Pyramide seine Basisseitenrippenhöhe. Pyramide

• Apothema- die Höhe der Seitenfläche einer regelmäßigen Pyramide, die von ihrer Spitze gezeichnet wird (außerdem ist das Apothem die Länge der Senkrechten, die von der Mitte eines regelmäßigen Polygons zu einer seiner Seiten abgesenkt wird);
• Seitenflächen (ASB, BSC, CSD, DSA) - Dreiecke, die oben zusammenlaufen;
• Seitenrippen ( ALS , BS , CS , DS ) - gemeinsame Seiten der Seitenflächen;
• Spitze der Pyramide (gegen S) - ein Punkt, der die Seitenränder verbindet und der nicht in der Ebene der Basis liegt;
• Höhe ( SO ) - ein Segment der Senkrechten, das durch die Spitze der Pyramide bis zur Ebene ihrer Basis gezogen wird (die Enden eines solchen Segments sind die Spitze der Pyramide und die Basis der Senkrechten);
• Diagonalschnitt einer Pyramide- Abschnitt der Pyramide, der durch die Spitze und die Diagonale der Basis verläuft;
• Base (A B C D) ist ein Polygon, zu dem die Spitze der Pyramide nicht gehört.

Pyramideneigenschaften.

1. Wenn alle Seitenkanten gleich groß sind, dann:

• in der Nähe der Basis der Pyramide ist es leicht, einen Kreis zu beschreiben, während die Spitze der Pyramide in die Mitte dieses Kreises projiziert wird;
• Seitenrippen bilden gleiche Winkel mit der Basisebene;
• außerdem gilt auch die Umkehrung, d.h. Wenn die Seitenkanten mit der Basisebene gleiche Winkel bilden oder wenn nahe der Basis der Pyramide ein Kreis beschrieben werden kann und die Spitze der Pyramide in die Mitte dieses Kreises projiziert wird, dann haben alle Seitenkanten der Pyramide die gleiche Größe.

2. Wenn die Seitenflächen einen Neigungswinkel zur Ebene der Basis haben, der den gleichen Wert hat, dann:

• in der Nähe der Basis der Pyramide ist es leicht, einen Kreis zu beschreiben, während die Spitze der Pyramide in die Mitte dieses Kreises projiziert wird;
• die Höhen der Seitenflächen sind Gleiche Länge;
• Die Fläche der Seitenfläche ist ½ das Produkt aus dem Umfang der Basis und der Höhe der Seitenfläche.

3. Eine Kugel kann in der Nähe der Pyramide beschrieben werden, wenn die Basis der Pyramide ein Polygon ist, um das ein Kreis beschrieben werden kann (eine notwendige und hinreichende Bedingung). Der Mittelpunkt der Kugel ist der Schnittpunkt der Ebenen, die durch die Mittelpunkte der Kanten der Pyramide verlaufen, die senkrecht zu ihnen stehen. Aus diesem Satz schließen wir, dass, wie bei jedem Dreieck, und bei jedem Richtige Pyramide Kugel beschrieben werden kann.

4. Eine Kugel kann in eine Pyramide eingeschrieben werden, wenn sich die Winkelhalbierenden der inneren Diederwinkel der Pyramide im 1. Punkt schneiden (eine notwendige und hinreichende Bedingung). Dieser Punkt wird zum Mittelpunkt der Kugel.

Die einfachste Pyramide.

Entsprechend der Anzahl der Ecken der Basis der Pyramide werden sie in dreieckig, viereckig usw. unterteilt.

Die Pyramide wird dreieckig, viereckig, und so weiter, wenn die Basis der Pyramide ein Dreieck, ein Viereck und so weiter ist. Eine dreieckige Pyramide ist ein Tetraeder - ein Tetraeder. Viereckig - Pentaeder und so weiter.

Hier sind grundlegende Informationen über die Pyramiden und verwandte Formeln und Konzepte gesammelt. Alle von ihnen werden mit einem Tutor in Mathematik zur Vorbereitung auf die Prüfung studiert.

Betrachten Sie eine Ebene, ein Polygon darin liegen und einen nicht darin liegenden Punkt S. Verbinden Sie S mit allen Eckpunkten des Polygons. Das resultierende Polyeder wird Pyramide genannt. Die Segmente werden Seitenkanten genannt. Das Polygon wird als Basis bezeichnet, und der Punkt S wird als Spitze der Pyramide bezeichnet. Abhängig von der Zahl n heißt die Pyramide dreieckig (n=3), viereckig (n=4), fünfeckig (n=5) und so weiter. Alternativer Name für die dreieckige Pyramide - Tetraeder. Die Höhe einer Pyramide ist die Senkrechte, die von ihrer Spitze zur Grundebene gezogen wird.

Eine Pyramide heißt richtig wenn regelmäßiges Vieleck, und die Basis der Höhe der Pyramide (die Basis der Senkrechten) ist ihr Mittelpunkt.

Kommentar des Lehrers:
Verwechseln Sie nicht die Begriffe „regelmäßige Pyramide“ und „regelmäßiges Tetraeder“. In einer regelmäßigen Pyramide sind die Seitenkanten nicht unbedingt gleich den Kanten der Basis, aber in einem regelmäßigen Tetraeder sind alle 6 Kanten der Kanten gleich. Das ist seine Definition. Es ist leicht zu beweisen, dass die Gleichheit impliziert, dass der Mittelpunkt P des Polygons ist mit einer Höhenbasis, also ist ein regelmäßiger Tetraeder eine regelmäßige Pyramide.

Was ist ein Apothem?
Der Apothem einer Pyramide ist die Höhe ihrer Seitenfläche. Wenn die Pyramide regelmäßig ist, dann sind alle ihre Apotheme gleich. Das Gegenteil ist nicht wahr.

Mathematiklehrer über seine Terminologie: Die Arbeit mit Pyramiden besteht zu 80 % aus zwei Arten von Dreiecken:
1) Enthält Apothema SK und Höhe SP
2) Enthält den seitlichen Rand SA und seinen Vorsprung PA

Um die Verweise auf diese Dreiecke zu vereinfachen, ist es für einen Mathematiklehrer bequemer, das erste von ihnen zu nennen apothemisch, und zweitens Küsten. Leider findet man diese Terminologie in keinem der Lehrbücher, und der Lehrer muss sie einseitig einführen.

Pyramidenvolumenformel:
1) , wo ist die Fläche der Basis der Pyramide und die Höhe der Pyramide
2) , wobei der Radius der eingeschriebenen Kugel und die Gesamtfläche der Pyramide ist.
3) , wobei MN der Abstand zweier sich kreuzender Kanten und die Fläche des Parallelogramms ist, das durch die Mittelpunkte der vier verbleibenden Kanten gebildet wird.

Pyramidenhöhe Basiseigenschaft:

Der Punkt P (siehe Abbildung) fällt mit dem Mittelpunkt des einbeschriebenen Kreises am Fuß der Pyramide zusammen, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:
1) Alle Apotheme sind gleich
2) Alle Seitenflächen sind gleich zur Basis geneigt
3) Alle Apotheme sind gleich zur Höhe der Pyramide geneigt
4) Die Höhe der Pyramide ist zu allen Seitenflächen gleich geneigt

Kommentar des Mathelehrers: Beachten Sie, dass alle Punkte durch eine gemeinsame Eigenschaft vereint sind: Auf die eine oder andere Weise sind Seitenflächen überall beteiligt (Apotheme sind ihre Elemente). Daher kann der Tutor eine weniger genaue, aber bequemere Formulierung zum Auswendiglernen anbieten: Der Punkt P fällt mit dem Mittelpunkt des einbeschriebenen Kreises zusammen, der Basis der Pyramide, wenn es gleichwertige Informationen über ihre Seitenflächen gibt. Um dies zu beweisen, genügt es zu zeigen, dass alle apothemischen Dreiecke gleich sind.

Der Punkt P fällt mit dem Mittelpunkt des umschriebenen Kreises in der Nähe der Basis der Pyramide zusammen, wenn eine der drei Bedingungen zutrifft:
1) Alle Seitenkanten sind gleich
2) Alle Seitenrippen sind gleich zur Basis geneigt
3) Alle Seitenrippen sind gleich zur Höhe geneigt

Videolektion 2: Pyramiden-Herausforderung. Pyramidenvolumen

Videolektion 3: Pyramiden-Herausforderung. Korrekte Pyramide

Vorlesung: Pyramide, ihre Basis, Seitenkanten, Höhe, Seitenfläche; Dreieckige Pyramide; rechte Pyramide

Pyramide- Dies ist ein dreidimensionaler Körper, der an der Basis ein Polygon hat und alle seine Flächen aus Dreiecken bestehen.

Ein Sonderfall einer Pyramide ist ein Kegel, an dessen Fuß ein Kreis liegt.

Betrachten Sie die Hauptelemente der Pyramide:

Apothema ist ein Segment, das die Spitze der Pyramide mit der Mitte der Unterkante der Seitenfläche verbindet. Mit anderen Worten, dies ist die Höhe der Pyramidenfläche.

In der Abbildung sehen Sie die Dreiecke ADS, ABS, BCS, CDS. Wenn Sie sich die Namen genau ansehen, können Sie sehen, dass jedes Dreieck einen gemeinsamen Buchstaben in seinem Namen hat - S. Das bedeutet, dass alle Seitenflächen (Dreiecke) an einem Punkt zusammenlaufen, der als Spitze der Pyramide bezeichnet wird.

Die Strecke OS, die den Scheitelpunkt mit dem Schnittpunkt der Diagonalen der Basis (bei Dreiecken mit dem Schnittpunkt der Höhen) verbindet, wird aufgerufen Pyramidenhöhe.

Ein Diagonalschnitt ist eine Ebene, die durch die Spitze der Pyramide verläuft, sowie eine der Diagonalen der Basis.

Da die Seitenfläche der Pyramide aus Dreiecken besteht, ist es notwendig, die Flächen jeder Fläche zu finden und zu addieren, um die Gesamtfläche der Seitenfläche zu ermitteln. Die Anzahl und Form der Flächen hängt von der Form und Größe der Seiten des Polygons ab, das an der Basis liegt.

Die einzige Ebene in einer Pyramide, die keine Spitze hat, wird genannt Basis Pyramiden.

In der Abbildung sehen wir, dass die Basis ein Parallelogramm ist, es kann jedoch ein beliebiges Polygon geben.

Eigenschaften:

Betrachten Sie den ersten Fall einer Pyramide, in der sie Kanten gleicher Länge hat:

• Um die Basis einer solchen Pyramide kann ein Kreis beschrieben werden. Wenn Sie die Spitze einer solchen Pyramide projizieren, befindet sich ihre Projektion in der Mitte des Kreises.
• Die Winkel an der Basis der Pyramide sind für jede Fläche gleich.
• Gleichzeitig können als hinreichende Bedingung dafür, dass um die Basis der Pyramide ein Kreis beschrieben werden kann und auch alle Kanten unterschiedlich lang sind, gleiche Winkel zwischen der Basis und jeder Kante der Flächen angesehen werden .

Wenn Sie auf eine Pyramide stoßen, bei der die Winkel zwischen den Seitenflächen und der Basis gleich sind, dann gelten die folgenden Eigenschaften:

• Sie werden in der Lage sein, einen Kreis um die Basis der Pyramide zu beschreiben, deren Spitze genau auf die Mitte projiziert wird.
• Zieht man bei jeder Seitenfläche die Höhe bis zur Basis, dann werden sie gleich lang.
• Um die Seitenfläche einer solchen Pyramide zu finden, reicht es aus, den Umfang der Basis zu finden und ihn mit der halben Länge der Höhe zu multiplizieren.
• Sbp \u003d 0,5P oc H.
• Arten von Pyramiden.
• Je nachdem, welches Polygon an der Basis der Pyramide liegt, können sie dreieckig, viereckig usw. sein. Wenn an der Basis der Pyramide ein regelmäßiges Polygon (mit gleichen Seiten) liegt, wird eine solche Pyramide regelmäßig genannt.

Regelmäßige dreieckige Pyramide

Pyramidenkonzept

Bestimmung 1

Geometrische Figur, gebildet aus einem Polygon und einem Punkt, der nicht in der Ebene liegt, die dieses Polygon enthält, verbunden mit allen Eckpunkten des Polygons, wird als Pyramide bezeichnet (Abb. 1).

Das Polygon, aus dem die Pyramide zusammengesetzt ist, wird als Basis der Pyramide bezeichnet, die durch Verbinden mit dem Punkt erhaltenen Dreiecke sind die Seitenflächen der Pyramide, die Seiten der Dreiecke sind die Seiten der Pyramide und der allen gemeinsame Punkt Dreiecke ist die Spitze der Pyramide.

Arten von Pyramiden

Abhängig von der Anzahl der Ecken an der Basis der Pyramide kann sie als dreieckig, viereckig usw. bezeichnet werden (Abb. 2).

Figur 2.

Eine andere Art von Pyramide ist eine regelmäßige Pyramide.

Lassen Sie uns die Eigenschaft einer regelmäßigen Pyramide einführen und beweisen.

Satz 1

Alle Seitenflächen einer regelmäßigen Pyramide sind gleichschenklige Dreiecke, die einander gleich sind.

Nachweisen.

Betrachten Sie eine regelmäßige $n-$gonale Pyramide mit dem Scheitelpunkt $S$ der Höhe $h=SO$. Lassen Sie uns einen Kreis um die Basis beschreiben (Abb. 4).

Figur 4

Betrachten Sie das Dreieck $SOA$. Nach dem Satz des Pythagoras erhalten wir

Offensichtlich wird jede Seitenkante auf diese Weise definiert. Daher sind alle Seitenkanten einander gleich, das heißt, alle Seitenflächen sind gleichschenklige Dreiecke. Lassen Sie uns beweisen, dass sie einander gleich sind. Da die Basis ein regelmäßiges Polygon ist, sind die Basen aller Seitenflächen einander gleich. Folglich sind alle Seitenflächen gemäß dem III-Gleichheitszeichen von Dreiecken gleich.

Der Satz ist bewiesen.

Wir führen nun die folgende Definition ein, die sich auf das Konzept einer regulären Pyramide bezieht.

Bestimmung 3

Der Apothem einer regelmäßigen Pyramide ist die Höhe ihrer Seitenfläche.

Offensichtlich sind nach Satz 1 alle Apotheme gleich.

Satz 2

Die seitliche Oberfläche einer regelmäßigen Pyramide ist definiert als das Produkt aus dem Halbumfang der Basis und dem Apothem.

Nachweisen.

Lassen Sie uns die Seite der Basis der $n-$Kohle-Pyramide mit $a$ und das Apothem mit $d$ bezeichnen. Daher ist die Fläche der Seitenfläche gleich

Da nach Satz 1 alle Seiten gleich sind

Der Satz ist bewiesen.

Eine andere Pyramidenart ist der Pyramidenstumpf.

Bestimmung 4

Wenn durch eine gewöhnliche Pyramide eine Ebene parallel zu ihrer Basis gezogen wird, wird die zwischen dieser Ebene und der Ebene der Basis gebildete Figur als Pyramidenstumpf bezeichnet (Abb. 5).

Abbildung 5. Pyramidenstumpf

Die Seitenflächen des Pyramidenstumpfes sind Trapeze.

Satz 3

Die Fläche der Seitenfläche eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes ist definiert als das Produkt aus der Summe der Halbumfänge der Basen und des Apothems.

Nachweisen.

Lassen Sie uns die Seiten der Basen der $n-$Kohle-Pyramide mit $a\ bzw.\ b$ und das Apothem mit $d$ bezeichnen. Daher ist die Fläche der Seitenfläche gleich

Da sind also alle Seiten gleich

Der Satz ist bewiesen.

Aufgabenbeispiel

Beispiel 1

Finden Sie die Fläche der Seitenfläche eines dreieckigen Pyramidenstumpfes, wenn sie aus einer regelmäßigen Pyramide mit der Basisseite 4 und dem Apothem 5 erhalten wird, indem Sie durch eine Ebene abschneiden, die durch die Mittellinie der Seitenflächen verläuft.

Lösung.

Nach dem Mediansatz erhalten wir, dass die obere Basis des Pyramidenstumpfes gleich $4\cdot \frac(1)(2)=2$ ist und das Apothem gleich $5\cdot \frac(1)( 2) = 2,5 $.

Dann erhalten wir nach Satz 3