Gleichungen mit x lösen. Rechner für irrationale Gleichungen online

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Serviceauftrag. Der Matrixrechner dient zur Matrixlösung linearer Gleichungssysteme (siehe Beispiel zur Lösung ähnlicher Probleme).

Anweisung. Für eine Online-Lösung müssen Sie den Gleichungstyp auswählen und die Dimension der entsprechenden Matrizen festlegen. wobei A, B, C gegebene Matrizen sind, X die gewünschte Matrix ist. Matrixgleichungen der Form (1), (2) und (3) werden durch die inverse Matrix A -1 gelöst. Wenn der Ausdruck A X - B = C gegeben ist, müssen zunächst die Matrizen C + B addiert und eine Lösung für den Ausdruck A X = D gefunden werden, wobei D = C + B ist. Wenn der Ausdruck A*X = B 2 gegeben ist, muss die Matrix B zunächst quadriert werden.

Es wird außerdem empfohlen, sich mit den grundlegenden Operationen auf Matrizen vertraut zu machen.

Beispiel 1. Übung. Finden Sie eine Lösung für eine Matrixgleichung
Lösung. Bezeichnen:
Dann wird die Matrixgleichung in der Form geschrieben: A·X·B = C.
Die Determinante der Matrix A ist detA=-1
Da A eine nichtsinguläre Matrix ist, gibt es eine inverse Matrix A -1 . Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung links mit A -1: Multiplizieren Sie beide Seiten dieser Gleichung links mit A -1 und rechts mit B -1: A -1 A X B B -1 = A -1 C B -1 . Da A A -1 = B B -1 = E und E X = X E = X, dann ist X = A -1 C B -1

Inverse Matrix A -1:
Finden Sie die inverse Matrix B -1 .
Matrix B T transponieren:
Inverse Matrix B -1:
Wir suchen die Matrix X nach der Formel: X = A -1 C B -1

Antwort:

Beispiel #2. Übung. Lösen Sie die Matrixgleichung
Lösung. Bezeichnen:
Dann wird die Matrixgleichung in der Form geschrieben: A X = B.
Die Determinante der Matrix A ist detA=0
Da A eine entartete Matrix ist (die Determinante ist 0), hat die Gleichung keine Lösung.

Beispiel #3. Übung. Finden Sie eine Lösung für eine Matrixgleichung
Lösung. Bezeichnen:
Dann wird die Matrixgleichung in der Form geschrieben: X·A = B.
Die Determinante der Matrix A ist detA=-60
Da A eine nichtsinguläre Matrix ist, gibt es eine inverse Matrix A -1 . Multiplizieren Sie rechts beide Seiten der Gleichung mit A -1: X A A -1 = B A -1 , woraus wir X = B A -1 ermitteln
Finden Sie die inverse Matrix A -1 .
Transponierte Matrix A T:
Inverse Matrix A -1:
Wir suchen die Matrix X nach der Formel: X = B A -1


Antwort: >

Quadratische Gleichungen werden in der 8. Klasse studiert, daher gibt es hier nichts Kompliziertes. Die Fähigkeit, sie zu lösen, ist unerlässlich.

Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form ax 2 + bx + c = 0, wobei die Koeffizienten a, b und c beliebige Zahlen sind und a ≠ 0.

Bevor wir spezifische Lösungsmethoden untersuchen, stellen wir fest, dass alle quadratischen Gleichungen in drei Klassen eingeteilt werden können:

1. Habe keine Wurzeln;
2. Sie haben genau eine Wurzel;
3. Sie haben zwei verschiedene Wurzeln.

Dies ist ein wichtiger Unterschied zwischen quadratischen und linearen Gleichungen, bei denen die Wurzel immer existiert und eindeutig ist. Wie kann man bestimmen, wie viele Wurzeln eine Gleichung hat? Dafür gibt es etwas Wunderbares – diskriminierend.

Diskriminant

Gegeben sei die quadratische Gleichung ax 2 + bx + c = 0. Dann ist die Diskriminante einfach die Zahl D = b 2 − 4ac .

Diese Formel muss man auswendig kennen. Woher es kommt, ist jetzt nicht wichtig. Wichtig ist noch etwas: Anhand des Vorzeichens der Diskriminante kann man bestimmen, wie viele Wurzeln eine quadratische Gleichung hat. Nämlich:

1. Wenn D< 0, корней нет;
2. Wenn D = 0, gibt es genau eine Wurzel;
3. Wenn D > 0, gibt es zwei Wurzeln.

Bitte beachten Sie: Die Diskriminante gibt die Anzahl der Wurzeln an und nicht überhaupt ihre Vorzeichen, wie viele Leute aus irgendeinem Grund denken. Schauen Sie sich die Beispiele an und Sie werden alles selbst verstehen:

Aufgabe. Wie viele Wurzeln haben quadratische Gleichungen:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x2 − 6x + 9 = 0.

Wir schreiben die Koeffizienten für die erste Gleichung und ermitteln die Diskriminante:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Die Diskriminante ist also positiv, die Gleichung hat also zwei verschiedene Wurzeln. Wir analysieren die zweite Gleichung auf die gleiche Weise:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Die Diskriminante ist negativ, es gibt keine Wurzeln. Es bleibt die letzte Gleichung:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Die Diskriminante ist gleich Null – die Wurzel ist Eins.

Beachten Sie, dass für jede Gleichung Koeffizienten ausgeschrieben wurden. Ja, es ist lang, ja, es ist mühsam – aber Sie werden die Chancen nicht verwechseln und keine dummen Fehler machen. Wählen Sie selbst: Geschwindigkeit oder Qualität.

Übrigens, wenn Sie „Ihre Hand füllen“, müssen Sie nach einer Weile nicht mehr alle Koeffizienten aufschreiben. Sie werden solche Operationen in Ihrem Kopf durchführen. Die meisten Leute fangen damit irgendwann nach 50–70 gelösten Gleichungen an – im Allgemeinen nicht so oft.

Die Wurzeln einer quadratischen Gleichung

Kommen wir nun zur Lösung. Wenn die Diskriminante D > 0 ist, können die Wurzeln mithilfe der Formeln ermittelt werden:

Die Grundformel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung

Wenn D = 0, können Sie jede dieser Formeln verwenden – Sie erhalten dieselbe Zahl, die die Antwort ist. Wenn schließlich D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Erste Gleichung:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ die Gleichung hat zwei Wurzeln. Finden wir sie:

Zweite Gleichung:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ die Gleichung hat wieder zwei Wurzeln. Lasst uns sie finden

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

Zum Schluss noch die dritte Gleichung:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ die Gleichung hat eine Wurzel. Es kann jede beliebige Formel verwendet werden. Zum Beispiel das erste:

Wie Sie an den Beispielen sehen können, ist alles sehr einfach. Wenn Sie die Formeln kennen und zählen können, wird es keine Probleme geben. Am häufigsten treten Fehler auf, wenn negative Koeffizienten in die Formel eingesetzt werden. Auch hier hilft die oben beschriebene Technik: Betrachten Sie die Formel wörtlich, zeichnen Sie jeden Schritt aus – und beseitigen Sie Fehler sehr bald.

Unvollständige quadratische Gleichungen

Es kommt vor, dass die quadratische Gleichung etwas anders ist als in der Definition angegeben. Zum Beispiel:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

Es ist leicht zu erkennen, dass einer der Terme in diesen Gleichungen fehlt. Solche quadratischen Gleichungen sind noch einfacher zu lösen als Standardgleichungen: Sie müssen nicht einmal die Diskriminante berechnen. Lassen Sie uns also ein neues Konzept vorstellen:

Die Gleichung ax 2 + bx + c = 0 heißt unvollständige quadratische Gleichung, wenn b = 0 oder c = 0, d. h. der Koeffizient der Variablen x oder des freien Elements ist gleich Null.

Natürlich ist ein sehr schwieriger Fall möglich, wenn beide Koeffizienten gleich Null sind: b \u003d c \u003d 0. In diesem Fall hat die Gleichung die Form ax 2 \u003d 0. Offensichtlich hat eine solche Gleichung eine einzige Wurzel: x \u003d 0.

Betrachten wir andere Fälle. Sei b \u003d 0, dann erhalten wir eine unvollständige quadratische Gleichung der Form ax 2 + c \u003d 0. Lassen Sie uns sie leicht umwandeln:

Da die arithmetische Quadratwurzel nur aus einer nichtnegativen Zahl existiert, macht die letzte Gleichheit nur dann Sinn, wenn (−c / a ) ≥ 0. Fazit:

1. Wenn eine unvollständige quadratische Gleichung der Form ax 2 + c = 0 die Ungleichung (−c / a) ≥ 0 erfüllt, gibt es zwei Wurzeln. Die Formel ist oben angegeben;
2. Wenn (−c / a )< 0, корней нет.

Wie Sie sehen, war die Diskriminante nicht erforderlich – in unvollständigen quadratischen Gleichungen gibt es überhaupt keine komplexen Berechnungen. Tatsächlich ist es nicht einmal notwendig, sich an die Ungleichung (−c / a ) ≥ 0 zu erinnern. Es reicht aus, den Wert von x 2 auszudrücken und zu sehen, was auf der anderen Seite des Gleichheitszeichens steht. Wenn es eine positive Zahl gibt, gibt es zwei Wurzeln. Wenn negativ, gibt es überhaupt keine Wurzeln.

Beschäftigen wir uns nun mit Gleichungen der Form ax 2 + bx = 0, in denen das freie Element gleich Null ist. Hier ist alles einfach: Es wird immer zwei Wurzeln geben. Es reicht aus, das Polynom zu faktorisieren:

Den gemeinsamen Faktor aus der Klammer nehmen

Das Produkt ist gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist. Hierher kommen die Wurzeln. Abschließend werden wir einige dieser Gleichungen analysieren:

Aufgabe. Lösen Sie quadratische Gleichungen:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Es gibt keine Wurzeln, weil Das Quadrat kann nicht gleich einer negativen Zahl sein.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.