Der Radius des Inkreises in einer rechtwinkligen Dreiecksformel. Formeln für die Radien von ein- und umschriebenen Kreisen regelmäßiger Vielecke

Sehr oft müssen Sie beim Lösen geometrischer Probleme Aktionen mit Hilfsfiguren ausführen. Ermitteln Sie beispielsweise den Radius eines einbeschriebenen oder umschriebenen Kreises usw. Dieser Artikel zeigt dir, wie du den Radius eines Kreises findest, der ein Dreieck umschreibt. Oder anders gesagt, der Radius des Kreises, in den das Dreieck eingeschrieben ist.

So finden Sie den Radius eines um ein Dreieck umschriebenen Kreises - die allgemeine Formel

Die allgemeine Formel lautet wie folgt: R = abc/4√p(p - a)(p - b)(p - c), wobei R der Radius des umschriebenen Kreises ist, p der Umfang des Dreiecks geteilt durch 2 ist (halber Umfang). a, b, c sind die Seiten des Dreiecks.

Finden Sie den Radius des Umkreises des Dreiecks, wenn a = 3, b = 6, c = 7.

Somit berechnen wir auf der Grundlage der obigen Formel den Halbumfang:
p = (a + b + c)/2 = 3 + 6 + 7 = 16. => 16/2 = 8.

Ersetzen Sie die Werte in der Formel und erhalten Sie:
R = 3 × 6 × 7/4√8(8 – 3)(8 – 6)(8 – 7) = 126/4√(8 × 5 × 2 × 1) = 126/4√80 = 126/16 √5.

Antwort: R = 126/16√5

So finden Sie den Radius eines Kreises, der um ein gleichseitiges Dreieck umschrieben ist

Um den Radius eines um ein gleichseitiges Dreieck umschriebenen Kreises zu finden, gibt es durchaus einfache Formel: R = a/√3, wobei a der Seitenwert ist.

Beispiel: Die Seite eines gleichseitigen Dreiecks ist 5. Finde den Radius des umschriebenen Kreises.

Da alle Seiten eines gleichseitigen Dreiecks gleich sind, müssen Sie zur Lösung des Problems nur seinen Wert in die Formel eingeben. Wir erhalten: R = 5/√3.

Antwort: R = 5/√3.

So finden Sie den Radius eines Kreises, der um ein rechtwinkliges Dreieck umschrieben ist

Die Formel sieht so aus: R = 1/2 × √(a² + b²) = c/2, wobei a und b Beine und c die Hypotenuse sind. Wenn wir die Quadrate der Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks addieren, erhalten wir das Quadrat der Hypotenuse. Wie aus der Formel ersichtlich, steht dieser Ausdruck unter der Wurzel. Indem wir die Wurzel aus dem Quadrat der Hypotenuse berechnen, erhalten wir die Länge selbst. Die Multiplikation des resultierenden Ausdrucks mit 1/2 führt uns schließlich zu dem Ausdruck 1/2 × c = c/2.

Beispiel: Berechnen Sie den Radius des umschriebenen Kreises, wenn die Schenkel des Dreiecks 3 und 4 sind. Setzen Sie die Werte in die Formel ein. Wir erhalten: R = 1/2 × √(3² + 4²) = 1/2 × √25 = 1/2 × 5 = 2,5.

In diesem Ausdruck ist 5 die Länge der Hypotenuse.

Antwort: R = 2,5.

So finden Sie den Radius eines Kreises, der um ein gleichschenkliges Dreieck umschrieben ist

Die Formel sieht so aus: R = a² / √ (4a² - b²), wobei a die Länge des Schenkels des Dreiecks und b die Länge der Basis ist.

Beispiel: Berechnen Sie den Radius eines Kreises, wenn seine Hüfte = 7 und seine Basis = 8 ist.

Lösung: Wir setzen diese Werte in die Formel ein und erhalten: R \u003d 7² / √ (4 × 7² - 8²).

R = 49/√(196 - 64) = 49/√132. Die Antwort kann direkt so geschrieben werden.

Antwort: R = 49/√132

Online-Ressourcen zur Berechnung des Radius eines Kreises

Es ist sehr leicht, in all diesen Formeln verwirrt zu werden. Daher können Sie bei Bedarf verwenden Online-Rechner, die Ihnen bei der Lösung von Problemen beim Finden des Radius helfen. Das Funktionsprinzip solcher Miniprogramme ist sehr einfach. Ersetzen Sie den Wert der Seite im entsprechenden Feld und erhalten Sie eine fertige Antwort. Sie können mehrere Optionen zum Runden der Antwort auswählen: auf Dezimalstellen, Hundertstel, Tausendstel usw.

Kreis in ein Dreieck eingeschrieben

Existenz eines Kreises, der in ein Dreieck eingeschrieben ist

Erinnere dich an die Definition Winkelhalbierende .

Bestimmung 1 .Winkelhalbierende ein Strahl genannt, der einen Winkel in zwei gleiche Teile teilt.

Satz 1 (Grundeigenschaft der Winkelhalbierenden) . Jeder Punkt der Winkelhalbierenden hat den gleichen Abstand von den Seiten des Winkels (Abb. 1).

Reis. 1

Nachweisen D auf der Winkelhalbierenden liegenBAK , Und DE Und D.F. an den Seiten der Ecke (Abb. 1).rechtwinklige Dreiecke ADF Und ADE gleich weil sie die gleichen spitzen Winkel habenDAF Und DAE , und die Hypotenuse ANZEIGE - allgemein. Somit,

D.F. = D.E.

Q.E.D.

Satz 2 (Umkehrsatz zu Satz 1) . Wenn einige , dann liegt es auf der Winkelhalbierenden (Abb. 2).

Reis. 2

Nachweisen . Betrachten Sie einen beliebigen PunktD in der Ecke liegenBAK und sich im gleichen Abstand von den Seiten der Ecke befinden. Vom Punkt fallen lassenD Senkrechte DE Und D.F. an den Seiten der Ecke (Abb. 2).rechtwinklige Dreiecke ADF Und ADE gleich , da sie gleichbeinig sindD.F. Und DE , und die Hypotenuse ANZEIGE - allgemein. Somit,

Q.E.D.

Bestimmung 2 . Der Kreis wird aufgerufen Kreis in einem Winkel eingeschrieben wenn es die Seiten dieses Winkels sind.

Satz 3 . Wenn ein Kreis in einen Winkel eingeschrieben ist, sind die Abstände vom Scheitelpunkt des Winkels zu den Berührungspunkten des Kreises mit den Seiten des Winkels gleich.

Nachweisen . Lassen Sie den Punkt D ist der Mittelpunkt eines Kreises, der einem Winkel einbeschrieben istBAK , und die Punkte E Und F - Berührungspunkte des Kreises mit den Seiten der Ecke (Abb. 3).

Abb. 3

A , B , C - Seiten eines Dreiecks
 S -Quadrat,

R – Radius des Inkreises,
 P - Halbperimeter

.

Formelausgabe anzeigen

A – seitliche Seite eines gleichschenkligen Dreiecks , 
 B - Basis, R – eingeschriebener Kreisradius

A R – eingeschriebener Kreisradius

Formelausgabe anzeigen

,

Wo

,

dann, im Fall eines gleichschenkligen Dreiecks, wann

wir bekommen

was erforderlich war.

Satz 7 . Für die Gleichberechtigung

Wo A - Seite eines gleichseitigen DreiecksR – Radius des Inkreises (Abb. 8).

Reis. 8

Nachweisen .

,

dann, im Fall eines gleichseitigen Dreiecks, wann

b=a,

wir bekommen

was erforderlich war.

Kommentar . Als Übung empfehle ich, die Formel für den Radius eines einem gleichseitigen Dreieck einbeschriebenen Kreises direkt herzuleiten, also ohne allgemeine Formeln für die Radien von Kreisen zu verwenden, die einem beliebigen Dreieck oder einem gleichschenkligen Dreieck einbeschrieben sind.

Satz 8 . Für ein rechtwinkliges Dreieck die Gleichheit

Wo A , B - Beine eines rechtwinkligen Dreiecks, C – Hypotenuse , R – Radius des Inkreises.

Nachweisen . Betrachten Sie Abbildung 9.

Reis. 9

Da das ViereckCDOF Ist , die benachbarte Seiten hatTUN Und VON gleich sind, dann ist dieses Rechteck gleich . Somit,

CB \u003d CF \u003d r,

Aufgrund von Satz 3 sind die Gleichheiten

Daher erhalten wir unter Berücksichtigung von

was erforderlich war.

Eine Auswahl von Aufgaben zum Thema "Ein in ein Dreieck eingeschriebener Kreis".

1.

Ein Kreis, der in ein gleichschenkliges Dreieck eingeschrieben ist, teilt am Berührungspunkt eine der Seiten in zwei Segmente, deren Längen gleich 5 und 3 sind, gezählt von der Spitze gegenüber der Basis. Finde den Umfang des Dreiecks.

2.

3

IN Dreieck ABC AC=4, BC=3, Winkel C ist 90º. Berechne den Radius des Inkreises.

4.

Die Schenkel eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks sind 2+. Finde den Radius des Kreises, der diesem Dreieck einbeschrieben ist.

5.

Radius eines Kreises, der einer Gleichschenkel eingeschrieben ist rechtwinkliges Dreieck, ist gleich 2. Finden Sie die Hypotenuse c dieses Dreiecks. Schreiben Sie c(-1) in Ihre Antwort.

Hier sind eine Reihe von Aufgaben aus der Prüfung mit Lösungen.

Der Radius eines Kreises, der einem gleichschenkligen rechtwinkligen Dreieck einbeschrieben ist, ist . Finde die Hypotenuse c dieses Dreiecks. Bitte geben Sie in Ihrer Antwort an.

Das Dreieck ist rechtwinklig und gleichschenklig. Seine Beine sind also gleich. Lassen Sie jedes Bein gleich sein. Dann ist die Hypotenuse.

Wir schreiben die Fläche des Dreiecks ABC auf zwei Arten:

Wenn wir diese Ausdrücke gleichsetzen, erhalten wir das. Weil das, das verstehen wir. Dann.

Als Antwort schreiben.

Antworten:.

Aufgabe 2.

1. An zwei beliebigen Seiten 10 cm und 6 cm (AB und BC). Finden Sie die Radien der umschriebenen und einbeschriebenen Kreise
Das Problem wird selbstständig durch Kommentieren gelöst.

Lösung:

IN.

1) Finden:
2) Beweisen Sie:und finde CK
3) Finde: die Radien der umschriebenen und einbeschriebenen Kreise

Lösung:

Aufgabe 6.

R der Radius eines Kreises, der einem Quadrat einbeschrieben ist, ist. Berechne den Radius des Kreises, der um dieses Quadrat umschrieben ist.Gegeben :

Finden: OS=?
Lösung: v dieser Fall Das Problem kann entweder mit dem Satz des Pythagoras oder mit der Formel für R gelöst werden. Der zweite Fall ist einfacher, da die Formel für R aus dem Satz abgeleitet wird.

Aufgabe 7.

Der Radius eines Kreises, der einem gleichschenkligen rechtwinkligen Dreieck einbeschrieben ist, ist 2. Finden Sie die HypotenuseMit dieses Dreieck. Bitte geben Sie in Ihrer Antwort an.

S ist die Fläche des Dreiecks

Wir kennen weder die Seiten des Dreiecks noch seine Fläche. Lassen Sie uns die Beine als x bezeichnen, dann ist die Hypotenuse gleich:

Die Fläche des Dreiecks beträgt 0,5x 2 .

Bedeutet

Die Hypotenuse lautet also:

Die Antwort muss geschrieben werden:

Antwort: 4

Aufgabe 8.

Im Dreieck ABC, AC = 4, BC = 3, Winkel C ist gleich 90 0 . Berechne den Radius des Inkreises.

Verwenden wir die Formel für den Radius eines Kreises, der einem Dreieck einbeschrieben ist:

wobei a, b, c die Seiten des Dreiecks sind

S ist die Fläche des Dreiecks

Zwei Seiten sind bekannt (das sind Beine), wir können die dritte (Hypotenuse) berechnen, wir können auch die Fläche berechnen.

Nach dem Satz des Pythagoras:

Suchen wir den Bereich:

Auf diese Weise:

Antwort 1

Aufgabe 9.

Die Seiten eines gleichschenkligen Dreiecks sind 5, die Grundseite ist 6. Finde den Radius des einbeschriebenen Kreises.

Verwenden wir die Formel für den Radius eines Kreises, der einem Dreieck einbeschrieben ist:

wobei a, b, c die Seiten des Dreiecks sind

S ist die Fläche des Dreiecks

Alle Seiten sind bekannt und die Fläche wird berechnet. Wir können es mit der Formel von Heron finden:

Dann

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Eine Raute ist ein Parallelogramm, bei dem alle Seiten gleich sind. Daher erbt es alle Eigenschaften eines Parallelogramms. Nämlich:

• Die Diagonalen einer Raute stehen senkrecht aufeinander.
• Die Diagonalen einer Raute sind die Winkelhalbierenden ihrer Innenwinkel.

Ein Kreis kann genau dann in ein Viereck einbeschrieben werden, wenn die Summen der gegenüberliegenden Seiten gleich sind.
Daher kann in jede Raute ein Kreis eingeschrieben werden. Der Mittelpunkt des einbeschriebenen Kreises fällt mit dem Schnittpunkt der Diagonalen der Raute zusammen.
Der Radius eines Inkreises in einer Raute kann auf verschiedene Weise ausgedrückt werden

1 Weg. Der Radius des Inkreises in einer Raute durch die Höhe

Die Höhe einer Raute ist gleich dem Durchmesser des Inkreises. Dies folgt aus der Eigenschaft eines Rechtecks, das durch den Durchmesser des einbeschriebenen Kreises und die Höhe der Raute gebildet wird – die gegenüberliegenden Seiten des Rechtecks ​​sind gleich.

Daher lautet die Formel für den Radius des Inkreises in einer Raute durch die Höhe:

2-Wege. Radius eines Inkreises in einer Raute durch die Diagonalen

Die Fläche einer Raute kann durch den Radius des einbeschriebenen Kreises ausgedrückt werden
, Wo R ist der Umfang der Raute. Da wir wissen, dass der Umfang die Summe aller Seiten eines Vierecks ist, haben wir P= 4×ha. Dann
Die Fläche einer Raute ist aber auch das halbe Produkt ihrer Diagonalen
Wenn wir die rechten Teile der Flächenformeln gleichsetzen, haben wir die folgende Gleichheit
Als Ergebnis erhalten wir eine Formel, mit der wir den Radius des Inkreises in einer Raute durch die Diagonalen berechnen können

Ein Beispiel für die Berechnung des Radius eines Kreises, der in eine Raute eingeschrieben ist, wenn die Diagonalen bekannt sind
Finden Sie den Radius eines Kreises, der in eine Raute eingeschrieben ist, wenn bekannt ist, dass die Länge der Diagonalen 30 cm und 40 cm beträgt
Lassen A B C D- Raute also AC Und BD seine Diagonalen. AC= 30cm , BD=40cm
Lassen Sie den Punkt UM ist das Zentrum der in die Raute eingeschriebenen A B C D Kreis, dann ist es auch der Schnittpunkt seiner Diagonalen und teilt sie in zwei Hälften.


da sich die Diagonalen der Raute rechtwinklig schneiden, dann das Dreieck AOB rechteckig. Dann nach dem Satz des Pythagoras
, setzen wir die zuvor erhaltenen Werte in die Formel ein

AB= 25cm
Wenden wir die zuvor hergeleitete Formel für den Radius des Umkreises auf eine Raute an, erhalten wir

3 Wege. Der Radius des Inkreises in der Raute durch die Segmente m und n

Punkt F- der Berührungspunkt des Kreises mit der Seite der Raute, die ihn in Segmente unterteilt AF Und bf. Lassen AF=m, BF=n.
Punkt Ö- der Schnittpunkt der Diagonalen der Raute und der Mittelpunkt des darin eingeschriebenen Kreises.
Dreieck AOB- rechteckig, da sich die Diagonalen der Raute im rechten Winkel schneiden.
, Weil ist der Radius, der zum Tangentenpunkt des Kreises gezogen wird. Somit VON- die Höhe des Dreiecks AOB zur Hypotenuse. Dann AF Und Freund- Projektionen der Beine auf die Hypotenuse.
Die Höhe in einem rechtwinkligen Dreieck, das auf die Hypotenuse fällt, ist das durchschnittliche Verhältnis zwischen den Projektionen der Beine auf die Hypotenuse.

Die Formel für den Radius eines einbeschriebenen Kreises in einer Raute durch die Segmente ist gleich der Quadratwurzel des Produkts dieser Segmente, in die die Seite der Raute durch den Tangentenpunkt des Kreises geteilt wird

Wie findet man den Radius eines Kreises? Diese Frage ist für Schüler, die Planimetrie studieren, immer relevant. Im Folgenden sehen wir uns einige Beispiele an, wie Sie die Aufgabe bewältigen können.

Abhängig vom Zustand des Problems können Sie den Radius des Kreises so finden.

Formel 1: R \u003d L / 2π, wobei L ist und π eine Konstante gleich 3,141 ...

Formel 2: R = √(S / π), wobei S die Fläche des Kreises ist.

Formel 1: R = B/2, wobei B die Hypotenuse ist.

Formel 2: R \u003d M * B, wobei B die Hypotenuse und M der davon gezeichnete Median ist.

So finden Sie den Radius eines Kreises, wenn er um ein regelmäßiges Vieleck umschrieben ist

Formel: R \u003d A / (2 * sin (360 / (2 * n))), wobei A die Länge einer der Seiten der Figur und n die Anzahl der Seiten in dieser geometrischen Figur ist.

So finden Sie den Radius eines einbeschriebenen Kreises

Ein Inkreis wird aufgerufen, wenn er alle Seiten des Polygons berührt. Schauen wir uns ein paar Beispiele an.

Formel 1: R \u003d S / (P / 2), wobei - S und P die Fläche bzw. den Umfang der Figur sind.

Formel 2: R \u003d (P / 2 - A) * tg (a / 2), wobei P der Umfang, A die Länge einer der Seiten und der dieser Seite gegenüberliegende Winkel ist.

So finden Sie den Radius eines Kreises, wenn er in ein rechtwinkliges Dreieck eingeschrieben ist

Formel 1:

Radius eines in eine Raute eingeschriebenen Kreises

Ein Kreis kann in jede Raute eingeschrieben werden, sowohl gleichseitig als auch ungleichseitig.

Formel 1: R \u003d 2 * H, wobei H die Höhe der geometrischen Figur ist.

Formel 2: R \u003d S / (A * 2), wobei S ist und A die Länge seiner Seite ist.

Formel 3: R \u003d √ ((S * sin A) / 4), wobei S die Fläche der Raute und sin A der Sinus ist spitzer Winkel diese geometrische Figur.

Formel 4: R \u003d V * G / (√ (V² + G²), wobei V und G die Längen der Diagonalen einer geometrischen Figur sind.

Formel 5: R = B * sin (A / 2), wobei B die Diagonale der Raute und A der Winkel an den Scheitelpunkten ist, die die Diagonale verbinden.

Radius eines Kreises, der einem Dreieck einbeschrieben ist

Für den Fall, dass Sie im Zustand des Problems die Längen aller Seiten der Figur erhalten, berechnen Sie zuerst (P) und dann den Halbumfang (p):

P \u003d A + B + C, wobei A, B, C die Längen der Seiten der geometrischen Figur sind.

Formel 1: R = √((p-A)*(p-B)*(p-B)/p).

Und wenn Sie auch alle drei Seiten kennen, können Sie den erforderlichen Radius wie folgt berechnen.

Formel 2: R = S * 2(A + B + C)

Formel 3: R \u003d S / p \u003d S / (A + B + C) / 2), wobei - p der Halbumfang der geometrischen Figur ist.

Formel 4: R \u003d (n - A) * tg (A / 2), wobei n der halbe Umfang des Dreiecks ist, A eine seiner Seiten ist und tg (A / 2) die Tangente der Hälfte ist Winkel gegenüber dieser Seite.

Und die folgende Formel hilft Ihnen, den Radius des Kreises zu finden, der eingeschrieben ist

Formel 5: R \u003d A * √3/6.

Radius eines Kreises, der einem rechtwinkligen Dreieck eingeschrieben ist

Wenn das Problem die Längen der Beine sowie die Hypotenuse enthält, wird der Radius des einbeschriebenen Kreises wie folgt ermittelt.

Formel 1: R \u003d (A + B-C) ​​​​/ 2, wobei A, B Beine sind, C die Hypotenuse ist.

Für den Fall, dass Sie nur zwei Beine haben, ist es an der Zeit, sich an den Satz des Pythagoras zu erinnern, um die Hypotenuse zu finden und die obige Formel zu verwenden.

C. \u003d √ (A² + B²).

Radius eines Kreises, der einem Quadrat einbeschrieben ist

Der Kreis, der in das Quadrat eingeschrieben ist, teilt alle seine 4 Seiten an den Berührungspunkten genau in zwei Hälften.

Formel 1: R \u003d A / 2, wobei A die Seitenlänge des Quadrats ist.

Formel 2: R \u003d S / (P / 2), wobei S und P die Fläche bzw. den Umfang des Quadrats sind.