Eine dreieckige Pyramide, deren Kanten gleich sind. Die Haupteigenschaften der richtigen Pyramide

Hier werden grundlegende Informationen zu den Pyramiden und den dazugehörigen Formeln und Konzepten gesammelt. Alle werden mit einem Nachhilfelehrer in Mathematik zur Vorbereitung auf die Prüfung studiert.

Betrachten Sie eine Ebene, ein Polygon darin liegt und ein Punkt S, der nicht darin liegt. Verbinden Sie S mit allen Eckpunkten des Polygons. Das resultierende Polyeder wird Pyramide genannt. Die Segmente werden Seitenkanten genannt. Das Polygon wird Basis und der Punkt S die Spitze der Pyramide genannt. Abhängig von der Zahl n wird die Pyramide dreieckig (n=3), viereckig (n=4), fünfeckig (n=5) usw. genannt. Alternativer Name für die dreieckige Pyramide - Tetraeder. Die Höhe einer Pyramide ist die Senkrechte, die von ihrer Spitze zur Grundebene gezogen wird.

Eine Pyramide heißt korrekt, wenn regelmäßiges Vieleck, und die Basis der Höhe der Pyramide (die Basis der Senkrechten) ist ihr Mittelpunkt.

Kommentar des Tutors:
Verwechseln Sie nicht die Begriffe „regelmäßige Pyramide“ und „regelmäßiges Tetraeder“. An der rechten Pyramide seitliche Rippen sind nicht unbedingt gleich den Kanten der Grundfläche, aber in einem regelmäßigen Tetraeder sind alle 6 Kanten der Kanten gleich. Das ist seine Definition. Es ist leicht zu beweisen, dass die Gleichheit impliziert, dass der Mittelpunkt P des Polygons ist mit einer Höhenbasis, also ist ein regelmäßiger Tetraeder eine regelmäßige Pyramide.

Was ist ein Apothem?
Das Apothem einer Pyramide ist die Höhe ihrer Seitenfläche. Wenn die Pyramide regelmäßig ist, sind alle ihre Apotheme gleich. Das Gegenteil ist nicht der Fall.

Mathematiklehrer über seine Terminologie: Die Arbeit mit Pyramiden besteht zu 80 % aus zwei Arten von Dreiecken:
1) Enthält Apothem SK und Höhe SP
2) Enthält die Seitenkante SA und ihren Vorsprung PA

Um die Bezugnahme auf diese Dreiecke zu vereinfachen, ist es für einen Mathematiklehrer bequemer, das erste Dreieck zu benennen apothemisch, und zweitens Küsten. Leider findet man diese Terminologie in keinem der Lehrbücher und der Lehrer muss sie einseitig einführen.

Pyramidenvolumenformel:
1) , wobei die Fläche der Basis der Pyramide und die Höhe der Pyramide ist
2) , wobei der Radius der eingeschriebenen Kugel und die Gesamtoberfläche der Pyramide sind.
3) , wobei MN der Abstand zweier sich kreuzender Kanten und die Fläche des Parallelogramms ist, das durch die Mittelpunkte der vier verbleibenden Kanten gebildet wird.

Eigenschaft der Pyramidenhöhenbasis:

Punkt P (siehe Abbildung) fällt mit dem Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises am Fuß der Pyramide zusammen, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:
1) Alle Apotheme sind gleich
2) Alle Seitenflächen sind gleichmäßig zur Basis geneigt
3) Alle Apotheme sind gleichmäßig zur Höhe der Pyramide geneigt
4) Die Höhe der Pyramide ist zu allen Seitenflächen gleich geneigt

Kommentar des Mathematiklehrers: Beachten Sie, dass alle Punkte durch eine gemeinsame Eigenschaft verbunden sind: Auf die eine oder andere Weise sind Seitenflächen überall beteiligt (Apotheme sind ihre Elemente). Daher kann der Tutor eine weniger präzise, ​​aber bequemere Formulierung zum Auswendiglernen anbieten: Der Punkt P fällt mit dem Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises, der Basis der Pyramide, zusammen, wenn gleiche Informationen über ihre Seitenflächen vorliegen. Um dies zu beweisen, genügt es zu zeigen, dass alle apothemischen Dreiecke gleich sind.

Der Punkt P fällt mit dem Mittelpunkt des umschriebenen Kreises nahe der Basis der Pyramide zusammen, wenn eine der drei Bedingungen zutrifft:
1) Alle Seitenkanten sind gleich
2) Alle Seitenrippen sind gleichmäßig zur Basis geneigt
3) Alle Seitenrippen sind gleichmäßig zur Höhe geneigt

• Apothema- die Höhe der Seitenfläche einer regelmäßigen Pyramide, die von ihrer Spitze aus gezogen wird (außerdem ist das Apothem die Länge der Senkrechten, die von der Mitte eines regelmäßigen Vielecks auf eine seiner Seiten abgesenkt wird);
• Seitenflächen (ASB, BSC, CSD, DSA) - Dreiecke, die oben zusammenlaufen;
• seitliche Rippen ( ALS , BS , CS , D.S. ) - gemeinsame Seiten der Seitenflächen;
• Spitze der Pyramide (v. S) - ein Punkt, der die Seitenkanten verbindet und der nicht in der Ebene der Basis liegt;
• Höhe ( SO ) - ein Segment der Senkrechten, das durch die Spitze der Pyramide zur Ebene ihrer Basis gezogen wird (die Enden eines solchen Segments sind die Spitze der Pyramide und die Basis der Senkrechten);
• diagonaler Abschnitt einer Pyramide- Abschnitt der Pyramide, der durch die Spitze und die Diagonale der Basis verläuft;
• Base (A B C D) ist ein Polygon, zu dem die Spitze der Pyramide nicht gehört.

Pyramideneigenschaften.

1. Wenn alle Seitenkanten gleich groß sind, dann:

• Nahe der Basis der Pyramide lässt sich leicht ein Kreis beschreiben, während die Spitze der Pyramide in die Mitte dieses Kreises projiziert wird.
• Seitenrippen bilden mit der Basisebene gleiche Winkel;
• Darüber hinaus gilt auch das Umgekehrte, d. h. Wenn die Seitenkanten gleiche Winkel mit der Basisebene bilden oder wenn ein Kreis in der Nähe der Basis der Pyramide beschrieben werden kann und die Spitze der Pyramide in die Mitte dieses Kreises projiziert wird, dann haben alle Seitenkanten der Pyramide einen solchen Winkel die gleiche Größe.

2. Wenn die Seitenflächen einen gleichen Neigungswinkel zur Ebene der Basis haben, dann:

• Nahe der Basis der Pyramide lässt sich leicht ein Kreis beschreiben, während die Spitze der Pyramide in die Mitte dieses Kreises projiziert wird.
• Die Höhen der Seitenflächen sind Gleiche Länge;
• Die Fläche der Seitenfläche beträgt die Hälfte des Produkts aus dem Umfang der Basis und der Höhe der Seitenfläche.

3. Eine Kugel kann in der Nähe der Pyramide beschrieben werden, wenn die Basis der Pyramide ein Polygon ist, um das ein Kreis beschrieben werden kann (eine notwendige und hinreichende Bedingung). Der Mittelpunkt der Kugel ist der Schnittpunkt der Ebenen, die durch die Mittelpunkte der senkrecht zu ihnen stehenden Kanten der Pyramide verlaufen. Aus diesem Satz schließen wir, dass eine Kugel sowohl um jedes Dreieck als auch um jede regelmäßige Pyramide beschrieben werden kann.

4. Eine Kugel kann in eine Pyramide eingeschrieben werden, wenn sich die Winkelhalbierenden der inneren Diederwinkel der Pyramide im 1. Punkt schneiden (eine notwendige und hinreichende Bedingung). Dieser Punkt wird zum Mittelpunkt der Kugel.

Die einfachste Pyramide.

Entsprechend der Anzahl der Ecken der Pyramidenbasis werden sie in dreieckige, viereckige usw. unterteilt.

Die Pyramide wird dreieckig, viereckig usw., wenn die Basis der Pyramide ein Dreieck, ein Viereck usw. ist. Eine dreieckige Pyramide ist ein Tetraeder – ein Tetraeder. Viereckig - Pentaeder und so weiter.

Videolektion 2: Pyramiden-Herausforderung. Pyramidenvolumen

Videolektion 3: Pyramiden-Herausforderung. Richtige Pyramide

Vorlesung: Pyramide, ihre Basis, Seitenkanten, Höhe, Seitenfläche; Dreieckige Pyramide; rechte Pyramide

Pyramide- Dies ist ein dreidimensionaler Körper, der an der Basis ein Polygon hat und dessen Flächen aus Dreiecken bestehen.

Ein Sonderfall einer Pyramide ist ein Kegel, an dessen Basis ein Kreis liegt.

Betrachten Sie die Hauptelemente der Pyramide:

Apothema ist ein Segment, das die Spitze der Pyramide mit der Mitte der Unterkante der Seitenfläche verbindet. Mit anderen Worten, dies ist die Höhe der Pyramidenfläche.

In der Abbildung erkennt man die Dreiecke ADS, ABS, BCS, CDS. Wenn Sie sich die Namen genau ansehen, können Sie erkennen, dass jedes Dreieck einen gemeinsamen Buchstaben im Namen hat – S. Das heißt, dass alle Seitenflächen (Dreiecke) in einem Punkt zusammenlaufen, der als Spitze der Pyramide bezeichnet wird.

Man nennt die Strecke OS, die den Scheitelpunkt mit dem Schnittpunkt der Diagonalen der Grundfläche (bei Dreiecken mit dem Schnittpunkt der Höhen) verbindet Pyramidenhöhe.

Ein diagonaler Abschnitt ist eine Ebene, die durch die Spitze der Pyramide sowie durch eine der Diagonalen der Basis verläuft.

Da die Seitenfläche der Pyramide aus Dreiecken besteht, ist es zum Ermitteln der Gesamtfläche der Seitenfläche erforderlich, die Flächen jeder Fläche zu ermitteln und diese zu addieren. Die Anzahl und Form der Flächen hängt von der Form und Größe der Seiten des Polygons ab, das an der Basis liegt.

Die einzige Ebene in einer Pyramide, die keinen Scheitelpunkt hat, wird aufgerufen Basis Pyramiden.

In der Abbildung sehen wir, dass die Basis ein Parallelogramm ist, es kann jedoch jedes beliebige Polygon sein.

Eigenschaften:

Betrachten Sie den ersten Fall einer Pyramide, deren Kanten gleich lang sind:

• Um die Basis einer solchen Pyramide lässt sich ein Kreis beschreiben. Wenn Sie die Spitze einer solchen Pyramide projizieren, befindet sich ihre Projektion in der Mitte des Kreises.
• Die Winkel an der Basis der Pyramide sind für jede Seite gleich.
• Gleichzeitig können als ausreichende Bedingung dafür, dass ein Kreis um die Basis der Pyramide beschrieben werden kann und auch alle Kanten unterschiedlich lang sind, die gleichen Winkel zwischen der Basis und jeder Kante der Flächen angesehen werden .

Wenn Sie auf eine Pyramide stoßen, bei der die Winkel zwischen den Seitenflächen und der Grundfläche gleich sind, dann gelten folgende Eigenschaften:

• Sie können einen Kreis um die Basis der Pyramide beschreiben, dessen Spitze genau auf die Mitte projiziert wird.
• Wenn Sie an jeder Seitenfläche die Höhe bis zur Basis einzeichnen, sind sie gleich lang.
• Um die Mantelfläche einer solchen Pyramide zu ermitteln, reicht es aus, den Umfang der Grundfläche zu ermitteln und ihn mit der halben Länge der Höhe zu multiplizieren.
• Sbp \u003d 0,5P oc H.
• Arten von Pyramiden.
• Je nachdem, welches Polygon an der Basis der Pyramide liegt, können sie dreieckig, viereckig usw. sein. Wenn an der Basis der Pyramide ein regelmäßiges Polygon (mit gleichen Seiten) liegt, wird eine solche Pyramide als regelmäßig bezeichnet.

Regelmäßige dreieckige Pyramide

Wir kennen die großen ägyptischen Pyramiden gut, jeder kann sich vorstellen, wie sie aussehen. Diese Darstellung wird uns helfen, die Merkmale einer solchen zu verstehen geometrische Figur wie eine Pyramide.

Eine Pyramide ist ein Polyeder, bestehend aus einem flachen Polygon – der Basis der Pyramide, einem Punkt, der nicht in der Ebene der Basis liegt – der Spitze der Pyramide und allen Segmenten, die die Spitze mit den Punkten der Basis verbinden. Die Segmente, die die Spitze der Pyramide mit der Spitze der Basis verbinden, werden Seitenkanten genannt. Auf Abb. 1 zeigt die Pyramide SABCD. Das Viereck ABCD ist die Basis der Pyramide, Punkt S ist die Spitze der Pyramide, die Segmente SA, SB, SC und SD sind die Kanten der Pyramide.

Die Höhe der Pyramide ist die Senkrechte, die von der Spitze der Pyramide zur Ebene der Basis fällt. Auf Abb. 1 SO ist die Höhe der Pyramide.

Eine Pyramide heißt n-eckig, wenn ihre Basis ein n-Eck ist. Abbildung 1 zeigt eine viereckige Pyramide. Eine dreieckige Pyramide wird Tetraeder genannt.

Eine Pyramide heißt regelmäßig, wenn ihre Grundfläche ein regelmäßiges Vieleck ist und die Grundfläche der Höhe mit dem Mittelpunkt dieses Vielecks übereinstimmt. Die Seitenkanten einer regelmäßigen Pyramide sind gleich und daher sind die Seitenflächen gleichschenklige Dreiecke. Bei einer regelmäßigen Pyramide wird die Höhe der Seitenfläche, die von der Spitze der Pyramide ausgeht, als Apothem bezeichnet.

Die Pyramide hat eine Reihe von Eigenschaften.

Alle Diagonalen einer Pyramide gehören zu ihren Flächen.

Wenn alle Seitenkanten gleich sind, dann gilt:

• In der Nähe der Basis der Pyramide kann ein Kreis beschrieben werden, und die Spitze der Pyramide wird in ihre Mitte projiziert.
• die Seitenkanten gleiche Winkel mit der Grundebene bilden, und umgekehrt, wenn die Seitenkanten gleiche Winkel mit der Grundebene bilden oder wenn ein Kreis in der Nähe der Basis der Pyramide beschrieben werden kann und die Spitze der Pyramide hinein projiziert wird sein Mittelpunkt, dann sind alle Seitenkanten der Pyramide gleich.

Wenn die Seitenflächen in einem Winkel zur Grundebene geneigt sind, dann gilt:

• An der Basis der Pyramide kann ein Kreis eingeschrieben werden, und die Spitze der Pyramide wird in ihre Mitte projiziert.
• die Höhen der Seitenflächen sind gleich;
• Die Fläche der Seitenfläche ist gleich der Hälfte des Produkts aus dem Umfang der Basis und der Höhe der Seitenfläche.

Betrachten Sie die Formeln zum Ermitteln des Volumens und der Oberfläche der Pyramide.

Das Volumen der Pyramide lässt sich mit folgender Formel berechnen:

wobei S die Grundfläche und h die Höhe ist.

Um die Gesamtoberfläche einer Pyramide zu ermitteln, verwenden Sie die Formel:

S p \u003d S b + S o,

wobei S p die Gesamtoberfläche, S b die Seitenoberfläche und S o die Grundfläche ist.

Ein Pyramidenstumpf ist ein Polyeder, das zwischen der Basis der Pyramide und einer Schnittebene parallel zu ihrer Basis eingeschlossen ist. Die in parallelen Ebenen liegenden Flächen des Pyramidenstumpfes werden als Grundflächen des Pyramidenstumpfes bezeichnet, die übrigen Flächen als Seitenflächen. Die Grundflächen eines Pyramidenstumpfes sind gleichartige Vielecke, die Seitenflächen sind Trapeze. Ein Pyramidenstumpf, der aus einer regelmäßigen Pyramide entsteht, wird regelmäßiger Pyramidenstumpf genannt. Die Seitenflächen eines regelmäßigen Trapezstumpfes sind gleichschenklige Trapeze, ihre Höhen werden Apotheme genannt.

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