Ιδιότητες φυσικών λογαρίθμων του τύπου. Ιδιότητες λογαρίθμων και παραδείγματα λύσεών τους
Η συνάρτηση LN στο Excel έχει σχεδιαστεί για υπολογισμό φυσικός λογάριθμοςαριθμεί και επιστρέφει την αντίστοιχη αριθμητική τιμή. Ο φυσικός λογάριθμος είναι ο λογάριθμος βάσης e (ένας αριθμός Euler περίπου 2,718).
Η συνάρτηση LOG στο Excel χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του λογάριθμου ενός αριθμού, ενώ η βάση του λογαρίθμου μπορεί να καθοριστεί ρητά ως το δεύτερο όρισμα αυτής της συνάρτησης.
Η συνάρτηση LOG10 στο Excel έχει σχεδιαστεί για να υπολογίζει τον λογάριθμο ενός αριθμού με βάση το 10 (δεκαδικός λογάριθμος).
Παραδείγματα χρήσης συναρτήσεων LN, LOG και LOG10 στο Excel
Οι αρχαιολόγοι βρήκαν τα υπολείμματα ενός αρχαίου ζώου. Για τον προσδιορισμό της ηλικίας τους, αποφασίστηκε να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος της ανάλυσης ραδιοανθράκων. Ως αποτέλεσμα μετρήσεων, αποδείχθηκε ότι η περιεκτικότητα του ραδιενεργού ισοτόπου C 14 ήταν 17% της ποσότητας που συνήθως βρίσκεται σε ζωντανούς οργανισμούς. Υπολογίστε την ηλικία των υπολειμμάτων εάν ο χρόνος ημιζωής του ισοτόπου άνθρακα 14 είναι 5760 έτη.
Άποψη του αρχικού πίνακα:
Χρησιμοποιούμε τον ακόλουθο τύπο για να λύσουμε:
Αυτός ο τύπος λήφθηκε με βάση τον τύπο x=t*(lgB-lgq)/lgp, όπου:
- q είναι η ποσότητα του ισοτόπου άνθρακα την αρχική στιγμή (τη στιγμή του θανάτου του ζώου), εκφρασμένη ως μονάδα (ή 100%).
- B είναι η ποσότητα του ισοτόπου τη στιγμή της ανάλυσης των υπολειμμάτων.
- t είναι ο χρόνος ημιζωής του ισοτόπου.
- Το p είναι μια αριθμητική τιμή που δείχνει πόσες φορές η ποσότητα μιας ουσίας (ισότοπο άνθρακα) αλλάζει σε μια χρονική περίοδο t.
Ως αποτέλεσμα των υπολογισμών, παίρνουμε:
Τα απομεινάρια που βρέθηκαν είναι σχεδόν 15 χιλιάδων ετών.
Αριθμομηχανή κατάθεσης με ανατοκισμό στο Excel
Ένας πελάτης τράπεζας έκανε κατάθεση στο ποσό των 50.000 ρούβλια με επιτόκιο 14,5% (σύνθετος τόκος). Προσδιορίστε πόσος χρόνος θα χρειαστεί για να διπλασιαστεί το επενδυμένο ποσό;
Ενδιαφέρον γεγονός! Για να λύσετε γρήγορα αυτό το πρόβλημα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την εμπειρική μέθοδο προσέγγισης του χρονικού πλαισίου (σε χρόνια) για τον διπλασιασμό των επενδύσεων που επενδύονται με ανατοκισμό. Ο λεγόμενος κανόνας 72 (ή 70 ή κανόνας 69). Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να χρησιμοποιήσετε έναν απλό τύπο - τον αριθμό 72 διαιρούμενο με επιτόκιο: 72/14,5 = 4,9655 έτη. Κύριο μειονέκτημαο κανόνας του «μαγικού» αριθμού 72 βρίσκεται στο λάθος. Όσο υψηλότερο είναι το επιτόκιο, τόσο μεγαλύτερο είναι το σφάλμα στον κανόνα 72. Για παράδειγμα, με επιτόκιο 100% ετησίως, το σφάλμα σε χρόνια φτάνει έως και το 0,72 (και σε ποσοστό έως και 28%!).
Για να υπολογίσουμε με ακρίβεια το χρονοδιάγραμμα του διπλασιασμού των επενδύσεων, θα χρησιμοποιήσουμε τη συνάρτηση LOG. Για ένα πράγμα, ας ελέγξουμε το σφάλμα του κανόνα 72 με επιτόκιο 14,5% ετησίως.
Άποψη του αρχικού πίνακα:
Για να υπολογίσετε τη μελλοντική αξία μιας επένδυσης με γνωστό επιτόκιο, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον ακόλουθο τύπο: S=A(100%+n%) t , όπου:
- S είναι το αναμενόμενο ποσό στο τέλος της περιόδου.
- A είναι το ποσό της κατάθεσης.
- n - επιτόκιο?
- t είναι ο χρόνος διατήρησης κεφαλαίων καταθέσεων στην τράπεζα.
Για αυτό το παράδειγμα, αυτός ο τύπος μπορεί να γραφτεί ως 100000=50000*(100%+14,5%) t ή 2=(100%+14,5%) t . Στη συνέχεια, για να βρείτε το t, μπορείτε να ξαναγράψετε την εξίσωση ως t=log (114,5%) 2 ή t=log 1,1452 .
Για να βρούμε την τιμή του t, γράφουμε τον ακόλουθο τύπο για τον σύνθετο τόκο σε μια κατάθεση στο Excel:
LOG(B4/B2;1+B3)
Περιγραφή επιχειρημάτων:
- B4/B2 - ο λόγος των αναμενόμενων και των αρχικών ποσών, που είναι δείκτης του λογαρίθμου.
- 1+Β3 - κέρδος τόκου (βάση λογαρίθμου).
Ως αποτέλεσμα των υπολογισμών, παίρνουμε:
Η κατάθεση θα διπλασιαστεί μετά από λίγο περισσότερο από 5 χρόνια. Για ακριβής ορισμόςχρόνια και μήνες, χρησιμοποιούμε τον τύπο:
Η συνάρτηση SELECT απορρίπτει τα πάντα μετά την υποδιαστολή σε έναν κλασματικό αριθμό, παρόμοιο με τη συνάρτηση ΑΚΕΡΑΙΟΣ. Η διαφορά μεταξύ των συναρτήσεων SELECT και WHOLE είναι μόνο σε υπολογισμούς με αρνητικούς κλασματικούς αριθμούς. Επιπλέον, το OTBR έχει ένα δεύτερο όρισμα όπου μπορείτε να καθορίσετε τον αριθμό των δεκαδικών ψηφίων που θέλετε να αφήσετε. Ποιητής μέσα αυτή η υπόθεσημπορείτε να χρησιμοποιήσετε οποιαδήποτε από αυτές τις δύο λειτουργίες κατά την επιλογή του χρήστη.
Αποδείχθηκε 5 χρόνια και 1 μήνα και 12 ημέρες. Τώρα ας συγκρίνουμε τα ακριβή αποτελέσματα με τον κανόνα του 72 και ας προσδιορίσουμε το μέγεθος του σφάλματος. Για αυτό το παράδειγμα, ο τύπος είναι:
Πρέπει να πολλαπλασιάσουμε την τιμή του κελιού Β3 επί 100 αφού η τρέχουσα τιμή του είναι 0,145, η οποία εμφανίζεται ως ποσοστό. Σαν άποτέλεσμα:
Αφού αντιγράψουμε τον τύπο από το κελί B6 στο κελί B8 και στο κελί B9:
Ας υπολογίσουμε τους όρους σφάλματος:
Στη συνέχεια, στο κελί B10, αντιγράψτε ξανά τον τύπο από το κελί B6. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε τη διαφορά:
Και τέλος, ας υπολογίσουμε την ποσοστιαία διαφορά για να ελέγξουμε πώς αλλάζει το μέγεθος της απόκλισης και πόσο σημαντικά η αύξηση του επιτοκίου επηρεάζει το επίπεδο απόκλισης μεταξύ του κανόνα 72 και του γεγονότος:
Τώρα, για να απεικονίσουμε την αναλογική εξάρτηση της αύξησης του σφάλματος και της αύξησης του επιπέδου του επιτοκίου, θα αυξήσουμε το επιτόκιο στο 100% ετησίως:
Με την πρώτη ματιά, η διαφορά στο σφάλμα δεν είναι σημαντική σε σύγκριση με το 14,5% ετησίως -μόνο περίπου 2 μήνες και 100% ετησίως- μέσα σε 3 μήνες. Αλλά το μερίδιο του σφάλματος στην περίοδο απόσβεσης είναι περισσότερο από ¼, ή μάλλον 28%.
Ας κάνουμε ένα απλό γράφημα για οπτική ανάλυση του πώς η εξάρτηση της μεταβολής του επιτοκίου και το ποσοστό του σφάλματος του κανόνα 72 συσχετίζεται με το γεγονός:
Όσο υψηλότερο είναι το επιτόκιο, τόσο χειρότερα λειτουργεί ο κανόνας 72. Ως αποτέλεσμα, μπορούμε να βγάλουμε το εξής συμπέρασμα: έως και 32,2% ετησίως, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε με ασφάλεια τον κανόνα 72. Τότε το σφάλμα είναι μικρότερο από 10 τοις εκατό. Θα γίνει εάν δεν απαιτούνται ακριβείς, αλλά πολύπλοκοι υπολογισμοί για την περίοδο απόσβεσης των επενδύσεων κατά 2 φορές.
Υπολογιστής σύνθετου τόκου επένδυσης με κεφαλαιοποίηση στο Excel
Στον πελάτη της τράπεζας προσφέρθηκε να κάνει κατάθεση με συνεχή αύξηση του συνολικού ποσού (κεφαλαιοποίηση με ανατοκισμό). Το επιτόκιο είναι 13% ετησίως. Προσδιορίστε πόσος χρόνος θα χρειαστεί για να τριπλασιαστεί το αρχικό ποσό (250.000 ρούβλια). Κατά πόσο πρέπει να αυξηθεί το επιτόκιο για να μειωθεί στο μισό ο χρόνος αναμονής;
Σημείωση: αφού είμαστε μέσα αυτό το παράδειγματριπλασιάζουμε το ποσό των επενδύσεων, τότε ο κανόνας 72 δεν λειτουργεί εδώ.
Προβολή του αρχικού πίνακα δεδομένων:
Η συνεχής ανάπτυξη μπορεί να περιγραφεί με τον τύπο ln(N)=p*t, όπου:
- N είναι ο λόγος του τελικού ποσού της κατάθεσης προς το αρχικό.
- p είναι το επιτόκιο.
- t είναι ο αριθμός των ετών που έχουν περάσει από την κατάθεση.
Τότε t=ln(N)/p. Με βάση αυτή την ισότητα, γράφουμε τον τύπο στο Excel:
Περιγραφή επιχειρημάτων:
- B3/B2 - η αναλογία του τελικού και του αρχικού ποσού της κατάθεσης.
- Β4 - επιτόκιο.
Θα χρειαστούν σχεδόν 8,5 χρόνια για να τριπλασιαστεί το αρχικό ποσό κατάθεσης. Για να υπολογίσουμε το ποσοστό που θα μειώσει το χρόνο αναμονής στο μισό, χρησιμοποιούμε τον τύπο:
LN(B3/B2)/(0,5*B5)
Αποτέλεσμα:
Δηλαδή, είναι απαραίτητο να διπλασιαστεί το αρχικό επιτόκιο.
Δυνατότητες χρήσης των συναρτήσεων LN, LOG και LOG10 στο Excel
Η συνάρτηση LN έχει την ακόλουθη σύνταξη:
LN (αριθμός)
- Ο αριθμός είναι το μόνο υποχρεωτικό όρισμα που δέχεται πραγματικούς αριθμούς από μια σειρά θετικών τιμών.
Σημειώσεις:
- Η συνάρτηση LN είναι αντίστροφη Λειτουργία EXP. Το τελευταίο επιστρέφει την τιμή που προκύπτει ανεβάζοντας τον αριθμό e στην καθορισμένη ισχύ. Η συνάρτηση LN καθορίζει την ισχύ στην οποία πρέπει να αυξηθεί ο αριθμός e (βάση) για να ληφθεί ο εκθέτης του λογάριθμου (το όρισμα του αριθμού).
- Εάν το όρισμα αριθμού είναι ένας αριθμός στην περιοχή αρνητικών τιμών ή μηδέν, το αποτέλεσμα της συνάρτησης LN είναι ο κωδικός σφάλματος #NUM!.
Η σύνταξη της συνάρτησης LOG είναι η εξής:
LOG (αριθμός ;[βάση])
Περιγραφή επιχειρημάτων:
- αριθμός - ένα υποχρεωτικό όρισμα που χαρακτηρίζει την αριθμητική τιμή του εκθέτη λογάριθμου, δηλαδή τον αριθμό που λαμβάνεται ως αποτέλεσμα της αύξησης της βάσης του λογαρίθμου σε μια ορισμένη ισχύ, η οποία θα υπολογιστεί από τη συνάρτηση LOG.
- Το [βάση] είναι ένα προαιρετικό όρισμα που χαρακτηρίζει την αριθμητική τιμή της βάσης του λογαρίθμου. Εάν το όρισμα δεν προσδιορίζεται ρητά, ο λογάριθμος θεωρείται ότι είναι δεκαδικός (δηλαδή, η βάση είναι 10).
Σημειώσεις:
- Αν και το αποτέλεσμα της συνάρτησης LOG μπορεί να είναι αρνητικός αριθμός (για παράδειγμα, η συνάρτηση =LOG(2;0,25) θα επιστρέψει -0,5), τα ορίσματα αυτής της συνάρτησης πρέπει να ληφθούν από το εύρος των θετικών τιμών. Εάν τουλάχιστον ένα από τα ορίσματα είναι αρνητικός αριθμός, Λειτουργία LOGθα επιστρέψει τον κωδικό σφάλματος #NUM!.
- Εάν το 1 περάσει ως το όρισμα [βάση], η συνάρτηση LOG θα επιστρέψει τον κωδικό σφάλματος #DIV/0!, καθώς το αποτέλεσμα της αύξησης του 1 σε οποιαδήποτε ισχύ θα είναι πάντα το ίδιο και ίσο με 1.
Η συνάρτηση LOG10 έχει την ακόλουθη σύνταξη:
LOG10 (αριθμός)
- Ο αριθμός είναι το μόνο και υποχρεωτικό όρισμα, η έννοια του οποίου είναι πανομοιότυπη με το ομώνυμο όρισμα των συναρτήσεων LN και LOG.
Σημείωση: Εάν ένας αρνητικός αριθμός ή 0 έχει περάσει ως όρισμα αριθμού, η συνάρτηση LOG10 θα επιστρέψει τον κωδικό σφάλματος #NUM!.
Ο λογάριθμος του αριθμού b στη βάση a είναι ο εκθέτης στον οποίο πρέπει να αυξήσετε τον αριθμό a για να λάβετε τον αριθμό b.
Αν τότε .
Ο λογάριθμος είναι εξαιρετικά σημαντική μαθηματική ποσότητα, αφού ο λογαριθμικός λογισμός επιτρέπει όχι μόνο να λύσει εκθετικές εξισώσεις, αλλά και λειτουργούν με δείκτες, διαφοροποιούν τις εκθετικές και λογαριθμικές συναρτήσεις, τις ενσωματώνουν και οδηγούν σε μια πιο αποδεκτή μορφή που πρέπει να υπολογιστεί.
Σε επαφή με
Όλες οι ιδιότητες των λογαρίθμων σχετίζονται άμεσα με τις ιδιότητες εκθετικές συναρτήσεις. Για παράδειγμα, το γεγονός ότι 
σημαίνει ότι:
Θα πρέπει να σημειωθεί ότι κατά την επίλυση συγκεκριμένων προβλημάτων, οι ιδιότητες των λογαρίθμων μπορεί να είναι πιο σημαντικές και χρήσιμες από τους κανόνες για την εργασία με δυνάμεις.
Εδώ είναι μερικές ταυτότητες:
Εδώ είναι οι κύριες αλγεβρικές εκφράσεις:
;
.
Προσοχή!μπορεί να υπάρχει μόνο για x>0, x≠1, y>0.
Ας προσπαθήσουμε να κατανοήσουμε το ερώτημα του τι είναι οι φυσικοί λογάριθμοι. Ξεχωριστό ενδιαφέρον για τα μαθηματικά αντιπροσωπεύουν δύο τύπους- το πρώτο έχει τον αριθμό "10" στη βάση, και ονομάζεται "δεκαδικός λογάριθμος". Το δεύτερο ονομάζεται φυσικό. Η βάση του φυσικού λογάριθμου είναι ο αριθμός e. Για αυτόν θα μιλήσουμε λεπτομερώς σε αυτό το άρθρο.
Ονομασίες:
- lg x - δεκαδικό;
- ln x - φυσικό.
Χρησιμοποιώντας την ταυτότητα, μπορούμε να δούμε ότι ln e = 1, καθώς και ότι lg 10=1.
φυσικό ημερολόγιο
Κατασκευάζουμε μια γραφική παράσταση του φυσικού λογάριθμου με τον τυπικό κλασικό τρόπο κατά σημεία. Εάν θέλετε, μπορείτε να ελέγξετε εάν χτίζουμε σωστά μια συνάρτηση εξετάζοντας τη συνάρτηση. Ωστόσο, είναι λογικό να μάθετε πώς να το κατασκευάζετε "χειροκίνητα" για να ξέρετε πώς να υπολογίζετε σωστά τον λογάριθμο.
Συνάρτηση: y = log x. Ας γράψουμε έναν πίνακα σημείων από τα οποία θα περάσει το γράφημα:
Ας εξηγήσουμε γιατί επιλέξαμε τέτοιες τιμές του ορίσματος x. Όλα είναι θέμα ταυτότητας: Για έναν φυσικό λογάριθμο, αυτή η ταυτότητα θα μοιάζει με αυτό:
Για ευκολία, μπορούμε να πάρουμε πέντε σημεία αναφοράς:
;
;
.
;
.
Έτσι, η μέτρηση των φυσικών λογαρίθμων είναι μια αρκετά απλή εργασία, επιπλέον, απλοποιεί τον υπολογισμό των πράξεων με δυνάμεις, μετατρέποντάς τις σε κανονικό πολλαπλασιασμό.
Έχοντας δημιουργήσει ένα γράφημα ανά σημεία, παίρνουμε ένα κατά προσέγγιση γράφημα:
Ο τομέας του φυσικού λογάριθμου (δηλαδή, όλες οι έγκυρες τιμές του ορίσματος X) είναι όλοι οι αριθμοί μεγαλύτεροι από το μηδέν.
Προσοχή!Το πεδίο ορισμού του φυσικού λογάριθμου περιλαμβάνει μόνο θετικούς αριθμούς! Το εύρος δεν περιλαμβάνει x=0. Αυτό είναι αδύνατο με βάση τις προϋποθέσεις για την ύπαρξη του λογαρίθμου.
Το εύρος τιμών (δηλαδή όλες οι έγκυρες τιμές της συνάρτησης y = ln x) είναι όλοι οι αριθμοί στο διάστημα .
φυσικό όριο κορμού
Μελετώντας το γράφημα, τίθεται το ερώτημα - πώς συμπεριφέρεται η συνάρτηση όταν y<0.
Προφανώς, το γράφημα της συνάρτησης τείνει να διασχίσει τον άξονα y, αλλά δεν θα μπορέσει να το κάνει αυτό, αφού ο φυσικός λογάριθμος του x<0 не существует.
Φυσικό όριο κούτσουρομπορεί να γραφτεί ως εξής:
Τύπος για την αλλαγή της βάσης ενός λογάριθμου
Η ενασχόληση με έναν φυσικό λογάριθμο είναι πολύ πιο εύκολη από την αντιμετώπιση ενός λογάριθμου που έχει αυθαίρετη βάση. Γι' αυτό θα προσπαθήσουμε να μάθουμε πώς να ανάγουμε οποιονδήποτε λογάριθμο σε φυσικό ή να τον εκφράζουμε σε αυθαίρετη βάση μέσω φυσικών λογαρίθμων.
Ας ξεκινήσουμε με τη λογαριθμική ταυτότητα:
Τότε οποιοσδήποτε αριθμός ή μεταβλητή y μπορεί να αναπαρασταθεί ως:
όπου x είναι οποιοσδήποτε αριθμός (θετικός σύμφωνα με τις ιδιότητες του λογαρίθμου).
Αυτή η έκφραση μπορεί να λογαριθμηθεί και στις δύο πλευρές. Ας το κάνουμε αυτό με μια αυθαίρετη βάση z:
Ας χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα (μόνο αντί για "με" έχουμε μια έκφραση):
Από εδώ παίρνουμε τον καθολικό τύπο:
.
Ειδικότερα, αν z=e, τότε:
.
Καταφέραμε να αναπαραστήσουμε τον λογάριθμο σε μια αυθαίρετη βάση μέσω του λόγου δύο φυσικών λογαρίθμων.
Λύνουμε προβλήματα
Για καλύτερη πλοήγηση σε φυσικούς λογάριθμους, εξετάστε παραδείγματα πολλών προβλημάτων.
Εργασία 1. Είναι απαραίτητο να λυθεί η εξίσωση ln x = 3.
Λύση:Χρησιμοποιώντας τον ορισμό του λογάριθμου: αν , τότε , παίρνουμε:
Εργασία 2. Λύστε την εξίσωση (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3.
Λύση: Χρησιμοποιώντας τον ορισμό του λογάριθμου: αν , τότε , παίρνουμε:
.
Για άλλη μια φορά, εφαρμόζουμε τον ορισμό του λογάριθμου:
.
Ετσι:
.
Μπορείτε να υπολογίσετε την απάντηση κατά προσέγγιση ή μπορείτε να την αφήσετε σε αυτή τη φόρμα.
Εργασία 3.Λύστε την εξίσωση.
Λύση:Ας κάνουμε μια αντικατάσταση: t = ln x. Τότε η εξίσωση θα πάρει την ακόλουθη μορφή:
.
Έχουμε μια τετραγωνική εξίσωση. Ας βρούμε τη διάκρισή του:
Πρώτη ρίζα της εξίσωσης:
.
Δεύτερη ρίζα της εξίσωσης:
.
Αν θυμηθούμε ότι κάναμε την αντικατάσταση t = ln x, παίρνουμε:
Στη στατιστική και τη θεωρία πιθανοτήτων, τα λογαριθμικά μεγέθη είναι πολύ κοινά. Αυτό δεν προκαλεί έκπληξη, επειδή ο αριθμός e - συχνά αντανακλά τον ρυθμό αύξησης των εκθετικών τιμών.
Στην επιστήμη των υπολογιστών, στον προγραμματισμό και στη θεωρία των υπολογιστών, οι λογάριθμοι είναι αρκετά συνηθισμένοι, για παράδειγμα, για την αποθήκευση N bits στη μνήμη.
Στις θεωρίες των φράκταλ και των διαστάσεων χρησιμοποιούνται συνεχώς λογάριθμοι, αφού οι διαστάσεις των φράκταλ καθορίζονται μόνο με τη βοήθειά τους.
Στη μηχανική και τη φυσικήδεν υπάρχει τμήμα όπου δεν χρησιμοποιήθηκαν λογάριθμοι. Η βαρομετρική κατανομή, όλες οι αρχές της στατιστικής θερμοδυναμικής, η εξίσωση Tsiolkovsky και ούτω καθεξής είναι διαδικασίες που μπορούν να περιγραφούν μόνο μαθηματικά χρησιμοποιώντας λογάριθμους.
Στη χημεία, ο λογάριθμος χρησιμοποιείται στις εξισώσεις Nernst, περιγραφές διεργασιών οξειδοαναγωγής.
Περιέργως, ακόμη και στη μουσική, για να μάθουμε τον αριθμό των μερών μιας οκτάβας, χρησιμοποιούνται λογάριθμοι.
Φυσικός λογάριθμος Συνάρτηση y=ln x ιδιότητές του
Απόδειξη της κύριας ιδιότητας του φυσικού λογάριθμου
Μάθημα και παρουσίαση με θέματα: "Φυσικοί λογάριθμοι. Βάση φυσικού λογάριθμου. Λογάριθμος φυσικού αριθμού"
Πρόσθετα υλικά
Αγαπητοί χρήστες, μην ξεχάσετε να αφήσετε τα σχόλια, τα σχόλια, τις προτάσεις σας! Όλα τα υλικά ελέγχονται από ένα πρόγραμμα προστασίας από ιούς.
Διδακτικά βοηθήματα και προσομοιωτές στο ηλεκτρονικό κατάστημα "Integral" για την 11η τάξη
Διαδραστικό εγχειρίδιο για τις τάξεις 9-11 "Τριγωνομετρία"
Διαδραστικό εγχειρίδιο για τις τάξεις 10-11 "Λογάριθμοι"
Τι είναι ο φυσικός λογάριθμος
Παιδιά, στο τελευταίο μάθημα μάθαμε έναν νέο, ειδικό αριθμό - ε. Σήμερα θα συνεχίσουμε να δουλεύουμε με αυτόν τον αριθμό.Έχουμε μελετήσει λογάριθμους και γνωρίζουμε ότι η βάση του λογάριθμου μπορεί να είναι ένα σύνολο αριθμών που είναι μεγαλύτεροι από 0. Σήμερα θα εξετάσουμε επίσης τον λογάριθμο, ο οποίος βασίζεται στον αριθμό e. Ένας τέτοιος λογάριθμος συνήθως ονομάζεται φυσικός λογάριθμος . Έχει τη δική του σημείωση: $\ln(n)$ είναι ο φυσικός λογάριθμος. Αυτή η σημείωση είναι ισοδύναμη με: $\log_e(n)=\ln(n)$.
Οι εκθετικές και λογαριθμικές συναρτήσεις είναι αντίστροφες, τότε ο φυσικός λογάριθμος είναι το αντίστροφο της συνάρτησης: $y=e^x$.
Οι αντίστροφες συναρτήσεις είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία $y=x$.
Ας σχεδιάσουμε τον φυσικό λογάριθμο σχεδιάζοντας την εκθετική συνάρτηση ως προς την ευθεία $y=x$.
Αξίζει να σημειωθεί ότι η κλίση της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης $y=e^x$ στο σημείο (0;1) είναι 45°. Τότε η κλίση της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση του φυσικού λογάριθμου στο σημείο (1; 0) θα είναι επίσης ίση με 45°. Και οι δύο αυτές εφαπτομένες θα είναι παράλληλες στην ευθεία $y=x$. Ας σκιαγραφήσουμε τις εφαπτομένες: 
Ιδιότητες της συνάρτησης $y=\ln(x)$
1. $D(f)=(0;+∞)$.2. Δεν είναι ούτε ζυγός ούτε περιττός.
3. Αυξάνεται σε ολόκληρο τον τομέα ορισμού.
4. Δεν περιορίζεται από πάνω, δεν περιορίζεται από κάτω.
5. Δεν υπάρχει μέγιστη τιμή, δεν υπάρχει ελάχιστη τιμή.
6. Συνεχής.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. Κυρτό.
9. Διαφορετικό παντού.
Στο μάθημα των ανώτερων μαθηματικών αποδεικνύεται ότι η παράγωγος μιας αντίστροφης συνάρτησης είναι η αντίστροφη της παραγώγου της δεδομένης συνάρτησης.
Δεν έχει πολύ νόημα να εμβαθύνουμε στην απόδειξη, ας γράψουμε απλώς τον τύπο: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.
Παράδειγμα.
Υπολογίστε την τιμή της παραγώγου της συνάρτησης: $y=\ln(2x-7)$ στο σημείο $x=4$.
Λύση.
Γενικά, η συνάρτησή μας αντιπροσωπεύεται από τη συνάρτηση $y=f(kx+m)$, μπορούμε να υπολογίσουμε τις παραγώγους τέτοιων συναρτήσεων.
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
Ας υπολογίσουμε την τιμή της παραγώγου στο απαιτούμενο σημείο: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
Απάντηση: 2.
Παράδειγμα.
Σχεδιάστε μια εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης $y=ln(x)$ στο σημείο $x=e$.
Λύση.
Την εξίσωση της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης, στο σημείο $x=a$, θυμόμαστε καλά.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Ας υπολογίσουμε διαδοχικά τις απαιτούμενες τιμές.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
Η εφαπτομένη εξίσωση στο σημείο $x=e$ είναι η συνάρτηση $y=\frac(x)(e)$.
Ας σχεδιάσουμε τον φυσικό λογάριθμο και την εφαπτομένη. 
Παράδειγμα.
Διερευνήστε τη συνάρτηση για μονοτονία και άκρα: $y=x^6-6*ln(x)$.
Λύση.
Τομέας της συνάρτησης $D(y)=(0;+∞)$.
Βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
Η παράγωγος υπάρχει για όλα τα x από το πεδίο ορισμού, τότε δεν υπάρχουν κρίσιμα σημεία. Ας βρούμε σταθερά σημεία:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
Το σημείο $х=-1$ δεν ανήκει στον τομέα ορισμού. Τότε έχουμε ένα ακίνητο σημείο $х=1$. Βρείτε τα διαστήματα αύξησης και μείωσης: 
Το σημείο $x=1$ είναι το ελάχιστο σημείο και, στη συνέχεια, $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
Απάντηση: Η συνάρτηση μειώνεται στο τμήμα (0;1], η συνάρτηση αυξάνεται στην ακτίνα $ (\displaystyle ). Η απλότητα αυτού του ορισμού, η οποία είναι συνεπής με πολλούς άλλους τύπους που χρησιμοποιούν αυτόν τον λογάριθμο, εξηγεί την προέλευση του ονόματος "φυσικό".
Αν θεωρήσουμε τον φυσικό λογάριθμο ως πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, τότε είναι η αντίστροφη συνάρτηση της εκθετικής συνάρτησης, που οδηγεί στις ταυτότητες:
e log a = a (a > 0) ; (\displaystyle e^(\ln a)=a\quad (a>0);) log e a = a (a > 0) . (\displaystyle \ln e^(a)=a\quad (a>0).)Όπως όλοι οι λογάριθμοι, ο φυσικός λογάριθμος αντιστοιχίζει τον πολλαπλασιασμό σε πρόσθεση:
ln x y = ln x + ln y . (\displaystyle \ln xy=\ln x+\ln y.)Μπορεί να είναι, για παράδειγμα, μια αριθμομηχανή από το βασικό σύνολο προγραμμάτων του λειτουργικού συστήματος Windows. Ο σύνδεσμος για την εκκίνησή του είναι κρυμμένος αρκετά στο κύριο μενού του λειτουργικού συστήματος - ανοίξτε τον κάνοντας κλικ στο κουμπί "Έναρξη", στη συνέχεια ανοίξτε την ενότητα "Προγράμματα", μεταβείτε στην υποενότητα "Αξεσουάρ" και, στη συνέχεια, στο "Βοηθητικά προγράμματα" ενότητα και, τέλος, κάντε κλικ στο στοιχείο "Αριθμομηχανή" ". Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το πληκτρολόγιο και το παράθυρο διαλόγου εκκίνησης του προγράμματος αντί για το ποντίκι και να πλοηγηθείτε στο μενού - πατήστε το συνδυασμό πλήκτρων WIN + R, πληκτρολογήστε calc (αυτό είναι το όνομα του εκτελέσιμου αρχείου της αριθμομηχανής) και πατήστε το πλήκτρο Enter.
Αλλάξτε τη διεπαφή της αριθμομηχανής σε προηγμένη λειτουργία, επιτρέποντάς σας να . Από προεπιλογή, ανοίγει στην "κανονική" μορφή και χρειάζεστε "μηχανική" ή "" (ανάλογα με την έκδοση του λειτουργικού συστήματος που χρησιμοποιείτε). Αναπτύξτε την ενότητα "Προβολή" στο μενού και επιλέξτε την κατάλληλη γραμμή.
Εισαγάγετε το όρισμα του οποίου η φυσική τιμή πρόκειται να υπολογιστεί. Αυτό μπορεί να γίνει τόσο από το πληκτρολόγιο όσο και κάνοντας κλικ στα αντίστοιχα κουμπιά στη διεπαφή της αριθμομηχανής στην οθόνη.
Κάντε κλικ στο κουμπί με την ένδειξη ln - το πρόγραμμα θα υπολογίσει τον λογάριθμο στη βάση του e και θα εμφανίσει το αποτέλεσμα.
Χρησιμοποιήστε έναν από τους -υπολογιστές ως εναλλακτική για να υπολογίσετε την τιμή του φυσικού λογάριθμου. Για παράδειγμα, αυτό που βρίσκεται στο http://calc.org.ua. Η διεπαφή του είναι εξαιρετικά απλή - υπάρχει ένα μόνο πεδίο εισαγωγής όπου πρέπει να πληκτρολογήσετε την τιμή του αριθμού, τον λογάριθμο του οποίου θέλετε να υπολογίσετε. Ανάμεσα στα κουμπιά, βρείτε και κάντε κλικ σε αυτό που λέει ln. Το σενάριο αυτής της αριθμομηχανής δεν απαιτεί αποστολή δεδομένων στον διακομιστή και απάντηση, επομένως θα λάβετε το αποτέλεσμα του υπολογισμού σχεδόν αμέσως. Το μόνο χαρακτηριστικό που πρέπει να ληφθεί υπόψη είναι ότι το διαχωριστικό μεταξύ των κλασματικών και ακέραιων μερών του εισαγόμενου αριθμού πρέπει να είναι μια τελεία εδώ και όχι .
Ο όρος " λογάριθμοςΠροήλθε από δύο ελληνικές λέξεις, εκ των οποίων η μία σημαίνει «αριθμός» και η άλλη «σχέση». Δηλώνουν τη μαθηματική πράξη του υπολογισμού μιας μεταβλητής (εκθέτης), στην οποία πρέπει να αυξηθεί μια σταθερή τιμή (βάση) για να ληφθεί ο αριθμός που υποδεικνύεται κάτω από το πρόσημο λογάριθμοςΕΝΑ. Αν η βάση είναι ίση με μια μαθηματική σταθερά, που ονομάζεται αριθμός "e", τότε λογάριθμοςονομάζεται «φυσικό».
Θα χρειαστείτε
- Πρόσβαση στο Διαδίκτυο, Microsoft Office Excel ή αριθμομηχανή.
Εντολή
Χρησιμοποιήστε τις πολλές αριθμομηχανές που παρουσιάζονται στο Διαδίκτυο - αυτός είναι, ίσως, ένας εύκολος τρόπος για να υπολογίσετε το φυσικό α. Δεν θα χρειαστεί να αναζητήσετε την κατάλληλη υπηρεσία, καθώς πολλές μηχανές αναζήτησης διαθέτουν ενσωματωμένες αριθμομηχανές που είναι αρκετά κατάλληλες για εργασία με λογάριθμοςφίλε. Για παράδειγμα, μεταβείτε στην αρχική σελίδα της μεγαλύτερης διαδικτυακής μηχανής αναζήτησης - Google. Δεν απαιτούνται κουμπιά για την εισαγωγή τιμών και την επιλογή συναρτήσεων εδώ, απλώς πληκτρολογήστε την επιθυμητή μαθηματική ενέργεια στο πεδίο εισαγωγής ερωτήματος. Ας υπολογίσουμε λογάριθμοςκαι οι αριθμοί 457 στη βάση "e" εισάγουν ln 457 - αυτό θα είναι αρκετό για να εμφανίσει η Google με ακρίβεια οκτώ δεκαδικών ψηφίων (6.12468339) ακόμη και χωρίς να πατήσετε το κουμπί για να στείλετε ένα αίτημα στον διακομιστή.
Χρησιμοποιήστε την κατάλληλη ενσωματωμένη συνάρτηση εάν χρειάζεται να υπολογίσετε την τιμή ενός φυσικού λογάριθμοςαλλά εμφανίζεται κατά την εργασία με δεδομένα στο δημοφιλές πρόγραμμα επεξεργασίας υπολογιστικών φύλλων Microsoft Office Excel. Αυτή η συνάρτηση καλείται εδώ χρησιμοποιώντας τη συμβατική σημείωση τέτοια λογάριθμοςκαι στο κεφαλαίο - LN. Επιλέξτε το κελί στο οποίο πρέπει να εμφανίζεται το αποτέλεσμα του υπολογισμού και εισαγάγετε ένα σύμβολο ίσου - έτσι πρέπει να ξεκινούν οι εγγραφές στα κελιά που περιέχουν στην υποενότητα "Τυπικό" της ενότητας "Όλα τα προγράμματα" του κύριου μενού σε αυτόν τον πίνακα συντάκτης. Αλλάξτε την αριθμομηχανή σε μια πιο λειτουργική λειτουργία πατώντας τη συντόμευση πληκτρολογίου Alt + 2. Στη συνέχεια, εισαγάγετε την τιμή, φυσικό λογάριθμοςπου θέλετε να υπολογίσετε και κάντε κλικ στο κουμπί στη διεπαφή του προγράμματος, που επισημαίνεται με τα σύμβολα ln. Η εφαρμογή θα εκτελέσει τον υπολογισμό και θα εμφανίσει το αποτέλεσμα.
Σχετικά βίντεο
