लघुगणकीय असमानताएँ - ज्ञान हाइपरमार्केट। लघुगणकीय असमानताओं के बारे में सब कुछ

लघुगणकीय असमानताओं की संपूर्ण विविधता के बीच, चर आधार वाली असमानताओं का अलग से अध्ययन किया जाता है। उन्हें एक विशेष सूत्र के अनुसार हल किया जाता है, जो किसी कारण से स्कूल में शायद ही कभी पढ़ाया जाता है:

लॉग k (x ) f (x ) ∨ log k (x ) g (x ) ⇒ (f (x ) - g (x )) (k (x ) - 1) ∨ 0

जैकडॉ "∨" के बजाय, आप कोई भी असमानता चिह्न लगा सकते हैं: कम या ज्यादा। मुख्य बात यह है कि दोनों असमानताओं में संकेत समान हैं।

इसलिए हम लघुगणक से छुटकारा पा लेते हैं और समस्या को तर्कसंगत असमानता तक कम कर देते हैं। उत्तरार्द्ध को हल करना बहुत आसान है, लेकिन लघुगणक को त्यागने पर अतिरिक्त जड़ें दिखाई दे सकती हैं। उन्हें काटने के लिए, स्वीकार्य मूल्यों की सीमा का पता लगाना पर्याप्त है। यदि आप लघुगणक का ODZ भूल गए हैं, तो मैं दृढ़तापूर्वक इसे दोहराने की अनुशंसा करता हूँ - "लघुगणक क्या है" देखें।

स्वीकार्य मूल्यों की सीमा से संबंधित हर चीज़ को अलग से लिखा और हल किया जाना चाहिए:

एफ(एक्स) > 0; जी(एक्स) > 0; के(एक्स) > 0; के(एक्स) ≠ 1.

ये चार असमानताएँ एक प्रणाली का निर्माण करती हैं और इन्हें एक साथ पूरा किया जाना चाहिए। जब स्वीकार्य मूल्यों की सीमा पाई जाती है, तो इसे तर्कसंगत असमानता के समाधान के साथ पार करना बाकी है - और उत्तर तैयार है।

काम। असमानता का समाधान करें:

सबसे पहले, आइए लघुगणक का ODZ लिखें:

पहली दो असमानताएँ स्वचालित रूप से निष्पादित होती हैं, और अंतिम को लिखना होगा। चूँकि किसी संख्या का वर्ग शून्य होता है यदि और केवल यदि वह संख्या स्वयं शून्य हो, तो हमारे पास है:

एक्स 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
एक्स ≠ 0.

यह पता चलता है कि लघुगणक का ODZ शून्य को छोड़कर सभी संख्याएँ हैं: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞)। अब हम मुख्य असमानता को हल करते हैं:

हम लघुगणकीय असमानता से तर्कसंगत असमानता में परिवर्तन करते हैं। मूल असमानता में "इससे कम" चिह्न है, इसलिए परिणामी असमानता भी "इससे कम" चिह्न के साथ होनी चाहिए। हमारे पास है:

(10 - (एक्स 2 + 1)) (एक्स 2 + 1 - 1)< 0;
(9 − x2) x2< 0;
(3 − एक्स) (3 + एक्स) एक्स 2< 0.

इस अभिव्यक्ति के शून्य: x = 3; एक्स = -3; x = 0. इसके अलावा, x = 0 दूसरी बहुलता का मूल है, जिसका अर्थ है कि इससे गुजरने पर फ़ंक्शन का चिह्न नहीं बदलता है। हमारे पास है:

हमें x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞) मिलता है। यह सेट पूरी तरह से लघुगणक के ODZ में समाहित है, जिसका अर्थ है कि यह उत्तर है।

लघुगणकीय असमानताओं का परिवर्तन

अक्सर मूल असमानता उपरोक्त से भिन्न होती है। लघुगणक के साथ काम करने के मानक नियमों के अनुसार इसे ठीक करना आसान है - "लघुगणक के मूल गुण" देखें। अर्थात्:

1. किसी भी संख्या को किसी दिए गए आधार के साथ लघुगणक के रूप में दर्शाया जा सकता है;
2. समान आधार वाले लघुगणक के योग और अंतर को एकल लघुगणक द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

अलग से, मैं आपको स्वीकार्य मूल्यों की सीमा के बारे में याद दिलाना चाहता हूं। चूँकि मूल असमानता में कई लघुगणक हो सकते हैं, इसलिए उनमें से प्रत्येक का DPV ज्ञात करना आवश्यक है। इस प्रकार, सामान्य योजनालघुगणकीय असमानताओं का समाधान निम्नलिखित है:

1. असमानता में शामिल प्रत्येक लघुगणक का ODZ ज्ञात करें;
2. लघुगणक जोड़ने और घटाने के सूत्रों का उपयोग करके असमानता को मानक एक तक कम करें;
3. उपरोक्त योजना के अनुसार परिणामी असमानता को हल करें।

काम। असमानता का समाधान करें:

पहले लघुगणक की परिभाषा का क्षेत्र (ODZ) खोजें:

हम अंतराल विधि से हल करते हैं। अंश के शून्य ज्ञात करना:

3x − 2 = 0;
एक्स = 2/3.

तब - हर के शून्य:

एक्स - 1 = 0;
एक्स = 1.

हम निर्देशांक तीर पर शून्य और चिह्न अंकित करते हैं:

हमें x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞) मिलता है। ODZ का दूसरा लघुगणक वही होगा. अगर आपको मेरी बात पर यकीन नहीं है तो आप चेक कर सकते हैं. अब हम दूसरे लघुगणक को बदलते हैं ताकि आधार दो हो:

जैसा कि आप देख सकते हैं, आधार पर और लघुगणक से पहले त्रिक सिकुड़ गए हैं। एक ही आधार वाले दो लघुगणक प्राप्त करें। आइए उन्हें एक साथ रखें:

लॉग 2 (x − 1) 2< 2;
लॉग 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

हमने मानक लघुगणकीय असमानता प्राप्त कर ली है। हम सूत्र द्वारा लघुगणक से छुटकारा पाते हैं। चूंकि मूल असमानता में कम से कम चिह्न है, परिणामी तर्कसंगत अभिव्यक्ति भी शून्य से कम होनी चाहिए। हमारे पास है:

(एफ (एक्स) - जी (एक्स)) (के (एक्स) - 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
एक्स 2 - 2एक्स - 3< 0;
(एक्स − 3)(एक्स + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

हमें दो सेट मिले:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. उत्तर उम्मीदवार: x ∈ (−1; 3).

इन सेटों को पार करना बाकी है - हमें वास्तविक उत्तर मिलता है:

हम सेटों के प्रतिच्छेदन में रुचि रखते हैं, इसलिए हम दोनों तीरों पर छायांकित अंतरालों को चुनते हैं। हमें x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) मिलता है - सभी बिंदु छिद्रित हैं।

किसी असमानता को लघुगणकीय कहा जाता है यदि उसमें कोई लघुगणकीय फलन हो।

लघुगणकीय असमानताओं को हल करने की विधियाँ दो चीजों को छोड़कर किसी से भिन्न नहीं हैं।

सबसे पहले, जब लॉगरिदमिक असमानता से सबलॉगरिदमिक फ़ंक्शंस की असमानता की ओर बढ़ते हैं, तो यह अनुसरण करता है परिणामी असमानता के संकेत का पालन करें. यह निम्नलिखित नियम का पालन करता है.

यदि लघुगणकीय फ़ंक्शन का आधार $1$ से अधिक है, तो लघुगणकीय असमानता से सबलॉगरिदमिक कार्यों की असमानता में जाने पर, असमानता चिह्न संरक्षित रहता है, और यदि यह $1$ से कम है, तो इसे उलट दिया जाता है।

दूसरे, किसी भी असमानता का समाधान एक अंतराल है, और इसलिए, उप-लघुगणकीय कार्यों की असमानता के समाधान के अंत में, दो असमानताओं की एक प्रणाली बनाना आवश्यक है: इस प्रणाली की पहली असमानता की असमानता होगी सबलॉगरिदमिक फ़ंक्शंस, और दूसरा लॉगरिदमिक असमानता में शामिल लॉगरिदमिक फ़ंक्शंस की परिभाषा के क्षेत्र का अंतराल होगा।

अभ्यास।

आइए असमानताओं को हल करें:

1. $\log_(2)((x+3)) \geq 3.$

$D(y): \x+3>0.$

$x \in (-3;+\infty)$

लघुगणक का आधार $2>1$ है, इसलिए चिह्न नहीं बदलता है। लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं:

$x+3 \geq 2^(3),$

$x\in )