फ़ंक्शन ग्राफ़ का अध्ययन। डिफरेंशियल कैलकुलस के तरीकों से किसी फ़ंक्शन की जांच

डिफरेंशियल कैलकुलस का सबसे महत्वपूर्ण कार्यों में से एक विकास है सामान्य उदाहरणकार्यों के व्यवहार का अध्ययन.

यदि फ़ंक्शन y \u003d f (x) अंतराल पर निरंतर है, और इसका व्युत्पन्न सकारात्मक है या अंतराल (a, b) पर 0 के बराबर है, तो y \u003d f (x) (f "(x) से बढ़ जाता है। 0)। यदि फ़ंक्शन y = f (x) खंड पर निरंतर है, और इसका व्युत्पन्न नकारात्मक है या अंतराल (a,b) पर 0 के बराबर है, तो y=f(x) (f"( से घट जाता है) x)0)

वे अंतराल जिनमें फलन घटता या बढ़ता नहीं है, फलन की एकरसता के अंतराल कहलाते हैं। किसी फ़ंक्शन की एकरसता की प्रकृति केवल उसकी परिभाषा के क्षेत्र के उन बिंदुओं पर बदल सकती है, जहां पहले व्युत्पन्न का संकेत बदलता है। वे बिंदु जिन पर किसी फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न गायब हो जाता है या टूट जाता है, महत्वपूर्ण बिंदु कहलाते हैं।

प्रमेय 1 (एक चरम के अस्तित्व के लिए पहली पर्याप्त शर्त)।

मान लें कि फ़ंक्शन y=f(x) को बिंदु x 0 पर परिभाषित किया गया है और एक पड़ोस δ>0 होने दें, ताकि फ़ंक्शन खंड पर निरंतर हो, अंतराल पर भिन्न हो (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , और इसका व्युत्पन्न इनमें से प्रत्येक अंतराल पर एक स्थिर चिह्न बनाए रखता है। फिर यदि x 0 -δ, x 0) और (x 0, x 0 + δ) पर अवकलज के चिह्न भिन्न हैं, तो x 0 एक चरम बिंदु है, और यदि वे मेल खाते हैं, तो x 0 एक चरम बिंदु नहीं है . इसके अलावा, यदि, बिंदु x0 से गुजरते समय, व्युत्पन्न चिह्न प्लस से माइनस में बदल जाता है (x 0 के बाईं ओर, f "(x)> 0 किया जाता है, तो x 0 अधिकतम बिंदु है; यदि व्युत्पन्न चिह्न बदलता है माइनस से प्लस तक (x 0 के दाईं ओर f"(x) द्वारा निष्पादित किया जाता है<0, то х 0 - точка минимума.

अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं को फ़ंक्शन के चरम बिंदु कहा जाता है, और फ़ंक्शन के मैक्सिमा और मिनिमा को इसके चरम मान कहा जाता है।

प्रमेय 2 (स्थानीय चरम के लिए आवश्यक मानदंड)।

यदि फ़ंक्शन y=f(x) का चरम वर्तमान x=x 0 पर है, तो या तो f'(x 0)=0 या f'(x 0) मौजूद नहीं है।
एक अवकलनीय फ़ंक्शन के चरम बिंदुओं पर, इसके ग्राफ़ की स्पर्श रेखा ऑक्स अक्ष के समानांतर होती है।

किसी चरम सीमा के लिए फ़ंक्शन का अध्ययन करने के लिए एल्गोरिदम:

1) फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें।
2) महत्वपूर्ण बिंदु खोजें, अर्थात। ऐसे बिंदु जहां फ़ंक्शन निरंतर है और व्युत्पन्न शून्य है या मौजूद नहीं है।
3) प्रत्येक बिंदु के पड़ोस पर विचार करें, और इस बिंदु के बाईं और दाईं ओर व्युत्पन्न के चिह्न की जांच करें।
4) चरम बिंदुओं के निर्देशांक निर्धारित करें, महत्वपूर्ण बिंदुओं के इस मान के लिए, इस फ़ंक्शन में स्थानापन्न करें। पर्याप्त चरम स्थितियों का उपयोग करके, उचित निष्कर्ष निकालें।

उदाहरण 18. फलन y=x 3 -9x 2 +24x की जाँच करें

समाधान।
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) अवकलज को शून्य के बराबर करने पर, हम x 1 =2, x 2 =4 पाते हैं। में इस मामले मेंव्युत्पन्न को हर जगह परिभाषित किया गया है; इसलिए, पाए गए दो बिंदुओं के अलावा, कोई अन्य महत्वपूर्ण बिंदु नहीं हैं।
3) व्युत्पन्न y "=3(x-2)(x-4) का चिह्न अंतराल के आधार पर बदलता है जैसा कि चित्र 1 में दिखाया गया है। बिंदु x=2 से गुजरने पर, व्युत्पन्न चिह्न प्लस से माइनस में बदल जाता है, और बिंदु x=4 से गुजरते समय - ऋण से धन की ओर।
4) बिंदु x=2 पर, फ़ंक्शन का अधिकतम y अधिकतम =20 है, और बिंदु x=4 पर - न्यूनतम y न्यूनतम =16 है।

प्रमेय 3. (एक चरम के अस्तित्व के लिए दूसरी पर्याप्त शर्त)।

मान लीजिए f "(x 0) और f "" (x 0) बिंदु x 0 पर मौजूद हैं। फिर यदि f "" (x 0)> 0, तो x 0 न्यूनतम बिंदु है, और यदि f "" (x 0) )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

खंड पर, फ़ंक्शन y \u003d f (x) सबसे छोटे (कम से कम) या सबसे बड़े (अधिकतम) मान तक पहुंच सकता है या तो अंतराल (ए; बी) में स्थित फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदुओं पर, या अंत में खंड का.

खंड पर निरंतर फ़ंक्शन y=f(x) का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान खोजने के लिए एल्गोरिदम:

1) f "(x) खोजें।
2) उन बिंदुओं को ढूंढें जिन पर f "(x) = 0 या f" (x) - मौजूद नहीं है, और उनमें से उन बिंदुओं का चयन करें जो खंड के अंदर स्थित हैं।
3) पैराग्राफ 2 में प्राप्त बिंदुओं के साथ-साथ खंड के सिरों पर फ़ंक्शन y = f (x) के मान की गणना करें और उनमें से सबसे बड़े और सबसे छोटे को चुनें: वे क्रमशः सबसे बड़े हैं ( सबसे बड़े के लिए) और सबसे छोटे (सबसे छोटे के लिए) खंड पर फ़ंक्शन मान।

उदाहरण 19. खंड पर एक सतत फलन y=x 3 -3x 2 -45+225 का सबसे बड़ा मान ज्ञात कीजिए।

1) हमारे पास खंड पर y "=3x 2 -6x-45 है
2) व्युत्पन्न y" सभी x के लिए मौजूद है। आइए वे बिंदु खोजें जहां y"=0; हम पाते हैं:
3x2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 = -3; x2=5
3) x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63 बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान की गणना करें
केवल बिंदु x=5 खंड से संबंधित है। फ़ंक्शन के पाए गए मानों में सबसे बड़ा 225 है, और सबसे छोटी संख्या 50 है। तो, अधिकतम = 225 पर, अधिकतम = 50 पर।

उत्तलता पर किसी फ़ंक्शन की जांच

यह चित्र दो कार्यों के ग्राफ़ दिखाता है। उनमें से पहला एक उभार के साथ मुड़ा हुआ है, दूसरा - एक उभार के साथ नीचे की ओर।

फ़ंक्शन y=f(x) खंड पर निरंतर है और अंतराल (a;b) में भिन्न है, इस खंड पर उत्तल ऊपर (नीचे) कहा जाता है, यदि axb के लिए इसका ग्राफ स्पर्शरेखा से अधिक नहीं (कम नहीं) है किसी बिंदु M 0 (x 0 ;f(x 0)) पर खींचा गया, जहां axb.

प्रमेय 4. मान लें कि फ़ंक्शन y=f(x) का खंड के किसी भी आंतरिक बिंदु x पर दूसरा व्युत्पन्न है और इस खंड के सिरों पर निरंतर है। फिर यदि असमानता f""(x)0 अंतराल (a;b) पर संतुष्ट है, तो फ़ंक्शन खंड पर नीचे की ओर उत्तल है; यदि असमानता f""(x)0 अंतराल (а;b) पर संतुष्ट है, तो फ़ंक्शन ऊपर की ओर उत्तल है।

प्रमेय 5. यदि फ़ंक्शन y=f(x) का अंतराल (a;b) पर दूसरा व्युत्पन्न है और यदि यह बिंदु x 0 से गुजरने पर संकेत बदलता है, तो M(x 0 ;f(x 0)) है एक विभक्ति बिंदु.

विभक्ति बिंदु ज्ञात करने का नियम:

1) ऐसे बिंदु खोजें जहां f""(x) मौजूद नहीं है या गायब हो जाता है।
2) पहले चरण में पाए गए प्रत्येक बिंदु के बाईं और दाईं ओर f""(x) चिह्न की जांच करें।
3) प्रमेय 4 के आधार पर निष्कर्ष निकालें।

उदाहरण 20. फ़ंक्शन ग्राफ y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12 के चरम बिंदु और विभक्ति बिंदु खोजें।

हमारे पास f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2 है। जाहिर है, x 1 =0 के लिए f"(x)=0, x 2 =1। व्युत्पन्न, बिंदु x=0 से गुजरने पर, चिह्न को ऋण से प्लस में बदल देता है, और बिंदु x=1 से गुजरने पर, यह चिह्न नहीं बदलता है। इसका मतलब यह है कि x=0 न्यूनतम बिंदु है (y न्यूनतम =12), और बिंदु x=1 पर कोई चरम सीमा नहीं है। अगला, हम पाते हैं . दूसरा अवकलज x 1 =1, x 2 =1/3 बिंदुओं पर लुप्त हो जाता है। दूसरे व्युत्पन्न परिवर्तन के संकेत इस प्रकार हैं: किरण (-∞;) पर हमारे पास f""(x)>0 है, अंतराल (;1) पर हमारे पास f""(x) है<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. इसलिए, x= फ़ंक्शन ग्राफ़ का विभक्ति बिंदु है (उत्तलता से नीचे उत्तलता तक संक्रमण) और x=1 भी एक विभक्ति बिंदु है (उत्तलता से ऊपर उत्तलता तक संक्रमण)। यदि x=, तो y= ; यदि, तो x=1, y=13.

किसी ग्राफ़ का अनंतस्पर्शी पता लगाने के लिए एक एल्गोरिदम

I. यदि y=f(x) x → a के रूप में है, तो x=a एक लंबवत अनंतस्पर्शी है।
द्वितीय. यदि y=f(x) x → ∞ या x → -∞ के रूप में है तो y=A क्षैतिज अनन्तस्पर्शी है।
तृतीय. तिरछी अनंतस्पर्शी को खोजने के लिए, हम निम्नलिखित एल्गोरिदम का उपयोग करते हैं:
1) गणना करें. यदि सीमा मौजूद है और b के बराबर है, तो y=b क्षैतिज अनंतस्पर्शी है; यदि , तो दूसरे चरण पर जाएँ।
2) गणना करें. यदि यह सीमा मौजूद नहीं है, तो कोई अनंतस्पर्शी नहीं है; यदि यह मौजूद है और k के बराबर है, तो तीसरे चरण पर जाएँ।
3) गणना करें. यदि यह सीमा मौजूद नहीं है, तो कोई अनंतस्पर्शी नहीं है; यदि यह मौजूद है और b के बराबर है, तो चौथे चरण पर जाएँ।
4) तिरछी अनंतस्पर्शी y=kx+b का समीकरण लिखिए।

उदाहरण 21: किसी फ़ंक्शन के लिए एक अनंतस्पर्शी खोजें

1)
2)
3)
4) तिर्यक अनंतस्पर्शी समीकरण का रूप है

फ़ंक्शन के अध्ययन और उसके ग्राफ़ के निर्माण की योजना

I. फ़ंक्शन का डोमेन खोजें।
द्वितीय. निर्देशांक अक्षों के साथ फ़ंक्शन के ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु खोजें।
तृतीय. स्पर्शोन्मुख खोजें।
चतुर्थ. संभावित चरम के बिंदु खोजें.
वी. महत्वपूर्ण बिंदु खोजें।
VI. सहायक ड्राइंग का उपयोग करके, पहले और दूसरे डेरिवेटिव के चिह्न की जांच करें। फ़ंक्शन के बढ़ने और घटने के क्षेत्र निर्धारित करें, ग्राफ़ की उत्तलता की दिशा, चरम बिंदु और विभक्ति बिंदु ज्ञात करें।
सातवीं. पैराग्राफ 1-6 में किए गए अध्ययन को ध्यान में रखते हुए एक ग्राफ बनाएं।

उदाहरण 22: उपरोक्त योजना के अनुसार एक फ़ंक्शन ग्राफ़ बनाएं

समाधान।
I. फ़ंक्शन का डोमेन x=1 को छोड़कर, सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।
द्वितीय. चूँकि समीकरण x 2 +1=0 की वास्तविक जड़ें नहीं हैं, तो फ़ंक्शन के ग्राफ़ में ऑक्स अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं हैं, लेकिन ओए अक्ष को बिंदु (0; -1) पर प्रतिच्छेद करता है।
तृतीय. आइए हम स्पर्शोन्मुख के अस्तित्व के प्रश्न को स्पष्ट करें। हम असंततता बिंदु x=1 के निकट फ़ंक्शन के व्यवहार की जांच करते हैं। चूँकि x → -∞ के लिए y → ∞, x → 1+ के लिए y → +∞, तो रेखा x=1 फ़ंक्शन के ग्राफ़ का एक लंबवत अनंतस्पर्शी है।
यदि x → +∞(x → -∞), तो y → +∞(y → -∞); इसलिए, ग्राफ़ में कोई क्षैतिज अनंतस्पर्शी नहीं है। इसके अलावा, सीमाओं के अस्तित्व से

समीकरण x 2 -2x-1=0 को हल करने पर, हमें संभावित चरम के दो बिंदु मिलते हैं:
x 1 =1-√2 और x 2 =1+√2

V. महत्वपूर्ण बिंदुओं को खोजने के लिए, हम दूसरे व्युत्पन्न की गणना करते हैं:

चूँकि f""(x) लुप्त नहीं होता है, इसलिए कोई महत्वपूर्ण बिंदु नहीं हैं।
VI. हम पहले और दूसरे डेरिवेटिव के संकेत की जांच करते हैं। विचार किए जाने वाले संभावित चरम बिंदु: x 1 =1-√2 और x 2 =1+√2, फ़ंक्शन के अस्तित्व के क्षेत्र को अंतराल (-∞;1-√2),(1-√2) में विभाजित करें ;1+√2) और (1+√2;+∞).

इनमें से प्रत्येक अंतराल में, व्युत्पन्न अपना चिह्न बरकरार रखता है: पहले में - प्लस, दूसरे में - माइनस, तीसरे में - प्लस। प्रथम अवकलज के चिह्नों का क्रम इस प्रकार लिखा जाएगा: +, -, +।
हम पाते हैं कि फ़ंक्शन (-∞;1-√2) पर बढ़ता है, (1-√2;1+√2) पर यह घटता है, और (1+√2;+∞) पर यह फिर से बढ़ता है। चरम बिंदु: अधिकतम x=1-√2 पर, इसके अलावा f(1-√2)=2-2√2 न्यूनतम x=1+√2 पर, इसके अलावा f(1+√2)=2+2√2। (-∞;1) पर ग्राफ़ ऊपर की ओर उत्तल है, और (1;+∞) पर - नीचे की ओर।
VII आइए प्राप्त मूल्यों की एक तालिका बनाएं

VIII प्राप्त आंकड़ों के आधार पर, हम फ़ंक्शन के ग्राफ़ का एक स्केच बनाते हैं

फ़ंक्शन का अध्ययन एक स्पष्ट योजना के अनुसार किया जाता है और छात्र को बुनियादी गणितीय अवधारणाओं जैसे परिभाषा और मूल्यों के क्षेत्र, फ़ंक्शन की निरंतरता, स्पर्शोन्मुख, चरम बिंदु, समता, आवधिकता, का ठोस ज्ञान होना आवश्यक है। वगैरह। विद्यार्थी को स्वतंत्र रूप से कार्यों में अंतर करना होगा और समीकरणों को हल करना होगा, जो कभी-कभी बहुत जटिल होते हैं।

अर्थात्, यह कार्य ज्ञान की एक महत्वपूर्ण परत का परीक्षण करता है, जिसमें कोई भी अंतर सही समाधान प्राप्त करने में बाधा बन जाएगा। फ़ंक्शंस के ग्राफ़ के निर्माण में विशेष रूप से अक्सर कठिनाइयाँ उत्पन्न होती हैं। यह गलती तुरंत शिक्षक की नज़र में आ जाती है और आपके ग्रेड को बहुत खराब कर सकती है, भले ही बाकी सब कुछ सही ढंग से किया गया हो। यहां आप पा सकते हैं फ़ंक्शन के ऑनलाइन अध्ययन के लिए कार्य: उदाहरणों का अध्ययन करें, समाधान डाउनलोड करें, असाइनमेंट ऑर्डर करें।

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क्रमानुसार किसी फ़ंक्शन के अध्ययन के लिए समस्याओं का समाधान करना

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हम आपके लिए फ़ंक्शन का संपूर्ण अध्ययन करेंगे: हम परिभाषा के क्षेत्र और मानों की सीमा का पता लगाएंगे, निरंतरता और असंततता की जांच करेंगे, समता निर्धारित करेंगे, आवधिकता के लिए अपने फ़ंक्शन की जांच करेंगे, समन्वय अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु पाएंगे . और, निःसंदेह, आगे अंतर कलन की सहायता से: हम स्पर्शोन्मुख पाएंगे, एक्स्ट्रेमा, विभक्ति बिंदुओं की गणना करेंगे, और स्वयं ग्राफ़ बनाएंगे।

आइए फ़ंक्शन \(y= \frac(x^3)(1-x) \) की जांच करें और इसका ग्राफ़ बनाएं।

1. परिभाषा का क्षेत्र.
एक परिमेय फलन (अंश) की परिभाषा का क्षेत्र होगा: हर शून्य के बराबर नहीं है, अर्थात। \(1 -x \ne 0 => x \ne 1\). डोमेन $$D_f= (-\infty; 1) \cup (1;+\infty)$$

2. किसी फ़ंक्शन के ब्रेकप्वाइंट और उनका वर्गीकरण।
फ़ंक्शन का एक ब्रेक पॉइंट x = 1 है
बिंदु x= 1 की जाँच करें। असंततता बिंदु के दाएँ और बाएँ, दाईं ओर $$ \lim_(x \to 1+0) (\frac(x^3)(1-x) फ़ंक्शन की सीमा ज्ञात करें )) = -\infty $$ और बिंदु $$ के बाईं ओर \lim_(x \to 1-0)(\frac(x^3)(1-x)) = +\infty $$ एकतरफ़ा सीमाएँ \(\infty\) हैं।

सीधी रेखा \(x = 1\) एक ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी रेखा है।

3. किसी फ़ंक्शन की समता.
समता की जाँच करने पर \(f(-x) = \frac((-x)^3)(1+x) \) फलन न तो सम है और न ही विषम है।

4. फ़ंक्शन के शून्य (ऑक्स अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु)। कार्य निरंतरता अंतराल.
फ़ंक्शन शून्य (ऑक्स अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु): \(y=0\) को बराबर करें, हमें \(\frac(x^3)(1-x) = 0 => x=0 \) मिलता है। वक्र में ऑक्स अक्ष के साथ निर्देशांक \((0;0)\) के साथ प्रतिच्छेदन का एक बिंदु है।

कार्य निरंतरता अंतराल.
विचारित अंतरालों पर \((-\infty; 1) \cup (1;+\infty)\) वक्र का अक्ष Ox के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु एक है, इसलिए हम तीन अंतरालों पर परिभाषा के क्षेत्र पर विचार करेंगे।

आइए हम परिभाषा के क्षेत्र के अंतराल पर फ़ंक्शन का चिह्न निर्धारित करें:
अंतराल \((-\infty; 0) \) किसी भी बिंदु पर फ़ंक्शन का मान ज्ञात करें \(f(-4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox
अंतराल \((0; 1) \) किसी भी बिंदु पर फ़ंक्शन का मान ज्ञात करें \(f(0.5) = \frac(x^3)(1-x) > 0 \), इस अंतराल पर फ़ंक्शन सकारात्मक है \(f(x ) > 0 \), यानी. x-अक्ष के ऊपर है.
अंतराल \((1;+\infty) \) किसी भी बिंदु पर फ़ंक्शन का मान ज्ञात करें \(f(4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox

5. ओए अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु: \(x=0 \) को बराबर करें, हमें \(f(0) = \frac(x^3)(1-x) = 0\) मिलता है। ओय अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक \((0; 0)\)

6. एकरसता का अंतराल। कार्य चरम.
आइए महत्वपूर्ण (स्थिर) बिंदु खोजें, इसके लिए हम पहला व्युत्पन्न ढूंढते हैं और इसे शून्य के बराबर करते हैं $$ y" = (\frac(x^3)(1-x))" = \frac(3x^2(1) -x) + x^3)( (1-x)^2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) $$ 0 के बराबर $$ \frac(x ^2(3 -2x))( (1-x)^2) = 0 => x_1 = 0 \quad x_2= \frac(3)(2)$$ इस बिंदु पर फ़ंक्शन का मान ज्ञात करें \(f (0) = 0\) और \(f(\frac(3)(2)) = -6.75\). निर्देशांक \((0;0)\) और \((1.5;-6.75)\) के साथ दो महत्वपूर्ण बिंदु मिले

एकरसता का अंतराल.
फ़ंक्शन में दो महत्वपूर्ण बिंदु (संभावित चरम बिंदु) हैं, इसलिए हम चार अंतरालों पर एकरसता पर विचार करेंगे:
अंतराल \((-\infty; 0) \) अंतराल के किसी भी बिंदु पर पहले व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें \(f(-4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x )^2) >
अंतराल \((0;1)\) अंतराल के किसी भी बिंदु पर पहले व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें \(f(0.5) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2 ) > 0\), इस अंतराल पर फलन बढ़ता है।
अंतराल \((1;1.5)\) अंतराल के किसी भी बिंदु पर पहले व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें \(f(1.2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2 ) > 0\), इस अंतराल पर फलन बढ़ता है।
अंतराल \((1.5; +\infty)\) अंतराल के किसी भी बिंदु पर पहले व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें \(f(4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x) ^2)< 0\), на этом интервале функция убывает.

कार्य चरम.

फ़ंक्शन के अध्ययन में, परिभाषा के क्षेत्र के अंतराल पर दो महत्वपूर्ण (स्थिर) बिंदु प्राप्त हुए। आइए हम यह निर्धारित करें कि क्या वे अतिवादी हैं। महत्वपूर्ण बिंदुओं से गुजरते समय व्युत्पन्न के चिह्न में परिवर्तन पर विचार करें:

बिंदु \(x = 0\) का व्युत्पन्न \(\quad +\quad 0 \quad + \quad\) से चिह्न बदलता है - बिंदु कोई चरम सीमा नहीं है।
बिंदु \(x = 1.5\) का व्युत्पन्न \(\quad +\quad 0 \quad - \quad\) से चिह्न बदलता है - बिंदु अधिकतम बिंदु है।

7. उत्तलता और अवतलता का अंतराल। विभक्ति बिंदु.

उत्तलता और अवतलता के अंतराल को खोजने के लिए, हम फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न पाते हैं और इसे शून्य के बराबर करते हैं $$y"" = (\frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) )"= \frac(2x (x^2-3x+3))((1-x)^3) $$$$ को शून्य के बराबर सेट करें \frac(2x(x^2-3x+3))(( 1-x)^3)= 0 => 2x(x^2-3x+3) =0 => x=0$$ फ़ंक्शन में एक है महत्वपूर्ण बिन्दूनिर्देशांक \((0;0)\) के साथ दूसरे प्रकार का।
आइए हम दूसरे प्रकार के महत्वपूर्ण बिंदु (संभावित विभक्ति बिंदु) को ध्यान में रखते हुए, परिभाषा के क्षेत्र के अंतराल पर उत्तलता को परिभाषित करें।

अंतराल \((-\infty; 0)\) किसी भी बिंदु पर दूसरे व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें \(f""(-4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1- एक्स)^ 3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
अंतराल \((0; 1)\) किसी भी बिंदु पर दूसरे व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें \(f""(0.5) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x)^ 3) > 0 \), इस अंतराल पर फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है \(f""(x) > 0 \) फ़ंक्शन नीचे की ओर उत्तल (उत्तल) है।
अंतराल \((1; \infty)\) किसी भी बिंदु पर दूसरे व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें \(f""(4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x) ^3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).

विभक्ति बिंदु.

दूसरे प्रकार के महत्वपूर्ण बिंदु से गुजरते समय दूसरे व्युत्पन्न के संकेत में परिवर्तन पर विचार करें:
बिंदु \(x =0\) पर दूसरा व्युत्पन्न \(\quad - \quad 0 \quad + \quad\) से चिह्न बदलता है, फ़ंक्शन का ग्राफ उत्तलता बदलता है, यानी। यह निर्देशांक \((0;0)\) के साथ विभक्ति बिंदु है।

8. स्पर्शोन्मुख।

ऊर्ध्वाधर एसिम्पटोट. फ़ंक्शन के ग्राफ़ में एक लंबवत अनंतस्पर्शी \(x =1\) है (आइटम 2 देखें)।
तिरछा अनंतस्पर्शी.
फ़ंक्शन के ग्राफ़ के लिए \(y= \frac(x^3)(1-x) \) के लिए \(x \to \infty\) के लिए एक तिरछा अनंतस्पर्शी \(y = kx+b\) , यह आवश्यक और पर्याप्त है, ताकि दो सीमाएँ हों $$\lim_(x \to +\infty)=\frac(f(x))(x) =k $$ इसे खोजें $$ \lim_(x \ से \infty) (\frac( x^3)(x(1-x))) = \infty => k= \infty $$ और दूसरी सीमा $$ \lim_(x \to +\infty)(f( एक्स) - केएक्स) = बी$ $, क्योंकि \(k = \infty\) - कोई तिरछा अनंतस्पर्शी नहीं है।

समस्तरीय अनंतस्पर्शी रेखा:क्षैतिज अनंतस्पर्शी अस्तित्व के लिए, यह आवश्यक है कि सीमा $$\lim_(x \to \infty)f(x) = b$$ मौजूद हो, इसे खोजें $$ \lim_(x \to +\infty) (\frac( x^3)(1-x))= -\infty$$$$ \lim_(x \to -\infty)(\frac(x^3)(1-x))= -\infty $$
कोई क्षैतिज अनंतस्पर्शी नहीं है.

9. फ़ंक्शन का ग्राफ़.

कार्यों के अध्ययन और उनके ग्राफ़ के निर्माण में संदर्भ बिंदु विशिष्ट बिंदु हैं - समन्वय अक्षों के साथ असंततता, चरम, विभक्ति, प्रतिच्छेदन के बिंदु। डिफरेंशियल कैलकुलस की मदद से कोई भी स्थापित कर सकता है विशेषताएँफ़ंक्शन परिवर्तन: वृद्धि और कमी, मैक्सिमा और मिनिमा, ग्राफ की उत्तलता और अवतलता की दिशा, स्पर्शोन्मुख की उपस्थिति।

फ़ंक्शन ग्राफ़ का एक स्केच स्पर्शोन्मुख और चरम बिंदुओं को खोजने के बाद स्केच किया जा सकता है (और किया जाना चाहिए), और अध्ययन के दौरान फ़ंक्शन के अध्ययन की सारांश तालिका को भरना सुविधाजनक है।

आमतौर पर, फ़ंक्शन अनुसंधान की निम्नलिखित योजना का उपयोग किया जाता है।

1.किसी फ़ंक्शन का डोमेन, निरंतरता अंतराल और ब्रेकप्वाइंट खोजें.

2.सम या विषम (ग्राफ़ की अक्षीय या केंद्रीय समरूपता) के लिए फ़ंक्शन की जांच करें।

3.अनंतस्पर्शी (ऊर्ध्वाधर, क्षैतिज या तिरछा) खोजें।

4.फ़ंक्शन के बढ़ने और घटने के अंतराल, उसके चरम बिंदु खोजें और जांच करें।

5.वक्र की उत्तलता और अवतलता के अंतराल, उसके विभक्ति बिंदु ज्ञात कीजिए।

6.यदि वे मौजूद हैं तो निर्देशांक अक्षों के साथ वक्र के प्रतिच्छेदन बिंदु खोजें।

7.अध्ययन की एक सारांश तालिका संकलित करें।

8.उपरोक्त बिंदुओं के अनुसार किए गए फ़ंक्शन के अध्ययन को ध्यान में रखते हुए एक ग्राफ़ बनाएं।

उदाहरण।फ़ंक्शन का अन्वेषण करें

और इसकी साजिश रचें.

7. आइए फ़ंक्शन के अध्ययन की एक सारांश तालिका बनाएं, जहां हम सभी विशेषता बिंदुओं और उनके बीच के अंतराल को दर्ज करेंगे। फ़ंक्शन की समता को देखते हुए, हमें निम्नलिखित तालिका मिलती है: