Οι λογάριθμοι είναι μια απλή εξήγηση. Τύποι καταγραφής

Τι είναι ο λογάριθμος;

Προσοχή!
Υπάρχουν επιπλέον
υλικό στο Ειδικό Τμήμα 555.
Για όσους έντονα "όχι πολύ..."
Και για όσους "πολύ...")

Τι είναι ο λογάριθμος; Πώς να λύσετε λογάριθμους; Αυτά τα ερωτήματα μπερδεύουν πολλούς απόφοιτους. Παραδοσιακά, το θέμα των λογαρίθμων θεωρείται περίπλοκο, ακατανόητο και τρομακτικό. Ειδικά - εξισώσεις με λογάριθμους.

Αυτό δεν είναι απολύτως αλήθεια. Απολύτως! Δεν πιστεύεις; Πρόστιμο. Τώρα, για περίπου 10 - 20 λεπτά:

1. Κατανοήστε τι είναι λογάριθμος.

2. Μάθετε να λύνετε μια ολόκληρη τάξη εκθετικές εξισώσεις. Ακόμα κι αν δεν τα έχετε ακούσει.

3. Μάθετε να υπολογίζετε απλούς λογάριθμους.

Επιπλέον, για αυτό θα χρειαστεί να γνωρίζετε μόνο τον πίνακα πολλαπλασιασμού και πώς ένας αριθμός αυξάνεται σε δύναμη ...

Αισθάνομαι ότι αμφιβάλλετε ... Λοιπόν, κρατήστε χρόνο! Πηγαίνω!

Πρώτα, λύστε την ακόλουθη εξίσωση στο μυαλό σας:

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Μάθηση - με ενδιαφέρον!)

μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.

Εντολή

Να γράψετε τη δεδομένη λογαριθμική παράσταση. Εάν η παράσταση χρησιμοποιεί τον λογάριθμο του 10, τότε η σημείωση της συντομεύεται και μοιάζει με αυτό: το lg b είναι ο δεκαδικός λογάριθμος. Αν ο λογάριθμος έχει ως βάση τον αριθμό e, τότε η παράσταση γράφεται: ln b είναι ο φυσικός λογάριθμος. Εννοείται ότι το αποτέλεσμα οποιουδήποτε είναι η ισχύς στην οποία πρέπει να αυξηθεί ο βασικός αριθμός για να ληφθεί ο αριθμός b.

Όταν βρίσκετε το άθροισμα δύο συναρτήσεων, πρέπει απλώς να τις διαφοροποιήσετε μία προς μία και να προσθέσετε τα αποτελέσματα: (u+v)" = u"+v";

Όταν βρίσκουμε την παράγωγο του γινομένου δύο συναρτήσεων, είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσουμε την παράγωγο της πρώτης συνάρτησης με τη δεύτερη και να προσθέσουμε την παράγωγο της δεύτερης συνάρτησης, πολλαπλασιασμένη με την πρώτη συνάρτηση: (u*v)" = u"* v+v"*u;

Για να βρεθεί η παράγωγος του πηλίκου δύο συναρτήσεων, είναι απαραίτητο, από το γινόμενο της παραγώγου του μερίσματος πολλαπλασιασμένο με τη συνάρτηση διαιρέτη, να αφαιρέσουμε το γινόμενο της παραγώγου του διαιρέτη πολλαπλασιασμένο με τη συνάρτηση διαιρέτη και να διαιρέσουμε όλα αυτά με τη συνάρτηση διαιρέτη στο τετράγωνο. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Εάν δοθεί μια μιγαδική συνάρτηση, τότε είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσουμε την παράγωγο της εσωτερικής συνάρτησης και την παράγωγο της εξωτερικής. Έστω y=u(v(x)), μετά y"(x)=y"(u)*v"(x).

Χρησιμοποιώντας τα παραπάνω, μπορείτε να διαφοροποιήσετε σχεδόν οποιαδήποτε συνάρτηση. Ας δούμε λοιπόν μερικά παραδείγματα:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *Χ));
Υπάρχουν επίσης εργασίες για τον υπολογισμό της παραγώγου σε ένα σημείο. Έστω η συνάρτηση y=e^(x^2+6x+5), πρέπει να βρείτε την τιμή της συνάρτησης στο σημείο x=1.
1) Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Υπολογίστε την τιμή της συνάρτησης στο δεδομένο σημείο y"(1)=8*e^0=8

Σχετικά βίντεο

Χρήσιμες συμβουλές

Μάθετε τον πίνακα των στοιχειωδών παραγώγων. Αυτό θα εξοικονομήσει πολύ χρόνο.

Πηγές:

• σταθερή παράγωγο

Ποια είναι λοιπόν η διαφορά μεταξύ μιας παράλογης εξίσωσης και μιας ορθολογικής εξίσωσης; Αν η άγνωστη μεταβλητή βρίσκεται κάτω από το πρόσημο της τετραγωνικής ρίζας, τότε η εξίσωση θεωρείται παράλογη.

Εντολή

Η κύρια μέθοδος για την επίλυση τέτοιων εξισώσεων είναι η μέθοδος ανύψωσης και των δύο μερών εξισώσειςσε ένα τετράγωνο. Ωστόσο. αυτό είναι φυσικό, το πρώτο βήμα είναι να απαλλαγείτε από το σημάδι. Τεχνικά, αυτή η μέθοδος δεν είναι δύσκολη, αλλά μερικές φορές μπορεί να οδηγήσει σε προβλήματα. Για παράδειγμα, η εξίσωση v(2x-5)=v(4x-7). Τετραγωνίζοντας και τις δύο πλευρές, παίρνετε 2x-5=4x-7. Μια τέτοια εξίσωση δεν είναι δύσκολο να λυθεί. x=1. Αλλά ο αριθμός 1 δεν θα δοθεί εξισώσεις. Γιατί; Αντικαταστήστε τη μονάδα στην εξίσωση αντί για την τιμή x. Και η δεξιά και η αριστερή πλευρά θα περιέχουν εκφράσεις που δεν έχουν νόημα, δηλαδή. Μια τέτοια τιμή δεν ισχύει για τετραγωνική ρίζα. Επομένως, το 1 είναι μια ξένη ρίζα και επομένως αυτή η εξίσωση δεν έχει ρίζες.

Άρα, η παράλογη εξίσωση λύνεται με τη μέθοδο του τετραγωνισμού και των δύο μερών της. Και έχοντας λύσει την εξίσωση, είναι απαραίτητο να κόψουμε τις ξένες ρίζες. Για να το κάνετε αυτό, αντικαταστήστε τις ρίζες που βρέθηκαν στην αρχική εξίσωση.

Σκεφτείτε ένα άλλο.
2x+vx-3=0
Φυσικά, αυτή η εξίσωση μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας την ίδια εξίσωση με την προηγούμενη. Μεταφορικές Ενώσεις εξισώσεις, που δεν έχουν τετραγωνική ρίζα, στη δεξιά πλευρά και στη συνέχεια χρησιμοποιήστε τη μέθοδο τετραγωνισμού. να λύσετε την προκύπτουσα ορθολογική εξίσωση και τις ρίζες. Αλλά ένα άλλο, πιο κομψό. Εισαγάγετε μια νέα μεταβλητή. vx=y. Αντίστοιχα, θα λάβετε μια εξίσωση όπως 2y2+y-3=0. Το συνηθισμένο δηλαδή τετραγωνική εξίσωση. Βρείτε τις ρίζες του. y1=1 και y2=-3/2. Στη συνέχεια, λύστε δύο εξισώσεις vx=1; vx \u003d -3/2. Η δεύτερη εξίσωση δεν έχει ρίζες, από την πρώτη βρίσκουμε ότι x=1. Μην ξεχνάτε την ανάγκη να ελέγξετε τις ρίζες.

Η επίλυση ταυτοτήτων είναι αρκετά εύκολη. Αυτό απαιτεί να γίνουν οι ίδιοι μετασχηματισμοί μέχρι να επιτευχθεί ο στόχος. Έτσι, με τη βοήθεια των απλούστερων αριθμητικών πράξεων, η εργασία θα λυθεί.

Θα χρειαστείτε

• - χαρτί?
• - στυλό.

Εντολή

Οι απλούστεροι τέτοιοι μετασχηματισμοί είναι αλγεβρικοί συντομευμένοι πολλαπλασιασμοί (όπως το τετράγωνο του αθροίσματος (διαφορά), η διαφορά των τετραγώνων, το άθροισμα (διαφορά), ο κύβος του αθροίσματος (διαφορά)). Επιπλέον, υπάρχουν πολλοί τριγωνομετρικοί τύποι που είναι ουσιαστικά οι ίδιες ταυτότητες.

Πράγματι, το τετράγωνο του αθροίσματος δύο όρων είναι ίσο με το τετράγωνο του πρώτου συν το διπλάσιο του γινόμενου του πρώτου και του δεύτερου συν το τετράγωνο του δεύτερου, δηλαδή (a+b)^2= (a+b )(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Απλοποιήστε και τα δύο

Γενικές αρχές λύσης

Επαναλάβετε από ένα σχολικό βιβλίο για τη μαθηματική ανάλυση ή τα ανώτερα μαθηματικά, που είναι ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα. Όπως γνωρίζετε, η λύση οριστικό ολοκλήρωμαυπάρχει μια συνάρτηση της οποίας η παράγωγος θα δώσει ένα ολοκλήρωμα. Αυτή η λειτουργίαονομάζεται πρωτόγονος. Σύμφωνα με αυτή την αρχή, κατασκευάζονται τα βασικά ολοκληρώματα.
Προσδιορίστε με τη μορφή του ολοκληρώματος σε ποιο από τα ολοκληρώματα του πίνακα ταιριάζει αυτή η υπόθεση. Δεν είναι πάντα δυνατό να προσδιοριστεί αυτό αμέσως. Συχνά, η μορφή πίνακα γίνεται αισθητή μόνο μετά από αρκετούς μετασχηματισμούς για να απλοποιηθεί το ολοκλήρωμα.

Μέθοδος μεταβλητής αντικατάστασης

Αν το ολοκλήρωμα είναι τριγωνομετρική συνάρτηση, του οποίου το όρισμα είναι κάποιο πολυώνυμο και, στη συνέχεια, δοκιμάστε να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο αντικατάστασης μεταβλητής. Για να γίνει αυτό, αντικαταστήστε το πολυώνυμο στο όρισμα του ολοκληρώματος με κάποια νέα μεταβλητή. Με βάση την αναλογία μεταξύ της νέας και της παλιάς μεταβλητής, καθορίστε τα νέα όρια ολοκλήρωσης. Διαφοροποιώντας αυτήν την έκφραση, βρείτε μια νέα διαφορά στο . Έτσι, θα λάβετε μια νέα μορφή του παλιού ολοκληρώματος, κοντά ή ακόμα και αντίστοιχη σε οποιοδήποτε πίνακα.

Λύση ολοκληρωμάτων δεύτερου είδους

Εάν το ολοκλήρωμα είναι ολοκλήρωμα του δεύτερου είδους, της διανυσματικής μορφής του ολοκληρώματος, τότε θα χρειαστεί να χρησιμοποιήσετε τους κανόνες για τη μετάβαση από αυτά τα ολοκληρώματα σε βαθμωτές. Ένας τέτοιος κανόνας είναι ο λόγος Ostrogradsky-Gauss. Αυτός ο νόμος καθιστά δυνατή τη μετάβαση από τη ροή του ρότορα κάποιας διανυσματικής συνάρτησης σε ένα τριπλό ολοκλήρωμα πάνω από την απόκλιση ενός δεδομένου διανυσματικού πεδίου.

Αντικατάσταση ορίων ολοκλήρωσης

Μετά την εύρεση του αντιπαραγώγου, είναι απαραίτητο να αντικατασταθούν τα όρια ολοκλήρωσης. Αρχικά, αντικαταστήστε την τιμή του ανώτερου ορίου στην έκφραση για το αντιπαράγωγο. Θα λάβετε κάποιο αριθμό. Στη συνέχεια, αφαιρέστε από τον αριθμό που προκύπτει έναν άλλο αριθμό, το κατώτερο όριο που προκύπτει από το αντιπαράγωγο. Εάν ένα από τα όρια ολοκλήρωσης είναι το άπειρο, τότε όταν το αντικαθιστάτε στην αντιπαράγωγη συνάρτηση, είναι απαραίτητο να πάτε στο όριο και να βρείτε σε τι τείνει η έκφραση.
Εάν το ολοκλήρωμα είναι δισδιάστατο ή τρισδιάστατο, τότε θα πρέπει να αναπαραστήσετε τα γεωμετρικά όρια ολοκλήρωσης για να κατανοήσετε πώς να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα. Πράγματι, στην περίπτωση, ας πούμε, ενός τρισδιάστατου ολοκληρώματος, τα όρια ολοκλήρωσης μπορεί να είναι ολόκληρα επίπεδα που περιορίζουν τον όγκο που πρόκειται να ενσωματωθεί.

Όπως γνωρίζετε, κατά τον πολλαπλασιασμό των παραστάσεων με δυνάμεις, οι εκθέτες τους αθροίζονται πάντα (a b * a c = a b + c). Αυτός ο μαθηματικός νόμος προήλθε από τον Αρχιμήδη και αργότερα, τον 8ο αιώνα, ο μαθηματικός Virasen δημιούργησε έναν πίνακα με ακέραιους δείκτες. Ήταν αυτοί που χρησίμευσαν για την περαιτέρω ανακάλυψη των λογαρίθμων. Παραδείγματα χρήσης αυτής της συνάρτησης μπορούν να βρεθούν σχεδόν παντού όπου απαιτείται να απλοποιηθεί ο περίπλοκος πολλαπλασιασμός σε απλή πρόσθεση. Εάν αφιερώσετε 10 λεπτά για να διαβάσετε αυτό το άρθρο, θα σας εξηγήσουμε τι είναι οι λογάριθμοι και πώς να εργαστείτε με αυτούς. Απλή και προσιτή γλώσσα.

Ορισμός στα μαθηματικά

Ο λογάριθμος είναι έκφραση της ακόλουθης μορφής: log a b=c, δηλαδή ο λογάριθμος οποιουδήποτε μη αρνητικού αριθμού (δηλαδή οποιουδήποτε θετικού) "b" σύμφωνα με τη βάση του "a" θεωρείται η δύναμη του "c », στην οποία είναι απαραίτητο να αυξηθεί η βάση "a", έτσι ώστε στο τέλος να ληφθεί η τιμή "b". Ας αναλύσουμε τον λογάριθμο χρησιμοποιώντας παραδείγματα, ας πούμε ότι υπάρχει μια έκφραση log 2 8. Πώς να βρείτε την απάντηση; Είναι πολύ απλό, πρέπει να βρεις τέτοιο βαθμό ώστε από το 2 στον απαιτούμενο βαθμό να παίρνεις 8. Έχοντας κάνει κάποιους υπολογισμούς στο μυαλό σου, παίρνουμε τον αριθμό 3! Και δικαίως, γιατί το 2 στη δύναμη του 3 δίνει τον αριθμό 8 στην απάντηση.

Ποικιλίες λογαρίθμων

Για πολλούς μαθητές και φοιτητές, αυτό το θέμα φαίνεται περίπλοκο και ακατανόητο, αλλά στην πραγματικότητα, οι λογάριθμοι δεν είναι τόσο τρομακτικοί, το κύριο πράγμα είναι να κατανοήσουμε τη γενική τους σημασία και να θυμόμαστε τις ιδιότητές τους και ορισμένους κανόνες. Υπάρχουν τρία ορισμένοι τύποιλογαριθμικές εκφράσεις:

1. Φυσικός λογάριθμος ln a, όπου η βάση είναι ο αριθμός Euler (e = 2,7).
2. Δεκαδικό α, όπου η βάση είναι 10.
3. Ο λογάριθμος οποιουδήποτε αριθμού b στη βάση a>1.

Κάθε ένα από αυτά επιλύεται με τυπικό τρόπο, συμπεριλαμβανομένης της απλοποίησης, της αναγωγής και της επακόλουθης αναγωγής σε έναν λογάριθμο χρησιμοποιώντας λογαριθμικά θεωρήματα. Για να ληφθούν οι σωστές τιμές των λογαρίθμων, θα πρέπει να θυμόμαστε τις ιδιότητές τους και τη σειρά των ενεργειών στις αποφάσεις τους.

Κανόνες και ορισμένοι περιορισμοί

Στα μαθηματικά υπάρχουν αρκετοί κανόνες-περιορισμοί που γίνονται δεκτοί ως αξίωμα, δηλαδή δεν υπόκεινται σε συζήτηση και είναι αληθινοί. Για παράδειγμα, είναι αδύνατο να διαιρεθούν οι αριθμοί με το μηδέν, και είναι επίσης αδύνατο να εξαχθεί η ρίζα ενός ζυγού βαθμού από αρνητικούς αριθμούς. Οι λογάριθμοι έχουν επίσης τους δικούς τους κανόνες, ακολουθώντας τους οποίους μπορείτε εύκολα να μάθετε πώς να εργάζεστε ακόμη και με μεγάλες και μεγάλες λογαριθμικές εκφράσεις:

• η βάση "a" πρέπει να είναι πάντα μεγαλύτερη από το μηδέν και ταυτόχρονα να μην είναι ίση με 1, διαφορετικά η έκφραση θα χάσει το νόημά της, επειδή το "1" και το "0" σε οποιοδήποτε βαθμό είναι πάντα ίσα με τις τιμές τους.
• αν a > 0, τότε a b > 0, αποδεικνύεται ότι το "c" πρέπει να είναι μεγαλύτερο από το μηδέν.

Πώς να λύσετε λογάριθμους;

Για παράδειγμα, δόθηκε η εργασία να βρείτε την απάντηση στην εξίσωση 10 x \u003d 100. Είναι πολύ εύκολο, πρέπει να επιλέξετε μια τέτοια ισχύ, αυξάνοντας τον αριθμό δέκα στον οποίο παίρνουμε 100. Αυτό, φυσικά, είναι 10 2 \u003d 100.

Τώρα ας αναπαραστήσουμε αυτήν την έκφραση ως λογαριθμική. Λαμβάνουμε log 10 100 = 2. Κατά την επίλυση λογαρίθμων, όλες οι ενέργειες πρακτικά συγκλίνουν στην εύρεση του βαθμού στον οποίο πρέπει να εισαχθεί η βάση του λογαρίθμου για να ληφθεί ένας δεδομένος αριθμός.

Για να προσδιορίσετε με ακρίβεια την τιμή ενός άγνωστου πτυχίου, πρέπει να μάθετε πώς να εργάζεστε με έναν πίνακα βαθμών. Μοιάζει με αυτό:

Όπως μπορείτε να δείτε, ορισμένοι εκθέτες μπορούν να μαντευτούν διαισθητικά εάν έχετε τεχνική νοοτροπία και γνώση του πίνακα πολλαπλασιασμού. Ωστόσο, για μεγάλες αξίεςχρειάζεστε έναν πίνακα πτυχίων. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί ακόμα και από όσους δεν καταλαβαίνουν απολύτως τίποτα σε πολύπλοκα μαθηματικά θέματα. Η αριστερή στήλη περιέχει αριθμούς (βάση α), η επάνω σειρά αριθμών είναι η τιμή της δύναμης c, στην οποία αυξάνεται ο αριθμός a. Στην τομή στα κελιά προσδιορίζονται οι τιμές των αριθμών που είναι η απάντηση (a c =b). Ας πάρουμε, για παράδειγμα, το πρώτο κελί με τον αριθμό 10 και τετράγωνο το, παίρνουμε την τιμή 100, η ​​οποία υποδεικνύεται στην τομή των δύο κελιών μας. Όλα είναι τόσο απλά και εύκολα που θα καταλάβει και ο πιο αληθινός ανθρωπιστής!

Εξισώσεις και ανισώσεις

Αποδεικνύεται ότι υπό ορισμένες συνθήκες, ο εκθέτης είναι ο λογάριθμος. Επομένως, οποιεσδήποτε μαθηματικές αριθμητικές εκφράσεις μπορούν να γραφτούν ως λογαριθμική εξίσωση. Για παράδειγμα, το 3 4 = 81 μπορεί να γραφτεί ως ο λογάριθμος του 81 στη βάση 3, που είναι τέσσερα (log 3 81 = 4). Για τις αρνητικές δυνάμεις, οι κανόνες είναι οι ίδιοι: 2 -5 = 1/32 γράφουμε ως λογάριθμο, παίρνουμε log 2 (1/32) = -5. Ένα από τα πιο συναρπαστικά τμήματα των μαθηματικών είναι το θέμα των «λογαρίθμων». Παραδείγματα και λύσεις εξισώσεων θα εξετάσουμε λίγο χαμηλότερα, αμέσως μετά τη μελέτη των ιδιοτήτων τους. Τώρα ας δούμε πώς μοιάζουν οι ανισότητες και πώς να τις διακρίνουμε από τις εξισώσεις.

Δίνεται έκφραση της ακόλουθης μορφής: log 2 (x-1) > 3 - είναι λογαριθμική ανισότητα, αφού η άγνωστη τιμή «x» βρίσκεται κάτω από το πρόσημο του λογαρίθμου. Και επίσης στην έκφραση συγκρίνονται δύο ποσότητες: ο λογάριθμος του επιθυμητού αριθμού στη βάση δύο είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό τρία.

Η πιο σημαντική διαφορά μεταξύ λογαριθμικών εξισώσεων και ανισώσεων είναι ότι οι εξισώσεις με λογάριθμους (για παράδειγμα, ο λογάριθμος 2 x = √9) υποδηλώνουν μία ή περισσότερες συγκεκριμένες αριθμητικές τιμές στην απάντηση, ενώ κατά την επίλυση της ανισότητας, τόσο το εύρος αποδεκτές τιμές και τα σημεία που σπάζουν αυτή τη συνάρτηση. Κατά συνέπεια, η απάντηση δεν είναι ένα απλό σύνολο μεμονωμένων αριθμών, όπως στην απάντηση της εξίσωσης, αλλά μια συνεχής σειρά ή σύνολο αριθμών.

Βασικά θεωρήματα για τους λογάριθμους

Κατά την επίλυση πρωτόγονων εργασιών για την εύρεση των τιμών του λογάριθμου, οι ιδιότητές του μπορεί να μην είναι γνωστές. Ωστόσο, όταν πρόκειται για λογαριθμικές εξισώσεις ή ανισώσεις, πρώτα απ 'όλα, είναι απαραίτητο να κατανοήσουμε με σαφήνεια και να εφαρμόσουμε στην πράξη όλες τις βασικές ιδιότητες των λογαρίθμων. Θα εξοικειωθούμε με παραδείγματα εξισώσεων αργότερα, ας αναλύσουμε πρώτα κάθε ιδιότητα με περισσότερες λεπτομέρειες.

1. Η βασική ταυτότητα μοιάζει με αυτό: a logaB =B. Ισχύει μόνο εάν το a είναι μεγαλύτερο από 0, όχι ίσο με ένα, και το Β είναι μεγαλύτερο από το μηδέν.
2. Ο λογάριθμος του προϊόντος μπορεί να αναπαρασταθεί με τον ακόλουθο τύπο: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Στην περίπτωση αυτή, η προϋπόθεση είναι: d, s 1 και s 2 > 0; a≠1. Μπορείτε να δώσετε μια απόδειξη για αυτόν τον τύπο των λογαρίθμων, με παραδείγματα και μια λύση. Έστω log a s 1 = f 1 και log a s 2 = f 2 , μετά a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Παίρνουμε ότι s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (ιδιότητες βαθμού ), και περαιτέρω εξ ορισμού: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, το οποίο έπρεπε να αποδειχθεί.
3. Ο λογάριθμος του πηλίκου μοιάζει με αυτό: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Το θεώρημα με τη μορφή τύπου παίρνει την ακόλουθη μορφή: log a q b n = n/q log a b.

Αυτός ο τύπος ονομάζεται «ιδιότητα του βαθμού του λογαρίθμου». Μοιάζει με τις ιδιότητες των συνηθισμένων βαθμών και δεν προκαλεί έκπληξη, γιατί όλα τα μαθηματικά στηρίζονται σε κανονικά αξιώματα. Ας δούμε την απόδειξη.

Έστω log a b \u003d t, αποδεικνύεται t \u003d b. Αν σηκώσετε και τα δύο μέρη στην ισχύ m: a tn = b n ;

αλλά εφόσον a tn = (a q) nt/q = b n , άρα log a q b n = (n*t)/t, τότε log a q b n = n/q log a b. Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Παραδείγματα προβλημάτων και ανισοτήτων

Οι πιο συνηθισμένοι τύποι λογαρίθμων προβλημάτων είναι παραδείγματα εξισώσεων και ανισώσεων. Βρίσκονται σχεδόν σε όλα τα προβληματικά βιβλία, ενώ περιλαμβάνονται και στο υποχρεωτικό μέρος των εξετάσεων στα μαθηματικά. Για να εισέλθετε σε ένα πανεπιστήμιο ή να περάσετε εισαγωγικές δοκιμασίες στα μαθηματικά, πρέπει να ξέρετε πώς να λύσετε σωστά τέτοιες εργασίες.

Δυστυχώς, δεν υπάρχει ένα ενιαίο σχέδιο ή σχήμα για την επίλυση και τον προσδιορισμό της άγνωστης τιμής του λογαρίθμου, ωστόσο, ορισμένοι κανόνες μπορούν να εφαρμοστούν σε κάθε μαθηματική ανισότητα ή λογαριθμική εξίσωση. Πρώτα απ 'όλα, θα πρέπει να μάθετε εάν η έκφραση μπορεί να απλοποιηθεί ή να περιοριστεί σε γενική εικόνα. Απλοποίηση μακράς διάρκειας λογαριθμικές εκφράσειςΜπορείτε, αν χρησιμοποιήσετε σωστά τις ιδιότητες τους. Ας τους γνωρίσουμε σύντομα.

Κατά την επίλυση λογαριθμικών εξισώσεων, είναι απαραίτητο να προσδιορίσουμε τι είδους λογάριθμο έχουμε μπροστά μας: ένα παράδειγμα μιας παράστασης μπορεί να περιέχει έναν φυσικό λογάριθμο ή έναν δεκαδικό.

Ακολουθούν παραδείγματα ln100, ln1026. Η λύση τους συνοψίζεται στο γεγονός ότι πρέπει να προσδιορίσετε τον βαθμό στον οποίο η βάση 10 θα είναι ίση με 100 και 1026, αντίστοιχα. Για λύσεις φυσικούς λογάριθμουςκάποιος πρέπει να εφαρμόσει λογαριθμικές ταυτότητες ή τις ιδιότητές τους. Ας δούμε παραδείγματα επίλυσης λογαριθμικών προβλημάτων διαφόρων τύπων.

Πώς να χρησιμοποιήσετε τους τύπους λογαρίθμων: με παραδείγματα και λύσεις

Ας δούμε λοιπόν παραδείγματα χρήσης των κύριων θεωρημάτων στους λογαρίθμους.

1. Η ιδιότητα του λογάριθμου του προϊόντος μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε εργασίες όπου είναι απαραίτητο να επεκταθεί μεγάλης σημασίαςτους αριθμούς β σε απλούστερους παράγοντες. Για παράδειγμα, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Η απάντηση είναι 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - όπως μπορείτε να δείτε, χρησιμοποιώντας την τέταρτη ιδιότητα του βαθμού του λογαρίθμου, καταφέραμε να λύσουμε με την πρώτη ματιά μια σύνθετη και άλυτη έκφραση. Είναι απαραίτητο μόνο να παραγοντοποιήσετε τη βάση και στη συνέχεια να αφαιρέσετε τις τιμές των εκθετών από το πρόσημο του λογαρίθμου.

Εργασίες από τις εξετάσεις

Οι λογάριθμοι συναντώνται συχνά στις εισαγωγικές εξετάσεις, ειδικά πολλά λογαριθμικά προβλήματα στην Ενιαία Κρατική Εξέταση (κρατική εξέταση για όλους τους αποφοίτους σχολείων). Συνήθως αυτές οι εργασίες δεν υπάρχουν μόνο στο μέρος Α (το πιο εύκολο μέρος δοκιμήςεξετάσεις), αλλά και στο μέρος Γ (οι πιο δύσκολες και ογκώδεις εργασίες). Η εξέταση συνεπάγεται ακριβή και άρτια γνώση του θέματος «Φυσικοί λογάριθμοι».

Παραδείγματα και λύσεις προβλημάτων λαμβάνονται από επίσημους Επιλογές ΧΡΗΣΗΣ. Ας δούμε πώς επιλύονται τέτοιες εργασίες.

Δίνεται log 2 (2x-1) = 4. Λύση:
ας ξαναγράψουμε την παράσταση, απλοποιώντας την λίγο log 2 (2x-1) = 2 2 , με τον ορισμό του λογάριθμου παίρνουμε ότι 2x-1 = 2 4 , άρα 2x = 17; x = 8,5.

• Όλοι οι λογάριθμοι ανάγεται καλύτερα στην ίδια βάση, έτσι ώστε η λύση να μην είναι περίπλοκη και μπερδεμένη.
• Όλες οι εκφράσεις κάτω από το πρόσημο του λογάριθμου υποδεικνύονται ως θετικές, επομένως, όταν αφαιρούμε τον εκθέτη του εκθέτη της έκφρασης, ο οποίος βρίσκεται κάτω από το πρόσημο του λογαρίθμου και ως βάση του, η παράσταση που παραμένει κάτω από τον λογάριθμο πρέπει να είναι θετική.

\(a^(b)=c\) \(\αριστερό βέλος\) \(\log_(a)(c)=b\)

Ας το εξηγήσουμε πιο εύκολα. Για παράδειγμα, το \(\log_(2)(8)\) ισούται με την ισχύ που πρέπει να αυξηθεί στο \(2\) για να ληφθεί \(8\). Από αυτό είναι σαφές ότι \(\log_(2)(8)=3\).

Παραδείγματα:		\(\log_(5)(25)=2\)		επειδή \(5^(2)=25\)
		\(\log_(3)(81)=4\)		επειδή \(3^(4)=81\)
		\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)		επειδή \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Επιχείρημα και βάση του λογάριθμου

Οποιοσδήποτε λογάριθμος έχει την ακόλουθη «ανατομία»:

Το όρισμα του λογαρίθμου γράφεται συνήθως στο επίπεδό του και η βάση γράφεται σε δείκτη πιο κοντά στο πρόσημο του λογαρίθμου. Και αυτό το λήμμα διαβάζεται ως εξής: «ο λογάριθμος του είκοσι πέντε στη βάση του πέντε».

Πώς να υπολογίσετε τον λογάριθμο;

Για να υπολογίσετε τον λογάριθμο, πρέπει να απαντήσετε στην ερώτηση: σε ποιο βαθμό πρέπει να αυξηθεί η βάση για να ληφθεί το όρισμα;

Για παράδειγμα, υπολογίστε τον λογάριθμο: α) \(\log_(4)(16)\) β) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) γ) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) δ) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

α) Σε ποια δύναμη πρέπει να ανυψωθεί το \(4\) για να πάρει το \(16\); Προφανώς το δεύτερο. Να γιατί:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

γ) Σε ποια δύναμη πρέπει να αυξηθεί το \(\sqrt(5)\) για να ληφθεί το \(1\); Και ποιος βαθμός κάνει οποιονδήποτε αριθμό μονάδα; Μηδέν, φυσικά!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

δ) Σε ποια δύναμη πρέπει να αυξηθεί το \(\sqrt(7)\) για να ληφθεί \(\sqrt(7)\); Στην πρώτη - οποιοσδήποτε αριθμός στον πρώτο βαθμό είναι ίσος με τον εαυτό του.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

ε) Σε ποια ισχύ πρέπει να αυξηθεί το \(3\) για να πάρει \(\sqrt(3)\); Από γνωρίζουμε ότι είναι κλασματική δύναμη, και επομένως η τετραγωνική ρίζα είναι η δύναμη του \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Παράδειγμα : Υπολογίστε τον λογάριθμο \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Λύση :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Πρέπει να βρούμε την τιμή του λογάριθμου, ας τη συμβολίσουμε ως x. Τώρα ας χρησιμοποιήσουμε τον ορισμό του λογάριθμου: \(\log_(a)(c)=b\) \(\αριστερό βέλος\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Ποιοι σύνδεσμοι \(4\sqrt(2)\) και \(8\); Δύο, επειδή και οι δύο αριθμοί μπορούν να αναπαρασταθούν με δύο: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Στα αριστερά, χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες βαθμού: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) και \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Οι βάσεις είναι ίσες, προχωράμε στην ισότητα των δεικτών
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με \(\frac(2)(5)\)
		Η ρίζα που προκύπτει είναι η τιμή του λογάριθμου

Απάντηση : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Γιατί εφευρέθηκε ο λογάριθμος;

Για να το καταλάβουμε αυτό, ας λύσουμε την εξίσωση: \(3^(x)=9\). Απλώς αντιστοιχίστε το \(x\) για να λειτουργήσει η ισότητα. Φυσικά, \(x=2\).

Λύστε τώρα την εξίσωση: \(3^(x)=8\).Με τι ισούται το x; Αυτό είναι το νόημα.

Οι πιο έξυπνοι θα πουν: «Το Χ είναι λίγο λιγότερο από δύο». Πώς ακριβώς πρέπει να γραφτεί αυτός ο αριθμός; Για να απαντήσουν σε αυτό το ερώτημα, κατέληξαν στον λογάριθμο. Χάρη σε αυτόν, η απάντηση εδώ μπορεί να γραφτεί ως \(x=\log_(3)(8)\).

Θέλω να τονίσω ότι \(\log_(3)(8)\), καθώς επίσης οποιοσδήποτε λογάριθμος είναι απλώς ένας αριθμός. Ναι, φαίνεται ασυνήθιστο, αλλά είναι σύντομο. Γιατί αν θέλαμε να το γράψουμε ως δεκαδικό, θα έμοιαζε κάπως έτσι: \(1.892789260714.....\)

Παράδειγμα : Λύστε την εξίσωση \(4^(5x-4)=10\)

Λύση :

\(4^(5x-4)=10\)		Τα \(4^(5x-4)\) και \(10\) δεν μπορούν να μειωθούν στην ίδια βάση. Έτσι εδώ δεν μπορείτε να κάνετε χωρίς τον λογάριθμο. Ας χρησιμοποιήσουμε τον ορισμό του λογάριθμου: \(a^(b)=c\) \(\αριστερό βέλος\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Αναστρέψτε την εξίσωση έτσι ώστε το x να είναι στα αριστερά
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Πριν από εμάς. Μετακινήστε το \(4\) προς τα δεξιά. Και μην φοβάστε τον λογάριθμο, αντιμετώπισέ τον σαν κανονικό αριθμό.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Διαιρέστε την εξίσωση με το 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Εδώ είναι η ρίζα μας. Ναι, φαίνεται ασυνήθιστο, αλλά η απάντηση δεν επιλέγεται.

Απάντηση : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Δεκαδικοί και φυσικοί λογάριθμοι

Όπως αναφέρεται στον ορισμό του λογάριθμου, η βάση του μπορεί να είναι οποιαδήποτε θετικός αριθμός, εκτός από τη μονάδα \((a>0, a\neq1)\). Και μεταξύ όλων των πιθανών βάσεων, υπάρχουν δύο που εμφανίζονται τόσο συχνά που εφευρέθηκε μια ειδική σύντομη σημειογραφία για τους λογάριθμους με αυτές:

Φυσικός λογάριθμος: ένας λογάριθμος του οποίου η βάση είναι ο αριθμός Euler \(e\) (ίσος με περίπου \(2.7182818…\)), και ο λογάριθμος γράφεται ως \(\ln(a)\).

Αυτό είναι, Το \(\ln(a)\) είναι το ίδιο με το \(\log_(e)(a)\)

Δεκαδικός λογάριθμος: Ένας λογάριθμος του οποίου η βάση είναι 10 γράφεται \(\lg(a)\).

Αυτό είναι, Το \(\lg(a)\) είναι το ίδιο με το \(\log_(10)(a)\), όπου \(a\) είναι κάποιος αριθμός.

Βασική λογαριθμική ταυτότητα

Οι λογάριθμοι έχουν πολλές ιδιότητες. Ένα από αυτά ονομάζεται «Κύρια λογαριθμική ταυτότητα' και μοιάζει με αυτό:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Αυτή η ιδιότητα προκύπτει άμεσα από τον ορισμό. Ας δούμε πώς προέκυψε αυτή η φόρμουλα.

Ας θυμηθούμε σύντομη σημείωσηορισμοί λογαρίθμων:

αν \(a^(b)=c\), τότε \(\log_(a)(c)=b\)

Δηλαδή, το \(b\) είναι το ίδιο με το \(\log_(a)(c)\). Τότε μπορούμε να γράψουμε \(\log_(a)(c)\) αντί για \(b\) στον τύπο \(a^(b)=c\) . Αποδείχθηκε \(a^(\log_(a)(c))=c\) - η κύρια λογαριθμική ταυτότητα.

Μπορείτε να βρείτε τις υπόλοιπες ιδιότητες των λογαρίθμων. Με τη βοήθειά τους, μπορείτε να απλοποιήσετε και να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων με λογάριθμους, οι οποίοι είναι δύσκολο να υπολογιστούν άμεσα.

Παράδειγμα : Βρείτε την τιμή της παράστασης \(36^(\log_(6)(5))\)

Λύση :

Απάντηση : \(25\)

Πώς να γράψετε έναν αριθμό ως λογάριθμο;

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, οποιοσδήποτε λογάριθμος είναι απλώς ένας αριθμός. Το αντίστροφο ισχύει επίσης: οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να γραφτεί ως λογάριθμος. Για παράδειγμα, γνωρίζουμε ότι το \(\log_(2)(4)\) είναι ίσο με δύο. Στη συνέχεια, μπορείτε να γράψετε \(\log_(2)(4)\) αντί για δύο.

Αλλά το \(\log_(3)(9)\) είναι επίσης ίσο με \(2\), επομένως μπορείτε επίσης να γράψετε \(2=\log_(3)(9)\) . Ομοίως με το \(\log_(5)(25)\), και με το \(\log_(9)(81)\), κ.λπ. Δηλαδή αποδεικνύεται

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Έτσι, αν χρειαζόμαστε, μπορούμε να γράψουμε τα δύο ως λογάριθμο με οποιαδήποτε βάση οπουδήποτε (ακόμα και σε μια εξίσωση, ακόμη και σε μια έκφραση, ακόμα και σε μια ανισότητα) - γράφουμε απλώς την τετραγωνισμένη βάση ως όρισμα.

Είναι το ίδιο με ένα τριπλό - μπορεί να γραφτεί ως \(\log_(2)(8)\), ή ως \(\log_(3)(27)\), ή ως \(\log_(4)( 64) \) ... Εδώ γράφουμε τη βάση στον κύβο ως όρισμα:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Και με τέσσερα:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Και με μείον ένα:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

Και με το ένα τρίτο:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Οποιοσδήποτε αριθμός \(a\) μπορεί να αναπαρασταθεί ως λογάριθμος με βάση \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Παράδειγμα : Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Λύση :

Απάντηση : \(1\)

Με την ανάπτυξη της κοινωνίας, την πολυπλοκότητα της παραγωγής, αναπτύχθηκαν και τα μαθηματικά. Κίνηση από απλό σε σύνθετο. Από τη συνήθη λογιστική μέθοδο της πρόσθεσης και της αφαίρεσης, με την επαναλαμβανόμενη επανάληψή τους, κατέληξαν στην έννοια του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης. Η μείωση της πολλαπλασιαζόμενης πράξης έγινε η έννοια της εκθέσεως. Οι πρώτοι πίνακες της εξάρτησης των αριθμών από τη βάση και τον αριθμό της εκθέσεως συντάχθηκαν τον 8ο αιώνα από τον Ινδό μαθηματικό Varasena. Από αυτά, μπορείτε να μετρήσετε το χρόνο εμφάνισης των λογαρίθμων.

Ιστορικό περίγραμμα

Η αναβίωση της Ευρώπης τον 16ο αιώνα τόνωσε επίσης την ανάπτυξη της μηχανικής. Τ απαιτούσε μεγάλο όγκο υπολογισμώνσχετίζεται με τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση πολυψήφιων αριθμών. Τα αρχαία τραπέζια έκαναν εξαιρετική εξυπηρέτηση. Κατέστησαν δυνατή την αντικατάσταση σύνθετων πράξεων με απλούστερες - πρόσθεση και αφαίρεση. Ένα μεγάλο βήμα προς τα εμπρός ήταν το έργο του μαθηματικού Michael Stiefel, που δημοσιεύτηκε το 1544, στο οποίο πραγματοποίησε την ιδέα πολλών μαθηματικών. Αυτό κατέστησε δυνατή τη χρήση πινάκων όχι μόνο για βαθμούς με τη μορφή πρώτων αριθμών, αλλά και για αυθαίρετους ορθολογικούς.

Το 1614, ο Σκωτσέζος John Napier, αναπτύσσοντας αυτές τις ιδέες, εισήγαγε για πρώτη φορά τον νέο όρο «λογάριθμος ενός αριθμού». Συντάχθηκαν νέοι σύνθετοι πίνακες για τον υπολογισμό των λογαρίθμων των ημιτόνων και των συνημιτόνων, καθώς και των εφαπτομένων. Αυτό μείωσε πολύ το έργο των αστρονόμων.

Άρχισαν να εμφανίζονται νέοι πίνακες, οι οποίοι χρησιμοποιήθηκαν με επιτυχία από επιστήμονες για τρεις αιώνες. Χρειάστηκε πολύς καιρός πριν νέα λειτουργίαστην άλγεβρα απέκτησε την τελειωμένη της μορφή. Ορίστηκε ο λογάριθμος και μελετήθηκαν οι ιδιότητές του.

Μόνο τον 20ο αιώνα, με την εμφάνιση της αριθμομηχανής και του υπολογιστή, η ανθρωπότητα εγκατέλειψε τα αρχαία τραπέζια που λειτουργούσαν με επιτυχία σε όλη τη διάρκεια του 13ου αιώνα.

Σήμερα καλούμε τον λογάριθμο του b για να βασίσουμε τον αριθμό x, που είναι η δύναμη του a, για να πάρουμε τον αριθμό b. Αυτό γράφεται ως τύπος: x = log a(b).

Για παράδειγμα, το αρχείο καταγραφής 3(9) θα είναι ίσο με 2. Αυτό είναι προφανές εάν ακολουθήσετε τον ορισμό. Αν αυξήσουμε το 3 στη δύναμη του 2, θα έχουμε 9.

Έτσι, ο διατυπωμένος ορισμός θέτει μόνο έναν περιορισμό, οι αριθμοί a και b πρέπει να είναι πραγματικοί.

Ποικιλίες λογαρίθμων

Ο κλασικός ορισμός ονομάζεται πραγματικός λογάριθμος και είναι στην πραγματικότητα λύση της εξίσωσης a x = b. Η επιλογή a = 1 είναι οριακή και δεν ενδιαφέρει. Σημείωση: 1 σε οποιαδήποτε ισχύ είναι 1.

Πραγματική τιμή του λογάριθμουορίζεται μόνο εάν η βάση και το όρισμα είναι μεγαλύτερα από 0 και η βάση δεν πρέπει να είναι ίση με 1.

Ξεχωριστή θέση στον τομέα των μαθηματικώνΠαίξτε λογάριθμους, οι οποίοι θα ονομαστούν ανάλογα με την αξία της βάσης τους:

Κανόνες και περιορισμοί

Η θεμελιώδης ιδιότητα των λογαρίθμων είναι ο κανόνας: ο λογάριθμος ενός γινομένου είναι ίσος με το λογαριθμικό άθροισμα. log abp = log a(b) + log a(p).

Ως παραλλαγή αυτής της δήλωσης, θα είναι: log c (b / p) \u003d log c (b) - log c (p), η συνάρτηση πηλίκου είναι ίση με τη διαφορά των συναρτήσεων.

Είναι εύκολο να δούμε από τους δύο προηγούμενους κανόνες ότι: log a(b p) = p * log a(b).

Άλλες ιδιότητες περιλαμβάνουν:

Σχόλιο. Μην κάνετε ένα κοινό λάθος - ο λογάριθμος του αθροίσματος δεν είναι ίσος με το άθροισμα των λογαρίθμων.

Για πολλούς αιώνες, η λειτουργία εύρεσης του λογαρίθμου ήταν μια μάλλον χρονοβόρα εργασία. Οι μαθηματικοί χρησιμοποίησαν τον γνωστό τύπο της λογαριθμικής θεωρίας της διαστολής σε πολυώνυμο:

ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* (( x^n)/n), όπου n είναι φυσικός αριθμός μεγαλύτερος από 1, ο οποίος καθορίζει την ακρίβεια του υπολογισμού.

Οι λογάριθμοι με άλλες βάσεις υπολογίστηκαν χρησιμοποιώντας το θεώρημα για τη μετάβαση από τη μια βάση στην άλλη και την ιδιότητα του λογαρίθμου του γινομένου.

Δεδομένου ότι αυτή η μέθοδος είναι πολύ επίπονη και κατά την επίλυση πρακτικών προβλημάτωνδύσκολο να εφαρμοστεί, χρησιμοποίησαν προκαταρτισμένους πίνακες λογαρίθμων, οι οποίοι επιτάχυναν πολύ την όλη εργασία.

Σε ορισμένες περιπτώσεις, χρησιμοποιήθηκαν ειδικά μεταγλωττισμένα γραφήματα λογαρίθμων, τα οποία έδιναν μικρότερη ακρίβεια, αλλά επιτάχυναν σημαντικά την αναζήτηση της επιθυμητής τιμής. Η καμπύλη της συνάρτησης y = log a(x), χτισμένη σε πολλά σημεία, επιτρέπει τη χρήση του συνήθους χάρακα για την εύρεση των τιμών της συνάρτησης σε οποιοδήποτε άλλο σημείο. Μηχανικοί πολύς καιρόςΓια τους σκοπούς αυτούς χρησιμοποιήθηκε το λεγόμενο γραφικό χαρτί.

Τον 17ο αιώνα εμφανίστηκαν οι πρώτες βοηθητικές αναλογικές συνθήκες υπολογισμού, οι οποίες να XIX αιώνααπέκτησε μια τελειωμένη εμφάνιση. Η πιο επιτυχημένη συσκευή ονομάστηκε κανόνας διαφάνειας. Παρά την απλότητα της συσκευής, η εμφάνισή της επιτάχυνε σημαντικά τη διαδικασία όλων των μηχανικών υπολογισμών και αυτό είναι δύσκολο να υπερεκτιμηθεί. Επί του παρόντος, λίγοι άνθρωποι είναι εξοικειωμένοι με αυτήν τη συσκευή.

Η εμφάνιση των αριθμομηχανών και των υπολογιστών κατέστησε άσκοπη τη χρήση οποιασδήποτε άλλης συσκευής.

Εξισώσεις και ανισώσεις

Οι ακόλουθοι τύποι χρησιμοποιούνται για την επίλυση διαφόρων εξισώσεων και ανισώσεων με χρήση λογαρίθμων:

• Μετάβαση από τη μια βάση στην άλλη: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• Ως συνέπεια της προηγούμενης έκδοσης: log a(b) = 1 / log b(a).

Για την επίλυση των ανισοτήτων, είναι χρήσιμο να γνωρίζουμε:

• Η τιμή του λογάριθμου θα είναι θετική μόνο εάν τόσο η βάση όσο και το όρισμα είναι και τα δύο μεγαλύτερα ή μικρότερα από ένα. Εάν παραβιαστεί τουλάχιστον μία συνθήκη, η τιμή του λογάριθμου θα είναι αρνητική.
• Εάν η λογαριθμική συνάρτηση εφαρμόζεται στη δεξιά και την αριστερή πλευρά της ανισότητας και η βάση του λογάριθμου είναι μεγαλύτερη από μία, τότε το πρόσημο της ανισότητας διατηρείται. αλλιώς αλλάζει.

Παραδείγματα εργασιών

Εξετάστε διάφορες επιλογές για τη χρήση λογαρίθμων και των ιδιοτήτων τους. Παραδείγματα επίλυσης εξισώσεων:

Εξετάστε την επιλογή να τοποθετήσετε τον λογάριθμο στον βαθμό:

• Εργασία 3. Υπολογίστε το 25^log 5(3). Λύση: στις συνθήκες του προβλήματος, η σημείωση είναι παρόμοια με την ακόλουθη (5^2)^log5(3) ή 5^(2 * log 5(3)). Ας το γράψουμε διαφορετικά: 5^log 5(3*2), ή το τετράγωνο ενός αριθμού ως όρισμα συνάρτησης μπορεί να γραφτεί ως το τετράγωνο της ίδιας της συνάρτησης (5^log 5(3))^2. Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των λογαρίθμων, αυτή η έκφραση είναι 3^2. Απάντηση: ως αποτέλεσμα του υπολογισμού παίρνουμε 9.

Πρακτική χρήση

Όντας ένα καθαρά μαθηματικό εργαλείο, φαίνεται πολύ μακριά πραγματική ζωήότι ο λογάριθμος πήρε ξαφνικά μεγάλη σημασία στην περιγραφή των αντικειμένων πραγματικό κόσμο. Είναι δύσκολο να βρεις μια επιστήμη όπου δεν χρησιμοποιείται. Αυτό ισχύει πλήρως όχι μόνο για τα φυσικά, αλλά και για τα γνωστικά πεδία των ανθρωπιστικών επιστημών.

Λογαριθμικές εξαρτήσεις

Ακολουθούν μερικά παραδείγματα αριθμητικών εξαρτήσεων:

Μηχανική και φυσική

Ιστορικά, η μηχανική και η φυσική ανέκαθεν αναπτύχθηκαν χρησιμοποιώντας μαθηματικές μεθόδουςέρευνα και ταυτόχρονα λειτούργησε ως κίνητρο για την ανάπτυξη των μαθηματικών, συμπεριλαμβανομένων των λογαρίθμων. Η θεωρία των περισσότερων νόμων της φυσικής είναι γραμμένη στη γλώσσα των μαθηματικών. Δίνουμε μόνο δύο παραδείγματα περιγραφής των φυσικών νόμων χρησιμοποιώντας τον λογάριθμο.

Είναι δυνατόν να λυθεί το πρόβλημα του υπολογισμού μιας τόσο πολύπλοκης ποσότητας όπως η ταχύτητα ενός πυραύλου χρησιμοποιώντας τον τύπο Tsiolkovsky, ο οποίος έθεσε τα θεμέλια για τη θεωρία της εξερεύνησης του διαστήματος:

V = I * ln(M1/M2), όπου

• V είναι η τελική ταχύτητα του αεροσκάφους.
• Εγώ είναι η συγκεκριμένη ώθηση του κινητήρα.
• M 1 είναι η αρχική μάζα του πυραύλου.
• M 2 - τελική μάζα.

Άλλο ένα σημαντικό παράδειγμα- αυτή είναι η χρήση στη φόρμουλα ενός άλλου μεγάλου επιστήμονα, του Max Planck, που χρησιμεύει για την αξιολόγηση της κατάστασης ισορροπίας στη θερμοδυναμική.

S = k * ln (Ω), όπου

• Το S είναι μια θερμοδυναμική ιδιότητα.
• k είναι η σταθερά Boltzmann.
• Το Ω είναι το στατιστικό βάρος διαφορετικών καταστάσεων.

Χημεία

Λιγότερο προφανής θα ήταν η χρήση τύπων στη χημεία που περιέχουν την αναλογία των λογαρίθμων. Εδώ είναι μόνο δύο παραδείγματα:

• Η εξίσωση Nernst, η συνθήκη του δυναμικού οξειδοαναγωγής του μέσου σε σχέση με τη δραστηριότητα των ουσιών και η σταθερά ισορροπίας.
• Ο υπολογισμός τέτοιων σταθερών όπως ο δείκτης αυτοδιάλυσης και η οξύτητα του διαλύματος δεν είναι επίσης πλήρης χωρίς τη συνάρτησή μας.

Ψυχολογία και βιολογία

Και είναι εντελώς ακατανόητο τι σχέση έχει η ψυχολογία. Αποδεικνύεται ότι η δύναμη της αίσθησης περιγράφεται καλά από αυτή τη συνάρτηση ως η αντίστροφη αναλογία της τιμής της έντασης του ερεθίσματος προς τη χαμηλότερη τιμή έντασης.

Μετά τα παραπάνω παραδείγματα, δεν προκαλεί έκπληξη το γεγονός ότι το θέμα των λογαρίθμων χρησιμοποιείται επίσης ευρέως στη βιολογία. Ολόκληροι τόμοι μπορούν να γραφτούν για βιολογικές μορφές που αντιστοιχούν σε λογαριθμικές σπείρες.

Αλλα μέρη

Φαίνεται ότι η ύπαρξη του κόσμου είναι αδύνατη χωρίς σύνδεση με αυτή τη λειτουργία και διέπει όλους τους νόμους. Ειδικά όταν συνδέονται οι νόμοι της φύσης γεωμετρική πρόοδος. Αξίζει να ανατρέξετε στον ιστότοπο MatProfi και υπάρχουν πολλά τέτοια παραδείγματα στους ακόλουθους τομείς δραστηριότητας:

Η λίστα θα μπορούσε να είναι ατελείωτη. Έχοντας κατακτήσει τους βασικούς νόμους αυτής της λειτουργίας, μπορείτε να βουτήξετε στον κόσμο της άπειρης σοφίας.