Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 3 και του 2. Κοινός διαιρέτης και πολλαπλάσιο

Δεύτερος αριθμός: b=

Διαχωριστής ψηφίωνΧωρίς διαχωριστικό χώρου " ´

Αποτέλεσμα:

Μεγαλύτερος Κοινός Διαιρέτης gcd( ένα,σι)=6

Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του LCM( ένα,σι)=468

Ο μεγαλύτερος φυσικός αριθμός με τον οποίο διαιρούνται οι αριθμοί a και b χωρίς υπόλοιπο ονομάζεται μέγιστο κοινό διαιρέτη(gcd) αυτών των αριθμών. Συμβολίζεται gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) ή hcf(a,b).

Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο(LCM) δύο ακεραίων a και b είναι ο μικρότερος φυσικός αριθμός που διαιρείται με το a και το b χωρίς υπόλοιπο. Συμβολίζεται LCM(a,b) ή lcm(a,b).

Οι ακέραιοι α και β λέγονται coprimeαν δεν έχουν κοινούς διαιρέτες εκτός από +1 και −1.

Μέγιστο κοινό διαιρέτη

Ας δοθούν δύο θετικούς αριθμούς ένα 1 και ένα 2 1). Απαιτείται να βρεθεί ένας κοινός διαιρέτης αυτών των αριθμών, δηλ. βρείτε έναν τέτοιο αριθμό λ , που διαιρεί τους αριθμούς ένα 1 και ένα 2 ταυτόχρονα. Ας περιγράψουμε τον αλγόριθμο.

1) Σε αυτό το άρθρο, η λέξη αριθμός θα σημαίνει έναν ακέραιο.

Αφήνω ένα 1 ≥ ένα 2 και ας

Οπου Μ 1 , ένα 3 είναι κάποιοι ακέραιοι αριθμοί, ένα 3 <ένα 2 (υπόλοιπο από τη διαίρεση ένα 1 σε ένα 2 θα πρέπει να είναι μικρότερο ένα 2).

Ας το προσποιηθούμε λ χωρίζει ένα 1 και ένα 2, λοιπόν λ χωρίζει Μ 1 ένα 2 και λ χωρίζει ένα 1 −Μ 1 ένα 2 =ένα 3 (Ισχυρισμός 2 του άρθρου «Διαιρετότητα αριθμών. Πρόσημο διαιρετότητας»). Από αυτό προκύπτει ότι κάθε κοινός διαιρέτης ένα 1 και έναΤο 2 είναι ένας κοινός διαιρέτης ένα 2 και ένα 3 . Το αντίστροφο ισχύει επίσης αν λ κοινός διαιρέτης ένα 2 και ένα 3, λοιπόν Μ 1 ένα 2 και ένα 1 =Μ 1 ένα 2 +ένα 3 χωρίζονται επίσης σε λ . Εξ ου και ο κοινός διαιρέτης ένα 2 και έναΤο 3 είναι επίσης κοινός διαιρέτης ένα 1 και ένα 2. Επειδή ένα 3 <ένα 2 ≤ένα 1 , τότε μπορούμε να πούμε ότι η λύση στο πρόβλημα της εύρεσης κοινού διαιρέτη αριθμών ένα 1 και έναΤο 2 ανάγεται σε απλούστερο πρόβλημα εύρεσης κοινού διαιρέτη αριθμών ένα 2 και ένα 3 .

Αν ένα 3 ≠0, τότε μπορούμε να διαιρέσουμε ένα 2 σε ένα 3 . Επειτα

,

Οπου Μ 1 και ένα 4 είναι κάποιοι ακέραιοι αριθμοί, ( ένα 4 υπόλοιπο διαίρεσης ένα 2 σε ένα 3 (ένα 4 <ένα 3)). Με παρόμοιο συλλογισμό καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι οι κοινοί διαιρέτες των αριθμών ένα 3 και έναΤο 4 είναι το ίδιο με τους κοινούς διαιρέτες των αριθμών ένα 2 και ένα 3 και επίσης με κοινούς διαιρέτες ένα 1 και ένα 2. Επειδή ένα 1 , ένα 2 , ένα 3 , ένα 4 , ... αριθμοί που μειώνονται συνεχώς, και δεδομένου ότι υπάρχει ένας πεπερασμένος αριθμός ακεραίων μεταξύ ένα 2 και 0, μετά σε κάποιο βήμα n, το υπόλοιπο της διαίρεσης ένα n επάνω ένα n+1 θα είναι ίσο με μηδέν ( ένα n+2=0).

.

Κάθε κοινός διαιρέτης λ αριθμοί ένα 1 και έναΤο 2 είναι επίσης διαιρέτης αριθμών ένα 2 και ένα 3 , ένα 3 και ένα 4 , .... ένα n και ένα n+1 . Αληθεύει και το αντίστροφο, κοινοί διαιρέτες αριθμών ένα n και έναΤο n+1 είναι επίσης διαιρέτες αριθμών ένα n−1 και ένα n , .... , ένα 2 και ένα 3 , ένα 1 και ένα 2. Αλλά ο κοινός διαιρέτης ένα n και έναΤο n+1 είναι ένας αριθμός ένα n+1 , επειδή ένα n και έναΤα n+1 διαιρούνται με ένα n+1 (θυμηθείτε το ένα n+2=0). Ως εκ τούτου έναΤο n+1 είναι επίσης διαιρέτης αριθμών ένα 1 και ένα 2 .

Σημειώστε ότι ο αριθμός έναΤο n+1 είναι ο μεγαλύτερος διαιρέτης αριθμού ένα n και ένα n+1 , αφού ο μεγαλύτερος διαιρέτης ένα n+1 είναι ο ίδιος ένα n+1 . Αν έναΤο n + 1 μπορεί να αναπαρασταθεί ως γινόμενο ακεραίων, τότε αυτοί οι αριθμοί είναι επίσης κοινοί διαιρέτες αριθμών ένα 1 και ένα 2. Αριθμός ένα n+1 καλούνται μέγιστο κοινό διαιρέτηαριθμοί ένα 1 και ένα 2 .

Αριθμοί ένα 1 και έναΤο 2 μπορεί να είναι και θετικοί και αρνητικοί αριθμοί. Εάν ένας από τους αριθμούς είναι ίσος με μηδέν, τότε ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης αυτών των αριθμών θα είναι ίσος με την απόλυτη τιμή του άλλου αριθμού. Ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης μηδενικών αριθμών δεν ορίζεται.

Ο παραπάνω αλγόριθμος ονομάζεται Ο αλγόριθμος του Ευκλείδηνα βρούμε τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη δύο ακεραίων.

Ένα παράδειγμα εύρεσης του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη δύο αριθμών

Βρείτε τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη δύο αριθμών 630 και 434.

• Βήμα 1. Διαιρέστε τον αριθμό 630 με το 434. Το υπόλοιπο είναι 196.
• Βήμα 2. Διαιρέστε τον αριθμό 434 με το 196. Το υπόλοιπο είναι 42.
• Βήμα 3. Διαιρέστε τον αριθμό 196 με 42. Το υπόλοιπο είναι 28.
• Βήμα 4. Διαιρέστε τον αριθμό 42 με 28. Το υπόλοιπο είναι 14.
• Βήμα 5. Διαιρέστε τον αριθμό 28 με 14. Το υπόλοιπο είναι 0.

Στο βήμα 5, το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι 0. Επομένως, ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης των αριθμών 630 και 434 είναι το 14. Σημειώστε ότι οι αριθμοί 2 και 7 είναι επίσης διαιρέτες των αριθμών 630 και 434.

Συμπρώτοι αριθμοί

Ορισμός 1. Έστω ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης των αριθμών ένα 1 και ένα 2 ισούται με ένα. Τότε καλούνται αυτοί οι αριθμοί συμπρώτους αριθμούςπου δεν έχουν κοινό διαιρέτη.

Θεώρημα 1. Αν ένα 1 και ένα 2 σχετικά πρώτοι αριθμοί, και λ κάποιος αριθμός και μετά οποιοσδήποτε κοινός διαιρέτης αριθμών λα 1 και έναΤο 2 είναι επίσης ένας κοινός διαιρέτης των αριθμών λ Και ένα 2 .

Απόδειξη. Εξετάστε τον αλγόριθμο του Ευκλείδη για την εύρεση του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη των αριθμών ένα 1 και ένα 2 (βλ. παραπάνω).

.

Από τις συνθήκες του θεωρήματος προκύπτει ότι ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης των αριθμών ένα 1 και ένα 2, και επομένως ένα n και ένα n+1 είναι 1. Δηλ. ένα n+1=1.

Ας πολλαπλασιάσουμε όλες αυτές τις ισότητες επί λ , Επειτα

.

Έστω ο κοινός διαιρέτης ένα 1 λ Και ένα 2 είναι δ . Επειτα δ μπαίνει ως παράγοντας σε ένα 1 λ , Μ 1 ένα 2 λ και στο ένα 1 λ -Μ 1 ένα 2 λ =ένα 3 λ (Βλέπε «Διαιρετότητα αριθμών», Δήλωση 2). Περαιτέρω δ μπαίνει ως παράγοντας σε ένα 2 λ Και Μ 2 ένα 3 λ , και ως εκ τούτου εισέρχεται ως παράγοντας ένα 2 λ -Μ 2 ένα 3 λ =ένα 4 λ .

Συλλογιζόμενοι με αυτόν τον τρόπο, είμαστε πεπεισμένοι ότι δ μπαίνει ως παράγοντας σε ένα n−1 λ Και Μ n−1 ένα n λ , και επομένως σε ένα n−1 λ −Μ n−1 ένα n λ =ένα n+1 λ . Επειδή ένα n+1 =1, τότε δ μπαίνει ως παράγοντας σε λ . Εξ ου και ο αριθμός δ είναι ένας κοινός διαιρέτης των αριθμών λ Και ένα 2 .

Εξετάστε ειδικές περιπτώσεις του Θεωρήματος 1.

Συνέπεια 1. Αφήνω έναΚαι ντοΟι πρώτοι αριθμοί είναι σχετικά σι. Μετά το προϊόν τους μετα Χριστονείναι πρώτος αριθμός σε σχέση με σι.

Πραγματικά. Από το Θεώρημα 1 μετα ΧριστονΚαι σιέχουν τους ίδιους κοινούς διαιρέτες με ντοΚαι σι. Αλλά οι αριθμοί ντοΚαι σι coprime, δηλ. έχουν έναν μόνο κοινό διαιρέτη 1. Τότε μετα ΧριστονΚαι σιέχουν επίσης έναν κοινό διαιρέτη 1. Ως εκ τούτου μετα ΧριστονΚαι σιαμοιβαία απλή.

Συνέπεια 2. Αφήνω έναΚαι σισυμπρώτοι αριθμοί και ας σιχωρίζει ακ. Επειτα σιχωρίζει και κ.

Πραγματικά. Από την προϋπόθεση του ισχυρισμού ακΚαι σιέχουν κοινό διαιρέτη σι. Δυνάμει του Θεωρήματος 1, σιπρέπει να είναι κοινός διαιρέτης σιΚαι κ. Ως εκ τούτου σιχωρίζει κ.

Το συμπέρασμα 1 μπορεί να γενικευτεί.

Συνέπεια 3. 1. Αφήστε τους αριθμούς ένα 1 , ένα 2 , ένα 3 , ..., έναΤα m είναι πρώτοι σε σχέση με τον αριθμό σι. Επειτα ένα 1 ένα 2 , ένα 1 ένα 2 · ένα 3 , ..., ένα 1 ένα 2 ένα 3 ··· ένα m , το γινόμενο αυτών των αριθμών είναι πρώτος ως προς τον αριθμό σι.

2. Ας έχουμε δύο σειρές αριθμών

έτσι ώστε κάθε αριθμός της πρώτης σειράς να είναι πρώτος σε σχέση με κάθε αριθμό της δεύτερης σειράς. Στη συνέχεια το προϊόν

Απαιτείται η εύρεση τέτοιων αριθμών που διαιρούνται με καθέναν από αυτούς τους αριθμούς.

Αν ο αριθμός διαιρείται με ένα 1 , τότε μοιάζει ΑΝΩΝΥΜΗ ΕΤΑΙΡΙΑ 1, όπου μικρόκάποιο νούμερο. Αν qείναι ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης των αριθμών ένα 1 και ένα 2, λοιπόν

Οπου μικρόΤο 1 είναι κάποιος ακέραιος αριθμός. Επειτα

είναι ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο αριθμών ένα 1 και ένα 2 .

ένα 1 και ένα 2 συμπρώτος, τότε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών ένα 1 και ένα 2:

Βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών.

Από τα παραπάνω προκύπτει ότι οποιοδήποτε πολλαπλάσιο των αριθμών ένα 1 , ένα 2 , έναΤο 3 πρέπει να είναι πολλαπλάσιο αριθμών ε Και ένα 3 και αντίστροφα. Έστω το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών ε Και ένα 3 είναι ε 1 . Επιπλέον, πολλαπλάσιο αριθμών ένα 1 , ένα 2 , ένα 3 , έναΤο 4 πρέπει να είναι πολλαπλάσιο αριθμών ε 1 και ένα 4 . Έστω το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών ε 1 και ένα 4 είναι ε 2. Έτσι, ανακαλύψαμε ότι όλα τα πολλαπλάσια των αριθμών ένα 1 , ένα 2 , ένα 3 ,...,έναΤα m συμπίπτουν με πολλαπλάσια κάποιου συγκεκριμένου αριθμού ε n , που ονομάζεται το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των δεδομένων αριθμών.

Στη συγκεκριμένη περίπτωση που οι αριθμοί ένα 1 , ένα 2 , ένα 3 ,...,ένα m συμπρώτος, τότε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών ένα 1 , ένα 2 όπως φαίνεται παραπάνω έχει τη μορφή (3). Περαιτέρω, από τότε ένα 3 πρώτοι ως προς τους αριθμούς ένα 1 , ένα 2, λοιπόν έναΤο 3 είναι πρώτος σχετικός αριθμός ένα 1 · ένα 2 (Συνέπεια 1). Άρα το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών ένα 1 ,ένα 2 ,έναΤο 3 είναι ένας αριθμός ένα 1 · ένα 2 · ένα 3 . Επιχειρηματολογώντας με παρόμοιο τρόπο, φτάνουμε στους παρακάτω ισχυρισμούς.

Δήλωση 1. Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο συμπρώτων αριθμών ένα 1 , ένα 2 , ένα 3 ,...,ένα m είναι ίσο με το γινόμενο τους ένα 1 · ένα 2 · ένα 3 ··· έναΜ .

Δήλωση 2. Κάθε αριθμός που διαιρείται με καθέναν από τους συμπρώιμους αριθμούς ένα 1 , ένα 2 , ένα 3 ,...,έναΤο m διαιρείται επίσης με το γινόμενο τους ένα 1 · ένα 2 · ένα 3 ··· έναΜ .

Πολλαπλάσιο ενός αριθμού είναι ένας αριθμός που διαιρείται με έναν δεδομένο αριθμό χωρίς υπόλοιπο. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (LCM) μιας ομάδας αριθμών είναι ο μικρότερος αριθμός που διαιρείται ομοιόμορφα με κάθε αριθμό της ομάδας. Για να βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο, πρέπει να βρείτε τους πρώτους παράγοντες των δεδομένων αριθμών. Επίσης, το LCM μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας έναν αριθμό άλλων μεθόδων που ισχύουν για ομάδες δύο ή περισσότερων αριθμών.

Βήματα

Ένας αριθμός πολλαπλών

Δείτε αυτούς τους αριθμούς.Η μέθοδος που περιγράφεται εδώ χρησιμοποιείται καλύτερα όταν δίνονται δύο αριθμοί που είναι και οι δύο μικρότεροι από 10. Εάν δίνονται μεγάλοι αριθμοί, χρησιμοποιήστε διαφορετική μέθοδο.

• Για παράδειγμα, βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών 5 και 8. Αυτοί είναι μικροί αριθμοί, επομένως μπορεί να χρησιμοποιηθεί αυτή η μέθοδος.

1. Πολλαπλάσιο ενός αριθμού είναι ένας αριθμός που διαιρείται με έναν δεδομένο αριθμό χωρίς υπόλοιπο. Πολλαπλοί αριθμοί μπορούν να βρεθούν στον πίνακα πολλαπλασιασμού.

   • Για παράδειγμα, οι αριθμοί που είναι πολλαπλάσιοι του 5 είναι: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Γράψτε μια σειρά αριθμών που είναι πολλαπλάσια του πρώτου αριθμού.Κάντε το κάτω από τα πολλαπλάσια του πρώτου αριθμού για να συγκρίνετε δύο σειρές αριθμών.

   • Για παράδειγμα, οι αριθμοί που είναι πολλαπλάσιοι του 8 είναι: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 και 64.

3. Βρείτε τον μικρότερο αριθμό που εμφανίζεται και στις δύο σειρές πολλαπλών.Ίσως χρειαστεί να γράψετε μεγάλες σειρές πολλαπλών για να βρείτε το σύνολο. Ο μικρότερος αριθμός που εμφανίζεται και στις δύο σειρές πολλαπλών είναι το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο.

   • Για παράδειγμα, ο μικρότερος αριθμός που εμφανίζεται στη σειρά των πολλαπλασίων του 5 και του 8 είναι το 40. Επομένως, το 40 είναι το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο του 5 και του 8.

   Πρωταρχική παραγοντοποίηση

   1. Δείτε αυτούς τους αριθμούς.Η μέθοδος που περιγράφεται εδώ χρησιμοποιείται καλύτερα όταν δίνονται δύο αριθμοί που είναι και οι δύο μεγαλύτεροι από 10. Εάν δίνονται μικρότεροι αριθμοί, χρησιμοποιήστε διαφορετική μέθοδο.

      • Για παράδειγμα, βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών 20 και 84. Καθένας από τους αριθμούς είναι μεγαλύτερος από το 10, επομένως μπορεί να χρησιμοποιηθεί αυτή η μέθοδος.

   2. Παραγοντοποιήστε τον πρώτο αριθμό.Δηλαδή, πρέπει να βρείτε τέτοιους πρώτους αριθμούς, όταν πολλαπλασιαστούν, παίρνετε έναν δεδομένο αριθμό. Έχοντας βρει τους πρώτους παράγοντες, καταγράψτε τους ως ισότητα.

      • Για παράδειγμα, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\φορές 10=20)Και 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). Έτσι, οι πρώτοι παράγοντες του αριθμού 20 είναι οι αριθμοί 2, 2 και 5. Να τους γράψετε ως έκφραση: .

   3. Υπολογίστε τον δεύτερο αριθμό σε πρώτους παράγοντες.Κάντε το με τον ίδιο τρόπο που συνυπολογίσατε τον πρώτο αριθμό, δηλαδή βρείτε τέτοιους πρώτους αριθμούς που, όταν πολλαπλασιαστούν, θα λάβετε αυτόν τον αριθμό.

      • Για παράδειγμα, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\φορές 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\φορές 6=42)Και 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). Έτσι, οι πρώτοι παράγοντες του αριθμού 84 είναι οι αριθμοί 2, 7, 3 και 2. Γράψτε τους ως έκφραση: .

   4. Καταγράψτε τους κοινούς παράγοντες και στους δύο αριθμούς.Γράψτε τέτοιους παράγοντες ως πράξη πολλαπλασιασμού. Καθώς καταγράφετε κάθε παράγοντα, διαγράψτε τον και στις δύο παραστάσεις (εκφράσεις που περιγράφουν την αποσύνθεση αριθμών σε πρώτους παράγοντες).

      • Για παράδειγμα, ο κοινός παράγοντας και για τους δύο αριθμούς είναι 2, οπότε γράψτε 2 × (\displaystyle 2\φορές)και διαγράψτε το 2 και στις δύο εκφράσεις.
      • Ο κοινός παράγοντας και για τους δύο αριθμούς είναι ένας άλλος παράγοντας του 2, οπότε γράψτε 2 × 2 (\splaystyle 2\φορές 2)και διαγράψτε το δεύτερο 2 και στις δύο εκφράσεις.

   5. Προσθέστε τους υπόλοιπους παράγοντες στην πράξη πολλαπλασιασμού.Πρόκειται για παράγοντες που δεν διαγράφονται και στις δύο εκφράσεις, δηλαδή παράγοντες που δεν είναι κοινοί και στους δύο αριθμούς.

      • Για παράδειγμα, στην έκφραση 20 = 2 × 2 × 5 (\style display 20=2\φορές 2\φορές 5)Και τα δύο δύο (2) διαγράφονται επειδή είναι κοινοί παράγοντες. Ο παράγοντας 5 δεν είναι διαγραμμένος, οπότε γράψτε την πράξη πολλαπλασιασμού ως εξής: 2 × 2 × 5 (\προβολή στυλ 2\ φορές 2\ φορές 5)
      • Στην έκφραση 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\φορές 7\φορές 3\φορές 2)και τα δύο δυάρια (2) διαγράφονται επίσης. Οι συντελεστές 7 και 3 δεν διαγράφονται, οπότε γράψτε την πράξη πολλαπλασιασμού ως εξής: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\ στυλ εμφάνισης 2 \ φορές 2 \ φορές 5 \ φορές 7 \ φορές 3).

   6. Υπολογίστε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο.Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε τους αριθμούς στη γραπτή πράξη πολλαπλασιασμού.

      • Για παράδειγμα, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\style display 2\φορές 2\φορές 5\φορές 7\φορές 3=420). Άρα το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 20 και του 84 είναι το 420.

   Εύρεση κοινών διαιρετών

   1. Σχεδιάστε ένα πλέγμα όπως θα κάνατε για ένα παιχνίδι τικ-τακ.Ένα τέτοιο πλέγμα αποτελείται από δύο παράλληλες ευθείες που τέμνονται (σε ​​ορθή γωνία) με δύο άλλες παράλληλες ευθείες. Αυτό θα έχει ως αποτέλεσμα τρεις σειρές και τρεις στήλες (το πλέγμα μοιάζει πολύ με το σύμβολο #). Γράψτε τον πρώτο αριθμό στην πρώτη σειρά και στη δεύτερη στήλη. Γράψτε τον δεύτερο αριθμό στην πρώτη σειρά και στην τρίτη στήλη.

      • Για παράδειγμα, βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 18 και του 30. Γράψτε το 18 στην πρώτη γραμμή και τη δεύτερη στήλη και γράψτε το 30 στην πρώτη γραμμή και την τρίτη στήλη.

   2. Βρείτε τον διαιρέτη κοινό και στους δύο αριθμούς.Γράψτε το στην πρώτη γραμμή και την πρώτη στήλη. Είναι καλύτερο να αναζητήσετε πρώτους διαιρέτες, αλλά αυτό δεν είναι προαπαιτούμενο.

      • Για παράδειγμα, το 18 και το 30 είναι ζυγοί αριθμοί, άρα ο κοινός τους διαιρέτης είναι 2. Γράψτε λοιπόν το 2 στην πρώτη σειρά και την πρώτη στήλη.

   3. Διαιρέστε κάθε αριθμό με τον πρώτο διαιρέτη.Γράψτε κάθε πηλίκο κάτω από τον αντίστοιχο αριθμό. Το πηλίκο είναι το αποτέλεσμα της διαίρεσης δύο αριθμών.

      • Για παράδειγμα, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), οπότε γράψτε 9 κάτω από 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), οπότε γράψτε 15 κάτω από 30.

   4. Βρείτε έναν διαιρέτη κοινό και στα δύο πηλίκα.Εάν δεν υπάρχει τέτοιος διαιρέτης, παραλείψτε τα επόμενα δύο βήματα. Διαφορετικά, σημειώστε τον διαιρέτη στη δεύτερη γραμμή και την πρώτη στήλη.

      • Για παράδειγμα, το 9 και το 15 διαιρούνται με το 3, οπότε γράψτε το 3 στη δεύτερη σειρά και την πρώτη στήλη.

   5. Διαιρέστε κάθε πηλίκο με τον δεύτερο διαιρέτη.Γράψτε κάθε αποτέλεσμα διαίρεσης κάτω από το αντίστοιχο πηλίκο.

      • Για παράδειγμα, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), οπότε γράψτε 3 κάτω από 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), οπότε γράψτε 5 κάτω από 15.

   6. Εάν είναι απαραίτητο, συμπληρώστε το πλέγμα με επιπλέον κελιά.Επαναλάβετε τα παραπάνω βήματα μέχρι τα πηλίκα να έχουν κοινό διαιρέτη.

   7. Κυκλώστε τους αριθμούς στην πρώτη στήλη και την τελευταία σειρά του πλέγματος.Στη συνέχεια, γράψτε τους επισημασμένους αριθμούς ως λειτουργία πολλαπλασιασμού.

      • Για παράδειγμα, οι αριθμοί 2 και 3 βρίσκονται στην πρώτη στήλη και οι αριθμοί 3 και 5 βρίσκονται στην τελευταία σειρά, οπότε γράψτε την πράξη πολλαπλασιασμού ως εξής: 2 × 3 × 3 × 5 (\προβολή στυλ 2\ φορές 3\ φορές 3\ φορές 5).

   8. Βρείτε το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού των αριθμών.Αυτό θα υπολογίσει το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των δύο δεδομένων αριθμών.

      • Για παράδειγμα, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\προβολή στυλ 2\ φορές 3\ φορές 3\ φορές 5=90). Άρα το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 18 και του 30 είναι το 90.

   Ο αλγόριθμος του Ευκλείδη

   1. Θυμηθείτε την ορολογία που σχετίζεται με τη λειτουργία διαίρεσης.Το μέρισμα είναι ο αριθμός που διαιρείται. Ο διαιρέτης είναι ο αριθμός με τον οποίο διαιρείται. Το πηλίκο είναι το αποτέλεσμα της διαίρεσης δύο αριθμών. Το υπόλοιπο είναι ο αριθμός που απομένει όταν διαιρεθούν δύο αριθμοί.

      • Για παράδειγμα, στην έκφραση 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2)υπόλοιπο. 3:
        Το 15 είναι το διαιρετό
        Το 6 είναι ο διαιρέτης
        2 είναι ιδιωτικό
        3 είναι το υπόλοιπο.

Αλλά πολλοί φυσικοί αριθμοί διαιρούνται ομοιόμορφα με άλλους φυσικούς αριθμούς.

Για παράδειγμα:

Ο αριθμός 12 διαιρείται με το 1, με το 2, με το 3, με το 4, με το 6, με το 12.

Ο αριθμός 36 διαιρείται με το 1, με το 2, με το 3, με το 4, με το 6, με το 12, με το 18, με το 36.

Οι αριθμοί με τους οποίους διαιρείται ο αριθμός (για το 12 είναι 1, 2, 3, 4, 6 και 12) λέγονται διαιρέτες αριθμών. Διαιρέτης φυσικού αριθμού έναείναι ο φυσικός αριθμός που διαιρεί τον δεδομένο αριθμό έναχωρίς ίχνος. Ένας φυσικός αριθμός που έχει περισσότερους από δύο παράγοντες ονομάζεται σύνθετος .

Σημειώστε ότι οι αριθμοί 12 και 36 έχουν κοινούς διαιρέτες. Αυτοί είναι οι αριθμοί: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Ο μεγαλύτερος διαιρέτης αυτών των αριθμών είναι το 12. Ο κοινός διαιρέτης αυτών των δύο αριθμών έναΚαι σιείναι ο αριθμός με τον οποίο διαιρούνται και οι δύο αριθμοί χωρίς υπόλοιπο έναΚαι σι.

κοινό πολλαπλάσιοαρκετοί αριθμοί λέγονται ο αριθμός που διαιρείται με καθέναν από αυτούς τους αριθμούς. Για παράδειγμα, οι αριθμοί 9, 18 και 45 έχουν κοινό πολλαπλάσιο του 180. Αλλά το 90 και το 360 είναι επίσης κοινά πολλαπλάσια τους. Ανάμεσα σε όλα τα jcommon πολλαπλάσια, υπάρχει πάντα το μικρότερο, στην περίπτωση αυτή είναι το 90. Αυτός ο αριθμός ονομάζεται ελάχιστακοινό πολλαπλάσιο (LCM).

Ο LCM είναι πάντα ένας φυσικός αριθμός, ο οποίος πρέπει να είναι μεγαλύτερος από τον μεγαλύτερο από τους αριθμούς για τους οποίους ορίζεται.

Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (LCM). Ιδιότητες.

Ανταλλαγή:

Συνεταιρισμός:

Συγκεκριμένα, αν και είναι συμπρώτοι αριθμοί , τότε:

Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο δύο ακεραίων ΜΚαι nείναι διαιρέτης όλων των άλλων κοινών πολλαπλασίων ΜΚαι n. Επιπλέον, το σύνολο των κοινών πολλαπλασίων m,nσυμπίπτει με το σύνολο των πολλαπλασίων για το LCM( m,n).

Οι ασυμπτωτικές για μπορούν να εκφραστούν με όρους ορισμένων αριθμητικών συναρτήσεων.

Ετσι, Λειτουργία Chebyshev. Και:

Αυτό προκύπτει από τον ορισμό και τις ιδιότητες της συνάρτησης Landau g(n).

Τι προκύπτει από τον νόμο κατανομής των πρώτων αριθμών.

Εύρεση του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου (LCM).

NOC( α, β) μπορεί να υπολογιστεί με διάφορους τρόπους:

1. Εάν είναι γνωστός ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη σχέση του με το LCM:

2. Ας είναι γνωστή η κανονική αποσύνθεση και των δύο αριθμών σε πρώτους παράγοντες:

Οπου p 1 ,...,p kείναι διάφοροι πρώτοι αριθμοί, και d 1 ,...,dkΚαι e 1 ,...,εκείναι μη αρνητικοί ακέραιοι (μπορούν να είναι μηδέν αν ο αντίστοιχος πρώτος δεν είναι στην επέκταση).

Στη συνέχεια LCM ( ένα,σι) υπολογίζεται με τον τύπο:

Με άλλα λόγια, η επέκταση LCM περιέχει όλους τους πρώτους παράγοντες που περιλαμβάνονται σε τουλάχιστον μία από τις επεκτάσεις αριθμού α, β, και λαμβάνεται ο μεγαλύτερος από τους δύο εκθέτες αυτού του παράγοντα.

Παράδειγμα:

Ο υπολογισμός του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου πολλών αριθμών μπορεί να μειωθεί σε αρκετούς διαδοχικούς υπολογισμούς του LCM δύο αριθμών:

Κανόνας.Για να βρείτε το LCM μιας σειράς αριθμών, χρειάζεστε:

- Αποσύνθεση αριθμών σε πρώτους παράγοντες.

- μεταφέρετε τη μεγαλύτερη επέκταση στους συντελεστές του επιθυμητού προϊόντος (το γινόμενο των παραγόντων του μεγαλύτερου αριθμού των δεδομένων) και στη συνέχεια προσθέστε παράγοντες από την επέκταση άλλων αριθμών που δεν εμφανίζονται στον πρώτο αριθμό ή βρίσκονται σε αυτόν μικρότερο αριθμό φορών?

- το προκύπτον γινόμενο των πρώτων παραγόντων θα είναι το LCM των δεδομένων αριθμών.

Οποιοιδήποτε δύο ή περισσότεροι φυσικοί αριθμοί έχουν το δικό τους LCM. Αν οι αριθμοί δεν είναι πολλαπλάσιοι ο ένας του άλλου ή δεν έχουν τους ίδιους συντελεστές στην επέκταση, τότε το LCM τους είναι ίσο με το γινόμενο αυτών των αριθμών.

Οι πρώτοι παράγοντες του αριθμού 28 (2, 2, 7) συμπληρώθηκαν με συντελεστή 3 (ο αριθμός 21), το γινόμενο (84) που προκύπτει θα είναι ο μικρότερος αριθμός που διαιρείται με το 21 και το 28.

Οι πρώτοι παράγοντες του μεγαλύτερου αριθμού 30 συμπληρώθηκαν με συντελεστή 5 του αριθμού 25, το γινόμενο 150 που προκύπτει είναι μεγαλύτερο από τον μεγαλύτερο αριθμό 30 και διαιρείται με όλους τους δεδομένους αριθμούς χωρίς υπόλοιπο. Αυτό είναι το μικρότερο δυνατό γινόμενο (150, 250, 300...) του οποίου όλοι οι αριθμοί είναι πολλαπλάσιοι.

Οι αριθμοί 2,3,11,37 είναι πρώτοι, άρα το LCM τους είναι ίσο με το γινόμενο των δεδομένων αριθμών.

κανόνας. Για να υπολογίσετε το LCM των πρώτων αριθμών, πρέπει να πολλαπλασιάσετε όλους αυτούς τους αριθμούς μαζί.

Αλλη επιλογή:

Για να βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (LCM) πολλών αριθμών χρειάζεστε:

1) αντιπροσωπεύει κάθε αριθμό ως γινόμενο των πρώτων παραγόντων του, για παράδειγμα:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) Καταγράψτε τις δυνάμεις όλων των πρώτων παραγόντων:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) Καταγράψτε όλους τους πρώτους διαιρέτες (πολλαπλασιαστές) καθενός από αυτούς τους αριθμούς.

4) επιλέξτε τον μεγαλύτερο βαθμό καθενός από αυτούς, που βρίσκεται σε όλες τις επεκτάσεις αυτών των αριθμών.

5) πολλαπλασιάστε αυτές τις δυνάμεις.

Παράδειγμα. Βρείτε το LCM των αριθμών: 168, 180 και 3024.

Λύση. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

Γράφουμε τις μεγαλύτερες δυνάμεις όλων των πρώτων διαιρετών και τις πολλαπλασιάζουμε:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Το θέμα «Πολλαπλοί αριθμοί» μελετάται στην Ε’ τάξη ολοκληρωμένου σχολείου. Στόχος του είναι να βελτιώσει τις γραπτές και προφορικές δεξιότητες των μαθηματικών υπολογισμών. Σε αυτό το μάθημα εισάγονται νέες έννοιες - "πολλαπλοί αριθμοί" και "διαιρέτες", η τεχνική εύρεσης διαιρετών και πολλαπλασίων ενός φυσικού αριθμού, η ικανότητα εύρεσης LCM με διάφορους τρόπους.

Αυτό το θέμα είναι πολύ σημαντικό. Οι γνώσεις σχετικά με αυτό μπορούν να εφαρμοστούν κατά την επίλυση παραδειγμάτων με κλάσματα. Για να γίνει αυτό, πρέπει να βρείτε τον κοινό παρονομαστή υπολογίζοντας το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (LCM).

Πολλαπλάσιο του Α είναι ένας ακέραιος που διαιρείται με το Α χωρίς υπόλοιπο.

Κάθε φυσικός αριθμός έχει έναν άπειρο αριθμό πολλαπλασίων του. Θεωρείται ότι είναι το λιγότερο. Ένα πολλαπλάσιο δεν μπορεί να είναι μικρότερο από τον ίδιο τον αριθμό.

Είναι απαραίτητο να αποδείξετε ότι ο αριθμός 125 είναι πολλαπλάσιο του αριθμού 5. Για να γίνει αυτό, πρέπει να διαιρέσετε τον πρώτο αριθμό με τον δεύτερο. Αν το 125 διαιρείται με το 5 χωρίς υπόλοιπο, τότε η απάντηση είναι ναι.

Αυτή η μέθοδος ισχύει για μικρούς αριθμούς.

Κατά τον υπολογισμό του LCM, υπάρχουν ειδικές περιπτώσεις.

1. Εάν πρέπει να βρείτε ένα κοινό πολλαπλάσιο για 2 αριθμούς (για παράδειγμα, 80 και 20), όπου ο ένας από αυτούς (80) διαιρείται χωρίς υπόλοιπο από τον άλλο (20), τότε αυτός ο αριθμός (80) είναι ο μικρότερος πολλαπλάσιο αυτών των δύο αριθμών.

LCM (80, 20) = 80.

2. Αν δύο δεν έχουν κοινό διαιρέτη, τότε μπορούμε να πούμε ότι το LCM τους είναι το γινόμενο αυτών των δύο αριθμών.

LCM (6, 7) = 42.

Εξετάστε το τελευταίο παράδειγμα. Το 6 και το 7 σε σχέση με το 42 είναι διαιρέτες. Διαιρούν ένα πολλαπλάσιο χωρίς υπόλοιπο.

Σε αυτό το παράδειγμα, το 6 και το 7 είναι διαιρέτες ζευγών. Το γινόμενο τους είναι ίσο με τον πιο πολλαπλό αριθμό (42).

Ένας αριθμός ονομάζεται πρώτος εάν διαιρείται μόνο με τον εαυτό του ή με το 1 (3:1=3, 3:3=1). Τα υπόλοιπα ονομάζονται σύνθετα.

Σε ένα άλλο παράδειγμα, πρέπει να προσδιορίσετε εάν το 9 είναι διαιρέτης σε σχέση με το 42.

42:9=4 (υπόλοιπο 6)

Απάντηση: Το 9 δεν είναι διαιρέτης του 42 γιατί η απάντηση έχει υπόλοιπο.

Ένας διαιρέτης διαφέρει από ένα πολλαπλάσιο στο ότι ο διαιρέτης είναι ο αριθμός με τον οποίο διαιρούνται οι φυσικοί αριθμοί και το ίδιο το πολλαπλάσιο διαιρείται με αυτόν τον αριθμό.

Ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης των αριθμών έναΚαι σι, πολλαπλασιαζόμενο με το μικρότερο πολλαπλάσιό τους, θα δώσει το γινόμενο των ίδιων των αριθμών έναΚαι σι.

Δηλαδή: GCD (a, b) x LCM (a, b) = a x b.

Τα κοινά πολλαπλάσια για πιο σύνθετους αριθμούς βρίσκονται με τον ακόλουθο τρόπο.

Για παράδειγμα, βρείτε το LCM για 168, 180, 3024.

Αποσυνθέτουμε αυτούς τους αριθμούς σε πρώτους παράγοντες, τους γράφουμε ως γινόμενο δυνάμεων:

168=2³x3¹x7¹

24х3³х5¹х7¹=15120

LCM (168, 180, 3024) = 15120.

Για να κατανοήσετε πώς να υπολογίσετε το LCM, θα πρέπει πρώτα να προσδιορίσετε την έννοια του όρου "πολλαπλά".

Πολλαπλάσιο του Α είναι ένας φυσικός αριθμός που διαιρείται με τον Α χωρίς υπόλοιπο. Έτσι, τα 15, 20, 25 και ούτω καθεξής μπορούν να θεωρηθούν πολλαπλάσια του 5.

Μπορεί να υπάρχει περιορισμένος αριθμός διαιρετών ενός συγκεκριμένου αριθμού, αλλά υπάρχει ένας άπειρος αριθμός πολλαπλασίων.

Κοινό πολλαπλάσιο φυσικών αριθμών είναι ένας αριθμός που διαιρείται με αυτούς χωρίς υπόλοιπο.

Πώς να βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών

Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (LCM) αριθμών (δύο, τρεις ή περισσότεροι) είναι ο μικρότερος φυσικός αριθμός που διαιρείται ομοιόμορφα με όλους αυτούς τους αριθμούς.

Για να βρείτε το NOC, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε διάφορες μεθόδους.

Για μικρούς αριθμούς, είναι βολικό να γράψετε σε μια γραμμή όλα τα πολλαπλάσια αυτών των αριθμών μέχρι να βρεθεί ένας κοινός μεταξύ τους. Τα πολλαπλάσια σημειώνονται στην εγγραφή με κεφαλαίο γράμμα Κ.

Για παράδειγμα, πολλαπλάσια του 4 μπορούν να γραφτούν ως εξής:

K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

Έτσι, μπορείτε να δείτε ότι το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών 4 και 6 είναι ο αριθμός 24. Αυτή η καταχώρηση εκτελείται ως εξής:

LCM(4, 6) = 24

Εάν οι αριθμοί είναι μεγάλοι, βρείτε το κοινό πολλαπλάσιο τριών ή περισσότερων αριθμών, τότε είναι καλύτερο να χρησιμοποιήσετε έναν άλλο τρόπο για τον υπολογισμό του LCM.

Για να ολοκληρώσετε την εργασία, είναι απαραίτητο να αποσυνθέσετε τους προτεινόμενους αριθμούς σε πρώτους παράγοντες.

Πρώτα πρέπει να γράψετε την επέκταση του μεγαλύτερου από τους αριθμούς σε μια γραμμή και κάτω από αυτήν - τους υπόλοιπους.

Στην επέκταση κάθε αριθμού, μπορεί να υπάρχει διαφορετικός αριθμός παραγόντων.

Για παράδειγμα, ας συνυπολογίσουμε τους αριθμούς 50 και 20 σε πρώτους παράγοντες.

Στην επέκταση του μικρότερου αριθμού θα πρέπει να υπογραμμιστούν οι παράγοντες που λείπουν στην επέκταση του πρώτου μεγαλύτερου αριθμού και στη συνέχεια να τους προσθέσουμε σε αυτόν. Στο παράδειγμα που παρουσιάζεται, λείπει ένα δυάρι.

Τώρα μπορούμε να υπολογίσουμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 20 και του 50.

LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Έτσι, το γινόμενο των πρώτων παραγόντων του μεγαλύτερου αριθμού και των παραγόντων του δεύτερου αριθμού, που δεν περιλαμβάνονται στην αποσύνθεση του μεγαλύτερου αριθμού, θα είναι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο.

Για να βρείτε το LCM τριών ή περισσότερων αριθμών, όλοι αυτοί θα πρέπει να αποσυντεθούν σε πρώτους παράγοντες, όπως στην προηγούμενη περίπτωση.

Για παράδειγμα, μπορείτε να βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Έτσι, μόνο δύο δυάδες από την αποσύνθεση του δεκαέξι δεν συμπεριλήφθηκαν στην παραγοντοποίηση ενός μεγαλύτερου αριθμού (το ένα είναι στην αποσύνθεση των είκοσι τεσσάρων).

Έτσι, πρέπει να προστεθούν στην αποσύνθεση ενός μεγαλύτερου αριθμού.

LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Υπάρχουν ειδικές περιπτώσεις προσδιορισμού του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου. Έτσι, εάν ένας από τους αριθμούς μπορεί να διαιρεθεί χωρίς υπόλοιπο με έναν άλλο, τότε ο μεγαλύτερος από αυτούς τους αριθμούς θα είναι το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο.

Για παράδειγμα, οι NOC των δώδεκα και είκοσι τεσσάρων θα ήταν είκοσι τέσσερις.

Εάν είναι απαραίτητο να βρεθεί το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο συμπρώτων αριθμών που δεν έχουν τους ίδιους διαιρέτες, τότε το LCM τους θα είναι ίσο με το γινόμενο τους.

Για παράδειγμα, LCM(10, 11) = 110.