreihe geben. Eine geometrische Folge ist eine Reihe rationaler Zahlen, die durch sequentielle Multiplikation ihres ersten Elements mit einer konstanten Zahl, dem Nenner, gebildet wird.

Beispielsweise sind die Zahlen in der Reihe 3, 6, 12, 24, ... eine geometrische Folge, denn wenn Sie 3 (das erste Element) mit 2 multiplizieren, erhalten Sie 6. Wenn Sie 6 mit 2 multiplizieren, erhalten Sie 12 und so weiter.

Die Mitglieder der betrachteten Folge werden normalerweise mit dem Symbol ai bezeichnet, wobei i eine ganze Zahl ist, die die Nummer des Elements in der Reihe angibt.

Die obige Definition der Progression kann in mathematischer Sprache wie folgt geschrieben werden: an = bn-1 * a1, wobei b der Nenner ist. Diese Formel lässt sich leicht überprüfen: Wenn n = 1, dann ist b1-1 = 1, und wir erhalten a1 = a1. Wenn n = 2, dann ist an = b * a1, und wir kommen wieder zur Definition der betreffenden Zahlenreihe. Ähnliche Überlegungen können fortgesetzt werden große Werte N.

Nenner der geometrischen Progression

Die Zahl b bestimmt vollständig, welchen Charakter die gesamte Zahlenreihe haben wird. Der Nenner b kann positiv, negativ oder größer oder kleiner als eins sein. Alle oben genannten Optionen führen zu unterschiedlichen Abläufen:

• b > 1. Es gibt eine zunehmende Reihe rationaler Zahlen. Zum Beispiel 1, 2, 4, 8, ... Wenn das Element a1 negativ ist, erhöht sich die gesamte Folge nur im absoluten Wert, verringert sich jedoch je nach Vorzeichen der Zahlen.
• b = 1. Oft wird dieser Fall nicht als Progression bezeichnet, da es sich um eine gewöhnliche Reihe identischer rationaler Zahlen handelt. Zum Beispiel -4, -4, -4.

Formel für Menge

Bevor mit der Betrachtung spezifischer Probleme unter Verwendung des Nenners des betrachteten Progressionstyps fortgefahren wird, sollte eine wichtige Formel für die Summe seiner ersten n Elemente angegeben werden. Die Formel sieht so aus: Sn = (bn – 1) * a1 / (b – 1).

Sie können diesen Ausdruck selbst erhalten, wenn Sie die rekursive Termfolge der Progression berücksichtigen. Beachten Sie auch, dass es in der obigen Formel ausreicht, nur das erste Element und den Nenner zu kennen, um die Summe einer beliebigen Anzahl von Termen zu ermitteln.

Unendlich abnehmende Folge

Oben wurde erklärt, was es ist. Da wir nun die Formel für Sn kennen, wenden wir sie auf diese Zahlenreihe an. Da jede Zahl, deren Modul 1 nicht überschreitet, bei Potenzierung auf Null tendiert, ist b∞ => 0, wenn -1

Da die Differenz (1 - b) unabhängig vom Wert des Nenners immer positiv ist, wird das Vorzeichen der Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Folge S∞ eindeutig durch das Vorzeichen ihres ersten Elements a1 bestimmt.

Schauen wir uns nun einige Probleme an, bei denen wir zeigen, wie wir das erworbene Wissen auf bestimmte Zahlen anwenden können.

Aufgabe Nr. 1. Berechnung unbekannter Elemente von Progression und Summe

Bei einer gegebenen geometrischen Progression ist der Nenner der Progression 2 und ihr erstes Element ist 3. Wie lauten ihr 7. und 10. Term und wie hoch ist die Summe ihrer sieben Anfangselemente?

Der Zustand des Problems ist recht einfach und erfordert die direkte Verwendung der oben genannten Formeln. Um die Elementnummer n zu berechnen, verwenden wir den Ausdruck an = bn-1 * a1. Für das 7. Element gilt: a7 = b6 * a1, durch Ersetzen der bekannten Daten erhalten wir: a7 = 26 * 3 = 192. Das Gleiche machen wir für den 10. Term: a10 = 29 * 3 = 1536.

Nutzen wir die bekannte Formel für die Summe und ermitteln wir diesen Wert für die ersten 7 Elemente der Reihe. Wir haben: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Aufgabe Nr. 2. Bestimmen der Summe beliebiger Elemente einer Progression

Sei -2 gleich dem Nenner der geometrischen Folge bn-1 * 4, wobei n eine ganze Zahl ist. Es ist notwendig, die Summe vom 5. bis einschließlich 10. Element dieser Reihe zu bestimmen.

Das gestellte Problem lässt sich mit bekannten Formeln nicht direkt lösen. Es kann mit 2 verschiedenen Methoden gelöst werden. Der Vollständigkeit halber stellen wir beide vor.

Methode 1. Die Idee ist einfach: Sie müssen die beiden entsprechenden Summen der ersten Terme berechnen und dann die anderen davon subtrahieren. Wir berechnen den kleineren Betrag: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Nun lasst uns rechnen eine große Menge: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Beachten Sie, dass im letzten Ausdruck nur 4 Terme summiert wurden, da der 5. bereits in dem Betrag enthalten ist, der entsprechend den Bedingungen des Problems berechnet werden muss. Zum Schluss nehmen wir die Differenz: S510 = S10 – S4 = –1364 – (–20) = –1344.

Methode 2. Bevor Sie Zahlen ersetzen und zählen, können Sie eine Formel für die Summe zwischen den m- und n-Termen der betreffenden Reihe erhalten. Wir machen genau das Gleiche wie bei Methode 1, nur arbeiten wir zunächst mit der symbolischen Darstellung des Betrags. Wir haben: Snm = (bn – 1) * a1 / (b – 1) – (bm-1 – 1) * a1 / (b – 1) = a1 * (bn – bm-1) / (b – 1) . Sie können bekannte Zahlen in den resultierenden Ausdruck einsetzen und das Endergebnis berechnen: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Problem Nr. 3. Was ist der Nenner?

Sei a1 = 2, finde den Nenner der geometrischen Folge, vorausgesetzt, ihre unendliche Summe ist 3, und es ist bekannt, dass es sich um eine abnehmende Zahlenreihe handelt.

Basierend auf den Bedingungen des Problems ist es nicht schwer zu erraten, welche Formel zur Lösung des Problems verwendet werden sollte. Für die Summe ist die Progression natürlich unendlich abnehmend. Es gilt: S∞ = a1 / (1 - b). Von hier aus drücken wir den Nenner aus: b = 1 - a1 / S∞. Es bleibt, die bekannten Werte zu ersetzen und die erforderliche Zahl zu erhalten: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 oder -0,333(3). Wir können dieses Ergebnis qualitativ überprüfen, wenn wir bedenken, dass für diese Art von Sequenz der Modul b nicht über 1 hinausgehen sollte. Wie man sieht, gilt |-1 / 3|

Aufgabe Nr. 4. Wiederherstellen einer Zahlenreihe

Gegeben seien 2 Elemente einer Zahlenreihe, zum Beispiel ist das 5. gleich 30 und das 10. gleich 60. Aus diesen Daten muss die gesamte Reihe rekonstruiert werden, wohlwissend, dass sie die Eigenschaften einer geometrischen Folge erfüllt.

Um das Problem zu lösen, müssen Sie zunächst für jeden bekannten Begriff den entsprechenden Ausdruck aufschreiben. Wir haben: a5 = b4 * a1 und a10 = b9 * a1. Teilen Sie nun den zweiten Ausdruck durch den ersten und erhalten Sie: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Von hier aus bestimmen wir den Nenner, indem wir die fünfte Wurzel des Verhältnisses der aus der Problemstellung bekannten Terme ziehen, b = 1,148698. Setzen wir die resultierende Zahl in einen der Ausdrücke für das bekannte Element ein, erhalten wir: a1 = a5 / b4 = 30 / (1,148698)4 = 17,2304966.

Somit haben wir den Nenner der Progression bn und die geometrische Progression bn-1 * 17,2304966 = an gefunden, wobei b = 1,148698.

Wo werden geometrische Verläufe verwendet?

Gäbe es keine praktische Anwendung dieser Zahlenreihe, würde ihre Untersuchung auf rein theoretisches Interesse reduziert. Aber eine solche Anwendung existiert.

Nachfolgend die 3 bekanntesten Beispiele:

• Zenos Paradox, dass der flinke Achilles die langsame Schildkröte nicht einholen kann, wird mit dem Konzept einer unendlich abnehmenden Zahlenfolge gelöst.
• Wenn Sie Weizenkörner auf jedes Feld des Schachbretts legen, sodass Sie auf das 1. Feld 1 Korn, auf das 2. Feld 2, auf das 3. Feld 3 usw. legen, müssen Sie alle Felder des Bretts füllen 18446744073709551615 Körner!
• Im Spiel „Tower of Hanoi“ müssen zum Bewegen von Scheiben von einem Stab zum anderen 2n – 1 Operationen ausgeführt werden, d. h. ihre Anzahl wächst exponentiell mit der Anzahl n der verwendeten Scheiben.

Geometrischer Verlauf in der Mathematik nicht weniger wichtig als in der Arithmetik. Eine geometrische Folge ist eine Folge von Zahlen b1, b2,..., b[n], deren nächster Term durch Multiplikation des vorherigen mit einer konstanten Zahl erhalten wird. Diese Zahl, die auch die Wachstums- bzw. Abnahmerate der Progression charakterisiert, wird als bezeichnet Nenner der geometrischen Progression und bezeichnen

Für komplette Aufgabe Für eine geometrische Folge muss neben dem Nenner auch ihr erster Term bekannt sein bzw. bestimmt werden. Für einen positiven Wert des Nenners ist die Folge eine monotonische Folge, und zwar wenn diese Zahlenfolge monoton fallend und ob sie monoton steigend ist. Der Fall, dass der Nenner gleich eins ist, wird in der Praxis nicht berücksichtigt, da wir eine Folge identischer Zahlen haben und deren Summierung kein praktisches Interesse hat

Allgemeiner Begriff der geometrischen Progression nach der Formel berechnet

Summe der ersten n Terme einer geometrischen Folge durch die Formel bestimmt

Schauen wir uns Lösungen für klassische geometrische Progressionsprobleme an. Beginnen wir mit den am einfachsten zu verstehenden.

Beispiel 1. Der erste Term einer geometrischen Folge ist 27 und ihr Nenner ist 1/3. Finden Sie die ersten sechs Terme der geometrischen Folge.

Lösung: Schreiben wir den Problemzustand in das Formular

Für Berechnungen verwenden wir die Formel für den n-ten Term einer geometrischen Folge

Darauf aufbauend finden wir die unbekannten Terme der Progression

Wie Sie sehen, ist die Berechnung der Terme einer geometrischen Folge nicht schwierig. Der Verlauf selbst wird so aussehen

Beispiel 2. Die ersten drei Terme der geometrischen Folge sind angegeben: 6; -12; 24. Finden Sie den Nenner und seinen siebten Term.

Lösung: Wir berechnen den Nenner der geomitrischen Progression anhand ihrer Definition

Wir haben eine alternierende geometrische Folge erhalten, deren Nenner gleich -2 ist. Der siebte Term wird nach der Formel berechnet

Dies löst das Problem.

Beispiel 3. Eine geometrische Folge ist durch zwei ihrer Terme gegeben . Finden Sie das zehnte Glied der Progression.

Lösung:

Schreiben wir die angegebenen Werte mithilfe von Formeln

Gemäß den Regeln müssten wir den Nenner finden und dann nach dem gewünschten Wert suchen, aber für den zehnten Term haben wir

Die gleiche Formel kann auf der Grundlage einfacher Manipulationen mit den Eingabedaten erhalten werden. Teilen Sie den sechsten Term der Reihe durch einen anderen und erhalten Sie als Ergebnis

Wenn der resultierende Wert mit dem sechsten Term multipliziert wird, erhalten wir den zehnten

Daher sind für solche Aufgaben einfache Transformationen erforderlich schneller Weg Sie können die richtige Lösung finden.

Beispiel 4. Der geometrische Verlauf wird durch wiederkehrende Formeln angegeben

Finden Sie den Nenner der geometrischen Folge und die Summe der ersten sechs Terme.

Lösung:

Schreiben wir die gegebenen Daten in Form eines Gleichungssystems

Drücken Sie den Nenner aus, indem Sie die zweite Gleichung durch die erste dividieren

Finden wir den ersten Term der Progression aus der ersten Gleichung

Berechnen wir die folgenden fünf Terme, um die Summe der geometrischen Progression zu ermitteln

Wenn für jede natürliche Zahl N einer reellen Zahl entsprechen ein , dann sagen sie, dass es gegeben ist Zahlenfolge :

A 1 , A 2 , A 3 , . . . , ein , . . . .

Die Zahlenfolge ist also eine Funktion des natürlichen Arguments.

Nummer A 1 angerufen erstes Glied der Folge , Nummer A 2 — zweites Glied der Folge , Nummer A 3 — dritte usw. Nummer ein angerufen n. Semester Sequenzen und eine natürliche Zahl N — seine Nummer .

Von zwei benachbarten Mitgliedern ein Und ein +1 Sequenzmitglied ein +1 angerufen anschließend (in Richtung ein ), A ein — vorherige (in Richtung ein +1 ).

Um eine Sequenz zu definieren, müssen Sie eine Methode angeben, mit der Sie ein Mitglied der Sequenz mit einer beliebigen Nummer finden können.

Oftmals wird die Reihenfolge mit angegeben n-te Termformeln , also eine Formel, mit der Sie ein Mitglied einer Folge anhand seiner Nummer bestimmen können.

Zum Beispiel,

Eine Folge positiver ungerader Zahlen kann durch die Formel angegeben werden

ein= 2N- 1,

und die Reihenfolge des Wechselns 1 Und -1 - Formel

B N = (-1)N +1 . ◄

Die Reihenfolge kann bestimmt werden wiederkehrende Formel, Das heißt, eine Formel, die jedes Mitglied der Sequenz ausdrückt, beginnend mit einigen, bis hin zu den vorherigen (einem oder mehreren) Mitgliedern.

Zum Beispiel,

Wenn A 1 = 1 , A ein +1 = ein + 5

A 1 = 1,

A 2 = A 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

A 3 = A 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

A 4 = A 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

A 5 = A 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Wenn eine 1= 1, eine 2 = 1, ein +2 = ein + ein +1 , dann werden die ersten sieben Terme der Zahlenfolge wie folgt ermittelt:

eine 1 = 1,

eine 2 = 1,

eine 3 = eine 1 + eine 2 = 1 + 1 = 2,

eine 4 = eine 2 + eine 3 = 1 + 2 = 3,

eine 5 = eine 3 + eine 4 = 2 + 3 = 5,

A 6 = A 4 + A 5 = 3 + 5 = 8,

A 7 = A 5 + A 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Sequenzen können sein Finale Und endlos .

Die Sequenz wird aufgerufen ultimativ , wenn es eine endliche Anzahl von Mitgliedern hat. Die Sequenz wird aufgerufen endlos , wenn es unendlich viele Mitglieder hat.

Zum Beispiel,

Folge zweistelliger natürlicher Zahlen:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

Finale.

Folge der Primzahlen:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

endlos. ◄

Die Sequenz wird aufgerufen zunehmend , wenn jedes seiner Mitglieder, beginnend mit dem zweiten, größer als das vorherige ist.

Die Sequenz wird aufgerufen abnehmend , wenn jedes seiner Mitglieder, beginnend mit dem zweiten, kleiner ist als das vorherige.

Zum Beispiel,

2, 4, 6, 8, . . . , 2N, . . . — zunehmende Reihenfolge;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /N, . . . — absteigende Reihenfolge. ◄

Eine Folge, deren Elemente mit zunehmender Zahl nicht abnehmen oder umgekehrt nicht zunehmen, heißt monotone Abfolge .

Insbesondere monotone Folgen sind steigende Folgen und fallende Folgen.

Arithmetische Folge

Arithmetische Folge ist eine Folge, in der jedes Mitglied, beginnend mit dem zweiten, dem vorherigen gleich ist, zu dem die gleiche Zahl hinzugefügt wird.

A 1 , A 2 , A 3 , . . . , ein, . . .

ist eine arithmetische Folge für jede natürliche Zahl N die Bedingung ist erfüllt:

ein +1 = ein + D,

Wo D - eine bestimmte Anzahl.

Somit ist der Unterschied zwischen den nachfolgenden und vorherigen Begriffen eines gegebenen arithmetische Folge immer konstant:

eine 2 - A 1 = eine 3 - A 2 = . . . = ein +1 - ein = D.

Nummer D angerufen Unterschied der arithmetischen Progression.

Um eine arithmetische Folge zu definieren, reicht es aus, ihren ersten Term und ihre Differenz anzugeben.

Zum Beispiel,

Wenn A 1 = 3, D = 4 , dann finden wir die ersten fünf Terme der Folge wie folgt:

eine 1 =3,

eine 2 = eine 1 + D = 3 + 4 = 7,

eine 3 = eine 2 + D= 7 + 4 = 11,

eine 4 = eine 3 + D= 11 + 4 = 15,

A 5 = A 4 + D= 15 + 4 = 19. ◄

Für eine arithmetische Folge mit dem ersten Term A 1 und der Unterschied D ihr N

ein = eine 1 + (N- 1)D.

Zum Beispiel,

Finden Sie das dreißigste Glied der arithmetischen Folge

1, 4, 7, 10, . . .

eine 1 =1, D = 3,

ein 30 = eine 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

ein n-1 = eine 1 + (N- 2)D,

ein= eine 1 + (N- 1)D,

ein +1 = A 1 + nd,

dann offensichtlich

Jedes Mitglied einer arithmetischen Folge, beginnend mit dem zweiten, ist gleich dem arithmetischen Mittel der vorhergehenden und nachfolgenden Mitglieder.

Die Zahlen a, b und c sind genau dann aufeinanderfolgende Terme einer arithmetischen Folge, wenn einer von ihnen gleich dem arithmetischen Mittel der anderen beiden ist.

Zum Beispiel,

ein = 2N- 7 ist eine arithmetische Folge.

Verwenden wir die obige Aussage. Wir haben:

ein = 2N- 7,

ein n-1 = 2(N- 1) - 7 = 2N- 9,

ein n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2N- 5.

Somit,

◄

Beachten Sie, dass N Der te Term einer arithmetischen Folge kann nicht nur durch gefunden werden A 1 , aber auch alle vorherigen ein k

ein = ein k + (N- k)D.

Zum Beispiel,

Für A 5 kann aufgeschrieben werden

eine 5 = eine 1 + 4D,

eine 5 = eine 2 + 3D,

eine 5 = eine 3 + 2D,

eine 5 = eine 4 + D. ◄

ein = a n-k + kd,

ein = ein n+k - kd,

dann offensichtlich

Jedes Mitglied einer arithmetischen Folge, beginnend mit dem zweiten, ist gleich der Hälfte der Summe der gleichabständigen Mitglieder dieser arithmetischen Folge.

Darüber hinaus gilt für jede arithmetische Folge die folgende Gleichheit:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Zum Beispiel,

in der arithmetischen Folge

1) A 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (A 9 + A 11 )/2;

2) 28 = eine 10 = eine 3 + 7D= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) eine 10= 28 = (19 + 37)/2 = (eine 7 + eine 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, als

eine 2 + eine 12= 4 + 34 = 38,

eine 5 + eine 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ ein,

Erste N Terme einer arithmetischen Folge ist gleich dem Produkt aus der halben Summe der Extremterme und der Anzahl der Terme:

Daraus folgt insbesondere, dass Sie die Terme summieren müssen

ein k, ein k +1 , . . . , ein,

dann behält die vorherige Formel ihre Struktur:

Zum Beispiel,

in der arithmetischen Folge 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Wenn eine arithmetische Folge angegeben ist, dann die Mengen A 1 , ein, D, N UndS N verbunden durch zwei Formeln:

Sind also die Werte von drei dieser Größen gegeben, dann werden aus diesen Formeln die entsprechenden Werte der anderen beiden Größen ermittelt, zusammengefasst zu einem System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten.

Eine arithmetische Folge ist eine monotone Folge. Dabei:

• Wenn D > 0 , dann nimmt es zu;
• Wenn D < 0 , dann nimmt es ab;
• Wenn D = 0 , dann ist die Folge stationär.

Geometrischer Verlauf

Geometrischer Verlauf ist eine Folge, in der jedes Mitglied, beginnend mit dem zweiten, gleich dem vorherigen multipliziert mit derselben Zahl ist.

B 1 , B 2 , B 3 , . . . , b n, . . .

ist eine geometrische Folge für jede natürliche Zahl N die Bedingung ist erfüllt:

b n +1 = b n · Q,

Wo Q ≠ 0 - eine bestimmte Anzahl.

Somit ist das Verhältnis des nachfolgenden Termes einer gegebenen geometrischen Folge zum vorherigen eine konstante Zahl:

B 2 / B 1 = B 3 / B 2 = . . . = b n +1 / b n = Q.

Nummer Q angerufen Nenner der geometrischen Progression.

Um eine geometrische Folge zu definieren, reicht es aus, ihren ersten Term und Nenner anzugeben.

Zum Beispiel,

Wenn B 1 = 1, Q = -3 , dann finden wir die ersten fünf Terme der Folge wie folgt:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · Q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · Q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · Q= 9 · (-3) = -27,

B 5 = B 4 · Q= -27 · (-3) = 81. ◄

B 1 und Nenner Q ihr N Der te Term kann mit der Formel ermittelt werden:

b n = B 1 · qn -1 .

Zum Beispiel,

Finden Sie den siebten Term der geometrischen Folge 1, 2, 4, . . .

B 1 = 1, Q = 2,

B 7 = B 1 · Q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = B 1 · qn,

dann offensichtlich

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

Jedes Mitglied der geometrischen Folge, beginnend mit dem zweiten, ist gleich dem geometrischen Mittel (proportional) des vorhergehenden und nachfolgenden Mitglieds.

Da auch das Umgekehrte gilt, gilt folgende Aussage:

Die Zahlen a, b und c sind genau dann aufeinanderfolgende Terme einer geometrischen Folge, wenn das Quadrat einer von ihnen gleich dem Produkt der anderen beiden ist, das heißt, eine der Zahlen ist das geometrische Mittel der anderen beiden.

Zum Beispiel,

Beweisen wir die durch die Formel gegebene Folge b n= -3 2 N ist eine geometrische Folge. Verwenden wir die obige Aussage. Wir haben:

b n= -3 2 N,

b n -1 = -3 2 N -1 ,

b n +1 = -3 2 N +1 .

Somit,

b n 2 = (-3 2 N) 2 = (-3 2 N -1 ) · (-3 · 2 N +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

was die gewünschte Aussage beweist. ◄

Beachten Sie, dass N Der te Term einer geometrischen Folge kann nicht nur durch gefunden werden B 1 , sondern auch jedes frühere Mitglied b k , wofür es genügt, die Formel zu verwenden

b n = b k · qn - k.

Zum Beispiel,

Für B 5 kann aufgeschrieben werden

b 5 = b 1 · Q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · Q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · q k,

dann offensichtlich

b n 2 = b n - k· b n + k

das Quadrat jedes Termes einer geometrischen Folge, beginnend mit dem zweiten, ist gleich dem Produkt der Terme dieser Folge, die gleich weit davon entfernt sind.

Darüber hinaus gilt für jede geometrische Folge die Gleichheit:

b m· b n= b k· b l,

M+ N= k+ l.

Zum Beispiel,

im geometrischen Verlauf

1) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = B 5 · B 7 ;

2) 1024 = B 11 = B 6 · Q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = B 4 · B 8 ;

4) B 2 · B 7 = B 4 · B 5 , als

B 2 · B 7 = 2 · 64 = 128,

B 4 · B 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= B 1 + B 2 + B 3 + . . . + b n

Erste N Mitglieder einer geometrischen Folge mit Nenner Q ≠ 0 berechnet nach der Formel:

Und wann Q = 1 - nach der Formel

S n= nb 1

Beachten Sie Folgendes: Wenn Sie die Terme summieren müssen

b k, b k +1 , . . . , b n,

dann wird die Formel verwendet:

Zum Beispiel,

im geometrischen Verlauf 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Wenn ein geometrischer Verlauf gegeben ist, dann die Mengen B 1 , b n, Q, N Und S n verbunden durch zwei Formeln:

Wenn also die Werte von drei beliebigen dieser Größen angegeben sind, werden die entsprechenden Werte der anderen beiden Größen aus diesen Formeln bestimmt und zu einem System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten zusammengefasst.

Für eine geometrische Folge mit dem ersten Term B 1 und Nenner Q Folgendes geschieht Eigenschaften der Monotonie :

• Die Progression nimmt zu, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:

B 1 > 0 Und Q> 1;

B 1 < 0 Und 0 < Q< 1;

• Der Verlauf nimmt ab, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:

B 1 > 0 Und 0 < Q< 1;

B 1 < 0 Und Q> 1.

Wenn Q< 0 , dann ist die geometrische Folge alternierend: Ihre Terme mit ungeraden Zahlen haben das gleiche Vorzeichen wie ihr erster Term, und Terme mit geraden Zahlen haben das entgegengesetzte Vorzeichen. Es ist klar, dass ein alternierender geometrischer Verlauf nicht monoton ist.

Produkt der ersten N Terme einer geometrischen Folge können mit der Formel berechnet werden:

Pn= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) N / 2 .

Zum Beispiel,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Unendlich abnehmender geometrischer Verlauf

Unendlich abnehmender geometrischer Verlauf wird als unendliche geometrische Folge bezeichnet, deren Nennermodul kleiner ist 1 , also

|Q| < 1 .

Beachten Sie, dass eine unendlich abnehmende geometrische Folge möglicherweise keine abnehmende Folge ist. Es passt zum Anlass

1 < Q< 0 .

Bei einem solchen Nenner ist die Reihenfolge alternierend. Zum Beispiel,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Die Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Progression Nennen Sie die Zahl, der sich die Summe der ersten unendlich nähert N Mitglieder einer Progression mit unbegrenzter Erhöhung der Anzahl N . Diese Zahl ist immer endlich und wird durch die Formel ausgedrückt

Zum Beispiel,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Zusammenhang zwischen arithmetischen und geometrischen Verläufen

Arithmetik und geometrischer Verlauf sind eng miteinander verbunden. Schauen wir uns nur zwei Beispiele an.

A 1 , A 2 , A 3 , . . . D , Das

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Zum Beispiel,

1, 3, 5, . . . - Arithmetische Folge mit Differenz 2 Und

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - geometrischer Verlauf mit Nenner 7 2 . ◄

B 1 , B 2 , B 3 , . . . - geometrischer Verlauf mit Nenner Q , Das

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - Arithmetische Folge mit Differenz log aQ .

Zum Beispiel,

2, 12, 72, . . . - geometrischer Verlauf mit Nenner 6 Und

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - Arithmetische Folge mit Differenz lg 6 . ◄

Betrachten wir eine bestimmte Serie.

7 28 112 448 1792...

Es ist absolut klar, dass der Wert eines seiner Elemente genau viermal größer ist als der vorherige. Dies bedeutet, dass diese Serie eine Weiterentwicklung ist.

Eine geometrische Folge ist eine unendliche Folge von Zahlen. Hauptmerkmal Das bedeutet, dass die nächste Zahl aus der vorherigen durch Multiplikation mit einer bestimmten Zahl ermittelt wird. Dies wird durch die folgende Formel ausgedrückt.

a z +1 =a z ·q, wobei z die Nummer des ausgewählten Elements ist.

Dementsprechend ist z ∈ N.

Der Zeitraum, in dem geometrische Progression in der Schule gelernt wird, ist die 9. Klasse. Beispiele helfen Ihnen, das Konzept zu verstehen:

0.25 0.125 0.0625...

Basierend auf dieser Formel lässt sich der Nenner der Progression wie folgt ermitteln:

Weder q noch b z können Null sein. Außerdem sollte jedes der Elemente der Progression nicht gleich Null sein.

Um die nächste Zahl in einer Reihe herauszufinden, müssen Sie dementsprechend die letzte Zahl mit q multiplizieren.

Um diese Progression festzulegen, müssen Sie ihr erstes Element und ihren Nenner angeben. Danach ist es möglich, alle nachfolgenden Terme und deren Summe zu finden.

Sorten

Abhängig von q und a 1 wird dieser Verlauf in mehrere Typen unterteilt:

• Wenn sowohl a 1 als auch q größer als eins sind, dann ist eine solche Folge eine geometrische Folge, die mit jedem nachfolgenden Element zunimmt. Nachfolgend wird ein Beispiel hierfür vorgestellt.

Beispiel: a 1 =3, q=2 – beide Parameter sind größer als eins.

Dann lässt sich die Zahlenfolge wie folgt schreiben:

3 6 12 24 48 ...

• Wenn |q| kleiner als eins ist, das heißt, die Multiplikation damit entspricht der Division, dann ist eine Folge mit ähnlichen Bedingungen eine abnehmende geometrische Folge. Nachfolgend wird ein Beispiel hierfür vorgestellt.

Beispiel: a 1 =6, q=1/3 – a 1 ist größer als eins, q ist kleiner.

Dann lässt sich die Zahlenfolge wie folgt schreiben:

6 2 2/3 ... – jedes Element ist dreimal größer als das darauf folgende Element.

• Wechselzeichen. Wenn q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Beispiel: a 1 = -3, q = -2 – beide Parameter sind kleiner als Null.

Dann lässt sich die Zahlenfolge wie folgt schreiben:

3, 6, -12, 24,...

Formeln

Es gibt viele Formeln zur bequemen Verwendung geometrischer Verläufe:

• Z-Term-Formel. Ermöglicht die Berechnung eines Elements unter einer bestimmten Zahl, ohne vorherige Zahlen zu berechnen.

Beispiel:Q = 3, A 1 = 4. Es ist erforderlich, das vierte Element der Progression zu zählen.

Lösung:A 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Die Summe der ersten Elemente, deren Menge gleich ist z. Ermöglicht die Berechnung der Summe aller Elemente einer Sequenz bisein zinklusive.

Seit (1-Q) im Nenner steht, dann ist (1 - q)≠ 0, daher ist q ungleich 1.

Hinweis: Wenn q=1, dann wäre die Folge eine Reihe sich unendlich wiederholender Zahlen.

Summe der geometrischen Progression, Beispiele:A 1 = 2, Q= -2. Berechnen Sie S5.

Lösung:S 5 = 22 - Berechnung nach der Formel.

• Betrag, wenn |Q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Beispiel:A 1 = 2 , Q= 0,5. Finden Sie den Betrag.

Lösung:Gr = 2 · = 4

Gr = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Einige Eigenschaften:

• Charakteristische Eigenschaft. Wenn die folgende Bedingung vorliegt Funktioniert für jedenz, dann ist die gegebene Zahlenreihe eine geometrische Folge:

ein z 2 = ein z -1 · Az+1

• Außerdem wird das Quadrat einer beliebigen Zahl in einer geometrischen Folge durch Addition der Quadrate zweier beliebiger anderer Zahlen in einer bestimmten Reihe ermittelt, sofern diese den gleichen Abstand von diesem Element haben.

ein z 2 = ein z - T 2 + ein z + T 2 , WoT- der Abstand zwischen diesen Zahlen.

• Elementeunterscheiden sich in qeinmal.
• Auch die Logarithmen der Elemente einer Progression bilden eine Progression, allerdings eine arithmetische, das heißt, jeder von ihnen ist um eine bestimmte Zahl größer als der vorherige.

Beispiele für einige klassische Probleme

Um besser zu verstehen, was eine geometrische Folge ist, können Beispiele mit Lösungen für Klasse 9 hilfreich sein.

• Bedingungen:A 1 = 3, A 3 = 48. FindenQ.

Lösung: Jedes nachfolgende Element ist größer als das vorherige inQ einmal.Es ist notwendig, einige Elemente mithilfe eines Nenners durch andere auszudrücken.

Somit,A 3 = Q 2 · A 1

Beim AuswechselnQ= 4

• Bedingungen:A 2 = 6, A 3 = 12. Berechnen Sie S 6.

Lösung:Suchen Sie dazu einfach q, das erste Element, und setzen Sie es in die Formel ein.

A 3 = Q· A 2 , somit,Q= 2

a 2 = q · a 1 ,Deshalb a 1 = 3

S 6 = 189

• · A 1 = 10, Q= -2. Finden Sie das vierte Element der Progression.

Lösung: Dazu genügt es, das vierte Element durch das erste und durch den Nenner auszudrücken.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Anwendungsbeispiel:

• Ein Bankkunde hat eine Einzahlung in Höhe von 10.000 Rubel getätigt, wobei dem Kunden jedes Jahr 6 % davon zum Kapitalbetrag hinzugerechnet werden. Wie viel Geld wird nach 4 Jahren auf dem Konto sein?

Lösung: Der Anfangsbetrag beträgt 10.000 Rubel. Dies bedeutet, dass das Konto ein Jahr nach der Investition einen Betrag von 10.000 + 10.000 aufweist · 0,06 = 10000 1,06

Dementsprechend wird der Betrag auf dem Konto nach einem weiteren Jahr wie folgt ausgedrückt:

(10000 · 1,06) · 0,06 + 10000 · 1,06 = 1,06 · 1,06 · 10000

Das heißt, jedes Jahr erhöht sich der Betrag um das 1,06-fache. Das bedeutet, dass es ausreicht, das vierte Element der Progression zu ermitteln, das aus dem ersten Element gleich 10.000 und dem Nenner gleich 1,06 besteht, um den Betrag auf dem Konto nach 4 Jahren zu ermitteln.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Beispiele für Summenberechnungsprobleme:

Geometrische Progression wird bei verschiedenen Problemen verwendet. Ein Beispiel zur Ermittlung der Summe kann wie folgt gegeben werden:

A 1 = 4, Q= 2, berechnenS 5.

Lösung: Alle für die Berechnung notwendigen Daten sind bekannt, Sie müssen sie nur noch in die Formel einsetzen.

S 5 = 124

• A 2 = 6, A 3 = 18. Berechnen Sie die Summe der ersten sechs Elemente.

Lösung:

In Geom. In der Progression ist jedes nächste Element q-mal größer als das vorherige. Um die Summe zu berechnen, müssen Sie das Element kennenA 1 und NennerQ.

A 2 · Q = A 3

Q = 3

Ebenso müssen Sie findenA 1 , wissendA 2 UndQ.

A 1 · Q = A 2

a 1 =2

S 6 = 728.

Eine geometrische Folge ist eine numerische Folge, deren erster Term ungleich Null ist und jeder nachfolgende Term gleich dem vorherigen Term multipliziert mit derselben Zahl ungleich Null ist.

Konzept der geometrischen Progression

Der geometrische Verlauf wird mit b1,b2,b3, …, bn, … bezeichnet.

Das Verhältnis eines beliebigen Termes des geometrischen Fehlers zu seinem vorherigen Term ist gleich der gleichen Zahl, d. h. b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn = … . Dies ergibt sich direkt aus der Definition einer arithmetischen Folge. Diese Zahl wird als Nenner einer geometrischen Folge bezeichnet. Normalerweise wird der Nenner einer geometrischen Folge mit dem Buchstaben q bezeichnet.

Die Summe einer unendlichen geometrischen Folge für |q|<1

Eine Möglichkeit, eine geometrische Folge anzugeben, besteht darin, ihren ersten Term b1 und den Nenner des geometrischen Fehlers q anzugeben. Beispiel: b1=4, q=-2. Diese beiden Bedingungen definieren den geometrischen Verlauf 4, -8, 16, -32, ….

Wenn q>0 (q ist ungleich 1), dann ist die Folge eine monotone Folge. Beispielsweise ist die Folge 2, 4,8,16,32, ... eine monoton steigende Folge (b1=2, q=2).

Wenn der Nenner im geometrischen Fehler q=1 ist, dann sind alle Terme der geometrischen Folge einander gleich. In solchen Fällen spricht man von einer konstanten Abfolge.

Damit eine Zahlenfolge (bn) eine geometrische Folge ist, ist es notwendig, dass jedes ihrer Mitglieder, beginnend mit dem zweiten, das geometrische Mittel benachbarter Mitglieder ist. Das heißt, es ist notwendig, die folgende Gleichung zu erfüllen
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), für jedes n>0, wobei n zur Menge der natürlichen Zahlen N gehört.

Setzen wir nun (Xn) – eine geometrische Folge. Der Nenner der geometrischen Folge q und |q|∞).
Wenn wir nun mit S die Summe einer unendlichen geometrischen Folge bezeichnen, dann gilt folgende Formel:
S=x1/(1-q).

Schauen wir uns ein einfaches Beispiel an:

Finden Sie die Summe der unendlichen geometrischen Folge 2, -2/3, 2/9, - 2/27, ….

Um S zu finden, verwenden wir die Formel für die Summe einer unendlichen arithmetischen Folge. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.